内蒙古呼和浩特市高一上学期期末数学试卷
内蒙古呼和浩特市高一上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2017高一上·义乌期末) 已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|3x+1=9}，则A∪B=（）
A . {﹣2，1，2}
B . {﹣2，2}
C . {1，2}
D . {1}
2. （2分） (2018高一上·吉林期中) 已知函数f(x＋1)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为（）
A . f(x)＝x2＋1
B . f(x)＝x2＋2x－1
C . f(x)＝x2－1
D . f(x)＝x2＋2x＋1
3. （2分）已知a=， b=log5， c=，则a，b，c的大小关系是（）
A . a＞b＞c
B . c＞a＞b
C . a＞c＞b
D . c＞b＞a
4. （2分） (2016高一上·南昌期中) 下列四个图象中，是函数图象的是（）
A . （1）
B . （1）（3）（4）
C . （1）（2）（3）
D . （3）（4）
5. （2分） (2018高一下·衡阳期末) 已知向量，若，则与夹角为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）已知tan（α+β）=3，tanβ=2，则tanα等于（）
A . ﹣3
B . 3
C . ﹣
D .
7. （2分）(2017·荆州模拟) 记f（n）为最接近（n∈N*）的整数，如f（1）=1，f（2）=1，f（3）
=2，f（4）=2，f（5）=2，…，若 + + +…+ =4054，则正整数m的值为（）
A . 2016×2017
B . 20172
C . 2017×2018
D . 2018×2019
8. （2分） (2019高一下·上海月考) 已知等于（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）已知是函数的一条对称轴，且的最大值为，则函数
（）
A . 最大值是4，最小值是0
B . 最大值是2，最小值是－2
C . 最小值不可能是－4
D . 最大值可能是0
10. （2分） (2019高二上·龙江月考) 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点
分别是的中点，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）函数y=lg（x+1）的图象大致是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）若，是第三象限的角，则等于（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高一下·威远期中) 在下列个命题中：①已知，，则②若A,B,C是斜的三个内角，则恒有成立③；已知
，则的大小为 ;其中错误的命题有________.（写出所有错误命题的序号）
14. （1分）函数f（x）=ax+b的图象如图，其中a，b为常数，给出下列四种说法：①a＞1，b＞0；②0＜a ＜1，b＜0；③a＞1，b＞﹣1；④a＞1，b＜﹣1．则其中所有正确说法的序号是________．
15. （1分）(2017·白山模拟) 在△ABC中，已知a=8，b=5，S△ABC=12，则cos2C=________
16. （1分） (2016高一上·清河期中) 方程lgx=4﹣2x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=________
三、解答题 (共5题；共50分)
17. （10分） (2019高一上·兴义期中) 已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）解不等式：
18. （10分） (2016高一下·防城港期末) 四边形ABCD中， =（6，1）， =（x，y）， =（﹣2，﹣3）．
（1）若∥ ，求x与y满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有⊥ ，求x，y的值．
19. （10分）(2014·山东理) 已知向量 =（m，cos2x）， =（sin2x，n），函数f（x）= • ，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．
（1）求m，n的值；
（2）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．
20. （5分） (2017高一上·定州期末) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= （0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
21. （15分） (2016高一下·玉林期末) 定义向量 =（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为 =（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设g（x）=3sin（x+ ）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9、答案：略
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共50分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
21-1、
21-2、21-3、。
内蒙古呼和浩特市高一上学期期末数学试卷
内蒙古呼和浩特市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·汪清月考) 设集合，，，则（）A . {2}B . {2，3}C . {-1，2，3}D . {1，2，3，4}2. （2分）下列幂函数在定义域内是单调递增的奇函数的是（）A . y=B . y=C . y=D . y=3. （2分） (2016高二下·咸阳期末) 若第一象限内的点，落在经过点且具有方向向量的直线上，则有（）A . 最大值B . 最大值1C . 最小值D . 最小值14. （2分） (2017高二上·南宁月考) 已知角的终边过点，且，则的值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·郴州期中) sin120°的值为（）A .B .C .D . ﹣6. （2分） (2016高一下·商水期中) 函数f（x）是周期为π的偶函数，且当时，，则的值是（）A . ﹣4B . ﹣2C . 0D . 27. （2分）运行下图所示框图的相应程序,若输入a，b的值分别为和,则输出M的值是（）A . 0B . 1C . 2D . －18. （2分） (2017高一上·唐山期末) 函数f（x）=2﹣x+1﹣x的零点所在区间为（A . （﹣1，0）B . （0，1）C . （1，2）D . （2，3）9. （2分） (2016高三上·闵行期中) 函数的最小正周期为（）A .B .C . πD . 2π10. （2分）(2012·重庆理) 设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A . ﹣3B . ﹣1C . 1D . 311. （2分） (2015高一下·正定开学考) 若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB﹣sinA，sinB﹣cosA）在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限12. （2分） (2018高一下·台州期中) 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍,再向右平移个单位,得到的函数图象的一个对称中心为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·荆州期中) 已知函数，则不等式的解集为________.14. （1分）若sin（+α）= ，则cos2α=________．15. （1分） (2016高一上·揭阳期中) 函数y= x﹣log2（x+2）在[﹣1，1]上的最大值为________．16. （1分）已知=2016，则+tan2α=________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一上·宁德期中) 计算：（1） 8 +（﹣）0﹣；（2） lg25+lg2﹣log29×log32．18. （10分）化简：（1）（2）．19. （10分） (2016高一下·揭阳期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA ﹣ sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．20. （15分） (2016高二下·茂名期末) 已知f（x）= ．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）证明f（x）是定义域内的增函数；（3）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＞0．21. （5分） (2016高一下·枣阳期中) 若函数f（x）= x+m在区间上的最小值为3，求常数m的值及此函数当x∈[a，a+π]（其中a可取任意实数）时的最大值．22. （10分）(2012·天津理) 已知函数f（x）=sin（2x+ ）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[ ]上的最大值和最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3、答案：略4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18、答案：略19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
内蒙古呼和浩特市高一数学上学期期末考试试题(无答案)
内蒙古呼和浩特市2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题（无答案）考试时间：120分钟, 满分150分；三个大题，共22个小题；答在答题卡上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列集合的表示法正确的是 A ．实数集可表示为R ；B ．第二、四象限内的点集可表示为{}(,)0,,x y xy x R y R ≤∈∈； C ．集合{}1,2,2,5,7； D ．不等式14x -<的解集为{}5x <2．已知函数(3)(0)()(3)(0)x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则(2)f -=A.－2B.10C. 2D.－10 3.下列四个条件中，能确定一个平面的条件是A.空间任意三点B.空间两条直线C.一条直线和一个点D.两条平行线4. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当30()x f x x x ≥=+时，，则当0()x f x <=时， A.3()f x x x =-- B.3()f x x x =- C.3()f x x x =-+ D.3()f x x x =+5．函数y =A )43,21(-B ]43,21[- C ),43[]21,(+∞⋃-∞ D ),0()0,21(+∞⋃-6. 函数()34x f x =-的零点所在区间为A. （-1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）7．已知直线a 、b 和平面β，有以下四个命题：①若a ∥β，a ∥b ，则b ∥β；②若β⊂a ，β b =B ，则a 与b 异面；③若b a ⊥，β⊥a ，则b ∥β；④若a ∥b ，β⊥b ，则β⊥a ，其中正确命题的个数是 A.0B.1C.2D.38. 若函数x x x f 6)(2+=，则函数)(x f 是 A. 奇函数 B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数 9．下列函数中，在R 上单调递增的是 A. y x = B.2log y x = C.13y x = D.0.5x y =10．从长方体一个顶点出发的三条棱长分别为2、3、4，则其对角线的长为 (A)3 (B)5(C) 26 (D)2911．函数xx x x f +=)(的图像为A B C D 12.下列不等式中正确的是A ．313232215121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛B ．323231512121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛C ．323132212151⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛D ．313232212151⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛二.填空题：（每小题5分，共20分. 请将答案直接填在题后的横线上.） 13.若lg 2,lg 7a b ==，则28l g 5o = .14.函数2()241f x x x =+-在[]2,2-上的最大值为 .15. 已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB= BC= CA= 2 , 则球面的面积是16. 设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩,满足()f x =41的x 的值是.xx三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 17.（本小题满分10分）已知集合A ={}71<≤x x ，{}{}210,B x x C x x a =<<=<，全集U R =. (1)求B A ⋃；B AC U ⋂)(.(2)如果A C φ⋂≠，求a 的取值范围. 18、计算：（本小题满分12分） （1）已知11223a a-+=，求1-+a a ；（2） 12lg 2)2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+19．（本小题满分12分） 已知正四棱台(由正四棱锥截得的棱台叫做正四棱台)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积和体积．20.（本小题满分12分）对于二次函数2483y x x =-+-，（1）若x R ∈ ①（1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；②求函数的最大值或最小值； ③分析函数的单调性。
呼和浩特市高一上学期数学期末考试试卷A卷
（3） 设直线 与圆 交于不同的两点 ，且 ，求圆 的方程；
（4） 设直线 与圆 交于不同的两点 ，且 ，求圆 的方程；
（5） 点 在直线 上，过点 引圆 （题（2））的两条切线 ，切点为 ，求证：直线 恒过定点.
（6） 点 在直线 上，过点 引圆 （题（2））的两条切线 ，切点为 ，求证：直线 恒过定点.
（4） 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
21. （1分） (2018高二上·双鸭山月考) 在平面直角坐标系 中，已知圆 过坐标原点 且圆心在曲线 上．
（1） 若圆 分别与 轴、 轴交于点 （不同于原点 ），求证： 的面积为定值；
A .
B .
C .
D .
7. （1分） 过原点和 －i对应点的直线的倾斜角是（ ）
A .
B . -
C .
D .
8. （1分） (2019高二下·四川月考) 若曲线 在 处的切线与直线 互相垂直，则实数 等于（ ）
A . -2
B . -1
C . 1
D . 2
9. （1分） (2018高三上·汕头月考) 在四面体ABCD中， ， ， 底面ABC， 的面积是6，若该四面体的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是
（2） 求四棱锥P－ABCD的侧面积．
18. （2分） (2018高二下·顺德期末) 如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， ， ， ，E为 的中点，过A、B、E的平面与 交于点F.
（1） 四边形ABFE是什么平面图形?并求其面积。
（2） 求证：点F为 的中点；
内蒙古高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则（ ）{1,2,3,4,5},{2,3,5},{2,5}U A B ===A ．B ．C ．D ．A B ⊆{1,3,4}U B =ð{2,5}A B = {3}A B ⋂=【答案】B【解析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断.【详解】由题，故A 错； B A ⊆∵，，∴，B 正确； {1,2,3,4,5}U ={2,5}B ={1,3,4}U B =ð，C 错；{2,3,5}A B = ，D 错；{2,5}A B ⋂=故选:B2．已知函数，则()23132f x x x +=++A ．B ．C ．D ． 306920【答案】D 【详解】函数，令，解得，()23132f x x x +=++3110x +=3x =，故选D.()()210331333220f f ∴=⨯+=+⨯+=3．三个数 之间的大小关系是（ ）20.320.3,log 0.3,2a b c ===A ．.B ． a c b <<b a c <<C ．D ．a b c <<b<c<a 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解，即可比较大小.【详解】解：，则，2000.30.31<<= 01a <<，则，22log 0.3log 10<= 0b <，则，所以.0.30221>= 1c >b a c <<故选：B.4．已知函数，则（ ） ()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在上是增函数(0,)+∞C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在上是减函数(0,)+∞【答案】A【分析】根据函数的奇偶性定义，即可判断奇偶性，根据函数单调性的定义，即可判断函数的增减性.【详解】函数的定义域为，()f x R ，所以函数是奇函数， ()()113333x x xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 且是增函数，是减函数，所以函数在上是增函数. 3x y =13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭()133x x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R 故选：A5．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）220ax bx ++>{|12}x x -<<220x bx a ++<A ． B ．{或} C ． D ．1{|1} 2x x -<<|1x x <-12x >{}|21x x -<<或{|2x x <-}1x >【答案】A【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式中，化简求出不220ax bx ++>a b ，220x bx a ++<等式的解集．【详解】解：因为不等式的解集为，220ax bx ++>{}|12x x -<<的两根为，2，且，即，，解得，， 220ax bx ++=1-a<012b a -+=-2(1)2a -⨯=1a =-1b =则不等式可化为，解得，则不等式的解集为2210x x +-<112x -<<220x bx a ++<1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．故选：A. 6．若函数f(x)= (>0,且≠1)是定义域为R 的增函数,则函数f(x)= 的图象大致是x a -a a (1)a log x +( ).A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】，定义域为的增函数，函()()()10,1,xx f x a a a f x a -⎛⎫=>≠∴= ⎪⎝⎭ R 11,01,a a ∴>∴<<∴数是定义域为的减函数，故选D.()()log 1a f x x =+()1,-+∞7．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93下列说法一定正确的是（ ）A ．这种抽样方法是一种分层随机抽样B ．这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C【分析】根据题目条件，结合分层抽样的定义，以及中位数，平均数，方差的公式即可求解.【详解】对于A ，若抽样方法为分层随机抽样，则男生，女生分别抽取6人，4人，故选项A 错误；对于B ，这5名男生成绩的中位数是90，这5名女生成绩的中位数为93，因为90<93，故选项B 错误；对于C ，这5名男生成绩的平均数是，这5名女生成绩的平均数是18694889290905x ++++==，这5名男生成绩的方差是28893938893915x ++++==，这5名女生成绩的方差是()()()()()2222218690949088909290909085⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，故选()()221889129391365⎡⎤-⨯+-⨯=⎣⎦项C 正确；对于D ，这5名男生成绩的平均数小于这5名女生成绩的平均数，不能得出该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，故选项D 错误；故选：C.8．函数的值域为（ ） 2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(]0,2【答案】D【分析】令，则，转求二次函数与指数函数的值域即可. 22t x x =-12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】令，则， 22t x x =-12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵， ()222111t x x x =-=--≥-∴， (],2120ty ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝∴函数的值域为，2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭(]0,2故选：D二、多选题9．若，则下列不等式一定成立的是（ ）0a b <<A ． B ． C ． D ．1122a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22a b <11a b >ln ln a b >【答案】ACD 【分析】由指数函数性质可判断A ；例举法可判断B ；同时除以可判断C ；去绝对值并结合对数ab 函数可判断D.【详解】因为，对A ，为减函数，所以，A 项正确； 0a b <<12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对B ，，则，故B 项错误；210-<-<()()2221->-对C ，，因为，所以同时除以有，故C 项正确； 0ab >a b <ab 11a b >对D ，因为，所以，又，所以，对数函数为增函0a b <<0a b ->->,a a b b =-=-a b >ln y x =数，所以，D 项正确.ln ln a b >故选：ACD10．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】AB【分析】根据互斥事件的定义逐一对四个选项进行分析即可.【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A 正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B 正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C 不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D 不正确.故选：AB .【点睛】本题考查互斥事件，解题关键是要理解互斥事件的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.11．如图是三个对数函数的图象，则（ ）A ．B ． 1a >01b <<C ．D ．222b c a <<c b <【答案】ABC 【解析】根据对数函数的图象可判断出，再判断各选项即可得．10a c b >>>>【详解】由对数函数图象得，令，，由已知图象得，1,0,1a b c ><<1y =log log 1b c b c ==b c <；而是增函数，.b c a ∴<<2x y =222b c a ∴<<故选：ABC ．12．年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解、两家大型餐饮2020A B 店受影响的程度，现统计了年月到月、两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根202027A B据营业额折线图，下列说法正确的是（ ）A ．店营业额的极差比店营业额的极差小A B B ．店月到月营业额的分位数是A 2775%45C ．店月到月每月增加的营业额越来越多B 27D ．店月到月的营业额的平均值为B 2729【答案】ABD【解析】计算出、两店营业额的极差，可判断A 选项的正误；根据百分位数的定义可判断B A B 选项的正误；根据营业额折线图可判断C 选项的正误；利用平均数的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由折线图可知，店营业额的极差为（万元） ，店营业额的A 641450-=B 极差为（万元），A 选项正确；63261-=对于B 选项，店月到月营业额由低到高依次为、、、、、，A 27142026364564所以，店月到月营业额的分位数是，B 选项正确；A 2775%45对于C 选项，店从月到月营业额的增加量为，从月到月营业额的增加量为，C 选项B 45195615错误；对于D 选项，店月到月的营业额的平均值为，D 选项正确. B 272816355063296+++++=故选：ABD.三、填空题13．利用随机数表法对一个容量为90，编号为00，01，02，…，89的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第2行第3列的数开始向右读数（下面摘取了随机数表中的第1行至第5行），根据下图，读出的第3个数是___________.1818079245441716580979838619620676500310552364050626623897758416074499831146322420148588451093728871234240647482977777810745321408329894077293857910755236281995509226119700567631388022025353866042045337859435128339500830423407968854420687983585294839【答案】75 【分析】根据随机数表法进行抽样即可.【详解】从随机数表的第2行第3列的数开始向右读数，第一个编号为62，符合；第二个编号为38，符合；第三个编号为97，大于89，应舍去；下一个编号为75，符合.所以读出的第3个数是：75.故答案为：75.14．若，则的最小值是___________. 1x >141x x +-【答案】8.【解析】先判断和，再根据基本不等式求的最小值即可. 4(1)0x ->101x >-141x x +-【详解】解：因为，所以，， 1x >4(1)0x ->101x >-所以 1144(1)44811x x x x +=-++≥=--当且仅当即时，取等号， 14(1)1x x -=-32x =所以的最小值是8. 141x x +-故答案为：8【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.15．从一个装有6个彩色球（3红､2黄､1蓝）的盒子中随机取2个球，则这2个球颜色相同的概率是__________.【答案】 415【分析】利用组合和古典概型的知识即可求得结果.【详解】从6个球中随机取2个球，共有种，两球颜色相同的有种，故两球颜色2615C =2232C +C 4=相同的概率为. 223226C +C 4C 15P ==故答案为：. 41516．已知是上的减函数，那么的取值范围是______. ()()314,1log ,1aa x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩(),-∞+∞a【答案】 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据已知条件每一段函数都单调递减，且把代入两段函数，左侧函数值大于等于右侧1x =函数值，结合一次函数与对数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数是上的减函数，所以每一段函数都单调递减，把代入两段函()f x (,)-∞+∞1x =数，左侧函数值大于等于右侧函数值.所以，解得. ()310013114log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⋅+≥⎩1173x ≤<所以的取值范围为. a 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题 17．求解下列不等式的解集：(1)；2450x x -++<(2)；20252x x ≤-+(3)；4170x --≤(4)； ()()()21502x x x +-<-(5). 4123x x -≥+【答案】(1)或{1x x <-}5x >(2) 122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭(3) 322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(4){}12x x -<<(5) 3123x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【分析】（1）（2）利用二次不等式的解集解原不等式即可得其解集；（3）利用绝对值不等式的解法解原不等式即可得其解集；（4）（5）利用分式不等式的解法解原不等式可得其解集.【详解】（1）解：由可得，解得或，2450x x -++<2450x x -->1x <-5x >故原不等式的解集为或.{1x x <-}5x >（2）解：由可得，解得， 20252x x ≤-+()()2120x x --≤122x ≤≤故原不等式的解集为. 122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭（3）解：由可得，即，解得， 4170x --≤417x -≤7417x -≤-≤322x -≤≤故原不等式的解集为. 322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（4）解：由可得，解得，()()()21502x x x +-<-10250x x x +⎧<⎪-⎨⎪-≠⎩12x -<<故原不等式的解集为.{}12x x -<<（5）解：由可得，解得， 4123x x -≥+()23443110232323x x x x x x x +-----==≤+++3123x -<≤故原不等式的解集为. 3123x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭18．计算与化简：(1)453log 27log 8log 25⨯⨯(2). 12271112333662228a b a b a b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3) 10220.51392(0.01)54-⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4). 222lg5lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+【答案】(1)9(2)b -(3) 5140(4)3【分析】（1）根据对数的运算性质，代入计算即可；（2）根据指数幂的运算性质，代入计算即可；（3）根据指数幂的运算性质，代入计算即可；（4）根据对数的运算性质，代入计算即可；【详解】（1）原式； 3lg 33lg 22lg 592lg 2lg 5lg 3=⨯⨯=（2）原式 12711122363262328a b b -+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）原式 131511421040=+⨯-=（4）原式 ()()22lg 52lg 2lg 5lg 52lg 2lg 2=++++()()22lg 5lg 2lg 2lg 5=+++2213=+=19．天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都降雨的概率；（2）甲、乙两地都不降雨的概率；（3）至少一个地方降雨的概率.【答案】（1）0.06 （2）0.56 （3）0.44【解析】（1）根据独立事件概率性质,代入即可求解.()()()P AB P A P B =⋅（2）根据互斥事件概率的求法,,代入即可求解.()()()()()11P AB P A P B P A P B =⋅=-⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（3）根据对立事件概率性质, “至少一个地方降雨”与“甲乙两地都不降雨”互为对立事件,即可代入求解.【详解】设事件“甲地降雨”,事件“乙地降雨”,则事件与相互独立.A =B =A B 由题意知.()()0.2,0.3P A P B ==（1）；()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯=（2）；()()()()()10.210.30.56P AB P A P B ==-⨯-=（3）.()()110.560.44P A B P AB =-=-= 【点睛】本题考查了独立事件概率的求法,互斥事件与对立事件概率性质的应用,属于基础题. 20．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm ，宽为ym ．(1)若菜园面积为72m 2，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m ，求的最小值． 12x y+【答案】(1)菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小 (2)． 310【分析】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．利用基本不等式x +2y（2）由已知得x +2y ＝30，利用基本不等式（）•（x +2y ）＝512x y +22y x x y ++≥得出．【详解】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．又∵x +2y 24，=当且仅当x ＝2y ，即x ＝12，y ＝6时等号成立．∴菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小． （2）由已知得x +2y ＝30，又∵（）•（x +2y ）＝59， 12x y +22y x x y ++≥=∴，当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立． 12310x y +≥∴的最小值是． 12x y +31021．某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了m 名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：分组 频数 频率[)60,7016 0.2[)70,8050 n [)80,9010p[]90,100 4 0.05 合计m I(1)求表中n ，p 的值和频率分布直方图中a 的值；(2)如果用分层抽样的方法，从样本成绩在和的学生中共抽取5人，再从5人中选2[]60,70[]90,100人，求这2人成绩在的概率.[]60,70【答案】(1)，；0.625,0.125n p ==0.0625a =(2) 35【分析】（1）根据频率分布统计表，求出，进而得到n ，p 与的值； m a （2）利用分层抽样求出抽取5人中成绩在和的人数，利用列举法求出古典概型的[]60,70[]90,100概率.【详解】（1）由题意得，故，，； 16800.2m ==500.62580n ==100.12580p ==0.625100.0625a =÷=（2）样本成绩在和的学生的人数之比为，[]60,70[]90,10016:44:1=故抽取5人中成绩在的有4人，设为，成绩在的有1人，设为， []60,70a b c d ,,,[]90,100A 再从5人中选2人，这2人可能情况为，共10种情况，()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a A b c b d b A c d c A d A其中这2人成绩均在的有，共6种情况，[]60,70()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 故这2人成绩在的概率为. []60,7063105=22．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为（）件.当时，年销售总收入为（）万元；当时，年销x x N *∈20x ≤233x x -20x >售总收入为万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元.(年利润=年销售总收入一260y 年总投资)(1)求(万元)与(件)的函数关系式；y x (2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?【答案】（1）（）；（2）当年产量为件时，所得年利润最232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩x N *∈16大，最大年利润为万元.156【分析】（1）根据已知条件，分当时和当时两种情况，分别求出年利润的表达式，综20x ≤20x >合可得答案；（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可．【详解】（1）由题意得：当时，， 20x ≤()223310032100y x x x x x =---=-+-当时，，20x >260100160y x x =--=-故（）； 232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩x N *∈（2）当时，，020x <≤()223210016156y x x x =-+-=--+当时，，16x =156max y =而当时，，20x >160140x -<故当年产量为件时，所得年利润最大，最大年利润为万元.16156【点睛】本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题.。
内蒙古高一上学期期末检测数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}24A x x =<≤{}3782B x x x =-≥-A B = A ． B ．C ．D ．[]3,4()3,4[)3,4(]3,4【答案】A【分析】求出集合B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】解：因为，所以． {}{}37823B x x x x x =-≥-=≥[]3,4A B ⋂=故选：A.2．函数.()f x =A ．B ． []2,2-()(],11,2-∞-⋃-C ．D ．[)(]2,11,2--⋃-()2,2-【答案】C【分析】根据题意，列出不等式，求解即可.【详解】要使得函数有意义，则，且，解得. 240x -≥10x +≠[)(]2,11,2x ∈--⋃-故选：C.3．如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为．若一个半径为的4:30()0ααπ<≤1扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（ ）αA ．B ．C ．D ．2π4π8π16π【答案】C【分析】求出的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积.α【详解】由图可知，，所以该扇形的面积．1284παπ=⨯=212481S ππ=⨯⨯=故选：C.4．指数函数在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）()()1xf x a =-A ．B ．C ．D ．()2,1--()2,+∞(),2-∞-()1,2【答案】D【分析】由已知条件结合指数函数的性质列不等式求解即可 【详解】因为指数函数在R 上单调递减， ()()1xf x a =-所以，得， 011a <-<12a <<所以实数a 的取值范围是， ()1,2故选：D5．如图是下列某个函数在区间的大致图象，则该函数是（ ）[]π,π-A ．B ．()22sin x xy x -=-()22sin x xy x -=+C ．D ．sin 22xxxy -=+2sin x y x =【答案】B【分析】检验奇偶性可排除AD ；判断时函数的取值范围可排除C ，即可求解 0πx <<【详解】由图象关于原点对称，可知该函数为奇函数， 且当时，函数的最大值大于3，0πx <<对于A ：，()()()()()22sin 22sin x x x xf x x x f x ---=--=-=该函数是偶函数，故排除A ；对于C ：当时，， 0πx <<221,0sin 1x x x -+><≤所以，故排除C ；sin 0122x xx-<<+对于D ：，故该函数不是奇函数，故排除D ；()()()2sin 2sin x xf x x x f x ---=-=-≠-对于B ：，()()()()()22sin 22sin x x x xf x x x f x ---=+-=-+=-该函数是奇函数，且，满足题意；ππππ3222222ππ22sin 222222134f ---⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪=⎝⎭⎭>>⎝故选：B6．下列不等式中正确的是（ ）A ．B ．的最小值为22111x x +≥+y =2C ．D 12x x+≥2≥【答案】A【分析】利用基本不等式及取特殊值逐项分析即可.【详解】由， ()222211111111x x x x +=+-≥++=+当且仅当时取等号，故A 正确， 221011x x x +=⇒=+，2y ===≥=无解，故取不到最小值2，241x =⇒+=故选项B 错误；当时，，当且仅当时取等号， 0x >12x x +≥=1x =当时，， 0x <()112x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当时取等号，故C 不正确； =1x -取不成立，故D 不正确. 1,2a b =-=-2≥故选：A.7．下列命题正确的是（ ）A ．命题“，使得”的否定是“，使得” x ∃∈R 22x x <x ∃∈R 22x x ≥B ．若，则()0,1x ∈122lg x x x >>C ．若函数在上具有单调性，则()()28f x x kx k =--∈R []1,42k ≤D ．“”是“”的充分不必要条件 3x >2560x x -+>【答案】D【分析】A. 利用含有一个量词的命题的否定的定义判断； B.根据指数函数、对数函数和幂函数的值域判断； C.利用二次函数的单调性判断； D.利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A. 命题“，使得”是存在量词命题，则其否定是全称量词命题即：“，x ∃∈R 22x x <x ∀∈R 都有”，故错误；22x x ≥B.若，则，所以，故错误；()0,1x ∈()()()1221,2,lg ,0,0,1x x x ∈∈-∞∈122lg x x x >>C.若函数在上具有单调性，则或，解得或，故错()()28f x x kx k =--∈R []1,412k ≤42k≥2k ≤8k ≥误；D. 不等式解得或，所以 “”是“”的充分不必要条件，故2560x x -+>3x >2x <3x >2560x x -+>正确 故选：D8．已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，()f x R ()f x [)0,∞+()2log 9a f =，，则，，的大小关系是（ ）31log 10b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0.92c f =a b c A ． B ． C ． D ．a b c >>a c b >>c b a >>b c a >>【答案】A【分析】确定函数在上单调递增，，计算，得到大小关系.R ()30lo 1g b f =0.923log l 910o 2g >>【详解】是定义在上的奇函数，且在上单调递增，故函数在上单调递增，()f x R ()f x [)0,∞+R ，()331log l g 1o 100b f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，， 223log 9log 8>=3332log 9log 10log 273=<<=0.922<故，故. 0.923log l 910o 2g >>a b c >>故选：A二、多选题9．已知，则下列各式中，与数值相同的是（ ） k ∈Z πcos 6A ．B ．πcos π6k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭πcos 2π6k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 2π3k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()πsin 21π3k ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】利用诱导公式化简即可.【详解】当为奇数时，，故A 错；k ππcos πcos 66k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故B 正确；ππcos 2πcos 66k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故C 正确；πππsin 2πsin cos 336k ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故D 正确.()ππππsin 21πsin sin cos 3336k ⎡⎤⎛⎫+-=--== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭故选：BCD.10．函数的零点所在的区间是（ ） 2()23x f x x =-A ． B ． ()2,1--()1,0-C ． D ．()0,1()1,2【答案】BC【分析】把函数的零点问题转化为函数和的图象的交点问题，数形结合2()23x f x x =-2x y =23y x =即可得解.【详解】如图，作出函数的图象， 22,3x y y x ==观察交点可得交点在和区间上. ()1,0-()0,1故选：BC.11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整x ∈R []x x 数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则关于函数[]y x =[ 3.2]4-=-[2.3]2=21()122x xf x =-+的叙述中正确的是（ ）()[()]g x f x =A ．是奇函数 B ．在上是增函数()f x ()f x RC ．是偶函数D ．的值域是()g x ()g x {}1,0-【答案】ABD【分析】利用奇偶性的定义判断可选项A ，C ，由函数单调性的结论可判断选项B ，由函数单调性求出的取值范围，结合定义可得的值域可判断选项D ．()f x ()g x 【详解】对于A ，因为函数，，11()112221122x x x f x =-=--=++11212x -+x ∈R 所以，则函数为奇函数，故选项A 正确； ()121()1221221x x xf x f x ---=-=-=-++()f x 对于B ，因为、在R 上是增函数，所以在R 上是增函数，故12x y =+112=-+x y ()11212x f x =-+选项B 正确； 对于C ，因为，则， ()11212x f x =-+()()11g f ==⎡⎤⎣⎦110212⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦，因为所以函数不是偶函数，故选项C 错误； ()()11g f -=-=⎡⎤⎣⎦1111212⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦()()11g g -≠()g x 对于D ，又，所以，故的值域为，故选项D 正确． 121x +>11()22f x -<<()[()]g x f x ={}1,0-故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查了函数性质的综合应用，关键点是对函数性质的熟练掌握，以及对新定义的理解，考查了学生的推理能力与运算能力.12．已知函数，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD【解析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，122x x +=-341x x =341122x x <<<<，即可知正确选项.【详解】由函数解析式可得图象如下：()f x∴由图知：，，而当时，有，即或2， 122x x +=-121x -<<-1y =2|log |1x =12x =∴，而知：， 341122x x <<<<34()()f x f x =2324|log ||log |x x =2324log log 0x x +=∴，.341x x =21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的范围及关系.1234,,,x x x x三、填空题13．若，则______. sin cos αα+=()0,πα∈sin cos αα-=【分析】根据，确定，计算sin cos αα+2sin cos 5αα=-sin cos 0αα->()29sin cos 5αα-=，得到答案.【详解】，故，sin cos αα+=()21sin cos 12sin cos 5αααα+=+=2sin cos 5αα=-，故，，，()0,πα∈sin 0α>cos 0α<sin cos 0αα->，故()29sin cos 12sin cos 5αααα-=-=sin cos αα-=14．若，则______． 4log 31x =33x x --=【答案】##3.75 154【分析】由题设得，代入目标式化简求值即可.3log 4x =【详解】由题设，则. 341log 4log 3x ==33log 4log 41153333444x x ---=-=-=故答案为：15415．若关于x 的不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________． 2210ax ax +-<【答案】(]1,0-【分析】分两种情况和，可求出实数的取值范围. 0a =0a ≠a 【详解】关于的不等式的解集为. x 2210ax ax +-<R 当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；0a =1<0-R 当时，则有，解得. 0a ≠2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩10a -<<综上所述，实数的取值范围是. a (]1,0-故答案为：(]1,0-16．已知函数的最大值为m ，的最小值为n ，则()22,02,,10,x x x f x x x x ⎧-+≤≤=⎨---≤<⎩()f x ()f x m n +=______．【答案】74-【分析】根据二次函数的性质分别求出两段函数的最值，从而可得函数的最大值和最小值，()f x 即可得解.【详解】当时，，02x ≤≤()221124f x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭所以此时，()()()max min 11,2224f x f f x f ⎛⎫====- ⎪⎝⎭当时，，10x -≤<()221124f x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭所以此时，()()()max min 11,1024f x f f x f ⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭综上所述，，即，()()max min 1,24f x f x ==-1,24m n ==-所以.74m n +=-故答案为：.74-四、解答题17．已知全集，集合，．求，，{}4U x x =≤{}23A x x =-<<{}33B x x =-<<A B ⋂()U A B ð．()UA B ⋂ð【答案】，或， {}23A B x x ⋂=-<<(){3U A B x x ⋃=≤-ð}34x ≤≤(){}32U A B x x ⋂-<≤-ð【分析】根据交集，并集和补集的定义计算即可.【详解】因为，，，{}4U x x =≤{}23A x x =-<<{}33B x x =-<<所以，，或， {}23A B x x ⋂=-<<{}33A B x x ⋃=-<<{2U A x x =≤-ð}3x ≥所以或，(){3U A B x x ⋃=≤-ð}34x ≤≤.(){}32UA B x x ⋂-<≤-ð18．已知．πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭(1)若角的终边过点，求； α(12,5)P -()f α(2)若，分别求和的值．()2f α=sin cos sin cos αααα-+24sin 3sin cos ααα-【答案】(1) 512(2)，sin cos 3sin cos αααα-=+2224sin 3sin cos 5ααα-=【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得. ()f x ()f α（2）根据齐次式的知识求得正确答案.【详解】（1） πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭，()()()sin cos sin tan cos cos sin ααααααα⨯-⨯-==-⨯-⨯若角的终边过点，则， α(12,5)P -5tan 12α=-所以. ()5tan 12f αα=-=（2）若，()tan 2,tan 2f ααα=-==-所以；sin cos tan 133sin cos tan 11αααααα---===++- 22224sin 3sin cos 4sin 3sin cos sin cos αααααααα--=+. 224tan 3tan 16622tan 1415ααα-+===++19．已知函数，函数．()()22log log 88x f x x =⋅()1424x x g x +=--(1)求函数的值域；()f x (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． ()()0f x g a -≤[]0,2a ∈x 【答案】(1)[9,)-+∞(2)1[,4]4【分析】（1）化简后由对数函数的性质求解 （2）不等式恒成立，转化为最值问题求解【详解】（1）． ()()()2222()log 3log 3log 9f x x x x =-+=-故的值域为．()f x [9,)-+∞（2）∵不等式对任意实数恒成立，∴．()()f x g a ≤[0,2]a ∈min ()()f x g a ≤． ()()221()4242224215a a a a a g a +=--=-⨯-=--令，∵，∴．2a t =[0,2]a ∈[1,4]t ∈设，，当时，取得最小值，即． 2()(1)5h t t =--[1,4]t ∈1t =()h t 5-min ()5g a =-∴，即 ()5f x ≤-()2221log 952log 244x x x -≤-⇒-≤≤⇒≤≤故的取值范围为x 1[,4]420．党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：x ()M x ；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函()8020xM x x=+x数（单位：百万元）：． ()N x ()14N x x =(1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百x y 万元），写出关于的函数解析式；y x (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大y 值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】(1)， 801100204x y x x =-++[]0,400x ∈(2)的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），y 340（百万元）．【分析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，即可求出，从而求出400x -()400N x -关于的函数解析式；y x （2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.【详解】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，400x -则， ()8020x M x x =+()()1140040010044N x x x -=-=-，． 801100204x y x x ∴=-++[]0,400x ∈（2）解：由（1）可得， 80111600100180204420x y x x x x =-+=--++， ()1640018520185145420x x ⎡⎤=-++≤=⎢⎥+⎣⎦当且仅当，即时等号成立，此时． 64002020x x+=+60x =400340x -=所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万y 14560元），（百万元）．34021．已知函数为奇函数. 0.52()log 2ax f x x -=-（1）求常数的值； a （2）若对任意都有成立，求的取值范围. 10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()3f x t >-t 【答案】（1）；（2）1a =-(),1∞-【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数的定义由求解. ()0.52log 2ax f x x -=-()()0f x f x +-=（2）设函数,利用反比例函数的性质求得其值域，再利用对数函数的性质求()24122x h x x x +==+--得的最大值，根据对任意都有成立，由求解 ()f x 10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()3f x t >-()min 3f x t >-【详解】（1）因为函数为奇函数， ()0.52log 2ax f x x -=-所以， ()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----所以，即，或， 222414a x x-=-21a =1a =1-当时，函数，无意义，舍去， 1a =()()0.50.52log log 12x f x x -==--当时，函数，定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意， 1a =-()0.52log 2x f x x +=-综上所述，.1a =-（2）设函数， ()22x h x x +=-因为函数， ()24122x h x x x +==+--所以函数在区间上单调递减， ()h x 10,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，即，2()4h x ≤≤2(1f x -≤≤-因为对任意都有成立， 10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()3f x t >-所以，解得，32t -<-1t <综上所述，的取值范围是. t (),1∞-【点睛】本题主要考查奇偶性的定义的应用，对数型函数值域的求法以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）已知，的最大值． π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x =()()2y f x f x =-⎡⎤⎣⎦（2）求函数的值域．（提示：） ()sin cos sin cos R y x x x x x =+-∈πsin cos 4x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2） 141[2-【分析】（1）利用同角三角形函数的关系化简函数式，代入目标函数式，结合二次函数性质求最值即可；（2）令并确定范围，结合与的关系得，代入sin cos t x x =-sin cos x x -sin cos x x 21sin cos 2t x x -=函数结合二次函数性质求值域即可.【详解】（1）由，又， ()f x ==π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，则， 1sin 1sin ()2tan cos cos x x f x x x x +-=-+=-22112tan 4tan 4(tan 44y x x x =--=-++由，则，故当时. π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan (,0)x ∞∈-1tan 4x =-max 14y =（2）令， πsin cos [4t x x x =-=-∈而，则， 22(sin cos )12sin cos t x x x x =-=-21sin cos 2t x x -=所以等价于， sin cos sin cos y x x x x =+-2211(1)122t y t t -=+=--+则在上递增，在上递减，，，y [t ∈t ∈1|2t y -1|2t y max 1|1t y y ===，综上，函数值域为. 1[2-。
2023-2024学年内蒙古自治区呼和浩特市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年内蒙古自治区呼和浩特市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,A =2{|9}B x x =<，则A B = A ．{2,1,0,1,2,3}--B ．{2,1,0,1,2}--C ．{1,2,3}D ．{1,2}【正确答案】D【详解】试题分析：由29x <得33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，因为{1,2,3}A =，所以{}1,2A B ⋂=，故选D.一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.2．已知函数()12,42,4xx x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，则()2f f =⎡⎤⎣⎦A ．16B ．2CD ．4【正确答案】B【分析】根据分段函数的解析式,代入自变量即可求解.【详解】函数()12,42,4x x x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪<⎩所以()2224f ==即()()122442f f f ===⎡⎤⎣⎦故选:B本题考查了分段函数的求值,属于基础题.3．若a b c d >>>，则下列不等式一定成立的是（）A ．a ab c>B ．ac bc >C ．11a c b d<--D ．11a cb c<--【正确答案】D【分析】取特殊值排除得到答案.【详解】取4,3,2,1a b c d ====，计算知a ab c>不成立，排除A 选项；取4,3,0,1a b c d ====-，计算知ac bc >不成立，排除B 选项；取4,3,0,1a b c d ====-，计算知11a c b d<--不成立，排除C 选项；当a b c d >>>时，0a c b c ->->，故11a cb c<--.故选：D.本题考查了不等式性质，取特殊值排除是解题的关键.4．函数y ＝2log 4(1－x)的图象大致是A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【详解】函数42log (1)－=y x 的定义域为{}1x x <且单调递减，故选C.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.5．关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（）A ．某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查B ．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135C ．若甲､乙两组数据的标准差满足s s <甲乙则可以估计乙比甲更稳定D ．若数据123,,,,n x x x x 的平均数为x ，则数据()1,2,3,,i i y ax b i n =-= 的平均数为ax b -【正确答案】C【分析】对于A ，根据普查的适用情形即可求解；对于B ，根据分层抽样的抽样比即可求解；对于C ，根据标准差的含义即可求解；对于D ，根据平均数的公式即可求解.【详解】对于A ，了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查，故A 正确；对于B ，根据分层抽样抽样比可知，样本容量为()63480420135420⨯+=，故B 正确；对于C ，因为s s <甲乙，所以甲的数据更稳定，故C 不正确；对于D ，因为数据123,,,,n x x x x 的平均数为x ，所以123nx x x x x n++++=，所以数据()1,2,3,,i i y ax b i n =-= 的平均数为123n ax ax a b b b x a y nbx ++++--=-- ()123n a x x x x b b b bax b n n++++++++=-=- ，故D 正确.故选：C.6．设7log 3a =，13log 7b =，0.73c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b<c<aD ．b a c<<【正确答案】D利用指数函数及对数函数的性质，借助中间量0或1即可求解.【详解】解：因为77701371log a log log =<=<=，1133710b log log =<=，0.70331c =>=，所以010,>1a b c <<<，，b ac ∴<<.故选：D.方法点睛：比较大小的常用方法为：（1）化为同底数、同指数或同真数的对数式和指数式，利用其单调性进行比较，（2）借助于中间值0和1进行比较.7．已知偶函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递减，则满足(21)(3)f x f +<的x 的取值范围是（）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(1,1)-D ．(2,2)-【正确答案】A【分析】根据奇偶性可得()()213f x f +<等价于()()213f x f +<，由单调性可得213x +<，由此能求得x 的范围.【详解】因为偶函数()f x 在区间(],0-∞上单调递减，所以()f x 在区间[)0,∞+上单调增，则()()213f x f +<等价于()()213f x f +<，可得213x +<，3213x ∴-<+<，求得2<<1x -，故x 的取值范围为()2,1-,故选A.本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.8．设D 是含有数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图象绕原点逆时针旋转90°与原图象重合，则()1f 的值一定不可能．．．为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【正确答案】D【分析】直接利用函数定义和旋转的对称性及旋转后图象重合，求出结果.【详解】对于()f x 上一点(,)x y 绕原点逆时针旋转90°后对应点为(,)y x -，也在()f x 图象上，所以，(,)y x -绕原点逆时针旋转90°后对应点为(,)x y --，且(,)x y --绕原点逆时针旋转90°后对应点为(,)y x -，均在()f x 图象上，所以，在含有数1的有限实数集D 中()()()()f x yf y x f x y f y x=⎧⎪-=⎪⎨-=-⎪⎪=-⎩，若(1)4f =，则有(4)1(1)4(4)1f f f -=⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，若(1)3f =，则有(3)1(1)3(3)1f f f -=⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，若(1)2f =，则有(2)1(1)2(2)1f f f -=⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，若(1)1f =，则有(1)1(1)1(1)1f f f -=⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，显然当1x =±时有2个y 与之对应，不符合函数的定义，()1f 的值一定不可能为1.故选：D.二、多选题9．第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行．中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．第一场得分的中位数为52B ．第二场得分的平均数为193C ．第一场得分的极差大于第二场得分的极差D ．第一场与第二场得分的众数相等【正确答案】ABD【分析】结合选项逐个分析，中位数从小到大排序取中间位置可得，平均数利用公式可得，极差利用最大值与最小值的差可得，众数通过观察数字出现的次数最多可得.【详解】对于A ，将第一场得分按从小到大排序可知中位数为23522+=，A 正确；对于B ，第二场得分的总分为3967710102476+++++++=，则平均数为7619123=，B 正确；对于C ，第一场得分的极差为19019-=，第二场得分的极差为24024-=，C 错误；对于D ，第一场和第二场得分的众数均为0，D 正确．故选：ABD ．10．给出下列结论，其中正确的结论是（）A ．函数2112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为2；B ．已知函数log (2)a y ax =-（a ＞0且1a ≠）在()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是(]1,2；C ．在同一平面直角坐标系中，函数e x y =与ln y x =的图象关于直线y ＝x 对称；D ．若x ，y ，z 为正数，且346x y z ==，则212x y z+=．【正确答案】BCD【分析】根据指数型复合函数判断单调性得最值，即可判断A ；由对数复合函数的单调性分类讨论即可得实数a 的取值范围，来判断B ；根据互为反函数的图象性质即可判断C ；由指对互化即对数函数的运算性质、换底公式的计算，即可判断D.【详解】解：对于A ，函数2112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，由复合函数单调性可得该函数在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以函数2112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值2，故A 不正确；对于B ，已知函数log (2)(0a y ax a =->且1)a ≠在(0,1)上是减函数，所以120a a >⎧⎨->⎩，解得12a <<，当2a =时，成立，实数a 的取值范围是(]1,2，故B 正确；对于C ，同一平面直角坐标系中，由于函数e x y =与ln y x =互为反函数，所以他们的图象关于直线y x =对称，故C 正确；对于D ，若x ，y ，z 为正数，设346x y z k ===，则346log ,log ,log x k y k z k ===，所以3462121222log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log log k k k k k k x y k k k z+=+=+=+====，故D 正确.故选：BCD .11．下列说法正确的是（）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1；B ．已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5；C ．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；D ．若样本数据1210,,,x x x ⋯的标准差为8，则数据121021,21,,21x x x --⋯-的标准差为16.【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用概率对于判断即可．对于B ，根据平均数求得m 的值，然后利用方差公式求解即可.对于C ，8个数据70百分为870% 5.66⨯=≈，从而求得第70百分位数为第6个数.对于D ，利用方差公式求解即可.【详解】对于A ，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为150，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为1155010⨯=，故A 正确．对于B ， 数据1，2，m ，6，7的平均数是4，4512674m =⨯----=，这组数据的方差是()()()()()222222114244464745s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=265，故B 错误.对于C ，8个数据70百分为870% 5.66⨯=≈，第70百分位数为第6个数为23，故C 正确.对于D ，依题意，()28D x =，则()()2221216D x D x -=⨯=，故数据121021,21,,21x x x --⋯-的标准差为16，D 正确；故选：ACD.12．若3398log 142log (3)a ba b ++=+，则（）A ．a b <B ．2a b <C ．a b>D ．2a b>【正确答案】BC【分析】根据题意结合指数幂运算和对数运算，可得236922log a bb a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，再对a b =，a b >，a b <三种情况进行分类讨论，即可得到结果.【详解】由题意0,0a b >>，原式3398log 142log (3)a ba b ++=+，可变换为32929984log (3)log o 9l g a b b a --=-，即236922log abb a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=；当a b =时，362922log 10a b -==，所以36a b =，即2a b =，与a b =相矛盾，故不符合题意；当a b >时，2396922log log 01abb a ⎛⎫-= ⎪⎝=⎭<，所以3622a b <，所以36a b <，即2b a b <<；当a b <时，2396922log log 01abb a ⎛⎫-= ⎪⎝=⎭>，所以3622a b >，所以36a b >，即2a b >，与a b <相矛盾，故不符合题意；综上.2b a b <<故选：BC.三、填空题13．函数()0(1)f x x =+-的定义域是______．【正确答案】{2x x >-且}1x ≠【分析】列出使函数解析式有意义的不等式组，求解不等式组即可得答案.【详解】解：要使函数()0(1)f x x =+-有意义，则有2010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得2x >-且1x ≠，故{2x x >-且1}x ≠．14．现有1件正品和2件次品，从中不放回的依次抽取2件产品，则事件“第二次抽到的是次品”的概率为____________.【正确答案】23【分析】根据给定条件，将3件产品编号，利用列举法结合古典概率计算作答.【详解】记1件正品为A ，2件次品为b ，c ，从3件产品中依次抽取2件产品的结果有(,),(,),(,),(,),(,),(,)A b A c b A b c c A c b ，共6个，它们等可能，“第二次抽到的是次品”的事件含有的结果有(,),(,),(,),(,)A b A c b c c b ，共4个，所以事件“第二次抽到的是次品”的概率为4263P ==.故2315．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增，则实数a 的取值范围是_____【正确答案】9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭分段函数的两段都递增且端点处函数值左边不比右边大，可得a 范围．【详解】 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．本题考查分段函数的单调性，考查对数函数与指数函数的单调性，分段函数在定义域内单调，则它的每段函数同单调，端点处的函数值还必须满足对应的不等关系．16．已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，有以下结论：①函数()f x 在()0,2单调递减；②函数()f x 在()1,2单调递减；③函数()f x 的值域为R ；④函数()f x 有对称轴x ＝1；⑤函数()f x 有对称中心()1,0以上结论正确的是（只填序号即可）______．【正确答案】②④【分析】根据函数解析式，分析函数奇偶性单调性和值域，验证结论是否正确.【详解】函数()()ln ln 2f x x x =+-，定义域为(0)2，，22()ln ln(2)ln(2)ln (1)1f x x x x x x ⎡⎤=+-=-=--+⎣⎦，令2(1)1t x =--+，由二次函数的性质可知，函数2(1)1t x =--+在()0,1单调递增，在(12)，单调递减，函数ln y x =在定义域内单调递增，由复合函数的单调性可知，()f x 在()0,1单调递增，在(12)，单调递减，故①错误，②正确；由20(1)11x <--+≤，则()f x 的值域为(],0-∞，故③错误；(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+= ，所以函数图像上的点()(),x f x 关于直线1x =的对称点()2,()x f x -也在函数图像上，即函数()f x 有对称轴x ＝1，故④正确，⑤错误.故②④四、解答题17．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．（1）直方图中a 的值为多少？（2）要再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[)1500,2000（元）月收入段应抽出的人数为多少人．【正确答案】(1)0.0002a =(2)16人【分析】（1）根据频率之和为1，将每段频率表示出来，从而得到a 的值.（2）先算出各段之间的比值，得到[)1500,2000段所占比例，根据分层抽样规则，得到所抽人数.【详解】（1）根据频率分布直方图可知，组距为500，根据频率之和为1，可得()5000.00010.00030.00040.000521a ⨯++++⨯=解得0.0002a =（2）每段的比例为[)[)[)[)[)[)1000,1500:1500,2000:2000,2500:2500,3000:3000,3500:3500,4000=0.0002:0.0004:0.0005:0.0005:0.0003:0.0001=2:4:5:5:3:1[)1500,2000段所占比例为41=205因此抽出的人数为180165⨯=18．求函数最值有很多的方法，其中某些函数的最值可以利用配方法求值域，例如：()242422()221111f x x x x x x =-=-+-=--，所以函数()f x 的最小值为－1，当且仅当21x =时取得最小值．(1)利用配方法求函数()40y x x x=+>的最小值；(2)某面粉厂定期买面粉，每次都购买x 吨，运费为4万元每次，已知面粉厂一年购买面粉400吨，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值应为多少？【正确答案】(1)4；(2)20.【分析】（1）利用配方法求函数的最小值；（2）利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合配方法求最小值，即可求得相应的x 值.【详解】（1）由0x >，则222224444y xx⎛⎛=+=+=-++=+ ⎝⎝，所以函数()40y x xx=+>的最小值为4=2x =时取得最小值.（2）一年购买400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元每次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为40044x x⋅+元，由0x >，有(222400442160160xx ⎛⋅+=+=+≥ ⎝，当且仅当=即20x =吨时，等号成立，即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.19．已知关于x 的不等式()()110ax x --<．(1)当2a =时，解上述不等式；(2)a ∈R ，解上述关于x 的不等式．【正确答案】(1)1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(2)答案见解析【分析】（1）由2a =得到不等式()()2110x x --<，再利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用一元二次不等式的解法，分a<0，0a =，01a <<，1a =，1a >，讨论求解.【详解】（1）解：当2a =时，不等式为()()2110x x --<，解得112x <<，所以原不等式解集为：1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）不等式()()110ax x --<，当a<0时，不等式为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a<或1x >，当0a =时，不等式为10x ->，解得1x >，当01a <<时，不等式为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得11x a<<，当1a =时，不等式为()210x -<，无解；当1a >时，不等式为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得11x a<<，综上：当a<0时，不等式的解集为：{1|x x a<或}1x >；当0a =时，不等式的解集为：{|1}x x >；当01a <<时，不等式的解集为：1{|1}x x a<<；当1a =时，不等式无解；当1a >时，不等式的解集为.1{|1}x x a<<20．（1）已知函数()24x xf x =-，[]2,1x ∈-．求()f x 的值域；（2）设函数33()log (9)log (3)f x x x =⋅，且199x ≤≤．求函数()y f x =的最大值与最小值及与之对应的x 的值．【正确答案】（1）12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）min 1()4f x =-，此时x =()max 12f x =，此时9x =.【分析】（1）由x 的取值范围，得2x 的取值范围，代入函数解析式可求值域；（2）利用对数的运算性质对函数解析式变形整理，并通过3log t x =换元得233()(log 2)(log 1)32f x x x t t =+⋅+=++，利用二次函数的性质即可求出结果.【详解】（1）函数()()22211242222224xxxxxxx f x ⎛⎫=-=-=--=--+ ⎪⎝⎭，[]2,1x ∈-，则1,224x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有21920,24x ⎛⎫⎡⎤-∈⎪⎢⎝⎭⎣⎦，得211122,244x ⎛⎫⎡⎤--+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的值域为12,4⎡⎤-⎢⎣⎦.（2）令3log t x =，函数23333()log (9)log (3)(log 2)(log 1)32f x x x x x t t =⋅=+⋅+=++，又199x ≤≤，有32log 2x -≤≤，∴22t -≤≤，令2231()32,24g t t t t ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭[]2,2t ∈-，当32t =-时，min 1()4g t =-，有33log 2x =-，得323x -==，∴min 1()4f x =-，此时x =当2t =时，()max 212()g t g ==，有3log 2x =，得9x =，∴()max 12f x =，此时9x =﹒21．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼蓝（其覆盖面积为k ），这些凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼蓝的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼的覆盖面积为236m ，凤眼蓝的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型(01)x y ka k a =>>，与12(00)y px k p k =+>>，可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；（2）求凤眼蓝的覆盖面积是元旦放入凤眼蓝面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．【正确答案】（1）理由见解析，函数模型为323(,112,32xy x x N *=⋅≤≤∈；（2）六月份.【分析】（1）由凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，故选(01)x y ka k a =>>，符合要求，根据数据2x =时24y =，3x =时36y =代入即可得解；（2）首先求0x =时，可得元旦放入凤眼蓝的覆盖面积是2323m ，解不等式32332()10323x ⋅>⋅即可得解.【详解】（1）两个函数(01)xy ka k a =>>，与12(0,0)y px k p k =+>>在(0,)+∞上都是增函数，随着x 的增加，指数型函数(01)x y ka k a =>>，的值增加速度越来越快，而函数12(0,0)y px k p k =+>>的值增加越来越慢，由凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，故选(01)x y ka k a =>>，符合要求；由2x =时24y =，由3x =时36y =，可得232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32332k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故该函数模型的解析式为323(,112,32xy x x N *=⋅≤≤∈；（2）当0x =时，323y =，元放入凤眼蓝的覆盖面积是2323m ，由32332(10323x ⋅>⋅，得3()10,2x >所以32lg101log 10 5.9lg 3lg 2lg 3lg 2x >==≈--，由x N *∈，所以6x ≥.所以凤眼蓝的覆盖面积是元旦放入凤眼蓝面积10倍以上的最小月份是六月份.22．已知函数13()33x x af x +-=+是奇函数．(1)求a 的值，判断()f x 的单调性并说明理由；(2)若对任意的[]2,1x ∈--，不等式()()2240f x mx f x +++>成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)1a =，()f x 是R 上的递增函数，证明见解析；(2)(,-∞【分析】（1）由函数为奇函数，(0)0f =，求a 的值，得到()f x 的解析式，用定义法证明函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为2240x mx ++>在[]2,1--上恒成立，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数m 的取值范围．【详解】（1）函数13()33x x a f x +-=+，定义域是R ，依题意有1(0)06a f -==，得1a =，即13131()333(31)x x x x f x +--==++，此时3113()()3(31)3(13)x xx x f x f x -----===-++满足题意.31(31)2121()3(31)3(31)33(31)x x x x x f x -+-===-⋅+++，由此可判断出()f x 是R 上的递增函数.以下用定义证明：12,R x x ∀∈，且12x x <，则21330x x ->，21122121211233()()0331313(31)(31)x x x x x x f x f x -⎛⎫-=-=⋅> ⎪++++⎝⎭，即21()()f x f x >，故()f x 是R 上的递增函数.（2）()f x 是奇函数且在R 上的单调递增，不等式()()2240f x mx f x +++>，可得222()(4)(4)f x mx f x f x +>-+=--，得224x mx x +>--，即2240x mx ++>，对任意的[]2,1x ∈--，2240x mx ++>恒成立，即42m x x<--在[]2,1--上恒成立，[]2,1x ∈--时，20x ->，40x ->，42x x--≥=，当且仅当42x x -=-，即x =时等号成立，∴min42m x x ⎛⎫<--= ⎪⎝⎭m 的取值范围为(,-∞.思路点睛：此类函数不等式对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性和区间上的单调性，脱去函数的符号“f ”，转化为解一般不等式的问题.23．已知函数()23f x x x =+，若方程()10f x a x --=恰有4个不同的实根，求实数a 的取值范围．【正确答案】()()0,19,∞⋃+【分析】由()10f x a x --=得()1f x a x =-，作出函数()y f x =和1y a x =-的图像，利用数形结合即可得到结论．【详解】由()10f x a x --=得()1f x a x =-，作出函数()y f x =，()1y g xa x ==-的图像，如图所示，当0a ≤，()0f x ≥，()0g x ≤，两个函数的图像不可能有4个交点，不满足条件；则0a >，此时()()()1,111,1a x x g x a x a x x ⎧-≥⎪=-=⎨--<⎪⎩，当30x -<<时2()3f x x x =--，()()1g x a x =--，由图知：直线和抛物线相切时有三个零点，此时23(1)x x a x --=--，即2(3)0x a x a +-+=，则2(3)40a a ∆=--=，即21090a a -+=，解得1a =或9a =，当9a =时()()91g x x =--，()09g =，此时不成立，故1a =，要使两个函数有四个零点，则此时01a <<，若1a >，此时()()1g x a x =--与()f x 有两个交点，此时只需要当1x >时，()()f x g x =有两个不同的零点即可，即23(1)x x a x +=-，整理得2(3)0x a x a +-+=，则2(3)40a a ∆=-->，即21090a a -+>，解得1a <(舍去)或9a >，综上a 的取值范围是()()0,19,∞⋃+.方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解。
内蒙古高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设集合，，，则=（ ） {},6A a ={}4,5,7B ={}4A B ⋂=A B ⋃A ． B ．C ．D ．{}4,5,7{}4,5,6,7{}4,6{}4【答案】B【分析】根据，求出，从而求出并集. {}4A B ⋂=4a =【详解】，故，所以，则， {}4A B ⋂=4A ∈4a ={}4,6A =故 {}4,5,6,7A B ⋃=故选：B 2．（ ） 5tan4π=A ．B ．CD 1-1【答案】B【分析】利用诱导公式进行化简求值. 【详解】由诱导公式得， 5tan tan tan 1444ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭故选：B.3．“”是“”的（ ） ||2x <260x x --<A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式即可判断求解. 【详解】，， ||222x x <⇔-<<26023x x x --<⇔-<<因为是的充分不必要条件， 22x -<<23x -<<所以“”是“”的充分不必要条件． ||2x <260x x --<故选:．A 4．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．B ． ()sin f x x =2()f x x =C ．D ．3()f x x=3()f x x =【答案】D【分析】逐个判断各个选项中函数的单调性和奇偶性即可．【详解】解：对于A 项，函数为周期函数，在（0，+∞）上不是增函数，故A 项错()sin f x x =误，对于B 项，函数是偶函数，故B 项错误， 2()f x x =对于C 项，函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，故C 项错误， 3()f x x=对于D 项，函数是奇函数，且在R 上单调递增，故D 项正确， 3()f x x =故选：D.5．已知，，，则（ ） 0.32=a ln 0.2b =20.3c =A ． B ． C ． D ．a b c >>b a c >>c b a >>a c b >>【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的性质比较即可. 【详解】因为，，， 0.321a =>ln 0.20b =<200.31c <=<所以. a c b >>故选:D. 6．若，则（ ）3sin 2cos 82sin cos 3αααα+=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ．33-3434-【答案】B【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可求出，再由两角和的正切公式计算可tan α得.【详解】解：因为，所以，解得， 3sin 2cos 82sin cos 3αααα+=-3tan 282tan 13αα+=-tan 2α=所以. πtan tanπ214tan 3π41211tan tan 4ααα++⎛⎫+===- ⎪-⨯⎝⎭-故选：B7．心理学家经常用函数测定时间（单位：）内的记忆量，其中A 表示需()()1e ktL t A -=-t min L 要记忆的量，表示记忆率．已知一个学生在内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个k 5min 单词，则该生的记忆率约为（ ） k ()ln0.90.105,ln0.1 2.303≈-≈-A ． B ．C ．D ．0.0210.2210.4610.661【答案】A【分析】由题意得出，再取对数得出k 的值.()5202001ek-=-【详解】由题意可得：，则，取对数整理得. ()5202001e k -=-59e 0.910k-==ln 0.90.0215k -=≈故选：A.8．已知锐角，满足，则的最大值是（ ） αβ()()sin 2sin 231cos 21cos 2αβαβ=+-()tan αβ-A ．B ．C ．D3435【答案】D【分析】首先利用二倍角公式以及同角关系化简已知条件，得到，的关系，代入两角差tan αtan β的正切公式，结合基本不等式即可求解．【详解】因为， ()()sin 2sin 231cos 21cos 2αβαβ=+-所以， 224sin cos sin cos 12cos sin ααββαβ=因为锐角，，所以， αβtan 3tan αβ=所以， ()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββαβαββββ--===+++因为，所以 tan 0β>13tan tan ββ+≥当且仅当tan β=所以 ()tan αβ-故选：D二、多选题9．若，则下列不等式中正确的有（ ） a b >A ． B ．C ．D ．0a b ->22a b >ac bc >33a b >【答案】ABD【分析】根据不等式的性质和函数的单调性判断. 【详解】,故A 正确.a b > 0a b ∴->单调递增，故B 正确.2x y = 单调递增，故D 正确.3y x = 因为的符号不确定，故C 不正确.c故选：ABD10．若，，且，则的可能取值为（ ） a R b ∈0ab >1a b +=11a b+A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】CD 【分析】将展开利用基本不等式求得最小值，再结合选项即可得正确选项. ()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【详解】, ()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭当且仅当即时等号成立，所以，1b aa b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩12a b ==114a b +≥由选项可知的可能取值为，不可能为， 11a b+4,52,3故选：CD.11．已知函数的部分图象如图，则（ ）()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭A ．函数解析式()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π4()f x C ．直线是函数图象的一条对称轴 5π12x =-()f x D ．函数在区间上的最小值为()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2-【答案】ACD【分析】根据图象得到解析式，利用正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】解：由题图知：函数的最小正周期，()f x ππ4π312T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭则，，所以函数． 2π2πω==2A =()()2sin 2f x x ϕ=+将点代入解析式中可得，π,212⎛⎫⎪⎝⎭π22sin 6ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则，得，()ππ2πZ 62k k ϕ+=+∈()π2πZ 3k k ϕ=+∈因为，所以，π2ϕ<π3ϕ=因此，故A 正确；()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数的图像向右平移个单位长度可得π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π4，故B 错误；ππ2ππ2sin 22sin 22sin 43263y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为，当时，，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5π12x =-2sin 2sin 325π5ππ1262f π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎛⎫---=- ⎪⎝⎝⎭所以直线是函数图象的一条对称轴，故C 正确；5π12x =-()f x当时，，所以，即最小值为，故D 正确． ,02πx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦3π2π32π,3x ⎡⎤-⎢⎥⎣∈⎦+()f x ⎡∈-⎣2-故选：ACD ．12．已知函数和在上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中正确的是()y f x =()y g x =[]22-,（ ）A ．函数的零点有且仅有6个B ．函数的零点有且仅有3个 ()f g x ⎡⎤⎣⎦()g f x ⎡⎤⎣⎦C ．函数的零点有且仅有5个D ．函数的零点有且仅有4个()f f x ⎡⎤⎣⎦()g g x ⎡⎤⎣⎦【答案】ACD【分析】设内层函数为，先根据外层函数图象得到外层函数的零点个数以及零点的范围，再结合t 内层函数图象得到交点的个数即可得解.【详解】对于A ，令，则，()g x t =[]()()f g x f t =由，结合的图象可知，方程有且仅有三个不等的实根，设为、和，()0f t =()y f x =()0f t =1t 2t 3t 不妨设，则， ，，123t t t <<121t -<<-20t =312t <<当时，方程有2个不等实根， 121t -<<-1()g x t =当时，方程有2个不等实根，20t =2()g x t =当时，方程有2个不等实根，312t <<3()g x t =综上所述：函数的零点有且仅有6个，故A 正确； ()f g x ⎡⎤⎣⎦对于B ，令，则，()f x t =[]()()g f x g t =由，结合的图象可知，方程有且仅有2个不等的实根，设为和，不妨()0g t =()y g x =()0g t =1t 2t 设，则 ，，12t t <121t -<<-201t <<当时，方程有且仅有1个实根， 121t -<<-1()f x t =当时，方程有且仅有3个不等的实根， 201t <<2()f x t =综上所述：函数的零点有且仅有4个，故B 不正确； ()g f x ⎡⎤⎣⎦对于C ，，令，则，()f x t =[]()()f f x f t =由，结合的图象可知，方程有且仅有三个不等实根，设为、和，不()0f t =()y f x =()0f t =1t 2t 3t 妨设，则， ，，123t t t <<121t -<<-20t =312t <<当时，方程有且仅有1个实根， 121t -<<-1()f x t =当时，方程有且仅有3个不等实根，20t =2()f x t =当时，方程有且仅有1个不等实根， 312t <<3()f x t =综上所述：函数的零点有且仅有5个，故C 正确； ()f f x ⎡⎤⎣⎦对于D ，令，则，()g x t =[]()()g g x g t =由，结合的图象可知，方程有且仅有2个不等的实根，设为和，不妨()0g t =()y g x =()0g t =1t 2t 设，则 ，，12t t <121t -<<-201t <<当时，方程有且仅有2个不等的实根， 121t -<<-1()g x t =当时，方程有且仅有2个不等的实根， 201t <<2()g x t =综上所述：函数的零点有且仅有4个，故D 正确. ()g g x ⎡⎤⎣⎦故选：ACD【点睛】方法点睛：求复合函数的零点个数的方法：设内层函数为，先根据外层函数图象得到外t 层函数的零点个数以及零点的范围，再结合内层函数图象得到交点的个数.三、填空题 13．已知，且是第四象限的角，则_________1cos 5α=αcos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【分析】由平方关系求得，进而由诱导公式可求得结果.sin α【详解】且是第四象限角，. 1cos 5α= αsin α∴=cos()sin 2παα+=-=. 14．已知，，若，则的最小值为__________． a b ∈R 2a b -=122ab+【答案】4【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为，且，则，， a b ∈R 2a b -=20a >102b>所以，当且仅当，即，时取等号； 1242a b +≥==122a b =1a =1b =-所以的最小值为.122ab +4故答案为：415．函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为__________. ()(||2)f x x x =-[,]m n 1-n m -【答案】4【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，分别求出和时自变量的()3f x =()1f x =-()0x <值，结合图象得到的最大值.n m -【详解】解：函数的图象如下，()(2),0()2(2),0x x x f x x x x x x -≥⎧=-=⎨--<⎩当时，令，得舍，，0x ≥(2)3x x -=11(x =-)23x =当时，令，得舍，0x <(2)1x x --=-31x =-41x =-)结合图象可得max 23()3(14n m x x -=-=--=故答案为：416．定义区间(a ,b )，[a ,b )，(a ,b ]，[a ,b ]的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之d b a =-和，例如,(1,2)[3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }=x -[x ]，其中.设，，当时,不等式解集区间的长度为，则x R ∈()[]{}f x x x =⋅()1g x x =-0x k ≤≤()()f x g x <5的值为_______．k 【答案】7【详解】f (x )=[x ]⋅{x }=[x ]⋅(x −[x ])=[x ]x −[x ]2,g (x )=x −1， f (x )<g (x )⇒[x ]x −[x ]2<x −1即([x ]−1)x <[x ]2−1， 当x ∈[0,1)时,[x ]=0，上式可化为x >1， ∴x ∈∅；当x ∈[1,2)时,[x ]=1，上式可化为0>0， ∴x ∈∅；当x ∈[2,3)时,[x ]=2,[x ]−1>0,上式可化为x <[x ]+1=3， ∴当x ∈[0,3)时,不等式f (x )<g (x )解集区间的长度为d =3−2=1； 同理可得,当x ∈[3,4)时,不等式f (x )<g (x )解集区间的长度为d =4−2=2； ∵不等式f (x )<g (x )解集区间的长度为5， ∴k −2=5， ∴k =7. 故答案为7.四、解答题17．已知是第二象限角，且. α222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=(1)求的值；tan α(2)求的值.()()πsin sin π23π3cos cos 2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1)；1tan 2α=-(2). 35【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程，根据所在的象限即可求解； tan αα（2）根据诱导公式可得原式，分子分母同时除以即可求解.cos sin 3sin cos αααα-=-+cos α【详解】（1）由，222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=可得，即， 2222sin 3sin cos 2cos 0cos ααααα--=22tan 3tan 20αα--=解得或.1tan 2α=-tan 2α=因为是第二象限角，所以.α1tan 2α=-（2）. ()()πsin sin πcos sin 1tan 323π3sin cos 3tan 153cos cos 2αααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭===-+-+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭18．已知函数.()()2121x x f x x R -=∈+（1）判断函数的奇偶性；()f x （2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.x R ∈()()220f x f m x +->m 【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）.(),1-∞-【解析】（1）说明函数的定义域关于原点对称，计算得出，即可说明函数()f x ()()f x f x -=-为奇函数；()f x （2）利用函数单调性的定义证明出函数为增函数，由可得出()f x ()()220f x f m x +->，可得出，可得出，由可求得实数的取值范()()22f x m f x ->-22x m x ->-220x x m +->∆<0m 围.【详解】（1）函数的定义域为，该函数的定义域关于原点对称，()2121x x f x -=+R ，()()()()22121122112221x xx xx xx x f x f x --------====-+++所以，函数为奇函数；()f x （2）， ()()2122121212121x x x x x f x +--===-+++任取、，且，1x 2x R ∈12x x >则， ()()()()()1212211212222222211212121212121x x x x xx x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，则，所以，即，12x x > 12220x x >>()()()()()12121222202121x x x x f x f x --=>++()()12f x f x >所以，函数为上的增函数，且该函数为奇函数，()f x R 由可得，()()220f x f m x +->()()()222f x m f x f x ->-=-，即对任意的恒成立，22x m x ∴->-220x x m +->x R ∈所以，，解得. 440m ∆=+<1m <-因此，实数的取值范围是.m (),1-∞-【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不()f x f 等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.19．已知二次函数（a ，且），，若函数的最小值为()22f x ax bx =++b ∈R 0a ≠x ∈R ()f x .()11f -=(1)求的解析式；()f x (2)已知，讨论在上的最小值； m ∈R ()f x [],2m m +(3)当时，恒成立，求k 的取值范围. []2,3x ∈()3f x kx >+【答案】(1)；2()22f x x x =++(2)．2min2610,3,()1,31,22,1m m m f x m m m m ⎧++<-⎪=-≤≤-⎨⎪++>-⎩(3)． 72k <【分析】（1）根据二次函数的对称轴，最值列方程组求解； （2）由对称轴与给定区间的关系分类讨论求得最小值；（3）不等式用分离参数法变形后转化为求新函数的最值．【详解】（1）由题意且，解得， 0a >1221b a a b ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩12a b =⎧⎨=⎩∴；2()22f x x x =++（2）由（1），2()(1)1f x x =++当，即时，，12m m ≤-≤+31m -≤≤-min ()(1)1f x f =-=当时，在上单调递增，，1m >-()f x [,2]m m +2min ()()22f x f m m m ==++当即时，在上单调递减，，21m +<-3m <-()f x [,2]m m +2min ()(2)610f x f m m m =+=++综上，．2min 2610,3,()1,31,22,1m m m f x m m m m ⎧++<-⎪=-≤≤-⎨⎪++>-⎩（3），恒成立，即，， [2,3]x ∈()3f x kx >+2223x x kx ++>+12k x x <-+易知出函数在上是增函数，当时，取得最小值， 12y x x =-+[2,3]2x =12y x x =-+72所以． 72k <20．已知函数，. ()2ππsin 2sin 22cos 133f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R (1)求函数的最小正周期；()f x (2)求函数的单调递增区间；()f x (3)求函数f (x )在区间上的最大值和最小值. ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1)；π(2)； 3πππ,π,88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (3)1-【分析】（1）化简可得，即可得出周期； ()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）解不等式，即可得出函数的单调递增区间； πππ2π22π,242k x k k -+≤+≤+∈Z ()f x （3）由已知可得，根据正弦函数的图象及性质可推得，，ππ3π2444x -≤+≤min π()14f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. max π()8f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭【详解】（1）2()sin 2sin 22cos 133ππf x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππππ=sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333x x x x x ++-+，πsin 2cos 224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭函数的最小正周期. ()f x 2ππ2T ==（2）令 πππ2π22π,242k x k k -+≤+≤+∈Z 解得， 3ππππ,88k x k k -+≤≤+∈Z 所以函数的单调递增区间为. ()f x 3πππ,π,88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （3）由已知，可得. ππ44x -≤≤ππ3π2444x -≤+≤根据正弦函数的图象可得，当，即时，单调递增； πππ2442x -≤+≤ππ48x -≤≤()f x 当，即，单调递减. ππ3π2244x ≤+≤ππ84x ≤≤()f x 又，，ππ144f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3π144f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ82f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，， min π()14f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭max π()8f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以函数在区间,最小值是. ()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1-21．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品x ()G x ()2280,04036002012020,4080x x x G x x x x ⎧+<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；()W x x (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润时多少？【答案】(1) ()2**2120300,040,N 36001720,4080,N x x x x W x x x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨--+<≤∈⎪⎩(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1600万元【分析】（1）分和两种情况下，结合投入成本的解析式求出的解析040x <≤4080x <≤()G x ()W x 式；（2）在第一问的基础上，分与，结合函数单调性，基本不等式，求出两种情040x <≤4080x <≤况下的最大值，得到答案.【详解】（1）由该产品的年固定成本为300万元，投入成本万元，()G x 且， ()2**280,040,N 36002012020,4080,N x x x x G x x x x x ⎧+<≤∈⎪=⎨+-<≤∈⎪⎩当时，，040x <≤()()22003002120300W x x G x x x =--=-+-当时， 4080x <≤()()36002003001720W x x G x x x=--=--+所以利润万元关于年产量台的函数解析式为()W x x . ()2**2120300,040,N 36001720,4080,N x x x x W x x x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨--+<≤∈⎪⎩（2）当时，，040x <≤()()2221203002301500W x x x x =-+-=--+故当时，最大，最大值为1500； 30x =()W x 当时，， 4080x <≤()0172136000160072W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭当且仅当时，即时等号成立， 3600x x=60x =综上可得，年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1600万元22．如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，那么称是函数()f x 0x ()()()0011f x f x f +=+0x 的“阶梯点”．()f x (1)试判断函数是否有“阶梯点”，并说明理由； ()11f x x =+(2)证明：函数有唯一“阶梯点”；()23x f x x =+(3)设函数在区间内有“阶梯点”，求实数的取值范围． ()2lg 1a f x x =+()0,∞+a 【答案】(1)函数无“阶梯点”；理由见解析 ()11f x x =+(2)证明见解析(3) )32⎡⎣【分析】（1）根据“阶梯点”定义列方程，判断方程是否有解即可.（2）根据“阶梯点”定义构造函数，由零点存在性定理判断函数的零点情况即可作答.（3）根据“阶梯点”定义列方程，变形构造函数，利用函数有零点分类讨论计算作答.【详解】（1）假设有“阶梯点”，则是方程的解， ()11f x x =+0x 0x 1110212x x --=++而方程可化为，该方程无实根， 1110212x x --=++2340x x ++=所以函数无“阶梯点”． ()11f x x =+（2）假设是的“阶梯点”，0x ()23x f x x =+则是方程的解． 0x ()()21231340x x x x +⎡⎤++-+-=⎣⎦方程化为 ()()21231340x x x x +⎡⎤++-+-=⎣⎦23230x x ⋅+-=考虑函数，显然函数是上的单调增函数，()2323x g x x =⋅+-()g x R 且，故有唯一“阶梯点”.()()010150g g =-=，()00,1x ∈（3）函数在区间内有“阶梯点”方程在区()2lg 1a f x x =+()0+∞，⇔()22lg lg lg 01211a a a x x --=+++间内有根， ()0+∞，0a >再化为有正根.()()222220a x ax a -++-=当时，不合题意，故方程为一元二次方程．2a =()()222220a x ax a -++-=当时，符合题意．1a =当时，其有正根有两种情况：一是两正，一是一正一负，1a ≠故或 1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩1200x x ∆>⎧⎨<⎩解之得或31a≤<12a <<综上所述：的取值范围是．a )32⎡⎣【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
呼和浩特市高一上学期期末数学试卷D卷
呼和浩特市高一上学期期末数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知有解，，则下列选项中是假命题的是（）A .B .C .D .2. （2分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A . 月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B . 月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C . 月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D . 月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系3. （2分）某次考试结束后，从考号为1﹣1000号的1000份试卷中，采用系统抽样法抽取50份试卷进行试评，则在考号区间[850，949]之中被抽到的试卷份数为（）A . 一定是5份B . 可能是4份C . 可能会有10份D . 不能具体确定4. （2分）执行如图程序中，若输出y的值为1，则输入x的值为（）A . 0B . 1C . 0或1D . 0或﹣15. （2分）设事件A，B，已知P（A）=， P（B）=,，则A，B之间的关系一定为（）A . 两个任意事件B . 互斥事件C . 非互斥事件D . 对立事件6. （2分）程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值是（）A . 3B . 4C . 5D . 67. （2分） (2018高二上·宾阳月考) 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（）A . 0.27,78B . 0.27,83C . 2.7,78D . 2.7,838. （2分）(2015·河北模拟) 某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）如图所示，程序框图输出的所有实数对所对应的点都在函数（）A . 的图象上B . 的图象上C . 的图象上D . 的图象上10. （2分） (2018高一下·枣庄期末) 欧阳修在《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见，卖油翁的技艺让人叹为观止。
呼和浩特市高一上学期数学期末考试试卷(I)卷(考试)
呼和浩特市高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A . 1B . 2C . 4D . 82. （2分）设a，b∈R，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a+b三个元素，且集合A 与集合B相等，则a+2b=（）A . 1B . 0C . ﹣1D . 不确定3. （2分） (2017高一上·白山期末) 下列四组函数中，表示同一函数的是（）A . f（x）=lgx2 ， g（x）=2lgxB . f（x）= • ，g（x）=C . f（x）=x﹣2，g（x）=D . f（x）=lgx﹣2，g（x）=lg4. （2分） (2019高一上·湖北期中) 已知函数，则该函数是（）A . 偶函数，且单调递增B . 偶函数，且单调递减C . 奇函数，且单调递增D . 奇函数，且单调递减5. （2分）设＜＜＜1，那么（）A . aa＜ab＜baB . aa＜ba＜abC . ab＜aa＜baD . ab＜ba＜aa6. （2分）设a,b为两条直线，为两个平面，下列四个命题中真命题是（）A . 若a,b与所成角相等，则a//bB . 若,则a//bC . 若,则D . 若,则7. （2分） (2016高一上·石家庄期中) 下列图象表示的函数中，不能用二分法求零点的是（）A .B .C .D .8. （2分）圆C1；x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2；x2+y2﹣4x+4y﹣8=0的位置关系是（）A . 相交B . 外切C . 内切D . 相离9. （2分）如图，将边长为5+的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体积是（）.A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·姚安期中) 已知直线l的方程为3x+4y﹣25=0，则圆x2+y2=1上的点到直线l的最大距距离是（）A . 1B . 4C . 5D . 611. （2分）(2017·赣州模拟) 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别是棱D1C1 ， B1C1的中点，过E，F作一平面α，使得平面α∥平面AB1D1 ，则平面α截正方体的表面所得平面图形为（）A . 三角形B . 四边形C . 五边形D . 六边形12. （2分） (2018高一上·徐州期中) 若函数f（x）= 在x∈（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在空间直角坐标系中，点在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是________.14. （1分）设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（﹣2），f（﹣π），f（3）的大小顺序是________ ．15. （1分） (2016高二上·南昌期中) 若直线过点（，﹣3）且倾斜角为30°，则该直线的方程为________．16. （1分） (2017高二下·都匀开学考) 圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2019高一上·纳雍期中) 设全集为R，，，求及.18. （5分） (2016高二上·佛山期中) 平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A（﹣3，0），B（2，1），C （﹣2，3），求：（Ⅰ）BC边上高线AH所在直线的方程；（Ⅱ）若直线l过点B且横、纵截距互为相反数，求直线l的方程．19. （15分） (2018高一上·西宁月考) 已知函数（1）求f(-4)、f(5)的值；（2）画出函数f(x)的图象，并指出它的单调区间（不需证明）；（3）当时，求函数的值域.20. （10分）(2017·湘西模拟) 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．21. （10分） (2016高二上·湖州期末) 已知圆C的圆心在射线y=2x﹣3（x≥0），且与直线y=x+2和y=﹣x+4都相切．（1）求圆C的方程；（2）若P（x，y）是圆C上任意一点，求x+2y的最大值．22. （10分）(2019·全国Ⅲ卷文) 已知函数 .（1）讨论的单调性；（2）当0<a<3时，记在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
内蒙古自治区呼和浩特市第三十中学2024-2023学年高一数学文上学期期末试卷含解析
内蒙古自治区呼和浩特市第三十中学2024-2023学年高一数学文上学期期末试卷含解析专业课理论基础部分一、选择题（每题1分，共5分）1.下列哪个数是实数集R中的无理数？2.已知集合A = {x | x = 2n + 1, n ∈ Z}，则集合A表示的是？A. 所有奇数的集合B. 所有偶数的集合C. 所有整数的集合D. 所有有理数的集合3.函数y = 2x + 3的定义域是？A. 实数集RB. 整数集ZC. 自然数集ND. 正实数集R+4.若矩阵A =[[a, b],[c, d]]则矩阵A的行列式值为？A. ad - bcD. ab + cd5.已知点P(2, 3)在直线y = 2x + 1上，则直线的斜率k为？二、判断题（每题1分，共5分）1.实数集R中的正实数和负实数的和为0。
2.任意两个实数集的交集仍然是一个实数集。
3.函数y = x^3在实数集R上单调递增。
4.若矩阵A是n×n的方阵，且|A| = 0，则A是奇异矩阵。
5.若两个向量a和b互相垂直，则它们的点积为0。
三、填空题（每题1分，共5分）1.集合{1, 2, 3, 4, 5}的子集个数为________。
2.若函数f(x) = ax^2 + bx + c的判别式Δ = b^2 - 4ac大于0，则函数的图像与x轴有________个交点。
3.平面直角坐标系中，点(3, -2)关于y轴的对称点坐标为________。
4.若向量a = (1, 2)，向量b = (-2, 3)，则向量a和向量b的点积为________。
5.若矩阵A =[[1, 2],[3, 4]],则矩阵A的逆矩阵为________。
四、简答题（每题2分，共10分）1.请简要说明实数集R中的有理数和无理数的区别。
2.请用一条直线方程表示平面直角坐标系中的第二象限。
3.请列出判断一个二次方程ax^2 + bx + c = 0有两个相等实数根的条件。
4.请解释什么是矩阵的行列式，并给出计算矩阵行列式的方法。