人教A版高中数学选修4-4课件第二讲一3.参数方程和普通方程的互化

1．求 xy＝1 满足下列条件的参数方程：

(1)x＝t(t≠0)；(2)x＝tan θ(θ≠k2π，k∈Z)． 解：(1)将 x＝t 代入 xy＝1 得：t·y＝1， ∵t≠0，∴y＝1t ，
x＝t， ∴y＝1t (t 为参数，t≠0)． (2)将 x＝tan θ 代入 xy＝1 得：y＝ta1n θ.
x＝tan θ， ∴y＝tan1 θ
(θ 为参数，θ≠k2π，k∈Z).
[例 2] 将下列参数方程化为普通方程：
x＝tt＋ －11 (1)
y＝t3－2t 1
；(2)xy＝＝45scions
θ θ－1
(θ 为参数)．
[思路点拨] (1)可采用代入法，由 x＝tt＋ －11解出 t 代入 y 表达式．
(2)采用三角恒等变换求解．
[解] (1)由 x＝tt＋ －11，得 t＝xx＋ －11. 代入 y＝t3－2t 1化简得 y＝x＋31x2＋x－1 12(x≠1)．
(2)由xy＝＝45scions
θ θ－1
cos θ＝x5
得 sin
θ＝y＋4 1
①2＋②2 得2x52＋y＋1612＝1.
2．方程x＝t＋1t ， 表示的曲线是(
)
y＝2
A．一条直线
B．两条射线
C．一条线段
D．抛物线的一部分
解析：t＞0 时 x＝t＋1t ≥2
当 t＜0，x＝t＋1t ＝－(－t＋－1 t)≤－2.
即曲线方程为 y＝2(|x|≥2)，表示两条射线．
答案：B
3．把参数方程xy＝＝ssiinn
① ，
②
消去参数的方法一般有三种： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去 参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法 从整体上消去参数．
将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取 值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函 数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
θ－cos 2θ
θ，
(θ 为参数)化成普通方程
是________．
解析：将 x＝sin θ－cos θ 两边平方得 x2＝1－sin 2θ， 即 sin 2θ＝1－x2，代入 y＝sin 2θ，得 y＝－x2＋1.
又 x＝sin θ－cos θ＝ 2sin(θ－π4)，∴－ 2≤x≤ 2， 故普通方程为 y＝－x2＋1(－ 2≤x≤ 2)．
＝t2＋3t＋1
∴xy＝ ＝tt2＋＋13，t＋1. (t 为参数) 这就是所求的参数方程．
普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特 别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普 通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是 不同的．如本例(2)，若令 x＝tan θ(θ 为参数)，则参数 方程为xy＝＝ttaann2θθ，＋tan θ－1 (θ 为参数)．
[解] (1)将 x＝ 3cos θ＋1 代入x－3 12＋y－522＝1 得：y ＝2＋ 5sin θ.
∴yx＝ ＝
3cos θ＋1， 5sin θ＋2.
(θ 为参数)
这就是所求的参数方程．
(2)将 x＝t＋1 代入 x2－y＋x－1＝0 得： y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1
那么xy＝＝gf（（tt））就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方
程的互化中，必须使 x，y 的_取__值__范__围__保持一致．
[例 1] 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数 方程．
(1)x－3 12＋y－522＝1，x＝ 3cos θ＋1.(θ 为参数) (2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t 为参数)
答案：y＝－x2＋1(－ 2≤x≤ 2)
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
自学导引
1．参数方程转化为普通方程 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般
地，可以通过_____消__去__参而数从参数方程得到普通方程． 2．普通方程转化为参数方程
如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如_x_＝__f_(_t)_， 把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系_y_＝__f_(t_)_，