高等代数课程的基本内容与主要方法

2010年第2期 牡丹江教育学院学报 No 12,2010(总第120期) JOU RN A L OF M U D AN JIA N G CO LL EG E OF EDU CA T IO NSerial N o 1120[收稿日期]2009-10-25[作者简介]戴立辉(1963-),男,江西乐安人,闽江学院教授,研究方向为矩阵论;林大华(1959-),男,福建福州人,闽江学院副教授,研究方向为代数学;吴霖芳(1979-),女,福建永安人,闽江学院讲师,硕士,研究方向为微分方程;陈翔(1980-),男,福建连江人,闽江学院讲师,硕士,研究方向为代数环论。

[基金项目]/十一五0国家课题/我国高校应用型人才培养模式研究0数学类子课题项目(F IB070335-A2-03)。

高等代数课程的基本内容与主要方法戴立辉 林大华 吴霖芳 陈 翔(闽江学院,福建 福州 350108)[摘 要] 对高等代数的基本内容与主要方法进行归纳和总结,使其所涉及的知识点之间的相互关系清晰明了,同时体现高等代数课程要求学生掌握的知识体系。

[关键词] 高等代数;基本内容;主要方法[中图分类号]O 15 [文献标识码]A[文章编号]1009-2323(2010)02-0146-03高等代数是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程,它是由多项式理论和线性代数两部分组成。

多项式部分以一元多项式的因式分解理论为中心,线性代数部分主要包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、K -矩阵与若尔当标准形、欧几里得空间等。

通过高等代数课程的教学,要求学生掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论,熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法,理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系,提高抽象思维、逻辑推理及运算能力。

根据我们多年的教学经验,本文拟对高等代数的基本内容与主要方法进行归纳和总结,使其所涉及的知识点之间的相互关系清晰明了,同时也体现出了高等代数课程要求学生掌握的知识体系。

一、多项式一元多项式理论主要讨论了三个问题:整除性理论,因式分解理论和根的理论。

其中整除性是基础,因式分解是核心。

(一)基本内容1.整除性理论)))整除,最大公因式,互素。

2.因式分解理论)))不可约多项式,典型分解式,重因式。

3.根的理论)))多项式函数,根的个数,根与系数的关系。

(二)主要方法1.多项式除多项式的带余除法。

2.用辗转相除法求两个多项式的最大公因式,最大公因式的判别法。

3.两多项式互素的判别法。

4.不可约多项式的判别法,多项式标准分解式求法,重因式的判别法。

5.多项式函数值的求法,x -c 除多项式f (x )的综合除法,多项式按x -x 0的方幂展开的方法。

6.多项式根的判别法,多项式重根的判别法。

7.整系数多项式有理根的求法,艾森斯坦判断法。

二、行列式行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分,是一种重要的数学工具。

(一)基本内容n 级排列及其性质,n 级行列式的概念,行列式的性质,行列式的计算,克拉默规则。

(二)主要方法1.求一个排列的逆序数的方法。

2.行列式的计算方法:定义法,性质法,化为三角形行列式的方法,降级法(按一行或一列展开法、拉普拉斯展开法),化为范得蒙行列式的方法,递推法,加边法,数学归纳法,拆项法。

3.一些特殊行列式的计算方法)))三角形行列式,ab 型行列式,范得蒙行列式,爪型行列式,三对角行列式。

4.克莱姆规则。

三、线性方程组/线性方程组0这部分在理论上解决了线性方程组有解的判定、解的个数及求法、解的结构等。

(一)基本内容1.向量的线性关系)))n 维向量,向量的线性运算,线性组合,线性表出,线性相关,线性无关,极大线性无关组,向量组等价,向量组的秩。

2.矩阵的秩)))矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩,即矩阵的行(列)秩=矩阵不为零的子式的最大级数,初等变换不改变矩阵的秩,用初等变换计算矩阵的秩。

3.线性方程组的解的情形)))线性方程组有解的判定,线性方程组解的个数,齐次线性方程组解的情形。

4.线性方程组解的结构)))齐次线性方程组的基础解系,齐次线性方程组解的表示,非齐次线性方程组解的表示。

(二)主要方法1.用消元法解线性方程组,利用方程组的增广矩阵的初等变换解方程组的方法。

2.向量组线性相关性的判定法,向量组极大线性无关组的求法,向量组秩的求法。

3.矩阵秩的若干求法:¹子式法:找出矩阵A中不为零的最高级子式。

º初等变换法:用初等变换将矩阵A化为阶梯形矩阵等方法。

4.线性方程组解的公式求法,基础解系的求法,线性方程组有解(即相容)的判别法。

四、矩阵矩阵是线性代数的一个主要研究对象,它是数学及其他学科的一个重要工具。

(一)基本内容1.矩阵运算)))加法与减法、数乘、乘法、转置、可逆矩阵。

2.矩阵的运算规律)))满足加法的交换律,结合律,乘法的结合律,数乘对加法的分配律,乘法对加法的左右分配律。

3.几种特殊矩阵)))数量矩阵,对角矩阵,三角形矩阵,对称矩阵,反对称矩阵。

4.矩阵可逆的条件)))n级矩阵A可逆Z|A|X0Z 秩(A)=n Z A可以通过初等变换化为单位矩阵Z A可以写成初等矩阵的乘积。

5.伴随矩阵的常用性质。

6.矩阵秩的一般性质。

7.矩阵的分块运算。

8.初等矩阵,矩阵的等价及标准形。

9.广义初等变换,广义初等矩阵。

(二)主要方法1.矩阵的加法、减法、数乘、乘法、转置、逆以及混合运算。

2.矩阵可逆性的证明及逆矩阵的求法(伴随矩阵法、初等变换法、矩阵分块法)。

3.伴随矩阵性质的证明及应用。

4.用初等变换解一些矩阵方程:如,若AX=B(|A|X 0),则通过(A s B)初等行变换(E s A-1B),可得X=A-1B.5.矩阵的秩及相关问题的计算和证明。

6.利用分块矩阵进行矩阵的加、减和乘法运算的方法。

五、二次型二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类,是线性代数的一个主要研究对象。

(一)基本内容1.二次型与矩阵)))二次型的定义,二次型的矩阵和秩,非退化线性替换,矩阵的合同。

2.二次型的标准形与规范形)))配方法,合同变换法,正惯性指数、负惯性指数、符号差,惯性定律。

3.正定二次型)))正定二次型,正定矩阵,顺序主子式,负定二次型,半正定二次型,半负定二次型,不定二次型。

(二)主要方法1.用非退化线性替换化二次型为标准形(配方法、合同变换法)。

2.化二次型为复数域上和实数域上规范形的方法。

3.实二次型正定性的判别法。

4.实对称矩阵正定性的判别法。

六、线性空间线性空间是线性代数的中心内容,是几何空间的抽象和推广,线性空间的概念具体展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性。

(一)基本内容1.线性空间的概念与性质。

2.基、维数和坐标)))基、维数和坐标的基本概念,过渡矩阵,基变换与坐标变换。

3.线性子空间及其形成)))子空间的概念,子空间的判别,生成子空间,子空间的交与和,维数公式,子空间的直和。

4.线性空间的同构。

(二)主要方法1.线性空间、线性子空间的判定法。

2.线性空间中向量组线性相关或线性无关的判定法。

3.有限维线性空间的基与维数的确定,向量在一组基下坐标的求法。

4.由一组基到另一组基的过渡矩阵的求法。

5.同一向量在不同基下的坐标的求法。

6.确定线性子空间(如¹齐次线性方程组的解空间,º向量组的生成子空间)的基、维数的方法。

7.确定生成子空间的和与交的基、维数的方法。

8.判定两子空间的和是否为直和的方法。

9.线性空间同构的判定法。

七、线性变换线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用。

线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换或替换等的抽象和推广,它的理论和方法(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其他应用学科,都有极为广泛的应用。

本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换。

(一)基本内容1.线性变换及其运算)))线性变换及其性质,可逆线性变换与逆变换,线性变换的和与差、乘积、数量乘法、幂、多项式,线性变换的值域与核,秩与零度。

2.线性变换与矩阵)))线性变换在基下的矩阵,相似矩阵及其性质。

3.特征值与特征向量)))线性变换(或矩阵)的特征值与特征向量,特征多项式,特征子空间,H amilton-Cay lay 定理。

4.对角化问题)))线性变换可对角化的条件,不变子空间。

(二)主要方法1.线性变换的加法、减法、数量乘法、乘法等运算。

2.线性变换在一组基下的矩阵的求法。

3.线性变换在不同基下的矩阵的求法。

4.线性变换或矩阵的特征值和相应的特征向量的求法。

5.线性变换或矩阵可对角化的判别法。

6.线性变换的值域与核的求法。

7.不变子空间的判定法。

八、K-矩阵与若尔当标准形(一)基本内容K-矩阵,可逆的K-矩阵,K-矩阵(下转第167页)生物等孳息依法享有的占有、使用、收益或者处分的权利。

由此概念可以肯定,将林权的客体限定为林木和林地,有利于构建清晰的林权法律制度框架,有利于明确林权的权利义务边界,有利于规范林权交易行为,有利于划清作为私法性质的林权法律制度和作为公法性质的生态环境保护法律制度的功能,从中构建起林权法律制度逻辑框架:林权包括林木所有权与林地使用权和林木使用权与林地使用权,林权中涉及的环境生态价值和社会公益价值由环境保护法律制度和行政管理法律制度去规范。

二、林权与森林资源所有权首先,森林资源从物理形态方面看,包括林地、林木、野生动植物和微生物等;从价值形态方面看,主要包括涵养水土、防风固沙、净化空气等保护生态环境价值。

因此,森林资源所有权主要是从/自然资源属性0角度规定权利归属,在森林资源所有权项下可以构建多种他物权形态。

林权主要是由森林资源中的几个要素结合而形成的权利,主要是由林地、林木和依托林地、林木生存的植物或者微生物等孳息结合而构建起来的权利。

林权主要是从/财产权利0角度规定权利的归属。

其次,根据5物权法6第四十八条之规定/森林、山岭、草原、荒地、滩涂等自然资源,属于国家所有,但法律规定属于集体所有的除外0,和5森林法6第三条之规定/森林资源属于国家所有,由法律规定属于集体所有的除外0,森林资源所有权的主体只能是国家和集体。

根据5森林法6第二十七条规定:/农村居民在房前屋后、自留地、自留山种植的林木,归个人所有。

城镇居民和职工在自有房屋的庭院内种植的林木,归个人所有。

集体或者个人承包国家所有和集体所有的宜林荒山荒地造林的,承包后种植的林木归承包的集体或者个人所有;承包合同另有规定的,按照承包合同的规定执行。

0建立在林地使用权基础上的林权所有权主体包括自然人在内的任何民事主体。