能级的简并度ppt课件
能级的简并度
对s态，l=0,m=0 故 磁矩为0，电流为0。
另外，由上式可知
Mz e m 2c
m为轨道角动量的z分量。
上式比值称为回转磁比值或g因子
取 e 2c 为单位，则g因子为 1。
5、类氢离子
类氢离子，如 He ， ， Li Be
共同特点： 原子实 + 一个核外电子 上述结果也都适用。 只需 ①核电荷+e→+Ze 或e2→+Ze2 ②约化质量μ →相应的约化质量 比如对能级公式 4 2 4 e Z e En 2 2 En 2 2 2 n 2 n 作业：p189, 1,3,4
j 是绕z轴的环电流密度。
见右图。 通过dσ的电流元为
dI j d
对磁矩的贡献为 dM z SdI/c
（光速c是由高斯单位制所带来的常数）
其中 S (r sin ) 2 是环面积。 因此总磁矩为 1 1 M z SdI r 2 sin 2 j d c c em | nlm |2 2r sin d 2c
利用球坐标中
1 1 ˆ ˆ ˆ er e e r r r sin 容易求出 j 的各分量 ie * * j ( nlm nlm nlm nlm ) 对 2
含 部分是Pl (cos )亦为实。
m
考虑到波函数中含 r 部分 Rnl (r ) 为实，
z y
z y
z
y
s电子
p电子
4、电流分布与磁矩
由几率流密度分布表达式
i * * j ( nlm nlm nlm nlm ) 2
（表示单位时间通过某一截面的粒子数）
可得电子的电流密度（电子荷电量-e)
能级简并度
讨论：1、能级的简并度对能级2022na e E n -=，n 为主量子数。
及波函数),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =，其中1--=r n n l 。
由于 ,2,01=r n ，所以1,,2,1,0-=n l 相应的有0,,2,11 --=--=n n l n n r而对于给定的角动量l ，磁量子数m 可有2l +1个取值，即l l l m ----=,,2,1,0,,1,即对于给定的n （能级一定）1,,2,1,0-=n l ， 而对于给定的l ，l l l m ----=,,2,1,0,,1, 因此属于n E 能级的所有简并量子态nlm ψ数目为2121)12(1)32()12()12(n n n n n l n l =⋅+-=++-+-=+∑-= (等差数列) 能级E n 的简并度为21)12(nl n l =+∑-=比起一般中心力场的简并度2l +1要高。
一般中心力场粒子的能级l n r E 依赖于量子数r n 和l 但库仑场中，E n 粒只依赖于n ，但是n =n r +l +1故 能级E n 除了对m 简并，对l 也是简并的。
所以库仑场具有更高的对称性。
（对称元素越多，对称性越高，简并度越大） 从径向方程的求解过程可以看出，这是rr V 1)(∝导致的。
2、径向位置几率分布态),,(ϕθψr nlm 中，在dr r r +→球壳内找到电子的几率为r r r r r R r r nl nl nlmd )]([d )]([d d ||22222χψ==Ω⎰rd r两个等号分别对应：角向部分积分掉，rr r R nl nl )()(χ=)(r nl χ的节点数（不包括0=r 和∞=r ）为1--=l n n r其中n r =0称为圆轨道----无节点。
可以证明，此时21,|)(|r n n -χ的极值点所在位置为a n r n 2=， ,3,2,1=nn r 称为最可几半径。
11统计热力学
ε0 /kT
q
0
q e
0
ε0 /kT
q
q e
0
ε0 /kT
q
说明： 1、选择不同的能量零点对配分函数的值有影响
但对玻耳兹曼分布的能级分布数无影响
三、统计系统的分类 1、按粒子的运动情况不同 •离域子系统(全同粒子系统)：
粒子处于混乱，无固定位置，无法彼此分辨
如气体、液体
•定域子系统(可辨粒子系统)：
粒子有固定平衡位置，可加编号区分，如固体
2、按粒子间的相互作用情况不同 •独立子系统：
粒子间相互作用可忽略，如理想气体
•相依子系统：
粒子间相互作用不能忽略 如真实气体、液体等
gi e εi /kT 配分函数(总有效容量)
i
gie -i / kT 称为能级 i 的有效容量
ε j /kT
3、任意两能级i、k上 粒子数之比：
ni gi e εk /kT nk gk e
εi /kT
二、玻耳兹曼分布式的推导
定域子系统：
g WD N! i ni !
M N-M 0 10 … … 4 6 5 5 6 4 … … 10 0
WD 1 210 252 210 1 … … PD 9.8 10-4 … 0.20508 0.24609 0.20508 … 9.8 10-4 M N-M 0 20 … … 9 11 10 10 11 9 … … 20 0
WD 1 1 … 167960 184756 167960 … PD 9.5 10-7 … 0.16018 0.17620 0.16018 … 9.5 10-7
ni i
g WD N! i ni !
ni i
原子的能级分布和跃迁PPT课件
1s2 2s2 2 p6 3s
1s2 2s2 2 p6
这10原子称原子实。原子实以外 的电子称为价电子，可以被激发
n≥3的激发态的钠原子电子组态为
(1s2 2s2 2 p6 3p) (1s2 2s2 2 p6 3d) (1s2 2s2 2 p6 4s) 等等
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4.原子态的标记
由于原子中电子的轨道角动量与自旋角动量之间的相互作 用,原子的同一电子组态可以形成不同的原子组态。（以两个 电子为例来说明）
对同一个 n ，角动量有n个不同的值但能量相同，代表
轨道的形状和轨道角动量，这也同电子的能量有关.对于l=0， 1，2，3等的电子顺次，依次用字母s、p、d、f 来表示，通常
称 s电子、p电子
3.
磁量子数
ml
( 0，±1， ± 2，……. , ± l )
Lz ml
代表轨道在空间的可能取向，即轨道角动量在某一特殊
一个原子内不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同 的状态
或说 一个原子内不可能有四个量子数完全相同的电子 或说 不可能有两个或两个以上的电子处于同一个量子态 电子填充各壳层的次序是：
1s，2s，2p，3s，3p，4s，3d，4p，5s，4d，5p，6s…
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2.能量最低原理 “电子优先占据最低能态”
则对应于电子的一种状态
每个状态用量子数 n , l , ml ms
来描述
1
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能级: 粒子的内部能量值
高能级: 能量较高的能级 低能级: 能量较低的能级
基能级: 能量最低的能级
(相应的状态称基态） 激发能级: 能量高于基能
级的其它所有能级(相应 状态称激发态)
§9.1粒子各运动形式的能级及能级的简并度
（3）能级 能级：粒子的各运动形式的能量都是量
子化的，也就是不连续的，就好像台阶一样 ，称为能级。
基态能级：各运动形式能量最低的那个 能级。
5
（4）量子状态 确定粒子的运动状态需要确定一组量子数
，它们由运动方程得到。这组量子数就构成 一个量子状态。
每个量子状态均有确定的能量，每一个能 级上可能有若干个不同的量子状态存在。
，以及第一激发态与基态的能量差。
解：300K，101.325kPa 条件下的H2可看成为理想气体， 其体积为
V
nRT p
1 8.314 300 101325
m
ol
J
mol1 Pa
K 1
K
0.02462m3
H2的摩尔质量M=2.0158 10-3 kg · mol-1 ， H2 分子的质 量为
m M/L 2.0158103kg/(6.0221023 ) 3.34710-27kg
gti
t 3
3， 1，1
11
3
t 2
2， 2，1
9
3
t 1
2， 1，1
6
3
t 0
1， 1， 1
3
1
相邻平动能级能量差 很小，约为 10-19 kT 。
所以平动能级可认为是连续变化，量子化效应不突出。
k —— 波尔兹曼常数，k =R/L=1.38110-23 J·K-1
10
例 9.1.1 在300K ，101.325 kPa条件下，将 1 mol H2 置于 立方形容器中，试求其平动运动的基态能级的能量值 εt,0
6
（5）简并度（统计权重）：某一能级所对应 的所有不同的量子状态 (简称量子态) 的数 目。以符号 g 表示。
第三节 能级ppt
他的博士论文《金属电子论的研究》定性地 说明了金属的各种性质。他察觉到经典理论 的缺陷，并证明了金属的磁性决不能用这些 原理解释。结束在哥本哈根大学的学习后， 玻尔前往英国剑桥大学，想在汤姆逊的指导 下继续研究电子论，但是汤姆逊巳经对这个 问题失去了兴趣。于是玻尔随即转往曼彻斯 特大学，在卢瑟福的实验室工作。1913 年， 他发表了三篇论文，把当时的原子结构模型 与量子论结合起来，揭开了物理学崭新的一 页。
某个氢原子处于n=4激发态 n
量子数
∞
1、它可能向外辐射哪些
波长的光子？
5 4
3
2、它最多向外辐射的光 2 子数为多少？
3、若是一群处于该激发 态的氢原子呢？
1
E /eV 0 -0.54 -0.85 -1.51 -3.4
-13.6
*五、光子的发射与吸收
1、向下跃迁
发射光子
2、向上跃迁
吸收能量
1)光子使原子跃迁
二、 玻尔的原子模型 卢瑟福的核式结构模型与经典电磁理论的矛盾 1.原子的稳定性? 2.原子光谱是连续谱还是线状谱?
尼尔斯 ·玻尔丹麦 （1885-1962年）
1885 年，玻尔 (Neils Bohr) 出生于丹 麦．哥本哈根。他的父亲是哥本哈根大学 一名杰出的生理学教授，母亲出生于一个 在银行、政治和教育各界中均很活跃的富 有犹太人家庭。父母从小便很关心玻尔， 使他的天赋得以充分发挥。 1903 年，玻 尔入读哥本哈根大学，主修物理学。玻尔 尚未毕业时，便巳经锋芒毕露，他通过观 察喷射的水流就能精密测量出水的表面张 力。 1909 年，玻尔获理科硕士学位， 1911 年获哲学博士学位。
思考:用动能为12ev、15ev的电子与氢 原子碰撞，氢原子是否能发生跃迁
能级的简并度PPT课件
r=0时径向方程
d 2Rl dr 2
2 r
dRl dr
2E
r2
取 e 为单位，则g因子为1。
2c
5、类氢离子
类氢离子，如 He ，Li ，Be
共同特点： 原子实 + 一个核外电子
上述结果也都适用。 只需
①核电荷+e→+Ze 或e2→+Ze2 ②约化质量μ →相应的约化质量
比如对能级公式
En
e4
2 2 n 2
En
e4Z 2
2 2 n 2
而对于给定的角动量l，磁量子数m可有2l+1
个取值，即 m l,l 1,,0,1,2,,l
即对于给定的n（能级一定）
l 0,1,2,, n 1
而对于给定的l
m l,l 1,,0,1,2,,l
பைடு நூலகம்
因此属于En能级的所有简并量子态 nlm 数目为
n1
(2l 1) (2n 1) (2n 3) 1 (等差数列)
利用归一化条件后有
其中
Mz
em
2c
Bm
B
e
2c
为Bohr磁子。
注意：Mz是很重要的，因为MzB是相互作用能 以后经常碰到。
可见，磁矩与m有关，m称之为磁量子数。
对s态，l=0,m=0 故 磁矩为0，电流为0。
另外，由上式可知
Mz e
m 2c
m为轨道角动量的z分量。 上式比值称为回转磁比值或g因子
eˆ
1
r sin
容易求出 j 的各分量
原子结构知识：原子能级的简并度与绝缘体的带隙
原子结构知识：原子能级的简并度与绝缘体的带隙原子结构是化学和物理学中非常重要的一个概念，它是描述物质组成和性质的基础。
在原子结构中，原子能级的简并度和绝缘体的带隙是两个非常重要的概念。
在本文中，我们将探讨这两个概念的含义以及它们在物质性质中的作用。
一、原子能级的简并度在物理学中，电子是最为基本的粒子之一，它决定了原子的化学性质。
原子中的电子存在于不同的能级中，这些能级分别对应着不同的电子能量。
然而，同一个能级的电子并不是唯一的，它们可以具有不同的自旋，同时存在于一个能级之中。
这种情况称为简并。
简并度指的是在一个能级中存在的电子数，对于不同的能级，简并度也是不同的。
电子电荷和半整数自旋是电子的两个本征属性，在经典力学中，电子的自旋只能取两个值：上自旋和下自旋。
然而，在量子力学中，电子可以同时处于上自旋和下自旋的叠加态中，这种叠加态称为自旋态。
因此，原子能级简并度的不同实际上是由于电子自旋状态的不同造成的。
简并度是原子性质的一个关键因素。
通常情况下，简并度越高，原子越稳定。
这是因为在简并度高的能级中，电子可以形成更强的相互作用，从而提高原子的稳定性。
此外，高简并度还会影响光谱分析，因为它影响了电子的跃迁概率，进而影响其光谱特性。
二、绝缘体的带隙绝缘体是一种电子不可导体，它的导电性非常差。
在绝缘体中，电子不能沿着原子之间移动，因为电子在原子内部存在于价带中，它们无法获得足够的能量跨越到导带中。
因此，绝缘体中没有可导电子。
绝缘体的关键特征是它们的带隙，带隙指的是导带和价带之间的能量差距。
在绝缘体中，这个能级差通常很大，因此电子不具备穿过带隙的能力。
当绝缘体受到电场的作用时，电子会被加速，但它们无法跨越带隙并进入导带中，因此绝缘体不会产生电流。
绝缘体的带隙大小与其电学性质密切相关。
带隙越大，绝缘体的电学性质就越好，它的导电性就越低。
相反，带隙越小，绝缘体的导电性就越高。
带隙大小还决定了绝缘体吸收和辐射的光谱范围，因为这些过程涉及到电子跃迁。
三维谐振子的能级简并度
三维谐振子的能级简并度三维谐振子是量子力学的一个重要模型，用来描述具有三个自由度的谐振系统。
它可以用来研究原子、分子、固体物质等多种系统的能量结构和性质。
能级简并度是指具有相同能量的态的数量，对于理解系统的性质具有重要的意义。
首先，让我们了解什么是谐振子。
谐振子是一个具有恢复力的系统，当受到外力扰动时，它会回到平衡位置附近，形成周期性的振动。
在三维谐振子模型中，它具有三个坐标自由度，分别对应于空间的三个维度。
这三个自由度可以描述为x、y和z方向上的位移。
对于一个具有三个自由度的谐振子，它的能级简并度可以通过求解谐振子的本征态得到。
本征态是系统能量的特定解，对应于具有确定能量的态。
能级简并度指的是具有相同能量的本征态的数量。
在三维谐振子中，每个能级可以用三个整数（nx、ny和nz）来表示，分别对应于x、y和z方向上的量子数。
能级简并度可以通过对这些量子数进行组合得到。
例如，对于能量为E的某个能级，我们可以找到满足以下条件的整数解（nx，ny，nz）：(nx + 1) + (ny + 1) + (nz + 1) = E我们可以将能级简并度定义为满足这个条件的整数解的数量。
根据这个方程，我们可以发现nx、ny和nz的取值范围与能级E有关，但满足该条件的整数解并不唯一。
因此，能级简并度是通过组合nx、ny和nz的不同取值得到的。
三维谐振子的能级简并度与能量的关系可以通过计算得到。
对于任意的能级E，我们可以计算满足(nx，ny，nz)条件的整数解的数量。
由于nx、ny和nz是非负整数，因此能级简并度是一个非负整数。
能级简并度的计算可以通过数学方法或计算机模拟来实现。
能级简并度在研究物体的量子性质时具有重要意义。
它反映了系统的对称性和相互作用。
对于一个具有高能量简并度的系统，它的量子态将更加多样化和复杂化。
例如，对于具有较大能量的谐振子，能级简并度将比低能级的谐振子更高，对应着更多的量子态。
这将导致谐振子在热力学平衡态下具有更多的熵，即更多的微观状态数。
能级的简并度.PPT文档38页
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
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( r ) 的节点数（不包括 r 0 和 r ） nl
为
dr
n n l 1 r
r
其中nr=0称为圆轨道----无节点。
可以证明，此时 | n,n1(r) | 的极值点所在
2
位置为
r n n a
2
n 1 ,2 , 3 ,
rn 称为最可几半径。 4 2 2 2 r/a 如| | 3r e 的极大位置由 10 a d 2 | 10 | 0
ie * * j ( ) nlm nlm nlm nlm 2
m l
对
考虑到波函数中含 r部分 R ( r )为实， nl
含 部分是 P(cos ) 亦为实。
所以括号内对 r ， 来说两项相同。即
jr j 0
i e1 * * 但 j ( ) nlm nlm nlm nlm 2 r sin
确定。
dr
且 r a（玻尔半径）为最小半 径
与旧量子论一致。
见下图。
基态： n =1, l = 0
2 o 4 π h 0 r 0 . 529 A —玻尔半径 1 2 me
r 2 Rnl
2
电子出现在 r = r1 的 单位厚度球壳层内的 概率最大
01
10
r r1
3、几率密度分布随角度的变化 态 ( r , , ) 中，在 ( , ) 方向的立体角 n lm
§4 三维各向同性谐振子 质量为μ的粒子在势场V(r)中运动
能级的简并度
而对于给定的角动量l，磁量子数m可有2l+1 个取值，即 m l , l 1 , , 0 , 1 , 2 , , l 即对于给定的n（能级一定） l 0 , 1 , 2 , , n 1 而对于给定的l m l , l 1 , , 0 , 1 , 2 , , l
比起一般中心力场的简并度2l+1要高。 一般中心力场粒子的能级 E n r l 依赖于量子数
nr 和l
但库仑场中,En粒只依赖于n,但是 n=nr+l+ 1 故 能级En除了对m简并，对l也是简并的。 对称元素越多, 所以库仑场具有更高的对称性。 对称性越高，简并度越大 从径向方程的求解过程可以看出，这是
因此属于E n 能级的所有简并量子态 nlm 数目为
(等差数列) ( 2 n 1 ) ( 2 n 3 ) 1 (2l 1)
l 0 n 1
( 2 n 1 ) 1 2 n n 2
能级En的简并度为
2 ( 2 l 1 ) n
l 0
n 1
其中 d 是细环的体积元。 2 r sin d
利用归一化条件后有
em Mz m B 2c
其中
e B 2 c
为Bohr磁子。
注意：Mz是很重要的，因为MzB是相互作用能 以后经常碰到。 可见，磁矩与m有关，m称之为磁量子数。
对s态，l=0,m=0 故 磁矩为0，电流为0。
且
im im (e )ime
e m 1 ie 1 2 2 | | j 2 im | | nlm nlm r sin 2 r sin
j 是绕z轴的环电流密度。
见右图。 通过dσ的电流元为 d I jd
对磁矩的贡献为 d M S d I / c z
1 V (r ) 导致的。 r
2、径向位置几率分布
电子的几率为
|
2 2 nlm
态 ( r , , ) 中，在 r r dr 球壳内找 nlm
| rd r d
角向部分积分掉
2 2 [ R ( r )] rd r nl
R r) nl(
nl(r)
r
2 [ ( r )] d r nl
（光速c是由高斯单位制所带来的常数）
2 其中 S ( r sin ) 是环面积。
因此总磁矩为
1 1 2 2 Mz SdI r sin j d c c e m 2 | | r sin d nlm2 2 c e m 2 | | nlm d 2 c
（表示单位时间通过某一截面的粒子数）
可得电子的电流密度（电子荷电量-e)
ie * * j ( ) nlmnlm nlmnlm 2
利用球坐标中
容易求出 j 的各分量
1 1 ˆ ˆ ˆ e e e r r r r sin
z y
z y
z
y
1 | Y00 | 4π
2
3 2 |Y | cos 10 4 π
2
3 2 |Y sin 1 1| 8 π
2
s电子
p电子
4、电流分布与磁矩
由几率流密度分布表达式
i * * j ( ) nlm nlm nlm nlm 2
另外，由上式可知
Mz e m 2c
m 为轨道角动量的 z分量。
上式比值称为回转磁比 值或 g因子
e 取 为单位，则 g 因子为 1 。 2 c
5、类氢离子
类氢离子，如 He ，Li ， Be
共同特点： 原子实 + 一个核外电子 上述结果也都适用。 只需 ①核电荷+e→+Ze 或e2→+Ze2 ②约化质量μ →相应的约化质量 比如对能级公式 4 2 4 e Z e En 2 2 E n 2 2 2 n 2 n 作业：p189, 1,3,4
d 中找到电子的几率为
2 2 2 r rd r Y ( , )d R nl lm l 0 2 | eim | 1 m 2 |P (cos Lz是守恒量，故可以用通过z轴的任意平 面的曲线描述几率分布随θ 角的变化。如