人教A版高中数学选修4-4课件第二讲一3.参数方程和普通方程的互化
1．求 xy＝1 满足下列条件的参数方程：
(1)x＝t(t≠0)；(2)x＝tan θ(θ≠k2π，k∈Z)． 解：(1)将 x＝t 代入 xy＝1 得：t·y＝1， ∵t≠0，∴y＝1t ，
x＝t， ∴y＝1t (t 为参数，t≠0)． (2)将 x＝tan θ 代入 xy＝1 得：y＝ta1n θ.
x＝tan θ， ∴y＝tan1 θ
(θ 为参数，θ≠k2π，k∈Z).
[例 2] 将下列参数方程化为普通方程：
x＝tt＋ －11 (1)
y＝t3－2t 1
；(2)xy＝＝45scions
θ θ－1
(θ 为参数)．
[思路点拨] (1)可采用代入法，由 x＝tt＋ －11解出 t 代入 y 表达式．
(2)采用三角恒等变换求解．
[解] (1)由 x＝tt＋ －11，得 t＝xx＋ －11. 代入 y＝t3－2t 1化简得 y＝x＋31x2＋x－1 12(x≠1)．
(2)由xy＝＝45scions
θ θ－1
cos θ＝x5
得 sin
θ＝y＋4 1
①2＋②2 得2x52＋y＋1612＝1.
2．方程x＝t＋1t ， 表示的曲线是(
)
y＝2
A．一条直线
B．两条射线
C．一条线段
D．抛物线的一部分
解析：t＞0 时 x＝t＋1t ≥2
当 t＜0，x＝t＋1t ＝－(－t＋－1 t)≤－2.
即曲线方程为 y＝2(|x|≥2)，表示两条射线．
答案：B
3．把参数方程xy＝＝ssiinn
① ，
②
消去参数的方法一般有三种： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去 参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法 从整体上消去参数．
将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取 值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函 数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
θ－cos 2θ
θ，
(θ 为参数)化成普通方程
是________．
解析：将 x＝sin θ－cos θ 两边平方得 x2＝1－sin 2θ， 即 sin 2θ＝1－x2，代入 y＝sin 2θ，得 y＝－x2＋1.
又 x＝sin θ－cos θ＝ 2sin(θ－π4)，∴－ 2≤x≤ 2， 故普通方程为 y＝－x2＋1(－ 2≤x≤ 2)．
＝t2＋3t＋1
∴xy＝ ＝tt2＋＋13，t＋1. (t 为参数) 这就是所求的参数方程．
普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特 别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普 通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是 不同的．如本例(2)，若令 x＝tan θ(θ 为参数)，则参数 方程为xy＝＝ttaann2θθ，＋tan θ－1 (θ 为参数)．
[解] (1)将 x＝ 3cos θ＋1 代入x－3 12＋y－522＝1 得：y ＝2＋ 5sin θ.
∴yx＝ ＝
3cos θ＋1， 5sin θ＋2.
(θ 为参数)
这就是所求的参数方程．
(2)将 x＝t＋1 代入 x2－y＋x－1＝0 得： y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1
那么xy＝＝gf（（tt））就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方
程的互化中，必须使 x，y 的_取__值__范__围__保持一致．
[例 1] 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数 方程．
(1)x－3 12＋y－522＝1，x＝ 3cos θ＋1.(θ 为参数) (2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t 为参数)
答案：y＝－x2＋1(－ 2≤x≤ 2)
高中数学课件
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自学导引
1．参数方程转化为普通方程 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般
地，可以通过_____消__去__参而数从参数方程得到普通方程． 2．普通方程转化为参数方程
如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如_x_＝__f_(_t)_， 把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系_y_＝__f_(t_)_，
人教版高中数学选修4-4课件：2.1曲线的参数方程 第二课时.2
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29
【解析】(1)选D.xy=1,x取非零实数,而A,B,C中的x的
范围不符合要求.
(2)①把y=sinθ代入方程,得到 于是x2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,
x2 sin2 1， 4
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即x=±2|cosθ|,由于θ具有任意性,sinθ与cosθ的
t
2，(t为参数)化为普通方程为________.
【解析】消去y参 2数t 方程 x 中t2，的参数t,
得到普通方程为y2=4x. y 2t
答案:y2=4x
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【知识探究】 探究点 参数方程和普通方程的互化 1.同一曲线的参数方程是否唯一? 提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参 数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要 注意等价性.
(θ为参数)
x 2cos,
y 1 2பைடு நூலகம்in
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5
【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半
径为
2
,所以它的参数方程为 x
2cos,
(θ为参
数).
y 1 2sin,
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6
2.参数方程
x
(为参数) .
(1)3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),
其中 tan 且34φ, 的终边过点(4,3).
因为-5≤5sin(θ+φ)≤5,所以-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,
所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.
高二数学,人教A版,选修4-4 , 参数方程,和普通方程的互化, 课件
[规律方法]
①常选择的参数有角度、有向线段的长度、
截距、斜率、某一点的横(纵)坐标等． ②对于同一曲线，参数选择不同，所得参数方程也不同． 因为原曲线(x－1)2＋y2＝1是一个圆，选曲线上任一点与
x＝1＋cos 圆心的连线和x轴正向夹角θ为参数，则 y＝sin θ
θ，
(θ为参
数)，也是原曲线的参数方程．
第三节 参数方程和普通方程的互化
[学习目标]
1．了解参数方程化为普通方程的意义． 2．掌握参数方程化为普通方程的基本方法．
3．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题.
[学法指要]
1．理解参数方程化为普通方程的意义．(重点)
2．常与方程、三角函数和圆锥曲线结合命题． 3．掌握参数方程化为普通方程的方法，忽视等价转化是 易错点．(难点)
普通方程，并画出它所表示的曲线．
解析： 2 1 (1)当t－1>0时，x＝t－1＋ ＋1≥ t －1
1 t－1 ＋1＝3， t－1 时，即t＝2时取“＝”．
1 t－1＝ ， t － 1 当且仅当 t－1>0
(2)当t－1<0时，即1－t>0时， 1 1－ t ＋ ≥ 2， 1－t
－t t x＝2 －2 ， 方程 －t t y ＝ 2 ＋ 2
(t为参数)表示的曲线是什么呢？
曲线的参数方程和普通方程 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一 消去参数 而从参数方程得到普通方程． 般地，可以通过__________ (2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如 x＝f(t) ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关 __________
x＝ 1 t－1 (2) y＝ 1 2－t
高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程
【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
高中数学 参数方程和普通方程的互化课件 新人教A版选修4
22
24
0<x 2 ，故应选〔B〕
说明 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法
是最好的方法。ຫໍສະໝຸດ 第八页，编辑于星期五：十点 三十九分。
例4 求 椭 圆 x2y21的 参 数 方 程 。 94
( 1 ) 设 x = 3 c o s ， 为 参 数 ；
(2)设 y=2t， t为 参 数 .
解 ： （ 1 ） 参 数 方 程 是 x y 2 3s cio n s 为 参 数 。
由参数方程得：
scionsyx3,sin2cos2(x3)2y2 1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
第二页，编辑于星期五：十点 三十九分。
参数方程和普通方程的互化：
〔1〕普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
（ 2 ） 参 数 方 程 是 x31t2或 x－ 31t2
y2t
y2t
第九页，编辑于星期五：十点 三十九分。
练习 1 .化下列参数方程为普通 （ 1） x t 1
y 1 2 t
x sin t
(3) y
sin
2t
(
5
)
x
t
1 t
y 2
方程
x t
(2)
y
t2
(
4
)
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 〔x≥0〕
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，
人教新课标版数学高二A版选修4-4课件 第二讲 第1节 第3课时 参数方程和普通方程的互化
(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决 问题的关键．
(2)将所求的问题用恰当的参数表示，是解决此类问题 的转折点．
3．已知方程 y2－6ysin θ－2x－9cos2θ＋8cos θ ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．
(1)试证：不论 θ 如何变化，方程都表示顶点在同一 椭圆上的抛物线；
(2)θ 为何值时，该抛物线在直线 x＝14 上截得的弦 最长，并求出此弦长．
(1)（x－31）2＋（y－52）2＝1，x＝ 3cos θ＋1.(θ 为参数)
(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t 为参数)
[精讲详析] 本题考查化普通方程为参数方程的方 法，解答本题只需将已知的变量 x 代入方程，求出 y 即可．
(1)将
x＝
3cos
θ＋1
代
入（x－3 1）2
＋
（y－2）2 5
所以 x2＋y2 的最小值为 9.
答案：9
8．点(x，y)是曲线 C：xy＝＝s－in2＋θcos
θ，
(θ 为参数，0≤
θ＜2π)上任意一点，则xy的取值范围是________．
解析：曲线 C：xy＝＝s－in2＋θcos
θ，
是以(－2，0)为圆心，
1 为半径的圆，即(x＋2)2＋y2＝1.
设xy＝k，∴y＝kx. 当直线 y＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值． ∴ |－k22＋k|1＝1，k2＝13.
(1)求常数 a； (2)求曲线 C 的普通方程．
解：(1)由题意可知有1a＋t2＝2t1＝3，故ta＝＝11，，∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋. 2t， 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程得 y＝(x－2 1)2，即 (x－1)2＝4y 为所求.
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程
2
专题一
|PA|=
式 asin θ+bcos θ= ������2 + ������ 2 sin(θ+φ)求解 .
������ .转化为求关于 sin30°
θ 的三角函数的最值问题,利���� = 2cos������, (θ 为参数 ). ������ = 3sin������ 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)设曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ), 解： (1)曲线 C 的参数方程为 则点 P 到 l 的距离为 d= |4cos θ+3sin θ-6|,
专题一
专题二
例1求下列条件下普通方程4x2+y2=16对应的参数方程: (1)设y=4sin θ,θ为参数; (2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数. 分析：对于(1),可以直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x 即可;对于(2),可寻找斜率k与此方程任意一点的坐标之间的关系来 求解. 解：(1)把y=4sin θ代入方程,得4x2+16sin2θ=16, 于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ. 所以x=±2cos θ. 由于参数θ的任意性, 可取x=2cos θ, ������ = 2cos������, 2 2 因此4x +y =16的参数方程是 ������ = 4sin������ (θ 为参数).
高中数学新人教a版高二选修4-4精品课件：3_参数方程和普通方程的互化
（1）x t 1 y 1 2 t
x sin t
(3)
y
sin 2
t
(5)x
t
1 t
y 2
x t
(2)
y
t
2
(4)x
y
1 2 1 2
(et (et
et et
) )
一分耕耘一分收获
2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
A 、
x y
t2 t4
B 、
x y
sin t sin2
3、参数方程和普通方程 的互化
一分耕耘一分收获
由参数方程
x
y
cos sin
3,
( 为参数)直接判断点M 的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos sin
x y
3,sin2
cos2
(x
3)2
y2
1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
普通方程
如：①参数方程
x a r cos ,
y
b
r
sin
.
消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致。 否则，互化就是不等价的.
t
C、x t y t
D、x y
t t
2
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0，在A、B、C中，x,y的范围都
人教A版 选修4-4 第二讲 一 3.参数方程与普通方程的互化教案设计
参数方程和普通方程的互化教学目标1．理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的．2．基本掌握消去参数的方法．3．培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力．教学重点与难点使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法．教学过程师：前面的课程里，我们学习了参数方程，下面请看这样一个问题：(放投影片)由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线，交圆周于A、B两点，求AB中点P 的轨迹的参数方程(如图3-5)．分析割线过点Q(a，b)，故割线PQ方程为：此斜率k可作为参数．(投影)解设过点Q的直线方程是y-b=k(x-a)，则圆心O与AB中点P的即为所求点P的轨迹的参数方程．师：你能根据点P的参数方程说出点P的轨迹吗？生：(无言以对)看不出来．(启发学生猜想，培养参与意识．)师：你通过题目中点P符合的条件，多画几个点，猜想一下它的形状．(学生在纸上画，讨论．)生：点P的轨迹(1)过坐标原点，也就是已知圆的圆心．(2)轨迹不是直线．师：参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法．也就是说，参数方程里的参数可以协调x、y的变化．基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．即想办法消去参数k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了．把(3)代入(2)得：x2-ax+y2-by=0．(4)方程(4)证实了我们的猜想是正确的，具体地说：点P的轨迹是一个过圆心的圆弧(在圆x2+y2=r2的内部)．师：以上事例说明，有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，确实需要把参数方程化为我们认知的普通方程．这节课我们就来学习把参数方程化为普通方程的法则．例1 炮弹从点(0，0)以初速度v0向倾斜角为α的方向发射，问：(1)在时刻t的高度和水平距离如何？(2)炮弹描绘的(弹道)是一条什么样的曲线？(学生通过物理知识，很容易解决这个问题．)解(1)设炮弹发射后的位置在点M(x，y)(如图3-6)，因为炮弹在Ox方向是以v0cosα为速度的匀速直线运动，在Oy方向是以v0sinα为初速度的竖直上抛运动，所以按匀速直线运动的公式知：炮弹在时刻t的水平距离是x=v0cosα·t，按竖直上抛运动的位移公式知：炮弹在时即弹道曲线的参数方程上看不出来，那么怎么办呢？生：消去参数t，转化成为普通方程后，就可看出曲线的形状了．故炮弹描绘的曲线是一条抛物线．(含顶点在内的一部分．因为二次项系数是负值，所以这是开口向下的抛物线，与实际问题相吻合．)例2 把参数方程即3x+5y-11=0是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线．师：这个同学理解了消参的基本方法——代入消参法．这正与解方程组中代入消元法相类似．他用学过的知识解决了新问题．你认为他的解题过程有问题吗？生：挺好的．我与他解的一样，没问题．师：同学们在解题时注意参数t的取值范围了吗？生：t为不等于-1的实数，即t≠-1．师：答案是否有何不妥？生：没觉得哪儿不妥，轨迹确实是一条直线．师：普通方程是相对于参数方程而言的，它反映了坐标变量x与y之间的直接关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x与y之间的间接关系．如能消去参数(不是所有的参数方程都能化为普通方程)，参数方程就转化为普通方程，所以普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同的表达形式．为此，在化参数方程为普通方程时，必须注意变数的范围不应扩大或缩小，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减小．这就要求参数方程和消去参数后的普通方程等价．请修正一下你的答案．生：3x+5y-11=0(x≠-3)是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线(去掉点(-3，4))．师：观察一下方程(1)、(2)的形式与你学过的知识中哪个式子类似？(提供类比，用以理解直线的参数方程形式不只一种，它与选定的参数相关．)至此，想必学生悟到t的几何意义：动点P分P1P2所成的比，即t=解过点(2，1)，(-3，4)的直线方程是：化简，得3x+5y-11=0．师：这个事实说明，据参数的几何意义，也能达到消参的目的．师：例2表明，直线的参数方程的形式不只一种．那么对同一个参数方程来说，指定的参数不同，会带来曲线的形状不同吗？你试试看．(激发学生探索问题的兴趣)生：对同一个参数方程来讲，由于指定的参数不同，会带来曲线形状的变化．例4 化下列参数方程为普通方程．(让学生按小组讨论求解，然后在投影仪上打出答案．)略解(1)(x+1)2+y=sin2θ+cos2θ，所以 (x+1)2+y=1，(0≤y≤1)．所以x2-y2=4．师：消去参数的方法常用的有哪些？转化过程中应注意什么？(学生讨论后教师板书)消去参数的方法常用的有以下两种：(1)代入法：先求出参数的表达式，然后代入另一个方程中去(如例1)．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．(如例4)转化过程中应注意参数的范围不能扩大也不能缩小．也就是对应曲线上的点，不应增加也不应减少，保证参数方程和消参后的普通方程等价．师：方程组中有3个变量，其中的x和y表示曲线上点的坐标；θ是参变量．参数方程之所以能描绘出动点的轨迹，是由于当给出一个参数值时，就能唯一地求出相应的x与y的值，因而也就确定了这时点所在的位置．所以问题可转化为讨论当θ为何值时，点P到直线的距离最小问题．因为tanθ、cotθ同号，又|tanθ+2cotθ+2|≥|tanθ+2cotθ|-|2|，从例5的结论知道，参数θ不是问题的主要对象，却能牵动主要对象的根本性质．这个问题的解决再一次说明：参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解决某些问题有不可替代的优越性．师：这节课我们学习了参数方程化为普通方程的法则．首先通过问题的提出，我们知道有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．又在将参数方程化为普通方程的过程中，掌握了消去参数的常用方法，并且理解了参数方程和消去参数后所得的普通方程为什么要等价．家庭作业：一、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．二、关于t的方程t2+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x，y∈R，i是虚数单位)有实根，求动点P(x，y)的轨迹的普通方程．下面是作业题略解．一、(1)(x-x0)2+(y-y0)2=t2，以(x0，y0)为圆心，|t|为半径的圆．(2)y-y0=tanθ(x-x0)，过点(x0，y0)，斜率是tanθ的直线．(3)2x+y-5=0(0≤x＜3)，缺一个端点的线段．(4)y2-x2=4(y≥2)，双曲线的上支．二、已知方程整理为：(t2+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0因为x，y，t∈R，得4x2+y2+4x-2y=0为所求．设计说明参数方程与普通方程的互化，应该是两课时，这是第一课时的内容：参数方程化为普通方程．对这一问题课本仅用3／2页的篇幅介绍了互化的方法共3个例题．纵观全章《参数方程、极坐标》也只是对参数方程进行了初步研究．而事实上，参数方程也是解析几何的重要内容之一，是继续学习数学知识的基础，在生产实践中也有广泛的应用．我们知道，参数方程与带有参数的问题固然不同，但是学习参数方程对于熟练参数的运用却很有帮助．更有一类问题，看来不是参数方程，而实质上是参数方程问题．这就是所求轨迹的方程，轨迹是双曲线．这解法有些使人莫名其妙，实际上这是参数方程．本来我们应该先把对应直线的交点求出来：这就是所求轨迹的参数方程．为了求x、y的方程而消t的话，可以照这样进行：数学中的参数好像是一种活泼的元素，有它的时候可以添一些麻烦，但这麻烦却多半是有趣的现象．它能使一些问题化繁为简．故活用参数，问题，常规解法是：这一问题也可巧用参数，把它转化成求过动点(cosθ，sinθ)和定点(1，2)直线的斜率取值范围问题．动点P(cosθ，sinθ)的轨迹是以坐标原点为圆心，1为半径的圆(挖去(1，0)点)．如图3-7知：。
2019年数学人教A版选修4-4优化课件：第二讲 一 第三课时 参数方程和普通方程的互化 含答案
x＋ y＝ a，设 x＝acos2φ，φ 为参数．
解析：把 x＝acos2φ 代入普通方程 x＋ y＝ a，得
a|cos φ|＋ y＝ a，
所以 y＝ a(1－|cos φ|)，
所以 y＝a(1－|cos φ|)2，所以普通方程
x＋ y＝ a化为参数方程为
x＝acos2φ， y＝a1－|cos φ|2
(2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t) ，把它代入普通方 程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么xy＝＝gftt 就是曲线的参数方程．在 参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的 取值范围 保持一致．
[双基自测]
1．将参数方程xy＝＝s2i＋n2θsin2θ， (θ 为参数)化为普通方程为(
为(－4,3)，半径为 1 的圆. ……………………………………………………………2 分
由
C2：xy＝＝38scions
θ， θ
(θ 为参数)，
cos 则
sin
θ＝x8， θ＝3y，
由 cos2θ＋sin2θ＝1 得6x42＋y92＝1，即为曲线 C2 的普通方程．C2 表示
的是中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长为 8，短半轴长为 3 的椭圆.…5 分
参数方程化为普通方程需注意的事项 (1)参数方程化为普通方程后，x，y 的取值范围要保持绝对一致，否则就不等价， 如本例(2)中－3≤x≤5 与 y≤2 在普通方程中已经隐含着，可以不作标注，但是普 通方程中没有隐含－2≤y，因此这一条标注是必不可少的． (2)参数方程与普通方程是否等价，还可以研究图形而得出．本例(2)中的参数方程 表示的图形是直线 y＝－2 上方的半圆，因此求出的普通方程(x－1)2＋(y＋2)2＝16， 必须要标注 y≥－2.