高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.2
高等代数北大版教案-第6章线性空间
第六章线性空间§1 集合映射一授课内容：§1 集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.三教学重点:集合映射的有关定义。
四教学难点:集合映射的有关定义.五教学过程：1。
集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义：(集合的交、并、差）设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。
定义:（集合的映射) 设、为集合。
如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.若都有则称为单射.若都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.2.求和号与求积号(1）求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:，。
当然也可以写成，。
（2）求和号的性质容易证明,,，.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和,再求总和即可。
§2 线性空间的定义与简单性质一授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质二教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.三教学重点：线性空间的定义与简单性质。
四教学难点：线性空间的定义与简单性质.五教学过程:1。
线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：1、加法交换律，有；2、加法结合律 ,有；3、存在“零元”，即存在，使得;4、存在负元，即，存在，使得;5、“1律”；6、数乘结合律 ,都有；7、分配律 ,都有；8、分配律，都有，则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。
第六章线性空间
第六章 线性空间向量空间又称线性空间，是线性代数中一个基本概念。
在第三章中，我们把有序数组叫做向量，并介绍过向量空间的概念。
在这一章中，我们要把这些概念推广，使向量及向量空间的概念更具一般性。
当然，推广后的向量概念也更抽象化了.§1 线性空间的定义与性质定义6.1 设V 是一个非空集合，P 为数域。
如果对于V 中任意两个元素α，β，总有唯一的一个元素V ∈γ与之对应，称为元素βα,的和，记作βαγ+=；又对于任一数∈k P ，与任一元素V ∈α，总有唯一的一个元素V ∈δ与之对应，称为α与k 的积。
记作αδk =；并且这两种运算满足以下八条运算规律（设,,,V ∈γβα∈l k ,P ）： αββα+=+)(i ；)())((γβαγβα++=++ii ；)(iii 集合V 中存在零元素0，使对V 中任何元素α，均有αα=+0；)(iv 对于集合V 中任何元素α，V 中均存在其负元素α-，使α+（α-）=0；αα=⋅1)(v ；αα)()()(kl l k vi =；βαβαk k k vii +=+)()(；αααl k l k viii +=+))((。
那末，V 称为数域P 上的向量空间（或线性空间），V 中的元素不论其本来的性质如何，统称为向量。
简言之，凡满足八条规律的加法及乘法运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称向量空间。
例6.1 数域P 上一元多项式环][x P ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用n x P ][表示.例6.2 实数域上全体m ⨯n 矩阵，对于通常定义的加法和数与矩阵的乘法，即若A =()n m ij a ⨯， B =()n m ij b ⨯ ，R ∈λ， A+B =()n m ij ij b a ⨯+，λA =()n m ij a ⨯λ。
高等代数【北大版】68
k1 (1 ) k2 (2 ) L kr (r ), i V , ki P, i 1, 2,L , r .
§6.8 线性空间的同构
3）V中向量组 1,2 ,L ,r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 (1), (2 ),L , (r )
(k ) (ka1, ka2L , kan )
Hale Waihona Puke k Pk(a1,a2L ,an ) k ( ),
这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
归结为它们的坐标的运算.
§6.8 线性空间的同构
一、同构映射的定义
设 V ,V 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V 具有以下性质：
i) 为双射 ii) ( ) ( ) ( ), , V
k k k , k P
由于W为子空间，所以 W , k W .
从而有 W , k W .
§6.8 线性空间的同构
所以 W 是的 V 子空间. 显然， 也为W到 W 的同构映射，即
W W
故 dimW dim (W ).
注 由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合
这里(a1,a2 ,L ,an )为 在 1, 2 ,L , n 基下的坐标，
就是一个V到Pn的同构映射，所以 V Pn .
§6.8 线性空间的同构
二、同构的有关结论
1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.
2、设 V ,V 是数域P上的线性空间， 是V到V 的
同构映射，则有
1） 0 0, .
§6.8 线性空间的同构
而 是一一对应，只有 (0) 0. 所以可得 k11 k22 L krr 0. 因此，1,2 ,L ,r 线性相关（线性无关） (1), (2 ),L , (r ) 线性相关（线性无关）.
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
线性代数学习课件讲义-第六章 线性空间与线性变换
第六章 线性空间与线性变换第一节 线性空间的定义与性质一 线性空间定义1 数域 P 是数集合，满足以下条件称为数域1． 包含零元素、单位元素；即 ;1,0P P ∈∈2． 对以下运算封闭： ⇒∈∀P b a ,)0(,,,≠∈∈∈-∈+b P baP ab P b a P b a定义2 线性空间V 非空集合 V ∈γβα,,，P 数域 P ∈νμλ,,， 建立两种运算加法 ⊕， 数乘对于两种运算封闭 V V ∈∈⊕αλβα ;关于定义的两种运算满足以下8条运算规律：1） 加法交换律 αββα⊕=⊕ 2） 加法结合律γβαγβα⊕⊕=⊕⊕)()(3） 存在零元素 αθαθ=⊕∈,V 4） 存在负元素,αβθβα-=⇒=⊕V ∈-α 5） 分配律 αμαλαμλ ⊕=+)(6） 分配律βλαλβαλ ⊕=⊕)(7） 结合律 αλμαμλ )()(= 8） 单位 P ∈=1,1ααV 称为线性空间（向量空间），V ∈γβα,,称为向量。
注意：* 线性空间中的元素不一定是通常意义下的向()Tn a a a ,,,21 但是统称为向量* 定义的加法和数与向量的乘法不一定是通常意义下的加法与向量的乘 法。
例 1 n 元有序数组构成的向量()Tn a a a ,,,21 的集合，关于通常意义下的加法与向量的乘法，封闭；满足（1）-（8）条性质。
这个集合构成向量空间，记为nR 。
例2 设 },),({2121R a a a a V ∈==α和实数域R ，定义两种运算V b b a a ∈==∀),(),,(2121βα R k ∈)(2211b a b a ++=⊕，βα， )0,(1ka k =α显然 第8条性质不满足αα≠=)0,(11a所以，V 不能构成线性空间。
例3 线性齐次微分方程的解}0)()(')('')({=++==x qy x py x y x f y V在V 中定义两种运算是通常函数的加法与数乘显然 齐次微分方程的解121,ky y y +仍然是它的解，（1）-（8）条性质满足， 所以形成线性空间。
高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.6
bt 1
x1
bt
2
x2
btn xn 0
的解空间，则 W1 W2 就是齐次线性方程组③
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
ab1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
asn xn 0 b1n xn 0
③
bt 1
x1
bt
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V1,W V2 , 则 W V1 V2 . 2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集 V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2020/9/20
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
第六章 线性空间
第六章 线性空间一．内容概述（一） 基本概念⒈线性空间的定义-----两个集合要明确。
两种运算要封闭，八条公理要齐备。
V ,数域F V ∙V →V V ∈∀βα、 使V ∈+βα。
V F ⨯→V ∀k V ∈使k V ∈α。
满足下述八条公理：⑴αββα+=+； ⑵)()(γβαγβα++=++； ⑶对于,V ∈α都有αα=+0，零元素；⑷对于V ∈α，都有0=+βα，称β为α的负元素，记为α-； ⑸βαβαk k k +=+)(；⑹αααl k l k +=+)(；⑺)()(ααl k kl =； ⑻αα=1。
常用的线性空间介绍如下：（ⅰ）2V 、3V 分别表示二维，三维几何空间。
（ⅱ）nF 或nP 表示数域)(P F 上的n 维列向量构成的线性空间。
（ⅲ）[]x F 表示数域上全体多项式组成的线性空间。
[]x F n 表示数域F 上次数不大于n 的多项式集合添上零多项式构成的线性空间。
（ⅳ）()F M n m ⨯表示数域F 上n m ⨯矩阵的集合构成的线性空间。
当n m =时，记为()F M n m ⨯。
（ⅴ）[]b a R ,表示在实闭区间[]b a ,上连续函数的集合组成的线性空间。
⒉基，维数和坐标------刻画线性空间的三个要素。
⑴基 线性空间()F V 的一个基指的是V 中一组向量{}n ααα,,21 满足（ⅰ）n ααα,,21 线性无关；（ⅱ）V 中每一向量都可由n ααα,,21 线性表出。
⑵维数 一个基所含向量的个数，称为维数。
记为V dim 。
⑶坐标 设n ααα,,21 为()F V n 的一个基。
()F V n ∈∀α有n n a a a αααα+++= 2211则称有序数组n a a a ,,21 为α关于基n ααα,,21 的坐标。
记为(n a a a ,,21 )。
⑷过渡矩阵 设()F V n 的二个基n ααα,,21 （ⅰ）n βββ ,,21（ⅱ）且∑==ni iij j a 1αβn j 2,1=则称n 阶矩阵。
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。