数学系《高等代数》课程教学大纲

数学系《高等代数》课程教学大纲

学时：153学时学分：9

适用专业：数学与应用数学

执笔人：储茂权审定人：殷晓斌

说明：

1、课程的性质、地位和任务

本课程是高等师范院校以及综合性大学数学和应用数学专业的一门重要基础课程，它的任务是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，以加深对初等数学的理解，并为进一步学习打下基础，要求学生掌握数域上一元多项式的因式分解理论以及多元多项式和对称多项式的基本知识；掌握行列式，矩阵和线性方程组中的基本理论和方法，掌握实二次型、线性空间、线性变换的基本理论和常用的数学方法。

2、课程教学的基本要求

（1）掌握数域和一元多项式的概念、整除的概念。对数域上一元多项式的因式分解及唯一定理及证明的思想有较深刻的认识。熟练掌握一元多项

式的带余除法和辗转相除法；多项式函数和重因式的基本知识；掌握有

关复数域、实数域和有理数域上的一元多项式的基本结果和基本方法；

掌握多元多项式的基本知识并能将对称多项式表为初等对称多项式的多

项式。

（2）掌握行列式的基本性质和计算；线性方程组的基本理论；矩阵的概念、运算、分块矩阵的初等变换和初等矩阵；二次型和标准形、规范形和正定性，掌握 -矩阵的基本知识，矩阵相似的条件，矩阵的Jordan标准形的基本知识；线性空间中向量的线性相关性，线性空间的维数、基和向量的坐标，基变换和坐标变换，线性子空间的基本知识；掌握欧氏空间的基本知识；熟练掌握线性变换的定义、运算和线性变换的矩阵；掌握线性变换的特征值和特征向量，值域和核、不变子空间等基本知识。

3、课程教学改革

（1）注重能力的培养

本课程教学中，在讲授有关内容的基本概念、基本理论和基本方法的同时，应注重培养学生的运算能力，运用获取的基本知识和基本技能去分析问题和解决问题的能力，同时注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，逐步提高自学和创新能力。

（2）注重本课程与其它课程的联系

《高等代数》是数学系的重要基础课程之一，它的基础地位不仅表现在它

的内容上，而且还表现在它的思想方法上；它与《解析几何》、《近世代数》、《离散数学》、《组合数学》、《数学模型》等课程。都有密切联系。

二、大纲内容

第一章多项式（35课时）

[内容要点]

数域的定义，多项式的定义和运算，带余除法和整除，辗转相除法和最大公因式，多项式的因式分解及其唯一性，多项式函数与重因式，复数域、实数域和有理数域上多项式的因式分解。多元多项式与对称多项式。

[教学要求]

1、理解数域和一元多项式的定义。掌握多项式的一些基本概念，如多项式的相等，整除，因式、重因式、倍式、公因式、最大公因式、多项式的互素，不可约多项式，多元多项式、对称多项式、初等对称多项式等。

2、要求掌握一元多项式的基本理论和基本方法，如：以下一些方面的基本理论和方法：带余除法和整除性，因式，重因式，公因式，辗转相除法和最大公式，数域P上的多项式的因式分解及唯一性，特殊数域上多项式的因式分解，多项式函数、重根和重因式，基本掌握多元多项式的一些基本性质，会将对称多项式化为初等对称多项式的多项式等。

第二章行列式（15课时）

[内容要点]

排列，n级行列式的定义和基本性质，行列式的计算，行列式按一行（列）展开，克拉默（Cramer法则），拉普拉斯（Laplace）定理，行列式的乘法规则。[教学要求]

1、掌握行列式的一些基本概念，如：排列，排列的逆序和逆序数，偶排列和奇排列，n级行列式的定义，矩阵的定义，方阵的行列，、矩阵的初等变换，行列式的子式、余子式和代数余子式等。

2、掌握排列的一些基本性质，行列式的基本性质，n级行列式的一些计算方法，掌握行列式按一行（列）展开，范德蒙德行列式的性质和计算，解线性方程组的Cramer法则，了解Laplace定理和行列式的乘法规则。

第三章线性方程组（16课时）

[内容要点]

解线性方程组的Gauss消元法，n维向量空间，向量组的线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解的判定，线性方程组解的结构。

[教学要求]

1、掌握线性方程组的一些基本概念，如：线性方程组及其解集合，方程组的同解，线性方程组的初等变换，一般解、基础解系等，线性方程组的系数矩阵、增广矩阵等。

掌握数域P上的n维向量空间、向量线性相关性及矩阵的秩的概念，如：数域P上的n维向量的定义和运算，数域P上的n维向量空间的定义，向量组的线性组合，向量经向量组线性表出，向量组经向量组线性表出，向量组的等价，向量组的线性相关、线性无关，极大线性无关组，向量组的秩，矩阵的k-级子式，矩阵的行秩、列秩和秩等。

2、掌握解线性方程组的Gauss消元法；掌握数域上n维向量空间中向量的线性相关性的基本结果和方法；掌握矩阵的秩和它的行秩、列秩以及它的不为零的子式的级数之间的关系；掌握线性方程组有解判定定理和线性方程组解的结构定理，掌握齐次线性组的基础解系和一般线性方程组的全部解的计算方法。

第四章矩阵（15课时）

[内容要点]

矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块矩阵的初等变换等。

[教学要求]

1、掌握矩阵的概念和矩阵的加法、乘法及矩阵与数的数量乘法，矩阵的转置的定义和性质，矩阵可逆和逆矩阵，非退化矩阵，矩阵的伴随矩阵的定义，初等矩阵，矩阵等价的定义。

2、掌握矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积，矩阵乘积的秩不超过它的各因子的秩，可逆矩阵的逆矩阵与它的伴随矩阵的关系，矩阵乘以可逆矩阵其秩不变，可逆矩阵可表示为初等矩阵的乘积，对可逆矩阵，构造适当的矩阵通过对其作初等变换求所给可逆矩阵的逆矩阵；掌握矩阵的分块，并初步掌握用矩阵分块的方法处理某些矩阵的问题。

第五章二次型（8课时）

[内容要点]

二次型及其矩阵表示，二次型的标准形，复和实二次型的规范形及其唯一性，正定二次型。

[教学要求]

1、掌握二次型的一些基本概念，如：数域上的n元二次型，线性替换，非退化的线性替换，二次型的矩阵，二次型的标准形，复和实二次型的规范形，

二次型的正惯性指数，负惯性指数，符号差。矩阵的合同，正定二次型等。

2、掌握用配方法化二次型为标准形，用对二次型的矩阵作变换的方法化二次型为标准形，化复和实二次型为规范形，掌握实二次型的惯性定理和实二次型正定的一些条件。

第六章线性空间（18课时）

[内容要点]

集合，映射，线性空间的定义与基本性质，线性空间的维数、基与向量的坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。

[教学要求]

1、掌握集合和映射的一些基本知识，掌握线性空间的一些基本概念，如：线性空间的定义和基本性质，线性空间中向量线性相关性的一些概念，线性空间的维数、基和向量的坐标，线性空间中的基变换和坐标变换，线性子空间，生成子空间，子空间的交、子空间的和、子空间的直和，线性空间的同构。

2、掌握线性空间基变换下向量坐标变换公式，线性空间的非空子集构成线性空间的条件，n维线性空间基的存在性，子空间交与和的一些性质，维数公式，子空间的和是直和的充要条件，数域上两个有限维线性空间同构的充要条件。

第七章线性变换（21课时）

[内容要点]

线性变换的概念，线性变换的运算，线性变换的矩阵，矩阵的相似，特征值与特征向量，线性变换的值域与核、不变子空间，若尔当（Jordan）标准介绍，最小多项式。

[教学要求]

1、掌握线性变换的一些基本概念，如：线性变换的定义，线性变换的加、乘、数量乘法的定义和基本性质，可逆线性变换和它的逆变换的定义，线性变换的逆和多项式，线性变换的矩阵，矩阵的相似，线性变换的特征值和特征向量，特征多项式，特征子空间，线性变换的值域和核，不变子空间，最小多项式，若尔当形矩阵。

2、掌握线性变换和矩阵的关系，矩阵相似的性质，Hamilton-Caylay定理，线性变换在一组基下的矩阵是对角矩阵的条件，n级矩阵与对角矩阵相似的条件。

第八章λ-矩阵（10课时）

[内容要点]

λ-矩阵的概念与可逆性，λ-矩阵在初等变换下的标准形，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若尔当（Jordan）标准形的理论推导，矩阵的有理标准形。

[教学要求]

1、掌握λ-矩阵的一些基本概念，如：λ-矩阵，λ-矩阵的秩，λ-矩阵的逆矩阵，初等变换、等价、不变因子，行列式因子，矩阵的初等因子，矩阵的有理标准形，复矩阵的若尔当（Jordan）标准形。

2、掌握λ-矩阵可逆的充要条件，λ-矩阵标准形的存在性，唯一性及求法。不变因子，行列式以及初等因子的求法，λ-矩阵等价的条件，矩阵相似的条件。

第九章欧几里得空间（10课时）

[内容要点]

欧氏空间的定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，实对称矩阵的标准形，向量到子空间的距离，最小二乘法，酉空间介绍。

[教学要求]

1、掌握欧氏空间的一些基本概念，如：欧几里得空间的定义，向量的长度，夹角，正交的概念，基的度量矩阵，正交向量组，正交基，标准正交基，正交矩阵，欧氏空间的同构，正交变换，子空间的直和，正交补，最小二乘法问题最小二乘解，酉空间。

2、掌握柯西一布涅柯夫斯基不等式，n维欧氏空间中标准正交基的存在性，施密特正交化方法，n维欧氏空间同构的条件，正交变换的基本性质，实对称矩阵的性质及标准形的求法。

参考教材：

[1]北京大学数学系编：《高等代数》高等教育出版社。