八年级数学黄金分割同步练习
黄金分割同步练习及答案 (11)
黄金分割同步练习（典型题汇总）所谓黄金分割，就是把一条线段（AB）分成两条线段，使其中较长的线段（AC）是较短线段（BC）和整个线段（AB）的比例中项（如图1所示）。
图1下面介绍它的若干求法，供同学们学习时参考。
1. 黄金分割点的代数求法已知：线段AB求作：线段AB的黄金分割点C。
分析：设C点为所求作的黄金分割点，则即解这个方程，得所以C点可作。
注意：方程的解法是初三的数学内容。
2. 黄金分割点的几何求法已知：线段AB求作：线段AB的黄金分割点C。
作法：如图2所示，（1）过B点作BD⊥AB，使；（2）连结AD，在AD上截取DE=BD；（3）在AB上截取AC=AE。
图2则点C就是所求的黄金分割点。
证明：∴C点是线段AB的黄金分割点。
3. 黄金分割点的近似求法已知：线段AB求作：线段AB的黄金分割点。
分析：若不限于尺规作图，用量角器可以作以线段AB为一腰，顶角A=36°的等腰三角形ABC，如图3所示，然后作ACB的平分线CD交AB于点D。
图3则点D 就是线段AB 的黄金分割点。
证明：在△ABC 中 ∵AB=AC ，A=36°由于作顶角为36°的等腰三角形的底角平分线后，仍可得到另一个顶角为36°的等腰三角形，周而复始，永无止境，所以这类等腰三角形也被称为“黄金三角形”。
类似地，如果在宽与长之比为0.618：1的长方形内，作以长方形的宽为边长的正方形，仍可得到另一个宽与长之比为0.618：1的长方形，所以这类长方形也称为“黄金矩形”。
黄金分割同步练习（典型题汇总）一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比;D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BCAC; D.不能确定3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个4.黄金分割比是( )D.0.618 CBAC BA C BA5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.,B.,; C.,; D.6.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( )11 二、填空题:1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB =12,那么ACCB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.BA3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流. 四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.D CBA七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1.AC BCAB AC=;黄金分割点;黄金比黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP=,××2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB=12,因为AB=1,所以所以六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得ACAB ,BD AB因为AB=1,所以AC=12,BD=12,所以AD=AB-BD=1-12=32,因此七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。
数学第十章第2课时黄金分割课时练习(八年级下)
八年级数学(下)第十章 图形的相似第2课时 黄金分割班级：__________ 姓名：___________一、选择题1．(2009·义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为 ( )A ．12．36 cmB ．13．6 cmC ．32．36 cmD ．7．64 cm2．一条线段的黄金分割点有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个3．如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ．如果AC BC AB AC=，那么下列说法错误的是 ( )A ．线段AB 被点C 黄金分割 B ．点C 叫做线段AB 的黄金分割点C ．AB 与AC 的比叫做黄金比D ．BC 与AC 的比叫做黄金比4．(2009·孝感)美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0．618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0．60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 ( )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5．(2007·武汉)为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2 m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0．01 m ，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，5 2.236≈)是( )A ．0．62 mB ．0．76 mC ．1．24 mD ．1．62 m二、填空题6．据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．7．如图，若点C是AB的黄金分割点．AB=1，则AC≈_______，BC≈______．8．在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，底角平分线BD交AC于点D，得点D是线段AC的黄金分割点．若AC=10 cm．则AD≈_________cm．9．我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的正面是一个黄金矩形．若已知黄金矩形的长等于6 m，则这个黄金矩形的宽约为________m(精确到0．1 m)．三、解答题10．若线段AB=4 cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少?11．如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体如果舞台AB的长为20 m，那么主持人应走到离点A多少米处时才是比较得体的位置(精确到0．1 m)?12．如果在一个矩形ABCD(AB＜BC)中，510.6182ABBC-=≈，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFF(如图所示)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形?请说明理由．13．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F．使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在边AD上，如图所示．(1)求AM、DM的长．(2)试说明：AM2=AD·DM(3)根据(2)中的结论你能找出图中的黄金分割点吗?参考答案1．A 2．B 3．C 4．C 5．C6．237．0．618 0．3828．6．189．3．710．2．472 cm 或1．528 cm11．12．4 m 或7．6 m12．矩形ABFE 是黄金矩形．因为AD=BC ，DE=AB ，所以511151AE AD DE BC AB BC AB AB AB AB ---===-==-，所以矩形ABFE 是黄金矩形 13．(1)因为正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 的中点，所以AB=AD=2，AP=1．在Rt △APD 中，225PD AP AD =+=PF=PD ，所以51AF PF AP =-=．因为四边形AMEF 是正方形，所以51AM AF ==，)25135DM AD AM =-=-=(2)由(1)得)2251625AM ==-(235625AD DM ==-所以2AM AD DM = (3)图中点M 是线段AD 的黄金分割点。
苏科版八下102黄金分割同步测试题
10．2 黄金分割 同步练习【目标与方式】1．明白如何确信线段的黄金分割点，进而熟悉黄金三角形．2．通过生活中的具体实例，体会黄金分割在生活中的价值，•感受黄金分割带来的美．【基础与巩固】1．已知C 是线段AB 的黄金分割点（AC>BC ），AC 是线段______与线段______•的比例中项，若是AB=10cm ，那么AC ≈_______cm ，BC ≈_________cm ．2．已知M 、N 是线段AB 上的两个黄金分割点．若AB=1cm ，则MN ≈_______cm ．3．如图1，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠=36°，BD 为∠ABC 的平分线，CE 是∠ACB 的平分线，BD 、CE 相交于点O ．图中的黄金三角形有（ ）．（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个（1） （2）4．如图2，在“黄金矩形”ABCD （即BC 宽AB 长≈）中，依次画正方形①、②、③、④． （1）观看矩形⑤，你以为它也是一个黄金矩形吗？（2）设BC=1（单位长度），通过计算，可否验证你的判定？【拓展与延伸】5．依照人的审美观点，当人的下肢长与身高之比为时，•能令人看起来感到匀称．某成年女士身高166cm ，下肢长101cm ，持上述观点，她所选的高跟鞋的最佳高度约为多少？（精准到0.1cm ）6．给定一条线段AB ，如何找到它的黄金分割点C 呢？（1）作BD ⊥AB ，且使BD=12AB ； （2）连接AD ，以D 为圆心，BD 长为半径画弧交AD 于点E ；（3）以A 为圆心，AE 长为半径画弧交AB 于点C ．点C 确实是线段AB 的黄金分割点．若是有爱好的话，你能够和同窗们探讨一下，点C 什么缘故是线段AB 的黄金分割点？【后花园】妙趣角：耐人寻味的黄金分割古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（Eudoxus•）曾提出：可否将一条线段分成不相等的两部份，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这确实是黄金分割问题，那个相等的比确实是512-＝033988 749 89…．天文学家开普勒（Joha nnes Kepler）把这种分割线段的方式称为神圣分割，•并称“几何学有两个宝藏，一个是毕达哥拉斯定理（即勾股定理），一个是黄金分割”．很长时刻里，人们超级崇拜黄金分割．比如，古希腊的许多矩形建筑中，宽与长的比都等于黄金比．有思想的是，优选法中的“•法”与黄金分割紧密相关．20世纪70年代，这种方式经闻名数学家华罗庚的提倡，在我国取得大规模推行，并取得了专门大的成果．智力操你想画1个如下图所示的五角星吗？这第一需要画出1个正五边形，然后连接正五边形的所有对角线，就组成1个五角星了如何画正五边形呢？可按下面的方式来画：（1）过圆心O作彼此垂直的两条直径AC、BD；（2）以OC的中点E为圆心，EB长为半径画弧，交AO于点F（3）以BF为半径，从圆周上B点起依次截取，就可取得正五边形的5个极点．你也试着画画看!其实想做一个五五边形，有一张纸条就够了，做法很简单．•取一张边缘平行的纸条，按图示的方式打一个结，拉紧压平，注意不要起皱纹，再裁去多余的部份，•剩下的确实是正五边形了．量量你画的五角星中AF、AG、AC的长度，求出AF AGAG AC和的值；再量量书中的五角星的对应线段的长，并求出相应的比值，你从中发觉了什么？答案：1．A B，BC，，2．3．（C）4．（1）矩形⑤是一个黄金矩形；（2）BC=1，可得正方形①的边长约为，正方形②的边长约为，•正方形③的边长约为，正方形④的边长约为，则矩形⑤的长约为，宽约为，计算宽与长的比可得5．约4.2cm 6．略智力操AF AG AG AC=≈．。
2020--2021学年鲁教版八年级数学下册《9.6黄金分割》同步训练(附答案)
2021学年鲁教版八年级数学下册《9.6黄金分割》同步提升训练（附答案）1．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接BO，并延长交AC于点D，若AB＝2，则CD的长为（）A．﹣1B．3﹣C．+1D．3+2．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC．则下列各式中不正确的是（）A．AC＝AB B．BC＝ABC．AB＝AC D．AB：AC＝AC：BC3．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB 的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长度为10cm，那么较短线段BP的长度为（）A．B．C．D．4．点B把线段AC分成两部分，如果＝＝k，那么k的值为（）A．B．C．+1D．﹣15．已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，那么线段AP的长度等于（）A．B．C．D．6．如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段的比值不可能是黄金比的是（）A．AB：BC B．BC：AC C．BC：AB D．AC：BC7．已知点C是AB上的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2，则AC等于（）A．B．C．D．8．古希腊人认为，最美人体是肚脐至足底的长度之比与人体身高之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为105cm，则此人身高大约为（）A．160cm B．170cm C．180cm D．190cm9．舞台纵深为8米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（）A．2.5米B．2.9米C．3.0米D．3.1米10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是度和度；（2）若在图2中画2条线段，图中有个等腰三角形，分别是（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰三角形．11．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是．12．已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是．13．已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝2cm，那么BP＝cm．14．已知点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝4，则AC＝．15．点P是线段AB上的一点，如果AP2＝BP•AB，那么的值是．16．如图，C是靠近点B的黄金分割点，若AB＝10cm，则AC＝cm．（结果保留根号）17．一个偌大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为8米，那么，主持人到较近的一侧应为米．18．已知在△ABC中，∠B＝36°，AB＝AC，D是BC上一点，满足AD＝CD，则＝．19．点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝20cm，则BC＝cm．20．在基础数学领域，我们把含有36°角的等腰三角形称为“黄金三角形”，如图，△ABC 是顶角为36°的等腰三角形．BD是∠ABC的平分线，过点D作BC的平行线交AB于点E．（1）写出图中所有“黄金三角形”，并写出你的依据；（2）求出（1）中写出的所有“黄金三角形”的腰与底边的比值；21．如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．22．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°．（1）在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD（保留作图痕迹）；（2）请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．23．我们知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一个顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠B＝36°，请用两种不同的尺规作图在BC上找点D，使得△ABD是黄金三角形，并说明其中一种做法的理由．24．我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕C，G．试说明：G是AB的黄金分割点．25．如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB 的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b ≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．26．如图，以矩形ABCD的宽为边作正方形AEFD，若矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值，则将矩形ABCD称为“黄金矩形”．若AD＝2，求BE的长．参考答案1．解：∵∠A＝36°，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，由题意得：BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，∴AD＝BD＝BC，△BCD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴点D是AC的黄金分割点，AD＞CD，∴AD＝AC＝﹣1，∴CD＝AC﹣AD＝3﹣，故选：B．2．解：∵点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB，AB：AC＝AC：BC，∴AB＝AC，BC＝AB﹣AC＝AB，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意；故选：A．3．解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，∴BP＝AB﹣AP＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm，故选：D．4．解：∵点B把线段AC分成两部分，＝＝k，∴点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，∴k＝，故选：B．5．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，∴AP＝AB＝﹣1，故选：B．6．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴若AC为较长线段，则AC：AB＝BC：AC＝；若BC为较长线段，则BC：AB＝AC：BC＝；故选：A．7．解：∵线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，故选：C．8．解：设此人身高为xcm，∵某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为105cm，∴≈0.618，解得：x≈170，即此人身高大约为170cm，故选：B．9．解：∵主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，∴离舞台前沿较近的距离为：×8＝12﹣4≈3.1（米），故选：D．10．解：（1）如图1所示：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴当AE＝BE，则∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，则∠EBC＝36°∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度．故答案为：108，36（2）如图所示：（3）根据（2）可知：如图所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；…在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中n个黄金等腰三角形．故答案为2n，n11．解：∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，∴MP＝MN＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．12．解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP，∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．13．解：∵点P在线段AB上，BP2＝AP•AB，∴点P为线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，∴BP＝2×＝（﹣1）cm．故答案为：（﹣1）．14．解：∵点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝4，∴AC＝AB＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．15．解：∵点P是线段AB上的一点，AP2＝BP•AB，∴＝，∴点P是线段AB的黄金分割点，∴AP＝AB，∴＝，故答案为：．16．解：∵C是靠近点B的黄金分割点，AB＝10cm，∴AC＞BC，AC＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，故答案为：（5﹣5）．17．解：由黄金分割的定义得：当主持人站在黄金分割点处时，舞台的长度为8米，主持人到较近的一侧应为×8＝（12﹣4）米，故答案为：（12﹣4）．18．解：∵∠B＝36°，AB＝AC，∴∠C＝∠B＝36°，∴∠BAC＝180°﹣2×36°＝108°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝72°，△ABC∽△DCA，∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，＝，∴AB＝BD，∴＝，∴D是线段BC的黄金分割点，∴＝＝，故答案为：．19．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，AB＝20cm，∴BC＝AB＝×20＝（10﹣10）cm，故答案为：（10﹣10）．20．解：（1）图中黄金三角形有：△ABC，△ABD，△BDE，△AED，△BCD共5个，理由如下：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵DE∥BC，∴∠DBC＝∠BDE＝36°，∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠ACB，∴∠A＝∠ABD，∠BDE＝∠ABD＝72°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AD＝BD，BE＝ED，AE＝AD，∴△ABD，△BDE，△AED是等腰三角形；∵∠BDC＝2∠A＝72°，∴∠BDC＝∠BCD，∴△BCD是等腰三角形，∴图中黄金三角形有：△ABC，△ABD，△BDE，△AED，△BCD共5个；（2）设BC＝a，CD＝b，则BD＝AD＝AE＝a，ED＝EB＝b，∵∠ABC＝∠C，∠A＝∠CBD，∴△ABC∽△BCD，∴AB：BC＝BC：CD，即（a+b）：a＝a：b，解得：，（舍去），∴，，∴黄金三角形△ABC，△AED，△BCD的腰与底边的比值为，∴黄金三角形△ABD，△BDE的腰与底边的比值为，21．解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，∴AB＝×AC＝﹣1，∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（﹣1）＝3﹣．22．解：（1）作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，如图所示：（2）△BDC是黄金三角形，理由如下：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴△BDC是黄金三角形．23．解：①在线段BC上截取BD＝BA，连接AD，如图1所示：则△ABD即为所求，理由如下：∵BD＝BA，∠B＝36°，∴△ABD为黄金三角形；②在∠BAC的内部作∠CAD＝∠C，交BC于点D，如图2所示：则△ABD即为所求，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝36°，∴∠CAD＝∠C＝36°，∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝72°，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝72°，∴∠ADB＝∠BAD，∴BA＝BD，又∵∠B＝36°，∴△ABD是黄金三角形．24．（1）解：∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，∴AB＝×20＝（10﹣10）cm．故答案为：（10﹣10）；（2）证明：延长EA，CG交于点M，如图所示：∵四边形ABCD为正方形，∴DM∥BC，CD＝20cm，∴∠EMC＝∠BCG，由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，∴∠EMC＝∠ECM，∴EM＝EC，由折叠的性质得：DE＝10cm，∴EC＝＝＝10（cm），∴EM＝10（cm），∴DM＝（10+10）cm，＝，∵AB＝BC，∴＝，∴G是AB的黄金分割点．25．解：（Ⅰ）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a，又b2＝ac∴16a2＝ac．且与y轴交于点（0，8），∴c＝8．∴a＝，b＝﹣2．∴y＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，∵＞0，∴y有最小值为6．答：y的最小值为6．（Ⅱ）原点是线段AB的黄金分割点．理由如下：∵黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），∴x0＝﹣1﹣．∴OA＝3+，OB＝1+，AB＝4+2．OA2＝（3+）2＝14+6．OB•AB＝（1+）（4+2）＝14+6．∴OA2＝OB•AB．答：原点是线段AB的黄金分割点．26．解：∵四边形AEFD是正方形，∴AE＝AD＝2，∵矩形ABCD为黄金矩形，∴AD＝AB，即2＝AB，解得：AB＝+1，∴BE＝AB﹣AE＝+1﹣2＝﹣1．。
黄金分割同步练习及答案 (4)
黄金分割同步练习（典型题汇总）五星红旗将会在今年更加熠熠闪光。
不知道同学们是否仔细观察过“五角星 ”这个图案，度量点C 到点A 、B 的距离，AC BCAB AC与相等吗？ 比值大约是多少？1、首先阅读教材P112的“读一读”，了解黄金分割的历史。
2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。
所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。
而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。
这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。
其实有关"黄金分割"，我国也有记载。
虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。
经考证。
欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
2、 我们常常听说有“黄金分割”这个词，“黄金分割”当然不是指的怎样分割黄金，这是一个比喻的说法，就是说分割的比例像黄金一样珍贵。
那么这个比例是多少呢？是0.618。
人们把这个比例的分割点，叫做黄金分割点，把0.618叫做黄金数。
并且人们认为如果符合这一比例的话，就会显得更美、更好看、预习导学 背景介绍在分割一条线段时．在长度为全长的约0.618处进行分割．就叫作黄金分割．这个分割点就叫做黄金分割点。
ACB你知道吗？认真读一读，你会对“黄金分割”更感兴趣！更协调。
在生活中，对“黄金分割”有着很多的应用，诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
初中黄金分割试题及答案
初中黄金分割试题及答案黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值约为0.618。
这个比例在自然界和艺术设计中非常常见，被认为是一种美学上的比例。
以下是关于黄金分割的几道初中试题及答案：1. 已知线段AB的长度为10厘米，按照黄金分割点C将线段分割，求AC的长度。
答案：根据黄金分割的定义，AC的长度为10 × (√5 - 1) / 2 ≈ 6.18厘米。
2. 如果一个矩形的长宽比符合黄金分割，且长为20厘米，求宽的长度。
答案：设矩形的宽为x厘米，根据黄金分割的定义，有20 / x = (x + 20) / 20。
解这个方程，我们可以得到x = 20 × (√5 - 1) / 2 ≈ 12.36厘米。
3. 在一个正方形中，按照黄金分割点将正方形的一边分割，求分割后较小部分的长度。
答案：设正方形的边长为a厘米，按照黄金分割点分割后，较小部分的长度为a × (√5 - 1) / 2 厘米。
4. 一个等腰三角形的顶角为36°，底角为72°，求这个三角形的高与底边的比例。
答案：根据黄金分割的定义，这个等腰三角形的高与底边的比例为(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618。
5. 已知一个五边形的边长都相等，且每个内角都为108°，求这个五边形的对角线与边长的比例。
答案：这个五边形的对角线与边长的比例符合黄金分割，即对角线长度与边长的比例为(√5 + 1) / 2 ≈ 1.618。
这些题目涵盖了黄金分割在不同几何图形中的应用，通过计算和理解黄金分割的定义，可以解决这些问题。
黄金分割练习题
黄金分割练习题1、 若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。
2、 已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP ,且MP=)15(-cm,求MN 的值。
3、 点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求ABBC 的值 。
4、 若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？5、 已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值：（1）AC －BC; (2)BC AC ⋅6、 已知线段AB ，请利用尺规作图画出线段的黄金分割点。
（只画出一个即可）A CBA B7、如图：在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且EC AE BD AD =, (1)你能说明ACEC AB BD =吗? (2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。
(3)若3===DE AE AD ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。
7、 已知：如图，ABC ∆中，D 是BC 上的一点，DC BD AC AB =,且AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm, 求BD , DC 的长。
5、（2007山东青岛）某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶．设生产A 种饮料x 瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低？B D C。
八年级数学下册 4.2 黄金分割同步练习集 北师大版
4．2黄金分割一、目标导航1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC:AB=BC:AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2．618.0215≈-=AB AC ． 二、基础过关 1．若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式 ．2．黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0．001）．3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少m 处？，如果他向B 点再走 m ，也处在比较得体的位置．（结果精确到0．1m ）三、能力提升4．有以下命题：①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有dc b a =；②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC ，且AB=2，则AC=5－1．其中正确的判断有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A ．AM ∶BM=AB ∶AM B ．AM=215-AB C ．BM=215-AB D ．AM ≈0．618AB 6．已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC ）， 则AC∶BC = ( )A ． (5－1)∶2 B． （5 +1）∶2 C．（3－5）∶2 D．（3+5）∶27．在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（ ）A ．215-B ．53-C ．25-D ．253- 8．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =253-．求证：点A 是MN 的黄金分割点．四、聚沙成塔9．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM 、DM 的长．（2）求证：AM 2=AD ·DM ．（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？10．如果一个矩形ABCD(AB ＜BC)中，215-=BC AB ≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE(如图)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．4．2黄金分割1．AP 2=BP·AB 或PB 2=AP·AB；2．0.618；3．7.6，4.8；4．C ；5．C ；6．B ；7．C ；8证得AM 2=AN·MN 即可；9．⑴AM=5－1；DM=3－5；⑵略；⑶点M 是线段AD 的黄金分割点；10．通过计算可得215-=AB AE ，所以矩形ABFE 是黄金矩形．。
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10．2 黄金分割 同步练习
【目标与方法】
1．知道如何确定线段的黄金分割点，进而认识黄金三角形． 2．通过生活中的具体实例，体会黄金分割在生活中的价值，•感受黄金分割带来的美．
【基础与巩固】
1．已知C 是线段AB 的黄金分割点（AC>BC ），AC 是线段______与线段______•的比例中项，如果AB=10cm ，那么AC ≈_______cm ，BC ≈_________cm ．
2．已知M 、N 是线段AB 上的两个黄金分割点．若AB=1cm ，则MN ≈_______cm ． 3．如图1，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠=36°，BD 为∠ABC 的平分线，CE 是 ∠ACB 的平分线，BD 、CE 相交于点O ．图中的黄金三角形有（ ）．
（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个
（1） （2） 4．如图2，在“黄金矩形”ABCD （即
BC
宽AB
长≈0.618）中，依次画正方形①、②、③、④．
（1）观察矩形⑤，你认为它也是一个黄金矩形吗？
（2）设BC=1（单位长度），通过计算，能否验证你的判断？
【拓展与延伸】 5．根据人的审美观点，当人的下肢长与身高之比为0.618时，•能使人看起来感到匀称．某成年女士身高166cm ，下肢长101cm ，持上述观点，她所选的高跟鞋的最佳高度约为多少？（精确到0.1cm ）
6．给定一条线段AB ，如何找到它的黄金分割点C 呢？
（1）作BD⊥AB，且使BD=1
2
AB；
（2）连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E；
（3）以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C．
点C就是线段AB的黄金分割点．
如果有兴趣的话，你可以和同学们探索一下，点C为什么是线段AB的黄金分割点？
【后花园】
妙趣角：耐人寻味的黄金分割
古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（Eudoxus•）曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问
题，这个相等的比就是51
2
＝0.618 033 988 749 89…．天文学家开普勒（Johannes Kepler）
把这种分割线段的方法称为神圣分割，•并称“几何学有两个宝藏，一个是毕达哥拉斯定理（即勾股定理），一个是黄金分割”．
很长时间里，人们非常崇拜黄金分割．比如，古希腊的许多矩形建筑中，宽与长的比都等于黄金比．有思想的是，优选法中的“0.618•法”与黄金分割紧密相关．20世纪70年代，这种方法经著名数学家华罗庚的倡导，在我国得到大规模推广，并取得了很大的成果．
智力操
你想画1个如下图所示的五角星吗？这首先需要画出1个正五边形，然后连接正五边形的所有对角线，就构成1个五角星了！
如何画正五边形呢？可按下面的方法来画：
（1）过圆心O作相互垂直的两条直径AC、BD；
（2）以OC的中点E为圆心，EB长为半径画弧，交AO于点F；
（3）以BF为半径，从圆周上B点起依次截取，就可得到正五边形的5个顶点．
你也试着画画看!
其实想做一个五五边形，有一张纸条就够了，做法很简单．•取一张边缘平行的纸条，按图示的方法打一个结，拉紧压平，注意不要起皱纹，再裁去多余的部分，•剩下的就是
正五边形了．
量量你画的五角星中AF、AG、AC的长度，求出AF AG
AG AC
和的值；再量量书中的五
角星的对应线段的长，并求出相应的比值，你从中发现了什么？
答案：
1．AB，BC，6.18，3.82 2．0.236 3．（C）
4．（1）矩形⑤是一个黄金矩形；
（2）BC=1，可得正方形
①的边长约为0.618，正方形
②的边长约为0.382，•正方形
③的边长约为0.236，正方形
④的边长约为0.146，则矩形⑤的长约为0.146，宽约为0.09，计算宽与长的比可得
5．约4.2cm 6．略智力操AF AG
AG AC
≈0.618．。