粘弹性方程-开题报告

开题报告表
课题名称一类非线性粘弹性方程解的整体存在性
课题来源自选题目课题类型DX 指导老师李文清
学生姓名樊辰光学号200911002104 专业信息与计算科学1.调研资料的准备，设计的目的、要求、思路与预期成果
偏微分方程作为数学的一个分支出现于18世纪，最早得到系统研究的是三种基本的数学物理方程：波动方程，热传导方程和调和方程．所采用的主要工具是经典分析。

到了20世纪，随着现代科学技术和其他各数学分支的发展，偏微分方程理论的研究已经突破了经典理论的局限，而在更一般的框架中讨论问题已经成为十分必要和可能了。

人们发现，固体力学、电磁学、生物学甚至金融等众多应用领域的基本规律，都可以转化为微分方程来研究。

这不仅可以洞察现象的本质、得到定性特征、还能够做出新的预言。

人们将它应用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效。

随着科学技术的不断发展，各种各样的非线性问题已经日益引起人们的广泛关注，非线性偏微分方程初边值问题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前非线性科学领域中最为活跃的研究课题之一。

粘弹性理论是固体力学的研究分支，有不少工程材料，如混凝土、高聚合材料、某些生物组织以及处于高速变形状态的金属材料，既具有弹性性质，又具有粘性性质，这种兼具弹性性质和粘性性质的材料称为粘弹性体。

在外力作用下，粘弹性体产生弹性变形，而且变形还随时间而变化，因此用弹性力学方法来研究粘弹性体就不能反映实际情况。

粘弹性理论与弹性力学的主要区别在于应力－应变关系不同。

因此,粘弹性体的应力－应变关系就成为粘弹性理论的主要研究内容。

近几年，非线性粘弹性本构理论，断裂理论和应用都取得了很大进展。

人们借助于非线性模型来充分研究年弹性固体的行为，随着研究广度和研究深度的进步，不少学者推导出其运动方程是积分-偏微分方程，用经典的Galerkin方法可把它简化为非线性积分-微分方程。

最者粘弹性力学的理论进展和广泛应用，粘弹性方程初边植问题成为近几年数学界讨论的热点话题之一。

含有记忆项的粘弹性方程的研究成为偏微分方程中的重要课题。

1.1 调研资料：
[1]Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J. Existence and uniform decay for
a nonlinear viscoalastic equation with strong damping [M].2001 .
[2]Tater N,Messaoudi S A. Exponential and polynomial decay for a quasilinear viscoelastic equation[M]Nonlinear Analysis,2008(68)785-793
[3]韩小森，王明新，带非线性阻尼的粘弹方程解的整体存在性和一致衰减性，[M].2009
[4]Shuntang Wu.General decay of solutions for a viscoelastic equation with nonlinear damping and source terms [M].2011.
[5]Xiaosen Han,Mingxin Wang,General decay of energy for a viscoelastic equat ion with nonlinear damping [M].2009
[6]Wenjun Liu. Exponential or polynomial decay of solutions to a viscoelastic equation
with nonlinear localized damping [M].2010.
[7]同济大学数学系主编，高等数学[M].高等教育出版社，1979.
[8]张全德，非线性波动方程整体解的存在性与唯一性[J].陕西师大学报(自然科学
版),20(1992)81—82.
[9]Messaoudi A,Berrimi S. Existence and decay of solutions of a viscoalastic equ ation with a nonlinear source[M].Nonlinear Analysis,2006,2314-2331
[10]Tater N,Messaoudi S A. Global existence and uniform stability of solutions for a quasilinear viscoelastic problem. [M].
[11]苗长兴 非线性波动方程的现代方法[M].2005.
[12]Lions J L,Strauss W A. Some nonlinear evolution equations[M]. 1965(01).
[13]Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differe ntial Equations [M].1983.
[14]谷超豪，李大潜，沈玮熙，应用偏微分方程[M].高等教育出版社，1993.
[15]陆启韶，常微分方程的定性方法和分叉[M].北京航天大学出版社，1989.
[16]Tater N,Messaoudi S A.Global Existence and Asymptotic Behavior for a Nonlinear Viscoelastic Problem[M].
[17]张芷芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜，微分方程定性理论[M].科学出版社，1985.
1.2 设计目的
综合以上参考文献，Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J 已经研究过方程 ⎰=∆-∆-+∆-∆-t
t tt tt t u d u t g u u u u 00)()(γτττρ ,0x t ∈Ω≥ （1.1） 具有初边值01(,0)(),(,0)(),,t u x u x u x u x x ==∈Ω
(,)0u x t =，,0x t ∈∂Ω≥。

他们得出松弛函数以指数形式衰减时，得到了能量的一致衰减。

Tater N,Messaoudi S A 研究过如下方程
u u b u d u t g u u u u p t t tt tt t 20)()(-⎰=∆-∆-+∆-∆-γτττρ ,0x t ∈Ω≥ （1.2）
初边值条件同（1.1）。

用改进的位势井方法得出了整体解的存在性且能量以指数形式衰减。

吴舜堂研究了方程
u u u u d u t g u u u u p
t t m t tt tt t ⎰=+∆-+∆-∆-0)()(τττρ ,0x t ∈Ω≥ （1.3） 刘文俊研究了方程
⎰=++∆-+∆-t t m t tt u u b u u x a d u t g u u 00)()()(γ
τττ ,0x t ∈Ω≥ （1.4） 受上述文献的启发，本课题拟研究如下方程
⎰=++∆-+∆-t t m t tt t u u b u u x a d u t g u u u 00)()()(γ
ρτττ ,0x t ∈Ω≥ （1.5） 具有初边值01(,0)(),(,0)(),,t u x u x u x u x x ==∈Ω
(,)0u x t =，,0x t ∈∂Ω≥。

以Sobolev 空间基础知识为工具，利用衰减估计方法对非线性粘弹性方程解的存在性进行了研究，本课题与（1.4）题目的区别是将tt u 改为tt t u u ρ。

其中tt t u u ρ
的计算方法参考方程（1.1）-（1.3）.结合（1.4）的衰减估计得出（1.5）的衰减估计。

预期结果是能量以指数形式衰减。

2.任务完成的阶段内容及时间安排
第3周：完成开题报告及文献综述和文献翻译；
第4-10周：根据设计思路初步完成毕业论文；
第 11 周：将初步完成的毕业论文发给指导老师，请求指导老师检查并提出问题；
第12-14 周：根据指导老师提出的问题逐步更正；
第15周：准备毕业论文答辩；
第16周：开始毕业论文答辩。

3.完成设计（论文）所具备的条件因素
河南工程学院图书馆有大量的文献，数理科学系阅览室也有大量的中外文文献可以查阅，本人有扎实的英语和数学功底，非常熟悉数学分析的知识，熟练掌握word,maple 等数学工具。

这些都为顺利完成论文打下了基础。

指导教师签名： 日期：
课题类型：（1）A —工程设计；B —技术开发；C —软件工程；D —理论研究；
（2）X ——真实课题；Y ——模拟课题；Z —虚拟课题
要求（1）、（2）均要填，如AY 、BX 等。