北师大版八年级下册数学[等腰三角形(提高)知识点整理及重点题型梳理]
北师大版八年级数学(下)第一章 等腰三角形
1.1等腰三角形一、知识点梳理1.等腰三角形的性质定理：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形的两腰相等（定义）③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三线合一）2.等边三角形的性质定理：①等边三角形的三条边都相等②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°3.等腰三角形的判定定理：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）4.等边三角形的判定定理：①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。
6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形二、经典题型总结题型一：利用等腰三角形的性质求角题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度题型三：用反证法证明简单证明题题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明题型五：动点与等腰三角形题型题型六：与等腰三角形相关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。
2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：①两条线段所在的两个三角形“全等”②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：①三角形内角和等于180°②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。
新北师大版八年级数学下册知识点总结
北师大版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形判定、性质：1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形）2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。
二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。
（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
1231性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（外心）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角平分线。
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（内心）判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
第二章一元一次不等式和一元一次不等式组1.定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
2.基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.（注：移项要变号，但不等号不变）性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,cb c a >.性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,cb c a < 说明： 比较大小:作差法9第三章 图形的平移与旋转一、图形的平移1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
关键：a. 平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。
北师大版八年级数学下册《等腰三角形》基础知识概述
等腰三角形
一、知识概述
（一）、等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形. 相等的两边叫做腰，另一边叫底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边上的夹角叫做底角.
（二）、等腰三角形的性质
等腰三角形是一个轴对称图形，其对称轴是底边的垂直平分线.
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“三线合一”）.
（三）、等边三角形的概念和性质
等边三角形指三边都相等的三角形，也叫正三角形，它是轴对称图形，有3条对称轴.
等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
（四）、等腰三角形的识别
两边相等的三角形是等腰三角形.
若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等（简写“等角对等边”）
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形.
二、重、难点知识归纳与讲解
（一）、等腰三角形是特殊的三角形，它具有一般三角形的所有性质，如三内角和为180°，任意两边之和大于第三边等性质，还具有特殊性质：等边对等角和“三线合一”的重要性质.
（二）、熟练掌握等腰三角形的性质和识别，注意边、角之间的转化关系，学会分类讨论的思想，注意不要漏解，学习周密思考问题的方法.
（三）、等腰三角形是轴对称图形，要用轴对称的思想解题.。
第1讲 等腰三角形八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第1讲 等腰三角形 1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 知识点01 等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝1802A ︒-∠ . 2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形 目标导航知识精讲等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【知识拓展1】根据等边对等角求角度例1．（2021·贵州·思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？例2．（2021·黑龙江省八五一一农场中学八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中∠CAB 的度数例3．（2021·广东·广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，D是BC上一点，且DA＝DB，∠B＝15°．求∠CAD的度数．例4．（2021·广西三江·八年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，求∠C的度数．【即学即练1】如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【即学即练2】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【知识拓展2】利用三线合一求解与证明例1．（2021·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD ＝CE．⊥，垂足为D，E是BC延长线上的一点，例2．（2021·重庆·八年级期中）如图：已知等边ABC中，BD AC=，且CE CD（1）求证：BD DE=；（2）若M为BE中点，求证：DM平分BDE∠．例3．（2021·河南镇平·八年级阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB 上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_______（填序号）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如图2，连接EF．①求证：△CEF ≌△DFE ；②求证：△PEF 是等腰三角形；③小军作图得到的射线OP 是∠AOB 的平分线吗？请判断并说明理由．例4．（2021·广东广州·八年级阶段练习）如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AB ：AD ：13BD =：12：5，ABC 的周长为36，求ABC 的面积．例5．（2022·黑龙江富裕·八年级期末）已知：在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为CD 上一点，且DE ＝AD ，连接BE 并延长交AC 于点F ，连接DF ．（1）求证：BE ＝AC ；（2）若AB ＝BC ，且BE ＝2cm ，则CF ＝ cm ．例6．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，若跨度BC ＝16m，上弦长AB＝10m，求中柱AD的长．【即学即练1】（2021·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE 平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．【即学即练2】（2021·黑龙江五常·八年级阶段练习）已知：以线段AB为边在线段的同侧作△ABC与△BAD，BC与AD交于点E，若AC＝BD，BC＝AD．（1）如图1，求证：CE＝DE；AB的线段．（2）如图2，当∠C＝90°，∠AEB＝2∠AEC时，作EF⊥AB于F，请直接写出所有等于12【即学即练3】（2021·吉林·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为边BC 的中线，E 是边AB 上一点（点E 不与点A 、B 重合），过点E 作EF BC ⊥于点F ，交CA 的延长线于点G ．（1）求证：AD //FG ；（2）求证：AG AE =；（3）若3AE BE =，且4AC =，直接写出CG 的长．【即学即练4】（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，BC 交x 轴于点D ．（1）若A （﹣8，0），C （0，6），直接写出点B 的坐标 ；（2）如图2，三角形△OAB 与△ACD 均为等腰直角三角形，连OD ，求∠AOD 的度数；（3）如图3，若AD 平分∠BAC ，A （﹣8，0），D （m ，0），B 的纵坐标为n ，求2n ＋m 的值．【知识拓展3】等腰三角形中的分类讨论例1.在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．例2、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【即学即练】如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF 的周长为（ ）A ．13B ．12C ．15D ．20【知识拓展4】等腰三角形性质和判定综合应用例1、已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ， BAD FCD ∠=∠．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．知识点02 等边三角形1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.3.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【知识拓展4】等边三角形例1、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．【即学即练】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【知识拓展5】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
教师用：北师大初二数学等腰三角形
等腰三角形知识点梳理：1、等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
2、等腰三角形的判定：等角对等边。
3、等边三角形的三个内角相等，等于60°，4、等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等腰三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（重要） 有两个角是60°的三角形是等边三角形。
5、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 例题精讲：例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
求证：M 是BE 的中点。
E分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。
因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝21∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝21∠ACB ，所以∠1＝∠E ，从而问题得证。
证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以∠1＝21∠ABC 又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E 所以∠ACB ＝2∠E 即∠1＝∠E所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）例2. 如图，已知：ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。
ABCD分析：题中所要求的BAC ∠在ABC ∆中，但仅靠AC AB =是无法求出来的。
因此需要考虑DB AD =和CA DC =在题目中的作用。
此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。
因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。
解：因为AC AB =，所以C B ∠=∠ 因为DB AD =，所以C DAB B ∠=∠=∠；因为CD CA =，所以CDA CAD ∠=∠（等边对等角） 而 DAB B ADC ∠+∠=∠ 所以B DAC B ADC ∠=∠∠=∠22， 所以B 3BAC ∠=∠又因为180=∠+∠+∠BAC C B即180B 3C B =∠+∠+∠ 所以36B =∠ 即求得108BAC =∠说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。
(完整版)等腰三角形知识点归纳及提高
等腰三角形知识点归纳及提高知识点归纳：（一）等腰三角形的性质1、有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角相等，且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2、定理及推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线相互垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定1、有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
3、等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，视具体情况而定。
例1、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=CD，D M⊥BC，垂足为M。
求证：M是BE的中点。
例2、如图，已知：△ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，且ＡＤ＝ＤＢ，ＤＣ＝ＣＡ，求∠ＢＡＣ的度数例3、已知：如图：△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D。
北师版初二下册数学知识点总结(精选)
最新北师大版《数学》（八年级下册）知识点总结第一章三角形的证明1、等腰三角形（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS。
（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。
（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边直角边，简称：HL）3、线段的垂直平分线（中垂线）（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
新北师大版八年级数学下册知识点总结
新北师大版八年级数学下册知识点总结XXX版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形的判定和性质：1.判定方法包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL直角三角形。
2.全等三角形的对应边相等，对应角相等。
二、等腰三角形的性质1.等腰三角形有两边相等（定义）。
2.等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形的顶角平分线、底边中线和高线重合（三线合一）。
推论2：等边三角形的各角都相等，且每个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。
三、等腰三角形的判定1.有关的定理及推论包括等角对等边、三个角都相等的等边三角形和有一个角等于60°的等边三角形。
2.可以使用反证法证明等腰三角形的判定定理。
四、直角三角形1.直角三角形的性质包括两锐角互余、直角边平方和等于斜边平方、一个锐角等于30°时，对应直角边等于斜边的一半，以及斜边上的中线等于斜边的一半。
2.直角三角形的判定是通过判断三角形两边的平方和是否等于第三边的平方。
3.互逆命题和互逆定理的概念和应用。
五、线段的垂直平分线和角平分线1.线段的垂直平分线的性质包括垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，三角形三条边的垂直平分线相交于一点（外心），以及判定方法是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2.角平分线的性质包括角平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形三条角平分线相交于一点（内心），以及判定方法是在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
第二章一元一次不等式和一元一次不等式组删除明显有问题的段落）一、一元一次不等式的基本性质1.加减乘除不等式两边，不等号方向不变。
2.不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号方向不变；两边同时乘或除以一个负数，不等号方向改变。
3.不等式两边交换，不等号方向改变。
4.两个不等式的“与”关系，只有它们的交集才满足不等式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习等腰三角形（提高）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到以下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.要点三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．2.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3. 含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点四、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：（1）假定命题的结论不成立；（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.类型一、等腰三角形中的分类讨论1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．举一反三：【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【变式2】在△ABC中，∠A=40°，当∠B=时，△ABC是等腰三角形．【答案】40°、70°或100°提示：分为两种情况：（1）当∠A是底角，①AB=BC，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠C=40°，根据三角形的内角和定理即可求出∠B；②AC=BC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=40°；（2）当∠A是顶角时，AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠B．类型二、等腰三角形的操作题2、如图，请将下列两个三角形分成两个等腰三角形．（要求标出每个等腰三角形的内角度数）【思路点拨】根据等腰三角形的判定定理在左图△ABC中的边BC上取一点D，使BD=AD即可；在右图△ABC中的边AC上取一点D，使BD=CD即可．【答案与解析】解：如图（1）所示：在BC上取一点D，使∠ADB=110°，∠ADC=70°，∠BAD=35°，∠CAD=40°，如图（2）所示：在AC上取一点D，使∠ABD=32°，∠CBD=16°，∠ADB=32°，∠BDC=148°．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，关键是根据题意画出图形，注意应先确定等腰三角形的各个角的度数，再根据度数画出图形．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．【答案】解：如图1：直线把75°的角分成25°的角和50°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形．类型三、等腰三角形性质与判定的综合应用3、（2016春•威海期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE=AF．【思路点拨】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=×120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；（2）由△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由ASA 证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF．【答案与解析】（1）证明：连接BD，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC=∠BAC，∵∠BAC=120°，∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形；（2）证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD∵∠EDF=60°，∴∠BDE=∠ADF，在△BDE与△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE=AF．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．举一反三：【变式】如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有个．【答案】4；提示：根据等腰三角形的判定，由已知可证∠BAD=∠CAD=∠B=30°，即证△ADB是等腰三角形；又证CD=DE，AE=AC，即证△CDE，△AEC是等腰三角形；再证ECB=∠B=30°，即证△BEC是等腰三角形．即图中的等腰三角形共有4个．4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，求证：CE=CF．【思路点拨】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，根据等腰三角形的判定推出即可．【答案与解析】证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF．【总结升华】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，关键是推出∠CEF=∠CFE．举一反三：【变式】如图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是a，则围成的六边形的周长为（）A. 30aB. 32aC. 34aD. 无法计算【答案】A；提示：设右下角第二个小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是x；x； x+a； x+a； x+2a ；x+2a； x+3a，根据题意得到方程2x=x+3a，求出x=3a，即可求出围成的六边形的周长．类型四、含30°角的直角三角形5、如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB=15°．然后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB=30°，量得CD=13m，求旗杆AB的高．【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD，再根据等角对等边的性质可得AD=CD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．【答案与解析】解：∵∠ACB=15°，∠ADB=30°，∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°，即△CAD为等腰三角形，∴AD=CD=13，在△ADB中，∵AB⊥DB，∠ADB=30°，∴AB=12AD=12×13=6.5(m)．【总结升华】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=12∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=12 DB．【答案】解：∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°，∵DE是∠ADB的平分线，∴∠3=∠4，又∵DE=DE，∴△BED≌△AED（ASA），∴AD=BD，∠2=∠B，∵∠BAD=∠2=12∠BAC，∴∠1=∠2=∠B，∴AD=BD，又∵∠1+∠2+∠B=90°，∴∠B=∠1=∠2=30°，在直角三角形ACD中，∠1=30°，∴CD= 12AD=12BD．类型五、反证法6、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．【思路点拨】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立．【答案与解析】证明：假设它们所对的边相等；则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”所以等它们所对的角也相等；这就与题设两个角不等相矛盾；因此假设不成立，故原结论成立．【总结升华】本题结合等腰三角形的性质考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．举一反三：【变式】用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设.【答案】三角形三个内角中最多有一个锐角．。