高中数学复数专题知识点整理和总结人教版
高三复数的知识点归纳总结
高三复数的知识点归纳总结复数在高中数学中是一个重要的概念，它涉及到实数的扩充，提供了更广阔的数学思维空间。
复数的理解和运算是高三数学学习中必备的知识点，下面对高三复数的知识点进行归纳总结。
1. 复数的定义和表示方法复数由实部和虚部组成，用a+bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
实部和虚部都是实数。
实部为0时，复数为纯虚数，形如bi。
虚部为0时，复数为实数，形如a。
2. 复数的相等性两个复数相等的条件是它们的实部相等且虚部相等，即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d。
3. 复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，只需将实部和虚部分别相加或相减即可。
4. 复数的乘法复数的乘法遵循分配律和乘法公式。
当两个复数相乘时，将实部和虚部按照乘法公式展开计算，并应用i^2=-1进行简化。
5. 复数的除法复数的除法通过乘以共轭复数实现。
将除数和被除数同时乘以除数的共轭复数，并应用i^2=-1进行简化。
6. 复数的模复数的模表示复数到原点的距离，用|z|表示，其中z=a+bi为复数。
复数的模定义为|z|=√(a^2+b^2)。
7. 复数的幅角复数的幅角表示复数与正实轴之间的夹角，用arg(z)表示，其中z=a+bi为复数。
复数的幅角可以用三角函数计算，即arg(z)=arctan(b/a)。
8. 欧拉公式欧拉公式是复数运算中的一个重要公式，它建立了复数与三角函数之间的联系。
欧拉公式表示为e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中e为自然对数的底，i为虚数单位。
9. 求解复数方程求解复数方程时，可以利用已学的代数方法解方程，例如使用因式分解、配方法等。
在解方程的过程中，要注意实部和虚部分别相等。
10. 复数的应用复数在高等数学和物理学中有广泛的应用，例如电路分析、信号处理、谐振等领域。
复数的运算和性质为求解和分析这些问题提供了便利。
通过对高三复数的知识点进行归纳总结，我们对复数的定义和表示、加减乘除运算、模和幅角、欧拉公式以及应用有了更深入的理解。
数学复数高考知识点总结
数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。
1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。
1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。
1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。
二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。
2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。
2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。
2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。
高三复数的知识点归纳总结
高三复数的知识点归纳总结一、复数的概念复数是指由一个实数和一个虚数共同构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
在复数中，实部为a，虚部为b。
二、复数的表示方法1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：z=r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角3. 指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，e为自然对数的底三、复数的加减乘除1. 加减法：复数相加或相减，实部和虚部分别相加或相减2. 乘法：使用分配律相乘，然后利用i^2=-1进行计算3. 除法：将分母有理化后，再进行乘法的逆运算四、复数的几何意义1. 复数在平面直角坐标系中的表示2. 复数在极坐标系中的表示3. 复平面上的旋转五、共轭复数1. 共轭复数的定义2. 共轭复数的性质3. 共轭复数的几何意义六、模与辐角1. 复数的模的定义2. 复数的模的性质3. 复数的辐角的定义4. 复数的辐角的性质七、欧拉公式1. 欧拉公式的表达式2. 欧拉公式的几何意义3. 欧拉公式的重要性八、复数的方程1. 一元一次复数方程2. 一元二次复数方程3. 复数方程的解法及应用九、复数的应用1. 复数在电学中的应用2. 复数在力学中的应用3. 复数在信号处理中的应用十、复数的常见问题解析1. 关于共轭复数的应用问题2. 关于复数模和辐角的应用问题3. 复数方程的解法与应用十一、复数的图示通过在复数平面上显示几何图形，如复数的绝对值和幅角，显示虚数、复数和实数，这将有助于进一步理解这一主题。
十二、复数的补充知识点1. 复数的讨论2. 复数的等价3. 虚数单位i的应用和推理十三、复数的实际应用举例通过真实问题的应用案例，加深对复数知识点的理解和理论的实际应用。
在高三的数学学习中，复数是一个非常重要的内容。
它不仅是数学知识的一个重要部分，也是物理、工程和其他领域的基础。
掌握复数的知识对于学生继续深入学习数学和其他相关科学领域都有着非常重要的意义。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、基本概念复数是指由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。
实数是指具有有限位小数的数或无理数，而虚数是不能用实数表示的数。
二、复数的表示法复数有一般式、三角式和指数式三种表示法。
1. 一般式：a + bi其中 a 表示实部，b 表示虚部。
2. 三角式：r(cosθ + i sinθ)其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角或幅角。
3. 指数式：re^(iθ)其中 r 表示复数的模，e 是自然对数的底数，θ 表示复数的幅角。
三、基本运算1. 加法(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i即实部相加，虚部相加。
2. 减法(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i即实部相减，虚部相减。
3. 乘法(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i即实数部分按照常规乘法规则计算，虚数部分交叉相乘。
4. 除法(a + bi) ÷ (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc - ad)/(c² + d²)i即分子分母同除以 c + di，然后将分子分母分别展开并化简。
5. 共轭复数(a + bi) 的共轭复数为 (a - bi)，共轭复数满足以下性质：a. 它们的实部相等。
b. 它们的虚部相等，但符号相反。
c. 一个复数与它的共轭复数的积等于这个复数的模的平方。
d. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。
四、复数的模和幅角1. 复数模|r|复数的模是指复数与原点之间的距离，可以用勾股定理求出。
|r| = √(a² + b²)2. 复数的幅角θ复数的幅角是指复数与正实轴正方向的夹角，可以用反正切函数求出。
高中数学复数专题知识点整理和总结人教版[1]
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【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）;复数的单位为i,它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数:当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数(2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3)共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；(4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ;（象限的复习）(5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+,222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++;（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
数学总结复数知识点归纳
数学总结复数知识点归纳一、复数的定义复数是数学中一种特殊的数。
它由实部和虚部组成，通常写成a+bi的形式，其中a和b 都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
例如，3+4i就是一个复数，其中实部是3，虚部是4。
复数既可以用代数形式表示，也可以用几何形式表示。
二、基本运算1. 复数加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 复数减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 复数乘法：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²= (ac - bd) + (ad+bc)i4. 复数除法：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)= (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)i/(c²+d²)三、幂指数形式1. 复数的幂指数形式表达：z = r(cosθ + isinθ) = r(e^(iθ))2. 复数的乘幂：z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ)) = r^n(e^(inθ))3. 复数的根：z^(1/n) = (r^(1/n))(cos((θ+2kπ)/n)+isin((θ+2kπ)/n))四、三角形式1. 三角形式的定义：z = r(cosθ + isinθ) = r∠θ2. 三角形式的加法：z₁ + z₂ = r₁(cosθ₁ + isinθ₁) + r₂(cosθ₂ + isinθ₂)= (r₁cosθ₁ + r₂cosθ₂) + i(r₁sinθ₁ + r₂sinθ₂)= r(cosθ+ isinθ)3. 三角形式的乘法：z₁ * z₂ = r₁∠θ₁ * r₂∠θ₂= r₁r₂∠(θ₁+θ₂)五、欧拉公式欧拉公式是数学中非常重要的公式，也被称为数学中最美丽的公式之一，它将三角函数、指数函数和虚数单位联系在了一起。
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专题一复数一．基本知识㈠复数的基本概念⑴ i 叫虚数单位，规定：① i 2=﹣ 1, ②实数的一切运算法则对 i 都成立。
⑵ i 的正整数指数幂的化简i 4n =i4n+1=i4n+2=i4n+3=⑶形如 ab，它的平方等于－，+ i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为 i1其中 a 叫做复数的实部， b 叫做虚部 . ①实数：当 b = 0 时复数 a + b i 为实数 ②虚数：当时的复数 a + bi 为虚数；③纯虚数：当 a = 0 且时的复数 a + b i 为纯虚数 .⑷两个复数相等的定义：a+bi=c+di ?a=c 且 b=d ;a+bi=0 ?a=0 且 b=0.强调：两个虚数不比较大小，也就是说：两个复数都是实数时才比较大小。
⑸共轭复数： z a bi 的共轭记作 za bi ；⑹复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面； z a bi ，对应点坐标为 p a,b；（象限的复习）⑺复数的模：对于复数 z a bi ，把 z a 2b 2 叫做复数 z 的模；㈡复数的基本运算设 z 1 a 1 b 1i ， z 2 a 2 b 2i（ 1） 加法： z 1 z 2a 1a 2b 1 b 2 i ；（ 2） 减法： z 1 z 2 a 1 a 2 b 1 b 2 i ；（ 3） 乘法： z 1 z 2 a 1a 2b 1b 2a 2b 1 a 1 b 2i 特别 z za 2b 2 。
（4） 除法：c di c di a biac bdadbc iza bi a bia 2b 2=a bi二． 例题分析【例 1】已知 za 1b 4 i ，求（ 1） 当 a, b 为何值时 z 为实数 （ 2） 当 a, b 为何值时 z 为纯虚数 （ 3） 当 a, b 为何值时 z 为虚数（ 4） 当 a, b 满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。
【变式 1】若复数为纯虚数，则实数的值为（）A ．B ．CD ．或（2）（ 2012 北京文 2）在复平面内，复数10i 对应的点的坐标为（ ）3 i（A ） (1,3)（ B ） (3,1) （ C ） ( 1,3) （ D ） (3, 1)【例 2】已知 z 1 3 4i ； z 2 a 3 b 4 i ，求当 a, b 为何值时 z 1=z 2【例 】已知 z1 i ，求z ， z z ；3【变式 1】 复数 z 满足 z2 i，则求 z 的共轭 z1 i－ 3+i (2 ）（ 2012 年新课标全国文2）复数 z ＝2+i 的共轭复数是（ ）（ A ） 2+i（ B ） 2－ i（C ）－ 1+i（ D ）－ 1－i3 i ，则 z ? z =（）【变式 2】（ 2010 年全国卷新课标） 已知复数 z3i) 2(1A.1B.1 42【例4】已知z 12 i ， z 23 2i（ 1） 求 z 1z 2 的值；（ 2） 求 z 1 z 2 的值；（ 3） 求 z 1 z 2 .【变式 1】已知复数 z 满足 z 2 i1 i ，求 z 的模 .【变式 2】若复数 1 ai 2是纯虚数，求复数 1 ai 的模 .【例 5】若复数 za3ia R （i 为虚数单位），1 2i（ 1） 若 z 为实数，求 a 的值（ 2） 当 z 为纯虚，求 a的值 .1. (2012年山东 1) 若复数 z 满足 z(2 i ) 11 7i(i 为虚数单位 ) ，则 z 为 （）(A)3+5i (B)3－ 5i(C) － 3+5i(D) － 3－ 5i2. （ 2013 全国理 2）若复数z 满足3 4i z 43i则 z 的虚部为（）（ A ）4（ B ）4（ C ） 4 45（ D ）53． (2013 北京，文 4) 在复平面内，复数 i(2 － i) 对应的点位于 ( ) ．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D．第四象限1 2i 4.(2013 课标全国Ⅰ，文 2)1 i2 ＝ () ．1 1 i1+ 1i1+ 1i1 1iA ．2B ．2C ．2D ．25． (2013 山东，文 1) 复数 z ＝2i 2(i 为虚数单位 ) ，则 | z | ＝ () ．iA ． 25B ．41 C ． 5 D ． 56.(2014 北京 9) 若 x i i1 2i x R ，则 x.7. （ 2014 年全国文 3）设 z1 i ，则 | z |i1A.1B.2 C.3 D. 22228. （ 2014 山东文 1）已知 a,b R ， i 是虚数单位，若 a i 与 2 bi 互为共轭复数，则(a bi )2（A ） 54i （ B ） 5 4i （ C ） 3 4i （ D ） 3 4i【例 6】（20122的四个命题：其中年全国卷新课标）下面是关于复数 z1i的真命题为（）p1 : z 2 p2 : z22i p3 : z 的共轭复数为 1i p4 : z 的虚部为1 ( A) p2, p3 (B) p1, p2 (C ) p , p(D ) p , p【变式 1】设a是实数，且a 1 i是实数，求 a 的值..1i2【变式 2】若z y3ix, y R 是实数，则实数xy的值是. 1xi【例 7】复数 z cos3 i sin3 对应的点位于第象限【变式 1】是虚数单位 , 等于 ()A．i B．-iC． 1D．-1【变式 2】已知 =2+i, 则复数 z=（）（ A） -1+3i (B)1-3i(C)3+i(D)3-i【变式 3】 i 是虚数单位，若，则乘积的值是（ A）－ 15（B）－3（C）3（D）15【例 8】（2012 年天津）复数z7i =（）3i（ A） 2 i（Ｂ） 2 i（Ｃ） 2i（Ｄ） 2 i【变式 4】（ 2007 年天津）已知i是虚数单位，2i3（）1 i Ａ 1 iＢ 1 iＣ 1 iＤ． 1 i【变式 5】 . （ 2011 年天津）已知i是虚数单位，复数13i =（）1i2 i2iC 1 2iD1 2iA B【变式 6】（ 2011 年天津）已知 i 是虚数单位，复数13i（）12i(A)1 ＋i (B)5 ＋5i (C)-5-5i (D)-1－ i【变式 7】 . （ 2008 年天津）已知i是虚数单位，则i3i1（）i1(A) 1 (B)1(C)i(D)i。
高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580教学内容
高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580专题二 复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 二． 例题分析 【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
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【1】复数的基本概念
（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部
实数：当b = 0时复数a + b i 为实数
虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；
纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数
（2）两个复数相等的定义：
00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且
（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）
（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；
【2】复数的基本运算
设111z a b i =+，222z a b i =+
（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；
（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；
（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅
【3】复数的化简
c di z a bi
+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22
ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b
=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi
+==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数
()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位），
(1)若z 为实数，求a 的值 (2)当z 为纯虚，求a 的值.
【变式1】设a 是实数，且112
a i i -++是实数，求a 的值.. 【变式2】若()3,1y i z x y R xi
+=∈+是实数，则实数xy 的值是 . 【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第 象限
【变式1】i 是虚数单位,41i ()1-i
+等于 ( ) A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1
【变式2】已知1i Z ＋=2+i,则复数z=（）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
【变式3】i 是虚数单位，若
17(,)2i a bi a b R i
+=+∈-，则乘积ab 的值是（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15【例8】（2012年天津）复数73i z i
-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- 【变式4】（2007年天津）已知i 是虚数单位，3
2i 1i
=- （ ） Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --
【变式5】.（2011年天津）已知i 是虚数单位，复数131i i
--= （ ） A 2i +B 2i -C 12i -+D 12i --
【变式6】（2011年天津） 已知i 是虚数单位，复数
1312i i -+=+（ ） (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i
【变式7】.（2008年天津）已知i 是虚数单位，则()=-+113i i i （ ） (A)1- (B)1 (C)i - (D)i。