扬大高等代数北大三版--第五章二次型
第五章 二次型
等
代 数
学时：10学时。 教学手段：
讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。
基本内容和教学目的：
基本内容： 二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型。
教学目的：
1、了解二次型的概念，二次型的矩阵表示。
5
2、会化二次型为标准型，规范性。
3、掌握二次型的惯性定理，正定二次型。
二 → B = C/AC , C可逆 → A，B的秩相同，即二次型X/AX 与 Y/BY
次 的秩相同 → 题设结论成立.
□
型 ➢ 性质5给出矩阵之间的一种相互关系，故引入以下概念 →
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课件
9
高 三 矩阵的合同关系
等 定义2 数域P上 n 阶矩阵 A，B 称为合同的，如果存在P上的 n 阶可
二 本章的重点和难点： 重点：化二次型为标准型，规范性 。
次
难点：正定二次型。
型
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课件
1
高 等 代 数
5.1二次型的矩阵表示
5
二 次 型
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课件
2
高 一 问题提出
等 ➢ 平面解析
代 一次曲线：Ax + By + C = 0 (直线)；
数
二次曲线：Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F → 经平移 变换化成为 au2 + buv + cv2 = d → 经旋转变换化成为
二 次 型
c11 c12 L
C
c21
c22
L
M M
c1n
c2
n
,
M
x1
X
x2
,
M
y1
Y
y2
.
M
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cn1 cn2 L cnn课件
xn
yn
8
高 *2 性质：
等
4) 若C可逆，则X = CY是可逆线性替换，且Y = C－1X也是可逆的线
代
性替换；
数
可逆，故
M
X
C1Y
课件
14
1
nn
高 f (x1, x2 , L , xn ) a11y12
bij yi y j 归纳假定 存在非退
等
i2 j2
1 0 L 0
代
数
化的线性替换 平方和 d2 z2
z2
c22 LL
zn cn2
L dnzn
yyL22 L存LLL在L非cc2nnn退yynn化使的得C线2以C2性上 00M替i100Mn2换ccccj0MnMn2n222222 biLLLjLLyi
代
逆矩阵 C，使得 B = C/AC .
数 *1 合同的性质：
7) 矩阵合同是Mn(P) = {A│A为P上n阶矩阵} 上的等价关系, 即 (1) 合同具有自反性 （ A = E/AE，即A与A合同 ）；
(2) 合同具有对称性 （ B = C/AC → A = (C－1)/BC－1 ）；
5
(3) 合同具有传递性 （ A1 = C1/AC1，A2 = C2/A1C2 →
型
xn
称A为 f (x1,
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x2 ,
L
,
xn
)的矩阵，A的秩r(A)称为 课件
f
(
x1
,
x2 ,
L
,
xn )的秩. 5
*3 性质：
高 1) 在二次型 f (x1, x2, …, xn) = X/AX中，矩阵A为对称矩阵；
等 2）把一阶矩阵A = (a)看成数a, 则一元二次型
代 数
……………
二
+ aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn xn2
次
称为P上n元二次型，简称二次型；当P = R时，为实二次型、
型 当P = C时，为复二次型.
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课件
4
高等**12 代
f (x1, x2, …, xn) 是 Pn→P 的n元函数； f (x1, x2, …, xn) = a11x1x1 + a12x1x2 + … + a1nx1xn
A2 = C2/ (C1/AC1)C2 = (C1C2)/A(C1C2) ）.
二
8) 线性替换X = CY下 f (x1, x2, …, xn) = X/AX = Y/BY, 因B = C/AC,
次 故： X = CY为可逆线性替换时，二次型 X/AX 与 Y/BY的矩阵合同; → 为用矩阵来研究这类二次型的变换奠定了基础，提供了思路；
L
a2n
x2
X
/
AX
M M
f (x1, x2, …, xn) = a11x12 + 2a12axn11x2 a+n2…L+ 2aan1nnx1xxnn
二次 其中
A (aij ),
且
aij
a
ji
+
(i, j
a22x22
1, 2,L ,
n+), ……X…++…a2xnxaM…n122xnnxn2.xn
二、二次型的概念及性质
1.定义1 数域P上n元二次齐次多项式（近代表示式）
f (x1, x2, …, xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1nx1xn
5
+ a22x22 + 2a23x2x3 + … + 2a2nx2xn
+ a33 x32 + …+ 2a3n x3xn
5) f (x1, x2, …, xn) = X/AX 是 P 上的 n 元二次型，经线性替换 X = CY 化成 f (x1, x2, …, xn) = Y/BY ，则 B = C/AC .
证明： f (x1, x2, …, xn) = X/AX = (CY)/A(CY) = Y/(C/AC)Y = Y/ BY.
(a12
x2
L
a1n xn
)
a 2 11
(a12
x2
L
a1nxn )2
nn
a (a x 2
2020/6/14 11 12 2
L
a1n xn )2 ]课件
aij xi x j
13
i2 j2
n
n
nn
a11[(x1
a111a1 j x j )2
a 2 11
(
a1 j x j )2 ]
3)
f (x) = a11x12 = (x1)/(a11)(x1) = X/AX； 数域P上， f (x1, x2, …, xn) 与n阶对称矩阵一一对应.
证明分析： 由*2可知，任一二次型都对应某对称矩阵A，即*2给
出对应法则σ： f (x1, x2, …, xn) →A . 设f (x1, x2, …, xn) 在σ下对 应5 的对称矩阵为A，B，即 f (x1, x2, …, xn) = X/AX = X/BX，故知 A = B，即σ是 n 元二次型与 n 阶对称矩阵之间的映射.
+…+2a1n(x11x) n +…+2a2nx2xn
证明： （配方法） 对 n 进行数学归纳. …………………
n = 1： f (ax11)x1=2 a+112xa121,2x已1x是2 +(12)的a13形x1式x3 ，+ 命…题+成2a立1nx.1xn
假定= an1－1[x112时+命2a题11成－1立(a，12x现2 证+ an13时x3 命+ 题…成+ 立a1n.xn)] + annxn2
b x x
y1
n
x1
n
n
a111a1 j x j
令5
j2ij i j
i2 yj22 x2
M
二
yn xn
x1
y1
n
a111a1 j y j
j2
x2 y2
M
xn yn
X C1Y ，
次 1
型其中C1
0 M
a111a12 1 M
L L
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0 0 L
a111a1n 0
由于 B/ = (C/AC)/ = C/A/C// = C/AC = B → Y/BY 是 P 上 n 元二次
型，且 B = C/AC 成立.
□
5
6) 二次型的秩在变量的线性替换下保持不变（性质5的推论）
证明： 如5), 在线性替换X = CY下f (x1, x2, …, xn) = X/AX = Y/BY
代 逆时针旋转θ0 (例：450),即有坐标旋转公式
y
数
y/
x/
x x/ cos y/ sin
y
x/
sin
y/
cos
x x/ cos 45o y/ sin 45o
5
(
y
x/
sin
45o
y/
cos
) 45o
代入原方程，将其化成标准方程
（4x/2 +9y/2 =36）
二
→ 称如上旋转公式为线性替换.
5 事实上，当X = C/ Y 是非退还的线性替换时， 可得
Y = C －1X
成立，
二
故原二次型 X/AX 与变换后的二次型 Y/BY 是可以互化的，
次
这样就使我们从变换所得二次型 Y/BY 的性质可以推知原来 二次型X/AX的性质.
高等代数(北大版第三版)习题答案I
高等代数(北大版第三版)习题答案I篇一：高等代数(北大版)第3章习题参考第三章线性方程组1．用消元法解以下线性方程组：?x1?x?1?1)?x1x1x13x25x34x413x22x32x42x2x3x4x54x2x3x4x52x2x3x4x5 x12x23x42x51x5??1?x1x23x3x43x523 2)2x?3x?4x?5x?2x?72345?139x9x6x16x2x252345?11x3?x7?0?3x1?4x2?5?x1?2x2?3x3?4x4?44x3?x2?0?x2?x3?x4??3?2x1?3x2?343)?4)?4x?11x?13x?16x?0x?3x??x?123424?1?17x?3x?x3?7x?2x?x?3x0234234??1?x1?2x2?3x3?x4?1?2x1?x2?x3?x4?1?3x1?2x2?x3?x4?13x1?2x2?2x3?3x4?25)? 6)?2x1?3x2?x3?x4?12x2x2xx15x1x2x32x4123412xxx3x4234?15x1?5x2?2x3?2解1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有111111000033?2?420000?1521112?3?20?1?4?2?11?1?1200101?1?11010001??110??30??3??01?011?200?0000030?5?7?10000?15?3?4?4?400?200423581200001?1?11010001?2?2? ?221?2?0? ?0?0由于rank(A)?rank(B)?4?5，因此方程组有无穷多解，其同解方程组为x1x412x1x52，?2x03x?x?0?24解得x1x2x3x4x51kk0k22k其中k为任意常数。
2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有112910 ??002?1?3?920?3463151632?3221??120?0725022?3?7?27120?346341110?2?5?2?1631?1 5161334512529?8?011??333033?2529??72?10??334?512529? 8001?1?3330000??01?由于rank(A)?4?rank(A)?3，因此原方程无解。
高等代数(北大版第三版)习题答案I
高等代数（北大版第三版）习题答案I高等代数（北大*第三版）答案1目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章?―矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！第一章多项式1．用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)： 1）f(x)?x3?3x2?x?1,g(x)?3x2?2x?1；2）f(x)?x4?2x?5,g(x)?x2?x?2。
17262x?,r(x)??x?； 3999解 1）由带余除法，可得q(x)?22）同理可得q(x)?x?x?1,r(x)??5x?7。
2．m,p,q适合什么条件时，有 1）x?mx?1|x?px?q， 2）x?mx?1|x?px?q。
解 1）由假设，所得余式为0，即(p?1?m)x?(q?m)?0，224223?p?1?m2?023所以当?时有x?mx?1|x?px?q。
?q?m?0?m(2?p?m2)?02）类似可得?，于是当m?0时，代入（2）可得p?q?1；而当2?q?1?p?m?02?p?m2?0时，代入（2）可得q?1。
综上所诉，当??m?0?q?1242 或?时，皆有x?mx?1|x?px?q。
2?p?q?1?p?m?23．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式：1）f(x)?2x5?5x3?8x,g(x)?x?3； 2）f(x)?x3?x2?x,g(x)?x?1?2i。
解 1）q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109r(x)??327。
；2）q(x)?x2?2ix?(5?2i)r(x)??9?8i4．把f(x)表示成x?x0的方幂和，即表成c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2?...?cn(x?x0)n??的形式：1）f(x)?x5,x0?1；2）f(x)?x4?2x2?3,x0??2；3）f(x)?x4?2ix3?(1?i)x2?3x?7?i,x0??i。
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4
从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2
扬大高等代数北大三版--第五章二次型
代 逆时针旋转θ0 (例：450),即有坐标旋转公式
y
数
y/
x/
x x/ cos y/ sin
y
x/
sin
y/
cos
x x/ cos 45 y/ sin 45
5
(
y
x/ sin 45
y/ cos 45
)
x
代入原方程，将其化成标准方程
（4x/2 +9y/2 =36）
二
→ 称如上旋转公式为线性替换.
次 故： X = CY为可逆线性替换时，二次型 X/AX 与 Y/BY的矩阵合同; → 为用矩阵来研究这类二次型的变换奠定了基础，提供了思路；
型
2021/2/2
10
高 等
9) 合同的矩阵具有相同的秩； 10) 与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵.
代 证明：
数 9) 设A, B合同，即B = C/AC, 且C可逆，故A, B同秩.
二
+ ann xn2
次 称为P上n元二次型，简称二次型；当P = R时，为实二次型、
型 当P = C时，为复二次型.
2021/2/2
4
高等**12 代
f (x1, x2, …, xn) 是 Pn→P 的n元函数； f (x1, x2, …, xn) = a11x1x1 + a12x1x2 + … + a1nx1xn
次
型
2021/2/2
7
定义2
高 等 代 数
将变量 x1, x2, …, xn 用 y1, y2, …, yn 线性表示的变换
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c21 y1
c22 y2
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.2
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院再令Fra bibliotekz1 z2
y1 y2
y3
或
y1 y2
z1 z2
z3
z3 y3
y3 z3
即,
y1 1
y2 y3
0 0
0 1 0
1 z1
0 1
z2 z3
则 f ( x1, x2 , , xn ) 2z12 2z22 2z32 8z2z3
1 0
1 0
0 1
2 0 2 情形1)
2020/9/20§5.2
0 2 标2准形4
04 数学与计算科学学院
1 0 1
令
C2
0 0
1 0
0 1
,
1 0 0 2 0 2 1 0 1
A2
C2 A1C2
0 1
1 0
0 1
0 2
2 4
4 0
0 0
1 0
0 1
2 0 0
0 0
2 4
4 2
情形1)
1 0 0
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
二、合同的变换法
1. 定义：合同变换是指下列三种变换
（1）互换矩阵的 i, j 两行，再互 换矩阵的 i, j 两列; i （2）以数 k（k 0 ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘
z3
c32
y2
c33
y3
zn
cn2 y2
cn3 y3
c2n yn c3n yn cnn yn
使它变成平方和 d2z22 d3z32
dnzn2
于是，非退化线性替换
z1 y1
高等代数(北大版)第5章习题参考答案
2222
130000
31001
122
4）已知f x1,x,x,x8xx2xx2xx8xx
23412342324
最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为
11
x z z z
1 2 1 2 2 3
11
x z z z
2 2 1 2 2 3x z
3 3
于是相应的替换矩阵为
11
110
0
11022
22
11
T1100101，
22
001001
001
且有
100
TAT040。
001
2）已知fx1,x2,x3
222x12xx2x4xx4 x，122233
由配方法可得
2222
x1,x,xx2xxxx4xx4x
2311222233
22
x1xx2x，
223
于是可令
则原二次型的标准形为
22
且非退化线性替换为
相应的替换矩阵为
112
T012，
001
且非退化线性替换为
x
1
x
2
x3y3
相应的替换矩阵为
13
1
2211
T0，
22001
且有
13
1
100111221001111
Байду номын сангаас7)2222x1xxx2xx2xx2 xx。
234122334
解1)已知f x1,x, x4xx2xx2xx，
23121323
先作非退化线性替换
22224yyyyyy
144
13332
322
高等代数(北大版)第5章习题参考答案
第五章 二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； 3）32312122216223x x x x x x x x -+--；4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++。
解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-=()222333142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y （2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=，最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T ， 且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。
2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++，由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++=()()2322212x x x x +++=，于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y ，则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f +=，且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210211T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。
高等代数.第五章.二次型.课堂笔记
������1 ������2 ，取X = ( ⋮ ,， ������������ (5)
则(4)可表示为矩阵形式： ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = X′AX 称(5)中的矩阵Α为二次型f(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ )的矩阵. 由定义：A = A′，这样的矩阵称为对称矩阵. 例 1.求下列二次型的矩阵： 2 2 2 2 (1) ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = ������1 + 2������2 + 3������3 + 4������4 + ������1 ������3 + ������2 ������4 ������1 1 0 ������2 ′ (2) ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = X BX，X = (������ )，其中B = (0 2 0 0 3 ������4 0 0
2 ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = ������11 ������1 + 2������12 ������1 ������2 + ⋯ + 2������1������ ������1 ������������ 2 +������22 ������2 + 2������23 ������2 ������3 + ⋯ + 2������2������ ������2 ������������ 2 + ⋯ + ������������������ ������������ 称(3)为一个 n 元二次型. 令������������������ = ������������������ (������ ≤ ������ ≠ ������ ≤ ������)，(3)可表示为以下对称形式 ： ．．．． 2 ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = ������11 ������1 + ������12 ������1 ������2 + ������13 ������1 ������3 + ⋯ + ������1������ ������1 ������������ 2 +������21 ������2 ������1 + ������22 ������2 + ������23 ������2 ������3 + ⋯ + ������2������ ������2 ������������ 2 +������31 ������3 ������1 + ������32 ������3 ������2 + ������33 ������3 + ⋯ + ������3������ ������3 ������������ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 +������������1 ������������ ������1 + ������������2 ������������ ������2 + ������������3 ������������ ������3 + ⋯ + ������������������ ������������
高等代数讲义ppt第五章二次型
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
高等数学(高教版)第五章二次型第三节
y22
2 3
y32
.
这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是
唯一的，而与所作的非退化线性替换有关.
但有一
点是肯定的，即
在一个二次型的标准形中，系数
不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的
线性替换无关.
这是因为，经过非退化线性替换
二次型的矩阵变成了一个与之合同的矩阵.
由第
四章第四节
合同的矩阵有相同的秩，这
显然
规范形完全被 r, p 这两个数所决定.
对于实系数二
次型的规范形，我们有以下定理：
定理 4 (惯性定理) 任意一个实数域上的二
次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范
形，且规范形是唯一的.
证明 定理的前一半在上面已经证明，下面就
来证唯一性. 设实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 经过非退化线性
二、复数域的情形
设 f ( x1 , x2 , … , xn ) 是一个复系数的二次型.
由本章
经过一适当的非退化线性替换后
f ( x1 , x2 , … , xn ) 变成标准形. 形是
不妨假设它的标准
d1y12 + d2y22 + … + dryr2 , di 0, i = 1, 2, … , r ,
为
1
1
0
0
的对角矩阵. 从而有，两个复数对称矩阵合同的充
分必要条件是它们的秩相等.
三、实数域的情形
设 f ( x1 , x2 , … , xn ) 是一个实系数的二次型.
由本章