【附答案或解析】九年级数学上册19.2+黄金分割课后零失误训练+北京课改版

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【附答案或解析】九年级数学上册19.5相似三角形的判定课后零失误训练(北京课改版)

19.5 相似三角形的判定基础能力训练★回归教材注重基础◆相似三角形的判定1.(2008·哈尔滨)已知菱形ABCD 的边长是6,点E 在直线AD 上,DE=3,联结BE 与对角线AC 相交于点M,则AMMC 的值是______. 2.如图19－5－4所示,E 是平行四边形ABCD 的一边BA 延长线上的一点,CE 交AD 于点F,图中共有______对相似三角形,按对应顶点写出图中的相似三角形____________________.3.如图19－5－5所示,已知△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 平分∠ABC,则BD=_______=_______.4.如图19－5－6所示,∠l=∠2,若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立,则这个条件可以是_______.5.如图19－5－7所示,△ACD 和△ABC 具备下列哪个条件时,它们相似( ) A.BC AB CD AC = B.ACBC AD CD = C.CB 2=AD ·BD D.AC 2=AD ·AB 6.用—个放大镜看一个直角三角形,该直角三角形的边长放大到原来的5倍后,下列结论正确的是( )A.每个内角是原来的5倍B.周长是原来的5倍C.面积是原来的5倍D.两条直角边的比值是原来的5倍7.下列条件能判别△ABC～△DEF 的是( )A.AB=4 cm,AC=3.2 cm,DE=2 cm,DF=1.6 cm,∠B=∠E=50°B.AB=6 cm,BC=9 cm,AC=7.5 cm,DE=8 cm,EF=12 cm.DF=10 cmC.∠A=∠D=70°,∠B =50°,∠E=60°D.∠B=∠E=90°,EFBC DF AB = 8.某班在布置新年联欢会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条,如图19－5－8所示,在Rt△ABC 中,∠C =90°,AC=30 cm,AB=50 cm,依次裁下宽为1 cm 的纸条a 1、a 2、a 3、…,若使裁得的矩形纸条长度不小于5 cm,则每张直角三角形彩纸能裁成矩形纸条的条数为( )A.24B.25C.26D.279.已知,如图19－5－9,Rt△∠ABC 和Rt△A′B′C′中∠C=∠C′=90°,''''C A AC B A AB =.△ABC 与△A′B′C′是否相似,并说明理由.10.如图19－5－10所示,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,∠1=∠2,∠3=∠4,指出图中哪些三角形相似,并说明理由.11.如图19－5－11所示,点C 、D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形.(1)当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时,△ACP ~△PDB?(2)当△ACP～△PDB 时,求∠APB.12.如图19－5－12所示,在△ABC中,AH是BC边上的高,四边形DEFG是△ABC的内接矩形,DG交AH于点I,则图中相似的三角形共有多少对?分别表示出来.13.如果两个三角形中有两边和其中一边上的高对应成比例,则这两个三角形相似吗?综合创新训练★登高望远课外拓展◆创新训练14.已知：如图19－5－13,在平面直角坐标系中,矩形AOBC有两个顶点的坐标分别是A(0,6),C(8,6),x轴的正半轴上有一动点E(E与B不重合),作直线AE交对角线OC于D,或AE与BC相交于点F.当点E在O、B间运动到某些位置时,作直线AE后,图中会出现相似不全等的三角形,请你把这个相似三角形写出来：_______；当E点运动到B点的右边时,请你写出此时图中三对相似而不全等的三角形：__________________.15.如图19－5－14所示,在△ABC中,AB=8 am,BC=16 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒钟△PBQ 与原△ABC相似?16.一个圆柱形油桶,半径为1米,高为1.5米,用一根2米长的木棒从桶盖小口斜插桶内,另一端在小口处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,试求：(1)油面的高度是多少?(2)桶内有油多少升?(1立方分米=1升,π取3.14,取后结果精确到1升)◆开放探索17.如图19－5－15,在△ABC 中,∠C=90°,P 为AB 上一点且点不与点A 重合.过点P 作PE⊥AB 交AC 边于E,点E 不与点C 重合.若AB=10,AC=8,设AP 的长为x,四边形PECB 的周长为y,试用x 的代数式表示y.参考答案1答案：2或32 解析：当点E 在线段AD 上时，如图(1)，因为AB ∥CD ，所以△ABE～△DFE.所以EDAE DF AB =，故DF=6.又因为△AMB ～△CMF ，所以2612===AB CF AM MC . 当点E 在线段AD 的延长线上时，如图(2)，容易得到△BCM ～△EAM ， ∴32366=+==AE BC AM MC .2答案：3 △EAF ～△EBC ，△EAF ～△CDF ，△EBC ～△CDF3答案：BC AD4答案：∠B=∠D ，或∠C=∠AED ，或AD ：AB=AE ：AC解析：本题实质就是构造使△ADE 与△ABC 相似的条件.5答案：D 解析：由AC 2=AD ·AB 可得AC AB AD AC =.又∠A=∠A ，所以△ACD ～△ABC.6答案：B7答案：B 解析：因为43===DF AC EF BC DE AB ，三边对应成比例，所以两三角形相似. 8答案：C 解析：设第n 条的长度恰好为5cm ，且该矩形纸条与AC 的交点为P 点，与AB 的交点为Q 点，则PQ=5cm ，设AP=x cm ，则△APQ ～△ACB,得BC PQ AC AP =，即40530=x ，解得：x=3.75， ∴CP=30－x=26.25.∵矩形宽为1 cm ，取整数，可知矩形纸条为26条.9答案：解析：相似，理由如下：∵''''C A AC B A AB =,∴''''C A B A AC AB =，两边平方，得2222''''C A B A AC AB =，所以222222''''''C A C A B A AC AC AB -=-，由勾股定理得2222C'A'''C B AC BC =，因为AC BC ，''''C A C B 均为正数，则C'A'''C B AC BC =，即''''C A AC C B BC =，而∠C=∠C ′=90°，故Rt △ABC ～Rt △A'B'C'. 10答案：解析：(1)△ABO ～△DCO ，因为∠1=∠2，∠AOB=∠DOC ，所以△ABO ～△DCO. (2)△AOD ～△BOC ，由(1)知△ABO ～△DCO ，则CO BO DO AO =.又因为∠AOD=∠BOC ，所以△AOD ～△BOC. (3)△ACD ～△BCE ，由(2)知△AOD ～△BOC ，则∠DAO=∠CBO ，又因为∠3=∠4，所以△ACD～△BCE.(4)△ABC ～△DEC ，因为∠3=∠4，所以∠3+∠ECO=∠4+∠ECO ，即∠BCA=∠ECD.又因为∠1=∠2，所以△ABC ～△DEC.11答案：解析：(1)∵△PCD 是等边三角形，∴PC=CD=PD ，∠PCD=∠PDC=60°，即∠PCA=∠PDB=120°，∴只要满足BD PC PD AC =，就有△ACP ～△PDB ，∴关系式为BDCD CD AC =或CD 2=AC ·BD. (2)∵△ACP ～△PDB ，∴∠1=∠A ，∠2=∠B.又∵∠PDC=∠1+∠B=60°，∴∠1+∠2=60°，∴∠APB=∠1+∠2+∠CPD=60°+60°=120°12答案：解析：7对，分别是△ADG～△ABC，△BDE～△BAH，△ADI～△ABH，△ADI～△DBE，△AIG～△AHC，△AIG～△GFE，△GFC～△AHC.13答案：解析：(1)当△ABC 和△A ′B ′C ′都是锐角三角形时，可得△ABC ～△A ′B ′C ′，如图①.(2)当两个三角形都是直角三角形时，也可得△ABC ～△A'B'C'.(3)当两个三角形都是钝角三角形时，如图②，可得△ABC ～△A'B'C'.(4)当△ABC 为锐角三角形，△A ′B ′C ′为钝角三角形.虽然两个三角形有两边和其中一边上的高对应成比例，但两个三角形不相似.如图③.14答案：△ADC ～△EDO △ADC ～△EDO ，△AOD ～△FCD ，△BEF ～△OEA ，△AFC ～△EAO 等等 15答案：解析：分两种情况，设经过x s △PBQ 与原△ABC 相似.(1)△BPQ ～△BAC ，则BC BQ BA BP =，即164828t t =-得t=2s ； (2)△BQP ～△BAC ，则BC BP BA BQ =，即162884t t -=得t=0.8s. ∴经过0.8s 或2s 时，△PBQ 与原△ABC 相似.16答案：(1)0.6米 (2)1 884升17答案：解析：∵PE ⊥AB ，∠C=90°，∴∠EPA=∠C=90°.又∵∠A 为公共角，∴△AEP~△ABC ，∴BCEP AC AP AB AE ==.又∵∠C=90°,AB=10，AC=8，可知BC=6. ∴6810PE x AE ==，∴x PE 43=，x AE 45=，x EC 458-=， BP=10－x ，∴242310645843+-=-++-+=x x x x y , ∴2423+-=x y . 设点E 与点C 重合，有CP ⊥AB.又∠ACB=90°，∴CA 2=AP ·AB ，即82=10AP ，解之，得532=AP ，故由P 点与A 点不重合，点E 与点C 不重合知x 的取值范围是0<x<532. ∴y 与x 之间的关系式为:)5320(2423<<+-=x x y .。

数学(北京课改版)九年级上册课后零失误训练：19.4相似

零失误训练基础能力训练★回归教材注重基础◆相似多边形1.我们知道所有的正三角形相似,所有的正方形都相似,那么所有的正五边形也相似吗?答：________.再想一想,所有的正六边形的关系?由以上猜想你可以得到一个一般性的结论为_______. 2.在两个相似五边形中,一个五边形的边长分别为1,2,3,4,5,另一个五边形的最大边长为15,则它的最短边长为________.3.如图19－4－8所示,将一个矩形纸片ABCD沿边AD和BC的中点连线EF对折,要使矩形AEFB 与原矩形相似,则原矩形的长与宽的比应为________.4.下列多边形中一定相似的为( )A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形5.观察图19－4－9中的三个矩形,其中相似的是( )A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.三个矩形都不相似6.已知：如图19－4－10,梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,EF将梯形ABCD分成两个相似梯形AEFD和EBCF,若AD=3,BC=4,求AE：EB的值.7.矩形ABCD的长与宽之比为3：2,矩形A′B′C′D′的长与宽之比也为3：2,这两个矩形相似吗?说说你的理由.◆相似三角形8.已知△ABC～△A′B′C′,若AB=5 cm,A′B′=8 cm,AC=4 cm,B′C′=6 cm,则△A′B′C′与△ABC的相似比为_______,A′C′=_______,BC=_______.9.如图19－4－11所示,△ABC中,DE∥BC,BE与DC相交于点D,则图中相似三角形共有_______对.10.(2008·金华)如图19－4－12所示,小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜后由A 点发出的光线经平面镜BD 反射后刚好射到古城墙CD 的顶点C 处,已知AB ⊥BD,CD ⊥BD,且测得AB=1.2 m,BP=1.8 m,PD=12 m,那么该古城墙的高度是( )A.6 mB.8 mC.18 mD.24 m11.下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似.其中正确的个数是( )A.4B.3C.2D.112.△ABC 的三边长分别是2、10、2,△A′B′C′的两边长分别为1和5,如果△ABC ～△A′B′C′,那么△A′B'C′的第三条边的长度等于( ) A.22B.2C.2D.22 13.已知△ABC 的三边长分别为5、12、13,与其相似的△A'B'C'的最大边长为26,求△A'B'C'的面积S.14.已知△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,△A′B′C′中,∠C′=90°,A′C′=B′C′,△ABC 与△A′B′C′相似吗?为什么?综合创新训练★登高望远课外拓展 ◆创新应用 15.(2008·安徽)如图19－4－13所示,四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形,点R 为DE 的中点,BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)； (2)求BP ：PQ ：QR. ◆开放探索16.如图19－4－14所示,已知矩形ABCD,AB=6 cm,BC=8 cm,E 、F 分别是AB 、CD 上的点,且AE=DF=4 cm,两动点M 、N 分别从C 、F 两点同时出发沿CB 、FE 均以2 cm/s 的速度分别向B 、E 运动.猜想当M 、N 运动多长时间时,矩形CFNM 与矩形AEFD 相似?写出你的猜想过程,并与同学交流.参考答案1答案：相似边数相同的正多边形都相似 2答案：3 解析：1515x=,得x=3. 3答案：1:2 解析：设原矩形的长AD=x,宽CD=y,E 、F 分别为AD 、BC 的中点,由已知条件可得：x y y x=2,即,222x y =∴2x y =, ∴1:2:=y x ,即AD:CD=1:2.4答案：C5答案：B 解析：∵都为矩形,所以对应角显然都相等,又75.035.02=,所以由定义可判断甲、丙两个矩形相似.6答案：解析：∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴BCEFEF AD =,∴EF 2=AD·BC=3×4=12, ∴3212==EF .∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴AE ：EB=AD ：EF=2:332:3=.7答案：解析：相似.在矩形ABCD 中,设长为3a,宽为2a ；在矩形A′B′C′D′中,设长为3b,宽为2b,因此两矩形的对应边之比均为a:b,即对应边成比例.又因为矩形的每个角都是直角,因此对应角相等,故矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′相似. 8答案：8：5532 415 9答案：2 解析：△ADE~△ABC ,△DOE~△COB. 10答案：B 解析：R t △ABP~R t △CDP ,所以DPBP CD AB =,即128.12.1=CD ,解得CD=8 m.11答案：C12答案：B 解析：设第三边长为x,则x251012==,得2=x . 13答案：解析：设△ABC 的三边依次为BC=5,AC=12,AB=13,因为AB 2=BC 2+AC 2,所以∠C=90°.又因为△ABC~△A′B′C′,所以∠C=∠C′=90°,212613''''C''====B A AB C A AC B BC .又因为BC=5,AC=12,所以B′C′=10,A′C′=24,所以S=21A ′C′×B′C′=21×24×10=120.14答案：解析：相似.∵在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°.设AC=k>0, 则k k k AB 222=+=.同理可证：∠A′=∠B′=45°,A′B′='2k ,(设A′C′=k′). ∴∠C=∠C ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′， ∴''22B''k kk k A AB ==，'''''k k C B BC C A AC ==，∴''''''C B BC C A AC B A AB ==， ∴△ABC ～△A'B'C'.15答案：解析：(1)△BCP ～△BER ，△PCQ ～△PAB ，△PCQ ～△RDQ ，△PAB ～△RDQ. (2)因为四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，所以BC=AD=CE ，AC ∥DE ，所以PB=PR ，21=RE PC ，又因为PC ∥DR ，易得△PCQ ～△RDQ ，因为点R 是DE 的中点，所以DR=RE ，所以21===RE PC DR PC QR PQ ，所以QR=2PQ. 又因为BP=PR=PQ+QR=3PQ ，所以BP ：PQ ：QR=3：1：2. 16答案：解析：①当M 、N 运动21s ，矩形CFNM 与矩形ADFE 相似. ②当M 、N 运动2s 时，矩形CFNM 与矩形AEFD 相似.。

【附答案或解析】2015秋九年级数学上册19.3+平行线分三角形两边成比例课后零失误训练+北京课改版

19.3 平行线分三角形两边成比例基础能力训练★回归教材注重基础 ◆平行线分线段成比例定理 1.如图19－3－6所示,在△ABC 中,35,==AC AB EC AC BE AB ,DE//AC,则AB ：BD=_______.2.如图19－3－7所示,在△ABC 中,DE//AB,DF//BC,若32=AC AD ,AB=9,BC=6,则BEDF 的周长等于______.3.在△ABC 中,BE 、CD 是△ABC 的中线,它们交于点O,则=CO DO ______,=BEOE_______. 4.如图19－3－8所示,在△ABC 中,AE ：BE=1：3,BD ：DC=2：1,AD 与CE 交于点F,则FDAFFC EF +的值为______.5.(2008·福州)如图19－3－9所示,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,若DE=5,则BC 的长是______.6.如图19－3－10所示,已知AE=ED=DC,FE∥MD∥BC,FD 的延长线交BC 的延长线于点N,则BN EF的值是( ) A.21 B.31 C.41 D.517.在梯形ABCD 中,AD∥BC,对角线AC,BD 交于点O,点E 是CA 延长线上一点,且OC 2=OA·OE,已知AD ：BC=2：3,则DC ：BE 的值是多少? 8.如图19－3－11所示,在△ABC 中,DE∥BC,且32=DB AD ,BC=12 cm,求DE 的长.9.在△ABC 中,AD 是角平分线,DE∥AC 交AB 于点E,已知AB=12,AC=8,求DE 的长. 10.如图19－3－12所示,H 为ABCD 中AD 边上的一点,且DH AH 21=,AC 和BH 交于点K,则KCAK的值是多少?综合创新训练★登高望远课外拓展 ◆创新应用11.如图19－3－13所示,在△ABC 中,AB=12,点E 在AC 上,点D 在AB 上,若AE=6,EC=4,且ECAEDB AD =.(1)求AD 的长. (2)试问ACECAB DB =能成立吗?请说明理由. ◆开放探索12.如图19－3－14所示,△ABC 中,AC=BC,F 为底边AB 上的一点,nmAF BF =(m,n>0).取CF 的中点D,联结AD 并延长交BC 于点E.(1)求ECBE的值； (2)如果BE=2EC,那么CF 所在的直线与边AB 有怎样的位置关系?请说明理由. (3)层点能否为BC 中点?如果能,求出相应的nm的值；如果不能,请说明理由. 13.已知：如图19－3－15①所示,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B 、D,AD 、BC 交于E,EF⊥BD 于F,我们可以证明EFCD AB 111=+成立(不必证明),若将图中垂直改为斜交,如图19－3－15②所示,AB∥CD,AD、BC 交于点E,EF∥AB 交BD 于F,则： (1)EFCD AB 111=+还成立吗?为什么? (2)请找出S △ABD ,S △BDC ,S △BED 之间的关系式,并说明理由.参考答案1答案：8：5 解析：由EC ACBE AB =可得,35==EC BE AC AB 而AD BD EC BE =,所以35=AD BD ,所以53=BD AD ,由合比性质得：553+=+BD BD AD ,即58=BD AB . 2答案：14 解析：329===AF AB AF AC AD ,得AF=6,所以BF=DE=3.而326===AC AD FD BC FD ,得FD=BE=4,所以BEDF 的周长为2(3+4)=14.3答案：2131 4答案：23解析：过点E 作BC 的平行线.5答案：10 解析：由题意知：DE//BC,∴215===BC BC DE AB AD ,所以BC=10. 6答案：C 解析：∵FE//BC,AE=ED=DC,∴31==AC AE BC EF ,∴BC=3EF.∵FE//CN,∴∠EFD=∠N.又∠EDF=∠CDN,ED=DC,∴△EFD ≌△CND,∴CN=EF, ∴413=+=+=EF EF EF CN BC EF BN EF . 7答案：解析：∵AD//BC,∴OA ：OC=AD ：BC=2：3,∴设OA=2k,OC=3k.∵OC 2=DA·OE ,∴k OE 29=.∵OD ：OB=AD ：BC=2：3,且OC ：OE=3k ：k 29=2：3,∴BE//DC,∴DC:BE=2:3. 8答案：解析：∵DE//BC,∴AB AD BC DE =.∵32=DB AD ,∴232+=+AD BD AD ,即52=AB AD , ∴52=BC DE ,∴5245212=⨯=DE (cm). 9答案：解析：根据已知条件可求得DE=AE.又AC DEAB BE =,因此81212DE DE =-,从而求得DE=524.10答案：解析：∵,21DH AH =∴31=AD AH .∵AH//BC,∴31===AD AH BC AH KC AK . 11答案：解析：(1)由EC AE DB AD =,可得DE//BC,从而AC AEAB AD =,即10612=AD ,可得,536=AD .(2)成立,由536=AD ,AB=12,得524=DB ,于是52=AB DB .又52104==AC CE ,故AC ECAB DB =.或由EC AE DB AD =,得DE//BC,从而ACEC AB DB =. 12答案：解析：(1)过点C 作C G∥A B 交AE 的延长线于点G,DF DC AF CG =,CGBAEC BE =, ∴11+=+=+==nmAF BF AF AF BF CG AB CE BE . (2)∵BE=2CE,∴21=+=nmCE BE ,∴m=n,∴BF=AF.又AC=BC,∴CF ⊥AB.∴直线CF 垂直平分AB.(3)不能,因为若E 为BC 的中点,而D 又为CF 的中点,则DE//AB,这与已知条件ED 和BF 相交矛盾,所以E 点不能为BC 的中点.13答案：解析:(1)EF CD AB 111=+还成立.因为AB//EF//CD,所以BDBF CD EF BD DF AB EF ==,,所以1=+=+BD DF BF CD EF AB EF ,两边同除以EF 得,EFCD AB 111=+. (2)BEDBCDABDS S S ∆∆∆=+111.理由：如图,过A 、E 、C 三点分别作AH ⊥BD,EM ⊥BD,CN ⊥BD,垂足分别为H 、M 、N,因为,21,21,21BD EM S BD CN S BD AH S BED BCD ABD ∙=∙=∙=∆∆∆ 由已知得,111EMCN AH =+ ∴BD EM BD CN BD AH ∙=∙+∙211211211即BED BCD ABD S S S ∆∆∆=+111.。

2019-2020学年度初中数学九年级上册18.2 黄金分割北京课改版拔高训练第二十一篇

2019-2020学年度初中数学九年级上册18.2 黄金分割北京课改版拔高训练第二十一篇第1题【单选题】如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是( )A、∠C=2∠AB、BD平分∠ABCC、S△BCD=S△BODD、点D为线段AC的黄金分割点【答案】：【解析】：第2题【单选题】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论正确的有( )①AD=BD=BC；②△BCD∽△ABC；③AD^2=AC?DC；④点D是AC的黄金分割点．A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】：【解析】：第3题【填空题】点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果______，那么称线段AB被点C黄金分割．A、AB：AC=AC：BC【答案】：【解析】：第4题【填空题】已知点C是AB的黄金分割点（AC＜BC），AC=4，则BC的长______．【答案】：【解析】：第5题【填空题】一个偌大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为8米，那么，主持人到较近的一侧应为______米．【答案】：【解析】：第6题【填空题】已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是______厘米．【答案】：【解析】：第7题【填空题】如图，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AC=4，则AB=______．【答案】：【解析】：第8题【填空题】学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15．7米左右．” 文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是______”．明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的______知识，我要带______等测量工具”．【答案】：【解析】：第9题【填空题】美是一种感觉，当人体下半身身长与身高的比值越接近有误（约为0.618）时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为______cm．【答案】：【解析】：第10题【填空题】若线段AB=6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为______cm（结果保留根号）．【答案】：【解析】：第11题【填空题】若线段AB=10，点C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，那么AC=______，BC=______．【答案】：【解析】：第12题【解答题】实践证明，节目主持人站在舞台的黄金分割点处音响效果及审美效果最好．如下图，假设线段AB为舞台前沿，你能为主持人找出一个最佳位置C吗？【答案】：【解析】：第13题【解答题】如果一个矩形的宽与长的比是黄金比，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，已知四边形ABCD为黄金矩形，以它的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形，你能证明这个结论吗？【答案】：【解析】：第14题【解答题】已知线段AB=a，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点C．【答案】：【解析】：第15题【综合题】综合题。

数学(北京课改版)九年级上册课后零失误训练：21.230°

零失误训练基础能力训练★回归教材注重基础 ◆30°、45°、60°角的三角函化值1.计算：(1)sin 230°+cos 260°=_____,(2)cos 260°+sin 260°+tan45°=_____.2.若tan(90°－A)=3,则∠A=_____.3.在Rt △ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,∠C=90°,3a=3b,则sinA=_____.4.在锐角△ABC 中,若0|cos 22|)23(sin 2=-+-B A ,则∠C 的度数为_____. 5.在△ABC 中,如果∠C=90°,∠A=45°,那么tanA+sinB=_____；△ABC 为_____对称图形(填“轴”或“中心”). 6.若cos(45°+∠A)=21,则sin(45°－∠A)=______. 7.用“<”号联结sin40°,sin41°,cos43°,cos44°是______. 8.下列计算错误的是( )A.sin60°－sin30°=sin30°B.︒︒=︒60cos 60sin tan60C.sin 245°+cos 245°=1D.sin53°=cos37° 9.(2008·自贡)已知α为锐角,且3)90tan(1=-︒α,则α的度数为( )A.30°B.60°C.45°D.75° 10.已知∠A 为锐角,若sinA=43,那么( ) A.0°<A<30° B.30°<A<45° C.45°<A<60° D.60°<A<90° 11.计算： (1)160cos 430sin 2-︒︒.(2)tan30°·tan60°+cos 230°－sin 245°·tan45°. (3)|60tan 1|)160(sin 2︒-+-︒.12.如图21－2－3所示,在△ABC 中,已知31+=BC ,∠B=60°,∠C=45°,求AB 的长.综合创新训练★登高望远课外拓展 ◆创新应用13.一个单摆的摆长为120 cm,摆角恰好为30°,且两边的摆动角相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置的高度之差. 14.(2007·日照)如图21－2－4所示,一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群,在A 处看见小岛C 在船的北偏东60°方向,40分钟后,渔船行至B 处,此时看见小岛C 在船的北偏东30°方向,已知以小岛C 为中心周围10海里以内为某军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区的可能.◆开放探索15.要求tan30°的值,可通过构造如图21－2－5所示的直角三角形进行计算:作Rt △ABC,使∠C=90°,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC=3=BC ,∠ABC=30°,∴333130tan ===︒BC AC ,在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,可求出tan15°的值,请简要写出你添加的辅助线,并求出tan15°的值.16.如图21－2－6所示,由于水资源缺乏,B 、C 两地不得不从黄河上的供水站A 处引水,这就需要在A 、B 、C 之间铺设地下输水管道,有人设计了三种铺设方案,如图(a)(b)(c),图中实线表示管道铺设路线,在图(b)中AD 上BC 于D,在图(c)中,OA=OB=OC,为了减少渗漏,节约水资源,并降低工程造价,铺设路线应尽量缩短.已知△ABC 是等边三角形,其边长为a,请你通过计算,判断哪个铺设方案最好.参考答案1答案：(1)21(2)2 2答案：30° 3答案：21 4答案：75° 解析：由题意知：023sin =-A ，得23sin =A ，所以∠A=60°，同理由0cos 22=-B 得∠B=45°，所以∠C=180°－(∠A+∠B)=180°－(60°+45°)=75°. 5答案：222+ 轴解析：∵∠C=90°,∠A=45°,∴∠B=45°,故tanA+sinB=tan45°+sin45°=222221+=+；又△ABC 为等腰直角三角形，故其为轴对称图形.6答案：21 解析：由cos(45°+∠A)=21可得45°+∠A=60°，得∠A=15°，代入sin(45°－∠A)=sin30°=21.7答案：sin40°<sin41°<cos44°<cos43° 8答案：A9答案：B 解析：由已知条件可得：tan(90°－α)=33，所以90°－α=30°，解得α=60°. 10答案：C 解析：sin45°≈0.707，sin60°≈0.866，0.707<43<0.866，而在0°和90°之间，正弦值随着角度的增大而增大，所以45°<A<60°，故选C. 11答案：(1)l (2)45(3)2312答案：解析：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，设CD=x ，在Rt △ADC 中，∵∠C=45°，∴∠DAC=∠C=45°，∴AD=CD=x.又在Rt △ADB 中，∠B=60°， ∴BD=60tan xx 33=，x BD AB 3322==, ∴BD+DC=3133+=+x x ,∴3=x ,∴23332=⨯=AB . 13答案：(120－603)cm14答案：解析：过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，设CD=x(海里).如图所示，由题意，在Rt △BDC 中，∵∠CBD=60°，∴BD=x x 3360tan = ，又20604030=⨯=AB ,∴x AD 3320+=在Rt △ADC 中，∠CAD=30°，∴tan30°=333320=+=x x ADCD，解得310=x (海里). ∵310>10，∴渔船继续向东追赶鱼群，不会进入危险区域.15答案：解析：延长CB 到D ，使BD=AB=2,联结AD ，那么AD=15°， tan15°=32321-=+=DC AC . 16答案：解析：由(a)方案可知，铺设管道长为2a ；由(b)方案可知,∠ABD=60°,∠ADB=90°，∴tan ∠ABD=321==a ADBD AD ,∴AD a 23=, 故铺设管道长为a a a a 866.123223≈+=+;由(c)方案可知，过O 作OD ⊥BC 于点D ，∴BD=a 21，∠ODB=90°，由cos ∠OBD=2321==OB aOB BD , ∴OB=a 33，故OA+OB+OC=a 3≈1.732a ，通过比较可以得出，选用(c)铺设方案最好.。

度九年级数学上册18.2黄金分割同步课堂检测北京课改版

19.2 黄金分割考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.如图，已知点是线段的黄金分割点，且，若表示以为边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，那么．A. B. C. D.无法确定2.如果点为线段的黄金分割点，且，则下列各式不正确的是（）A.B.D.C.3.根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适（人体正常体温约为），这个气温大约为（）A. B. C. D.4.矩形的周长为，与的比为黄金比，的长度约为（）A. B.C.或D.5.已知线段的长为，点是线段的黄金分割点，则的长为（）A. B.或C.或D.6.如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（）B.A.C. D.7.如图，下列式子不能说明点是线段的黄金分割点的是（）A. B.C.D.8.已知点在线段上，且点是线段的黄金分割点，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.9.如图，在中，，，平分，则的长为（）A. B. C. D.10.如图，等腰中，腰，，的平分线交于，的平分线交于．设，则A. B.C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.已知线段的长为，点是线段上一点，且，则线段的长为________．12.顶角是的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在中，，，是的角平分线，那么________．213.已知线段长为厘米，点是的黄金分割点，则的长是________．14.黄金比的近似值为________，准确值为________．15.如果线段，点是上靠近点的黄金分割点，则的值为________．（结果保留根号）16.如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形．现将长度为的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是________．17.如图，点为线段的黄金分割点，已知，则________．18.如果是的黄金分割点，，那么________（精确到）．19.如图，顶角是的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若、、都是黄金三角形，已知，则________．20.从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约，下身长约，她要穿约________的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到）．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.已知在边长为的正方形中，为中点，连接，以为圆心，为半径画弧交的延长线于，再以为边作正方形，判断是否为的黄金分割点，并说明理由．22.若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．操作：请你在如图所示的黄金矩形中，以短边为一边作正方形；探究：在中的四边形是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．23.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片，先折出的中点，再折出线段，然后通过折叠使落到线段上，折出点的新位置，因而．类似地，在上折出点″使″．这时″就是的黄金分割点．请你证明这个结论．24.在中，，，，平分，交于于．试说明点是线段的黄金分割点．25.已知线段，按照如下的方法作图：以为边作正方形，取的中点，连接，延长到，使，以线段为边，作正方形，那么点是线段的黄金分割点吗？请说明理由．26.如图，已知，．4求的度数；求证：点是的黄金分割点；求的值．答案1.B2.D3.A4.A5.C6.B7.B8.D9.B10.B11.12.13.厘米14.15.16.17.18.19.20.21.解：如图，∵，为中点，∴，在中，由勾股定理得，由于，则，∵，∴，∴为的黄金分割点．22.四边形是黄金矩形．证明：∵四边形是正方形，∴，∴，∵四边形是矩形，∴∴，∴四边形是矩形．设，，则有，∴，∴矩形是黄金矩形．23.证明：设正方形的边长为，为的中点，∴∴，又∵，∴，∴″∴点″是线段的黄金分割点．24.证明：∵，，∴，∵平分，交于于，∴，∴，6又∵，∴，∴∵，∴，∵，，∴，解得，：．∴点是线段的黄金分割点．25.解：设正方形的边长为，在中，依题意，得，，由勾股定理知，∴，；∴，，∴，所以点是线段的黄金分割点．26.解：∵，∴，∵，∴，，在中，，在中，，∴，解得；在等腰中，∵，∴，∴，在和中，∵，，∴，∴；∵，∴；即点是的黄金分割点；设．由知，∴，∴．作于，∵，∴，，∴．8。

九年级数学上册18.2黄金分割课件新版北京课改版

A 1.点E是AB的黄金分割点吗?
2.矩形ABCD宽与长的比是黄金比吗? D
预习课本8-10页平行线分三角形两边成比例。
E
B
F
C
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
(2)－条线段的黄金分割点有_______个．
2.我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple) 的正面是一个黄金矩形．若已知黄金矩形的长等于6，则这个黄金矩形的宽约等于_______．（精确到0.1）
课堂探究
(1)测量五角星上C点到A、B点的距离。 (2)请你再计算一下 AC/AB的值是多少?
九年级上册
18.2 黄金分割
情境导入
摄影作品之美
你觉得哪张照片的构图最合理？更能体现小松鼠若有所思的在凝视前方？
本节目标
1.知道黄金分割的定义. 2.会找一条线段的黄金分割点. 3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点
预习反馈
1．(1)如图，若点C是AB的黄金分割点，AB＝1，则 AC≈_______，BC≈_______．
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网

4.4.4黄金分割-2024-2025学年初中数学九年级上册(北师版)上课课件

.你同意他的看法吗？说说你的理由.

新知探究
知识点1：黄金分割：
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），
如果

=

,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做
线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比.
A
C
B
例1 计算黄金比.
解：由

=

，得AC 2＝AB·BC. 设AB＝1，AC＝x，
黄金分
割点
黄金比
一条线段有两个
黄金分割点
较长线段
原线段
＝
较短线段
较长线段
＝
5−1
2
，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD.
图1
A
E
B
D
F
图2
C
想一想
那么我们可以惊奇地发现
BE BC

.
BC AB
点E是AB的黄金
分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗?
图1
A
E
B
D
F
图2
C
由
BC BE
BE BC

，可得
AB AE
BC AB
AE BE

即
AB AE
因此点E是AB的黄金分割点.
较短线段
较长线段
C
ห้องสมุดไป่ตู้
A
注意：
黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个
黄金分割点.如图，点C和点D都是线段AB的黄金分

割点,

=

=
5−1
,

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19.2 黄金分割
基础能力训练★回归教材注重基础
◆黄金分割的定义
1.已知AB=10 cm,P、Q是线段AB的两个黄金分割点,则PQ=________.
2.已知线段AB=1,点P是线段AB的黄金分割点,则AP=________.
3.已知线段AB=b,C为其黄金分割点,求下列各式的值(AC>BC)：

(1)BAAC_______;(2)ACBC_______；

(3)BCAC_______;(4)AC－BC=________.
4.正常人的体温一般是37℃左右,室温太高、太低,人都会感觉不舒服,多少摄氏度比较合适
呢?有人研究认为该温度正好是人正常体温的黄金分割点,则这个温度约为________.
5.(2009·南京模拟)顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形,在∠A=36°的△ABC
中,AB=AC,BD是∠ABC的角平分线,交AC于D,若AC=4 cm,则BC=___________.
6.若S是线段PQ的黄金分割点,且PS>SQ,则( )

A.SQ2=PS·PQ B.PS2=SQ·PQ C.PQPSPS22 D.22PQPSPSSQ
7.已知M是线段AB的黄金分割点,且AM>BM.
(1)写出线段AB、AM、BM之间的比例式.
(2)如果AB=12 cm,求AM、BM的长.
8.如图19－2－4所示,线段AB长10cm,点C是线段AB的黄金分割点,AC>BC,设以AC为边的
正方形ACDE的面积为S1,以BC为一边，AB长为另一边的矩形BCFG的面积为S2,试比较S
1

和S2的大小.

◆黄金分割点的作图
9.采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图19－2－5所示,设AB为已知线段,以AB为边
作正方形ABCD；取AD的中点E,联结EB；延长DA至F,使EF=EB；以线段AF为边作正方形
AFGH,点H就是AB的黄金分割点.
任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点,你能说出这种作法的道理吗?
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10.求作已知线段AB的黄金分割点.(不写作法)
综合创新训练★登高望远课外拓展
◆创新应用
11.如图19－2－6所示,正五角星中,线段AD=2,试问图中阴影部分图形的周长是多少?

12.举例说明黄金分割在日常生活中的一些应用.
◆开放探索

13.若一个矩形的短边与长边的比值为215(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩
形.

(1)操作：请你在如图19－2－7所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD为一边作正方形
AEFD.
(2)探究：(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形?若是,请说明理由;若不是,也给予说明.
(3)归纳：通过上述操作及探究,请概括出具有一般性的结沦(不需要证明).

参考答案
1答案：)25(10cm
2答案：215或253 解析：本题应考虑到同一线段上的黄金分割点有两个.
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3答案：(1)215(2)215(3)215(4)b)25(
4答案：23℃
5答案：)15(2cm 解析：∵等腰△ABC为黄金三角形,∴ACBC为黄金比.

∴ACBC215,∴)15(2BCcm.

6答案：B
7答案：(1)AMBMABAM (2))656(AMcm,)5618(BMcm

8答案：)53(5021SScm2
9答案：解析：设AB=2,那么在Rt△BAE中,5122222AEABBE.于是
EF=BE=5,AH=AF=BE－AE=15,BH=AB－AH=53.因此,AHBHABAH,点H是线段AB
的黄金分割点.
10答案：略
11答案：解析：由于点B、C都是线段AD的黄金分割点,于是有：

53)15(2,152152ACADBDADABACBD
,

∴452)53()15(ABACBC.
∴阴影部分的周长为20510.
12答案：解析：例如：报幕员站在舞台宽度的黄金分割点处,显得最和谐；当矩形的宽与长
的比约为0.618时显得美观；拍照时,常把主要景物放在画面的黄金分割点处,会显得更加协
调、悦目；二胡中的“千金”分弦的比符合0.618：1时,奏出来的音调最悦耳；优选法中的
“0.618法”足黄金分割的重要应用等等.
13答案：解析：(1)如图所示.
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(2)四边形EBCF是黄金矩形,因为EF=AE=AB215,ABBE253,则
EFBE215
,所以四边形EBCF是黄金矩形.

(3)在黄金矩形中以短边为边长作一个正方形,另一部分仍为黄金矩形.