最新数系的扩充和复数的概念教案
《数系的扩充和复数的概念》教案及说明
《数系的扩充和复数的概念》教案及说明教学目标：1.了解数系的扩充，并能够理解自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数之间的关系。
2.掌握复数的定义、运算规则和表示方法。
3.能够应用复数解决实际问题。
教学重点：1.数系的扩充和复数的定义。
2.复数的运算规则和表示方法。
教学难点：1.理解数系的扩充对于数学的意义。
2.掌握复数的运算规则和应用技巧。
教学内容：一、数系的扩充1.自然数：正整数，用于计数。
2.整数：包括正整数、负整数和0。
3.有理数：可表示为两个整数之比的数。
4.无理数：不可表示为两个整数之比的数。
5.实数：包括有理数和无理数。
6. 复数：形如a+bi的数，其中a和b为实数，i为虚数单位。
二、复数的定义和表示1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2.复数的表示：复数可以用平面直角坐标系中的点表示，a为横坐标，b为纵坐标。
3.复数的运算：复数的加减乘除法规则同实数运算，注意i的平方为-1三、复数的应用1.解方程：复数可以解决一些实数无解的方程。
2.代数表达式：复数可以简化代数表达式，并且在求根过程中十分有用。
3.物理问题：在电路、波动等问题中，复数有着广泛的应用。
教学步骤：一、引入复数的概念2.解释为什么需要引入复数。
3.引导学生构建复数概念。
二、复数的定义和表示1.讲解复数的定义和表示方法。
2.给出几个例子，让学生练习表示复数。
3.带领学生画出复数在平面直角坐标系中的位置。
三、复数的运算1.讲解复数的加减乘除法规则。
2.演示如何计算复数的运算。
3.给出一些练习题，让学生巩固运算技巧。
四、复数的应用1.解方程：举例说明复数如何解决一些实数无解的方程。
2.代数表达式：展示复数简化代数表达式的过程。
3.物理问题：讲解复数在物理问题中的应用实例。
五、综合练习和实践1.设计一些综合性的练习题，包括复数的定义、表示和运算。
2.提供一些实际问题，让学生尝试用复数解决。
数系的扩充和复数的概念教案
§3.1.1数系的扩充和复数的概念引导2:复数的有关概念：（1）我们把形如bi a +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做 虚数单位 ， 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．．字母 C 表示。
（2）复数的代数形式：复数通常用小写字母z 表示，即bi a z +=()R b a ∈,，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部。
例1请说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部。
.120)12(5;23212314066300024884)1(--+-+-，虚部是的实部是）（，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是）（；，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是解：i i i 请说出复数)12(,231,0,6,84-++-i i i 的实部和虚部。
探究二、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系对于复数(),z a bi a b R =+∈：当且仅当0=b 时，复数z 表示 实数当0≠b 时，复数z 叫做 虚数当0,0≠=b a 时，复数z 叫做 纯虚数你能用图表的形式将复数、实数、纯虚数的关系形象的表示出来吗？复数集 （ 虚数集 ） （ 实数集 ） （纯虚数集）例2 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？ 72+，618.0，i 72，0，i ，2i ，85+i ，i 293- 实数：虚数：纯虚数：例3 实数m 分别取什么值时，复数()i m m z 11-++=是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？变式再练1：当取何实数时，复数i m m z )1(12-+-=是：（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零变式再练2：若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，试求实数m 的值.探究三、复数集与其它数集之间的关系： N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C .QN Z N R C。
数系的扩充和复数的概念教案
数系的扩充和复数的概念教案第一章：数系的扩充1.1 有理数和无理数学习目标：1. 理解有理数和无理数的定义及其性质。
2. 学会有理数和无理数的运算方法。
教学内容：1. 有理数的定义：整数和分数的统称，包括正整数、负整数、正分数、负分数。
2. 无理数的定义：不能表示为两个整数比的实数，如π和√2。
3. 有理数和无理数的性质：有理数和无理数都是实数的一部分，有理数可以表示为分数，无理数不能表示为分数。
4. 有理数和无理数的运算方法：加、减、乘、除和乘方。
教学活动：1. 引入有理数和无理数的定义，让学生通过实例理解有理数和无理数的概念。
2. 通过练习题，让学生熟悉有理数和无理数的性质。
3. 讲解有理数和无理数的运算方法，并通过练习题巩固。
1.2 实数和虚数学习目标：1. 理解实数和虚数的定义及其性质。
2. 学会实数和虚数的运算方法。
教学内容：1. 实数的定义：包括有理数和无理数。
2. 虚数的定义：形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
3. 实数和虚数的性质：实数和虚数统称为复数，复数可以表示为a+bi的形式。
4. 实数和虚数的运算方法：加、减、乘、除和乘方。
教学活动：1. 引入实数和虚数的定义，让学生通过实例理解实数和虚数的概念。
2. 通过练习题，让学生熟悉实数和虚数的性质。
3. 讲解实数和虚数的运算方法，并通过练习题巩固。
1.3 复数的表示学习目标：1. 理解复数的表示方法及其性质。
2. 学会复数的运算方法。
教学内容：1. 复数的定义：实数和虚数的统称，形如a+bi的形式，其中a和b是实数，i 是虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的性质：复数可以表示为a+bi的形式，实部a和虚部b可以相加、相减、相乘、相除和相乘方。
3. 复数的运算方法：加、减、乘、除和乘方。
教学活动：1. 引入复数的定义，让学生通过实例理解复数的概念。
2. 通过练习题，让学生熟悉复数的性质。
数系的扩充与复数的引入教案
3、探究复数的形式
通过分析，了解数系扩充的规律，即引入的新数要能与“旧数”保持和谐。当引入新数 ，依然能像实数系那样进行加法、乘法运算，并且新数与旧数要保持加法、乘法运算及运算率成立。
学生活动1：举例说明引入新数 后，虚数 与虚数 、虚数 与实数之间进行加法、乘法的运算可以得到哪些结果,归纳总结一般形式。
课 题
3.1数系的扩充和复数的概念（第一课时）
教学内容分析
复数是本章的核心概念，复数概念的诞生充分体现了人类理性思维的魅力，在复数概念、复数代数形式的四则运算的研究过程中充分运用了类比、对比等研究方法，渗透了化归、分类讨论等数学思想方法。本节是本章第一节第一课时，在引入复数之前在具体问题情境中展现了数系的扩充过程，让学生了解引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部矛盾对数学发展的推动作用。
五、课堂小结
1、回顾本节学习内容，构建知识框架，针对某一环节谈谈学习体会或收获。
2、通过本节课对数学史的介绍，体会数学对解决实际问题的重要作用及数学学科的发展性，通过学习实数系向复数系的扩充，体会类比这一重要的数学思想在数学研究中的作用。通过本节的学习，能在今后遇到问题时尝试分析问题，解决问题。
通过小结，使学生对本节内容有一个系统、全面的认识。
2、复数代数形式的理解
可以把复数的代数形式理解为两个部分的代数和，一部分是实数，一部分是带虚数 的部分，这里 的取值就决定了 表示一个什么样的数。
3、探究复数的分类
学生活动2：观察上述举例的数，观察这些数在形式上的不同之处，当 取不同的值时 可以表示哪些数，从不同形式上可以分成几类？
师ห้องสมุดไป่ตู้问生，完善补充，师并给分类做定义，借助Venn图直观展示数集的扩充之后集合间的关系。
数系的扩充和复数的概念教学设计
数系的扩充和复数的概念教学设计1. 引言在数学的世界里，数系就像是一条漫长的河流，我们每个人都是这条河流上的小船。
今天，我们要聊的是这条河流的扩展，尤其是复数的概念。
让我们一起“扬帆起航”，探寻数系的奥秘吧！2. 数系的扩充2.1 从自然数到整数首先，我们来回顾一下，数系的起点是自然数，也就是大家熟悉的1、2、3、4……这就是我们平时用来计数的基本数字。
可是，当我们遇到像1、2这种情况时，自然数就显得有些“力不从心”了。
这时，整数登场啦！整数包括了自然数和它们的负数，比如1、0、1、2、3等等。
这样一来，我们的数系就更加全面了。
2.2 从整数到有理数接下来，我们来看看有理数。
有理数的概念其实不难理解，它就是可以表示成两个整数之比的数。
举个例子，1/2、3/4这些都是有理数。
有理数的出现，让我们不仅可以处理整数量，还可以处理分数。
它就像是为我们的数系加上了一层新色彩。
2.3 从有理数到无理数不过，有时候我们还会遇到一些数，它们不能用两个整数之比来表示，比如√2、π。
这些数叫做无理数。
无理数的出现，就像给我们的数系带来了些许“神秘感”，它们让我们感受到数学的无限与奇妙。
3. 复数的引入3.1 复数的由来现在，我们进入了今天的重头戏：复数。
复数的诞生，是为了应对一些我们无法用实数解决的问题。
比如，方程x² + 1 = 0就没有实数解。
于是，复数的“英雄”——虚数单位i登场啦！i的平方等于1，这个看似“疯狂”的设定，让我们能够解决更多数学难题。
3.2 复数的基本概念复数其实很简单，它由两个部分组成：实数部分和虚数部分。
比如，3 + 4i就是一个复数，它的实数部分是3，虚数部分是4i。
这样一来，我们就可以用复数处理更多复杂的数学问题了。
复数的引入，犹如为数学的“工具箱”增加了新工具，让它变得更加全面。
4. 教学设计建议4.1 形象化教学为了让学生们更好地理解复数，可以使用一些形象化的教学方法。
比如，使用图像将复数表示在平面上，直观地展示复数的实部和虚部。
《数系的扩充和复数的概念》教学设计
数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析1.内容从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.2.内容解析复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识．复数与平面向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础. 复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用.在数学中，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 从实数系向复数系扩充，同样要符合这样的规则．复数概念的引入，从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，发现数系扩充中体现出的“规则”；进而在“规则”的引导下，考虑为使方程有解，引入新数i，从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集．这一过程，通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.复数的概念是整个复数内容的基础.复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的提出，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi实质上是有序实数对(a,b). 通过对复数实质的揭示，为后续复数的几何意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备. 因此，复数的概念，对本章具有奠基性的作用.基于以上分析，确定本节课的教学重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.二、目标和目标解析1. 目标（1）了解引入复数的必要性；（2）了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养；（3）理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的含义.2. 目标解析达成目标（1）的标志是：能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用.达成目标（2）的标志是：学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则”，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用.达成目标（3）的标志是：学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题.三、教学问题诊断分析学生在学习本节课内容之前，在义务教育阶段已经经历了从自然数到实数的扩充过程，对数系的扩充有了一定的认识，知道数系扩充后，新的数系能够解决在原有数系中无法解决的一些解方程问题（如引入无理数，把有理数系扩充到实数系后，可以解决方程的解这样的问题等），因此当遇到像这样的方程的解的问题时，通过引导启发，学生能够联想到对现有的实数系进行进一步扩充，从而使方程有解.学生在前面的学习中，也已多次利用过类比的方法来研究数学问题，这为本节课类比有理数系扩充到实数系的过程和方法，将实数系扩充到复数系提供了可能.学生在学习时可能出现的障碍为：（1）因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中,如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味,学生不易接受.（2）由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难.（3）学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数表示.突破难点的策略：（1）适当介绍数的发展简史，增强学生学习的趣味性和生动性.（2）通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引入复数的必要性和合理性.（3）引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示方法，经历复数形式化的过程.四、教学过程设计（一）创设情境，引出研究内容创设情境：我们知道，对于实系数一元二次方程时没有实数根. 因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决. 事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避. 直到1545年，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，用求根公式、因式分解法两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时，得到了无法理解的结果，于是再也无法回避这个问题.例如，求解时，利用三次方程的求根公式可以得出三个根或；而通过因式分解，得，因此方程的三个根为这个在当时无法理解的等式，数学家们就去尝试研究诸如的问题.在解决这些问题的过程中，他们遇到的最大困扰就是，负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？师生活动：以教师引导为主，主要介绍历史上，数学家们经过了反复的研究探索，将实数系进一步扩充，引入了一种新的数——复数，从而将实数系扩充到复数系，解决了负数开平方的问题，本章我们就来研究复数. 本节课我们先类比自然数集逐步扩充到实数集的过程和方法，研究如何把实数集扩充到复数集，学习复数的有关概念，后续我们还要继续研究复数的几何意义，复数的四则运算以及复数的三角表示等.设计意图：通过对复数发展历史的简要介绍，特别是三次方程根的问题的介绍，引发学生的认知冲突，激发学生对数系扩充过程的兴趣，并点出本节课的主要内容，进而简要介绍本章的学习内容，使学生对本章的知识脉络有大致认识.（二）归结为方程求解问题，梳理数系扩充的“规则”问题1从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程是否有解，也就是是否有解的问题．思考一下，能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程是否有解的问题呢？追问我们知道，在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，是否能引入新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？师生活动：教师进一步引导：下面，我们就类比从自然数集到实数集的扩充过程，尝试引入新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解．引入什么数，如何扩充实数集？这就是我们今天所要研究的问题.设计意图：通过问题1，将历史上的负数能否开平方的问题转化为方程是否有解的问题，为后续从解方程的角度研究数系的扩充做好铺垫，同时也让学生认识到数学中的复杂问题都可以通过转化与化归的方法，转化为基本问题.通过追问，点出本节课的主要任务，以及研究的思路和方法．问题2 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系. 回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？（1）在自然数集中求方程x+1=0的解；（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；（3）在有理数集中求方程的解；师生活动：教师提出问题，学生分组讨论，从两个角度思考问题，可让一半学生侧重讨论解决的实际问题，另一半学生侧重讨论解决的数学问题，教师参加到讨论之中，对学生讨论中的不足之处教师补充说明，讨论后，学生交流互动，师生共同归纳总结出结论.预设答案：（1）从社会实践来看，数系的扩充是为了满足生活和生产实践的需要.计数的需要产生了自然数，有了自然数系；自然数系中不能刻画具有相反意义的量，于是引入了负整数，将自然数系扩充到了整数系；整数系中不能解决测量中的一些等分等问题，于是引入了分数，将整数系扩充到了有理数系；有理数系中无法解决正方形对角线长的度量等问题，于是引入了无理数，这样便将有理数系扩充到了实数系.（2）从数学发展本身来看，数系的扩充也是数学本身发展的需要．方程x+1=0在自然数集N内无解，引入负整数后，它在整数集Z 内便有解x=-1；方程2x-1=0在整数集Z内无解，引入分数后，它在有理数集Q内便有解在有理数集Q内无解，引入无理数后，它在实数集R内便有解.教师板书：设计意图：通过数的发展历史，抓住知识的“生长点”和学生的“最近发展区”，使学生了解数的产生以及数系的不断扩充是基于两方面原因：社会生产实践的需要和数学自身发展的需要.问题3可以看出，数集的每一次扩充，都是在原来数集的基础上添加“新数”得到的，引入新数就要引入新运算，如果没有运算，数集中的数只是一个个孤立的符号. 加法和乘法运算是上述数系中最基本的运算（减法、除法运算分别可以转化成加法、乘法运算）．梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，数系的每一次扩充，加法和乘法运算满足的＂性质＂有一致性吗？由此你能梳理数系扩充遵循的“规则”吗？师生活动：教师引导分析，从自然数集扩充到整数集时，原来在自然数集中规定的加法和乘法运算法则和运算律在整数集中仍然成立；进而学生小组讨论，探求从整数集到有理数集以及从有理数集到实数集的扩充中，加法和乘法满足的“性质”，教师要特别强调从有理数集扩充到实数集满足的“性质”.师生共同总结这些性质的一致性，得出数系扩充的＂规则＂：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.教师继续板书：设计意图：梳理数系扩充过程和方法的“一致性”，总结数系扩充的一般“规则”，为后续实数系的进一步扩充提供方法，进而突破本节课的难点.（三）依据规则，扩充实数集，引入复数问题4方程在实数系中无解，类比从自然数系扩充到实数系的扩充过程，特别是从有理数系扩充到实数系的过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？师生活动：学生思考回答：可以添加新数，对实数集进行扩充，并且添加新数后的新的数集中的加法和乘法运算，与实数集中加法和乘法运算协调一致，并且运算律保持不变.追问：引入一个什么样的数呢？师生活动：教师通过信息技术制作的课件介绍虚数的引入历史，并给出虚数的概念. 我们可以引入一个数“i”，使，这样x=i就是方程的解. 因为历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.所以，我们把这个数称为“虚数单位”.设计意图：教师介绍与虚数单位i有关的历史，激发学生的学习兴趣，强化对i的认识．问题5把新引进的数i添加到实数集中后，我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”，对实数系进行进一步扩充．那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？师生活动：教师引导，可以类比有理数系扩充到实数系的过程与方法，以及实数系新数的形式，如等具体的数.教师引导学生归纳：新数集中的数是由原来的实数和新引入的虚数i经过适当“组合”而成的，构成的方法就是将实数和i进行运算，组成新数，这里主要进行的是i和实数之间的加法、乘法运算，因为按照我们前面总结的规则：新数集中规定的加法和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且运算律仍然成立. 这样我们就可以把实数a与新引入的数i相加，得到a+i；把实数b与i相乘，得到bi；把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到a+bi. 因为我们是要得到新数集中所有数的基本表示形式（即a+bi的形式），所以这里都只进行最基本的形式上的运算即可，至于等形式，它们不是最基本的形式，在后续的复数运算中再去研究，它们也能化为a+bi的形式.追问1你能写出一个形式，把刚才大家所说的数都包含在内，并说明理由吗？师生活动：学生思考回答，所有新数集中的数都可以写成a+bi（a，b∈R）的形式，因为.追问2 你能写出新数集的集合吗？师生活动：学生口述，教师板书：C={a+bi|a，b∈R}.设计意图：通过问题5和追问1，2，引导学生类比自然数到实数不断扩充过程中所遵循的规则，根据“运算”和“运算律”，由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式和复数集，让学生体会数系扩充过程中理性思维的作用，以及数学形式化、符号化的过程，突破本节课的难点，提升学生逻辑推理、抽象概括素养．问题6阅读教科书，回答以下问题：（1）复数a+bi（a，b∈R）的虚数单位、实部、虚部分别是指什么？（2）什么是虚数和纯虚数？试举出具体例子．师生活动：教师提出问题，学生独立阅读教科书，阅读之后回答问题．（1）学生口答：a是复数的实部，b是复数的虚部．教师强调应注意限制条件a，b∈R，另外复数a+bi的虚部是b而不是bi．（2）学生口答，当.设计意图：通过问题引导，指导学生阅读教科书，思考并回答问题，明确复数的基本概念，培养阅读教科书的习惯和阅读理解能力.问题7 我们知道复数集是由形如a+bi（a，b∈R）的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，请阅读教科书，说说两个复数a+bi和c+di(a，b,c,d∈R)相等的含义．师生活动：学生阅读教科书后作答．教师引导：一个复数由实部和虚部唯一确定，所以判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等.进而教师给出两个复数相等的定义并板书. 复数a+bi与c+di相等当且仅当a=c 且b=d.追问1 由复数相等的含义知，两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部都分别相等，也就是：复数由它的实部和虚部唯一确定．回忆一下，复数的这个特征与你以前遇到过什么数学对象类似？由此，你能进一步刻画复数的特征吗？师生活动：教师引导，学生思考、讨论，得出：复数的这个特征与平面上点的坐标，平面向量的坐标等类似，因此复数a+bi（a，b∈R），可以看成是一个有序实数对(a,b).追问2 复数是实数的充要条件是什么？a+bi的充要条件是什么？师生活动：学生思考回答，教师补充完善. 对于复数a+bi（a，b∈R），易得当且仅当b=0时，它是实数；a+bi=0即a+bi=0+0i，由复数相等的含义，推导可得：当且仅当a=0,b=0时，复数a+bi=0.教师总结：实际上，复数相等的含义，不仅是判断两个复数相等的依据，也是求某些复数值的依据，即利用复数相等的定义，可以得到关于实数的方程（组），通过解方程（组）得到a,b的值. 教师在此处也可以指出：一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数都是实数时才能比较大小.设计意图：从保证集合中元素的互异性（确定性）出发，引出在实数集中引入新对象后，要研究两个新数相等的含义，进而给出两个复数相等的含义，并由复数相等的定义出发，得到复数实质上是一个有序实数对，为研究复数的几何意义以及复数的三角表示奠定基础.问题8 我们已经将实数集扩充到复数集，那么复数集C和实数集R之间有什么关系？你能对复数a+bi（a，b∈R）进行分类，并用Venn图表示吗？师生活动：学生思考并写在练习本上，教师巡视指导，用多媒体等设备交流展示学生作品.教师指出实数集R是复数集C的真子集，也体现了数系扩充的规律之一：新数集包含原来的数集.设计意图：引导学生弄清楚复数集和实数集之间的关系以及复数的分类，深化学生对复数集是实数集的“扩充”以及对复数的理解．（四）精选例题，强化理解应用例1请你说出下列集合之间的关系：N，Z，Q，R，C．例2写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．例3当实数m取什么值时，复数是下列各数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.例4已知(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数x,y的值．师生活动：教师用PPT展示例题. 例1，例2学生思考、口答，教师点评.例3，例4，学生思考，独立完成后用多媒体交流展示，教师点评并规范解题步骤.设计意图：例1主要让学生巩固数集之间的关系，完善认知结构；例2，例3主要是帮助学生巩固复数的分类标准，加深对复数概念的理解；例4主要是强化复数相等的含义，让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的功效．（五）反思总结，提炼学习收获问题10通过本节课的学习，你有哪些收获？试着从知识、方法、数学思想、经验等方面谈一谈.师生活动：学生思考回答，教师补充完善.预设答案：知识方面：了解了数系扩充的基本“规则”，复数的基本概念（复数、实部、虚部、虚数、纯虚数等）、两个复数相等的含义、复数的分类等；思想方法方面：实数系扩充到复数系运用了类比的研究方法，解决复数相等问题运用了转化的数学思想等；经验：研究新的数学问题可以类比已学过的问题.设计意图：通过对数系扩充规则、扩充过程以及复数相关概念等知识和方法的总结，使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识，一方面深化对复数知识的理解，另一方面总结研究方法，积累研究数学问题的经验.（六）布置作业教科书习题7.1第1，2，3题.五、目标检测设计1.a=0是复数（a，b∈R）为纯虚数的（）.（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分条件也非必要条件设计意图：考查学生对复数概念的理解.2.当实数m取什么值时，复数是下列数？（1）实数；（2）纯虚数；（3）0.设计意图：考查学生对复数基本概念和复数相等含义的理解.3.求适合下列方程的实数x与y的值：（1）(x+y-3)+(x-4)i=0；（2）(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i．设计意图：考查学生利用两个复数相等的含义解决简单数学问题的能力．。
3.1《数系的扩充和复数的概念》教案(新人教选修2-2)
普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]3.1.1实数系教学目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
教学重点：了解数系的扩充过程教学过程一、引入新课（一）认识数的概念的发展的动力从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面。
①解决实际问题的需要由于计数的需要产生了自然数；为了表示具有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生了无理数（既无限不循环小数）。
②解方程的需要。
为了使方程有解，就引进了负数；为了使方程有解，就要引进分数；为了使方程有解，就要引进无理数。
引进无理数后，我们已经能使方程永远有解，但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解。
为了使方程（）有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数。
（二）注意数的概念在扩大时要遵循的原则第一，要能解决实际问题中或数学内部的矛盾。
现在要解决的就是在实数集中，方程无解这一矛盾。
第二，要尽量地保留原有数集（现在是实数集）的性质，特别是它的运算性质。
（三）正确确认识数集之间的关系①有理数就是一切形如的数，其中，所以有理数集实际就是分数集．②“循环节不为0的循环小数也都是有理数”．③｛有理数｝=｛分数｝=｛循环小数｝，｛实数｝=｛小数｝．④自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C之间有如下的包含关系：课堂练习：第93页练习课后作业：略3.1.2复数的概念教学目标：理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件教学重点：理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件教学过程二、复习：实数系三、引入新课：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i !3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7、例子例1实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？［分析］因为m ∈R ，所以m +1，m －1都是实数，由复数z =a +bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值.解：(1)当m －1=0，即m =1时，复数z 是实数；(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；(3)当m +1=0，且m －1≠0时，即m =－1时，复数z 是纯虚数.例2 已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .解：根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x ，所以x =25，y =4 课堂练习：第96页练习课后作业：第100页习题A:1,2,33.1.3复数的几何意义教学目标：了解复数的代数表示法及其几何意义教学重点：了解复数的代数表示法及其几何意义教学过程一、复习： 1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i !3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小二、引入新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数课堂练习：第99页练习课后作业：第100页习题A:4,5,8。
人教版选修22数系的扩充和复数的概念教案.docx
数系的扩充和复数的概念［教学目标］1.理解数系的扩充过程并明白引进复数单位的必要性2.理解在数系扩充中的实数集拓展到复数集出现的一些概念3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充分必要条件［教学重难点］重点：复数的概念难点：复数的相等与分类［学法］教师引导小组合作交流，自主学习归纳［教具］PPT、黑板、课本、导学案教学环节教师活动学生活动设计意图根据学习目标自我预习在PPT展示学习目标学生通过自我预习，白我标记，圈出重点，对新内容有了一些理解体现先学后教的教学思想设疑导入1 .什么是自然数集？0,1,2,3…2.在自然数集中解X + 2 = 0, 无解，添加负整数，得X = -23 •在整数集内解3X + 2 = 0, 无解，添加分数，得x = |4.在有理数集内解X2 - 2 = 0 无解，添加无理数，X = ±25 •在实数集内解X2 + 1 = 0 无解，我们应该怎么解？学生循序渐进完成黑板的问题，逐渐明白数系扩充的过程，集体参与冋答，问题虽然简单，但限制了了解数系的扩充过程，反映了牛活实际的需求与数学内部的矛盾复数＜实数＜V(有理数＜1r (白杪務(正整数整数自然数1零(负整数、分数无理数虚数条件，就会引导学生思考多元互动对这个在实数集内解/+1=0怎么解？规定：①* = -1②实数与i可以进行四则运算，让学生进行举例，加减乘除法分别举一个例子i+1 写成1+bi2i写成0+2i1-i 写成1-1-i93写成0+扌i请同学们思考一下，以上可以写成什么形式呢？有些学生就喊道写成“a+bi”形势小组讨论，提问冋答问题从这个过程中理解复数的概念，加深预习过后的理解二、复数的概念定义：把形如a+bi (a, b€R)的数叫作复数，通常用字母Z表示，全体复数组成的集合叫做复数集，记作C, C二{a + bi|a,b G R}通过以上推理得出复数概念，是师生互动，集思广益的结果，体现了课堂的高协同.Z = a + bi其中a表示复数Z的实部，b表示复数Z 的虚部.立即叫学生举例子，另一个学生回答实部虚部分别是什么，例如学生举例3+2i,-0・2i,学生自己当老师，体会出题的快乐，另一个学生答题，增进学生参与及积极性，提高学习兴趣，提问式参与学习学生在参与过程中也学会了复数的基本概念另一个学生回答实部分别为3,0:；虚部分别为2, -0. 2.练习是课本的104页，练习第…题：说出下列的复数的实部和虚部-2 + § i, V2 + i, —»—V3i, i, 0问题：复数相等，在复数集中任找两个复数分别为a+bi和c+di,当满足什么条件的吋候这两个复数相等呢？立即进行练习在课本的104页，练习3(x + y) + (y — l)i = (2x + 3y) + (2y + l)i, 求实数x, y的值. 每个小组经过讨论后安排一个人把这个结果讲出来和上黑板写出来，之后通过对比比较引导得出正确的结论，学牛上黑板板演.让每一个学生参与小组合作学习，体骑参与的快乐思考：复数集C和实数集RZ间有什么关系？两个复数是否可以比较大小？自我思考独立完成，小组讨论，大胆猜想营造轻松愉快的学习气氛并学得知识问题：复数a+bi (a, beR)如何分类教师活动：复数a( 实数(b = 0)+ "虚数(b胡纯虚数(―1 1非纯虚数(a工O,b工0)小组讨论，师共同总结合作交流，自主探究，加深对复数的分类理解下面打开课本104页做练习2,哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？2 + V7, 0.618,扌i,0,i」2,5i + 8,3—9V2i,i(l-V3),V2-V2i,学生自主完成习题加深对复数分类的理解总结提升一.复数的概念二.复数相等三.复数的分类学生分组讨论，总结提升小组讨论合作学习，在参与中学到知识，让明白参与合作学习的意义和好处反思：简易的问题的开篇，让学生立刻感到良好的学习气氛，已经激情，融情于景，根据历史发展的一般规律通过问题的形式探究数系扩充过程，激发学生的求知欲，将课堂还给学牛，学牛才是课堂的主人，教师引导小组活动合作交流，最大限度调动学生的主动性和积极性，让学生学会参与，乐于参与.。
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§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案
李 志 文
【教学目标】
知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念
过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法.
2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于
新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念.
情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创
新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;
2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和
处理问题。
【重点难点】
重点: 理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念．
难点：复数的有关概念及应用．
【学法指导】
1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义；
2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习
奠定方法基础.
【知识链接】
前两个学段学习的数系的扩充：
但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，
没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使
这个方程有解吗？
Q
N
Z
R
人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就
产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数
的全体构成自然数集N
为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，
人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z.
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，
人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q.
用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有
理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有
理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.
N
x2=－1，x=?
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【问题探究】
探究一、复数的引入
引导1：由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，并规定：
（1）2i1 ；
（2）实数可以与i进行加法和乘法运算：
实数a与数i相加记为：ia；
实数b与数i相乘记为：bi；
实数a与实数b和i相乘的结果相加记为：bia；
（3）实数与i进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。
引导2:复数的有关概念：
（1）我们把形如biaRba,的数叫做复数，其中i叫做 虚数单位 ，
全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．．字母 C 表示。
（2）复数的代数形式：
复数通常用小写字母z表示，即biazRba,，这一表示形
式叫做复数的代数形式，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部。
例1请说出复数ii31,5,32的实部和虚部。
引导:考虑复数的有关概念.对于复数,zabiabR，a叫实部，b叫虚部.
解：
变式再练：请说出复数)12(,231,0,6,84iii的实部和虚部。
点拨：当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时，可以适当地引入一些新的规定，譬
如这里我们引入的数i及引入数i后实数与i进行加法和乘法时的运算律，但是切记引入
的规定要合理，要有一定的依据基础.
；，虚部是的实部是虚部是的实部是；，虚部是的实部是31031;0,553232i
i
.120)12(5;23212314066300024884)1(，虚部是的实部是）（，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是）（；，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是解：i
i
i
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探究二、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系
对于复数,zabiabR：
当且仅当0b时，复数z表示 实数
当0b时，复数z叫做 虚数
当0,0ba时，复数z叫做 纯虚数
你能用图表的形式将复数、实数、纯虚数的关系形象的表示出来吗？
例2 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
72，618.0，i72，0，i，2i，85i，i293
实数：
虚数：
纯虚数：
例3 实数m分别取什么值时，复数immz11是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
引导:因为mR，所以1m，1m都是实数，由复数,zabiabR是实数、虚数、
纯虚数的条件可以确定实数m的值．
解：
变式再练1：当取何实数时，复数immz)1(12是：
（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零
解：（1）z为实数，则101mm即 （2）z为虚数，则101mm即
（3）z为纯虚数，则11101012mmmmm
（4）z为0 则
11101012m
m
m
m
m
复数集
（ 虚数集 ）
（ 实数集 ）
（纯虚数集）
2
,0,618.0,72i
iiii293,85,,72
ii,
7
2
（1）z为实数，则 m-1=0 即 m=1
（2）z为虚数，则
101mm即
（3）z为纯虚数，则
10101mmm，即且
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变式再练2：若复数immmm36522为纯虚数，试求实数m的值.
提示：由复数,zabiabR是纯虚数的条件可以确定实数m的值.
解：由题意：230320306522mmmmmmmmm且或
探究三、复数集与其它数集之间的关系：
N Z Q R C.
【总结提升】
1.复数的引入，体现了数系扩充的必要性及现实意义；给出的相关规定体现了数系扩充
后运算的封闭性，同时体现了规定的合理性；
2.复数的有关概念是学习复数的基础，学习时需根据复数是由其实部和虚部共同决定的这
一特征理解记忆.
【总结反思】
知识 .
重点 .
能力与思想方法 .
Z
N
R
C
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【自我评价】你完成本学案的情况为( )
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差