第24讲 与圆相关的计算.ppt
第24课 圆的基本性质
(2)由 CD＝83AB，可设 CD＝3x，AB＝8x， ∴FG＝CD＝3x. ∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x， ∴BG＝8x－3x－3x＝2x. ∵EG∥CF，∴BEEC＝BGGF＝23. ∵BE＝4，∴AC＝EC＝6，∴BC＝6＋4＝10， ∴AB＝ 102－62＝8＝8x，∴x＝1，∴AF＝3x＝3. 在 Rt△ ACF 中，∵AF＝3，AC＝6， ∴CF＝ 32＋62＝3 5， 即⊙O 的直径为 3 5.
⊙O 上的一个动点，且∠ABC＝45°.若 M，N 分别是
AC，BC 的中点，则 MN 的最大值是
．
【答案】
52 2
图 24-6
题型一 点和圆的位置关系
点与圆有三种位置关系：点在圆上，点在圆外，点在 圆内. 判断点与圆的位置关系主要是通过点到圆心的距 离与半径的比较．判断几个点是否在同一个圆上，主要是 看这几个点是否到某一点的距离都相等．
∴CCAE＝CCBA， ∴CA2＝CE·CB＝CE·(CE＋EB)＝1×(1＋3)＝4， ∴CA＝2(负值舍去)． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， ∴AB＝ CA2＋CB2＝ 22＋42＝2 5， ∴⊙O 的半径为 5.
【类题演练 3】 (2019·株洲)如图 24-11，AB 为⊙O 的直 径，点 C 在⊙O 上，且 OC⊥AB，过点 C 的弦 CD 与 OB 相交于点 E，满足∠AEC＝65°，连结 AD，则∠BAD ＝______．
图 24-10
【解析】 (1)如解图，连结 OD． ∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC． ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC． ∴∠OBC＝∠DBC，∴∠AOC＝∠COD，
︵︵ ∴AC＝CD. (2)如解图，连结 AC．
︵︵ ∵AC＝CD，∴∠CBA＝∠CAD． 又∵∠BCA＝∠ACE，∴△CBA∽△CAE，
人教版九年级上册数学精品教学课件 第24章 圆 第二十四章 小结与复习
二、 圆的基本性质 1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条_直__径__所在的直线都是 它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心即为对称中心.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质 (1) 在同圆中，如果圆心角相等，那么 它们所对的弧相等，所对的弦也相等；
(2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧和两条弦中有一组量相等，那么
A
O
BP
又∵∠COB = 2∠PCB，∴∠ACO =∠PCB．
∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO +∠OCB = 90°．
∴∠PCB +∠OCB = 90°，即 OC⊥CP．
∵ OC 是⊙O 的半径，∴ PC 是⊙O 的切线．
针对训练 7. 如图，点 D 是∠AOB 的平分线 OC 上任
意一点，过 D 作 DE⊥OB 于 E，以 DE 为半径作⊙D.
12. 正多边形的相关概念 (1) 中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称 其为正多边形的中心. (2) 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3) 边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形 的边心距.
(4) 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角 都相等，叫做正多边形的中心角.
它们所对应的其余各组量都分别相等.
三、与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与
圆的半径 r 比较得到.
设☉O 的半径是 r，点 P 到圆心的距离为 d ，则有
d＜r
点 P 在圆内；[以注转意化]为点点与到圆圆的心位的置距关系离可与
d=r
点 P 在圆上；半径之间的大小关系；反过
S 1 nar 1 Cr. 其中 C 为正 n 边形的周长.
圆的周长PPT优秀课件
对于非标准圆（如椭圆），可以 使用间接方法，如测量多个不同 位置的直径或半径，然后取平均
值进行计算。
注意事项：在特殊情况下，需要 灵活运用各种测量方法，并结合 实际情况进行适当的调整和修正。
03
圆周长在生活中的应用
建筑设计领域应用
建筑设计中的圆形结构
在建筑设计中，圆形结构常被用于创造独特的美感和视觉效果，如圆形窗户、 拱门和穹顶等。这些圆形结构的周长计算对于材料的用量和施工的精度都至关 重要。
圆的周长是连续的、平滑的，并且 与圆的半径和直径有直接关系。
圆的周长与直径关系
关系公式
C = π × d，其中C代表圆的周长，d代表圆的直径，π是一个常 数（约等于3.14159）。
理解与应用
这个公式表明圆的周长是其直径的π倍，是计算圆的周长的基本 方法。
圆周率π的引入
01
02
03
定义与性质
π是一个无理数，表示圆 的周长与直径的比值。它 具有无限不循环小数的特 性。
椭圆标准方程 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$ （其 中a>b>0，x、y为坐标轴上的变量）。
3
椭圆性质 椭圆是中心对称图形，也是轴对称图形；椭圆上 任一点到两焦点的距离之和为定值2a。
椭圆周长近似计算方法
公式法
利用椭圆周长近似公式 $C approx pi [ 3(a+b) - sqrt{(3a+b)(a+3b)} ]$ 或 $C approx 2pi sqrt{frac{a^2 + b^2}{2}}$ 进行计算。
3
学生积极发言，分享自己的见解和解决方法。
课堂互ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ环节
第24章圆-正多边形与圆的总结拓展课件 22--23学年沪科版九年级下册数学
∴∠ADF＝90°
∴ ∠BDF＝∠ADF-∠BDA＝90°- 36°=54°
C
F
D
例3.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，
54° ．
则∠BDF的度数是________
小结：
1.正n边形的每一个内角等于
A
n 2 180
n
B
E
O
；
2.直径所对的圆周角等于90°；
图形.
正三角形
120°
3条
正四边形
90°
4条
正五边形
72°
5条
正n边形有多少条对称轴？ n条
正n边形至少旋转多少度与自身重合？
360
n
正六边形
60°
6条
正七边形
360
7条
7
正八边形
45°
8条
如何画正多边形
3. 如何画正多边形
①用圆规和量角器画正多边形.
360
先任意画出一个圆和一条半径，再计算出该正多边形的中心角的度数，即
1
∴BA= ,
2
2
1
3
根据勾股定理可得：r=a= b 2 b
b
2
2
∴r:b＝ 3：2
1
B 2 bA
T2
3
b
2 r
T1
O
a
b
例5.如图，有一个圆O和两个正六边形1、 2，其中1的六个顶点都在圆周上，2的六条边都
和圆O相切，（我们称1和2，分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
和圆O相切，（我们称1和2，分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
名师ppt课件与圆有关的计算
【尝试解答】(1)∵CD为☉O的直径，CD⊥AB，
【知识归纳】学习圆锥的侧面积与全面积需注意的两个问题 1.弄清圆锥的底面半径、高、母线之间的关系：圆锥的轴截面 是等腰三角形. 2.与圆锥侧面积有关的几何体的表面积的计算：一是分析清楚 几何体表面的构成，二是弄清圆锥与其侧面展开扇形各元素之 间的对应关系.
热点考向五 与圆有关的阴影面积的计算 【例5】如图，CD为☉O的直径，CD⊥AB，垂 足为F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1. (1)求∠C的大小. (2)求阴影部分的面积.
∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，
又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，则劣弧 BC长为
答案：
3
60 1 ． 180 3
3.(2013·西宁中考)如图，网格图中每个小正方形的边长为1，
则弧AB的长l=
.
【解析】由题干图可得∠AOB＝90°，OA＝OB＝33 32＝3 ，2
∴l＝ 90 3 2 ＝3 2 .
180
2
答案：3 2
2
热点考向三 扇形面积公式的应用
【例3】如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠
放，三角板一边与量角器的零刻度线所
在直线重合，重叠部分的量角器弧AB对
应的圆心角(∠AOB)为120°，OC的长为
2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为
.
【思路点拨】重叠部分由扇形AOB和Rt△BOC组成，求出它们 各自的面积再求和.
人教版数学九年级上册24.3 正多边形和圆课件
E
新知探究
知识点2
正多边形的相关概念及计算
正多边形的中心:该正多边形的外接圆的圆心.
E
正多边形的半径:外接圆的半径.
正多边形的中心角:正多边形的每一条边
所对的圆心角.
D
半径R
F
正多边形的边心距：中心到正多边形的一
边的距离.
中心角
.
C
O
边心距r
A
B
新知探究
A
正多边形中的有关概念：
中心
半径
中心角
边心距
2
面积为4×4-(48-32 2)=(32 2-32)cm2.
2
1 4 48 32 2 cm2 .
2
新知探究
综合应用
6.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交
于点P，CF=DM.
(1)求证：△BCF≌△CDM；
(2)求∠BPM的度数.
新知探究
(1)证明：在正五边形ABCDE中，
边数是偶数的正多边形还是
是对称中心.
中心对称图形
，它的中心就
新知探究
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分
成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆.
A
B
E
O·
C
D
新知探究
我们以圆的接正五边形为例证明.
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边
过点O作OP⊥BC于P.
4
在Rt△OPB中，OB＝4 m, PB＝ 2 = 2=2（m）,
利用勾股定理，可得边心距 r = 42 − 2²=2 3 ,
第24章 圆的复习-九年级数学上册教学课件(人教版)
原 所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
理
C
精
炼
O
8mm
A
B
提
D
升
与圆有关的概念
典 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
例 2.弦:连结圆上任意两点的线段.
3.直径:经过圆心的弦是圆的直径,直径是最长的弦.
原 4.劣弧:小于半圆周的圆弧.
理 5.优弧:大于半圆周的圆弧.
炼 【注意】(1)三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点.
(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
提
(3)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．
升
(4)一个三角形的内切圆是唯一的.
点与圆的位置关系
典 1.在△ABC中,∠C=90º,AC=1,BC=2,M是AB的中点,以点C为圆 例 心,1为半径作⊙C,则( C )
原 2.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦, 理 并且平分这条弦所对的两条弧；
精 3.垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 炼
提 升
圆的基本性质
典 1.圆的对称性： 例 圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
原 2.有关圆心角、弧、弦的性质：
理
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、
° 精 炼
提 升
典 6.如图,已知A、B、C、D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点 例 E.若BC=BE.求证：△ADE是等腰三角形．
原 理
精 炼
提 升
典 7.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC. 例 (1)若∠CBD=39º,求∠BAD的度数； 原 (2)求证：∠1=∠2. 理
与圆有关的计算ppt课件
情景引入
500米口径球面射电望远镜被誉为
“中国天眼”，由中国天文学家南仁
东先生提出构想，历时22年建成，于
2016年9月25日落成启用。是具有我
国自主知识产权、世界最大单口径、
最灵敏的射电望远镜。2020年1月11
日，投入正式运行 。截至2021年3月
29日，500米口径球面射电望远镜已
弧长与扇形面积
课后延伸
拓展3：如图，已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，
⊙O的半径为r. 点C在圆上运动，当PC最大时. PC 交⊙O于点 D.若四
边形APBC 为菱形，若r =12，E为BC上的动点，EF⊥OE 交⊙O于点
F，连接OF .
①当EF∥CD时，则EF =
.
②当点F为弧BC的中点时，求BE.
D
A
N
P
∴∠ ACD = 30°
∵ AB∥CD
∵ AB∥CD
∴S∆ACE= S∆OCE
∴∠ BAC =∠ ACD =30°
60×1
∠ BAE=∠ AED =60°
∴ S阴影= S扇形COE=
=
360
6
∴∠ CAE = 30°
∴∠ COE = 60°
构建知识体系--讲知识
与
圆
有
关
的
计
算
切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质、
M
B
F
C
B
E
C
E
O
O
D
D
P
F
M
A
N
P
A
N
课后延伸
把闲置不用的爬垫裁剪成正六边形如图做成沙发背景装
人教版九年级上册数学 第24章《圆》讲义 第讲 正多边形和圆弧长和扇形面积(有答案)
第17讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积 第一部分 知识梳理 知识点一：圆与内正多边形的计算1、正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；2、正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =3、正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA = 知识点二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n R l π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱侧面展开图：3、圆锥侧面展开图第二部分 考点精讲精练考点1、正多边形和圆的求解例1、六边形的边长为10cm ，那么它的边心距等于（ ）A ．10cmB ．5cmC ．cm D ．cm 例2、已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为（ ） A ．正三角形 B ．正方形 C ．正六边形 D ．正十二边形例3、如图，在⊙O 内，AB 是内接正六边形的一边，AC 是内接正十边形的一边，BC 是内接正n 边形的一边，那么n= ．例4、圆的内接正六边形边长为a，这个圆的周长为．例5、如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，求图中阴影部分的总面积S．举一反三：1、下列命题中的真命题是（）A．三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2：1B．正六边形的边长等于其外接圆的半径C．圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍D．各边相等的圆外切多边形是正方形2、已知正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R：a=（）A．1：1：B．1：：2 C．1：：1 D．：2：43、某工人师傅需要把一个半径为6cm的圆形铁片加工截出边长最大的正六边形的铁片，则此正六边形的边长为 cm．4、如图，正六边形与正十二边形内接于同一圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为．5、如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t= s时，四边形PBQE为菱形；②当t= s时，四边形PBQE为矩形．考点2、弧长的计算例1、一条弧所对的圆心角是90°，半径是R，则这条弧长是（）A．B．C．D．例2、一个滑轮起重装置如图所示，滑轮半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O，绕逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）（）A．115°B．160°C．57°D．29°例3、已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=120°，OB=1，则∠BAD= 度，∠BCD= 度，弧BCD的长= ．例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置，且使点A、B、C′三点在一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是．例5、如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′．（1）求证：△ADC≌△ADC′；（2）求在旋转过程中点C扫过路径的长．（结果保留π）举一反三：1、弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则弧所在的圆的半径为（）A．6 B．6C．12D．182、如图，一块边长为10cm的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时，顶点B从开始到结束所经过的路径长为（）A．20cm B．20cm C．10πcm D．5πcm3、一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2km．一列火车以每小时28km的速度经过10秒通过弯道．那么弯道所对的圆心角的度数为度．（π取3.14，结果精确到0.1度）．4、已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于．5、如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．（1）请直接写出AB、AC的长；（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．考点3、扇形面积的计算例1、已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，那么阴影部分的面积是（）A．B．2π C．D．3π例2、一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A 为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（）A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2例3、如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA=4，BE=3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积．例4、如图，有一直径为1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，则剩下部分的（阴影部分）的面积是．例5、如图，已知P为正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置．（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连接PQ，试判断△PBQ的形状；（3）若∠BPA=135°，试说明点A，P，Q三点在同一直线上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，PB=，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积．举一反三：1、若一个扇形的面积是相应圆的41，则它的圆心角为（ ） A ．150° B ．120° C ．90° D ．60°2、如图所示的4个的半径均为1，那么图中的阴影部分的面积为（ ）A ．π+1B ．2πC ．4D ．63、如图，O 为圆心，半径OA=OB=r ，∠AOB=90°，点M 在OB 上，OM=2MB ，用r 的式子表示阴影部分的面积是 ．4、如图，直角△ABC 的直角顶点为C ，且AC=5，BC=12，AB=13，将此三角形绕点A 顺时针旋转90°到直角△AB′C′的位置，在旋转过程中，直角△ABC 扫过的面积是 ．（结果中可保留π）5、如图，四边形ABCD 是长方形，AB=a ，BC=b （a ＞b ），以A 为圆心AD 长为半径的圆与CD 交于D ，与AB 交于E ，若∠CAB=30°，请你用a 、b 表示图中阴影部分的面积．考点4、圆锥侧面积计算例1、如果圆锥的高为3cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．16πcm 2B ．20πcm 2C ．28πcm 2D ．36πcm 2例2、新疆哈萨克族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形，如图所示，为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布．已知圆锥的底面直径是5.7m ，母线长是3.2m ，铺满毡房顶部至少需要防雨布（精确到1m 2）（ ）A ．58 m 2B ．29 m 2C ．26 m 2D ．28 m 2例3、扇形的圆心角为150°，半径为4cm ，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为 cm 2．例4、在十年文革期间的“高帽子”．这种“高帽子”是用如图①所示的扇形硬纸板，做成如图②所示的无底圆锥体．已知接缝的重叠部分的圆心角为30°．（1）求重叠部分的面积．（结果保留π）（2）计算这顶“高帽子”有多高？（结果保留根号）例5、已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm，圆心角为120°的扇形，求这圆锥的底面圆的半径和高．举一反三：1、若圆锥的侧面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（）A．4πcm B．4 cm C．2πcm D．2 cm2、圆锥的轴截面是一个等腰三角形，它的面积是10cm2，底边上的高线是5cm，则圆锥的侧面展开图的弧长等于（）A．87πcm B．47πcm C．8 cm D．4 cm3、如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的高为。
24、与圆有关的计算PPT课件
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2
【注意】(1)在弧长公式 l＝n18π0r中有三个量，已知其中的任意两个量，可求出第 三个；(2)题目中没有明确给出精确度，可用含“π”的数表示弧长；(3)应区分弧，弧 长这两个概念，长相等的弧不一定是等弧．
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4
►知识点二 不规则图形面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的 不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
对应劣弧的弓形
对应优弧的弓形
对应半圆的弓形
【考查内容】扇形面积计算，三角形的全等判定．
第 2 题图
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24
【解析】如答图，连接 OC，作 OM⊥BC，ON⊥AC．设 OF 交 CB 于 G，
∵CA＝CB＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 2，
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15
∴△BEC≌△OED(SAS)，∴OD＝BC＝1， 在 Rt△OED 中，OE＝12OB＝12OD， ∴∠ODE＝30°，∴∠BOD＝60°， 则扇形 BOD 的面积 S＝603π6×0 12＝π6.
图4
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图5
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