高中数学复数(DOC)

复 数

知识回顾:

一、复数的概念

1. 虚数单位i

（1） 它的平方等于1-，即2i 1=-；

（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．

（3） i 的乘方：4414243*i

1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．

2. 复数的定义

形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数，单个复数常常用字母z 表示．把复数z 表示成i a b +时，叫做复数的代数形式．,a b 分别叫做复数的实部与虚部，记作Re ,Im z z ． 注意复数的实部和虚部都是实数．

3. 复数相等

如果两个复数1i(,)R z a b a b =+∈和2i(,)R z c d c d =+∈的实部和虚部分别相等，即,a c b d ==，那么这两个复数相等，记作i i a b c d +=+．一般的，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．

4. 共轭复数

当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭．复数z 的共轭复数用z ，也就是当i z a b =+时，i z a b =-． a a =，i i b b =-．

二、复数的分类

正整数

有理数,Q Z q p q p ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭

零（0a b ==） 实数R ：（0b =） 负整数

复数C 无理数

i

(,)R z a b a b =+∈

纯虚数（0a =）

虚数（0b ≠）

非纯虚数（0a ≠）

i z a b =+是实数0b z z ⇔=⇔=．

i z a b =+是纯虚数0,00,0a b z z z ⇔=≠⇔+=≠．

三、复平面及复数的坐标表示

1. 复平面

在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．

2. 复数的坐标表示

一个复数i z a b =+对应了一个有序实数对(,)a b ；反之一个有序实数对(,)a b 对应了一个复数i a b +．在复平面内，复数i z a b =+与复平面内的点(,)Z a b 是一一对应的．

我们常把复数i a b +看作点(,)Z a b ．

3. 复数的向量表示

在复平面内，复数i z a b =+与点(,)Z a b 是一一对应的，而点(,)Z a b 与向量OZ （O 为原点）又成一一对应，因此复数i z a b =+与向量OZ 也是一一对应的，即复数i a b +可由向量OZ 表示，并且规定相等的向量表示同一个复数．

我们也把复数i a b +看作向量OZ ．

4. 复数的模

在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，

记作z ．由定义知，z =

特别地，如果0b =，则z a =就是一个实数，它的模就等于a ，故模是实数中绝对值概念在复数中的推广．

四、复数的运算

1. 加法

（1） 法则

复数的加法按照一下规定的法则进行：设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的和是(i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．

（2） 性质

① 交换律：1221z z z z +=+

② 结合律：123123()()z z z z z z ++=++

（3） 几何意义

设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．

2. 减法

（1） 法则

复数的减法是加法的逆运算．设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的差是(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．

（2） 几何意义

设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．

12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．

3. 乘法

（1） 法则

复数的乘法规定为：2(i)(i)i i i ()()i a b c d ac bc ad bd ac bd bc ad ++=++-=-++．

（2） 性质

① 交换律：1221z z z z ⋅=⋅

② 结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅

③ 分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=+

4. 乘方

（1） 法则

复数的乘方运算是指几个相同复数相乘．

（2） 性质

① m n m n z z z

+⋅= ② ()m n mn z z =

③ 1212()n n n z z z z ⋅=⋅

5. 除法

复数的除法是乘法的逆运算，即复数i a b +除以复数i(i 0)c d c d ++≠的商是指满足(i)(i)i c d x y a b ++=+的复数i x y +，记作i i

a b c d ++． 一般通过“分母实数化”进行除法运算，即

11212222222(0)z z z z z z z z z z ⋅⋅==≠⋅．

6. 复数运算的常用结论

（1） 222(i)2i a b a b ab +=-+，22(i)(i)a b a b a b +-=+

（2） 2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-

（3） 1i i 1i +=-，1i i 1i

-=-+ （4） 1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，1122z z z z ⎛⎫=

⎪⎝⎭，z z =． （5） 2

z z z ⋅=，z z =

（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，n

n z z =

五、复数的平方根与立方根

1. 平方根

如果复数i a b +和i(,,,)R c d a b c d +∈满足2

(i)i a b c d +=+，则称i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根．

1的平方根是i ±．

2. 立方根