高中数学复数(DOC)
高中数学公式大全复数与复平面
高中数学公式大全复数与复平面高中数学公式大全：复数与复平面一、复数的基本概念复数是由实数和虚数所组成的数。
通常表示为a+bi的形式，其中a 是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i² = -1。
复数可以用来解决实数范围内无解的问题，例如开平方根的运算。
二、复数的运算1. 复数的加法和减法：对于复数a+bi和c+di，其加法运算为：(a+bi)+(c+di) =(a+c)+(b+d)i；减法运算为：(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i。
2. 复数的乘法：对于复数a+bi和c+di，其乘法运算为：(a+bi)·(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：对于复数a+bi和c+di，其除法运算为：(a+bi)/(c+di) =[(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i。
4. 复数的共轭：对于复数a+bi，其共轭复数记作a-bi，即共轭复数与原复数的实部相同，虚部符号相反。
5. 复数的模和幅角：对于复数a+bi，其模记作|a+bi| = √(a²+b²)，表示复数与原点的距离；其幅角记作θ = arctan(b/a)，表示复数与正实轴的夹角。
三、复平面复数可以用复平面上的点来表示，其中实数部分对应复平面上的横坐标，虚数部分对应复平面上的纵坐标。
复平面分为实轴和虚轴，原点表示复数0。
复数的模对应复平面上点到原点的距离，幅角对应点与正实轴的夹角。
四、复数的指数形式复数还可以表示为指数形式，即a+bi = |a+bi|·e^(iθ)，其中e为自然常数。
指数形式方便复数的乘除运算，并可将复数的幂次运算转化为简单的乘法运算。
五、常见的复数等式1. 欧拉公式：e^(iπ) + 1 = 0，这个公式将五个重要的数学常数联系在一起：0、1、π、i、e。
新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念
7．1复数的概念7．1.1数系的扩充和复数的概念考点学习目标核心素养复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算问题导学预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数集全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集．(3)复数的表示方法复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ. (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.( ) (3)复数z ＝b i 是纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√若z ＝a ＋(a 2－1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1或－1 答案：D以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i 答案：A若(x －2y )i ＝2x ＋1＋3i ，则实数x ，y 的值分别为________． 答案：－12 －74复数的概念下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④【解析】对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋b i的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒]解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．对于复数a＋b i(a，b∈R)，下列说法正确的是()A．若a＝0，则a＋b i为纯虚数B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2C．若b＝0，则a＋b i为实数D．i的平方等于1解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋b i也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.故选C.复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i ：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧m ≠0，m 2＋m －6m＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.1．若复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C.复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故选C.2．当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是： (1)纯虚数；(2)实数．解：(1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7＝1m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.(2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m＝－3.复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2.【答案】 (1)A (2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－ 1.1．若复数z ＝a i 2－b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则一定有( ) A ．b ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B.z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0. 2．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D.因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.3．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3.答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3. 答案：3[A基础达标]1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是()A．1－i B．1＋iC．－3＋3i D．3＋3i解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则()A．a＝0或a＝2 B．a＝0C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝()A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：选B.由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠b D．a≤0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.5．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.6．如果x－1＋y i与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．解析：由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.答案：1417．复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________. 解析：因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5. 答案：58．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )是虚数，则m 的取值范围是________．解析：因为z 为虚数，所以log 12(3－m )≠0，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋m >0，3－m ≠1，3－m >0，解得－1<m <3且m ≠2. 答案：(－1，2)∪(2，3)9．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(m ∈R )． (1)若复数z 是实数，求实数m 的值； (2)若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围； (3)若复数z 是纯虚数，求实数m 的值； (4)若复数z 是0，求实数m 的值．解：(1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数， 所以m ＝5或－3.(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数． 所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是0，所以m ＝－3.10．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x ＋32＋2（y ＋1）i ＝y ＋4x i ，（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值． 解：设(x 0，y 0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝y 0 ①，2（y 0＋1）＝4x 0②，2x 0＋ay 0＝9 ③，－（4x 0－y 0＋b ）＝－8④，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝52，y 0＝4，代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以实数a ，b 的值分别为1，2.[B 能力提升]11．“复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数”是“a ＝－2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为1－a ＋a 2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，所以若复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数，则4－a 2＝0，即a ＝±2；当a ＝－2时，4－a 2＋(1－a ＋a 2)i ＝7i 为纯虚数，故选B.12．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝13.所以实数对(x ，y )表示的点有⎝⎛⎭⎫3，13，⎝⎛⎭⎫－1，13，共有2个． 答案：213．已知复数z ＝m 2＋3m ＋1＋(m 2＋5m ＋6)i<0(m ∈R )，则m 的值为________． 解析：因为z <0，所以z ∈R ，所以m 2＋5m ＋6＝0， 解得m ＝－2或m ＝－3.当m ＝－3时，z ＝1>0，不符合题意，舍去； 当m ＝－2时，z ＝－1<0，符合题意． 故m 的值为－2. 答案：－214．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，即a ＋3＝0且b 2－1＝3，得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意，舍去； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}．符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意，舍去；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1，b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0，b 2－b －3＝0，此方程组无整数解． 综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.[C 拓展探究]15．已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2， 解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y ＋1＝2sin α， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α－1.(α∈R ) 所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋2 5 ]．。
高中数学-复数的基础知识
复数基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根,i 称为虚数单位,由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi(a ，b ∈R ）的数,称为复数.所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a ，b ∈R)，a 称实部记作Re(z)，b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将（a,b ）作为坐标平面内点的坐标,那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射.因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式;如果将(a ，b ）作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量.因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z,见图15-1，连接OZ,设∠xOZ=θ，|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r （cos θ+isin θ),这种形式叫做三角形式.若z=r （cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg （z ）。
r 称为z 的模，也记作|z|,由勾股定理知｜z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式.3．共轭与模，若z=a+bi,(a,b ∈R ），则=z a —bi 称为z 的共轭复数.模与共轭的性质有：(1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅;(3)2||z z z =⋅;（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（5)||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =;（7)|｜z 1|—|z 2|｜≤|z 1±z 2｜≤|z 1｜+｜z 2｜；（8)|z 1+z 2|2+｜z 1—z 2｜2=2｜z 1｜2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。
高中数学竞赛第十五章 复数【讲义】
第十五章 复数 一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。
若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。
模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。
(完整版)高中数学复数
第1章：复数与复变函数§1 复数1．复数域形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。
实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。
记为z x Re =， z y Im =虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数,实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。
复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数,z 的共轭复数记为z 。
设,复数的四则运算定义为加（减）法： 乘法：除法:相等：当且仅当复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域。
在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示,所有复数构成的集合用C 表示。
例 设i 3,i 5221+=-=z z ,求21z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐,可以利用共轭复数的运算结果。
解 为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z 2．复平面一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。
于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。
如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来,这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴,y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点所引的矢量与复数z 也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则,例如：这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系。
全国通用版高中数学第七章复数知识点总结归纳完整版
(名师选题)全国通用版高中数学第七章复数知识点总结归纳完整版单选题1、若z=1+2i+i3，则|z|=（）A．0B．1C．√2D．2答案：C分析：先根据i2=−1将z化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．因为z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，所以|z|=√12+12=√2．故选：C．小提示：本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．2、复数z=1a−1+(a2−1)i是实数，则实数a的值为（）A．1或-1B．1C．-1D．0或-1答案：C分析：利用复数是实数的充要条件，列式计算作答.因复数z=1a−1+(a2−1)i是实数，则{a−1≠0a2−1=0，解得a=−1，所以实数a的值为-1.故选：C3、在复平面内，复数z=(a2−2a)+(a2−a−2)i(a∈R)是纯虚数，则（）A ．a =0或a =2B ．a =0C ．a ≠1且a ≠2D ．a ≠1或a ≠2答案：B分析：利用复数是纯虚数的条件，即：实部为零且虚部不为零求解参数的值.复数z =(a 2−2a )+(a 2−a −2)i (a ∈R )是纯虚数,所以{a 2−2a =0a 2−a −2≠0，解得：a =0， 故选：B.4、已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ）A ．1B ．–1C ．2D ．–2答案：C分析：根据复数为实数列式求解即可.因为(a −1)+(a −2)i 为实数，所以a −2=0，∴a =2，故选：C小提示：本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.5、设2(z +z )+3(z −z )=4+6i ，则z =（ ）A ．1−2iB ．1+2iC ．1+iD ．1−i答案：C分析：设z =a +bi ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .设z =a +bi ，则z =a −bi ，则2(z +z )+3(z −z )=4a +6bi =4+6i ，所以，{4a =46b =6，解得a =b =1，因此，z =1+i . 故选：C.6、复数2−i1+3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C分析：利用复数的除法可化简2−i1+3i，从而可求对应的点的位置.∵2−i1+3i =(2−i)(1−3i)10=−1−7i10，所以该复数对应的点为(−110,−710)，在第三象限.故选：C.7、设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．(x+1)2+y2=1B．(x−1)2+y2=1C．x2+(y−1)2=1D．x2+(y+1)2=1答案：C分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．z=x+yi,z−i=x+(y−1)i,|z−i|=√x2+(y−1)2=1,则x2+(y−1)2=1．故选C．小提示：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．8、若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z̅=（）A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i答案：D分析：根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.因为(z-1)i=1+i，所以z=1+2ii =(1+2i)ii×i=2−i，所以z=2+i. 故选：D.9、若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0B．1C．√2D．2答案：D分析：由题意首先求得z2−2z的值，然后计算其模即可.由题意可得：z2=(1+i)2=2i，则z2−2z=2i−2(1+i)=−2.故|z2−2z|=|−2|=2.故选：D.小提示：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.10、若复数z满足z(1−2i)=5，则（）A．z=1−2iB．z+1是纯虚数C．复数z在复平面内对应的点在第二象限D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则cosα=√55答案：D分析：利用复数的除法求复数z及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.=1+2i且对应点在第一象限，A、C错误；由题设，z=51−2iz+1=2+2i不是纯虚数，B错误；，D正确.由z在复平面内对应的点为(1,2)，所以cosα=√55故选：D11、若z=1+i．则|i z+3z̅|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2答案：D分析：根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．因为z=1+i，所以i z+3z̅=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|i z+3z̅|=√4+4=2√2．故选：D.12、复数1−3i(1−i)(1+2i)=（）．A．−1B．−i C．35−45i D．35−i答案：B解析：根据复数的乘法、除法的运算法则，准确运算，即可求解.根据复数的运算法则，可得1−3i(1−i)(1+2i)=1−3i3+i=(1−3i)(3−i)(3+i)(3−i)=−10i10=−i.故选：B.填空题13、在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z=___________.答案：−2−8i##−8i−2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,−5)，则z=3−5i，所以(1−i)z=(1−i)(3−5i)=−2−8i.所以答案是：−2−8i14、已知复数z满足|z−1−2i|=2，则|z|的最大值为___________.答案：2+√5分析：设z=a+b i,ab∈R，由已知条件求出复数z=a+b i对应的点(a,b)的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解.设z=a+b i,ab∈R，由|z−1−2i|=2，可得|a−1+(b−2)i|=2，则√(a−1)2+(b−2)2=2，即(a−1)2+(b−2)2=4，复数z=a+b i对应的点(a,b)的轨迹是以A(1,2)为圆心，半径r=2的圆，而|z|表示复数z 对应的点到坐标原点O 的距离，所以|z|的最大值就是|OA|+r =√12+22+2=2+√5.所以答案是：2+√5.15、1−i1+2i （其中i 是虚数单位）的共轭复数为___________.答案：−15+35i 分析：首先根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数；解：1−i 1+2i =(1−i )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=1−2i−i+2i 25=−15−35i 故1−i 1+2i （其中i 是虚数单位）的共轭复数为−15+35i所以答案是：−15+35i16、设z 1=2(cos π3+isin π3)，z 2=√22(sin π6+i cos π6)，则z 1⋅z 2的三角形式为___________. 答案：√2(cos 2π3+i sin 2π3)分析：先将z 1,z 2化简，然后计算z 1⋅z 2，再转化为三角形式即可因为z 1=2(cos π3+isin π3)=1+√3i ， z 2=√22(sin π6+i cos π6)=√22(12+√32i )=√24+√64i ， 所以z 1⋅z 2=(1+√3i )(√24+√64i ) =√24+√64i +√64i +3√24i 2 =−√22+√62i =√2(−12+√32i ) =√2(cos 2π3+isin 2π3)，所以答案是：√2(cos 2π3+i sin 2π3)17、写出一个复数z，使得z满足z2∈R且z∉R，则z可以为______．答案：i（不唯一）分析：根据z满足z2∈R且z∉R求解.解：因为z满足z2∈R且z∉R，所以z可以为：i，所以答案是：i（不唯一）解答题18、已知复数z1=1+i，z2=3−i.(1)求z2z1；(2)若z=a+4i(a∈R)满足z+z2为纯虚数，求|z|.答案：(1)1−2i(2)5分析：（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；（2）根据纯虚数的概念即可求出参数a，再根据复数模的计算公式即可求出．(1)z2 z1=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−3i−i−12=1−2i．(2)因为z+z2=(a+3)+3i为纯虚数，∴a+3=0，∴a=−3.即z=−3+4i，|z|=√(−3)2+42=5．19、已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是1+2i，−2+i，−1−2i，求第四个顶点所对应的复数．答案：2−i分析：根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可．设复数1+2i ，−2+i ，−1−2i 对应的点分别为A,B,C则A(1,2)，B(−2,1)，C(−1,−2)，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+3=0，所以∠ABC =90° 设第四个点为D(x,y)，则按照A,B,C,D 的顺序才能构成正方形，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(−3，−1)=(−1−x ，−2−y) 即{−1−x =−3−2−y =−1 ，解得{x =2y =−1， 则D(2,−1)，对应的复数为2−i ，所以答案是：2−i20、（Ⅰ）在①z +z̅=4，②z 为纯虚数，③z 为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知复数z =(m 2−3m +2)+(m 2−5m +6)i （i 为虚数单位），z̅为z 的共轭复数，若_________，求实数m 的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）（Ⅱ）在复数范围内解关于x 的方程：x 2+2x +2=0．答案：（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）x 1=−1+i,x 2=−1−i分析：（Ⅰ）由复数的类型以及运算，列出关系式，从而得出实数m 的值；（Ⅱ）由配方法结合复数的性质得出方程的解.（Ⅰ）①∵z̅=(m 2−3m +2)−(m 2−5m +6)i,z +z̅=4∴2(m 2−3m +2)=4，即m 2−3m =0，解得m =0或m =3②∵z 为纯虚数∴{m 2−3m +2=0m 2−5m +6≠0，解得m =1 ③∵z 为实数，∴m 2−5m +6=0，解得m =2,m =3（Ⅱ）∵(x +1)2=−1=i 2，∴x 1=−1+i,x 2=−1−i。
高中数学第七章复数知识点梳理(带答案)
高中数学第七章复数知识点梳理单选题1、设m ∈R ，则“m =2”是“复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C分析：求出z =(m +2i )(1+i )为纯虚数时m 的值，与m =2比较，判断出结果z =(m +2i )(1+i )=m −2+(m +2)i ，复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数，则m −2=0，解得：m =2，所以则“m =2”是“复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数”的充要条件故选：C2、若复数z =(1+i)23+4i ，则|z |=（ ） A ．45B ．35C ．25D ．√25答案：C解析：先求出z =8−6i 25，再求出|z|得解. 由题得z =(1+i )23+4i =2i 3+4i =2i (3−4i )(3+4i )(3−4i )=8+6i 25， 所以|z |=√(825)2+(625)2=1025=25.故选：C3、设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：先求出共轭复数再判断结果.由z =−3+2i,得z =−3−2i,则z =−3−2i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．小提示：本题考点为共轭复数，为基础题目．4、已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数z1+i+i是实数，则|z|的最小值为（）A．0B．52C．5D．√2答案：D分析：利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.解：∵复数z1+i +i=(x+yi)(1−i)(1+i)(1−i)+i=x+y+(y−x+2)i2是实数y−x+2=0故x=y+2|z|=√x2+y2=√(y+2)2+y2=√2y2+4y+4=√2(y+1)2+2≥√2当且仅当y=−1,x=1时取等号|z|的最小值为√2故选：D5、设i为虚数单位，若zi=2+√5i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．3答案：D分析：根据复数的乘法，利用对应相等先求得z=√5−2i，再求模长即可得解.令z=a+bi，zi=ai−b=2+√5i，所以a=√5,b=−2，即z=√5−2i，所以|z|=√5+4=3，故选：D6、已知复数z1﹑z2满足|z1−z2|=r(r>0)，复数ωi(1≤i≤n,n∈N∗)满足|ωi−z1|=r或者|ωi−z2|=r，且|ωi−ωj|≥r对任意1≤i<j≤n成立，则正整数n的最大值为（）A．6B．8C．10D．12答案：C解析：用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，根据题意，可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，因为|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，根据其几何意义可得ωi 的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，因为|z 1−z 2|=r (r >0)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 又ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，则ωi 可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为|ωi −ωj |≥r ，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60°，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到ωi 的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.7、复数1−cosθ−isinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是（ ）A ．2sin θ2(cos θ+π2+isin θ+π2)B ．2sin θ2(cos π−θ2+isin π−θ2) C ．2sin θ2(cosθ−π2+isin θ−π2)D ．2cos θ2(cos π−θ2+isin π−θ2) 答案：C分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1−cosθ−isinθ=2sin 2θ2−2isin θ2cos θ2=2sin θ2(sin θ2−icos θ2)=2sin θ2(cos π−θ2−isin π−θ2) =2sin θ2[cos π−θ2+isin (−π−θ2)] =2sin θ2(cos θ−π2+isin θ−π2)，故选：C.8、复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ）A ．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)B ．OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3，0)C ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)D ．OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，-2) 答案：C分析：结合纯虚数概念判断即可向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)对应的复数为23i ，是纯虚数. 故选：C多选题9、下列说法正确的是（）A ．若|z |=2，则z ⋅z =4B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1z 2=0C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等D ．“a ≠1”是“复数z =(a −1)+(a 2−1)i (a ∈R )是虚数”的必要不充分条件答案：AD解析：由|z |求得z ⋅z 判断A ；设出z 1，z 2，证明在满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|时，不一定有z 1z 2=0判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.若|z |=2，则z ⋅z =|z |2=4，故A 正确；设z 1=a 1+b 1i (a 1,b 1∈R )，z 2=a 2+b 2i (a 2,b 2∈R )由|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，可得|z 1+z 2|2=(a 1+a 2)2+(b 1+b 2)2=|z 1−z 2|2=(a 1−a 2)2+(b 1−b 2)2 则a 1a 2+b 1b 2=0，而z 1z 2=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )=a 1a 2−b 1b 2+a 1b 2i +b 1a 2i =2a 1a 2+a 1b 2i +b 1a 2i 不一定为0，故B错误；当z=1−i时z2=−2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；若复数z=(a−1)+(a2−1)i(a∈R)是虚数，则a2−1≠0，即a≠±1所以“a≠1”是“复数z=(a−1)+(a2−1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件，故D正确；故选：AD小提示：本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.10、给出下列命题，其中是真命题的是（）A．纯虚数z的共轭复数是−z B．若z1−z2=0，则z1=z2C．若z1+z2∈R，则z1与z2互为共轭复数D．若z1−z2=0，则z1与z2互为共轭复数答案：AD解析：A．根据共轭复数的定义判断.B.若z1−z2=0，则z1=z2，z1与z2关系分实数和虚数判断.C.若z1+z2∈R，分z1,z2可能均为实数和z1与z2的虚部互为相反数分析判断.D. 根据z1−z2=0，得到z1=z2，再用共轭复数的定义判断.A．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B．若z1−z2=0，则z1=z2，当z1,z2均为实数时，则有z1=z2，当z1，z2是虚数时，z1≠z2，所以B是假命题；C．若z1+z2∈R，则z1,z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；D. 若z1−z2=0，则z1=z2，所以z1与z2互为共轭复数，故D是真命题.故选：AD小提示：本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11、已知复数z1=1−3i，z2=3+i，则（）A．|z1+z2|=6B．z1−z2=−2+2iC．z1z2=6−8i D．z1z2在复平面内对应的点位于第二象限答案：BC分析：直接根据复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义依次判断4个选项即可.由题可知，|z1+z2|=√42+(−2)2=2√5，A不正确；z1−z2=−2+2i，B正确；z1z2=(1−3i)(3+i)=3+i−9i−3i2=6−8i，C正确；对应的点在第四象限，D不正确.故选：BC.12、已知方程x2+2(1+i)x+(a−b)i+2ab=0(a,b∈R)，则下列说法正确的是（）A．若方程有一根为0，则a=0且b=0B．方程可能有两个实数根时，方程可能有纯虚数根C．ab<12D．若方程存在实数根x0，则x0≤0或x0≥2答案：AD分析：将方程进行等价变形为x2+2x+2ab+(a−b+2x)i=0，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当a=0且b=0时，无纯虚根判断C.解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有(a−b)i+2ab=0，则有a=b，2ab=0，即a=0且b=0，故A正确；B选项：方程可变形为：x2+2x+2ab+(a−b+2x)i=0，即x2+2x+2ab=0,(a−b+2x)=0，则x=b−a，只有一解，故B错误；2C选项：当a=0且b=0时，方程仅存在一解x=0，此时无纯虚根，故C错误；，代入方程可得：b2+a2+4b−4a+6ab=0，即(b−a)2+D选项：若方程存在实数根x0，则x0=b−a24(b−a)−8(−a)b=0，即(b−a)2+4(b−a)−2(b−a)2≤0，解得：(b−a)≤0或(b−a)≥4，即x0≤0或x0≥2，故D正确故选：AD13、下列命题中正确的有（）A．若复数z满足1∈R，则z∈R；B．若复数z满足z2∈R，则z∈R；zC．若复数z1,z2满足z1z2∈R，则z1=z2；D．若复数z∈R，则z∈R．答案：AD分析：根据复数的运算性质，即可判定A正确；取z=i，可判定B不正确；取z1=1+i,z2=2−2i，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.对于A中，设复数z=a+bi,(a,b∈R)，可得1z =a−bi(a+bi)(a−bi)=aa2+b2−ba2+b2i，因为1z∈R，可得b=0，所以z=a∈R，所以A正确；对于B中，取z=i，可得z2=−1，所以B不正确；对于C中，例如：z1=1+i,z2=2−2i，则z1z2=(1+i)×2(1−i)=4∈R，此时z1≠z2，所以C不正确；对于D中，设z=a+bi,(a,b∈R)，由z∈R，可得b=0，即z=a，可得z=a∈R，所以D正确.故选：AD填空题14、设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则2x+√2y=+2=0＋z2的虚部为_____.答案：－1分析：由题意结合共轭复数的概念、复数的运算可得zz+z2=−i，再由虚部的概念即可得解.∵z＝1－i(i为虚数单位)，∴z=1+i，∴zz +z2=1+i1−i+(1−i)2=(1+i)2(1−i)(1+i)−2i=2i2−2i=−i，∴zz+z2的虚部为−1.所以答案是：−1.小提示：本题考查了共轭复数的求解、复数的运算、复数虚部的求解，牢记知识点、细心计算是解题关键，属于基础题.15、已知|z−1−i|=1，则|z+i|的取值范围是_____________；答案：[√5−1,√5+1]分析：利用复数的几何意义求解，|z−1−i|=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，|z+i|表示复平面内到点(0,−1)的距离，结合两点间距离公式可求范围.因为在复平面内，|z−1−i|=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；|z+i|表示复平面内的点到点(0,−1)的距离，最小值为√(0−1)2+(−1−1)2−1=√5−1，最大值为√(0−1)2+(−1−1)2+1=√5+1，所以|z+i|的取值范围是[√5−1,√5+1].所以答案是：[√5−1,√5+1].小提示：名师点评本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z=x+yi，则|z−a−bi|表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，|z−a−bi|=r表示以(a,b)为圆心，以r为半径的圆上的点.16、已知复数z满足z(1−i)=(1+i)2，则z=___________.答案：−1+i##i-1分析：利用复数的运算进行化简即可．z(1−i)=(1+i)2=2i，则z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=i−1，所以答案是：−1+i解答题17、已知复数z=m（m+2）+（m2+m-2）i．(1)若z是纯虚数，求实数m的值；(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．答案：(1)m=0(2)（0，1）分析：（1）根据纯虚数的概念，让实部等于零，虚部不等于零，列方程求解即可；（2）根据复数z在复平面内对应的点位于第四象限，得到实部大于零，虚部小于零，列不等式求解即可.（1）若复数是纯虚数，则{m(m+2)=0m2+m−2≠0，解得m=0或m=−2且m≠1，m≠−2，所以m=0.（2）复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则{m(m+2)>0m2+m−2<0，解得0<m<1，故m的取值范围为(0,1).18、已知复数z 1=2−5i ，z 2=1+(2cosθ)i .(1)求z 1⋅z 1；(2)复数z 1，z 2对应的向量分别是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O 为坐标原点，当θ=π3时，求OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 答案：(1)29；(2)-3.分析：（1）求出z 1，再利用复数乘法运算计算作答.（2）根据给定条件，求出OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算作答.(1)因复数z 1=2−5i ，则z 1=2+5i ，所以z 1⋅z 1=(2−5i)(2+5i)=29.(2)依题意，OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−5)，当θ=π3时，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2cosθ)=(1,1)，所以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(−5)×1=−3.。
高中数学复数专题知识点整理(K12教育文档)
(直打版)高中数学复数专题知识点整理(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(直打版)高中数学复数专题知识点整理(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(直打版)高中数学复数专题知识点整理(word版可编辑修改)的全部内容。
专题二 复数【1】复数的基本概念（1)形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，)；复数的单位为i ，它的平方等于－1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；(4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；(象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++;（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复 数知识回顾:一、复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于1-，即2i 1=-；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方：4414243*i1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数，单个复数常常用字母z 表示．把复数z 表示成i a b +时，叫做复数的代数形式．,a b 分别叫做复数的实部与虚部，记作Re ,Im z z ． 注意复数的实部和虚部都是实数．3. 复数相等如果两个复数1i(,)R z a b a b =+∈和2i(,)R z c d c d =+∈的实部和虚部分别相等，即,a c b d ==，那么这两个复数相等，记作i i a b c d +=+．一般的，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．4. 共轭复数当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭．复数z 的共轭复数用z ，也就是当i z a b =+时，i z a b =-． a a =，i i b b =-．二、复数的分类正整数有理数,Q Z q p q p ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭零（0a b ==） 实数R ：（0b =） 负整数复数C 无理数i(,)R z a b a b =+∈纯虚数（0a =）虚数（0b ≠）非纯虚数（0a ≠）i z a b =+是实数0b z z ⇔=⇔=．i z a b =+是纯虚数0,00,0a b z z z ⇔=≠⇔+=≠．三、复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2. 复数的坐标表示一个复数i z a b =+对应了一个有序实数对(,)a b ；反之一个有序实数对(,)a b 对应了一个复数i a b +．在复平面内，复数i z a b =+与复平面内的点(,)Z a b 是一一对应的．我们常把复数i a b +看作点(,)Z a b ．3. 复数的向量表示在复平面内，复数i z a b =+与点(,)Z a b 是一一对应的，而点(,)Z a b 与向量OZ （O 为原点）又成一一对应，因此复数i z a b =+与向量OZ 也是一一对应的，即复数i a b +可由向量OZ 表示，并且规定相等的向量表示同一个复数．我们也把复数i a b +看作向量OZ ．4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =特别地，如果0b =，则z a =就是一个实数，它的模就等于a ，故模是实数中绝对值概念在复数中的推广．四、复数的运算1. 加法（1） 法则复数的加法按照一下规定的法则进行：设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的和是(i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．（2） 性质① 交换律：1221z z z z +=+② 结合律：123123()()z z z z z z ++=++（3） 几何意义设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2. 减法（1） 法则复数的减法是加法的逆运算．设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的差是(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．（2） 几何意义设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3. 乘法（1） 法则复数的乘法规定为：2(i)(i)i i i ()()i a b c d ac bc ad bd ac bd bc ad ++=++-=-++．（2） 性质① 交换律：1221z z z z ⋅=⋅② 结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅③ 分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=+4. 乘方（1） 法则复数的乘方运算是指几个相同复数相乘．（2） 性质① m n m n z z z+⋅= ② ()m n mn z z =③ 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法复数的除法是乘法的逆运算，即复数i a b +除以复数i(i 0)c d c d ++≠的商是指满足(i)(i)i c d x y a b ++=+的复数i x y +，记作i ia b c d ++． 一般通过“分母实数化”进行除法运算，即11212222222(0)z z z z z z z z z z ⋅⋅==≠⋅．6. 复数运算的常用结论（1） 222(i)2i a b a b ab +=-+，22(i)(i)a b a b a b +-=+（2） 2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-（3） 1i i 1i +=-，1i i 1i-=-+ （4） 1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭，z z =． （5） 2z z z ⋅=，z z =（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，nn z z =五、复数的平方根与立方根1. 平方根如果复数i a b +和i(,,,)R c d a b c d +∈满足2(i)i a b c d +=+，则称i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根．1的平方根是i ±．2. 立方根如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根：21,,ωω．12ω=-，212ωω==--，31ω=． 210ωω++=．（2） 1-的立方根：111,22z z -=+=． 六、复数方程1. 常见图形的复数方程（1） 圆：0z z r -=（其中0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆：122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线：122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：1,21,21,20 20 20 2b x a b x a b x a ⎧-±∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪-±∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 （2） 韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（3） 实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，则z =a-bi 也是一个根。
3. 复系数方程问题常见类型（1） 已知方程的实根，求方程的复系数c解法：设i c a b =+，将方程的实根代入方程，利用复数相等的性质求解,a b 得到c ．（2） 求解复系数方程的根解法：设方程的根i a b +，代入方程，利用复数相等的性质求解,a b 得到复根． 典型例题:例 .m 取何实数时，复数i m m m m m z )152(3622--++--=（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数．由于所给复数z 已写成标准形式，即)R (∈+=b a bi a z 、，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题．同步练习:1. 设复数),(R b a bi a z ∈+=，则z 为纯虚数的必要不充分条件是____________。
2. 已知复数)()65(167222R a i a a a a a z ∈--+-+-=，那么当a=_______时，z 是实数； 当a ∈__________________时，z 是虚数；当a=___________时，z 是纯虚数。
3. 已知0)2(622=-++-+i y x y x ，则实数.___________,__________==y x4. 若复数a 满足i ai a 4421+-=+-,则复数a=___________。
5. 已知R a ∈，则复数i a a a a z )106()22(22--++-=必位于复平面的第_____象限。
6. 复数2i i z +=在复平面对应的点在第_______象限。
7. 设i 是虚数单位，计算=+++432i i i i ________.8. 已知向量1OZ 对应的复数是i 45-，向量2OZ 对应的复数是i 45+-， 则1OZ +2OZ 对应的复数是___________。
9. 已知复数|2||4|),(+=-∈+=z i z R y x yi x z 满足条件，则y x 42+的最小值 是________。
10. 计算： ________21211_________1__________|)4()23(|________5)3()5(等于，则已知z i i z ii i i i i i ---==+=--+=---- 11. 复数ii z 213--=的共轭复数是__________。
12. 如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =____________.13. 设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 。
14. 已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，则,p q 的值为_______15. 求i 125+的平方根。