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最大公因式
性质3： 性质 ： 若 g ( x ) f ( x ) , h ( x ) f ( x ) , 又 ( g ( x ) , h ( x ) ) = 1, 则 g ( x) h ( x) f ( x). 证： gu + hv = 1, gfu + fhv = f
f = gg1 , f = hh1
代入上式即知 三、多个多项式的情况 定义4： 设 f1 ( x ) ,L , f n ( x ) ∈ F [ x ] , h ( x ) fi ( x ) , i = 1,L , n
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问题：1、如何求两个多项式的最大公因式？ 2、最大公因式是否唯一？ 则两对多项式 f ( x ) 与 g ( x ) ，g ( x )与 r ( x ) 有相同的 公因式和最大公因式。 证： 1、设 h ( x ) 是 f ( x ) , g ( x ) 的公因式 引理： 若 f ( x ) = g ( x ) q ( x ) + r ( x ) ,
第七章 多项式环
§7.3 最大公因式
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一、两个多项式的最大公因式 定义1： f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) ∈ F [ x ] , 若 h ( x) g ( x), h ( x) f ( x), 则 h ( x ) 是 f ( x ) , g ( x ) 的一个公因式。 例如 h = x − 1 是 f = x3 − x, g = x3 − x 2 − x + 1 的一个公因式。 定义2： 设 d ( x ) 是 f ( x ) , g ( x ) 的一个公因式。 若 f ( x ) , g ( x ) 的任一个公因式 h ( x ) 均有 h ( x ) d ( x ) , 则称 d ( x ) 是 f ( x ) , g ( x ) 的最大公因式。
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V1 V2 1 2 | 1 V1 , 2 V2
定理2：如果V1 ，V2是线性空间V的两个子空
间，那么它们的和 V1＋V2也是V的子空间。
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证明：由于0∈ V1，0∈ V2 ， 0＝0＋0∈ V1＋V2 ，因而V1＋V2 是非空集合， 如果＝ 1＋ 2 ， ＝ 1＋ 2 ∈ V1＋V2， 因1＋1∈ V1、 2＋2 ∈ V2 ， 有 ＋ ＝(1＋1)＋( 2＋2) ∈V1＋ V2 k=k (1＋ 2 )= k 1＋k 2 ∈V1＋ V2 因此V1+V2 是V的子集. 有限个子空间的和
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推论2 : 和V1 V2为直和的充分必要条件是 V1 V2 0 证明 : 必要性 V1 V2 , 0 ( ) 0 0 因为V1 V2是直和, 零元素的表示法唯一, 从而 0 , V1 V2 {0} 充分性 任意1 ,V1 , 2 V2 , 如果1 2 0, 有
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例1 在二位几何空间中,若V1,V2分别是x轴 与y轴,则V1∩V2={0}, V1+V2=R2. 例2 在三位几何空间中,若V1表示过原点的 直线,V2是过原点且与V1垂直的平面,则 V1∩V2={0}, V1+V2=R3.
例3 线性空间Pn中,若V1是As×nx=0的解空 间,V2是Br×nx=0的解空间,
第八章 线性空间
§8.2 子空间及其交与和 子空间的直和
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子空间的交与和
子空间的交与和是Ｖ的子空间集合的 运算。由于两个子空间的并一般未必仍是 子空间，所以集合并的运算不是Ｖ的子空 间集合的运算。因此引入子空间的和。我 们切不可把子空间的和与集合的并混为一 谈，例如在Ｒ2中，若Ｘ，Ｙ分别表示 x 轴和 y 轴上所有点的集合，那么Ｘ和Ｙ 都是Ｒ2的子空间，且Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2，显然 ≠Ｘ∪Ｙ。
有理数域上的不可约多项式
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可设 p ar , r 0,1, , i 1,
但p
ai ,
bj ,
p bs , s 0,1,
现考虑
, j 1, 但 p
ci j a0bi j
因此
ai1bj 1 aibj ai 1bj 1
ai jb0 .
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q 由于 g1 x h1 x 是整系数多项式， p
问题 C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项 式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上 不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判 别法回答了这个问题。 定理 2（Eisenstein判别法）：
由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不 可约多项式。 例1
xn p 是Q上不可约多项式，p是素数。
判断 f x x 10x 2,
6 3
解：取素数p即知。 例2
g x 5x4 6x3 12x 6
在Q上是否可约？ 解：分别取p=2, p=3即知。
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设 f x a0 a1x 若存在素数p，使
an xn 是整系数多项式，
an ;
① p ③ p2
② p a0 , a1,
, an1,
则 f x 在Q上不可约。
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a0 ,
证（反证法）：
若 f x 在Q上可约 即存在：
除了ai b j 这一项外，p能整除其余各项，
ci j , 这是一个矛盾， 故 f x g x 是本原多项式。
可设 p ar , r 0,1, , i 1,
但p
ai ,
bj ,
p bs , s 0,1,
现考虑
, j 1, 但 p
ci j a0bi j
因此
ai1bj 1 aibj ai 1bj 1
ai jb0 .
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q 由于 g1 x h1 x 是整系数多项式， p
问题 C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项 式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上 不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判 别法回答了这个问题。 定理 2（Eisenstein判别法）：
由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不 可约多项式。 例1
xn p 是Q上不可约多项式，p是素数。
判断 f x x 10x 2,
6 3
解：取素数p即知。 例2
g x 5x4 6x3 12x 6
在Q上是否可约？ 解：分别取p=2, p=3即知。
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设 f x a0 a1x 若存在素数p，使
an xn 是整系数多项式，
an ;
① p ③ p2
② p a0 , a1,
, an1,
则 f x 在Q上不可约。
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a0 ,
证（反证法）：
若 f x 在Q上可约 即存在：
除了ai b j 这一项外，p能整除其余各项，
ci j , 这是一个矛盾， 故 f x g x 是本原多项式。
《高等代数》PPT课件
命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有:
0=0, a0=0.
a()=(a) = a.
a=0a=0 或 =0.
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三. 约定
设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵 (1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩 阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果 是一个以向量为元素的矩阵, 即:
3) 0+ = 4) 对任意 ，存在 ，使得 + = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1 = .
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二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
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例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
高等代数课件
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第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
高等代数课件ppt1.2
仍为数域 P上的多项式．
f ( x) g( x) 0
2) f ( x ), g ( x ) P [ x ]
① ( f ( x ) g ( x )) m ax( ( f ( x )), g ( x ))) ② 若 f ( x ) 0, g ( x ) 0, 则 f ( x ) g ( x ) 0, 且
个非负整数，形式表达式
a n x a n1 x
n n1
a1 x a 0
其中 a 0 , a 1 , a n
P,
称为数域P上的一元多项式．
常用 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 等表示．
§1.2 一元多项式
注： 多项式
①
ai x
i
f ( x ) a n x a n1 x
加法： 若 n m , 在 g ( x ) 中令
bn bn 1 bm 1 0
则
f ( x) g( x)
n
( a i bi ) x i . bi ) x i
减法： f ( x ) g ( x )
§1.2 一元多项式
i0 n
(a
i0
i
乘法：
f ( x ) g ( x ) a n bm x
n m
( a n bm 1 a n 1bm ) x
n m 1
( a 1 b 0 a o b1 ) x a 0 b) x
i
s1 i j s
注:
f ( x)g( x)
( f ( x ) g ( x )) ( f ( x )) ( g ( x ))
高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵
f
x2 1
x2 2
5
x2 3
2t x1x2
2x1x3 4x2 x3
为正定二次型?
解
二次型的矩阵为
A
1 t 1
t 1 2
251 ,
要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序 主子式均为正 , 即
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1＞0
（1） xTAx ＞0 ，则称 f 为正定二次型，
相应地矩阵A称为正定矩阵；
（2） xTAx ＜0 ，则称 f 为负定二次型，相应
地矩阵A称为负定矩阵；
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（3）xTAx≥ 0 ，则称 f 为半正定二次型，相应
地矩阵A称为半正定矩阵；
（4）xTAx ≤0 ，则称 f 为半负定二次型，相应
0 1 2
2
5 2
2 6
2 0
2 0 4
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解 (1) 2＞0,
2 2
1 2
5＞0,
2 1 0
1 2 1 4＞0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
解 (2)∵-5＞0, 5 2 26 ＞0, 2 6
, 1t
t 1
1 t 2＞0,
1t t1
1
2 5t 2 4t ＞0,
1 2 5
1 t 2＞0
因此
5t
2
4t ＜0
解之得 4＜t＜0 5
故当 4 ＜t＜0 时,该二次型为正定二次型. 5
高等代数课件 高等代数(线性方程组)(2)
之后剩下的那些向量，则
1 i1
k ik
0 ik 1
0im
0
其 说中 明各i1向,量, 的ik ,系ik数1 , λ1,,…im,λk,0,…线,性0不相全关为，0也，就这
是α1,…, αm 线性相关. 由于﹛ α1,…, αm ﹜的任何一个子集线
性相关都将导致﹛ α1,…, αm ﹜线性相关，
要使﹛ α1,…, αm ﹜线性无关，必须它的所
有子集线性无关.
□
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利用解线性方程组判定线性相关
定义向量组u1,…,um的线性相关或线性无关所 用的等式
(2.2.3)
可以看成以λ1 , … , λm为未知数的一个方程. 这个 方程至少有一组解 (λ1 , … , λm)=(0,…,0)
有唯一解的条件。
其中
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定义 将任意数域F上的 n维数组(x1,x2,…,xn)
看成向量，将这些数组的全体组成的集合Fn
看成向量空间，称为n维数组空间。
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• n维数组空间中的向量的加法
设 ( a1 , a 2 ,, a n ), (b1 , b2 ,bn )
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因此, 线性相关和线性无关的定义可这样来理解:
(1)u1,…,um线性相关等价于方程 (2.2.3)有非零解
(λ1 , … , λm) (0,…,0) (2)u1,…,um线性无关等价于方程 (2.2.3)只有一 组 解(λ1 , … , λm)=(0,…,0) 设u1,…,um都是n维数组向量, 不妨将其中每个 向量uj (1 j m)写成列向量的形式
多元多项式环
则f与g的和是
f x1, x2, x3 g x1, x2, x3 x13 5x12x22 x1x23 2x2x32 x33 3. 相减：f g f g.
设 g F x1, x2,L , xn ,
把g的系数都换成各自的相反数，所得多项式
叫做g的负多项式，记为 g,
g F x1, x2,L , xn .
应该注意的是， 把一个多项式按字典排列法书写后，次数较
高的项并不一定排在次数较低的项的前面，例如 上面的首项次数为4，第二项的次数为6，而f 7.
关于多项式的首项有以下定理，这个定理在下 一节讨论对称多项式时将要用到 定理 1：
数域F上两个非零的n元多项式 f x1,L , xn 和
g x1,L , xn 的乘积的首项等于这两个多项式首项
的首项等于每个 fi 的首项的乘积。
推论 2：
如果 f x1,L , xn 0, g x1,L , xn 0,
则 f x1,L , xn g x1,L , xn 0.
现在回到两个n元多项式的乘积的次数上来，
设 f x1,L , xn 是一个n元多项式， 如果 f x1,L , xn 中各项都有同一次数k，
同一元多项式一样，F上n元多项式与多项式函 数是相同的。
对于数域F上一个n元多项式 f x1,L , xn
对F中任意n个数 c1, c2 ,L , cn
如果在 f x1,L , xn 中，用 ci 代替 xi
就得到数域F中一个确定的数，称为 xi ci ,
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第七章 多项式环
§7.9 多元多项式环
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前面介绍了一元多项式的基本性质，但是除了 一元多项式外；还有含多个文字的多项式，即多元 多项式，如 x2 y2 2xy, x3 y3 3x2 y 3xy2 ,
f x1, x2, x3 g x1, x2, x3 x13 5x12x22 x1x23 2x2x32 x33 3. 相减：f g f g.
设 g F x1, x2,L , xn ,
把g的系数都换成各自的相反数，所得多项式
叫做g的负多项式，记为 g,
g F x1, x2,L , xn .
应该注意的是， 把一个多项式按字典排列法书写后，次数较
高的项并不一定排在次数较低的项的前面，例如 上面的首项次数为4，第二项的次数为6，而f 7.
关于多项式的首项有以下定理，这个定理在下 一节讨论对称多项式时将要用到 定理 1：
数域F上两个非零的n元多项式 f x1,L , xn 和
g x1,L , xn 的乘积的首项等于这两个多项式首项
的首项等于每个 fi 的首项的乘积。
推论 2：
如果 f x1,L , xn 0, g x1,L , xn 0,
则 f x1,L , xn g x1,L , xn 0.
现在回到两个n元多项式的乘积的次数上来，
设 f x1,L , xn 是一个n元多项式， 如果 f x1,L , xn 中各项都有同一次数k，
同一元多项式一样，F上n元多项式与多项式函 数是相同的。
对于数域F上一个n元多项式 f x1,L , xn
对F中任意n个数 c1, c2 ,L , cn
如果在 f x1,L , xn 中，用 ci 代替 xi
就得到数域F中一个确定的数，称为 xi ci ,
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第七章 多项式环
§7.9 多元多项式环
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前面介绍了一元多项式的基本性质，但是除了 一元多项式外；还有含多个文字的多项式，即多元 多项式，如 x2 y2 2xy, x3 y3 3x2 y 3xy2 ,
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除了ai b j 这一项外，p能整除其余各项， 因此
ci j , 这是一个矛盾， 故 f x g x 是本原多项式。
p
定理 1： 一个整系数n（n>0）次多项式 f x 在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。
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证：充分性显然。 下证必要性。 设 f x 可分解成 Q x 中两个次数都小于n的 多项式 g x 与h x 的乘积，即有 f x g x h x . 设 g x 的系数的公分母为m，则 mg x 是 一个整系数多项式，把 mg x 系数的公因式n
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引理（高斯定理）： 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。 证： 设 f x a0 a1x ai xi an xn , an 0
g x b0 b1x bj x j bm xm , bm 0
f x 在Z上可约，
g x b0 b1x bk xk ,
使 f x g x h x.
h x c0 c1x cl xl Z x ,
其中 k l n, 0 k , l n.
a0 b0c0 , p a0 故 p b0 或 p c0
都是本原多项式
f x g x c0 c1x ci j xi j cmn xmn .
若 f x g x 不是本原多项式，则存在素数p，使
p ck , k 1,2,, m n, 由于 f x , g x 都是本原多
项式，故 f x 的系数不能都被p整除，g x 的系数 也不能被p整除，
as bs c0 bs 1c1 b0cs , s n.
p bs , p c0 p bsc0 ,
但p能整除其它项，故 p as 与已知矛盾。 f x 在 Z x 中不可约 f x 在 Q x 中不可约。
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第七章 多项式环
§7.8 有理数域上的不可约多项式
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本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如 何求Q上多项式的有理根，由于 f x 与 cf x 在 Q x 上的可约性相同。因此讨论 f x 在Q上的可约
性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是 本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。
n f x a a x a x 设 0 1 是整系数多项式， n
若存在素数p，使
① p ③ p2
an ;
② p a0 , a1,, an1,
则 f x 在Q上不可约。
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a0 ,
证（反证法）：
若 f x 在Q上可约 即存在：
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q 由于 g1 x h1 x 是整系数多项式， p
问题 C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项 式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上 不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判 别法回答了这个问题。 定理 2（Eisenstein判别法）：
n 即 g x g1 x r g1 x . m
提出来， mg x ng1 x , g1 x 是本原多项式，
同理，存在有理数S，使 h x sh1 x , h1 x 也是本原多项式，
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于是 f x g x h x r sg1 x h1 x
下证 r s 是一个整数， q 设 r s （p,q互素且p>0）， p
故p能整除q与 g1 x h1 x 的每一系数的乘积， 而p,q互素，故p能整除 g1 x h1 x 的每一系数， 但由引理1知，g1 x h1 x 是本原多项式， 故p=1，从而rs是一个整数。
由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不 可约多项式。 例1
xn p 是Q上不可约多项式，p是素数。
判断 f x x 10x 2,
6 3
解：取素数p即知。 例2
g 否可约？ 解：分别取p=2, p=3即知。
2 p 但两者不能同时成立。
a0
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不妨设 p b0 但 p 由于 an bk cl ， 由 p
c0 。
an 知 g x 的系数不能都被p
整除， 假设 bs 是第一个不能被p整除的系数， 即 p b0 ,, p bs1, 但 p bs 现考虑
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可设 p ar , r 0,1,, i 1, 现考虑
但p
ai ,
bj ,
p bs , s 0,1,, j 1, 但 p
ci j a0bi j ai1bj 1 aibj ai 1bj 1 ai jb0 .
ci j , 这是一个矛盾， 故 f x g x 是本原多项式。
p
定理 1： 一个整系数n（n>0）次多项式 f x 在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。
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证：充分性显然。 下证必要性。 设 f x 可分解成 Q x 中两个次数都小于n的 多项式 g x 与h x 的乘积，即有 f x g x h x . 设 g x 的系数的公分母为m，则 mg x 是 一个整系数多项式，把 mg x 系数的公因式n
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引理（高斯定理）： 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。 证： 设 f x a0 a1x ai xi an xn , an 0
g x b0 b1x bj x j bm xm , bm 0
f x 在Z上可约，
g x b0 b1x bk xk ,
使 f x g x h x.
h x c0 c1x cl xl Z x ,
其中 k l n, 0 k , l n.
a0 b0c0 , p a0 故 p b0 或 p c0
都是本原多项式
f x g x c0 c1x ci j xi j cmn xmn .
若 f x g x 不是本原多项式，则存在素数p，使
p ck , k 1,2,, m n, 由于 f x , g x 都是本原多
项式，故 f x 的系数不能都被p整除，g x 的系数 也不能被p整除，
as bs c0 bs 1c1 b0cs , s n.
p bs , p c0 p bsc0 ,
但p能整除其它项，故 p as 与已知矛盾。 f x 在 Z x 中不可约 f x 在 Q x 中不可约。
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第七章 多项式环
§7.8 有理数域上的不可约多项式
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本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如 何求Q上多项式的有理根，由于 f x 与 cf x 在 Q x 上的可约性相同。因此讨论 f x 在Q上的可约
性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是 本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。
n f x a a x a x 设 0 1 是整系数多项式， n
若存在素数p，使
① p ③ p2
an ;
② p a0 , a1,, an1,
则 f x 在Q上不可约。
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a0 ,
证（反证法）：
若 f x 在Q上可约 即存在：
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q 由于 g1 x h1 x 是整系数多项式， p
问题 C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项 式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上 不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判 别法回答了这个问题。 定理 2（Eisenstein判别法）：
n 即 g x g1 x r g1 x . m
提出来， mg x ng1 x , g1 x 是本原多项式，
同理，存在有理数S，使 h x sh1 x , h1 x 也是本原多项式，
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于是 f x g x h x r sg1 x h1 x
下证 r s 是一个整数， q 设 r s （p,q互素且p>0）， p
故p能整除q与 g1 x h1 x 的每一系数的乘积， 而p,q互素，故p能整除 g1 x h1 x 的每一系数， 但由引理1知，g1 x h1 x 是本原多项式， 故p=1，从而rs是一个整数。
由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不 可约多项式。 例1
xn p 是Q上不可约多项式，p是素数。
判断 f x x 10x 2,
6 3
解：取素数p即知。 例2
g 否可约？ 解：分别取p=2, p=3即知。
2 p 但两者不能同时成立。
a0
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不妨设 p b0 但 p 由于 an bk cl ， 由 p
c0 。
an 知 g x 的系数不能都被p
整除， 假设 bs 是第一个不能被p整除的系数， 即 p b0 ,, p bs1, 但 p bs 现考虑
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可设 p ar , r 0,1,, i 1, 现考虑
但p
ai ,
bj ,
p bs , s 0,1,, j 1, 但 p
ci j a0bi j ai1bj 1 aibj ai 1bj 1 ai jb0 .