小角度无阻尼单摆周期
杜芬方程
3. k>0，原点是鞍点，坐标( x )处两不动点，是吸引子。整
个相平面被分隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不 动点。
k<0
k>0
有阻尼有驱动杜芬方程：
d2x dt 2
dx dt
x
x3
F cos t
单周期
双周期
a.讨论阻尼 系数γ的影响
举例：γ=1.5
γ=1.35
γ=1.15
混沌态和非混沌态比较 （初始速度差0.001）
b.讨论驱 动F的影响
γ
c.讨论驱动Ω的影响
杜芬方程的应用
1.微弱信号的检测 2.电机系统的控制 3.应用于保密通信
微弱信号的检测：
检测微弱特征信号的方法是将杜芬 系统的参数设置为临界值，通过观察系 统相图的变化来判断待测信号中是否含 有所要寻找的微弱特征信号。
因为结构的振动频率是表征结构是否有损伤的 重要参考指标之一，故可利用杜芬系统检测微弱 特征信号。
杜芬系统检测微弱特征信号， 一般是根据混沌 系统对特定小信号的敏感性以及对噪声“ 免疫” 的特点来检测的。将杜芬方程中的参数 F设置在 分叉值附近，使系统处于变化的边缘。根据混沌 学理论， 这时噪声对系统的影响很小，而微弱特 征信号对系统状态的 改变起着决定性作用。
电机系统的控制：
电力系统长时间连续运行的稳定性、 可靠性与安全性日益受到重视。
通过对电力系统建模与故障分析，避免电 力系统产生混沌振荡。对提高发电机组系统 的控制质量、改善系统动态过程的品质等方 面有重要的实际意义。
保密通信：
同步混沌系统产生的混沌信号 具有宽带、难以预测的类噪声特性。 这些特性为保密通信开辟了一条新 的途径。
杜芬方程是混沌现象的一个典型例子。
摆钟实验探究摆动周期与摆长的关系
摆钟实验探究摆动周期与摆长的关系摆钟是一种古老而经典的实验工具，在物理学教学中广泛应用。
通过摆钟实验，我们可以探究摆动周期与摆长之间的关系。
在这个实验中，我们需要一根细而轻的线或者细棒，挂上一个质量较小的物体，并将其悬挂在一个固定的支架上。
接下来，我们将改变摆长的长度，观察摆钟的摆动周期的变化。
首先，我们来介绍一下什么是摆动周期和摆长。
摆动周期是指一个摆钟完成一次完整的摆动所需要的时间。
摆长则是指从摆钟的吊点到摆钟质心的垂直距离。
在摆钟实验中，摆动周期和摆长之间存在着一定的关系。
在实验过程中，我们可以通过改变摆钟的摆长来观察摆动周期的变化。
摆钟摆动的周期与摆长的关系可以由科学家伽利略最先提出的摆钟公式来描述。
摆钟公式是一个简单的数学关系式，它表示了摆钟的摆动周期T与摆长L之间的关系。
按照伽利略的摆钟公式，摆钟摆动周期的平方与摆长成正比。
也就是说，T^2与L的比值是一个常数。
根据这个公式，我们可以通过观察不同摆长下摆钟的摆动周期来验证这个关系。
在实验过程中，我们可以先选择一个摆长，然后使用一个秒表来精确测量出摆动周期。
然后，我们可以改变摆长，再次测量摆动周期。
重复这一过程直到得到足够的数据。
最后，我们可以使用这些数据来绘制摆动周期和摆长的关系曲线。
通过摆钟实验，我们可以发现摆动周期和摆长之间确实存在着一定的关系。
在实验中我们可以观察到，当摆长增加时，摆动周期会变长，而当摆长减少时，摆动周期会变短。
这一观察结果与伽利略的摆钟公式所描述的关系是一致的。
需要注意的是，摆动周期和摆长的关系仅仅适用于小摆角的情况。
当摆幅较大时，这个关系将不再成立。
此外，摆钟实验中还需要注意保持摆钟摆动的幅度和速度稳定，以确保实验结果的准确性。
总之，摆钟实验是一个简单而经典的物理实验，通过观察摆长不同情况下摆动周期的变化，我们可以揭示摆动周期和摆长之间的关系。
这个实验不仅有助于我们理解物理学中的摆动现象，还能锻炼我们的实验操作和数据处理能力。
高中物理：单摆 单摆的回复力和周期
高中物理：单摆单摆的回复力和周期【知识点的认识】一、单摆1．定义：如图所示，在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸长和质量都不计，球的直径比摆线短得多，这样的装置叫做单摆。
2．视为简谐运动的条件：摆角小于5°。
3．回复力：小球所受重力沿圆弧切线方向的分力，即：F ＝G 2＝Gsin θ＝x ，F 的方向与位移x 的方向相反。
4．周期公式：T ＝2π5．单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l 和重力加速度g ，与振幅和振子（小球）质量都没有关系。
二、弹簧振子与单摆弹簧振子（水平）单摆模型示意图条件忽略弹簧质量、无摩擦等阻力细线不可伸长、质量忽略、无空气等阻力、摆角很小平衡位置弹簧处于原长处最低点回复力弹簧的弹力提供摆球重力沿与摆线垂直（即切向）方向的分力周期公式T ＝2π（不作要求）T ＝2π能量转化弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒重力势能与动能的相互转化，机械能守恒【命题方向】（1）第一类常考题型是对单摆性质的考查：对于单摆的振动，以下说法中正确的是（）A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零分析：单摆振动时，径向的合力提供向心力，回复力等于重力沿圆弧切线方向的分力，通过平衡位置时，回复力为零，合力不为零。
解：A、单摆振动时，速度大小在变化，根据知，向心力大小在变化。
故A错误。
B、单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力。
故B错误。
C、摆球经过平衡位置时所受的回复力为零。
故C正确。
D、摆球经过平衡位置时，合力提供向心力，合力不为零。
故D错误。
故选：C。
点评：解决本题的关键知道单摆做简谐运动的回复力的来源，知道经过平衡位置时，回复力为零，合力不为零。
（2）第二类常考题型是单摆模型问题：如图所示，单摆摆球的质量为m，做简谐运动的周期为T，摆球从最大位移A处由静止开始释放，摆球运动到最低点B时的速度为v，则（）A．摆球从A运动到B的过程中重力做的功为B．摆球从A运动到B的过程中重力的平均功率为C．摆球运动到B时重力的瞬时功率是mgvD．摆球运动到B时重力的瞬时功率是零分析：某个力的功率应用力乘以力方向上的速度，重力做功与路径无关只与高度差有关，也可以运用动能定理求解。
动力学实验讲义
单摆实验讲义单摆是由一摆线l 连着重量为mg 的摆锤所组成的力学系统，是力学基础教科书中都要讨论的一个力学模型。
当年伽利略在观察比萨教堂中的吊灯摆动时发现，摆长一定的摆，其摆动周期不因摆角而变化，因此可用它来计时，后来惠更斯利用了伽利略的这个观察结果，发明了摆钟。
如今进行的单摆实验，是要进一步精确地研究该力学系统所包含的力学线性和非线性运动行为。
练习一是单摆的基础实验，适用于大学低年级开设，练习二是单摆的设计性实验，适用于高年级学生学习和认识非线性物理开设。
练习一 单摆的基础实验一 、实验目的1．学会使用光电门计时器和米尺，测准摆的周期和摆长。
2．验证摆长与周期的关系,掌握使用单摆测量当地重力加速度的方法。
3．初步了解误差的传递和合成。
二 、仪器与用具单摆实验装置，多功能微妙计，卷尺，游标卡尺。
三 、实验原理1．利用单摆测量当地的重力加速度值g用一不可伸长的轻线悬挂一小球，作幅角θ很小的摆动就是一单摆。
如图1所示。
设小球的质量为m ，其质到摆的支点O 的距离为l (摆长)。
作用在小球上的切向力的大小为θsin mg ，它总指向平衡点O '。
当θ角很小，则θθ≈sin ，切向力的大小为θmg ，按牛顿第二定律，质点的运动方程为θsin mg ma -=切，即 θθsin 22mg dtd ml-=，因为θθ≈sin ，所以θθlg dtd -=22， (1)这是一简谐运动方程(参阅普通物理学中的简谐振动)，(1)式的解为)cos()(0φωθ+=t P t ， （2）lg T==πω20， （3）式中, P 为振幅，φ为幅角，0ω为角频率（固有频率），T 为周期。
可见，单摆在摆角很小，不计阻力时的摆动为简谐振动，简谐振动是一切线性振动系统的共同特性，它们都以自己的固有频率作正弦振动，与此同类的系统有：线性弹簧上的振子，LC 振荡回路中的电流，微波与光学谐振腔中的电磁场，电子围绕原子核的运动等，因此单摆的线性振动，是具有代表性的。
单摆周期公式的推导
单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。
对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。
因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。
把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。
对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。
这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。
二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。
让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。
当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。
因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。
机械振动第10章-非线性振动初步
2. 杜芬方程
杜芬方程
• 数学上将含有 x3三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：
d2x dt2
dx dt
x
x3
F
cos t
实验中系数 由磁铁的吸力调整。
弱磁吸力时 ，
强磁吸力时 。 0 0
例：弱非线性单摆属Duffing方程：
d2x 取： dt2
dx dt
02 sin x 得：
2.平衡点[ ]为 单0 摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线；
3.从[ ]到 0[
]或 相 反 0的连线为分界线
在分界线内的轨线是闭合回线 单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E 超过势能曲线的极 大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能
量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。
同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0
的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。
2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
2. ，0原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。 3. ，0原点是鞍点，坐标( x )处两不动点，是吸引子。整个相平面被分
隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。
0
0
3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程
非线性阻尼振子
• 小角度单摆方程
d 2
dt2
2
d
dt
02
0
阻尼项系数 2 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：
单摆周期公式的推导
单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。
对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。
因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。
把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。
对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。
这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。
二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。
让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。
当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。
因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。
关于单摆的周期
关于单摆的周期(1)非线性摆的振动周期一根不可伸长、不计质量的绳长为l，一端固定于O点，另一端系质量为m的小球，就可组成一个摆，如图9－27所示，竖直线OP为摆以O点为轴摆动的平衡位置．为了研究摆动的一般规律，把摆看作是个绕O点转动的刚体，摆对O轴的转动惯量I=ml2．当角位移为θ时，作用于小球的重力对O点的力矩M=－mglsinθ．(其中的负号表示力矩的方向与角位移θ的方向相反．)根据定轴转动的定律Iβ=M，有整理后可得这是一个非线性微分方程，与简谐运动的微分方程不同．因此，一般情况下的摆，角位移对时间的变化规律不是余弦式，所作的摆动，不是简谐运动，而是一种非线性振动．这种摆的周期表达式为可见，一般情况下的摆的周期随摆幅(由θ0表示)的变化而变化，不是等时摆．(2)单摆和它的周期当摆动过程中，摆线对平衡位置的角位移θ的绝对值都很小，以致θ=θ0cos(ωt＋a)，其中θ0为最大摆角，为角振幅，周期通常所说的单摆是指一般的非线性摆在摆角振幅很小时的情形．这是一种等时摆，周期与振幅的大小无关，是一种理想模型．在实际应用中，在摆角足够小的条件下，就可以使用单摆的周期公式进行计算．(3)怎样认识“摆角足够小”的条件由摆的周期T′的公式以及单摆的周期T的公式的比较中，可知误差θ0为最大摆角．为了有一个定量的概念，在θ0为不同角度时周期的误差如下表所示．从以上数字可以看到：当最大摆角在15°以内时，误差在0.5％以内；当最大摆角在5°以内时，误差在0.05％以内．实验中还会有测量误差，如摆长测量误差，计时误差，等等．由于中学物理实验对精度要求不很高，同时，系统误差的精度与测量误差的精度应该协调．因此可以认为，θ0＜15°时，可以满足中学物理实验对误差的要求．做演示实验时，为了增加可见度，单摆的摆角不必过于拘泥小于5°这个角度．。
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如果满足 sin x x 就有：
d 2 d 2 2 0 0 dt2 dt
1. 阻尼单摆 不动点
小摆角阻尼单摆的解
设解为 得特征方程
e t
2 2 2 0 0
为待定常数，特征方程解：
第一章 非线性振动初步
非线性振动初步
第一节 第二节 第四节 无阻尼单摆的自由振荡 阻尼振子 受迫振荡
第三节 相图方法
第一节 无阻尼单摆的自由振荡
1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
由牛顿第二定律：
d 2 ml 2 F m gsin dt
忽略3次以上的高次项 得线性方程
sin x x
d 2 2 0 0 dt2
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
椭圆点
令 e t 2 2 代入方程得得特征方程： 0 0 1,2 i0 特征根： 得通解为： (t ) C1ei t C2ei t
势能曲线
• 基本方程 若取 0 1后积分得
d 2 2 0 sin 0 dt2
2
1 d cos E 2 dt 左边第一项是单摆动能 K， 左边第二项是势能 V 右边积分常数E是单摆总能
势能曲线是余弦函数
V ( ) cos
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
1. 阻尼单摆 不动点
相轨线
对阻尼单摆解
吸引子
P e t cos(t )
坐标从[ , ]变换到[u,v]
d P e t [ cos( t ) sin(t )] dt
微分
u Ae t cos(t ) cosf t v Ae sin(t ) sin f
0 0
该式是振幅为P，角频率为 0 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频 率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。
1
小角度无阻尼单摆
相图
d 2 0 2 dt
椭圆点
使 0 1 得：
一次积分后： 1 d 2
1 2 E 2 dt 2
单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E 超过势能曲线的极
大值，轨道就不再闭合，单摆
作向左或向右方向的旋转运动
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
相图横坐标θ是以2为周期的，
摆角 是同一个倒立位置， 把相图上G点与G‘点重迭一起
时，就把相平面卷缩成一个柱
面。所有相轨线都将呈现在柱 面上。因此，平面上的相轨线
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点
双曲点
在倒立附近，取对铅垂的偏角f表示摆角，f 2 代入单摆方程 d 2 sin 0
dt2
0
得方程
d 2f 2 0 sin f 0 2 dt
利用 sin x x 得方程
d 2f 2f 0 dt2
2. 杜芬方程
杜芬方程
• 数学上将含有 x 3 三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：
d 2x dx g x x 3 F cost 2 dt dt
实验中系数 由磁铁的吸力调整。 弱磁吸力时 0 ， 强磁吸力时 0 。 例：弱非线性单摆属Duffing方程：
dt
0t
d [2(cos cos0 )]1/ 2
设t = 0时， 0 ，周期为 T，在 t T / 4时应有 0 ，故有：
0T / 4
0
0
2 sin 2 0 / 2 sin 2 / 2
d
3 2 4 0 T T0 1 sin sin 2 2 4 2 2
d 2 g sin 0 2 dt l
椭圆点
d 2 2 0 sin 0 dt2
式中角频率：
非线性方程
0 g / l
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
线性化处理
椭圆点
d 2 2 0 sin 0 dt2
x3 x5 x7 sin x x 3! 5! 7!
1 dx 1 1 4 2 x x E 2 dt 2 2
2
由系统能量 K V E 得：
00
V
11 4 2 x x 22
0
讨论：由 dV / dx 0 知： 1. 当 0 时有一个平衡点：x 0 2. 当 0 时有三个平衡点：x 0 x 3. 平衡点 x 为两个能量最小点
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两个变量，则方 程是一个圆周方程，圆的半径为 E ，振动过程是一个代表点沿圆周转 动。
1
小角度无阻尼单摆
相图
椭圆点
相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用 相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时 刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的 运动轨迹称为轨线。 能量方程 2 1 d 1 2 K V E E 右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过 程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 0，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能 量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。 同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。
0
2. 杜芬方程
相图
0
0
2. 杜芬方程
相图
从杜芬方程势能曲线，画出( x, x ）平面上的相轨线。 1. 对于 0，坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道; 2. 对于 0 ,坐标原点是鞍点，邻近相轨线是双曲线;在 x 处是椭圆 点，附近是闭合轨道。因原点轨线附近呈双曲线，形成一对蛋形轨线。 3. 对于 0 ,通过坐标原点是两条相交界轨线。其中两条轨线走向原点，另 两条离开原点；当沿一条从原点出发绕了一圈后回到原点，这原点称同 宿点。
0 0
式中 C1,C2为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 C1,C2 必 须满足条件： * * C1 ei0t C2ei0t C1ei0t C2ei0t
将 C1,C2 写成指数形式后得：
(t ) ( P / 2)(ei ( t ) ei ( t ) ) P cos(0t )
2 dt 2
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期
周期与摆角无关？ 看看实验结果：
T/T0
双曲点
T0 2 / 0 2 l g ? T
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
单摆完整相图
1.坐标原点[ 0， 0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合轨道； 2.平衡点[ 0]为单摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线； 3.从[ 0 ]到[ 0 ]或相反的连线为分界线
在分界线内的轨线是闭合回线
d 2x dx 2 g 0 sin x 0 dt2 dt 取： sin x x x 3 / 6 得：
d 2x dx 2 g 0 ( x x 3 / 6) 0 dt2 dt
2. 杜芬方程
势能曲线
• 研究无驱无阻尼杜芬方程： d 2 x （ F 0 ， 1 ，g 0 ） x x3 0 dt2 积分得：
0
0
3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程
非线性阻尼振子
• 小角度单摆方程
d 2 d 2 2 0 0 dt2 dt 阻尼项系数 2 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：
d 2x dx 2 e ( x 2 1) 0 x 0 0 1/ LC dt 2 dt 阻尼项系数是 e ( x 2 1) 与 x2 有关，e 为可以任意设定的小数。 它是为描述 LC 回路电子管振荡器，由范德玻耳建立,称为范德玻耳方程
1. 阻尼单摆 不动点
任意摆角下的相图
1.整相平面被通过鞍点G与G‘的轨线分成三个区域。 2.在坐标原点附近轨线是向内旋转的对数螺旋线,和小摆角情况相似; 3.鞍点的位置仍在处， 运动 从倒立开始往下摆，由于 能量耗散达不到原有高度。 轨线 从一个鞍点出发到不了另 一鞍点，分界线被破坏了。 相流 所有中间区域的相点流向 坐标原点。原点是该区域的不 动点，是该区域吸引子。左右 两个区域也有相应的吸引子， 它们分别处在该图左( -2 )和 2 右(+2 )两侧。 2
2 1, 2 2 0
故有：
1,2 i
2 0 2
通解为
C1e( i )t C2e( i )t e t (C1eit C2eit )
最后有：
P e t cos(t )
式中 Ae t f t 消去时间 t t (f ) /
A P
Ce f /
• 阻尼单摆轨线矢径随转角增加而缩短，在[u,v]平面上是向内旋转的对数螺 旋线簇。在[ , ]平面内也与此类似。 • 能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从那点出发，经若干次旋转后趋向 坐标原点，原点为‚吸引子‛，它把相空间的点吸引过来，原点又称不动