高中数学— 数系的扩充和复数的概念

3 2
-
4i.
y Z2
O
Z1 Z4
x
Z3
Z5
【课时小结】
1. 复平面 对于复数 z=a+bi, 用坐标平面上的点 (x, y)
表示 z, 即 x=a, y=b, 复数 z=a+bi 即用点 Z(a, b) 表示.
表示复数的从标平面叫复平面, x 轴叫做实 轴, y 轴叫做虚轴.
复数 z=a+bi 一一对应 复平面内的点 Z(a, b)
问题 3. 还记得向量的坐标表示吗? 你能画出向
量 a=(3, -2)? 能否借用向量表示复数? 如图, 向量 OZ = a = (3, - 2).
y
复平面上的点 Z(a, b) 唯一
对应向量 OZ = (a, b); 复平面上的点 Z(a, b) 唯一
- 2i.
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1. 复数在坐标平面上有哪两种表示方法? 2. 表示复数的坐标平面叫什么? 坐标轴叫 什么? 在坐标平面上如何表示复数?
问题1. 一个复数 z=a+bi 由什么确定? 类似于我 们所学过的什么数学知识?
一个复数是由一个有序实数对 (a, b) 唯一确定. 在平面直角坐标系中, 一个确定的有序实数对 (a, b) 在坐标平面上唯一确定一个点.
x y
+ y=2x+3 -1= 2 y +1.
y,
解方程组得 x=4, y= -2.
即得两相等复数为 2-3i = 2-3i.
【课时小结】
1. 虚数 形如 a+bi (a, bR, b0) 的数叫虚数, 其中
i 叫虚单位, i2= -1. 当 a=0, b0 时, 虚数形为 bi, 这样的虚数
叫纯虚数.
本章内容
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算
第三章 小结
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
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1. 什么是虚数? 它的结构形式是怎样的? 2. 什么是虚单位? 它有什么特点? 3. 什么是复数? 它的范围包括哪些数?
当 b=0 时, a+bi=a 是一个实数; 当 b≠0 时, a+bi 就有一新引进的数 i, 这个数就 是我们要学习的虚数.
我们把集合 C={ a+bi | a, bR } 中的数, 即形如 a+bi (a, bR) 的数叫做复数, 其中 i 叫做虚数单位. 当 b=0 时, a+bi=a 是实数, 当 b≠0 时, a+bi 叫虚数.当 a=0, b≠0 时, a+bi=bi 叫纯虚数. 复数包含实数和虚数, 全体复数所成的集合 C 叫做复数集.
【课时小结】
2. 复数 形如 a+bi (a, bR) 的数叫做复数. 当 b=0 时, a+bi=a 是实数. b0 时, a+bi 是虚数. a=0, b≠0 时, a+bi=bi 叫纯虚数. 复数通常用字母 z 表示, 即 z=a+bi (a, bR),
这一表示形式叫做复数的代数形式. 其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部.
题 3.1 A组 第 1、2、3 题.
题 3.1 A组 1. 求适合下列方程的实数 x 与 y 的值:
(1) (3x+2y)+(5x-y)i=17-2i;
(2) (x+y-3)+(x-4)i=0.
解: (1) 由两复数相等得方程组
53xx
+ -
2 y
y =17, = -2.
解得 x=1, y=7.
1. 说出图中复平面内各点所表示的复数 (每个小
正方格的边长为 1).
y
解: 点A表示复数 z=4+3i.
点B表示复数 z=3-3i.
G
点C表示复数 z= -3+2i.
C
A
点D表示复数 z= -2.5-3i.
FO
E
x
点E表示复数 z=5.5. 点F表示复数 z= -2.
D
B
H
点G表示复数 z= 5i.
3. 符合下列条件的复数一定存在吗? 若存在, 请举出例子; 若不存在, 请说明理由.
(1) 实部为- 2 的虚数; (2) 虚部为- 2 的虚数; (3) 虚部为- 2 的纯虚数.
解: (1) 实部为- 2的虚数一定存在, 如: - 2 +i.
(2) 虚部为- 2的虚数一定存在, 如:
1- 2i. (3) 虚部为- 2的纯虚数一定存在, 如:
练习: (课本104页)
1. 说出下列复数的实部和虚部:
-
2
+
1 3
i,
2 +i,
2 2
,
-
Baidu Nhomakorabea3i,
i,
0.
解:
-1+
1 3
i
的实部是
-2,
虚部是
1 3
.
2 + i 的实部是 2, 虚部是 1.
2 的实部是 2
2 2
,
虚部是 0.
- 3i 的实部是 0, 虚部是 - 3.
i 的实部是 0, 虚部是 1.
复数的两种几何意义: (3) 向量 OZ 的模 r 叫复数 z=a+bi 的模, 记作 |z| 或 |a+bi|. |z| = |a + bi| = a2 + b2 . 如: z=3-2i.
y
3
O
x
-2
Z
|z| = 32 +(-2)2 = 13.
练习: (课本105页) 第 1、2、3 题.
练习: (课本105页)
于是我们可以用坐标平面上的点来表示复数.
如图, 点 Z 的横坐标是 a, 纵坐标是 b.
复数 z=a+bi 可用点 Z(a, b)表示.
y
这个表示复数的坐标平面叫
b
做复平面, x 轴叫做实轴, y 轴
O
叫做虚轴.
z=a+bi Z
ax
问题 2. 实轴上的点有什么特点, 这些点表示的
是什么数? 虚轴上的点有什么特点? 这些点表示的
复数通常用字母 z 表示, 即 z=a+bi (a, bR), 这 一表示形式叫做复数的代数形式. 其中的 a 与 b 分别 叫做复数 z 的实部与虚部.
在复数集 C={a+bi | a, bR} 中任取两个数 a+bi, c+di (a, b, c, dR), 我们规定:
a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d.
B
O
D F
E x
C
(6) 点F表示复数 -3i.
3.
已知复数 2+i,
-2+4i,
-2i,
4,
3 2
-
4i,
在复平
面内画出这些复数对应的向量.
解: 如图,
向量 OZ1 表示复数 2+i.
向量 OZ2 表示复数 -2+4i.
向量 OZ3 表示复数 -2i.
向量 OZ4 表示复数 4.
向量
OZ5
表示复数
题 3.1 A组 1. 求适合下列方程的实数 x 与 y 的值:
(1) (3x+2y)+(5x-y)i=17-2i;
(2) (x+y-3)+(x-4)i=0.
解: (2) 由复数为 0 得方程组
x x
+ -
y-3= 4= 0.
0,
解得 x=4, y= -1.
2. 实数 m 取什么值时, 复数 (m2-5m+6)+(m2-3m)i 是
(1) 3+2i;
(4)
-
1 2
i;
(2) - 3; (5) 0;
(3) 1-i; (6) (1- 3)i.
(1)(2)(3)(4)(5)(6)都是复数.
(2)(5)是实数.
(1)(3)(4)(6)是虚数.
(4)(6)是纯虚数.
例1. 实数 m 取什么值时, 复数 z=m+1+(m-1)i
是 (1) 实数; (2) 虚数; (3) 纯虚数.
问题1. 方程 x2=2 和 x2= -2 在什么样的数系范围 内有解? 在什么样的数系范围内无解? 如果要使它 们都有解, 怎么办?
为了使 x2= -2 这样的方程有解, 我们把数系扩充, 引入一个数 i, 规定 i2 = -1.
将实数的运算法则同时引入, 则 (-i)2 = (-1i)2 = (-1)2i2 = 1(-1) = -1.
即 (±i)2 = -1.
同理 ( 2 i)2 = ( 2)2i2=2(-1)= -2. 则 x2= -2 时, x = 2 i.
问题1. 方程 x2=2 和 x2= -2 在什么样的数系范围 内有解? 在什么样的数系范围内无解? 如果要使它 们都有解, 怎么办?
为了使引进的数 i 与实数进行加, 减, 乘, 除等运 算, 并适用实数的运算法则, 我们把数 i 与实数 a, b 结合起来写成 a+bi 的形式.
点H表示复数 z= -5i.
2. 在复平面内, 描出表示下列各复数的点:
(1) 2+5i; (2) -3+2i; (3) 2-4i;
(4) -3-i; (5) 5;
(6) -3i.
解: 如图,
y
(1) 点A表示复数 2+5i.
A
(2) 点B表示复数 -3+2i. (3) 点C表示复数 2-4i. (4) 点D表示复数 -2-i. (5) 点E表示复数 5.
问题1. 方程 x2=2 和 x2= -2 在什么样的数系范围 内有解? 在什么样的数系范围内无解? 如果要使它 们都有解, 怎么办?
x2=2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数 范围内就有解: x = 2.
x2= -2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数 范围还是无解.
要使 x2= -2 有解, 考虑把数系再扩充.
(1) 实数? (2) 虚数? (3) 纯虚数?
答: (1) 当 m2-3m=0 时, 即 m=0 或 m=3 时, 复数为实数. (2) 当 m2-3m≠0 时, 即 m≠0 且 m≠3 时, 复数为虚数. (3) 当 m2-5m+6=0 且 m2-3m≠0 时, 得 m=2 时, 复数为纯虚数.
是什么数? 原点呢?
实轴上的点表示实数, 如: 点 Z1(-2, 0) 表示实数 z= -2.
虚轴上的点表示纯虚数, 如: 点 Z2(0, 2) 表示纯虚数 z= 2i.
原点 (0, 0) 表示实数 0.
y
2 Z2
Z1 1
Z3
-2 O 2 x
坐标平面上的任一点表示唯一的一个复数, 如:
点 Z3(2, 1) 表示表示复数 z=2+i.
2 7
i,
i,
5i + 8,
3-9
2i,
i(1-
3),
2 - 2i, 这几
个数是虚数, 因为它们的虚部不为 0.
2 7
i,
i,
i(1-
3),
这几个数是纯虚数,
因为它们
的实部为 0, 虚部不为 0.
3. 如果 (x+y)+(y-1)i = (2x+3y)+(2y+1)i, 求实数 x, y 的值.
解: 两复数相等, 必须实部与实部相等, 且虚部 与虚部相等, 则得方程组
的点表示, 如: 点 Z(3, -2) 表示复数 z=3-2i.
3
O
x
(2) 任一复数可用复平面上
-2
Z
的向量表示, 如:
向量 OZ = (3, - 2) 表示复数 z=3-2i.
我们常把复数 z=a+bi 说成点 Z 或说成向量 OZ,
相等的向量表示同一个复数.
问题 3. 还记得向量的坐标表示吗? 你能画出向 量 a=(3, -2)? 能否借用向量表示复数?
0 的实部是 0, 虚部是 0.
2. 指出下列各数中, 哪些是实数, 哪些是虚数,
哪些是纯虚数, 为什么?
2+
7,
0.618,
2 7
i,
0,
i,
i2,
5i + 8,
3-9 2i,
i(1- 3), 2 - 2i.
解: 2+ 7, 0.618, 0, i2 = -1, 这几个数是实数,
因为它们的虚部为 0.
问题2. 实数集, 复数集, 虚数集, 纯虚数集 的关系怎样?
{实数}∪{虚数}={复数}, {实数}∩{虚数}=; {实数} {复数}; {虚数} {复数}; {纯虚数} {虚数}.
复数集 虚数集
实数集 纯虚数集
问题3. 下列各数, 哪些是实数, 哪些是复数,
哪些是虚数, 哪些是纯虚数?
3
O
x
对应复数 z=a+bi.
-2
Z
因此复数可以用复平面上的
向量表示.
复数 C 与复平面内的向量所成的集合一一对应.
复数 z=a+bi 一一对应 平面向量 OZ
问题 3. 还记得向量的坐标表示吗? 你能画出向 量 a=(3, -2)? 能否借用向量表示复数?
复数的两种几何意义:
y
(1) 任一复数可用复平面上
解: (1) 当 m-1=0 时, z 是实数, 即 m=1 时, z=2 是实数. (2) 当 m-1≠0 时, z 是虚数, 即 m≠1 时, z=m+1+(m-1)i 是虚数. (3) 当 m+1=0 且 m-1≠0 时, z 是纯虚数, 即 m= -1 时, z= -2i 是纯虚数.
练习: (课本104页) 第 1、2、3 题.
【课时小结】
3. 复数的包含关系
{实数}∪{虚数}={复数}, {实数}∩{虚数}=; {实数} {复数}; {虚数} {复数};
复数集 虚数集
实数集 纯虚数集
{纯虚数} {虚数}.
复数包含实数和虚数, 全体复数所成的集合
C 叫做复数集.
a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d.