2020-2021学年广东清远高三上数学月考试卷
2020-2021学年广东清远高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−4x −5<0}，集合B ={x|−2<x <2}．则A ∩B =( ) A.{x|−1<x <2} B.{x|−2<x <2} C.{x|2<x <5} D.{x|1<x <2}2. i 是虚数单位，z =4i1−i ，则|z|=( ) A.2 B.2√2 C.4 D.4√23. 若a >b >0，0<c <1，则正确的是( ) A.a c<a bB.c a >c bC.log c a <log c bD.log a c <log b c4. 《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺C.815尺D.1631尺5. 函数f(x)=ln |x|x 2的图像大致为( )A. B.C. D.6. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，我国古代的数学家赵爽创制了一幅“股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成大正方形，若直角三角形中较小的锐角α的正切值为35，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形的概率是( )A.125 B.217C.425D.9347. 已知函数f(x)=kx −2ln x 在区间(1, +∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(2,+∞)B.(1, +∞)C.[2,+∞)D.[1, +∞)8. 下列叙述中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则“2a >2b ”的充要条件是“log 2a >log 2b ”B.函数f (x )=sin 2x +√3cos x −34，x ∈[0,π2]的最大值是2C.命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02≥0”D.l 是一条直线， α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α//β9. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是( ) A.19400B.925C.380D.92010. 设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数， f (2)=0，当x <0时， xf ′(x )−f (x )>0，则使得f (x )<0成立的x 的取值范围是( )A.(−∞,−2)∪(0,2)B.(−2,0)∪(0,2)C.(−∞,−2)∪(2,+∞)D.(−2,0)∪(2,+∞)二、多选题已知函数y =f (x )的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是( )A.−1是函数f (x )的极小值点B.−3是函数f (x )的极小值点C.函数f (x )在区间(−3,1)上单调递增D.函数f (x )在x =0处切线的斜率小于零已知函数f(x)={−x 2−3x,x <0,f(x −3),x ≥0,以下结论正确的是( )A.f (x )在区间[4,6]上是增函数B.f (−2)+f (2020)=4C.若函数y =f (x )−b 在(−∞,6)上有6个零点x i (i =1,2,3,4,5,6)，则∑x i 6i=1=9D.若方程f (x )=kx +1恰有3个实根，则k ∈(−1,−13)∪{1} 三、填空题二项式(x 2+1x 3)6的展开式中，含x 7的系数为________.已知向量a →，b →的夹角为π4，且a →=(1,0)，|b →|=√2，则|2a →+b →|=________.以双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为________．定义max {a,b}={a,a ≥b,b,a <b,已知函数f(x)=max {(12)x ,12x −34}，则f (x )最小值为________，不等式f (x )<2的解集为________. 四、解答题已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(b −c )2=a 2−bc . (1)求角A 的大小；(2)若a =3，sin C =2sin B ，求△ABC 的面积．设S n 是数列{a n }的前n 项和，S n =2a n −2(n ∈N ∗).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n =na n，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的取值范围．在如图的几何体中，平面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB // CD ，AB =2BC ，∠ABC =60∘，AC ⊥FB ．(1)求证：AC ⊥平面FBC ；(2)求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值．某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布N (μ,σ2)，并把质量指标值在(μ−σ,μ+σ)内的产品称为优等品．质量指标值在(μ+σ,μ+2σ)内的产品称为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质量指标值的样本数据统计如图：(1)根据频率分布直方图，求样本平均数x ¯；(2)根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x ¯作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值．求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973．(3)假如企业包装时要求把3件优等品和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中随机取出3件产品进行检验，记取出3件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及数学期望．已知椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为√33，点A(0,−2)在椭圆上，斜率为k的直线l过点E(0,1)且与椭圆交于C，D两点．(1)求椭圆的方程；(2)设k1,k2分别为直线AC，AD的斜率，当k变动时，k1k2是否为定值？说明理由．函数f(x)=xe x−ax+b的图象在x=0处的切线方程为：y=−x+1．(1)求a和b的值；(2)若f(x)满足：当x>0时，f(x)≥ln x−x+m，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年广东清远高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|x2−4x−5<0}={x|−1<x<5}，B={x|−2<x<2}，∴A∩B={x|−1<x<2}．故选A.2.【答案】B【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：∵z=4i1−i =4i(1+i)(1−i)(1+i)=2i(1+i)=−2+2i，∴|z|=√(−2)2+22=2√2. 故选B.3.【答案】C【考点】对数值大小的比较指数函数单调性的应用【解析】【解答】解：∵a>b>0，0<c<1，∴c a<c b，logc a<logcb，a c与a b的大小关系不确定，loga c与logbc的大小关系不确定，因此只有C选项正确. 故选C．4.【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】【解答】解：设该女子织布每天增加d尺，由题意可得，30×5+30×292d=390，解得：d=1629，则该女子织布每天增加1629尺.故选B.5.【答案】D【考点】奇偶函数图象的对称性函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)=ln|x|x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(−x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故选项A，B错误；当x>1时，x2>0,ln|x|>0，故f(x)>0，故选项C错误；综上，只有选项D符合题意.故选D.6.【答案】B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由勾股定理、正方形的面积公式得：小正方形的面积为4，大正方形的面积为34，进而求得结论．【解答】解：因为直角三角形中较小的锐角α的正切值为35，故可设直角三角形最小的直角边为3，则另一直角边为5，所以斜边是√32+52=√34，大正方形的面积为(√34)2=34， 小正方形的面积为(5−3)2=4， 故飞镖落在小正方形的概率P =434=217. 故选B ． 7. 【答案】 C【考点】已知函数的单调性求参数问题 利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵ 函数f(x)=kx −2ln x 在区间(1, +∞)上单调递增， ∴ 当x >1时，f ′(x)=k −2x ≥0，即k ≥2x . ∵ y =2x 在区间(1, +∞)上单调递减， ∴ k ≥2. 故选C . 8.【答案】 D【考点】三角函数的最值必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的否定平面与平面平行的判定 【解析】【解答】解：A ，∵ 当2a >2b 时，有a >b ；当log 2a >log 2b 时，有a >b >0， ∴ “log 2a >log 2b “是“2a >2b ”的充分不必要条件，故A 选项不正确； B ，f (x )=sin 2x +√3cos x −34=−cos 2x +√3cos x +14，x ∈[0,π2]， 令t =cos x ∈[0,1]，则有y =−t 2+√3t +14，t ∈[0,1]. ∵ 函数y =−t 2+√3t +14的对称轴为t =√32∈[0,1] ，开口向下，∴ 当t =√32时，函数有最大值1，故B 选项不正确； C ，命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02<0”，故C 选项不正确；D ，l 是一条直线， α，β是两个不同的平面， 若l ⊥α，l ⊥β，则α//β，故D 选项正确． 故选D ． 9.【答案】 A【考点】相互独立事件的概率乘法公式 相互独立事件互斥事件的概率加法公式【解析】根据题意，分析可得：停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中，分别由相互独立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案． 【解答】解：设A 表示甲命中目标，B 表示乙命中目标，则A ，B 相互独立， 停止射击时，甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中， 此时的概率P 1=P(A ¯⋅B ¯⋅A) =(1−34)×(1−45)×34=380；②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中， 此时的概率P 2=P(A ¯⋅B ¯⋅A ¯⋅B) =(1−34)×(1−45)×(1−34)×45=1100.故停止射击时，甲射击了两次的概率P =P 1+P 2=380+1100=19400.故选A . 10.【答案】 D【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 奇偶性与单调性的综合 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：令g (x )=f (x )x，∴ g ′(x )=xf ′(x )−f (x )x 2.∵ 当x <0时， xf ′(x )−f (x )>0， ∴ 函数g (x )在(−∞,0)上是增函数. ∵ 函数f (x )是奇函数，∴ 函数g (x )是偶函数，则g(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减， ∵ f (2)=0，∴ g (2)=g (−2)=0.∵ 当x >0，f(x)<0时，g(x)<0=g(2)，解得：x >2； 当x <0，f(x)<0时，g(x)>0=g(−2)，解得：−2<x <0， ∴ 使得f (x )<0成立的x 的取值范围是(−2,0)∪(2,+∞). 故选D .二、多选题【答案】 B,C【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵ 由函数y =f (x )的导函数的图象可知， 当x <−3时，f ′(x)<0， 当x >−3时，f ′(x)≥0,∴ 函数f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,+∞)上单调递增， ∴ −3是函数f (x )的极小值点，函数f (x )在区间(−3,1)上单调递增， 故选项A 错误，选项B ，C 正确；∵ 函数y =f(x)在x =0处的导数大于零，∴ 函数y =f(x)在x =0处切线的斜率大于零，故选项D 错误. 故选BC . 【答案】 B,C,D 【考点】分段函数的应用函数的零点与方程根的关系 【解析】【解答】解：作出f(x)={−x 2−3x,x <0,f(x −3),x ≥0的图象如图所示，A ，由图知，函数f (x )在区间[4,6]上不单调，故A 错误；B ，∵ 由题意可知，当x ≥−3时，f(x)是以3为周期的函数， ∴ f (−2)+f (2020)=f (−2)+f (674×3−2) =f (−2)+f (−2)=2f (−2)=4，故B 正确；C ，若函数y =f(x)−b 在(−∞,6)上有6个零点，即函数y =b 的图象与函数f(x)的图象在(−∞,6)上有6个交点， 交点横坐标从左到右依次记作x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6， 则x 1+x 2=−3，x 3+x 4=3，x 5+x 6=9， 则∑x i 6i=1=9，故C 正确；D ，y =kx +1经过定点(0,1)，若直线y =kx +1经过点(3,0)，则k =−13，若直线y =kx +1与y =−x 2−3x(x <0)相切，则x 2+(3+k)x +1=0， 令Δ=(3+k)2−4=0，解得：k =−1或k =−5， 当k =−1时，x =−1； 当k =−5时，x =1(舍去)，由对称性可得，直线y =kx +1与函数f(x)在(0,3)上的图象相切时，k =1， 方程f(x)=kx +1恰有3个实根，即直线y =kx +1与函数f(x)的图象有3个交点， 此时k ∈(−1,−13)∪{1}，故D 正确.故选BCD . 三、填空题【答案】 6【考点】二项展开式的特定项与特定系数 【解析】【解答】解：∵ 二项式(x 2+1x 3)6的展开式的通项公式为：T r+1=C 6r ⋅(x 2)6−r ⋅(1x 3)r =C 6r⋅x 12−5r ，令12−5r =7，得r =1，∴ 二项式(x 2+1x 3)6的展开式中，含x 7的系数为C 61=6.故答案为：6． 【答案】√10【考点】平面向量数量积的运算 向量的模 【解析】 【解答】解：因为向量a →，b →的夹角为π4，且a →=(1,0)，|b →|=√2， 所以|a →|=1 ，a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos π4=1×√2×√22=1，则|2a →+b →|=√4a →2+4a →⋅b →+b →2=√4+4+2=√10. 故答案为：√10.【答案】 √2【考点】双曲线的渐近线 双曲线的离心率 直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意知圆心F(c, 0)，双曲线的渐近线为y =±ba x ，不妨设其中一条为bx −ay =0， ∵ 圆与渐近线相切， ∴ 圆心到渐近线的距离d =√a 2+b 2=bc c=b =a ，即c =√a 2+b 2=√2a 即离心率e =ca =√2. 故答案为：√2． 【答案】14,(−1,112) 【考点】指、对数不等式的解法 其他不等式的解法 分段函数的应用函数的最值及其几何意义 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：令y 1=(12)x，y 2=12x −34，y 1=(12)x在R 上单调递减，y 2=12x −34在R 上单调递增.当x =2时， y 1=y 2=14， 所以f(x)={(12)x ,x ≤2,12x −34,x >2,所以f (x )min =f (2)=14；当{x ≤2,f(x)=(12)x <2时，解得：{x ≤2,x >−1,即−1<x ≤2，当 {x >2,12x −34<2 时，解得：{x >2,x <112, 即2<x <112，综上，不等式f (x )<2的解集为(−1,112). 故答案为：14；(−1,112). 四、解答题【答案】解：(1)∵ 由(b −c )2=a 2−bc ，可得，b 2+c 2−a 2=bc ， ∴ 由余弦定理可得，cos A =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12.∵ A ∈(0,π)， ∴ A =π3.(2)由sin C =2sin B 及正弦定理可得，c =2b . ∵ a =3，A =π3，∴ 由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2−2bc cos A =b 2+c 2−bc =3b 2， ∴ b =√3，c =2√3，∴ S △ABC =12bc sin A =12×√3×2√3×√32=3√32. 【考点】 余弦定理 正弦定理【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 由(b −c )2=a 2−bc ，可得，b 2+c 2−a 2=bc ， ∴ 由余弦定理可得，cos A =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc=12.∵ A ∈(0,π)， ∴ A =π3.(2)由sin C =2sin B 及正弦定理可得，c =2b . ∵ a =3，A =π3，∴ 由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2−2bc cos A =b 2+c 2−bc =3b 2， ∴ b =√3，c =2√3，∴ S △ABC =12bc sin A =12×√3×2√3×√32=3√32. 【答案】解：(1)当n =1时，S 1=2a 1−2，得a 1=2；当n ≥2时， S n =2a n −2①，S n−1=2a n−1−2②， ①−②得， a nan−1=2，所以数列{a n }是以a 1=2为首项，以2为公比的等比数列，即a n =2n . (2)由题可得，b n =n2n =n ⋅(12)n.因为T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n−2+b n−1+b n ， 所以T n =12+2×(12)2+3×(12)3+⋯+(n −2)(12)n−2+(n −1)(12)n−1+n (12)n③，12T n =(12)2+2×(12)3+3×(12)4+⋯+(n −2)(12)n−1+(n −1)(12)n +n (12)n+1④，③−④，得12T n =12+(12)2+(12)3+⋯ +(12)n−1+(12)n −n (12)n+1=1−(12)n −n (12)n+1，所以， T n =2−(n +2)×(12)n，显然T n <2. 因为T n+1−T n =n+1an+1>0，所以数列{T n }是递增数列，且T 1=2−32=12， 所以12≤T n <2.【考点】数列与函数单调性问题 数列的求和 等比数列的通项公式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当n =1时，S 1=2a 1−2，得a 1=2；当n ≥2时， S n =2a n −2①，S n−1=2a n−1−2②， ①−②得，a n a n−1=2，所以数列{a n }是以a 1=2为首项，以2为公比的等比数列，即a n =2n . (2)由题可得，b n =n 2n=n ⋅(12)n.因为T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n−2+b n−1+b n ， 所以T n =12+2×(12)2+3×(12)3+⋯ +(n −2)(12)n−2+(n −1)(12)n−1+n (12)n③，12T n=(12)2+2×(12)3+3×(12)4+⋯ +(n −2)(12)n−1+(n −1)(12)n +n (12)n+1④，③−④，得12T n =12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−1+(12)n −n (12)n+1=1−(12)n −n (12)n+1，所以， T n =2−(n +2)×(12)n，显然T n <2.因为T n+1−T n =n+1a n+1>0，所以数列{T n }是递增数列，且T 1=2−32=12， 所以12≤T n <2.【答案】(1)证明：∵ AB =2BC ，∠ABC =60∘， 在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2=(2BC)2+BC 2−2×2BC ×BC ×cos 60∘， 即AC =√3BC ，∴ AC 2+BC 2=AB 2, ∴ AC ⊥BC .∵ AC ⊥FB ，BF ∩BC =B ，BF ，BC ⊂平面FBC ， ∴ AC ⊥平面FBC .(2)解：∵ 由(1)知，AC ⊥平面FBC ，FC ⊂平面FBC ， ∴ AC ⊥FC ．∵ 平面CDEF 为正方形， ∴ CD ⊥FC ． ∵ AC ∩CD =C ， ∴ FC ⊥平面ABCD ，∴ CA ，CB ，CF 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，∵ 平面ABCD 是等腰梯形，且AB =2BC ，∠ABC =60∘， ∴ CB =CD =CF ．不妨设BC =1，则B(0, 1, 0)，F(0, 0, 1)，A(√3，0，0)， D(√32，−12，0)，E(√32，−12，1)， ∴ BF →=(0,−1,1)，DA →=(√32,12,0)，DE →=(0,0,1)．设平面ADE 的法向量为n →=(x, y, z)， 则有{n →⋅DA →=0,n →⋅DE →=0,即{√32x+y2=0,z =0.取x =1，得n →=(1,−√3，0)是平面ADE 的一个法向量. 设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ， 则sin θ=|cos <BF →，n →>|=|BF →⋅n→|BF →|⋅|n →||=|√3√2×2|=√64, ∴ 直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为√64． 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】(1)证明：∵ AB =2BC ，∠ABC =60∘， 在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2=(2BC)2+BC 2−2×2BC ×BC ×cos 60∘，即AC =√3BC ，∴ AC 2+BC 2=AB 2, ∴ AC ⊥BC .∵ AC ⊥FB ，BF ∩BC =B ，BF ，BC ⊂平面FBC ， ∴ AC ⊥平面FBC .(2)解：∵ 由(1)知，AC ⊥平面FBC ，FC ⊂平面FBC ， ∴ AC ⊥FC ．∵ 平面CDEF 为正方形， ∴ CD ⊥FC ． ∵ AC ∩CD =C ， ∴ FC ⊥平面ABCD ，∴ CA ，CB ，CF 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，∵ 平面ABCD 是等腰梯形，且AB =2BC ，∠ABC =60∘， ∴ CB =CD =CF ．不妨设BC =1，则B(0, 1, 0)，F(0, 0, 1)，A(√3，0，0)， D(√32，−12，0)，E(√32，−12，1)， ∴ BF →=(0,−1,1)，DA →=(√32,12,0)，DE →=(0,0,1)．设平面ADE 的法向量为n →=(x, y, z)，则有{n →⋅DA →=0,n →⋅DE →=0,即{√32x+y2=0,z =0.取x =1，得n →=(1,−√3，0)是平面ADE 的一个法向量. 设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ， 则sin θ=|cos <BF →，n →>|=|BF →⋅n→|BF →|⋅|n →||=|√3√2×2|=√64, ∴ 直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为√64． 【答案】解：(1)由频率分布直方图可知， x ¯=0.010×10×46+562+0.020×10×56+662+ 0.045×10×66+762+0.020×10×76+862+0.005×10×86+962=70．(2)由题意可知，样本方差s2=100，故σ≈√s2=10，所以质量指标值Y∼N(70,102)，该厂生产的产品为正品的概率P=P(60<Y<90)=P(60<Y<70)+P(70<Y<90)=12×(0.6827+0.9545)=0.8186．(3)X的可能取值为0，1，2，3，则P(X=0)=C30C53C83=528，P(X=1)=C31C52C83=1528，P(X=2)=C32C51C83=1556，P(X=3)=C33C50C83=156．所以X的分布列为数学期望：E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．【考点】众数、中位数、平均数正态分布的密度曲线离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由频率分布直方图可知，x¯=0.010×10×46+562+0.020×10×56+662+0.045×10×66+762+0.020×10×76+862+0.005×10×86+962=70．(2)由题意可知，样本方差s2=100，故σ≈√s2=10，所以质量指标值Y∼N(70,102)，该厂生产的产品为正品的概率P=P(60<Y<90)=P(60<Y<70)+P(70<Y<90)=12×(0.6827+0.9545)=0.8186．(3)X的可能取值为0，1，2，3，则P(X=0)=C30C53C83=528，P(X=1)=C31C52C83=1528，P(X=2)=C32C51C83=1556，P(X=3)=C33C50C83=156．所以X的分布列为数学期望：E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c．∵ 椭圆的离心率为√33，点A(0,−2)在椭圆上，∴ {ca=√33,b=2,a2=b2+c2,解得a=√6，b=2，c=√2，∴ 椭圆的方程为x26+y24=1．(2)当k变动时，k1k2为定值−2．证明如下：设直线l的方程为y=kx+1，由{x26+y24=1，y=kx+1，得(3k2+2)x2+6kx−9=0，设C(x1,y1)，D(x2,y2)，则x1+x2=−6k3k2+2，x1x2=−93k2+2，因为A(0,−2)，所以k1=y1+2x1，k2=y2+2x2，所以k1k2=y1+2x1⋅y2+2x2=(kx 1+3)(kx 2+3)x 1x 2=k 2x 1x 2+3k(x 1+x 2)+9x 1x 2=k 2+3k⋅(−6k3k 2+2)+9−93k 2+2=−2．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】答案未提供解析． 答案未提供解析．【解答】解：(1)设椭圆的半焦距为c ．∵ 椭圆的离心率为√33，点A (0,−2)在椭圆上， ∴ {ca=√33,b =2,a 2=b 2+c 2,解得a =√6，b =2，c =√2 ， ∴ 椭圆的方程为x 26+y 24=1．(2)当k 变动时，k 1k 2为定值−2．证明如下：设直线l 的方程为y =kx +1， 由 {x 26+y 24=1，y =kx +1， 得(3k 2+2)x 2+6kx −9=0， 设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−6k 3k 2+2，x 1x 2=−93k 2+2，因为A (0,−2)，所以k 1=y 1+2x 1，k 2=y 2+2x 2，所以k 1k 2=y 1+2x 1⋅y 2+2x 2=(kx 1+3)(kx 2+3)x 1x 2=k 2x 1x 2+3k(x 1+x 2)+9x 1x 2=k 2+3k⋅(−6k3k 2+2)+9−93k 2+2=−2．【答案】 解：(1)∵ f(x)=xe x −ax +b ， ∴ f ′(x)=(x +1)e x −a ，由函数f(x)的图象在x =0处的切线方程为：y =−x +1，知： {f(0)=b =1f ′(0)=1−a =−1， 解得a =2，b =1．(2)∵ f(x)满足：当x >0时，f(x)≥ln x −x +m ， ∴ m ≤xe x −x −ln x +1，①令g(x)=xe x −x −ln x +1，x >0， 则g ′(x)=(x +1)e x −1−1x =(x+1)(xe x −1)x ，设g ′(x 0)=0，x 0>0，则e x 0=1x 0，从而ln x 0=−x 0，g ′(12)=3(√e2−1)<0，g ′(1)=2(e −1)>0， 由g ′(12)⋅g ′(1)<0，可知x 0∈(12,1)，当x ∈(0, x 0)时，g ′(x)<0； 当x ∈(x 0, +∞)时，g ′(x)>0，∴ 函数g(x)在(0, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增， ∴ g(x)min =g(x 0)=x 0e x 0−x 0−ln x 0+1 =x 0⋅1x 0−x 0+x 0+1=2，∵ m ≤xe x −x −ln x +1恒成立⇔m ≤g(x)min =2． ∴ 实数m 的取值范围是(−∞, 2]． 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）求出f′(x)＝(x +1)e x −a ，由{f(0)=b =1f ′(0)=1−a =−1，能求出a ，b ．（2）推导出m ≤xe x −x −ln x +1，令g(x)＝xe x −x −ln x +1，x >0，由m ≤xe x −x −ln x +1恒成立⇔m ≤g(x)min ，利用导数性质能求出实数m 的取值范围． 【解答】解：(1)∵ f(x)=xe x −ax +b ， ∴ f ′(x)=(x +1)e x −a ，由函数f(x)的图象在x =0处的切线方程为：y =−x +1，知： {f(0)=b =1f ′(0)=1−a =−1， 解得a =2，b =1．(2)∵ f(x)满足：当x >0时，f(x)≥ln x −x +m ， ∴ m ≤xe x −x −ln x +1，①令g(x)=xe x −x −ln x +1，x >0， 则g ′(x)=(x +1)e x−1−1x =(x+1)(xe x −1)x，设g ′(x 0)=0，x 0>0，则e x 0=1x 0，从而ln x 0=−x 0，g ′(12)=3(√e2−1)<0，g ′(1)=2(e −1)>0， 由g ′(12)⋅g ′(1)<0，可知x 0∈(12,1)，当x ∈(0, x 0)时，g ′(x)<0； 当x ∈(x 0, +∞)时，g ′(x)>0，∴ 函数g(x)在(0, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增， ∴ g(x)min =g(x 0)=x 0e x 0−x 0−ln x 0+1 =x 0⋅1x 0−x 0+x 0+1=2，∵ m ≤xe x −x −ln x +1恒成立⇔m ≤g(x)min =2． ∴ 实数m 的取值范围是(−∞, 2]．。
广东省清远市2024-2025学年三上数学第六单元人教版质量检测试卷
广东省清远市2024-2025学年三上数学第六单元人教版质量检测试卷学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：45分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、认真审题，填一填。
（除标注外，每空1分）1.聪聪爸爸每天上班骑车需要8分钟，他每分钟骑197米。
聪聪家到单位大约有( )米，写出思考过程：( )。
2.908×5的积是( )位数，积的末尾有( )个0。
3.学校体育器材室刚购进一批新的体育用品，请将表格补充完整。
羽毛球拍足球单价26元108元数量8副3个总价( )元( )元4.76的4倍是( )，76是4的( )倍。
5.虎虎在估算一道三位数乘5的计算题时，估算的结果是2000，那么这个三位数的百位最大是( )，最小是( )。
6.估算□，□里填( )时，它的积最接近300，要使□的积是四位数，□里最小填( )。
7.找规律填数。
(1)1，2，3，5，8，( )，21。
(2)1，3，7，15，31，( )。
8.一个加数为28，另一个加数为22，和为________，和的三倍是________．9.口算23×3时，先算( )×3＝( )，再算( )×3＝( )，最后算( )＋( )＝( )．评卷人得分二、仔细推敲，选一选。
（将正确答案的序号填入括号内）（每小题2分，10分）1.小明今年12岁，奶奶的岁数最多比他的5倍小一些，奶奶今年可能（）岁。
A．58B．60C．70D．72 2.在计算63×4时，“6”与“4”相乘表示（）A．6×4B．60×4 C．6×403.270的9倍是（）。
A．243B．2430C．27004.在302×6的竖式计算中，用6乘302中的3得到的是（ ）。
A．18B．180C．18005.小雨住在离学校300米的地方，小雪住在离学校400米的地方，她们两家住地相距（）。
2021届广东省深圳实验学校高三11月月考数学试题
绝密★启用前深圳实验学校高中部2021届11月份月考数学试卷 2020年11月本试卷共6页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选项出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目定区域内相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1．设集合2{|20}A x x x =+-<，{|03}B x x =<<，则A B =A ．{|23}x x -<<B ．{|01}x x <<C ．{|13}x x -<<D ．{|02}x x <<2．已知i 是虚数单位，z 是复数，若(13i)2i z +=-，则复数z 的虚部为A ．7i 10B ．710-C ．710D ．7i 10-3．在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4．函数2()ln(1)f x x kx =+-的图象不可能是A ．B ．C ．D ．5．已知圆22440x y x y a +-++=截直线40x y +-=所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为A ．(817,817)-+B ．(817,8)C ．(9,)-+∞D ．(9,8)-6．621(2)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是A ．5-B ．15C ．20D ．25-7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长为16，左焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若△OMF 的面积为16，则双曲线C 的离心率为A 33B 5C 3D 5 8．已知函数1()221xf x x =+++，若不等式(41)(2)5x xf m f m ⋅++-≥对任意的0x > 恒成立，则实数m 的最小值为 A 122-B 21C ．212D ．21二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学专题《对数函数》真题练习
4.4对数函数（基础+提升+拔高）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·广东·深圳市第二高级中学高一月考）函数()xf x a =与()1log ag x x =（0a >且1a ≠）在同一坐标系中的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数2()log ||f x x a =-的对称轴为直线2x =，则函数(1)f x +的对称轴为（ ） A ．直线0x =B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线3x =3．（2021·广西河池·高一月考）下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A ．32y x =+与32s t =+B ．y x =与y =C ．()()ln 1ln 1y x x =++-与()2ln 1y x =-D ．1y =与()01y x =-4．（2020·广东·仲元中学高一期末）三个数3log 0.3a =，3log 2b =，12c =的大小顺序是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a <<5．（2020·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）下列函数中与y x =表示为同一函数的是（ ）A ．21x xy x -=-B ．y =C ．2log 2xy =D ．lg 10x y =6．（2020·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）函数()lg 3y x =-（ ）A ．[)0,+∞B ．(),3-∞C ．[]0,3D ．[)0,37．（2021·贵州·凯里一中高二期中（理））函数y = ） A ．()0,∞+B ．(),1-∞C ．(]0,1D ．()0,18．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）函数()()1lg 1f x x =++（ ）A ．()(]1,00,2- B ．[)(]2,00,2-C ．[]22-,D ．(]1,2-9．（2021·福建省福州第八中学高一期中）若3231,4,log 52a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．（2021·宁夏·固原一中高三期中（文））求函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的单调递减区间（ ） A ．(),1-∞-B ．(],1-∞-C ．()3,+∞D ．[)3,+∞11．（2021·上海市奉贤中学高一期中）对于某一集合A ，若满足任取,,a b c A ∈都有“a ，b ，c 为某一三角形的三边长”，则称集合A 为“三角集”，下列集合中，为三角集的是（ ） A ．{|x x 是ABC 的高的长度} B ．102x xx ⎧⎫-≤⎨⎬-⎩⎭C ．{}|132x x x -+-=D ．{|x 代数式2log (32)x -有意义}12．（2021·浙江·效实中学高一期中）下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的函数是（ ） A ．1y x=B ．1y x =-C ．2x y =D ．2log y x =13．（2021·浙江·镇海中学高一期中）已知函数()212log 2=-y ax x 在()22,-a a 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．[1,2)(1,2]-D ．(,1](1,2]-∞14．（2021·山西·太原五中高三月考（文））函数22ln ()x x x f x x⋅-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2021·山西·太原五中高三月考（文））若1816a =，25log 144b =，113log 9c -=，则（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．a b c << D ．c a b <<16．（2021·江西·奉新县第一中学高三月考（理））函数(22)ln x xy x -=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．17．（2021·山东师范大学附中高三月考）已知定义在R 上的函数()31x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．c b a <<18．（2021·广东·广州市第一中学高一期中）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的函数是（ ） A ．()f x x =B ．()lg ||f x x =C ．2()1f x x =-+D ．2()f x x=-19．（2021·全国·高三月考（文））已知2log a π=，0.80.09b =，0.90.3c =，则（ ） A ．b c a << B ．c b a << C ．b a c <<D ．a c b <<20．（2021·广东·广州市第二中学高二期中）已知函数212()log (23)f x x ax =-+在[]1,1-上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]2,1- B ．[)1,2 C ．(]–,1∞D ．[)1,+∞21．（2021·广西桂林·模拟预测（理））已知函数2170()ln e ex x f x x x -⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩，，，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1][3,)-∞-⋃+∞ C ．[1,3]-D ．(,3]-∞22．（2021·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ）①()0,1m ∈；①()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数；①函数()y f x x m =--恰有三个零点. A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①23．（2021·安徽·高二月考）已知正实数a ，b ，c 满足12432b a-=⋅，()32log log 1c c b =⋅+，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b <<D ．b c a <<24．（2021·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知直线121(),04::1l l y m y m m =>+=，若21,l l 分别与函数2log y x =的图象相交于,,,C A B D （从左到右）4个不同的交点，曲线段,CA BD 在x 轴上投影的长度为,a b ，则当2log ba 取得最小值时，m 的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1625．（2021·河南·郑州外国语中学高三月考（理））若不等式()()()221212log 1log 3,,13x xa x x ++-≥-∈-∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,1]-∞.二、多选题26．（2021·广东·深圳市第二高级中学高一月考）已知()f x 是偶函数，在[)0,x ∈+∞上是减函数，则下列给出的x 的取值范围中，能使得()()ln 1f x f >成立的有（ ） A ．()1,2B ．()0,eC ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,1e,⋃+∞27．（2021·广东·清远市第一中学高一期中）已知定义域为I 的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且0x I ∃∈，0()0f x <，则下列函数中不符合上述条件的是（ ） A ．2()||f x x x =+B ．()22x x f x -=-C ．2()log ||f x x =D ．43()f x x -=28．（2021·全国·高一课时练习）关于函数()()21lg 0x f x x x+=≠，有下列结论，其中正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于y 轴对称B ．函数()f x 的最小值是lg 2C ．函数()f x 在()0,+∞上单调递增，在(),0-∞上单调递减D ．函数()f x 的单调递增区间是1,0和()1,+∞29．（2021·浙江省桐庐中学高一月考）声强级Li （单位：dB ）与声强I （单位：2ω/m ）之间的关系是：010lg ILi I =，其中0I 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为21ω/m ，对应的声强级为120dB ，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[]60,70（单位：dB ）．下列选项中正确的是（ ） A ．闻阈的声强级为0dBB ．此歌唱家唱歌时的声强范围6510,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2ω/m ）C ．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D ．声强级增加10dB ，则声强变为原来的10倍．30．（2021·湖北·高三月考）为了得到函数2log y x =的图象，只需将函数2log (2)y x =图象上（ ）A ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C ．所有点沿y 轴向下平移1个单位长度 D ．所有点沿x 轴向右平移12个单位长度31．（2021·广东·深圳市第二高级中学高一月考）下列命题正确的有（ ） A ．函数()ln 2f x x x =+-有1个零点. B ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为1C ．()2lg f x x =与()2lg g x x =是同一函数.D ．()1lg1x f x x -=+是奇函数. 32．（2021·辽宁实验中学高三期中）如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数，称为圆O 的一个“太极函数”，则下列有关说法中：①函数()1f x 是圆O ：()2214x y +-=的一个太极函数；①函数()11e e 2x xf x --=++是圆O ：()()22221x y -+-=的一个太极函数；①函数()()()220,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O ：225x y +=的一个太极函数；①函数())lnf x x =是圆O ：221x y +=的一个太极函数.正确结论是（ ） A ．①B ．①C ．①D ．①33．（2021·浙江·镇海中学高一期中）存在函数()f x 满足：对于任意x ∈R 都有（ ） A ．(||)1f x x =+B ．()2||1=+f x xC ．()22=xf xD ．()22|1|f x x x +=+34．（2021·海南·北京师范大学万宁附属中学高三月考）下列说法正确的是（ ）A ．函数()24f x x x =-在区间2,上单调递增 B ．函数()24xxf x e -=在区间2,上单调递增C ．函数()()2ln 4f x x x =-在区间2,上单调递增D ．若函数()()1f x x ax =-在区间0,上单调递增，则0a ≤35．（2021·全国·高一单元测试）某学校为了加强学生核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数()1lg1xf x x-=+为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为()1,1-，且()f x 是偶函数 B ．对于任意的()1,1x ∈-，都有()2221x f f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭C ．对于任意的a ，()1,1b ∈-，都有()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭D ．对于函数()f x 定义域内的任意两个不同的实数1x ，2x ，总满足()()12120f x f x x x ->-36．（2021·重庆南开中学高三月考）关于函数()log 1xa f x x a =⋅-（01a <<），下列说法正确的有（ ）A ．01a ∀<<，()f x 至少有两个零点B ．01a ∀<<，()f x 只有两个零点C ．01a ∃<<，()f x 只有一个零点D ．01a ∃<<，()f x 有三个零点37．（2021·全国·高一单元测试）已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)01x ∈，时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（ ）A ．()()202020210f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点D ．函数()f x 的值域为()11-，38．（2021·全国·高三月考）设函数()f x 满足：①()21,0,log ,02,x f x x x =⎧=⎨<≤⎩；①()()22f x f x +=-；①()()22f x f x +=-．当0x >时，函数()f x 与函数y kx b =+[)(),0,1∈k b 交点的横坐标从左到右依次构成数列{}n a ，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的值域为0,1 B ．函数()f x 是偶函数C ．对任意的k ，[)0,1b ∈，数列{}n a 的前n 项和0n S ≠D ．当0k =，0b ≠时，满足1128=>∑ni i a 的n 的最小值为1739．（2022·全国·高三专题练习）已知函数())lg 1f x x =+，()2622x x g x +=+则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()g x 的图象关于点()12，对称 C ．若函数()()()F x f x g x =+在[]1,1x m m ∈-+上的最大值、最小值分别为M 、N ，则4M N +=D ．令()()()F x f x g x =+，若()()214F a F a +-+>，则实数a 的取值范围是()1,-+∞ 40．（2021·江苏·如皋市第一中学高一月考）已知正数x ，y ，z 满足346x y z ==，则下列说法中正确的是（ ）A ．1112x y z+= B ．346x y z >> C．x y z +>+⎝D ．22xy z >三、填空题41．（2021·广西河池·高一月考）函数2ln 32f xx x 的单调递减区间是__________．42．（2021·上海市嘉定区第二中学高三期中）已知函数()1f x -为函数()f x 的反函数，且函数()1f x -的图象经过点()1,1，则函数()1f x -的图象一定经过点___________.43．（2021·上海市进才中学高三期中）函数()()263f x x x x =-≤的反函数为___________.44．（2021·上海市上南中学高三月考）若0x >，0y >，且111x y+=，则22log log x y +的最小值为___________.45．（2021·全国·高一课时练习）已知函数()2log f x x =的值域为0,1，定义域为,a b ，则b a -的最大值为______.46．（2021·全国·高一课时练习）函数()f x =______.47．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）函数()22log 1y x =-的单调递减区间是___________.48．（2021·四川成都·高一期中）函数()1lg 2f x x x =+-的定义域为____________________． 49．（2021·浙江南湖·高一期中）函数()()2ln 32f x x x =-+的定义域是_______.50．（2020·上海市陆行中学高三月考）已知13a >，函数()lg(1)f x x a =-+在区间[0,31]a -上有最小值0，且有最大值为lg(1)a +，则实数a 的取值范围是___________；51．（2021·广东·深圳市第二高级中学高一月考）已知()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是_____________.52．（2021·广东·深圳市第二高级中学高一月考）函数()23lg 28kx x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为R ，则实数k 的取值范围是____________.53．（2021·天津·南开中学高三月考）若函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______．54．（2019·山西寿阳县一中高一月考）给出下列四个命题：①函数y =①奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点； ①函数12x y =的值域是()0,∞+；①若函数()2f x 的定义域为[]1,2，则函数()2xf 的定义域为[]1,2；①函数()2lg 2y x x =-+的单调递增区间是(]0,1．其中正确命题的序号是______________________．（填上所有正确命题的序号）55．（2021·上海市嘉定区第二中学高三期中）若函数()221,1,log ,1x x f x x m x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩在区间[)0,+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为___________.56．（2021·贵州·凯里一中高二期中（理））已知2log log (1)() (1x a a x x f x x a x +>⎧=⎨-+≤⎩），其中常数1a >，若()()4f a f a +-=-，则=a __．57．（2021·湖北·高三月考）已知函数()1lnsin 11xf x x x-=+++，则1122f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 58．（2021·四川成都·高三月考（文））函数)2()445f x xx =--的单调递减区间为______．59．（2020·福建·泉州市第九中学高一期中）设()22log ,0()3(1),0xx t x f x t x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，且162f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则((2))f f -的值为________．60．（2021·海南·高三月考）已知()y f x =是定义在R 上的函数，若对任意两个不相等的正数1x ，2x ，都有()()120f x f x +->，且()()()()12122112f x f x f x f x x x x x +>+，则称函数()y f x =为“W 函数”，现有四个函数：①()|1|f x x =-；①2()43f x x x =++；①1()21x f x +=-；①()ln(||1)f x x =+.则以上四个函数为“W 函数”的是___________.(填入所有正确的序号)61．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（理））已知函数()()213log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x ，21,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，都满足不等式()()21210f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是________.62．（2021·辽宁·沈阳市翔宇中学高三月考）若正数a ，b 满足2e aa=，()ln 12e b b -=，则ab =________63．（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三月考（理））已知,,x y z 分别满足下列关系：1918201819,1920,log 19x y z ===，则,,x y z 的大小关系（从小写到大）_______. 64．（2021·上海·复旦附中高三月考）设函数2()log (0)f x x ax b a =++>在区间[,2](0)t t t +>上的最大值为(,)t M a b ，若{}(,)1t b M a b a R +=，则实数t 的最大值为___________. 65．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数21()21x x f x ，若不等式()()222180k f m m f m e -+-++>（e 是自然对数的底数），对任意的[]2,4m ∈-恒成立，则整数k 的最小值是___________四、解答题66．（2021·上海交大附中高二期中）已知函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，且()2xf x =. （1）若()()1111f x f x ----=，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程()()1f x f x m +-=在区间[]0,1内有解，求实数m 的取值范围. 67．（2019·广西·南宁市第十九中学高一期中）求下列函数的定义域． （1）()21f x x =+； （2）()f x（3） ()ln(3)f x x =-．68．（2021·全国·高一课时练习）已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠），()g x 为()f x 的反函数.（1）写出函数()g x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()log 230a g x x --≤.69．（2021·四川·雅安中学高一月考）1.设函数f (x )=lg （a x ﹣b x ），且f (1)=lg2，f (2)=lg12 （1）求a ，b 的值．（2）当x ①[1，2]时，求f (x )的最大值．70．（2021·四川成都·高一期中）已知函数()22,02,0x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩．（1）在平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象；（2）若()13f x =，求x 的值．71．（2021·江苏·高一课时练习）判断下列函数的单调性： （1）f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )； （2）121()log 1xf x x -=+. 72．（2021·江苏·高一课时练习）求下列函数的定义域：（1）2log (93)xy =-；（2）(3)log (1)x y x -=-； （3）y = （4）31log (32)y x =-.73．（2021·江苏·高一课时练习）对于等式b a c =（0a >，1a ≠），如果将a 视为自变量x ，b 视为常数，c 为关于a （即x ）的函数，记为y ，那么b y x =，是幂函数；如果将a 视为常数，b 视为自变量x ，c 为关于b （即x ）的函数，记为y ，那么x y a =，是指数函数；如果将a 视为常数，c 视为自变量x ，b 为关于c （即x ）的函数，记为y ，那么log a y x =，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如，如果c 为常数e （e 为自然对数的底），将α视为自变量x （0x >，1x ≠），则b 为x 的函数，记为y ，那么e y x =. （1）试将y 表示成x 的函数()f x ； （2）研究函数()f x 的性质.你还能运用这个等式得到什么样的函数？这些函数分别具有哪些性质？74．（2021·江苏·高一课时练习）设a ，b ，c ，d 均为不等于1的正实数，如图，已知函数log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象分别是曲线1C ，2C ，3C ，4C ，试判断0，1，a ，b ，c ，d 的大小关系，并用“<”连接起来.75．（2021·江苏·高一课时练习）画出函数2log (1)y x =+与2log (1)y x =-的图象，并指出这两个函数图象之间的关系.76．（2021·广东·清远市第一中学高一期中）设121()log ()1axf x x -=-为奇函数，a 为常数. （1）求a 的值；（2）证明：()f x 在()1,+∞内单调递增；（3）若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.77．（2021·浙江·效实中学高一期中）已知函数x f x b a （a ，b 为常数，0a >且1a ≠）的图象经过点()1,1A ，()3,4B ． （1）解不等式()()log 11a x f -<；（2）设实数2m >-，函数()()()2g x f x f x =-，[]2,∈-x m ，求()g x 的最小值．78．（2020·广东·仲元中学高一期末）已知函数(2)(3)()log log x a x a a a f x --=+，（0a >且1a ≠）（1）当12a =，求(2)f 的值； （2）当12a =时，若方程()12()log p x f x -=在(3,4)上有解，求实数p 的取值范围． （3）若()1f x ≤在[3,4]a a ++上恒成立，求实数a 的值范围；79．（2021·陕西陈仓·高一期中）已知函数()log a f x =，（0a >，且1a ≠） （1）求()f x 的定义域； （2）若1(2)2f =，求使()0f x >的x 的取值范围. 80．（2021·浙江·学军中学高一期中）已知函数()()()()()233log 1,log 2132f x ax g x a x a x ⎡⎤=+=-+-⎣⎦，a R ∈.（1）若3a =，求不等式()()31f x f x +>的解集；（2）若函数()()0f x g x -=有唯一的解，求实数a 的取值范围.81．（2021·福建宁德·高三期中）请从下面两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①()()0f x f x +-=；①()()f x f x -=. 已知函数()()()ln 1ln 1f x x a x =++-. （1）选择 ，求a 的值；（2）在（1）的条件下，求()f x 的单调区间.82．（2021·天津市西青区张家窝中学高三月考）已知函数()212()log f x x mx n =--. （1）若1m n ==，求函数()f x 的定义域. （2）若2m =，3n =求函数()f x 的单调区间.（3）取n m =，若函数()f x 在区间(,1-∞上是增函数，求实数m 的取值范围. 83．（2021·山西太原·高三期中）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >.（1）证明：()y f x =为定义在R 上的单调递增奇函数； （2）若(4)4f =，求()2log 1f x >的解集.84．（2021·全国·高一课时练习）已知函数()()log 1xa f x a =-（0a >，且1a ≠）.（1）当12a =时，求函数()f x 的定义域； （2）求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；（3）当2a =时，若不等式()()2log 12xf x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.85．（2021·全国·高一课时练习）已知函数()()()ln e ln e f x x x =--+，e 为自然对数的底数. （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论； （3）已知()()120f m f m ++-≥，求实数m 的取值范围.86．（2021·上海市嘉定区第二中学高三期中）设非空实数集X 中存在最大元素M 和最小元素m ，记()X M m ∆=-.（1）已知{}1,1X =-，{}0,Y b =，且()()X Y ∆=∆，求实数b .（2）设[],2X a a =+，{}2,Y y y x x X ==∈，是否存在实数a ，使得()1Y ∆=？若存在，求出所有满足条件的实数a ，若不存在说明理由.（3）设0a >，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[],1t t +上值域记为Y ，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数都满足()1Y ∆≤，求a 的取值范围.87．（2021·上海南汇中学高三期中）对于定义在D 上的函数()f x ，若对任意a A ∈，不等式()()f x f x a +≤对一切x D ∈恒成立，则称函数()f x 是“A 控制函数”．（1）当{}1A =-，判断()2f x x =-、()61g x x =+是否是“A 控制函数"；（2）当()1,2A =，()22log f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[),x m ∈+∞，若函数()f x 是“A 控制函数”，求正数m 的取值范围；（3）当{}2,A t =-，{}13,5t ∈，，D 为整数集，若函数()f x 是“A 控制函数”且均为常值函数，求所有符合条件的t 的值．88．（2020·陕西师大附中高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的函数，对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x f x y f y -=+-，()13f =且当0x <时，()2f x <. （1）求证：()f x 是R 上的递增函数；（2）解不等式()()2log 3log 3a a f x f x ≥--，（0a >且1a ≠）.89．（2021·全国·高一专题练习）如果函数()f x 满足在集合*N 上的值域仍是集合*N ，则把函数()f x 称为H 函数．例如：()f x x =就是H 函数．（1）下列函数：①2y x ，①21y x =-，①y =中，哪些是H 函数（只需写出判断结果）？（2）判断函数()[ln ]1g x x =+是否为H 函数，并证明你的结论．（3）证明：对于任意实数a ，b ，函数()xf x b a ⎡⎤=⋅⎣⎦都不是H 函数．（注：“[]x ”表示不超过x 的最大整数）90．（2021·河北·大名县第一中学高二月考）已知函数()()()333,log 132x x x xf xg x --=+=++. （1）用定义证明：函数()g x 在区间(,0∞-]上为减函数，在区间[0，)+∞上为增函数； （2）判断函数()g x 的奇偶性，并证明你的结论； （3）若()()31log 2g x f x a +对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 91．（2021·云南省永善县第一中学高一开学考试）已知函数2()ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭为奇函数，1()2x g x +=-.（1）求实数a 的值；（2）若(2)()xf e bg x -=恒成立，求实数b 的取值范围；（3）若1x ∃，2(0,)x ∈+∞，()2xf 在区间[]12,x x 上的值域为()()2122ln ,ln tg x t tg x t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.求实数t 的取值范围.92．（2021·山西运城·高二期末（文））已知函数()()2210,0g x ax ax b a b =-++≥≥在[1，2]时有最大值1和最小值0，设()()g x f x x=． （1）求实数a ，b 的值；（2）若不等式()22log 2log 0f x k x -≥在[4，8]上有解，求实数k 的取值范围93．（2021·全国·高一单元测试）已知()()ln 1x f x e ax =+-是偶函数，()x xg x e be -=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）判断()g x 的单调性，并简要说明理由；（3）若不等式()()()g f x g m x >-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．94．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）已知函数()()22114f x x ax a =-+--（a ∈R ），()ln g x x =．（1）若5a =，记()0f x >的解集为M ，求函数()()3y g x e g ex -=⋅⋅（x M ∈）（e 为自然对数的底数）的值域；（2）当1a <时，讨论函数()()()()()2h x f x g x f x g x =++-的零点个数．95．（2021·山东·枣庄市第三中学高三月考）已知函数()2()log 21()x f x k g x =++⋅（k 为常数，k ∈R ）.请在下面四个函数：①21()g x x = ①22()log g x x = ①3()g x x = ①4()2x g x =中选择一个函数作为()g x ，使得()f x 是偶函数. （1）请写出()g x 表达式，并求k 的值；（2）设函数211()log 2()22xh x a a x a R ⎛⎫=⋅-+∈ ⎪⎝⎭，若方程)(()f x h x =只有一个解，求a 的取值范围.96．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()2()log 41()xf x kx k R =++∈是偶函数．（1）求k 的值；（2）若()0f x b ->对于任意x 恒成立，求实数b 的取值范围． 97．（2020·湖南师大附中高一月考）已知()()g x f x x=，其中2()21(0)g x mx mx n n =-++，且()g x 在[1，2]上有最大值1和最小值0.（1）若不等式()22log 2log 0f x k x -在[2,4]x ∈上恒成立，求实数k 的最大值；（2）若方程()2e 130e 1xx af a -+-=-有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围. 98．（2021·上海·高一专题练习）已知函数1()log 1a mxf x x -=-是奇函数（0a >，且1a ≠）. （1）求m 的值；（2）若x ∈时，()f x 的值域为(1,)+∞，求a 的值.99．（2021·上海·高一课时练习）已知正实数x ，y ，z 满足346x y z ==．（1）求证：1112z x y -=；（2）比较3,4,6x y z 的大小．100．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.。
广东省清远市(新版)2024高考数学苏教版真题(综合卷)完整试卷
广东省清远市（新版）2024高考数学苏教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若，则（）A．B．C．3D．2第(2)题如图，在中，已知，D是边上的一点，，则的长为（）A．B．C．D．第(3)题已知向量，，若，则（）A．2或1B．或C．2或D．或1第(4)题函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（）A．B．C．3D．第(5)题如图，单位正方体的对角面上存在一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于两点.则的面积最大值为A．B．C．D．第(6)题若复数z满足，则（）.A．B．C．D．第(7)题同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）A．32种B．128种C．64种D．256种第(8)题已知，，则集合M、N之间的关系为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题一组数据是公差为的等差数列，若去掉首末两项，则（）A．平均数变大B．中位数没变C．方差变小D．极差没变下列说法正确的是（）A．直线的倾斜角为B．存在使得直与直线垂直C．对于任意，直线与圆相交D．若直线过第一象限，则第(3)题已知函数的部分图象如图所示，其中，则（）A ．函数在上单调递减B．函数在上单调递减C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知实数满足，则的最小值为________________第(2)题若函数则_______．第(3)题素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4，高为的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点出发，沿表面到达点的最短路线长为_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数有两个极值点为，.(1)当时，求的值；(2)若（为自然对数的底数），求的最大值.第(2)题甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中．(1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率；(2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，．(1)证明：．(2)求c的大小．第(4)题三个互不相同的函数与在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”.(1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；(2)求所有的二次函数（用表示，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；(3)若，且存在实数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值.第(5)题已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．。
2023-2024学年广东省高三上学期11月大联考数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省高三上学期11月大联考数学试卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，则( )A. B. C. D.2.已知，则z的虚部为( )A. B. C. D.3.若，则( )A. B. 1 C. D.4.在三棱台中，截面PQR与底面ABC平行，若，且三棱台的体积为1，则三棱台的体积为( )A. 5B. 8C. 9D. 105.当n趋近于时，为一个无理常数，且运用不等式当且仅当时等号成立来研究的单调性，可得最接近的值为参考数据：( )A. B. C. D.6.设A，B为两个事件，已知，，，则( )A. B. C. D.7.直线与函数的图象公共点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 38.如图，将圆柱的下底面圆置于球O的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球O的内壁相接球心O在圆柱内部，已知球O的半径为3，，则圆柱体积的最大值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数是R上的单调函数，则a的值可以是( )A. 2B.C.D.10.若x，y满足，则( )A. B. C. D.11.定义函数①对，②当x，时，，记由构成的集合为M，则( )A. 函数B. 函数C. 若，则在区间上单调递增D. 若，则对任意给定的正数s，一定存在某个正数t，使得当时，三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
12.已知为不超过x的最大整数，例如，，，设等差数列的前n项和为且，记，则数列的前100项和为___________13.若抛物线上一点A的横坐标为，且A到C的焦点的距离为，则A点的一个纵坐标为__________写出一个符合条件的即可14.向量在向量上的投影向量为 .写出坐标15.若函数在区间内没有零点，则正数的取值范围是__________.16.椭圆的右焦点为F，若过定点的直线l与C交于A，B两点，则面积的最大值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
高三上学期月考数学试题(提高版)
2024-2025学年高三数学月考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若3z z ⋅=，则z =（）A.B.3C.D.322.已知命题:p x ∀∈N N ；命题:q x ∃∈Z ，3x x <，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.在等差数列{}n a 中，388a a +=，则其前10项和10S =（）A.72B.80C.36D.404.已知向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ，若a在b 上的投影向量为，则,a b = （）A.5π6B.3π4C.2π3D.7π125.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（）A.,,m n αβαβ⊥⊥∥B.,,m n αβαβ⊂⊥∥C.,,m n αβαβ⊥⊥∥ D.,,m n αβαβ⊥⊂∥6.某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（）A .240B.270C.300D.3307.已知1sin 22cos 2αα+=，则tan 2α=（）A .3- B.43- C.13D.348.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是双曲线C 右支上一点，若222F B F A =uuu r uuu r ，120F B F B ⋅=，且2F B a =，则双曲线C 的离心率为（）A.2B.3C.12+ D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据1x ，2x ，L ，10x 是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（）A.平均数变大B.中位数没变C.方差变小D.极差变小10.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π||2ϕ<）的部分图象如图所示，则（）A.(0)1f =B.()f x 在区间4π11π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在区间π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上有3个极值点D.将()f x 的图象向左平移5π12个单位长度，所得函数图象关于原点O 对称11.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，当0x >时，()0f x >，则（）A.(0)0f = B.3(2)4f -=-C.()f x 在(0,)+∞上单调递增D.101()2024i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆()2211x my m +=>的离心率为32，则m =_______.13.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的体积为______，若该圆台的上、下底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.14.记min{,,}a b c 为a ，b ，c 中最小的数.设0x >，0y >，则11min 2,,x y y x ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，3sin 2cos 3B b B =.（1）求A .（2）若455b c a +=，求ABC V 的面积.16.已知函数()2()e xf x x ax b =++的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为21x y +-0=.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间与极值.17.激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现.（1）已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种偏振状态的概率.（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==122BC BB ==，P ，Q 分别为11B C ，1A B 的中点.（1）证明：1A B CP ⊥.（2）求直线1A B 与平面CPQ 所成角的正弦值.（3）设点1C 到直线CQ 的距离为1d ，点1C 到平面CPQ 的距离为2d ，求12d d 的值.19.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点(0,1)的距离，记动点P 的轨迹为E .（1）求E 的方程.（2）设*n ∈N ，(),n n n A x y ，(),n n n B u v 是E 上不同的两点，且1n n x u ⋅=-，记n C 为曲线E 上分别以n A ，n B 为切点的两条切线的交点.（i）证明：存在定点F ，使得n n n A B FC ⊥.（ii）取2nn x =，记n n n n C A B α=∠，n n n n C B A β=∠，求111tan tan ni nn αβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.。
广东省八校2024-2025学年高三上学期8月联合检测数学试题(含解析)
广东省八校2024-2025学年高三上学期8月联合检测数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量，若，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．64．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D．7．已知函数与，则下列说法错误的是（ ）{128,3,2,8x M xN ⎧⎫=<<=---⎨⎬⎩⎭M N =∩{}1,0,1-{}2,1,0,1--{2,--{2,--22i z z+=-z =1i +1i -1i-+1i--()()1,2,3,a b m == ()a b a -∥m =()1tan sin ,24tan x x y y-==()sin x y +=1412349:6:4:3:()2sin ,023,0ax x x f x x ax a x -≤⎧=⎨+-+>⎩R a [)1,3(]1,3[]1,3()1,3()πsin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．与存在相同的对称轴B ．与存在相同的对称中心C ．与的值域相同D ．与在上有相同的单调性8．已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)
设这7天降雨量分别为X],a∙2 tx3tx4tx5tx6, J7
因为1厘米=10毫米,这7天降雨量分别为IOxI, 10‰, IOX3，IOX4，IoX5，IOX6，IO-V7,
平均值为10无二265,
所以标准差变为-X（IOxll-IOx）'xf=10×6」=61.
Y 7ZI=Iy 7/?=i
故选：C
【点睛】
本题考査统讣知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，屈于基础题・
4.若0<方<1,则““>戻”是“u>b”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】
因为OCbVl,所以b-b3=b（l-b2）>0,即b>b∖故">方可推出a > b'，
A. (0, 1)B.(—3,0)<j(1,2)
C.(—3,1)D.(―2,0)<j(1,3)
【答案】B
【解析】化简集合A, B,根据交集运算即可求值.
【详解】
因为A = {x∖x<x2} =(Y,0)u(1,+oc),
B = {x∖x2+X —6 v0} = (-3,2)
所以ACB = (-3,0)u(l,2)∙
而a >b3推不出u >b,（例如“=丄"=丄）42
故“α>Z√”是∏"的必要不充分条件.
故选:A
【点睹】
本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.
5.函数/(X) = x2SinX-XCOSx⅛[-π,π]±的图象大致为()
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|1,|(1)(3)0A x x B x x x =>=+-<，则()A B =R I ð（ ） A ．()3,+∞B ．()1,-+∞C ．()1,3-D ．(]1,1-2．若复数()13i 3i z -=-（i 为虚数单位），则z z -在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线2213y x -=的两条渐近线的夹角的大小等于（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π4．在△ABC 中，D 是BC 上一点，满足3BD DC =uu u r uuu r，M 是AD 的中点，若BM BA BC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ） A ．54B ．1C ．78D ．585．若两个等比数列{}{},n n a b 的公比相等，且1234,2b a a ==，则{}n b 的前6项和为（ ） A ．578B ．638C ．124D ．2526．若函数()sin f x x x ωω=(0)>ω在区间[,]a b 上是减函数，且()1f a =，()1f b =-，πb a -=，则ω=（ ） A ．13B ．23C ．1D ．27．已知点()1,0A -，()0,3B ，点P 是圆()2231x y -+=上任意一点，则PAB V 面积的最小值为（ ）A ．6B ．112C ．92D ．6 8．已知函数y =f x 的定义域为R ，且f −x =f x ，若函数y =f x 的图象与函数()2log 22x x y -=+的图象有交点，且交点个数为奇数，则()0f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2二、多选题9．设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率. ()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+ B ．若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C ．若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D ．若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =10．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若cos b c A =，内角A 的平分线交BC 于点D ，1AD =，1cos 8A =，以下结论正确的是（ ）A ．34AC =B ．8AB =C ．18CD BD = D ．ABD △11．设函数()()2(1)4f x x x =--，则（ ）A ．1x =是()f x 的极小值点B ．()()224f x f x ++-=-C ．不等式()4210f x -<-<的解集为{}|12x x <<D ．当π02x <<时，()()2sin sin f x f x >三、填空题12．在△ABC 中，若a ＝2,b ＋c ＝7,1cos 4B =-，则b =13．如果一个直角三角形的斜边长等于积为.14．已知函数()()0e 23xf x f x =-++'，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线e xxy =上，则PQ 的最小值为．四、解答题15．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别为,4,9a b c c ab ==、、．(1)若2sin 3C =，求sin sin A B ⋅的值； (2)求ABC V 面积的最大值．16．某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． (1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X ，求X 的分布列、数学期望和方差； (2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y ，求Y 的分布列、数学期望和方差；(3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 17．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，12AB AA AC ===，160BC ABB =∠=o ，点D 是棱11A B 的中点．(1)证明：AD BC ⊥；(2)求面ABC 与面1A BC 夹角的正切值．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()10F ,，直线l 经过点F ，且与C 相交于A ，B 两点，记l 的倾斜角为α. (1)求C 的方程；(2)求弦AB 的长（用α表示）；(3)若直线MN 也经过点F ，且倾斜角比l 的倾斜角大π4，求四边形AMBN 面积的最小值.19．如果n 项有穷数列{}n a 满足1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =，即()11,2,,i n i a a i n -+==L ，则称有穷数列{}n a 为“对称数列”.(1)设数列{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234,,,b b b b 成等差数列，且253,5==b b ，依次写出数列{}n b 的每一项；(2)设数列{}n c 是项数为21k -(k *∈N 且2k ≥)的“对称数列”，且满足12n n c c +-=，记n S 为数列{}n c 的前n 项和.①若1c ，2c ，…，k c 构成单调递增数列，且2023k c =.当k 为何值时，21k S -取得最大值? ②若12024=c ，且212024k S -=，求k 的最小值.。