直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义)
直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
直线、平面平行垂直的判定及其性质(讲)-2019年高考数学 ---精校解析Word版
内的无数条直线都垂直”是“直线a
BB1D1D，又OB1⊂平面
，则a与c的位置关系为
在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；在空间中，直线
n⊥β，则n与l的位置关系为
l⊂β，又
中，底面ABCD为矩形，侧棱
________．
BC.由底面ABCD为矩形，
PD＝CD，点E是PC
⊥平面ABCD，AB∥DC，
⊥PA⇒AE⊥BC，
，故②正确，③若
2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”。
直线平面垂直的判定及其性质课件PPT
类型二 平面与平面垂直的性质定理
例2 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB
＝60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面
ABCD.G为AD边的中点.求证：(1)BG⊥平面PAD；
证明 由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
【变式练习】
下列命题中正确的个数是( B )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线
与l垂直．
A．0
B．1
C．2
D．3
思考4 如图，直四棱柱ABCD - ABCD中（侧棱与底面 垂直的棱柱称为直棱柱），底面四边形ABCD满足什么条 件时，AC ⊥ BD?
(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直？
A
B
D
C
当折痕AD⊥BC且翻折后BD与DC不在一条直线上时, 折痕AD与桌面所在平面垂直.
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，
AD⊥CD,AD⊥BD,
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
第25节-直线、平面垂直的判定与性质(解析版)
第25节直线、平面垂直的判定与性质基础知识要夯实1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.2．两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．基本技能要落实考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2020·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点.(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离.【解析】(1)证明因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝23.连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)解作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝sin 455OC MC ACB OM ⋅⋅∠=.所以点C 到平面POM 的距离为455.【方法技巧】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l ⊥a ，l ⊂β⇒l ⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【跟踪训练】1.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是()A ．AD BC =B ．AC BD=C ．PE PF=D ．EP PF=【答案】D【解析】根据相等向量的定义，分析可得AD 与BC 不平行，AC 与BD不平行，所以AD BC = ,AC BD =uuu r uu u r 均错误.PE 与PF 平行，但方向相反也不相等，只有EP 与PF方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，所以EP PF =uu r uu u r.故选：D2.(2020·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC 的体积为312，求线段CE 的长.【解析】(1)证明∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥BC 1，在△CBC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝60°，由余弦定理得BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos ∠BCC 1＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，∴BC 1＝3，∴BC 2＋BC 21＝CC 21，∴BC ⊥BC 1，又AB ，BC ⊂平面ABC ，BC ∩AB ＝B ，∴BC 1⊥平面ABC .(2)解∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴V E －ABC ＝V A －EBC ＝13S △BCE ·AB ＝13S △BCE ·1＝312，∴S△BCE＝34＝12CE·BC·sin∠BCE＝12CE·32，∴CE＝1.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【证明】(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.【方法技巧】1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【跟踪训练】1.（如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AD ＝SD ，BC ＝CD＝12AB ，侧面SAD ⊥底面ABCD .(1)求证：平面SBD ⊥平面SAD ；(2)若∠SDA ＝120°，且三棱锥S －BCD 的体积为612，求侧面△SAB 的面积.(1)证明设BC ＝a ，则CD ＝a ，AB ＝2a ，由题意知△BCD 是等腰直角三角形，且∠BCD ＝90°，则BD ＝2a ，∠CBD ＝45°，所以∠ABD ＝∠ABC －∠CBD ＝45°，在△ABD 中，AD ＝222cos 45AB BD AB DB +-⋅⋅︒＝2a ，因为AD 2＋BD 2＝4a 2＝AB 2，所以BD ⊥AD ，由于平面SAD ⊥底面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面SAD ，又BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SAD .(2)解由(1)可知AD ＝SD ＝2a ，在△SAD 中，∠SDA ＝120°，SA ＝2SD sin 60°＝6a .作SH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则SH ＝SD sin 60°＝62a ，由(1)知BD ⊥平面SAD ，因为SH ⊂平面SAD ，所以BD ⊥SH .又AD ∩BD ＝D ，所以SH ⊥平面ABCD ，所以SH 为三棱锥S －BCD 的高，所以V S －BCD ＝13×62a ×12×a 2＝612，解得a ＝1.由BD ⊥平面SAD ，SD ⊂平面SAD ，可得BD ⊥SD ，则SB ＝22SD BD +＝22+＝2.又AB ＝2，SA ＝6，在等腰三角形SBA 中，边SA 上的高为642-＝102，则△SAB 的面积为12×6×102＝152.达标检测要扎实一、单选题1．在空间中，下列命题是真命题的是（）A ．经过三个点有且只有一个平面B ．平行于同一平面的两直线相互平行C ．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D ．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面【答案】D【解析】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A 错误；平行于同一平面的两直线可能相交，故B 错误；由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C 错误；如果两个相交平面,αβ垂直于同一个平面γ，且l αβ= ，则在平面α、β内分别存在直线,m n 垂直于平面γ，由线面垂直的性质可知//n m ，再由线面平行的判定定理得//m β，由线面平行的性质得出//m l ，则l γ⊥，故D 正确；故选：D2．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题中错误的是（）A ．直线1PC 和平面11AA D D 所成的角为定值B ．点P 到平面1C BD 的距离为定值C ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值D ．直线CD 和平面1BPC 平行【答案】A【解析】对A ，由11C D ⊥平面11AA D D ，当点P 分别在点A 或1D 时，线面角不一致，故A 错误；对B ，由1AD //1BC ,1BC ⊂平面1C BD ,1AD ⊄平面1C BD ,所以1AD //平面1C BD ，所以点P 到平面1C BD 的距离为直线1AD 上任意点到平面1C BD 的距离，故B 正确对C ，由平面1C PB 即平面11ABC D ,111,CB BC CB AB ⊥⊥,1AB BC B =I ,1,AB BC ⊂平面11ABC D ，所以1CB ⊥平面11ABC D ，所以11CB C P ⊥，故C 正确对D ，由平面1C PB 即平面11ABC D ，CD //11C D ，11C D ⊂平面11ABC D ，CD ⊄平面11ABC D ，所以CD //平面11ABC D ，所以D 正确故选：A3．在如图所示的棱长为20的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为CD 的中点，点P 在侧面11ADD A 上，且到11A D 的距离为6，到1AA 的距离为5，则过点P 且与1A M 垂直的正方体截面的形状是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】B【解析】如图所示，过点P 作1//EF AD 分别交11,AA DD 于点,E F ，因为11AD A D ⊥，可得1EF A D ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11ADD A ，所以EF CD ⊥又1CD A D D = ,所以EF ⊥平面1MDA ,1A D ⊆平面1MDA ,所以1A D EF ⊥过P 作11PK A D ⊥交于11A D 点K ，则6PK =,设KF x =则11A E A F =,所以11FK KP FA A E =，即116x A E A F=,则6x =所以115611A F A K KF =+=+=在正方形1111D CB A 中，取11CD 的中点1M ，连接111,MM A M 则111A M D V 与11D C N V ,则11111D A M ND C ∠=所以111111111190ND M D M A ND M D A M ∠+∠=∠+∠=︒,即111A M D N ⊥取11B C 的中点N ，过F 作1//FH D N 交11B C 于点H ，连接1D N ，则11A M FH ⊥又1MM ⊥平面1111D C B A ,所以1MM FH ⊥,由1111MM A M M ⋂=所以FH ⊥平面11A M M ，所以1FH A M ⊥又EF FH F ⋂=，所以1A M ⊥平面EFH连接1BC ，过H 作1//HG BC ,由11//BC AD ，则1//BC FE ，所以//HG FE (且HG FE ≠)连接EG ，则四边形EFHG 为梯形，所以1A M ⊥平面EFHG 所以截面的形状为四边形边形EFHG .故选：B.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22EF =，则三棱锥A BEF -的体积为（）A ．112B ．14C ．212D ．不确定【答案】A【解析】由题可知，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则11//B D 平面ABCD ，又E ，F 在线段11B D 上运动，∴//EF 平面ABCD ，∴点B 到直线11B D 的距离不变，由正方体的性质可知1BB ⊥平面1111D C B A ，则1BB EF ⊥，而22EF =，1=1BB ，故BEF 的面积为1221=224⨯⨯，又由正方体可知，AC BD ⊥，1AC BB ⊥，且1BD BB B ⋂=，AC ∴⊥平面11BB D D ，则AC ⊥平面BEF ，设AC 与BD 交于点O ，则AO ⊥平面BEF ，点A 到平面BEF 的距离为22AO =，122134212A BEF V -∴=⨯⨯=.故选：A.5．如图.AB 是圆的直径，PA AC ⊥，PA BC ⊥，C 是圆上一点(不同于A ，B )，且PA AC =，则二面角P BC A --的平面角为（）A ．PAC ∠B ．CPA ∠C ．PCA ∠D ．CAB∠【答案】C【解析】∵C 是圆上一点(不同于A ，B )，AB 是圆的直径，∴AC BC ⊥，PA BC ⊥，AC PA A ⋂=，即BC ⊥面PAC ，而PC ⊂面PAC ，∴BC PC ⊥，又面ABC 面PBC BC =，PC AC C ⋂=，∴由二面角的定义：PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.故选：C6．如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB ⊥BC ，D 在线段PC 上，AD ⊥PC ．将△PAD 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDCC ．PD ⊥ACD ．PB ＝2AN【答案】A 【解析】图1中AD ⊥PC ，则图2中PD ⊥AD ，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PD ⊥平面ABCD ，则PD ⊥AC ，故选项C 正确；由PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDC ，得平面PDC ⊥平面ABCD ，而平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PDC ，故选项B 正确；∵AB ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴AB ⊥平面PAD ，则AB ⊥PA ，即△PAB 是以PB 为斜边的直角三角形，而N 为PB 的中点，则PB ＝2AN ，故选项D 正确．由于BC ⊥平面PDC ，又BC ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面PDC若平面PAB ⊥平面PBC ，则平面PAB 与平面PDC 的交线⊥平面PBC由于//AB 平面PDC ，则平面PAB 与平面PDC 的交线//AB显然AB 不与平面PBC 垂直，故A 错误故选：A7．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断：①存在点F 使得1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关；④三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【答案】D 【解析】对于①，假设存在F 使得1AC ⊥平面1B EF ，则1AC ⊥1B E ，又BC ⊥1B E ，BC ∩1AC ＝C ，∴1B E ⊥平面1A BC ，则1B E ⊥1A B ，这与1A B ⊥1AB 矛盾，所以①错误；对于②，因为平面1B EF 与平面1111D C B A 相交，设交线为l ，则在平面1111D C B A 内与l 平行的直线平行于平面1B EF ，故②正确；对于③，以D 点为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立空间坐标系，则平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m = 而平面1B EF 的法向量n ，随着F 位置变化，故平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置有关，故③错误；对于④，三棱锥1B B EF -的体积即为三棱锥1F BB E -，因为1DD ∥平面11ABB A ，所以，当F 在线段1DD 上移动时，F 到平面11ABB A 的距离不变，故三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关，即④正确．故选：D ．8．已知正三棱锥A BCF -和正四棱锥A BCDE -的所有棱长均为2，如图将三棱锥A BCF -的一个面和正四棱锥A BCDE -的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体说法不正确的是（）A ．//AF CDB ．AF D E ⊥C ．新几何体为三棱柱D ．正四棱锥A BCDE -的内切球半径为22-【答案】D 【解析】取BC 的中点M ，DE 的中点N ，连AM 、FM 、MN 、AN ，如图：因为正三棱锥A BCF -和正四棱锥A BCDE -的所有棱长都为2，所以BC FM ⊥，BC AM ⊥，AN DE ⊥，又FM AM M = ，所以BC ⊥平面AMF ，因为//BC DE ，所以BC AN ⊥，因为AM AN A = ，所以BC ⊥平面AMN ，所以平面AMF 与平面AMN 重合，因为2AF MN ==，3FM AN ==，所以四边形AFMN 为平行四边形，所以//AF MN ，又//MN CD ，所以//AF CD ，故A 正确；因为CD DE ⊥，所以AF D E ⊥，故B 正确；因为//AF CD ，AF CD =，所以四边形AFCD 为平行四边形，同理得四边形AFBE 也为平行四边形，所以CF //AD ，因为CF ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以//CF 平面ADE ，同理得//BF 平面ADE ，因为CF BF F = ，所以平面//BCF 平面ADE ，又////AF CD BE ，根据棱柱的定义可得该新几何体为三棱柱，故C 正确；设正四棱锥A BCDE -的内切球半径为R ，因为正四棱锥A BCDE -的高为222(2)2-=，由22211322(422)334R ⨯⨯=⨯⨯+得622R -=，故D 不正确.故选：D.二、多选题9．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论中正确的是（）A ．三棱锥11A PB D -的体积不变B ．//DP 平面11AB D C ．11A P BD ⊥D ．平面1ACP ⊥平面PBD 【答案】ABD【解析】对于A ，11AB D 的面积是定值，11//AD BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，∴1//BC 平面11AB D ，故P 到平面11AB D 的距离为定值，∴三棱锥11P AB D -的体积是定值，即三棱锥11A PB D -的体积不变，故A 正确；对于B ，111111111/,,///,AD BC B D BD AD B D D BC BD B ⋂=⋂= ，∴平面11//AB D 平面1BDC ，DP ⊂ 平面1BDC ，//DP ∴平面11AB D ，故B 正确；对于C ，以1D 为原点，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 在1BC 上，故可设(,2,),02P a a a ，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,0,0)A B D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)BD =--- ，则()1122424A P BD a a a ⋅=----=- 不一定为0，1A P ∴和1BD 不垂直，故C 错误；对于D ，设(,2,),02P a a a，则11(2,0,0),(0,2,2),(2,2,2),(0,0,0),(0,0,2)A C B D D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)A C =- ，(,2,2)DP a a =- ，(2,2,0)DB =，设平面平面1ACP 的法向量(,,)n x y z =，则11(2)202220n A P a x y az n A C x y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得221,,22a a n a a -⎛⎫= ⎪--⎝⎭ ，设平面PBD 的法向量(,,)m a b c = ，则20220m DP ax y az m DB x y ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-- ，221022a a m n a a-⋅=--=-- .∴平面1ACP 和平面PBD 垂直，故D 正确.故选：ABD.10．如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1AP DC ⋅u u u r u u u u r 不是定值C ．三棱锥11BD PC -的体积为定值D ．11DC D P⊥【答案】ACD 【解析】A.因为是正方体，所以11D A ⊥平面1A AP ，11D A ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确；B.11111111()AP DC AA A P DC AA DC A P DC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 11112cos 45cos 901212AA DC A P DC =+=⨯⨯= ，故11AP DC ⋅= ，故B 不正确；C.1111B D PC P B D C V V --=，11B D C 的面积是定值，1//A B 平面11B D C ，点P 在线段1A B 上的动点，所以点P 到平面11B D C 的距离是定值，所以1111B D PC P B D C V V --=是定值，故C 正确；D.111DC A D ⊥，11DC A B ⊥，1111A D A B A = ，所以1DC ⊥平面11A D P ，1D P ⊂平面11A D P ，所以11DC D P ⊥，故D 正确.故选：ACD11．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取30θ=︒，侧棱长为21米，则（）A ．正四棱锥的底面边长为6米B ．正四棱锥的底面边长为3米C ．正四棱锥的侧面积为243平方米D ．正四棱锥的侧面积为123平方米【答案】AC 【解析】如图，在正四棱锥S ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为AB 的中点，则SH AB ⊥，设底面边长为2a ．因为30SHO ∠=︒，所以323,,33OH AH a OS a SH a ====．在Rt SAH 中，2223213a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3a =，底面边长为6米，162342432S =⨯⨯⨯=平方米．故选：AC.12．正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为4，已知1AC ⊥平面α，1AC β⊂，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（）A ．α截得的截面形状可能为正三角形B ．1AA 与截面α所成角的余弦值为63C ．α截得的截面形状可能为正六边形D ．β截得的截面形状可能为正方形【答案】ABC【解析】如图因为正方体1111ABCD A B C D -∴AC BD ⊥，1BD CC ⊥，又∵1AC CC C = ∴BD ⊥平面11ACC A 又∵1AC ⊂平面11ACC A ∴1AC BD⊥同理：11AC A D⊥又∵1A D BD D⋂=∴1AC ⊥平面1A BD∴平面α可以是平面1A BD ，又因为11A D BD A B ==∴1A BD 为等边三角形，故A 正确取111111,,,,,A D D D CD CB BB A B 的中点,,,,,E G P K H F 并依次连接易知11=2EG A D ∥，因为EG ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ∴=EG ∥平面1A BD同理：GP 平面1A BD又因为EG GP G = 且EG ⊂平面EGPKHF ，GP ⊂平面EGPKHF∴平面EGPKHF ∥平面1A BD∴平面α可以是平面EGPKHF∵=EG GP PK KH HF FE====∴六边形EGPKHF 是正六边形，故C 正确以平面α是平面1A BD 为例计算：设A 到平面1A BD 的距离为h 等体积法求距离∵11A A BD A ABD V V --=，∴111133A BD ABD h S AA S ⋅⋅=⋅⋅ 又因为113=4242=8322A BD S ⨯⨯⨯ ，1=44=82ABD S ⨯⨯ ∴43=3h 则1AA 与平面1A BD 所成角的正弦值为13=3h AA ∴余弦值等于63，故B 正确对于D 选项：由于直线1AC β⊂，在正方体上任取点但异于1,A C ，与1,A C 可构成平面β，但是截面的形状都不是正方形，故D 错误故选：ABC三、填空题13．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C上运动，给出下列结论：①异面直线AP 与1DD 所成的角范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②平面1PBD ⊥平面11AC D ；③点P 到平面11AC D 的距离为定值233；④存在一点P ，使得直线AP 与平面11BCC B 所成的角为π3.其中正确的结论是___________.【答案】②③【解析】对于①，当P 在C 点时，1DD AC ⊥，异面直线AC 与1DD 所成的角最大为π2，当P 在1B 点时，异面直线1AB 与1DD 所成的角最小为1π4D DC =∠，所以异面直线AP 与1DD 所成的角的范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故①错误；对于②，如图，因为1111111111111,,,,AC B D AC B B B D B B B D B B ⊥⊥⊂ 平面1BB D ,所以111A C BD ⊥,同理11DC BD ⊥,又因为1111111,,AC DC C AC DC =⊂ 平面11DA C ,所以1BD ⊥平面11AC D ，所以平面1PBD ⊥平面11AC D ，故②正确；对于③，因为11//,B C A D 1B C ⊄平面11AC D ,1A D ⊂平面11ACD ,所以1//B C 平面11AC D ，所以点P 到平面11AC D 的距离为定值，且等于1BD 的13，即233，故③正确；对于④，直线AP 与平面11BCC B 所成的角为APB ∠，tan AB APB BP ∠=，当1BP B C ⊥时，BP 最小，tan APB ∠最大，最大值为π2tan 3<，故④不正确，故答案为：②③.14．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，123AA =.若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为___________.【答案】2.【解析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,M m n ，则()()()14,0,0,0,4,0,4,4,23A C B ，()(),0,,4,4,CM m n AM m n ∴==- ，又AM MC ⊥，得2240,AM CM m m n ⋅=-+= 即()2224m n -+=；又11A B ⊥平面11BCC B ，11A MB ∴∠为1A M 与平面11BCC B 所成角，令[]22cos ,2sin ,0,m n θθθπ=+=∈，()()()()1111221224tan 423442cos 22sin 232016sin 6A B A MB B Mm n πθθθ∴∠==-+-==⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭∴当3πθ=时，11tan A MB ∠最大，即1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为2.故答案为：215．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．【答案】402π【解析】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB 所成角的正弦值为158，因为SAB △的面积为515，设母线长为,l 所以221155158028l l ⨯⨯=∴=，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为π2cos,42l l =因此圆锥的侧面积为22ππ402π.2rl l ==16．如图，把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离为a ，则异面直线AC 与BD 的距离为______．【答案】2a ##12a ##0.5a 【解析】分别取AC 、BD 的中点S 、E ，连接AE 、CE 、SB 、SD 、SE .AE BD CE BD ⊥⊥，，又AE CE E =I ，则BD ⊥平面ACE ，则SE BD⊥AC SD AC SB ⊥⊥，，又SD SB S ⋂=，则AC ⊥平面SBD ，则SE AC ⊥则SE 是异面直线AC 与BD 的公垂线段△SBD 中，32SB SD a ==，2BD a =，则22321222SE a a a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则异面直线AC 与BD 的距离为2a 故答案为：2a 四、解答题17．如图长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA=，点E 为1DD 的中点.（1）求证：1//BD 平面ACE ；（2）求证：1EB ⊥平面ACE ；（3）求二面角1--A CE C 的余弦值.【解析】（1）连接BD 交AC 与点O ，连接OE四边形ABCD 为正方形，∴点O 为BD 的中点又点E 为1DD 的中点，∴1//OE BD OE ⊂ 平面ACE ，1BD ⊄平面ACE1//BD ∴平面ACE（2）连接11, B O AB 由勾股定理可知222121132EB ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，222111322222B O ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221162222OE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则22211B O OE EB =+1EB OE∴⊥同理可证22211B E AE AB +=，1EB AE ∴⊥,,AE OE E AE OE ⋂=⊂平面ACE1EB ∴⊥平面ACE（3）建立如下图所示的空间直角坐标系11(1,0,0),(0,1,0)(0,0,1)(0,1,2),(1,1,,,2)A C E C B 显然平面1CC E 的法向量即为平面yDz 的法向量，不妨设为(1,0,0)m = 由（2）可知1EB ⊥平面ACE ，即平面ACE 的法向量为1(1,1,1)n EB == 3cos ,||3m n m n m n ⋅==⋅ 又二面角1--A CE C 是钝角∴二面角1--A CE C 的余弦值为33-18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △是等腰直角三角形，90DPA ∠=︒，底面ABCD 是直角梯形，其中AB AD ⊥，2AD =，3AB =，1BC =，3PB =，（1）证明：PC ⊥平面PAD ；（2）求二面角D PB C --的正切值．【解析】（1）取AD 中点O ，连接,CO PO ，因为PAD △为等腰直角三角形，且90DPA ∠=︒，所以PO AD ⊥且112PO AO DO AD ====，因为//AD BC ，所以BC PO ⊥，又因为//,1BC AO BC AO ==，且AB AD ⊥，所以四边形BCOA 为矩形，所以BC OC ⊥，且OC OP O = ，所以BC ⊥平面POC ，所以BC PC ⊥，所以AD PC⊥则222PC PB BC =-=，222PD PO DO =+=，222CD CO DO =+=，所以2224PC PD CD +==，所以PC PD ⊥，又因为AD PC ⊥且PD AD D ⋂=，所以PC ⊥平面PAD ；（2）记DB CO E = ，取PC 中点F ，连接EF ，过点F 作FG PB ⊥交PB 于G 点，连接EG ，BO ，因为//,1DO BC DO BC ==，所以四边形DOBC 是平行四边形，所以E 为CO 中点，又因为F 为PC 中点，所以11//,22EF PO EF PO ==，因为PC ⊥平面PAD ，所以PC PO ⊥，又因为PO AD ⊥，所以PO BC ⊥且PC BC C ⋂=，所以PO ⊥平面PBC ，所以EF ⊥平面PBC ，所以EF PB ⊥，又因为FG PB ⊥，且FG EF F = ，所以PB ⊥平面EFG ，所以PB EG ⊥，所以二面角D PB C --的平面角为EGF ∠，因为sin BC FG CPB PB PF ∠==，所以1=322FG ，所以66FG =，又因为EF FG ⊥，所以166tan 226EF EGF FG ∠==⨯=.19．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，AN ⊥PM ，垂足为N ,AE ⊥PB ，垂足为E .（1）求证：平面PAM ⊥平面PBM .（2）求证：AEN ∠是二面角A-PB-M 的平面角.【解析】（1）因为PA 垂直于圆O 所在的平面，所以PA BM ⊥，又AMB ∠为直径所对的圆周角，所以BM AM ⊥，而PA AM A = ，故BM ⊥面PAM ，而BM ⊂面PBM ，所以平面PAM ⊥平面PBM .（2）由（1）知，BM ⊥面PAM ，所以BM AN ⊥，而AN PM ⊥，所以AN ⊥面PMB ，即有AN PB ⊥，又AE PB ⊥，所以PB ⊥面AEN ，由此可得PB EN ⊥，而AE PB ⊥，根据二面角的定义可知，AEN ∠是二面角A-PB-M 的平面角．20．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 为长方形，11AA=，2AB BC ==，120ABC ∠= ，AM CM =.(1)求证：平面11AA C C ⊥平面1C MB ；(2)求直线1A B 和平面1C MB 所成角的正弦值；(3)在线段1A B 上是否存在一点T ，使得点T 到直线1MC 的距离是133，若存在求1AT 的长，不存在说明理由.【解析】(1)由于,AB BC AM CM ==，所以BM AC ⊥，根据直三棱柱的性质可知1BM AA ⊥，由于1AC AA A =∩，所以BM ⊥平面11AAC C ，由于BM ⊂平面1C MB ，所以平面11AA C C ⊥平面1C MB .(2)设N 是11A C 的中点，连接MN ，则1//MN AA ，MA ，MB ，MN ，两两相互垂直.以M为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，11(3,0,1),(0,1,0),(3,0,1)A B C -，1(3,1,1)A B =-- ，设平面1C MB 的法向量为(,,)n x y z = ，则1030n MB y n MC x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，可得(1,0,3)n = ，设直线1A B 和平面1C MB 所成角为θ，则112315sin 525||n A B n A B θ⋅===⋅⋅ ；(3)设11(3,,)((0,1))AT A B λλλλλ==--∈ ，则(33,,1)MT λλλ=-- ，过T 作1TH MC H ⊥=，则|1|MH λ=-，∵222d MH MT +=，∴222213(1)(33)(1)9λλλλ+-=-++-，∴2182770λλ-+=，∴13λ=或76λ=（舍）∴153AT =.21．如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 的中点．将ABD △沿BD 折起，使AB AC ⊥，连接AE 、AC 、DE ，得到三棱锥A BCD -．(1)求证：平面ABD ⊥平面BCD ；(2)若1AD =，二面角B AD E --的大小为60°，求三棱锥A BCD -的体积．【解析】(1)AB AC ⊥，AB AD ⊥，AC AD A = ，故AB ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，故AB CD ⊥，BD DC ⊥，AB BD B = ，故CD ⊥平面ABD ，CD ⊂平面BCD ，故平面ABD ⊥平面BCD .(2)如图所示：,F G 分别为,BD AD 的中点，连接,,EF FG GE ，,E F 分别为,BC BD 中点，故EF CD ∥，CD ⊥平面ABD ，故EF ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，故AD EF ⊥.,G F 分别为,AD BD 中点，故FG AB P ，AB AD ⊥，故FG AD ⊥，EF FG E ⋂=，故AD ⊥平面EFG ，故EGF ∠为二面角B AD E --的平面角，即60EGF ∠=︒，设FG a =，则2AB a =，3EF a =，2GE a =，23CD a =，241BD a =+，2161BC a =+，根据BCD △的等面积法：2223412161a a a a ⨯+=⨯+，解得22a =.11132163263A BCD V AB AD CD -⎛⎫=⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.22．在多面体ABCDEF 中，正方形ABCD 和矩形BDEF 互相垂直，G 、H 分别是DE 和BC 的中点，2AB BF ==．（1）求证：ED ⊥平面ABCD ．（2）在BC 边所在的直线上存在一点P ，使得//FP 平面AGH ，求FP 的长；【解析】（1）因为四边形BDEF 为矩形，则ED BD ⊥，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =，ED ⊂平面BDEF ，所以，ED ⊥平面ABCD ；（2）因为ED ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()2,0,0A 、()0,0,1G 、()1,2,0H 、()2,2,2F ，设点(),2,0P a ，()2,0,2FP a =-- ，()2,0,1AG =- ，()1,2,0AH =- ，设平面AGH 的法向量为(),,n x y z = ，由2020n AG x z n AH x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩ ，令2x =，可得()2,1,4n = ，要使得//FP 平面AGH ，则FP n ⊥ ，所以，()2280FP n a ⋅=--= ，解得6a =，则()4,0,2FP =- ，此时，()22240225FP =++-= .。
§8.4 直线、平面垂直的判定与性质(讲解部分)
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考向二 面面垂直的判定与性质 例2 如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD= 90°,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在 四面体中,下列说法正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC C.平面ABC⊥平面BCD
答案 D
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方法技巧
方法1 证明线线垂直的方法
1.线线垂直的定义(计算两直线所成的角大小为90°). 2.利用平面几何中证明线线垂直的方法:①特殊图形中的垂直关系;②等腰 三角形底边中线的性质;③勾股定理的逆定理;④圆周角定理的推论等. 3.线面垂直的性质(详见考点清单). 4.三垂线定理及其逆定理.
直线l和平面α
l⊂α
l⊥α
的位置关系
或l∥α
l和α 斜交
θ的取值范围
θ=0°
θ=90°
0°<θ<90°
4.二面角
(1)二面角的定义:由两个半平面和一条公共交线所组成的空间图形叫做二
面角.公共交线叫做该二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.
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(2)二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条 射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.若记此角为θ,当θ=90° 时,二面角叫做直二面角.
如果两个相交平面同时垂直于第三个平 面,那么它们的交线垂直于第三个平面
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α α
β β
a
⇒l⊥α
lβ
l a
α β l⇒l⊥γ
αγ
β γ
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3.直线与平面所成的角 (1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影 所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是直角;当一条直线和平 面平行或在平面内时,规定它们所成的角大小为0°. (3)直线l与平面α所成角θ的取值范围
数学直线、平面垂直的判定及性质讲义
数学课程讲义 学科：数学专题：直线平面垂直的判定及性质考点梳理1.直线与平面垂直的定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α.直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.（线线垂直→线面垂直）3.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒ a ∥b （线面垂直→线线平行）4.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.lα m npαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l m l m 内任一直线是平面ααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.金题精讲题一题面：用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④题二题面：设a 、b 、c 表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )．A. ⎭⎪⎬⎪⎫c ⊥αα∥β⇒c ⊥β B.⎭⎪⎬⎪⎫b ⊂β，a ⊥b c 是a 在β内的射影⇒b ⊥c C. ⎭⎪⎬⎪⎫b ∥c b ⊂αc ⊄α⇒c ∥αD. ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥αPA O aα题三题面：如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．题四题面：如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.题五题面：如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,（1）求证：BD1⊥平面B1AC;（2）求B到平面B1AC的距离.题六题面：如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O 为AC的中点，PO⊥平面ABCD.证明：AD⊥平面P AC.课后练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列正确命题的序号是.①若m∥α，n∥α，则m∥n，②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若m∥α，m∥β，则α∥β，④若m⊥α，n⊥α，则m∥n题二题面：如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=2a，则它的5个面中，互相垂直的面有对.题三题面：a、b表示直线，α、β、γ表示平面.①若α∩β=a,b⊂α,a⊥b，则α⊥β;②若a⊂α,a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ=a, β∩γ=b,则a⊥b;④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是.题四2AC，∠BDC=90°. 题面：四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，且EF=2求证：BD⊥平面ACD.题五题面：如图所示，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分别是AB、PC的中点.求证：MN⊥平面PCD.讲义参考答案金题精讲题一答案：C题二答案：D题三答案：4题四答案：略题五答案：（1）略（2）3a3题六答案：略课后练习题一答案：④详解：①如图：，直线m与n可以异面；②我们可以考虑墙角，两个平面都与第三个平面垂直，但这两个平面却相交；③如图：α，β是相交的；④是线面垂直的性质定理，正确。
直线、平面垂直的判定及其性质 课件
[通法在握] 判定直线和平面垂直的 4 种方法 (1)利用判定定理； (2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)； (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)； (4)利用面面垂直的性质． 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 一个平面．
考点二 面面垂直的判定与性质 [典例引领]
(2)如图，取 PA 的中点 M，连接 MD，ME． 因为 E 是 PB 的中点， 所以 ME 綊12AB．又因为 DF 綊12AB， 所以 ME 綊 DF，
所以四边形 MEFD 是平行四边形，所以 EF∥MD． 因为 PD＝AD，所以 MD⊥PA． 因为 AB⊥平面 PAD，所以 MD⊥AB． 因为 PA∩AB＝A，所以 MD⊥平面 PAB， 所以 EF⊥平面 PAB．
个平面垂直
图形语言
符号语言 ll__⊥⊂____αβ__⇒α⊥β
α_⊥__β_ αl__⊂∩____ββ__＝__a__⇒l⊥α l_⊥__a_
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容， 题型多为解答题，难度适中，属中档题．
常见的命题角度有 (1)证明直线与平面垂直； (2)利用线面垂直的性质证明线线垂直．
_a_，__b_⊂__α_
_a_∩__b_＝__O_
l_⊥__a_
⇒l⊥α
_l⊥__b_
性质 垂直于同一个平面 定理 的两条直线平__行__
ab__⊥⊥____αα__⇒a∥b
2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
一个平面过另一个 判定
平面的垂__线__，则这 定理
两个平面垂直
两个平面垂直，则 性质 一个平面内垂直于 定理 交__线__的直线与另一
直线、平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。
要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别。
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。
(3)若，则。
2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视。
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要。
知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。
过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直，直线在平面的射影是一条直线。
(2)直线与平面垂直射影是点。
(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角。
知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或。
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直线、平面垂直的判定及其性质（二）（讲义）
➢知识点睛
一、直线与平面垂直（线面垂直）
性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____________．
a
b
α
∵_________，b⊥α，
∴___________．
其他性质：
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；
如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面．
二、平面与平面垂直（面面垂直）
性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_____________的直线与另一个平面垂直．
α
a
l
β
∵α⊥β，α∩β=l，________，________，
∴a⊥β．
其他性质：
如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面；
如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它必垂直于另一个平面．
➢精讲精练
1.已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直
线l，m的位置关系是（）
A．平行B．异面C．相交D．垂直
2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是（）
A．m∥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β=m，n⊂α
C．m∥n，n⊥β，m⊂α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
3.若m，n，l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给出
下列命题：
①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β=m，m∥n，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β；
⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，
m⊥l，n ⊥
l．
其中正确命题的序号是________________．
4.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC 的长为（）
B
C
D
A
A B．
2
a C．
2
a D．a
5. 如图，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD
折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
A
B
D
D
C
B
A
①BD ⊥AC ；
②△BAC 是等边三角形； ③三棱锥D -ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC ． 其中正确的是（ ） A ．①②④
B ．①②③
C ．②③④
D ．①③④
6. 如图，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC
上的射影H 必在（ ）
B 1
C 1
A 1
A
B
A ．直线A
B 上 B ．直线B
C 上 C ．直线AC 上
D ．△ABC 内部
7. 已知直二面角α-l -β，点A ∈α，AC ⊥l ，垂足为点C ，点B ∈β，BD ⊥l ，垂足
为点D ，若AB =2，AC =BD =1，则CD 的长为 （ ）
βB l α
A C D
A ．2
B ．3
C
D ．1
8.如图，α⊥β，α∩β=AB，CD⊂β，CD⊥AB，CE，EF⊂α，
∠FEC=90°，求证：平面EFD⊥平面DCE．
F
E D
C B
A
β
α
9.如图，已知四边形ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC
的中点．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）若P A=AD，求证：MN⊥平面PCD．
N
D C
B
A
P
10. 如图，已知SD ⊥正方形ABCD ，DE ⊥SA 于点E ，EF ⊥SB 于点F ． （1）求证：DF ⊥SB ；
（2）平面DEFG 交SC 于点G ，求证：DG ⊥平面SBC ．
G
F
E
C
B
A
D S
【参考答案】
➢ 知识点睛
一、直线与平面垂直（线面垂直）
平行，a a b ⊥，
∥ 二、平面与平面垂直（面面垂直） 垂直于交线，a ⊂α，a ⊥l
➢ 精讲精练 1. A 2. C
3. ②④⑤
4. D
5. B
6. A
7. C
8. 证明略 9. 证明略 10. 证明略。