z变换的性质
06第六讲 Z变换的性质
Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。 若有极点被
抵消，收敛域可扩大。
证 Y ( z ) Z [ x( n) h(n)]
n
[ x(n) h(h)]z n
n
n m
x ( m) h ( n m) z
第2章 Z变换 2. 序列的移位
Z[ x(n m)] z m X ( z)
Rx | z | Rx
(1-80)
位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。 证
Z [ x(n m)]
n
x(n m) z n z m
k
x( k ) z k z m X ( z )
证
Z [ x (n)]
*
n
x ( n) z
*
n
n *
[ x(n)(z )
* n *
]
* n * * x(n)(z ) X ( z ) n
Rx | z | Rx
第2章 Z变换 6. 翻褶序列
1 Z[ x(n)] X z
9. 序列卷积（卷积定理）
若
y ( n ) x ( n ) h ( n)
则
m
x(m)h(n m)
Y ( z ) Z [ y(n)] X ( z ) H ( z ) max[Rx , Rh ] | z | min[Rx , Rh ]
(1-88)
第2章 Z变换
V平面收敛域为
(1-90)
|z| |z| max Rx , | v | min Rx , Ry Ry
积分的z变换
积分的z变换积分的z变换是一种在信号处理和控制系统中常用的数学工具。
它可以将离散时间信号转换为z域中的复变量函数，从而方便地进行分析和处理。
本文将介绍积分的z变换的基本概念、性质和应用。
一、基本概念积分的z变换是z变换的一种特殊形式，其数学定义为：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n]z^(-n)其中，x[n]是离散时间信号，X(z)是其z变换。
二、性质积分的z变换具有以下几个重要的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，有Z{a*x[n] + b*y[n]} = a*X(z) + b*Y(z)。
2. 位移性质：对于信号x[n-k]，有Z{x[n-k]} = z^(-k)*X(z)。
3. 改变尺度性质：对于信号x[kn]，有Z{x[kn]} = X(z^k)。
4. 差分性质：对于差分信号x[n] - x[n-1]，有Z{x[n] - x[n-1]} = (1 - z^(-1))*X(z)。
三、应用积分的z变换在信号处理和控制系统中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 系统分析：通过对信号进行积分的z变换，可以得到系统的频率响应和稳定性等特性。
这对于系统的设计和优化非常重要。
2. 信号滤波：积分的z变换可以用于滤波器的设计和实现。
通过对信号进行变换，可以滤除不需要的频率成分，从而实现信号的去噪和增强。
3. 时域分析：通过对信号进行积分的z变换，可以将离散时间信号转换为复变量函数，从而方便地进行时域分析，如求解差分方程和研究系统的稳定性。
4. 控制系统设计：积分的z变换可以帮助设计和分析控制系统。
通过将系统的传输函数进行z变换，可以得到系统的离散时间模型，从而进行控制算法的设计和系统性能的评估。
5. 信号重构：通过积分的z变换，可以将离散时间信号从z域中反变换回时域，从而实现信号的重构和恢复。
积分的z变换是一种重要的数学工具，在信号处理和控制系统中具有广泛的应用。
§8.5 Z变换的基本性质
返回
周期序列的z 周期序列的z变换
若周期序列x 的周期为N 若周期序列x(n)的周期为N，即x(n)= x(n+N)。 n+N) 令第一个周期的序列为x 令第一个周期的序列为x1(n)，其z变换为： 变换为：
X1 (z) = ∑x(n)z −n
n=0 N−1
( z > 0)
∞ −m N
由于x )=x 由于x(n)=x1(n)+ x1(n-N)+ x1(n-2N)+……
Z[x(n + 2)] = z2 X(z) − z2 x(0) − zx(1)
返回
证明左移位性质
根据单边 变换的定义， 根据单边z变换的定义，可得 单边z
Z[ x(n + m)u(n)] = ∑x(n + m)z−n
n=0 ∞
= zm ∑x(n + m)z−(n+m)
n=0
∞
k 令 = n+ m zm x(k)z−k ∑
返回
(1)左移位性质 (1)左移位性质
若 Z[x(n)u(n)] = X(z)
m−1 m −k 则 Z[ x(n + m)u(n)] = z X(z) − ∑x(k)z k=0 其中m 其中m为正整数
对于m= 对于m=1、2的情况，可以写作为 m=1 的情况，可以写作为
Z[ x(n + 1)] = zX(z) − zx(0)
1.双边z变换 1.双边 双边z 2.单边z变换 2.单边 单边z
(1) 左移位性质 (2) 右移位性质 根据移位特性，可求周期序列的z变换 根据移位特性，可求周期序列的z
返回
1．双边z变换的位移性质 双边z
z变换复移位定理
z变换复移位定理摘要：1.引言2.Z变换及其性质3.复移位定理4.Z变换复移位定理的应用5.结论正文：【引言】在信号处理、系统分析等领域，Z变换及其相关理论发挥着重要作用。
复移位定理是Z变换理论中的一个重要定理，它为我们分析信号和系统提供了便利。
本文将详细介绍Z变换、复移位定理及其应用，帮助读者更好地理解和掌握这一理论。
【Z变换及其性质】Z变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
给定一个时域信号x(t)，其Z变换X(z)可以通过以下公式表示：X(z) = ∫(-∞,∞) x(t) * e^(-jωt) dt其中，ω为角频率，j为虚数单位。
Z变换具有许多有益的性质，如线性性质、时域性质、频域性质等。
这些性质为我们分析信号和系统提供了便利。
【复移位定理】复移位定理是Z变换理论中的一个重要定理。
它描述了将时域信号进行Z变换后，对变换结果进行复数域上的平移（即频域上的卷积）的操作。
复移位定理的数学表达式如下：X(z) * z^k = ∫(-∞,∞) x(t) * e^(-jωt) * z^k dt其中，z为复变量，k为实数。
复移位定理在信号处理、系统分析等领域具有广泛的应用。
【Z变换复移位定理的应用】在实际应用中，Z变换复移位定理可以帮助我们简化信号处理和系统分析的过程。
以下是一个具体例子：假设我们有一个线性时不变系统，其输入信号为x(t)，输出信号为y(t)。
我们可以通过分析系统的冲激响应h(t)来了解系统的性能。
利用Z变换和复移位定理，我们可以得到如下关系：H(z) = Y(z) / X(z)其中，H(z)为系统的传递函数，Y(z)为输出信号的Z变换，X(z)为输入信号的Z变换。
通过这一关系，我们可以轻松地求解系统的性能参数，如频率响应、群延迟等。
【结论】Z变换及其复移位定理在信号处理、系统分析等领域具有重要应用价值。
掌握这一理论，可以帮助我们更好地分析和设计信号处理系统。
一些常见的Z变换
一些常见的Z变换在信号处理和控制系统领域，Z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散时间信号和系统。
它可以将离散时间域的序列转换到复平面上的Z域，从而使我们能够分析信号的频率响应、稳定性和系统的性能。
本文将介绍一些常见的Z变换及其在实际应用中的作用。
一、Z变换的定义Z变换可以看作是离散时间傅里叶变换（DTFT）的离散时间版本。
它将离散时间序列$x[n]$转化为复变量$X(z)$，其中$z$是复平面上的变量。
Z变换的定义如下：$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$$其中，$x[n]$为离散时间序列，$z$为复变量。
通过对序列$x[n]$进行Z变换，我们可以得到频域上的表示$X(z)$。
二、常见的Z变换性质Z变换具有许多有用的性质，使得它在信号处理和系统分析中得到广泛的应用。
下面介绍几个常见的Z变换性质。
1. 线性性质Z变换具有线性性质，即对于常数$a$和$b$，以及序列$x[n]$和$y[n]$，有以下关系：$$\mathcal{Z}(ax[n] + by[n]) = aX(z) + bY(z)$$这一性质使得我们可以方便地对信号进行分解和求解。
2. 移位性质对于频域上的序列$X(z)$和时间域上的序列$x[n]$，移位性质可以表达为：$$\mathcal{Z}(x[n-m]) = z^{-m}X(z)$$其中，$m$为正整数。
移位性质允许我们对时域序列进行时间偏移操作，从而分析不同时刻的信号。
3. 初值定理与终值定理初值定理和终值定理是两个重要的Z变换性质。
初值定理表示了序列$x[n]$在$n=0$时的初值和$X(z)$在$z=1$处的值之间的关系：$$x[0] = \lim_{z\to1}X(z)$$终值定理则表示了序列$x[n]$在$n\to\infty$时的极限值和$X(z)$在$z=1$处的值之间的关系：$$\lim_{n\to\infty}x[n] = \lim_{z\to1}(z-1)X(z)$$初值定理和终值定理使得我们可以通过对$X(z)$在$z=1$处的值进行分析，推断出序列$x[n]$的初值和终值信息。
z变换复移位定理
z变换复移位定理摘要：一、引言二、Z变换的基本概念及性质1.Z变换的定义2.Z变换的性质3.Z变换与傅里叶变换的关系三、复移位定理的推导1.复移位定理的表述2.复移位定理的证明四、复移位定理的应用1.信号处理中的应用2.图像处理中的应用3.通信系统中的应用五、结论正文：一、引言在信号处理、图像处理以及通信系统中，Z变换和其相关定理发挥着重要作用。
其中，复移位定理更是具有广泛的应用价值。
本文将详细介绍复移位定理的推导、应用及其在实际场景中的体现。
二、Z变换的基本概念及性质1.Z变换的定义Z变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
对于一个连续时间信号x(t)，其Z变换为：X(z) = ∑[x(n) * (1 / (z - n)]，n=-∞到∞2.Z变换的性质Z变换具有线性、时域卷积变为频域乘积、时域移位等性质。
此外，Z变换与傅里叶变换具有一定的关系，傅里叶变换可以看作是Z变换在单位圆上的特殊情形。
3.Z变换与傅里叶变换的关系当z=e^(jω)时，Z变换退化为傅里叶变换。
这意味着，傅里叶变换可以看作是Z变换在单位圆上的特殊情形。
三、复移位定理的推导1.复移位定理的表述复移位定理是指，对于任意一个复数z，其Z变换后的复数部分与原信号的z变换的复数部分相差一个复数k，即：X(z) = k * X(z-1)2.复移位定理的证明根据Z变换的定义，我们有：X(z) = ∑[x(n) * (1 / (z - n)]，n=-∞到∞将z替换为z-1，得到：X(z-1) = ∑[x(n) * (1 / (z-1 - n)]，n=-∞到∞将两式相除，得到：X(z) / X(z-1) = ∑[x(n) * (1 / (z - n)) / (x(n) * (1 / (z-1 - n))]，n=-∞到∞化简后可得：X(z) = k * X(z-1)其中，k = ∑[1 / (z - n)]，n=-∞到∞四、复移位定理的应用1.信号处理中的应用复移位定理在信号处理中可用于信号的频域分析、滤波器设计等。
z变换期末总结
z变换期末总结首先，我将总结 Z 变换的基本概念和特性。
Z 变换是一种离散域信号处理工具，它将离散时间信号转化为 Z 域的函数。
Z 域上的运算与连续时间域上的拉普拉斯变换类似，可以进行信号的加法、乘法、卷积等运算。
Z 变换的定义为：\[ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\]其中，X(z) 为离散时间信号 x[n] 的 Z 变换，z 为复变量。
通过 Z 变换，我们可以将离散时间信号转化为分式表达式，从而方便地分析和设计数字滤波器。
Z 变换具有许多重要的特性和性质。
首先是线性性质，在时域上线性系统对应于 Z 变换域上的线性运算。
其次是平移性质，即时间域上的延时对应于 Z 变换域上的乘以 z 的幂。
然后是共轭对称性质，在实序列的 Z 变换中，X(z) 的共轭一定存在。
最后是时域与 Z 变换域的对应关系，通过 Z 变换和逆 Z 变换可以在时域和 Z 变换域之间相互转换。
其次，我将总结 Z 变换的应用。
Z 变换广泛应用于数字滤波器的分析与设计。
通过 Z 变换，我们可以将差分方程表示的数字滤波器转化为 Z 变换域上的传递函数表达式，从而方便地分析滤波器的频域特性、稳定性和实现方法。
在滤波器设计中，我们可以通过变换域的频率响应来选择合适的滤波器类型，并通过对频率响应的要求来确定滤波器的参数。
此外，Z 变换还可以用于系统的稳定性分析与控制设计。
通过 Z 变换，我们可以将离散时间系统转化为 Z 平面上的传递函数，从而方便地分析系统的稳定性和控制性能。
在控制系统设计中，我们可以通过对系统零点和极点的分布进行分析，来优化系统的稳定性和动态响应。
最后，我将总结我在学习 Z 变换过程中遇到的困难与解决方法。
在初次接触 Z 变换时，我对其概念和运算规则不够清晰，导致在推导过程和习题解答中经常出现错误。
为此，我通过多次阅读课本和参考资料，结合老师的讲解和示例，慢慢理解了 Z 变换的基本概念和运算规则。
8.5 Z变换的基本性质
1 1 z z 3 − 3 + z ] + [ z − 2z ] Y ( z) = [ z − 2 z +1 z + 2 z +1 z + 2
1 n 1 y (n) = [ (2) − (−1) n + (−2) n ]u (n) + [( −1) n − 2(−2) n ]u (n) 4 3 3 4444 244444 144 2444 34 1 3 零输入响应
n
Rx1 < z < Rx 2 z Rx1 < < Rx 2 a
−n
ZT [a x(n)] =
n
n = −∞
∑a
∞
n
x(n) z
z −n z = ∑ x(n)( ) = X ( ) a a n = −∞
z > 1即 z > a u (n)] = z −1 z − a a
z z ZT [a x(n)] = X ( ) Rx1 < < Rx 2 a a z z ( − cos ω0 ) β β n ZT [ β cos(nω0 )u (n)] = z 2 z ( ) − 2 cos ω0 + 1 β β
n
z
β
>1
z ( z − β cos ω0 ) ZT [ β cos(nω0 )u (n)] = 2 2 z − 2 zβ cos ω0 + β
X ( z) 3 y (−1) + 2 z −1 y (−1) + 2 y (−2) Y ( z) = − −1 −2 1 + 3z + 2 z 1 + 3 z −1 + 2 z − 2
−1
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R
x1
az Rx 2
1
n
x( n) X z
R
x1
z Rx 2
有x(n) u(n), e
n
jwn
, 求序列x1 (n) x(n)的z变换.
n
z x(n)的z变换为 X ( z ) Z [u (n)] , | z | 1 z 1
n
R
x1
z Rx 2
z Rx1 a Rx 2
n
a为非零常数
z z • 证明： n n n Z a x( n) a x( n) z x( n) X
n 0 n 0
a
a
• 同理 a n x(n) X az
z变换的性质
propertise of the z-Transform
1.线性、时移性 2.尺度特性 3.时间反转 4.z域微分 5.初值定理
1.线性、时移性
• 若 • 则 • Z[x1 (n) x2 (n)] X1 ( z) X 2 ( z) • ROC:ROC1∩ROC2 • 收敛域为两个收敛域的交集
z a 1, ROC : 0 | z | za za
时移性
n0是个整数
• 若 Z[ x(n)] X ( z), ROC : ROCx • 则
Z[ x(n n0 )] z
n0
X ( z), ROCx
• ROC：除去对z=0或z= 可能的添加或 删除
时移性证明： • • 令 m n n0 代入上式得 根据z变换定义可得：Z [ x(n n0 )]
z域微分
• 如果一个序列x(n)的z变换为
Z[ x(n)] X ( z ), ROCx
• 则nx(n)的z变换为
dX ( z ) Z [nx (n)] z , ROC : ROCx dz
•
Z [ x(n)]
1 n 有 x(n) ( ) u (n) ,其z变换为 2 1
1 1 z 1 2
X 1 ( z ) Z [a nu (n)]
X 2 ( z ) Z [a nu (n 1)]
z , ROC :| z || a | za
• 根据线性性质得：
•
a , ROC 2 :| z || a | za
X ( z ) Z [ x(n)] X 1 ( z ) X 2 ( z )
2
解：由时间反转性质得
Z[ x(n)] X ( z 1 ), Rx(n)] , ROC :| z | 2 1 1 z 2 1 即Y(z)= Z [ x(n)] , ROC :| z | 2 1 1 z 2
复序列共轭
• 设 X ( z) Z[ x(n)], ROCx : Rx | z | Rx • 则 Z[ x* (n)] X * ( z* ), ROC : ROCx,即R x | z | Rx
n
n x ( n n ) z 0
n0
Z [ x(n n0 )] z
m
x(m) z
m
z n0 X ( z )
• 几个简单的例子：
Z[ (n)] 1, ROC : 0 | z |
Z[ (n 1)] z 1 , ROC :| z | 0
Z[ x1 (n)] X1 ( z), ROC : ROC1 Z[ x2 (n)] X 2 ( z), ROC : ROC2
例1. 求下列线性组合序列的z变换
x(n) a nu(n) a nu(n 1)
• 解：令 x(n) x1 (n) x2 (n)， n n x ( n ) a u(n 1) ， x ( n ) a u ( n ) • 1 且2 • 则
z3 1 Z [ x(n 3)] , | z | 1 2 1 z 1 2 z3 1 即Y(z)= Z [ x(n 3)] 1 , | z | 2 1 z 1 2
，
z域的尺度特性
若 则
Z x ( n ) X ( z ) z a x ( n) X a
• 因此，如果ROCx为 Rx | z | Rx ，那么 X ( z 1 ) 的 收敛域为1/ Rx | z | 1/ Rx
1 n ) Z变换为 Z[ x(n)] 1 例3.有 x ( n) ( ) u ( n，其 1 1 2 1 z
1 |z|> ,求y(n)=x(-n)的z变换Y(z). 2
1
1
1 2
5.初值定理
• 若x(n)是一个因果序列，则 x (0) lim X ( z )
z
• 取极限可得到如下结果：
lim X ( z ) lim[ x(0) x(1) z 1 x(2) z 2 ...] x(0)
z z
z 2 2z 已知X ( z ) 3 ，求x(0). 2 z 0.5 z z 7
• 证明：
Z [ x (n)]
* n
x ( n) z
*
n
n
* n * * * [ x ( n )( z ) ] [ x ( n )( z ) ] X ( z ) * n * n
ROC : ROCx,即R x | z | Rx
Z[ (n 1)] z, ROC :| z |
1 n 例2.有信号 x ( n) ( ) u ( n)和 y(n) x(n 3) 2
利用Z变换的性质求y(n)的Z变换Y(z). 1 n Z [ a u ( n )] , | z || a |） （已知 1 1 az 1 Z [ x ( n )] 解：根据题目条件可得 1 1 1 z 2 又由时移定理得
jw z / e z n 应用性质得 X 1 ( z ) Z [ x(n)] X ( z / ) , | z | 1 jw jw ( z / e ) 1 z e
3.时间反转
• 若Z[x(n)]=X(z),ROCx • 那么时间反转序列x(-n)的z变换为
Z[ x(n)] X ( z 1 ), ROC : 1/ ROCx
,|z|>1/2,求y(n)=3x(n)的z变换
1 1 2 (1 z ) 2
Y(z).
解：根据性质得Z [3x(n)] z dX ( z ) 1 z dz 2 dX ( z ) 1 1 所以Y(z)=Z [3x(n)] z z (1 z ) dz 2 2 收敛域为|z|>1/2
• 解：
x(0) lim X ( z ) 0
z
作业 p36:3.6