第六章介绍代数_2
西北工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
4
4
x y
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
Q
q1，q2
q1 q2
x y
cos sin
4
4
sin cos
4
4
x y
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
Q
x y
(x, y) (x, y)QT 易验证 QTQ E,即 Q 是正交矩阵.
令 X x x0 ,Y y y0 , Z z z0（坐标系平移）
则可得
Z c d1X 2 d2Y 2
此类方程可表示椭圆抛物面、或双曲抛物面（马鞍面）
可利用可逆线性变换和平移变换，
将二次曲面的一般方程化为标准方程。 目标：求变换 x Cx, 化二次型 f 为“标准型”.
2. 二次型化简问题
a11
(
x,
y,
z)
a12 a13
a12 a22 a23
a13 x
x
a23 a33
y z
(b1,
b2
,
b3
)
y z
c
A
xT Ax bT x c 0
x
x
求变换x
Cx(
xT
xTC
T
), 其中x
y z
,
x
y z
使
xT
Ax
xTC
T
ACx
xT
d1
d2
x d3
Λ
d1x2 d2 y2 d3z2 无混合乘积项
an1,n1xn21 2an1,n xn1xn ann xn2
a11x1x1 a12x1x2 a13x1x3 a21x2x1 a22x2x2 a23x2x3 a31x3x1 a32x3x2 a33x3x3
离散数学结构第6章集合代数
离散数学结构第6章集合代数第六章集合代数1. 集合，相等，（真）包含，⼦集，空集，全集，幂集2. 交，并，（相对和绝对）补，对称差，⼴义交，⼴义并3. ⽂⽒图，有穷集计数问题4. 集合恒等式（等幂律，交换律，结合律，分配律，德·摩根律，吸收律，零律，同⼀律，排中律，⽭盾律，余补律，双重否定律，补交转换律等）学习要求1. 熟练掌握集合的⼦集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表⽰2. 熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、⼴义交、⼴义并的定义及其性质3. 掌握集合的⽂⽒图的画法及利⽤⽂⽒图解决有限集的计数问题的⽅法4. 牢记基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、收律、零律、同⼀律、排中律、⽭盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）5. 准确地⽤逻辑演算或利⽤已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式6.1 集合的基本概念⼀．集合的表⽰集合是不能精确定义的基本概念。
直观地说，把⼀些事物汇集到⼀起组成⼀个整体就叫集合，⽽这些事物就是这个集合的元素或成员。
例如：⽅程x2－1＝0的实数解集合；26个英⽂字母的集合；坐标平⾯上所有点的集合；……集合通常⽤⼤写的英⽂字母来标记，例如⾃然数集合N(在离散数学中认为0也是⾃然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
表⽰⼀个集合的⽅法有两种：列元素法和谓词表⽰法，前⼀种⽅法是列出集合的所有元素，元素之间⽤逗号隔开，并把它们⽤花括号括起来。
例如A={a，b，c，…，z}Z={0，±1，±2，…}都是合法的表⽰。
谓词表⽰法是⽤谓词来概括集合中元素的属性，例如集合B＝{x|x∈R∧x2－1＝0}表⽰⽅程x2－1＝0的实数解集。
许多集合可以⽤两种⽅法来表⽰，如B也可以写成{-1，1}。
但是有些集合不可以⽤列元素法表⽰，如实数集合。
集合的元素是彼此不同的，如果同⼀个元素在集合中多次出现应该认为是⼀个元素，如{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}集合的元素是⽆序的，如{1，2，3}＝{3，1，2}在本书所采⽤的体系中规定集合的元素都是集合。
线性代数第6章
18
练习 已知
问：以上两矩阵是否相似，是否合同，为什么？ 思路
19
是对角阵，其特征值为1, 1, 3；而 阵，定可正交对角化，问题是
为实对称
的特征值如何？
19
练习 已知二次曲面方程
可经过正交变换 求 的值和正交矩阵
化为
思路 由题意知，二次型
20
经正交变换
20
化为
即
经正交变换后化为
再用一般方法就可以求出
例题
用配方法化二次型 为标准形，并求出所用的可逆线性替换.
解答
二次型中含平方项 的交叉项，得
对
配方，消去所有含
再对
4
配方，消去所有含
的交叉项
，得
4
令
即可逆线性替换
使得
5
5
提醒
在上题中，如果令 或
则它仍是一个可逆线性替换，但在这种线性替换下， 二次型的标准形为 显然，这个二次型与刚才的二次型是不同的，但它 们都是原二次型的标准形. 所以有
15
15
则
是正交矩阵，满足
作正交变换
，化二次型为标准型如下
16
16
例题
设二次型 经正交变换 化为 ，求 由已知条件
解答 原二次型的矩阵为
有 所以
17
必为 的特征值，故应有
17
正交变换的特点
1 正交变换的特点：保持向量的内积，长度不变！ 即当 为正交矩阵时，则
从而，正交变换能保持向量间的夹角不变！ 2 正交变法换化二次曲线、二次曲面的方程为标准型 时，能保持图形的几何性质如形状，大小等. 3 正交变换法只能将二次型化为标准形，不能化为规 范形！配方法可以化为标准形，也可以化为规范形！
第6章 代数结构
∗ o
≤
a ∧ b = a ∗ b, a ∨ b = a o b
例6.2
a 0 半群 V =< S ,• >, 其中S = 0 b | a, b ∈ R , a • 为矩阵乘法. ϕ : S → S , ϕ 0 a1 0 b1 0 • = ϕ ϕ = 0 a 2 0 b2 请分析 S 上的自同态 0 a 0 = 0 0 d a1 a 2 0
对偶原理
设 f 是含有格中的元素以及符号=, ≤, ≥,∧,∨ ∗ 的命题，令 f 是将 f 中的 ≤, ≥,∧,∨ 依 次改写为 ≥, ≤,∨,∧ 所得到的命题，称为 f 的对偶命题。 ∗ 对偶原理：若 f 对一切格为真，则 f 对一 切格也为真。
( a ∨ b) ∧ c ≤ c ⇒ ( a ∧ b) ∨ c ≥ c
半群的同态
设 V1 = < S1 , o >, V2 = < S2 , ∗ > 为半群，
1 2 1
ϕ : S → S , 且 ∀ x , y ∈ S ，有 ϕ < x o y > = ϕ (x ) ∗ ϕ ( y ), 则称 ϕ 为 V 到 V 的同态 。
1 2
类似的也可以定义独异点的积代数和同态。
环（2）
在环< R,+, • >中 如果乘法 • 适合交换律，则称R是交换环 交换环。 交换环 如果乘法有幺元则称R是含幺环 含幺环。 含幺环 如果 ∃a, b ∈ R, a ≠ 0, b ≠ 0,但 ab = 0 则称a为R 的左零因子，b为R中的右零因子。若R不含 零因子，即 ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 则称R为无 无 零因子环。 零因子环
线性代数学习指导第六章二次型
解矩阵 所对应的二次型具有相同的规范形，合同.
习题
1．判定下列实二次型的正定性.
（1）
（2）
（3）
（4）
解（1） 各阶顺序主子式为：
该实二次型正定
（2）
解答同理，略
（3）
解答同理
解（4）
二次型矩阵
故A的特征值全为正，所以A正定
2．a为何值时，实二次型 是正定的.
解运用顺序主子式法判定
第八章 二次型
一．内容提要：
1.二次型及其标准形的概念
定义1包含 个变量的二次齐次函数
称为一个 元二次型，简称二次型.
若记 ，则二次型的矩阵形式为 ，其中A为n阶实对称矩阵，称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.
2.二次型的标准形和规范形
定义2经可逆线性变换所得的只含平方项的二次型称为原二次型的标准形
9．设实对称矩阵A与B合同，若A是正定矩阵，证明B是正定矩阵.
证明因为实对称矩阵A与B合同，A是正定矩阵，所以A与E合同,由合同的传递性知，E与B合同，所以B是正定矩阵
10．设A是实对称矩阵．证明：当实数t充分大时，t E＋A是正定矩阵.
证法1显然A是对称矩阵.故存在正交阵 ，有
对任意的列向量Y,有：
例5设矩阵 ，则 合同于矩阵
解：答案（C）和矩阵 的特征值有相同正负个数，即由相同的惯性指数所以选(C)
例6对于二次型 其中 为 阶实对称矩阵，下述结论中正确的是
（ ）化 为标准形的可逆线性变换是唯一的
(B）化 为规范形的可逆线性变换是唯一的
(C） 的标准形是唯一的
(D） 的规范形是唯一的
解二次型 化为标准形或规范形有不同的方法，对应的可逆线性变换也不相同，但正、负惯性指数及非零平方项个数一定是唯一确定的，所以选(D）
东北大学线性代数_第六章课后习题详解二次型
教学基本要求：1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.2.了解合同变换和合同矩阵的概念.3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法.4.了解惯性定理.5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法.第六章二次型本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型.“研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类.通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等.一、二次型与合同变换1. 二次型n个变量x1,x2,…,x n的二次齐次函数f(x1,x2,…,x n)=a11x12+a22x22+…+a nn x n2+2a12x1x2+…+2a1n x1x n+…+…+2a n-1 n x n-1x n (6.1) 称为一个n元二次型.当系数a ij均为实数时，称为n元实二次型. (P131定义6.1)以下仅考虑n元实二次型.设11121n112222n21n2n nn na a a xa a a xA,xa a a x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么f(x1,x2,…,x n)=x T A x. (6.2)式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.例6.1(例6.1 P 132)二次型f 与对称矩阵A 一一对应，故称A 是二次型f 的矩阵，f 是对称矩阵A 的二次型，且称A 的秩R(A)为二次型f 的秩. (定义6.2 P 132)由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵.定义6.2 仅含平方项的二次型f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+a 22x 22+…+a nn x n 2 (6.3)称为标准形.系数a 11,a 22,…,a nn 仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P 132)标准形的矩阵是对角矩阵.二次型有下面的结论：定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P 133) 这是因为T T x CyB C ACTT A B C AC C 0R(A)R(B)f x Axfy By ==↔=≠=⇒==⇐.2. 合同变换在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系.定义6.3 设A,B 是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使B=C T AC ，则称A 与B 是合同的，或称矩阵B 是A 的合同矩阵.对A 做运算C T AC 称为对A 进行合同变换，并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵. (定义6.4 P 133)矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.注意：(1)合同的矩阵(必须是方阵)必等价，但等价的矩阵(不一定是方阵)不一定合同. (P 134)A 与B 合同 ⇔∃可逆矩阵C ，∂B=C T AC A 与B 等价 ⇔∃可逆矩阵P ,Q ，∂B=PAQ(2)合同关系不一定是相似关系，但相似的实对称矩阵一定是合同关系. (推论1 P 137)正交矩阵Q ，∂Q -1AQ= Q T AQ=B ⇒ A 与B 既相似又合同合同变换的作用：对二次型施行可逆线性变换等价于对二次型的矩阵施行合同变换.x Cy TT TT C 0T C 0f x Ax y C ACy y ByA C AC B=∆≠≠===⇔=如果B 是对角矩阵，则称f=y T B y 是f=x T A x 的标准形.二、用正交变换化二次型为标准形 1. 原理由第五章第三节知：对于实对称阵A ，存在正交矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵(对角线上的元素为A 的n 个特征值).因此，二次型f=x T A x 经正交变换x =Q y 就能化为标准形f=y T (Q T AQ)y =y T (Q -1AQ)y .定理6.2 任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中的系数为二次型矩阵的全部特征值. (定理6.2 P 134)推论1 任意实对称矩阵都与对角矩阵合同. (推论1 P 137)推论2 任意实二次型都可经可逆线性变换化为规范形. (推论2 P 137)正交变换既是相似变换又是合同变换.相似变换保证矩阵有相同的特征值，化标准形则必须经合同变换.所以，正交变换是能把二次型化为“系数为特征值”的标准形的线性变换.2.用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型f=x T A x 为标准形的过程与将实对称阵A 正交相似对角化的过程几乎一致.具体步骤如下：(1)求出A 的全部互异特征值λ1,λ2…,λs ；(2)求齐次线性方程组(λi E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关特征向量)； (3)将每一个基础解系分别正交化、规范化，得到n 个正交规范的线性无关特征向量ε1,ε2,…,εn ； (4)正交相似变换矩阵Q=(ε1,ε2,…,εn )，正交相似变换x =Q y 把二次型f=x T A x 变为标准形f=y T (Q T AQ)y .例6.2(例6.2 P 134) 例6.3(例6.3 P 135)三、用配方法化二次型为标准除了正交变换，事实上，还存在其它的可逆线性变换能把二次型化为标准形.举例说明如下.例6.4(例6.4 P 139) 例6.5(例6.5 P 139)总结：用配方法化二次型为标准形的过程分两种情形： (1)二次型中含有平方项例如，若二次型中含有平方项a 11x 12，则把所有含x 1的项集中起来配方，接下来考虑a 22x 22，并类似地配方，直到所有项都配成了平方和的形式为止.(2)二次型中不含平方项，只有混合项例如，若二次型中不含平方项，但有混合项2a 12x 1 x 2，则令112212ii x y y ,x y y ,x y ,i 3,...,n.=+⎧⎪=-⎨⎪==⎩ 那么关于变量y 1,y 2,…,y n 的二次型中就有了平方项，然后回到(1).四、正定二次型 1. 惯性定理虽然把二次型化为标准形的可逆线性变换不唯一，从而标准形也可能不唯一，但同一个二次型的所有标准形却总满足如下惯性定理.定理6.3(惯性定理) 设实二次型f=x T A x 的秩为r ，且在不同的可逆线性变换x =C y 和x =D y 下的标准形分别为f=λ1y 12+λ2y 22+…+λr y r 2, λi ≠0，f=μ1y 12+μ2y 22+…+μr y r 2, μi ≠0，则λ1,λ2…,λr 与μ1,μ2…,μr 中正数的个数相同. (定理6.3 P 142)定义6.4 二次型f 的标准形中的正(负)系数的个数称为f 的正(负)惯性指数. (定义6.5 P 143)惯性定理指出，可逆变换不改变惯性指数.推论 n 阶实对称阵A 与B 合同的充分必要条件是A 与B 有相同的正惯性指数和负惯性指数. (推论 P 143)正惯性指数+负惯性指数=R(A). 正惯性指数=正特征值的个数， 负惯性指数=负特征值的个数.2. 二次型的分类二次型(/二次型的矩阵)的分类：(定义6.6-6.7 P 143)f f f f f /A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A x 0,f (x)0y 0,f (y)0⎧⇔>∀≠>⎪⇔≥∀≠≥⎪⎪⇔<∀≠<⎨⎪⇔≤∀≠≤⎪⎪⇔∃≠∂>∃≠∂<⎩正定正定记作半正定半正定记作负定负定记作半负定半负定记作不定且由此，根据惯性定理可知，合同变换不改变实对称矩阵的类型.3.正定二次型(正定矩阵)的判定定理6.4 n 元实二次型f=x T A x 为正定(负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数等于n . (定理6.4 P 143)定理6.5 n 元实二次型f=x T A x 为半正定(半负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数小于n ，且负(正)惯性指数为0. (推论1 P 143)推论2 n 阶实对称阵A 正定(负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值全是正数(负数)；A 半正定(半负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值为不全为正数(负数)的非负数(非正数). (推论2 P 143)例6.6(例6.6 P 143) 例6.7(例6.7 P 144) 例6.8(例6.8 P 144) 例6.9(例6.9 P 144)定义6.4 设A=(a ij )n ，则行列式11121k 12222k k k1k2kka a a a a a D (k 1,2,,n)a a a ==称为A 的k 阶顺序主子式. (定义6.8 P 144)定理6.6 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零；A 负定的充分必要条件是A 的所有顺序主子式中奇数阶的小于零而偶数阶的大于零. (定理6.5 P 144)例6.10(例6.10 P 145)五、二次型应用[实例6-1] 二次曲面图形的判定六、习题(P 148) 选择题：1.提示：110.5A 11000.50.50.51-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⇒|1|=1>0, 119901100=>, 100A 199100.51 1.25=<-- ⇒ 选D2.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32-2x 1x 2+2x 2x 3 =(x 1-x 2)2+(x 2+x 3)2+2x 32⇒ 正惯性指数为3，故选A3.提示：方法一 特征值为2,-1,-1，故选C.方法二 011A 101110⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⇒ |0|=0，排除A,B011010=-<, |A|=2>0，排除D ⇒ 选C4. B填空题：1.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32+4x 1x 2+8x 1x 3-2x 2x 3.2. 1200221001300000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 错误的解答：120221012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.提示：323221r r r r 2r r211211211A 121033033112033000-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒ 秩为2错误的解答：正惯性指数为3，故秩为3. 事实上，线性变换y1= x1+x2, y2= x2-x3, y3= x1+x3不可逆，故R(f)<3.4.提示：A可逆、对称⇒A-1=(A-1)T AA-1⇒x=A-1y.5.提示：tE-A的特征值为t-1, t-2,…, t-n ⇒t >n.6.提示：方法一a22A2a222a⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭与6⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似⇒3a=6 ⇒a=2方法二f(y1,y2,y3) =6y12⇒A有2个0特征值⇒R(A)=1 ⇒a=2方法三f(y1,y2,y3)=6y12⇒A的特征值为6,0,0二次型的特征值为a+4, a-2, a-2 ⇒a+4=0, a-2=0 ⇒a=27.提示：A的各行元素之和为3 ⇒A(1,1,…,1)T=3(1,1,…,1)TR(f)=1 ⇒3是A的唯一非零特征值⇒标准形为f(y1,y2,y3)=3y12或f(y1,y2,y3)=3y22或f(y1,y2,y3)=3y32解答题：1.参见P134-135的例6.2、例6.32.参见P139的例6.4、例6.53.参见P145的例6.104.(1)521A21111t-⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭|5|=5>0,521021=>,101A211t2010t1=-=->-⇒t>2(2)1t 1A t 12125-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭|1|=1>0,21t1t 0t 1=->, 2A 5t 4t 0=--> ⇒ -4/5<t<05.提示：f=x T A x =x T U T U x =|U x |2≥0.因为U 可逆，故当x ≠ο时，U x ≠ο，从而f=|U x |2>0，所以f 为正定二次型(A=U T U 是正定矩阵).6.提示：因为A 正定，故存在正交矩阵Q 和正定对角矩阵D=diag(λ1,λ2,…,λn )，使A=QDQ T .令D 1=diag(12n ,,...,λλλ)，则A=QDQ T = QD 1D 1T Q T =U T U ，其中U=(QD 1)T .5、6两题表明A 是正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵U 使A=U T U .7.提示：设对称矩阵A 与矩阵B 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=B. B T =(C T AC)T =C T AC=B ，所以与对称矩阵合同的矩阵必是对称矩阵.8.提示：方法一 矩阵A 与矩阵-A 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=-A .从而|C T AC|=|-A| ⇒ |C|2·|A|=(-1)n |A| ⇒ |A|(|C|2-(-1)n )=0A ⇒可逆|C|2=(-1)nC ⇒可逆|C|2>0，故n 为偶数方法二 A 的正惯性指数= -A 的负惯性指数A 的负惯性指数= -A 的正惯性指数 A 与-A 合同⇒ A 与-A 有相同的正惯性指数和负惯性指数 ⇒ A 的正惯性指数= A 的负惯性指数 ⇒ n 为偶数9.提示：513153 A153023 33k00k3---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→-⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为R(A)=2，所以k=3.(或由R(A)=2，有|A|=0，得k=3.) 余下略.10.提示：20003a0a3⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与125⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似a02200103a29a5a2 0a35>⇒=⇒-=⇒=余下略.11. 提示：1b1b a1111⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与14⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似2a51b1a3b a1b1 111+=⎧⎪=⎧⎪⇒=⇒⎨⎨=⎩⎪⎪⎩余下略.12.提示：(1)A的特征值为1,1,0，Q的第3列是属于0的特征向量，1的特征向量与其正交，易知为(√2/2,0,-√2/2)T和(0,1,0)T，是Q的前两列.于是A=Qdiag(1,1,0)Q T=….(2)A+E的特征值为2,2,1，所以A+E为正定矩阵.13.提示：(1)a01E A0a111(a1)λ--λ-=λ--λ--222a 11(a)01110(a 1)a 12(a)01010(a 1)a2(a)1(a 1)(a)((2a 1)a a 2)(a)((2a 1)(a 2)(a 1))(a)((a 2))((a 1))λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--=λ-λ--λ+--=λ-λ--λ+-+=λ-λ--λ-+ A 的特征值为a-2,a,a+1.(2)二次型f 的规范形为f(y 1,y 2,y 3)=y 12+y 22，所以A 有2个正特征值，一个0特征值.由于a-2<a<a+1，所以a-2=0，故a=2.14.提示：A 正定 ⇔ A 的任意特征值λ>0 ⇒ |A|>0⇒ A -1的任意特征值1/λ>0 ⇒ A -1正定A*的任意特征值|A|/λ>0 ⇒ A*正定15.提示：∀x ≠ο，x T (A+B)x =x T A x +x T B x >0 ⇒ A+B 正定16.提示：A 与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn ) (λ1≥λ2≥…≥λn )相似⇔ ∃正交矩阵Q ，∂Q AQ=diag(λ1,λ2,…,λn )ny Qx T T2i i i 1n n 22i i 1i i n x 1y 1x 1y 1i 1i 1f x Ax y Dy y max f max y ,min f min y ========⇒===λ⇒=λ≤λ=λ≥λ∑∑∑ 当分别取T1y e =和T n y e =时，得1n x 1x 1max f ,min f ===λ=λ.17.提示：设λ是A 的特征值，则λ3+λ2+λ-3=0，λ的值为1或复数. 因为A 是实对称矩阵，所以A 的特征值全为1，因此A 为正定矩阵.18.提示：A,B 实对称 ⇒ A,B 的特征值都是实数A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b⇒ A-aE 和B-bE 正定 (若λ是A 的特征值，则λ-a 是A-aE 的特征值)15⇒第题 (A-aE)+(B-bE)正定，即A+B-(a+b)E 正定⇒ A+B 的特征值都大于a+b.19.提示：必要性 设R(A)=n ，令B=A ，则AB+B T A=2A 2为正定矩阵.充分性 设AB+B T A 是正定矩阵，若R(A)<n ，那么A x =ο有非零解y . 因此，y T (AB+B T A)y =(A y )T By+ y T B T (A y )=ο，这与AB+B T A 正定矛盾，所以R(A)=n.20.提示：考虑二次型g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz ，由于202E A 040(1)(4)(6)205λ-λ-=λ-=λ-λ-λ-λ-，⇒ A 的特征值全为正数⇒ g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz 是椭球曲面⇒ f(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz+2x-4y+1是椭球曲面附加题：1.设A 为m 阶正定矩阵，B 为m×n 实矩阵，证明：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件为R(B)=n .提示：B T AB 正定⇔ ∀x ≠ο, x T B T AB x =(B x )T A(B x )>0⇔ ∀x ≠ο，有B x ≠ο⇔ B x =ο只有零解⇔ R(B)=n七、计算实践实践指导：(1)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.(2)了解实二次型的标准形式及其求法.(3)了解合同变换和合同矩阵的概念.(4)了解惯性定理和实二次型的规范形.(5)了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别法.例6.1 设12A 21⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则在实数域上与A 合同的矩阵为[D ]. (A)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (C)2112⎛⎫ ⎪⎝⎭; (D)1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.(2008 数二 三 四)提示：合同的矩阵有相同的秩，有相同的规范形，从而有相同的正惯性指数与负惯性指数.故选D .例6.2 已知二次型f(x 1,x 2,x 3)=(1-a)x 12+(1-a)x 22+2x 32+2(1+a)x 1x 2的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x =Q y ，把f 化成标准形；(3)求方程f(x 1,x 2,x 3)=0的解. (2005 数一)解 (1) 1a 1a 0220A 1a 1a 01a 1a 0002002-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-→+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R (A )2=⇒1+a=1-a ⇒ a=0(2) 略.(3) f(x 1,x 2,x 3)=0⇔ (x 1+x 2)2+2x 32=0 ⇔ x 1=-x 2, x 3=0 ⇒ 解为k(-1,1,0)T , k ∈R例6.3 若二次曲面的方程x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y 12+4z 12=4，则a= 1 . (2011 数一)提示：二次型f(x,y,z)=x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz 经正交变换化为标准形f=y 12+4z 12，因此二次型矩阵1a 1A a 31111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与014⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似.所以 1a 1a 310a 1111=⇒=.例6.4 设矩阵211100A 121,B 010112000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B [B ].(A)合同且相似； (B)合同但不相似；(C)不合同但相似； (D)既不合同也不相似. （2007 数一）解 211E A 121121112112λ-λλλλ-=λ-=λ-λ-λ-2111030(3)003=λλ-=λλ-λ-即A 的特征值为0,3,3.故A 与B 不相似.由于A 与B 有相同的正惯性指数与负惯性指数，所以A 与B 合同.故选B .例6.5 设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面x (x y z)A y 1z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如下图，则A 的正特征值个数为[B ]. (2008 数一)(A) 0； (B) 1； (C) 2；(D)3.提示：图形是双曲抛物面，说明A 的秩为2，正惯性指数为1，所以选B.例6.6 设A 为三阶实对称矩阵, 且满足条件A 2+2A=O .已知A 的秩R(A)=2,(1)求A 的全部特征值；(2)当k 为何值时，矩阵A+kE 为正定矩阵.解 (1)设λ是A 的特征值，则λ2+2λ=0，λ=0或-2R(A)=2 ⇒ A 的特征值为0,-2,-2(2) A+kE 的特征值则为k, k-2, k-2 ⇒ 当k>2时，A+kE 为正定矩阵例6.7 设101A 020101=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B=(kE+A)2，其中k 为实数，E 为单位矩阵. 求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并问k 为何值时，B 为正定矩阵.解 A 是实对称矩阵，则kE+A 是实对称矩阵，(kE+A)2是实对称矩阵.A 与diag(0,2,2)相似⇒ kE+A 与diag(k,k+2,k+2)相似⇒ (kE+A)2与diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)相似⇒ Λ=diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)⇒ 当k ≠0且k ≠-2时，B 为正定矩阵例6.8 设A ,B 分别为m 阶和n 阶正定矩阵, 试判定分块矩阵A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭的正定性. 解 ∀x ≠ο, y ≠ο，有x T A x >0, x T B x >0⇒ x ≠ο或y ≠ο，有(x T ,y T )≠ο, (x T ,y T )C ⎛⎫ ⎪⎝⎭x y =x T A x +x T B x >0 ⇒ A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭正定例6.9 设T A C D CB =⎛⎫ ⎪⎝⎭为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶与n 阶对称矩阵，C 为m ⨯n 矩阵. (1) 计算P T DP ，其中1m n E A C P OE --=⎛⎫⎪⎝⎭． (2) 利用(1)的结果，判断矩阵B-C T A -1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. (2005 数三)。
第六章 格与布尔代数
第六章格与布尔代数教学重点：掌握格、子格的定义，理解并且学会证明格的几个基本性质；透彻理解分配格和有补格的定义和性质的证明。
教学难点：格、子格、分配格和有补格的定义和性质的证明。
教学要求：格、子格、分配格和有补格的定义和性质的证明。
6-1 格 (Lattice)一 . 基本概念1. 格的定义<A,≤>是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大下界和最小上界，则称<A,≤>是格。
2. 由格诱导的代数系统设<A, ≤>是格,在A上定义二元运算∨和∧为:∀a,b∈A a∨b=LUB {a,b} {a,b}的最小上界.Least Upper Bound a∧b=GLB {a,b} {a,b}的最大下界.Greatest Lower Bound，称<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统. (∨-并,∧-交)例如右边的格中a∧b=b a∨b=a b∧c=e3. 子格：设<A,≤>是格, <A,∨,∧>是由<A,≤>诱导的代数系统。
B是A的非空子集，如果∧和∨在B上封闭，则称<B, ≤>是<A, ≤>的子格。
二. 格的对偶原理设<A,≤>是格，≤的逆关系记作≥，≥也是偏序关系。
<A, ≥>也是格，<A,≥>的Hasse图是将<A,≤>的Hasse图颠倒180º即可。
格的对偶原理：设P是对任何格都为真的命题，如果将P中的≤换成≥，∧换成∨，∨换成∧，就得到命题P’ , 称P’为P的对偶命题，则P’对任何格也是为真的命题。
例如：P: a∧b≤a P’: a∨b≥a{a,b}的最大下界≤a {a,b}的最小上界≥a三. 格的性质<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。
∀a,b,c,d∈A1. a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b此性质由运算∨和∧的定义直接得证。
线性代数_第六章
成立, 则称这组有序数x1, x2, …, xn 为元素a 在 基a1, a2, …, an下的坐标,记作(x1, x2, …, xn )T , 称
为坐标向量.
例4 求四维线性空间R2╳2中矩阵a在基{E11,
E12, E21, E22}下的坐标。
试求P[x]2中向量在这两个基下的坐标变换公式。
§6.3 欧氏空间
线性空间中，只定义了加法与数乘两种 运算；
在线性空间中引入度量的概念后，成为 欧几里德空间；
6.3.1 内积的概念与性质
定义1 设V是实数域R上的线性空间,若在V上定义了一个二元
实函数(a, b),它满足以下条件: 1)对称性 (a, b) (b, a) 2)齐次性 (ka, b) k(a, b) 3)可加性 (ab,g)(a, b)(a, g) 4)非负性 (a, a)≥0, 当且仅当a0时(a, a)0 其中, a,b,g为V中任意元素,则称此二元实函数(a, b)为元素a与 b的内积;定义了内积的线性空间称为内积空间.
例7 齐次线性方程组
AX=0 的全部解向量构成线性空间Rn的一个子 空间,称为(1)的解空间.
例8 设C[a,b]是闭区间[a,b]上所有连续实函 数组成的线性空间，P[x][a,b]是 [a,b]上所有的 实系数多项式集合；
则C[a,b]中的定义加法与数乘， P[x][a,b]构成 C[a,b]的一个子空间.
R, R2, Rn 都是有限维线性空间; P[x]是无限维线性空间;
例1 求齐次线性方程组的解空间N(A)的维数.
x1 x1
2x2 3x2
3x3 x4 10x3 5x4
0
《离散数学》第六章代数结构
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第四节 子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部分. 它的结构对群的结构有重要影响.
主要概念有:平凡 元素的周期.
讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定义 循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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2 2020/2/14
第二节 置换(1)
群论的研究始于置换群.置换群在群论里 有重要的地位.例如，五次以上方程不能 用根号求解的问题的证明就用到置换群. 置换概念本身在计算机科学中也起作重 要作用.同时置换群的记法简单，运算方 便.
本节的概念有:置换、循环置换、不相交 置换、对换、奇置换、偶置换等;
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1 2020/2/14
第一节 代数结构概述
我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系.现在我们要在一个集合的内部引入运 算，并研究其运算规律,主要内容为:
1.代数系统的定义,然后用例子说明代数 系统的丰富性;
2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念.
第六章 代数结构
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统.
本章以群为例讨论代数结构，它的思想和方 法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结果 已应用到计算机的不少方面，因此计算机科学 工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容.
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第6章 格与布尔代数
借助于子代数给子格下的定义: Def 设(L, +, ∙)是格, M L, 若(M, +, ∙)是 格, 则称(M, +, ∙)为(L, +, ∙)的子格(sunlattice).
显然, (M, +, ∙)为(L, +, ∙)的子格 M关于+和 ∙封闭.
Remark 设(L, +, ∙)是格, M L, (M, )是 格与(M, )是子格存在差异. 正因为这样, 才 借助于子代数对子格定义.
(L, )与(L, )? Def 对于任意关于格(L, )的命题, 将命题前 提和结论中的(1) 改为; (2)+ 改为; (3) 改 为+；(4)0改为1；(5)1改为0所得到的命题称 为原命题的对偶命题. Theorem 6-2 对于任意关于格(L, )的真命题, 其对偶命题亦为真.
Chapter 6 格与布尔代数
格论(1935)是一种重要的代数结构, 它是计算机语 言的指称语义的理论基础，在计算机应用逻辑研 究中有着重要作用. 布尔代数是英国数学家George Boole在1847年左右 在对逻辑思维法则进行研究时提出的，后来很多 数学家特别是E. V. Hungtington和E. H. Stone对布 尔代数的进行了一般化研究，在1938年C. E. Shannon发表的A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits 论文，为布尔代数在工艺技术
2.格的两种定义的等价性 格的这两种定义是否是一回事? Theorem 6-7 偏序格(L, )与代数格(L, +, ∙)是 等价的. Proof () () x, y L : x y x y x. (1) 是偏序.
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第六章 介绍代数 聚焦温度 你有没有考虑过··· 当温度较低时，为什么好象变冷了？ 在美国，记录中的最高温度是多少？
室温和相对湿度下的显示值 相对湿度 温度
前瞻 在本章中，你将看到数学是如何被用于回答有关温度和湿度的问题。本章得主要目标如下： 写出简单的代数式
倒霉，又得了一个D！ 想开点，生活中总会有阳光和风雨，白天和黑夜，高峰和低谷··· 唉，可是我今晚要在低谷里经历风雨了！ 6-1 用逆运算解方程
本章课外自修项目 温度 分组合作 1. 做一张表，记录下你所在社区每天最高温度，为期一个月。 2. 每天想象一下今天的最高温度是多少。 3. 从这项工作第一天记录的温度起，讲明这个月每天温度如何变化（变高或变低了），并用文字描述任何可以帮助你表达得更清楚的有关对温度得描述。
目标 用逆运算解方程 概念 逆运算 位于华盛顿大街的华盛顿博物馆高５５英尺，而位于圣路易的West Arch博物馆式我国最高的博物馆。华盛顿博物馆比它低７５英尺。Arch博物馆有多高？
令a表示Arch博物馆的高度，那么方程555=a-75就可以解决这个问题。你可以用心算解这个方程，但是当数字变大或者心算变得困难时，你就需要另一种方法。方法如下： 555=a-75 555+75=a 使用加法或减法 630=a 检验：555=630-75 Arch的高度为630英尺。
你可以这样做是因为加法和减法是逆运算。下面列出了 一些相关的加法和减法的式子。 11+4=15 → 15-11=4 18+d=24 → 24-18=d →15-4=11 → 24-d=18
回顾 你可以复习一下２８页有关变量的内容。 例题 用逆运算写出相关代数式，解下列方程。 1. t-5=11 t =11+5 写出一个相关加法等式 t =16 检验：16-15=11
2. b+351=1253
b =1253-351 写出一个相关减法等式 b=952
估算提示 ······················ 在例２中，考虑到b+4=13 答案是９。
同样地，乘法和除法也是逆运算。下面列出了一些相关的乘法和除法等式。 7·8=56 → 56÷7=8 7m=35→35÷7=m → 56÷8=7 →35÷m=7
3. 2m=7 m=7·２ 写出相关乘法等式 m=14
4. 2.3n=75 n=75÷2.3 写出相关除法等式 75 ÷ 2.3 = 32.608695 n≈32.6 精确到小数点后一位 ≈表示“近似等于”
数学交流 检测
阅读并学习课文，回答下列问题。 1. 说说什么与温度上升了三度相反。 2. 说说你用什么方法来解减法。 3. 写出一个乘法等式，并写出两个相关的除法等式。
指导练习 用逆运算解下列方程，精确到小数点后一位。 4. 3+5= 8 5. 9-5 = 4 6. m+7=19
7. n - 12 = 21 8. 6·5 = 30 9. 954= 6
10. 2a= 13 11. c=3·14 12.4e= 48
独立练习 练习 用逆运算解下列方程，答案精确到小数点后一位。 13. f + 7 = 15 14. L + 4 = 13 15. 9 + n = 19 16. t – 5 = 17 17. P – 9 = 30 18. 63 = r – 8
19.6a =19 20. 7b = 25 21.60 = 5c 22.4d = 64 23. 9e = 104 24. 102 = 6g 25. n + 3.8 = 17.2 26. m + 14.1 = 26.5 合作学习 6-2A 用模型解方程
6-2课的导言
综合练习 37.估计$4726÷6的值。 （1-3课）
38．精明购物 Pilar买了3.75磅的牛肉，每磅售价2.29美元，求她买牛肉所花的钱。（2-4课） 39.统计 构造12，7，23，9，10，20，0，4，19，13，5，7，2，13，18，2的树型图。（3-6课）
40.写出2418的简单形式。（4-6课）
41. 求452除以21的值。 （5-10课）
问题解决和运用 42. 几何 假设所量的两角之和为180°，一个角是96°。解方程 a + 96 =180,求a，即第二个角的度数。 43 .统计 由最大数和最小数可以得出一组数的范围，若已知这组数字的范围是54，最小数为44，解方程s – 44 = 54,可求出s 即最大数。 44. 体育 一个玩滑板者在16秒中滑出100米。解方程 100=16r求得r，r是单位为米每秒得平均速度。 45.数据收集 参看612页。如果一个12岁得男孩重35.9千克，他的体重与平均体重相差了多少？
46. 独立思考 考虑除式03 = h及相关乘式0·h = 3, 用这些式子解释为什么不能定义分子是0的除法。
保护地球 种树 覆盖在地球表面的大气层使得地球吸收的太阳热量不致散发。没有这种温室效应，地球上的温度将比现在低59度。被称为温室气体的某些气体，使地球更暖和。虽然这些温室气体是必不可少的，然而这种气体的过多产生，以及氧气和其他气体的缺乏，导致地球变得过于温暖。这将会使得海中许多非常重要的微生物死亡，而微生物能为海水提供氧气，它们还是其它动物的食物。温室效应甚至最终将融化两极的永冻层（冰盖）。
你能做什么 保持大气层微妙平衡的方法之一是植树。树木能够吸收主要的温室气体-二氧化碳，并生产氧气。这样，树木不仅把世界变得美丽，而且使得地球更富生机。 目标 用模型解方程
在前一课中，你学会了利用逆
运算解方程。在这个实验中，你将利用模型来揭示另一种解方程的方法。
材料 杯子、垫子、算子 活动一
两人合作 在这个实验中，一个算子表示1，一个杯子表示变量
用模型寻找方程x+3=5的解 在第一个垫子上放1个杯子、3个算子，在第二个垫子上放5个算子
为了找出x的值，从两个垫子上分别移走（减去）3个算子
答案是x=2
想一想 1.你利用模型检查答案？ 2.研究一下模型，说一说你怎样去找出答案？
3.活动一，解方程w+7=12，8+b=14。对你的同伴解释你怎样得到答案。 4.画一张图，表明找到方程m+5=11的解的步骤
活动二 利用模型找出方程4x=12的解 在第一个垫子上放4个杯子，在第二个垫子上放12个算子
每个杯子中必须包含相等数量的算子
你想到什么？ 5.你怎样用上述模型找到x的解？（提示：把每边分成相等数量的部分） 6.答案是多少？ 7.你怎样检验你的解？ 8.说一说，你怎样求得答案？ 9.再利用活动二解方程5e=20和2t=24，对你的同伴解释你怎样得到答案。
10.画一张图，表明找到方程3n=18的解的步骤 11.写出两个与7q=63有关的方程，它们彼此之间有什么联系？ 目的 用加减法等式性质解方程 6-2 解加法和减法方程 加法恒等变形 用文字描述 如果在方程两边同时加上一个数，方程的解不变。 算术 4=4 4+3=4+3 7=7 代数 a=b a+c=b+c 推广 12.在方程x+9=15中，9被加到x上去，为了解它，你要减去9。假设你正在解方程2x-3=13，你将利用2、3进行什么运算去求得x？ 概念 等价方程、加法恒等变形、减法恒等变形 怀特·奥威尔（Orville Wright）和怀特·韦勃（Wilbur Wright）兄弟俩靠修自行车维生，但是他们梦想发明一个飞行器。1903年12月17日，他们在北卡罗莱纳湖（Carolina Kitty Hawk)试飞了他们的第一架飞机“飞行者号”。Wilbur第一个驾驶飞机，但他比Orville少飞了244英尺。如果Wilbur的总航程为120英尺，Orville的总航程是多少？ 令f表示Orville驾驶飞机飞的总航程，那么用方程f-244=120来解决这个问题。在前面的数学实验中，你学会了利用保持方程平衡来解方程。如果你在方程两边加上或减去相同的数，这个方程和原方程有相同的解。这样的方程被称为等价方程。 解f-244=120。 f-244=120 f-244+244=120+244 在两边同时加上244 f=364 解是364，Orville飞了364英尺
在方程两边同时加上244，这种性质称为加法恒等变形。
减法具有与加法相同的性质。 减法恒等变形
用文字描述 如果在方程两边同时减去一个数，方程的解不变。 算术 4=4 4-3=4-3 1=1 代数 a=b a-c=b-c
例题 解下列方程并检验
1 x +3.6= 12 . 4 x+3.6-3.6=12 . 4-3.6 两边同时减去3.6 12.4 – 3.6 = 8.8 x = 8.8 检验: x+3.6=12.4 8.8 + 3. 6 = 12.4 用8.8代替x 12 . 4 = 12 . 4 答案是8.8
2 832 + m = 1561 832 -832+ m =1561 - 832 两边同时减去832 m=1467 - 8 64 1561= 1467 832=864 m = 663 或 621 检验: 832 +m =1561 832 + 621 =1561 用621 代替m 864 + 6 63= 1561 832=864 663 =621 1467 = 1561 1561= 1561 解是621.
回顾 你可以复习185页的加减法部分
检测 阅读并学习课文,回答下列问题 1. 说说如何检验方程的解. 2. 做出方程 y + 3 = 9的模型,用模型解方程. 3. 说说方程 m + 5= 14 ,m=9是否为等价方程?并解释. 4. 写出解方程 d – 8 =12的变换式或两个理由.
数学交流 指导练习 完成下列个题. 5. p + 21 = 46 6. t– 14 = 22 7. 58 = s + 19 p + 21 – 21= 46-? t– 14 + ? = ? + ? 58 - ? = s + ? - ? p = ? t = ? ? = s
解下列方程并检验 8. a + 3 = 12 9. k– 7.2 = 4.5 10. m – 8 = 13
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