圆与圆的位置关系2ppt
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《圆与圆位置关系》课件
《圆与圆位置关系》ppt课件
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
2-5-2圆与圆的位置关系 课件(共48张PPT)
∴b1＝0，b2＝－4，b3＝－52.
∴k1＝43，k2＝0，k3＝－34.
∴公切线方程为 4x－3y＝0 或 y＝－4 或 3x＋4y＋10＝0. 又两圆外离，公切线有 4 条． ∴另一条切线斜率不存在，据题知其方程为 x＝0.
探究 3 (1)与两个圆都相切的直线叫作两圆的公切线，两圆 的公切线包括外公切线和内公切线两种．
课时学案
题型一 两圆位置关系的判断
例 1 已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋(m2－5)＝0 与圆 C2： x2＋y2＋2x－2my＋(m2－3)＝0，则 m 为何值时：
(1)两圆外离；(2)两圆外切；(3)两圆相交；(4)两圆内含． 【思路分析】 根据圆与圆的位置关系来判定．
【解析】 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. (1)若两圆外离，则 （m＋1）2＋（m＋2）2>3＋2， (m＋1)2＋(m＋2)2>25，m2＋3m－10>0， 解得 m<－5 或 m>2. (2)若两圆外切，则 （m＋1）2＋（m＋2）2＝3＋2， (m＋1)2＋(m＋2)2＝25，m2＋3m－10＝0， 解得 m＝－5 或 m＝2.
(3)过点 M(2，4)向圆 C：(x－1)2＋(y＋3)2＝1 引两条切线， 切点为 P，Q，求 P，Q 所在的直线方程．
【思路分析】 画出如图所示的示意图，根据对称性知 P，Q 在以 M 点为圆心，MP 为半径的圆上．线段 PQ 为两圆的公共弦， 两圆方程相减即得公共弦所在直线方程．
【解析】 如图，连接 MC，PC.因为 P 为切点，故有 CP2 ＋PM2＝CM2，解得 PM＝7，易知 P，Q 在以 M 点为圆心，MP 为半径的圆上，圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝49，即 x2＋y2－4x －8y－29＝0.①
圆与圆的位置关系ppt课件
C1
r1 C2
r2
内含
C1 rC12r2
内切
r C2
r1 C1
新知讲解
注意： 1.当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情 况(重合时两个圆被看成一个圆). 2.如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的 连心线.两个圆心之间的线段长叫作圆心距. 思考：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置 关系有何对应关系？
（2）将圆 <m>C1</m>和圆 <m>C2</m>的方程相减，得 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <4m>x + 3y − 23 = 0</m>， 圆心 <m>C2 5,6 </m>到直线 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>的距离为 <m>20+1168+−923 = 3</m>， 故公共弦长为 <m>2 16 − 9 = 2 7</m>.
r1 r2 2 1,r1 r2 2 1.
r1 r2 <d <r1 r2.
∴圆C1与圆C2相交.
思考:还有其他方法判断吗？
新知讲解
例1:画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系.
解法二:联立方程组
x2 y2 2x 0
x2
y2
2
y
1
① ②
2
2 1
2.5.2圆与圆位置关系 课件(共18张PPT)
2.5.2圆与圆的位置
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
高中数学课件- 圆与圆的位置关系 (2)
y
M (x0 , y0 )
O
x
y
y0
x0(x y0
x0),
因为点 M在圆上,所以 x2 y 2 r 2, 00
所求的切线方程是
当点M在坐标轴上时， 可以验证，上面方程
x x y y r 2. 00
同样适用.
小结：
过圆 x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为：
x0x+y0y=r2
练习: 写出过圆x2+y2=10上一点M(2, 6) 的切线的方程. 2x+ 6 y=10
解:设过点(-2,4)的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即 kx-y+2k+4=0 ①
由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径,得
k-0+2k+4
=3 解得: k=-7
K2+1 代入①得- 7
x-y-2×7
+4=0
即
24 7x+24y-82=0
24
24
又圆心到直线x=-2的距离等于半径3,
所以x=-2也是圆的方程 因此,所求圆的切线方程为x=-2, 7x+24y-82=0.
y
(-2,4)
0 (1,0)
x
注:过圆外一点的切线有两条,若求的一个k值,则 过已知点垂直x轴的直线也是所求的切线.
例3 : 求过点A(2, 4)作曲线y 4 x2的
切线，求切线方程。
y
A(2, 4)
解：设所求圆的切线方程为 :
y 4 k(x 2)
o
x
圆心0, 0, r 2, kx y 4 2k 0
1
R
Or
2
内切 O1O2=R-r
说课圆与圆的位置关系课件
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相离的条件和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心距，得出两 圆相离的条件是圆心距大于两圆半径之和或差。然后， 根据相离的定义，我们可以得出两圆相离的性质，如离 点的性质、离点与圆心连线与连心线夹角相等等。
内含关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明一个圆内含于另一个圆的情况。
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相交的条件 和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心 距，得出两圆相交的条件是圆心距小于两圆 半径之和且大于两圆半径之差。然后，根据 相交的定义，我们可以得出两圆相交的性质 ，如交点的性质、交点与圆心连线与连心线
夹角相等、交弦的性质等。
相离关系的证明
详细描述
首先，我们可以通过比较一个圆的半径和另一个圆的半径及圆心距，得出一个圆内含于 另一个圆的条件是该圆的半径小于另一个圆的半径且该圆的圆心到另一个圆的圆心的距 离也小于另一个圆的半径。然后，根据内含的定义，我们可以得出内含的性质，如内含
的点和线段的性质等。
重合关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明两个圆完全重合的情况。
分类
根据两圆交点的个数，可以将两 圆的位置关系细分为外离、内含 、外切、内切、相交五种。
判定方法
代数法
通过比较两圆的圆心距与两圆半径之 和或差的关系，来判断两圆的位置关 系。
几何法
通过观察两圆的交点个数或两圆是否 相切，来判断两圆的位置关系。
性质研究
两圆相交时，连心线 垂直平分两圆的公共 弦。
两圆相离时，连心线 与两圆的距离相等。
提高习题解析
总结词
应用知识解决实际问题
初中数学九年级《圆与圆的位置关系》-完整版PPT课件
圆 系
关 置
与 圆
的 位
2008 新北京新奥运
认真观察 观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另 一个圆的外部时,叫两圆外离
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外, 每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两 圆外切
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一个 圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心 距O1O2分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）０cm （２）８ cm
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在另一 个圆的内部时,叫两圆内含
圆心距：两圆心之间的距离
外离
外切
相交
内切
内含同心圆
圆
外离
与
相离
圆 的
内含
位
外切
置
相切
关
系
内切
相交
两圆位置关系的性质与判定:
演示
0
两圆外离
位置关系
R―r
性质
d 和R、 r关系
Rr
d >R+ r
两圆外切
d =R+ r
两圆相交
判断： 1 两圆无公共点，两圆一定外离 （ ）
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心距O1O2 分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）2cm （２）4 cm 3 6 cm
判断： 2 当两圆圆心距大于半径之差 时，两圆相交（ ）
判断: 3 已知两圆相切R=7, r=2则圆心距等于9 （ ）
同 心 圆 两圆内切 内
含;R+ r
关 置
与 圆
的 位
2008 新北京新奥运
认真观察 观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另 一个圆的外部时,叫两圆外离
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外, 每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两 圆外切
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一个 圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心 距O1O2分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）０cm （２）８ cm
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在另一 个圆的内部时,叫两圆内含
圆心距：两圆心之间的距离
外离
外切
相交
内切
内含同心圆
圆
外离
与
相离
圆 的
内含
位
外切
置
相切
关
系
内切
相交
两圆位置关系的性质与判定:
演示
0
两圆外离
位置关系
R―r
性质
d 和R、 r关系
Rr
d >R+ r
两圆外切
d =R+ r
两圆相交
判断： 1 两圆无公共点，两圆一定外离 （ ）
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心距O1O2 分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）2cm （２）4 cm 3 6 cm
判断： 2 当两圆圆心距大于半径之差 时，两圆相交（ ）
判断: 3 已知两圆相切R=7, r=2则圆心距等于9 （ ）
同 心 圆 两圆内切 内
含;R+ r
2.5.2圆与圆的位置关系ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
关系
d>r1＋r2
外离
_________
外切
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d<r1＋r2
相交
_____________________
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
内切
_______________________
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
__________________________
M 3， − 3 的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径为1.设所
求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
−1
由题意可得
+ 3
×
−3
+ 3
2
2
−
+ 2 ＝ + 1，
3
3
＝，
＝0，
＝4，
＝ − 1， 解得ቐ＝0，或ቐ＝ − 4 3，
＝(
)
A．21
B．19
C．9
D．－11
C
解析：圆C2 的方程可化为(x－3)2 ＋(y－4)2 ＝25－m，圆心为
(3 ， 4) ， 半 径 为 25 − ， 依 题 意 ，
25 − ，解得m＝9.故选C.
3−0
2
+ 4 − 0 2 ＝1 +
问题式预习
2.5.2 圆与圆的位置关系
任务型课堂
课后素养评价
所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
所以|C1C2|＝
− 2
2
+ 1 − 1 2 ＝a.
2.5.2 圆与圆的位置关系
d>r1＋r2
外离
_________
外切
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d<r1＋r2
相交
_____________________
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
内切
_______________________
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
__________________________
M 3， − 3 的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径为1.设所
求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
−1
由题意可得
+ 3
×
−3
+ 3
2
2
−
+ 2 ＝ + 1，
3
3
＝，
＝0，
＝4，
＝ − 1， 解得ቐ＝0，或ቐ＝ − 4 3，
＝(
)
A．21
B．19
C．9
D．－11
C
解析：圆C2 的方程可化为(x－3)2 ＋(y－4)2 ＝25－m，圆心为
(3 ， 4) ， 半 径 为 25 − ， 依 题 意 ，
25 − ，解得m＝9.故选C.
3−0
2
+ 4 − 0 2 ＝1 +
问题式预习
2.5.2 圆与圆的位置关系
任务型课堂
课后素养评价
所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
所以|C1C2|＝
− 2
2
+ 1 − 1 2 ＝a.
2.5.2 圆与圆的位置关系
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你能解释日食是怎样形成的吗？
源于生活的数学
C D A B
圆
和 的
圆 系 圆和圆的位置关系 关
置 位
教学目标
知识技能 １．探索并了解圆和圆的位置关系． ２．探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系． 3．能够利用圆和圆的位置关系和数量关系解题． 数学思考 １．学生经历操作、探究、归纳、总结圆和圆的位置关系的过程，培养 学生逻辑思维能力． 2．学生经历探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量 关系的过程，培养学生运用数学语言表述问题的能力． 解决问题 1．学生在探索圆和圆的位置关系和数量关系的过程中，学会运用数形 结合的思想解决问题． 2．学生通过运用圆和圆的位置关系的性质与判定解题，提高运用知识 和技能解决问题的能力，发展应用意识． 情感态度 学生经过操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索两圆位置 关系的过程中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义 观点，感受数学中的美感．
相 离
相 切
相 交
圆心距：两圆心之间的距离
做一做
请你根据自己画出的圆和圆的 位置关系的图形，猜测出两圆的圆 心距与两圆半径之间的数量关系， 利用刻度尺进行测量，验证你的猜 想．
精彩源于发现
外离
o1 R d
r o2
d>R+r
外切
o1
T
R d r
o2
d=R+r
内切
o2 o1
T
r R
d
d=R-r (R>r)
（2）你能否根据两圆公共点的个数类比直线和 圆的位置关系，给出两圆位置关系的定义？
认真观察
观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另一个
圆的外部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,每个
圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交.
自我评价，记录成长
认真填一填 位置 外离 关系
图 形
外切
相交
内切
内含
性质 及判 定
公共 点个 数 连心 线的 性质
d>R+r
d=R+r
R-r <d<R+r
d=R-r
d＜R-r
没有
一个
两个
一个
没有 连心线为
连心线为两圆 的对称轴
连心线经 过切点
连心线垂直 平分公共弦
连心线经 两圆的对 过切点
称轴
课堂小结
相交
o1
R
r
d
o2
R-r<d<R+r (R>r)
内含
同心圆
O1 O2
O
d r
R
d<R-r (R>r)
两圆位置关系的性质与判定:
位置关系
0
两圆外离 两圆外切
性质
内 判定 切
R―r
同 心 两圆内切 内 圆 两圆内含 含
两圆相交
位 d置 关 d =R+ r 1 系 R− r <d <R+ r 2 数 外 R− r =d 切 外1 字 相 r >d 离0 R− 交 化
(3)两圆相交
(2)两圆外切
(4习 两个圆的半径的比为2 : 3 ,内切时圆心距等于
8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值 范围是多少?
解 设大圆半径 R = 3x,小圆半径 r = 2x 依题意得： 3x-2x=8 x=8
∴ R=24 cm
∵ 两圆相交
回顾与反思
这节课我们主要研究学习了圆与 圆的位置关系，你有哪些收获?
作业
• • 教科书第110页习题6、7题 第111页习题13题
B
相交两圆的性质定理
我们知道，圆是轴对称图形，两个圆也是组成 一个轴对称图形，通过两圆圆心的直线(连心线)
是它们的对称轴.由此可知，如果两个圆相切，
那么切点一定在连心线上.
. T 0. 0 1 2
01
T
02
.
小结: 1)两圆的五种位置关系
2)用两圆的圆心距d与两圆的半径R,r的数量 关系来判别两圆的位置关系
1、圆和圆的五种位置关系. 2、圆心距与半径之间的数量关系是性质定理也是 判定定理. 3、相切两圆的连心线（经过两圆心的直线）必过 切点.可用来证明三点共线. 4、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.可用 来证明两线垂直或线段相等. 5、两种常用的添辅助线方法： 两圆相交添两圆的公共弦 两圆相切添两圆的公共切线
r=16cm
R-r<d<R+r
∴ 8cm<d<40cm
如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。 若以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？ 解：设⊙P的半径为R (1)若⊙O与⊙P外切， 则 OP=5+R =8 R=3 cm (2)若⊙O与⊙P内切， 则 OP=R-5=8， R=13 cm 所以⊙P的半径为3cm或13cm
d 和R、 r关系 交 点 R+r d >R+ r 0
课内练习
⊙01和⊙ 02 的半径分别为3cm 和 4 cm ,设 (1) 0102= 8cm (2) 0102 = 7cm (3) 0102 =5cm (4) 0102 = 1cm (5) 0102=0.5cm (6) 01和02重合 ⊙0和⊙02的位置关系怎样? 答: (1)两圆相离
教学重点:
探索并了解圆和圆的位置关系.
教学难点:
探索圆和圆的位置关系中圆心距和两 圆半径的数量关系.
下列图片是生活中圆与圆位置关系的图片， 你还能举出其他例子吗？
2北 京0 新 奥 8 0 运 新
做一做
在纸上画一个半径为3cm的☉O1，把一枚硬币当作 另一个圆☉O２ ，在纸上向圆移动这枚硬币 （1）根据观察，请你画出☉O1和☉O２的几种不 同位置关系的图形．
切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一
个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
外离
外切
相交
内切
内含(同心圆)
圆 圆 与 和 圆 圆 的 的 位 位 置 置 关 关 系 系
外离 内含 外切 内切 相交
没 有 公 共 点 一 个 公 共 点 两 个 公 共 点
(2)
相交两圆的性质定理
相交两圆的连心线垂直平分公共弦
已知：⊙O1和⊙O2相交于A、B（如图）
求证：O1O2是AB的垂直平分线 证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B
∵ O1A=O1B
A
O1 O2
∴ O1点在AB的垂直平分线上 ∵ O2A=O2B ∴ O2点在AB的垂直平分线上 ∴ O1O2是AB的垂直平分线
O
. .
P
课内练习
定圆0的半径是4cm,动圆P的半径是1cm, (1) 设⊙ P和⊙ O相外切,那么点P与点O的距离 是多少?点P可以在什么样的线上运动? (2) 设⊙ P 和 ⊙ O相内切,情况又怎样?
(1) 解:∵⊙ O和⊙P相外切 ∴OP＝ R + r ∴OP=5cm ∴ P点在以O点为圆心,以5cm 为半径的圆上运动 解: ∵⊙O和⊙P相内切 ∴ OP=R-r ∴OP=3cm ∴ P点在以O点为圆心,以3cm 为半径的圆上运动
源于生活的数学
C D A B
圆
和 的
圆 系 圆和圆的位置关系 关
置 位
教学目标
知识技能 １．探索并了解圆和圆的位置关系． ２．探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系． 3．能够利用圆和圆的位置关系和数量关系解题． 数学思考 １．学生经历操作、探究、归纳、总结圆和圆的位置关系的过程，培养 学生逻辑思维能力． 2．学生经历探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量 关系的过程，培养学生运用数学语言表述问题的能力． 解决问题 1．学生在探索圆和圆的位置关系和数量关系的过程中，学会运用数形 结合的思想解决问题． 2．学生通过运用圆和圆的位置关系的性质与判定解题，提高运用知识 和技能解决问题的能力，发展应用意识． 情感态度 学生经过操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索两圆位置 关系的过程中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义 观点，感受数学中的美感．
相 离
相 切
相 交
圆心距：两圆心之间的距离
做一做
请你根据自己画出的圆和圆的 位置关系的图形，猜测出两圆的圆 心距与两圆半径之间的数量关系， 利用刻度尺进行测量，验证你的猜 想．
精彩源于发现
外离
o1 R d
r o2
d>R+r
外切
o1
T
R d r
o2
d=R+r
内切
o2 o1
T
r R
d
d=R-r (R>r)
（2）你能否根据两圆公共点的个数类比直线和 圆的位置关系，给出两圆位置关系的定义？
认真观察
观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另一个
圆的外部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,每个
圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交.
自我评价，记录成长
认真填一填 位置 外离 关系
图 形
外切
相交
内切
内含
性质 及判 定
公共 点个 数 连心 线的 性质
d>R+r
d=R+r
R-r <d<R+r
d=R-r
d＜R-r
没有
一个
两个
一个
没有 连心线为
连心线为两圆 的对称轴
连心线经 过切点
连心线垂直 平分公共弦
连心线经 两圆的对 过切点
称轴
课堂小结
相交
o1
R
r
d
o2
R-r<d<R+r (R>r)
内含
同心圆
O1 O2
O
d r
R
d<R-r (R>r)
两圆位置关系的性质与判定:
位置关系
0
两圆外离 两圆外切
性质
内 判定 切
R―r
同 心 两圆内切 内 圆 两圆内含 含
两圆相交
位 d置 关 d =R+ r 1 系 R− r <d <R+ r 2 数 外 R− r =d 切 外1 字 相 r >d 离0 R− 交 化
(3)两圆相交
(2)两圆外切
(4习 两个圆的半径的比为2 : 3 ,内切时圆心距等于
8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值 范围是多少?
解 设大圆半径 R = 3x,小圆半径 r = 2x 依题意得： 3x-2x=8 x=8
∴ R=24 cm
∵ 两圆相交
回顾与反思
这节课我们主要研究学习了圆与 圆的位置关系，你有哪些收获?
作业
• • 教科书第110页习题6、7题 第111页习题13题
B
相交两圆的性质定理
我们知道，圆是轴对称图形，两个圆也是组成 一个轴对称图形，通过两圆圆心的直线(连心线)
是它们的对称轴.由此可知，如果两个圆相切，
那么切点一定在连心线上.
. T 0. 0 1 2
01
T
02
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小结: 1)两圆的五种位置关系
2)用两圆的圆心距d与两圆的半径R,r的数量 关系来判别两圆的位置关系
1、圆和圆的五种位置关系. 2、圆心距与半径之间的数量关系是性质定理也是 判定定理. 3、相切两圆的连心线（经过两圆心的直线）必过 切点.可用来证明三点共线. 4、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.可用 来证明两线垂直或线段相等. 5、两种常用的添辅助线方法： 两圆相交添两圆的公共弦 两圆相切添两圆的公共切线
r=16cm
R-r<d<R+r
∴ 8cm<d<40cm
如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。 若以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？ 解：设⊙P的半径为R (1)若⊙O与⊙P外切， 则 OP=5+R =8 R=3 cm (2)若⊙O与⊙P内切， 则 OP=R-5=8， R=13 cm 所以⊙P的半径为3cm或13cm
d 和R、 r关系 交 点 R+r d >R+ r 0
课内练习
⊙01和⊙ 02 的半径分别为3cm 和 4 cm ,设 (1) 0102= 8cm (2) 0102 = 7cm (3) 0102 =5cm (4) 0102 = 1cm (5) 0102=0.5cm (6) 01和02重合 ⊙0和⊙02的位置关系怎样? 答: (1)两圆相离
教学重点:
探索并了解圆和圆的位置关系.
教学难点:
探索圆和圆的位置关系中圆心距和两 圆半径的数量关系.
下列图片是生活中圆与圆位置关系的图片， 你还能举出其他例子吗？
2北 京0 新 奥 8 0 运 新
做一做
在纸上画一个半径为3cm的☉O1，把一枚硬币当作 另一个圆☉O２ ，在纸上向圆移动这枚硬币 （1）根据观察，请你画出☉O1和☉O２的几种不 同位置关系的图形．
切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一
个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
外离
外切
相交
内切
内含(同心圆)
圆 圆 与 和 圆 圆 的 的 位 位 置 置 关 关 系 系
外离 内含 外切 内切 相交
没 有 公 共 点 一 个 公 共 点 两 个 公 共 点
(2)
相交两圆的性质定理
相交两圆的连心线垂直平分公共弦
已知：⊙O1和⊙O2相交于A、B（如图）
求证：O1O2是AB的垂直平分线 证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B
∵ O1A=O1B
A
O1 O2
∴ O1点在AB的垂直平分线上 ∵ O2A=O2B ∴ O2点在AB的垂直平分线上 ∴ O1O2是AB的垂直平分线
O
. .
P
课内练习
定圆0的半径是4cm,动圆P的半径是1cm, (1) 设⊙ P和⊙ O相外切,那么点P与点O的距离 是多少?点P可以在什么样的线上运动? (2) 设⊙ P 和 ⊙ O相内切,情况又怎样?
(1) 解:∵⊙ O和⊙P相外切 ∴OP＝ R + r ∴OP=5cm ∴ P点在以O点为圆心,以5cm 为半径的圆上运动 解: ∵⊙O和⊙P相内切 ∴ OP=R-r ∴OP=3cm ∴ P点在以O点为圆心,以3cm 为半径的圆上运动