1.数系的扩充与复数的引入(一)

(4)当kk22－－53kk－－64＝＝00， 时，z＝0，解得 k＝－1.
题型三 两个复数相等 例3 (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值. 解 ∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴x2－y2＝0， 2xy＝2，
解得xy＝ ＝11， ，
或yx＝＝－－11.，
(2)关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 a 的值.
答案 4.
题型一 复数的概念 例1 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数. ①2＋3i； 解 实部为2，虚部为3，是虚数；
②－3＋12i； 解 实部为－3，虚部为12，是虚数； ③ 2＋i；
解 实部为 2，虚部为 1，是虚数；
④π； 解 实部为π，虚部为0，是实数； ⑤－ 3i； 解 实部为 0，虚部为－ 3，是纯虚数； ⑥0. 解 实部为0，虚部为0，是实数.
知识点三 复数相等
复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔
a＝c且b＝d .即它们的实
部与虚部分别对应相等.
思考 若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝0，则a＋b的值为多少？
答案 0；
(2)若复数z1，z2为z1＝3＋ai(a∈R)，z2＝b＋i(b∈R)，且z1＝z2，则a＋b的值为 多少？
反思与感悟
复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫作复数的实部和虚部.特别注意， b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫作复数的虚部.
跟踪训练1 下列命题中，正确命题的个数是( A )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
5－m≠1，
解得 m＝2.
反思与感悟
将复数化成代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的分类：当b＝0时，z为 实数；当b≠0时，z为虚数；特别地，当b≠0，a＝0时，z为纯虚数，由此 解决有关复数分类的参数求解问题.
跟踪训练2 实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实 数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零. 解 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1. (2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1. (3)当kk22－－53kk－－64≠＝00， 时，z 是纯虚数，解得 k＝4.
2
(1)若z是虚数，求m的取值范围；
解 因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，
m－1＞0， m 应满足的条件是5－m＞0，
5－m≠1，
解得 1＜m＜5，且 m≠4.
(2)若z是纯虚数，求m的值.
解 因为z是纯虚数，故其实部 log(1m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，
2
m－1＝1， m 应满足的条件是5－m＞0，
2.复数的分类及包含关系 (1)复数(a＋bi，a，b∈R)
实数b＝0 虚数b≠0纯 非虚 纯数 虚数a＝a0≠ 0 (2)集合表示：
思考 (1)两个复数一定能比较大小吗？ 答案 不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小. (2)复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？ 答案 不一定，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部才是a，虚部才是b.
知识点二 复数的概念、分类 1.复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi的数叫作复数，其中a，b∈R，i叫作虚数单位. a叫作复数的 实部，b叫作复数的虚部. (2)复数的表示方法：复数通常用字母 z表示，即 z＝a＋bi. (3)复数集定义：复数的全体组成的集合叫作复数集，通常用大写字母C 表示.
对于不等式 3x－1－x＞0，x＝1 满足，x＝3 不满足，故 x＝1.
Hale Waihona Puke ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A.0 B.1
C.2
D.3
解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等
的充要条件，所以①是假命题.
②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.
③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.
题型二 复数的分类
例2 设z＝ log 1(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).
思考 分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25. 答案 在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5). 在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5) ＝(x2＋5)(x＋ 5)(x－ 5). 在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5) ＝(x2＋5)(x＋ 5)(x－ 5) ＝(x＋ 5i)(x－ 5i)(x＋ 5)(x－ 5).
第五章 数系的扩充与复数的引入
§1 数系的扩充与复数的引入(一)
学习 目标
1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i. 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.
知识点一 复数的引入 在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样 的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i， 使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到 实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的 结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数 集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R) 这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数 集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为 虚数单位 .
解 设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为 3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
解得
a＝11
或
a＝－751.
反思与感悟
两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等 的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.
跟踪训练 3 已知复数 z＝ 3x－1－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数 x 的值. 解 ∵z＞0，∴z∈R， ∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3. ∵z＞0，∴ 3x－1－x＞0，且 x2－4x＋3＝0.