2018高考理科第二轮复习专题三 导数及其应用
一、导数的概念及几何意义： 1、函数在x=x0处的导数及其导函数的概念； 2、函导数的几何意义.
二、导数运算
1、求导公式； 2、导数的四则运算法则.
二、导数的应用
1、利用导数求曲线的切线；
2、利用导数判断函数的单调性： (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，
如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件， 当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为 常数函数，函数不具有单调性.
3、利用导数求函数极值和最值： (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的 最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论 的问题. (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有. (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的 函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值 一定是函数的最值. 4、利用导数综合研究函数的性质、函数的零点、 方程的根、构造函数证明不等式等问题.
（二）求函数的极值、最值
1 【例3】已知函数f(x)= ln x , g ( x) ax b. x (1)若a 2, F (x) f ( x) g ( x), 求F （x）的单调区间； 1 （2）若函数g ( x) ax b是函数f ( x) ln x 图像 x 的切线，求a+b的最小值.
(1)(2)(4) . 其中正确的命题的序号是 ____________
类型二 导数的几何意义 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在 点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不 一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在 点P处的切线，必以点P为切点. 利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、 切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平 行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则 要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和 导数联系起来求解.
【例2】已知a R,函数f ( x) e x ax. (1)若函数f(x)在区间（-e,-1)上是减函数，求实数a的 取值范围； 1 （2）若函数F（x)=f(x)-（e 2ax 2 ln x a)在区间(0, ) 2 内无零点,求实数a的最大值.
x
（二）利用导数求解不等式及参数范围
2 3 例4、 已知函数f ( x) x 2 x 2 (2 a) x 1, 其中a R. 3 求f ( x)在区间[2,3]上的最大值和最小值.
例5、 已知函数f ( x) e cos x x.求函数f ( x)在区间[0, ] 2 上的最大值和最小值.
x
例6、已知函数f ( x) ax ln x, F ( x)=e x ax, 其中x 0, a 0. 1 若a (-,- 2 ]，且函数g ( x) xe ax 1 2ax f ( x)的最小值为M , e 求M 的最小值.
类型四 利用导数研究函数零点、恒成立问题
导数是研究函数的重要工具，由于函数与方程、 不等式的紧密联系，高考常考查利用导数来研究方 程、不等式的综合题，题型为解答题，通常属于中 档题或难题。解题的基本思路是构造函数，通过导 数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点 的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况 以及方程实根的个数,必要时画出函数的草图辅助思 考。
（3） ①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数
定义域内解（或证明）不等式f’(x)>0或f’(x)<0. ②若已知函数的单调性，则转化为不等式
f’(x)≥0或f’(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
（4） ①若求极值，则先求方程f’(x)=0的根， 再检查f’(x)在方程根的左右函数值的符号. ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方 程f’（x）=0的根的大小或存在情况来求解. （5）求函数f(x)在闭区间[a,b]的最值时，在得到 极值的基础上，结合区间端点的函数f(a)与f(x)的 各极值进行比较得到函数的最值. （6） 常见恒成立不等式 ①lnx≤x-1, ②ex≥x+1
【例3】已知函数f ( x) （x 1) ln x a( x 1).若当x (1, )时， f ( x) 0, 求a的取值范围.
1、涉及不等式证明或恒成立问题，常依据题目特 征，恰当构建函数，利用导数研究函数性质，转化为 求函数的最值、极值问题，在转化过程中，一定要注 意等价性； 2、对于函数参数的不等式，如果易分离参数，可 先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值； 否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作 出函数图像草图，借助几何图形直观分析转化.
（一）利用导数研究函数的零点（方程的根）
3 2
【例1 】已知函数f ( x) x 4 x 4 x c有三个不同的零点， 求c的取值范围.
三步求解函数零点（方程根）的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化 为函数的图像与x轴（或直线y=k）在该区间上的交 点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、 极值（最值）、端点值等性质，进而画出其图像. 第三步：结合图像求解.
若将“k>0”改为“k<0”，单调性如何？
若将“（0,2）”改为“（0，+∞）”，单调性如何？
练习 已知函数f ( x) ln x mx.讨论函数f(x)在（1，e)上 的单调性.
ln x k 【例2】已知函数f(x)= .(k 为常数），曲线y=f(x)在点 x e （1，f(1))处的切线与x轴平行， (1)求k的值； （2）求f ( x)的单调区间.
函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与 其他知识结合起来，形成层次丰富的各类综合 题，高考对导数计算的要求贯彻于与导数有关 的每一道题目之中，多涉及三次函数、指数函 数、对数函数、正弦函数、余弦函数以及由这 些函数复合而成的一些函数的求导问题；重点 考查利用导数的方法研究函数的单调性、极值、 最值，研究方程和不等式.
例1、已知函数（ f x)的导函数为f ( x)=ax 2 +bx+c的图像， 则f(x)的图像可能是（ D ）
y
x1 o x
变式 已知函数（ f x)的导函数为f ( x)，若y f ( x)的图像如图， 则f ( x)的图像可能是（B ）
y
-1
o
1
x
例3、已知函数（ f x)的定义域是[1,5]，部分对应值如下表， f ( x)的导函数f ( x)的图像如下图所示.
【例4】在平面直角坐标系xoy中，设A是曲线C1：y=ax3 1(a 0) 5 与曲线C2 : x y 的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在 2 4 A处的切线互相垂直，则实数a的值是_______.
2 2
类型三 利用导数研究函数的性质
利用导数研究函数性质的一般步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导函数f’(x);
类型一
与导数有关的图像识别问题
函数图像直观地反映了函数的关系，函数的 关系决定了函数的性质，函数图像问题可用考查 考生对函数关系的理解和对函数性质的掌握，因 此有着导数背景的图像问题逐渐成为近年来高考 命题的热点。 识别与导数有关的图像问题，关键有两点： 一是理解导数与函数图像的升降关系；二是熟记 导函数的图像与原函数单调性的关系.
（一）讨论、判断、证明单调性或求单调区间
4 4 x2 【例1】已知函数f ( x) (k ) ln x ，其中常数k 0， k x （ 1）讨论f(x)在（0,2）上的单调性； （2）若k [4, )，曲线y f ( x)上总存在相异两点M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )使得曲线y f ( x)在M , N 两点处切线互相平行，求 x1 x2的取值范围.
x f(x) -1 2 0 2 2 1.5 4 2 5 1
下列关于函数f ( x)的命题： （ 1）函数f ( x)的值域为[1,2]; (2)函数f(x)在[0,2]上是减函数； （3）如果当x [-1,t]时,f(x)的最大值是2，那么t的最 大值是4； （4）当1<a<2时，函数y=f(x)-a最多有4个零点.
2018届高考理科数学通用版三维二轮专题复习课件导数的简单应用
[典例]
(2017· 全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝exex－a－a2x.
❶
(1)讨论 f(x)的单调性； (2)若fx≥0，求 a 的取值范围． [解答示范]
❷
(一)搭桥——找突破口
(一)搭桥——找突破口
第(1)问： 欲讨论 f(x)的单
第(2)问： 欲求 a 的取值范围， 调性，应先求 f(x)的定义 应想到找出有关 a 的不等关 系．由 f(x)≥0，则应求 f(x)的最 小值，借助(1)的结论可得．
g(1))处的切线方程为 9x＋y－1＝0，则曲线 y＝f(x)在点(2， f(2))处的切线方程为________．
解析：由已知得 g′(1)＝－9，g(1)＝－8， 1 x 1 9 1 又 f′(x)＝ g′ 2 ＋2x，∴f′(2)＝ g′(1)＋4＝－ ＋4＝－ ， 2 2 2 2 1 f(2)＝g(1)＋4＝－4，∴所求切线方程为 y＋4＝－ (x－2)， 2 即 x＋2y＋6＝0.
[答案] 2x－y＝0
[类题通法] 1．求曲线 y＝f(x)的切线方程的 3 种类型及方法
(1)已知切点 P(x0，y0)，求切线方程 求出切线的斜率 f′(x0)，由点斜式写出方程； (2)已知切线的斜率 k，求切线方程 设切点 P(x0，y0)，通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点斜式 写出方程； (3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程 设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，再由斜 率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式 写出方程．
π f′2＝1，则
a＝(
)
解析：∵f′(x)＝sin x＋xcos x＋a，且 π π π ∴sin ＋ cos ＋a＝1，即 a＝0. 2 2 2
2018届高中数学高考二轮复习导数的综合应用教案含答案(全国通用)
第2讲：《导数的综合应用》教案一、教学目标1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题．二、知识梳理1．已知函数单调性求参数值范围时，实质为恒成立问题．2．求函数单调区间，实质为解不等式问题，但解集一定为定义域的子集．3．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．三、题型突破题型一 讨论函数的单调性例1 已知函数f (x )＝x 2e－ax (a >0)，求函数在[1,2]上的最大值．变式迁移1 设a >0，函数f (x )＝a ln x x. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间[a,2a ]上的最小值．题型二 用导数证明不等式例2 已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )， (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.变式迁移2 (2010·安徽)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.题型三实际生活中的优化问题例3某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．变式迁移3甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2 000t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)．(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？四、针对训练(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知曲线C ：y ＝2x 2－x 3，点P (0，－4)，直线l 过点P 且与曲线C 相切于点Q ，则点Q 的横坐标为________．2．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________.3．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，则a ＝f (0)、b ＝f (12)、c ＝f (3)的大小关系为________________． 4．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋tx ＋t 在(－1,1)上是增函数，则t 的取值范围是________．5．若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系为________． 6．在直径为d 的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh 2成正比，其中h 为矩形的长，b 为矩形的宽)7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m ，长和宽的和为20 m ，则仓库容积的最大值为_______________m 3.8．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围为________． 二、解答题(共42分)9．(12分)设函数f (x )＝kx 3－3x 2＋1(k ≥0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的极小值大于0，求k 的取值范围．10．(14分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．11．(16分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x，函数f (x )的图象与x 轴的交点也在函数g (x )的图象上，且在此点有公共切线．(1)求a 、b 的值；(2)对任意x >0，试比较f (x )与g (x )的大小．五、参考答案二、知识梳理1．0<a <1 2.123.－24.⎣⎡⎦⎤12，12e π25.6 三、题型突破例1 解题导引 求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f ′(x )＝0，求出x 值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况．解 ∵f (x )＝x 2e－ax (a >0)， ∴f ′(x )＝2x e－ax ＋x 2·(－a )e －ax ＝e －ax (－ax 2＋2x )．令f ′(x )>0，即e －ax (－ax 2＋2x )>0，得0<x <2a. ∴f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫0，2a 上是增函数． ①当0<2a<1，即a >2时，f (x )在[1,2]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝e －a .②当1≤2a≤2，即1≤a ≤2时，f (x )在⎣⎡⎭⎫1，2a 上是增函数，在⎝⎛⎦⎤2a ，2上是减函数，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫2a ＝4a －2e －2. ③当2a>2，即0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝4e－2a . 综上所述，当0<a <1时，f (x )的最大值为4e －2a ；当1≤a ≤2时，f (x )的最大值为4a －2e －2； 当a >2时，f (x )的最大值为e －a . 变式迁移1 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ·1－ln x x 2(a >0)， 由f ′(x )＝a ·1－ln x x 2>0，得0<x <e ； 由f ′(x )<0，得x >e.故f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．(2)∵f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[a,2a ]上的最小值[f (x )]min ＝min{f (a )，f (2a )}．∵f (a )－f (2a )＝12ln a 2， ∴当0<a ≤2时，[f (x )]min ＝ln a ；当a >2时，[f (x )]min ＝ln 2a 2. 例2 解题导引 利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题．(1)解 f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x(x >0)， 若a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，∴函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．若a >0时，令f ′(x )>0，得x >a ，∴函数f (x )的单调增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a )．(2)证明 设F (x )＝23x 3－(12x 2＋ln x )， 故F ′(x )＝2x 2－x －1x. ∴F ′(x )＝ x －1 2x 2＋x ＋1 x.∵x >1，∴F ′(x )>0. ∴F (x )在(1，＋∞)上为增函数．又F (x )在(1，＋∞)上连续，F (1)＝16>0， ∴F (x )>16在(1，＋∞)上恒成立． ∴F (x )>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 变式迁移2 (1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x(－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f ′(x )－ 0 ＋ f (x ) 极小值故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R .于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增，于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0，即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.例3 解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]．(2)L ′(x )＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x )＝(12－x )(18＋2a －3x )．令L ′＝0，得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去)． ∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283. 在x ＝6＋23a 两侧L ′的值由正变负． ∴①当8≤6＋23a <9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )． ②当9≤6＋23a ≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L (6＋23a )＝(6＋23a －3－a )[12－(6＋23a )]2＝4(3－13a )3.。
2018届高考数学理科二轮总复习课件：专题三 导数及其
已知函数f(x)＝x－1－aln x(其中a为参数).
(1)求函数f(x)的单调区间；
解答
(2)若对任x∈(0，＋∞)都有f(x)≥0成立，求实数a的取值集合；
解答
1 1 n n＋1 (3)证明：1＋n <e<1＋n (其中
n∈N*，e 为自然对数的底数).
由
1 2 f′(x)<0，得2x －x－1>0，解得x<－ 2
或x>1.
又因为x>0，所以x>1.
所以f(x)的递减区间为(1，＋∞).
解答
(2)若关于x的不等式f(x)≤ax－1恒成立，求整数a的最小值.
解答
热点二 不等式的证明 例2 已知函数f(x)＝ax2－bx＋ln x(a，b∈R). 当a＝1，b>3时，记函数f(x)的导函数f′(x)的两个零点是x1和x2(x1<x2)， 3 求证：f(x1)－f(x2)> －ln 2. 4 思维升华 利用导数证明不等式的四个依据 (1)依据待证不等式的特征、变量的取值范围及不等式的性质，将待证不等 式化简. (2)依据不等式构造函数. (3)依据导数研究函数的单调性，求其最值. (4)依据单调性及最值，得到待证不等式.
证明
(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
解答
1 2 (2)求证：对一切 x∈(0，＋∞)，ln x>ex－ex恒成立.
思维升华
利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导
数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求
出参数的取值范围；也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函
1 2
2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：3-6导数与函数 精品
＝x－1，因而 f(x)的图像恒在 y＝x－1 的下方，则当 x∈(0，1]
时，函数 f(x)的图像上任意两点连线的斜率均不小于 1，即
f（m）m－－nf（n）≥1，故mn mnmn≥em－n.
回顾 (1)本题考查利用导数研究曲线的切线、不等式的证明 等，考查考生的化归与转化思想．本题以函数 f(x)＝lnxx为原型函 数，入手点简单，但所涉及的问题有一定的高度，特别是第(2) 问不等式的证明，需经过多次转化．如果不善于转化或转化错误 则满盘皆输．
(2)若在[1，e](e＝2.718…)上存在一点 x0，使得 x0＋x10<mf(x0) 成立，
则构造函数 h(x)＝x＋1x－mf(x)＝x＋1x－mlnx＋mx 在[1，e]上 的最小值小于零．
h′(x)＝1－x12－mx －xm2 ＝x2－mxx－2 m－1＝（x＋1）（x2x－m－1）.(6 分) 令 h′(x)＝0，∵x∈[1，e]，∴x＝m＋1，
调研一 切线、恒成立
lnx＋k (2016·江 西 七 校 二 次 联 考 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ ex
(k∈R，e 是自然对数的底数)，f′(x)为 f(x)的导函数． (1)当 k＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； e－2＋1 (2)若 f′(1)＝0，试证明：对任意的 x>0，f′(x)< x2＋x 恒成
①当 m＋1≥e 时，即 m≥e－1 时，h(x)在[1，e]上单调递减， (8 分)
所以 h(x)的最小值为 h(e)，由 h(e)＝e＋1＋e m－m<0 可得 m>ee2－＋11，
因为ee2－＋11>e－1，所以 m>ee2－＋11；(10 分) ②当 m＋1≤1，即 m≤0 时，h(x)在[1，e]上单调递增， 所以 h(x)最小值为 h(1)，由 h(1)＝1＋1＋m<0 可得 m<－2； (11 分)
高考数学(理)二轮专题练习【专题2】(3)导数及其应用(含答案)
第3讲导数及其应用考情解读 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用．1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．3．函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．4．定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：①ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x；②ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；③ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．(2)微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a).热点一导数的运算和几何意义例1 (1)(2014·广东)曲线y ＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝52的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________． 思维启迪 (1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A 点坐标是解题的关键点，列方程求出． 答案 (1)5x ＋y －3＝0 (2)4 解析 (1)因为y ′＝e －5x(－5x )′＝－5e－5x，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)， 即5x ＋y －3＝0.(2)设A (x 0，y 0)，则C 1在A 处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3ax 20，C 2在A 处的切线的斜率为－1k OA ＝－x 0y 0， 又C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直， 所以(－x 0y 0)·3a 20＝－1，即y 0＝3ax 30， 又ax 30＝y 0－1，所以y 0＝32， 代入C 2：x 2＋y 2＝52，得x 0＝±12，将x 0＝±12，y 0＝32代入y ＝ax 3＋1(a >0)，得a ＝4.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．(1)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′(π3)＋sin x ，则f ′(π3)＝________.(2)若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于________． 答案 (1)36－4π(2)2 解析 (1)因为f (x )＝x 2f ′(π3)＋sin x ，所以f ′(x )＝2xf ′(π3)＋cos x ．所以f ′(π3)＝2×π3f ′(π3)＋cos π3.所以f ′(π3)＝36－4π.(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f ′(π2)＝1，即函数f (x )＝x sin x ＋1在点x ＝π2处的切线的斜率是1，直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a2，所以(－a2)×1＝－1，解得a ＝2.热点二 利用导数研究函数的性质例2 已知函数f (x )＝(x ＋a )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0,4]时，求函数f (x )的最小值．思维启迪 (1)直接求f ′(x )，利用f ′(x )的符号确定单调区间；(2)讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f (x )的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到． 解 (1)因为f (x )＝(x ＋a )e x ，x ∈R ，所以f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝－a －1.当x 变化时，f (x )和f ′(x )的变化情况如下：故f (x )单调增区间为(－a －1，＋∞)．(2)由(1)得，f (x )的单调减区间为(－∞，－a －1)； 单调增区间为(－a －1，＋∞)．所以当－a －1≤0，即a ≥－1时，f (x )在[0,4]上单调递增，故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (0)＝a ；当0<－a －1<4，即－5<a <－1时， f (x )在(0，－a －1)上单调递减， f (x )在(－a －1,4)上单调递增，故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (－a －1)＝－e－a －1；当－a －1≥4，即a ≤－5时，f (x )在[0,4]上单调递减， 故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (4)＝(a ＋4)e 4.所以函数f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥－1，－e－a －1， －5<a <－1，(a ＋4)e 4， a ≤－5.思维升华 利用导数研究函数性质的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导函数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．(4)①若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号． ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解． (5)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．已知函数f (x )＝ln x ＋2ax，a ∈R .(1)若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值． 解 (1)∵f (x )＝ln x ＋2a x ，∴f ′(x )＝1x －2ax 2.∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x －2ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤x2在[2，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x2，则a ≤[g (x )]min ，x ∈[2，＋∞)，∵g (x )＝x2在[2，＋∞)上是增函数，∴[g (x )]min ＝g (2)＝1.∴a ≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]． (2)由(1)得f ′(x )＝x －2ax2，x ∈[1，e]．①若2a <1，则x －2a >0，即f ′(x )>0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上是增函数．所以[f (x )]min ＝f (1)＝2a ＝3，解得a ＝32(舍去)．②若1≤2a ≤e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2a . 当1<x <2a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(1,2a )上是减函数，当2a <x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2a ，e)上是增函数． 所以[f (x )]min ＝f (2a )＝ln(2a )＋1＝3， 解得a ＝e 22(舍去)．③若2a >e ，则x －2a <0，即f ′(x )<0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是减函数． 所以[f (x )]min ＝f (e)＝1＋2ae＝3，得a ＝e.适合题意． 综上a ＝e.热点三 导数与方程、不等式例3 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值；(3)是否存在实数m ，使得函数y ＝g (2ax 2＋1)＋m －1的图象与函数y ＝f (1＋x 2)的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．思维启迪 (1)利用F ′(x )确定单调区间；(2)k ＝F ′(x 0)，F ′(x 0)≤12分离a ，利用函数思想求a的最小值；(3)利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化． 解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.∵a >0，由F ′(x )>0⇒x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增函数． 由F ′(x )<0⇒x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减函数． ∴F (x )的单调递减区间为(0，a )， 单调递增区间为(a ，＋∞)． (2)由F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)得k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立⇔a ≥－12x 20＋x 0恒成立．∵当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，∴a ≥12，a 的最小值为12.(3)若y ＝g (2a x 2＋1)＋m －1＝12x 2＋m －12的图象与y ＝f (1＋x 2)＝ln(x 2＋1)的图象恰有四个不同交点，即12x 2＋m －12＝ln(x 2＋1)有四个不同的根，亦即m ＝ln(x 2＋1)－12x 2＋12有四个不同的根．令G (x )＝ln(x 2＋1)－12x 2＋12.则G ′(x )＝2xx 2＋1－x ＝2x －x 3－x x 2＋1＝－x (x ＋1)(x －1)x 2＋1当x 变化时G ′(x )、G (x )的变化情况如下表：由上表知：G (x )极小值＝G (0)＝12，G (x )极大值＝G (－1)＝G (1)＝ln 2>0.又由G (2)＝G (－2)＝ln 5－2＋12<12可知，当m ∈(12，ln 2)时，y ＝G (x )与y ＝m 恰有四个不同交点．故存在m ∈(12，ln 2)，使函数y ＝g (2ax 2＋1)＋m －1的图象与y ＝f (1＋x 2)的图象恰有四个不同交点．思维升华 研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考．已知函数f (x )＝a (x 2＋1)＋ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知，得f ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x(x >0)．①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ②当a <0时，若0<x < －12a，则f ′(x )>0， 故f (x )在(0，－12a]上是增函数； 若x >－12a，则f ′(x )<0，故f (x )在[－12a，＋∞)上是减函数． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数； 当a <0时，f (x )在(0,－12a]上是增函数，在[ －12a，＋∞)上是减函数． (2)由题意，知对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]， 恒有ma －f (x )>a 2成立， 等价于ma －a 2>f (x )max . 因为a ∈(－4，－2)，所以24< －12a <12<1. 由(1)，知当a ∈(－4，－2)时，f (x )在[1,3]上是减函数， 所以f (x )max ＝f (1)＝2a ， 所以ma －a 2>2a ，即m <a ＋2.因为a ∈(－4，－2)，所以－2<a ＋2<0. 所以实数m 的取值范围为m ≤－2. 热点四 定积分 例4 (1)已知a ＝ʃ10(e x＋2x )d x (e为自然对数的底数)，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >02－x ，x ≤0，则f (a )＋f (log 216)＝________.(2)(2014·山东)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4思维启迪 (1)利用微积分基本定理先求出a ，再求分段函数的函数值；(2)利用图形将所求面积化为定积分． 答案 (1)7 (2)D 解析 (1)因为a ＝ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|1＝e ＋1－1＝e ，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >02－x ，x ≤0，所以f (a )＋f (log 216)＝f (e)＋f (－log 26)＝ln e ＋2－(－log 26)＝1＋6＝7. (2)令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝ʃ20(4x －x 3)＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x 2－x 4420＝8－4＝4，故选D.思维升华 (1)直接使用微积分基本定理求定积分时，要根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出原函数． (2)利用定积分求所围成的阴影部分的面积时，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限．同时，有的定积分不易直接求出，需要借用其几何意义求出．(1)若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，且a >1，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2 (2)如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．9－2 3 C.323D.353答案 (1)D (2)C解析 (1)ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1，由题意，可得a 2＋ln a －1＝3＋ln 2， 解得a ＝2.(2)由题图，可知阴影部分面积为ʃ1－3(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝(3－13－1)－(－9＋9－9)＝323.1．函数单调性的应用(1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0在区间(a ，b )上恒成立； (2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0在区间(a ，b )上恒成立； (3)可导函数f (x )在区间(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的必要不充分条件． 2．可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2)对于可导函数f (x )，“f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x )＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点． 3．利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论． 4．定积分在几何中的应用被积函数为y ＝f (x )，由曲线y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b (a <b )和y ＝0所围成的曲边梯形的面积为S .(1)当f (x )>0时，S ＝ʃb a f (x )d x ； (2)当f (x )<0时，S ＝－ʃb a f (x )d x ；(3)当x ∈[a ，c ]时，f (x )>0；当x ∈[c ，b ]时，f (x )<0，则S ＝ʃc a f (x )d x －ʃb c f (x )d x .真题感悟1．(2014·江西)若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ＝1e x ，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2)．2．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a >0)，若f (x )在[－1,1]上的最小值记为g (a )． (1)求g (a )；(2)证明：当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4. (1)解 因为a >0，－1≤x ≤1，所以 ①当0<a <1时，若x ∈[－1，a ]，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ， f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1，a )上是减函数； 若x ∈[a,1]，则f (x )＝x 3＋3x －3a ， f ′(x )＝3x 2＋3>0， 故f (x )在(a,1)上是增函数． 所以g (a )＝f (a )＝a 3.②当a ≥1时，有x ≤a ，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ， f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1,1)上是减函数， 所以g (a )＝f (1)＝－2＋3a .综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1.(2)证明 令h (x )＝f (x )－g (a )． ①当0<a <1时，g (a )＝a 3.若x ∈[a,1]，则h (x )＝x 3＋3x －3a －a 3， h ′(x )＝3x 2＋3，所以h (x )在(a,1)上是增函数，所以，h (x )在[a,1]上的最大值是h (1)＝4－3a －a 3， 且0<a <1，所以h (1)≤4.故f (x )≤g (a )＋4.若x ∈[－1，a ]，则h (x )＝x 3－3x ＋3a －a 3，h ′(x )＝3x 2－3， 所以h (x )在(－1，a )上是减函数，所以，h (x )在[－1，a ]上的最大值是h (－1)＝2＋3a －a 3. 令t (a )＝2＋3a －a 3，则t ′(a )＝3－3a 2>0， 知t (a )在(0,1)上是增函数． 所以，t (a )<t (1)＝4，即h (－1)<4. 故f (x )≤g (a )＋4.②当a ≥1时，g (a )＝－2＋3a ， 故h (x )＝x 3－3x ＋2，h ′(x )＝3x 2－3， 此时h (x )在(－1,1)上是减函数，因此h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝4. 故f (x )≤g (a )＋4.综上，当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4. 押题精练1．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1， 即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ， 又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.2．已知函数f (x )＝x 28－ln x ，x ∈[1,3]．(1)求f (x )的最大值与最小值；(2)若f (x )<4－at 对任意的x ∈[1,3]，t ∈[0,2]恒成立，求实数a 的取值范围；解 (1)∵函数f (x )＝x 28－ln x ，∴f ′(x )＝x 4－1x，令f ′(x )＝0得x ＝±2， ∵x ∈[1,3]，当1<x <2时，f ′(x )<0；当2<x <3时，f ′(x )>0；∴f (x )在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，∴f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝12－ln 2； 又f (1)＝18，f (3)＝98－ln 3， ∵ln 3>1，∴18－(98－ln 3)＝ln 3－1>0， ∴f (1)>f (3)，∴x ＝1时f (x )的最大值为18，x ＝2时函数取得最小值为12－ln 2. (2)由(1)知当x ∈[1,3]时，f (x )≤18， 故对任意x ∈[1,3]，f (x )<4－at 恒成立，只要4－at >18对任意t ∈[0,2]恒成立，即at <318恒成立，记g (t )＝at ，t ∈[0,2]． ∴⎩⎨⎧ g (0)<318g (2)<318，解得a <3116， ∴实数a 的取值范围是(－∞，3116)．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．曲线y ＝x 3－2x 在(1，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －2＝0D ．x ＋y ＋2＝0答案 A解析 由已知，得点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上，所以切线的斜率为y ′|x ＝1＝(3x 2－2)|x ＝1＝1，由直线方程的点斜式得x －y －2＝0，故选A.2．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.3．(2014·陕西)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x 答案 A解析 函数在[－5,5]上为减函数，所以在[－5,5]上y ′≤0，经检验只有A 符合．故选A.4．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1}答案 A解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.5．若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[14，1) B ．[34，1) C ．(94，＋∞) D ．(1，94) 答案 B解析 由x 3－ax >0得x (x 2－a )>0.则有⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2－a <0， ∴x >a 或－a <x <0，即函数f (x )的定义域为(a ，＋∞)∪(－a ，0)．令g (x )＝x 3－ax ，则g ′(x )＝3x 2－a .由g ′(x )<0得－3a 3<x <0. 从而g (x )在x ∈(－3a 3，0)上是减函数，又函数f (x )在x ∈(－12，0)内单调递增，则有⎩⎨⎧ 0<a <1，－a ≤－12，－3a 3≤－12，∴34≤a <1. 6．如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A ．ʃ20|x 2－1|d xB ．|ʃ20(x 2－1)d x |C ．ʃ20(x 2－1)d xD ．ʃ10(x 2－1)d x ＋ʃ21(1－x 2)d x答案 A解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如图图形的面积相等，即ʃ20|x 2－1|d x ，选A.二、填空题7．已知f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ，则f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线斜率是________． 答案 －1解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(23)x －1，令x ＝23，可得f ′(23)＝3×(23)2＋2f ′(23)×23－1，解得f ′(23)＝－1，所以f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线斜率是－1. 8．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在x ∈(2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________． 答案 a <12解析 f ′(x )＝(ax ＋1)′(x ＋2)－(x ＋2)′(ax ＋1)(x ＋2)2＝a (x ＋2)－(ax ＋1)(x ＋2)2＝2a －1(x ＋2)2，令f ′(x )<0，即2a －1<0，解得a <12. 9．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．答案 [－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0，所以t ∈[－2，－1]．10．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________． 答案 0<t <1或2<t <3解析 f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－(x －1)(x －3)x，由f ′(x )＝0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t ，t ＋1)内，函数在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.三、解答题11．(2014·重庆)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x， 由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.12．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个．解 (1)当a ＝2时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )， 得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ， 整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝x 3＋x 2－x －2(x ≠1)， 求导得y ′＝3x 2＋2x －1＝0得x 1＝－1，x 2＝13， 得到极值点分别在－1和13处， 且极大值、极小值都是负值，图象如图，故交点只有一个．(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ， 整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，画出草图如图．h (－1)＝1，h (13)＝－527， 当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a ＝－527时恰有两个公共点． 13．设函数f (x )＝a e x (x ＋1)(其中，e ＝2.718 28……)，g (x )＝x 2＋bx ＋2，已知它们在x ＝0处有相同的切线．(1)求函数f (x )，g (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值；(3)若对∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a e x (x ＋2)，g ′(x )＝2x ＋b .由题意，得两函数在x ＝0处有相同的切线．∴f ′(0)＝2a ，g ′(0)＝b ，∴2a ＝b ，f (0)＝a ，g (0)＝2，∴a ＝2，b ＝4，∴f (x )＝2e x (x ＋1)，g (x )＝x 2＋4x ＋2.(2)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0得x >－2，由f ′(x )<0得x <－2，∴f (x )在(－2，＋∞)单调递增，在(－∞，－2)单调递减．∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2]单调递减，在[－2，t ＋1]单调递增，∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2. ②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]单调递增，∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2e －2(－3<t <－2)2e t (t ＋1)(t ≥－2) (3)令F (x )＝kf (x )－g (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，由题意当x ≥－2时，F (x )min ≥0.∵∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，∴F (0)＝2k －2≥0，∴k ≥1.F ′(x )＝2k e x (x ＋1)＋2k e x －2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)，∵x ≥－2，由F ′(x )>0得e x >1k ，∴x >ln 1k； 由F ′(x )<0得x <ln 1k ，∴F (x )在(－∞，ln 1k )单调递减，在[ln 1k，＋∞)单调递增． ①当ln 1k<－2， 即k >e 2时，F (x )在[－2，＋∞)单调递增，F (x )min ＝F (－2)＝－2k e －2＋2＝2e 2(e 2－k )<0， 不满足F (x )min ≥0.当ln 1k ＝－2，即k ＝e 2时，由①知，F (x )min ＝F (－2)＝2e 2(e 2－k )＝0，满足F (x )min ≥0. ③当ln 1k >－2，即1≤k <e 2时，F (x )在[－2，ln 1k )单调递减，在[ln 1k，＋∞)单调递增． F (x )min ＝F (ln 1k)＝ln k (2－ln k )>0， 满足F (x )min ≥0.综上所述，满足题意的k 的取值范围为[1，e 2]．。
2018高考数学(理)大一轮复习课件：第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性
1 由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x， 3 5 知f′(1)＝－4－a＝－2，解得a＝4.
x2－4x－5 x 5 3 所以f(x)＝4＋4x－ln x－2，则f′(x)＝ ， 4x2 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5， 因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增 函数． 所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区 间为(0,5)．
值对不等式解集的影响进行分类讨论．
求函数的单调区间
[例2] x a 3 已知函数f(x)＝ 4 ＋ x －ln x－ 2 ，其中a∈R，且曲
1 线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x，求函数f(x) 的单调区间．
[解]
1 a 1 对f(x)求导得f′(x)＝4－x2－x，
第二节 导数与 函数的 单调性
本节主要包括2个知识点： 1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间； 2．利用导数解决函数单调性的应用问题.
突破点(一)
基础联通
利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
证明或讨论函数的单调性
判断函数单调性的三种方法
高考数学二轮复习 第一篇 专题二 函数与导数 第3讲 导数的综合应用教案 理
第3讲导数的综合应用1.(2018·全国Ⅱ卷,理21)已知函数f(x)=e x-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.(1)证明:当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g'(x)=-(x2-2x+1)·e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)解:设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)上只有一个零点等价于h(x)在(0,+∞)上只有一个零点.(ⅰ)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(ⅱ)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.故h(2)=1-是h(x)在(0,+∞)上的最小值.①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)上没有零点.②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)上只有一个零点.③若h(2)<0,即a>,因为h(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一个零点;由(1)知,当x>0时,e x>x2,所以h(4a)=1-=1->1-=1->0,故h(x)在(2,4a)上有一个零点.因此h(x)在(0,+∞)上有两个零点.综上,当f(x)在(0,+∞)上只有一个零点时,a=.2.(2017·全国Ⅲ卷,理21)已知函数f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,1+1+…1+<m,求m的最小值.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).①若a≤0,因为f=-+aln 2<0,所以不满足题意;②若a>0,由f'(x)=1-=知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,故x=a是f(x)在(0,+∞)的最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0.故a=1.(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.令x=1+,得ln1+<.从而ln1++ln1++…+ln1+<++…+=1-<1.故1+1+…1+<e.而1+1+1+>2,所以m的最小值为3.1.考查角度考查利用导数知识证明不等式、根据不等式恒成立确定参数范围,考查利用导数知识研究函数零点个数、根据函数零点个数确定参数取值范围、证明函数零点的性质等.2.题型及难易度解答题,属于难题或者较难题.(对应学生用书第16~18页)导数与不等式考向1 导数方法证明不等式【例1】(2018·郑州二模)已知函数f(x)=e x-x2.(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(2)求证:当x>0时,≥ln x+1.(1)解:f'(x)=e x-2x,由题设得f'(1)=e-2,f(1)=e-1,所以f(x)在x=1处的切线方程为y=(e-2)x+1.(2)证明:设g(x)=f(x)-(e-2)x-1,x>0,则g'(x)=e x-2x-(e-2),g″(x)=e x-2,g'(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,又g'(0)=3-e>0,g'(1)=0,0<ln 2<1,g'(ln 2)<0,所以,存在x0∈(0,ln 2),使得g'(x0)=0,所以,当x∈(0,x0)∪(1,+∞)时,g'(x)>0;当x∈(x0,1)时,g'(x)<0,故g(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又g(0)=g(1)=0,所以g(x)=e x-x2-(e-2)x-1≥0,当且仅当x=1时取等号,故≥x,x>0,又x≥ln x+1,即≥ln x+1,当x=1时,等号成立.导数方法证明不等式的基本途径有两条:(1)考虑单调性,利用函数在区间(a,b)上单调递增(减),则f(a)<f(x)<f(b)(f(b)<f(x)<f(a)),如证明x∈0,,sin x<x时,可以证明f(x)=sin x-x在0,上单调递减,则f(x)<f(0)得证;(2)考虑最值,利用函数在区间D上,f(x)min≤f(x)≤f(x)max,如证明,当x∈(0,+∞),ln x≤x-1时,可以求出函数f(x)=ln x-(x-1)在(0,+∞)上的最大值为0得证.无论哪条途径都是以单调性为基础,函数的单调性的研究是导数方法证明不等式的核心.考向2 根据不等式确定参数取值范围【例2】(2018·咸阳一模)已知f(x)=e x-aln x(a∈R).(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当a=-1时,若不等式f(x)>e+m(x-1)对任意x∈(1,+∞)恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)已知f(x)=e x-aln x,则f'(x)=e x-,f'(1)=e-a,切点为(1,e),所求切线方程为y-e=(e-a)(x-1),即(e-a)x-y+a=0.(2)当a=-1时,原不等式即为e x+ln x-e-m(x-1)>0,记F(x)=e x+ln x-e-m(x-1),F(1)=0,依题意有F(x)>0对任意x∈(1,+∞)恒成立,求导得F'(x)=e x+-m,F'(1)=e+1-m,F″(x)=e x-,当x>1时,F″(x)>0,则F'(x)在(1,+∞)上单调递增,有F'(x)>F'(1)=e+1-m,若m≤e+1,则F'(x)>0,则F(x)在(1,+∞)上单调递增,且F(x)>F(1)=0,适合题意;若m>e+1,则F'(1)<0,又F'(ln m)=>0,故存在x1∈(1,ln m)使F'(x1)=0,当1<x<x1时,F'(x)<0,得F(x)在(1,x1)上单调递减,F(x)<F(1)=0,舍去,综上,实数m的取值范围是(-∞,e+1].(1)对于f(x)≥g(x)在区间D上恒成立,只需[f(x)-g(x)]min≥0即可,而f(x)>g(x)在区间D上恒成立,此时h(x)=f(x)-g(x)在区间D 上未必存在最小值,需要根据具体情况,或者研究h(x)的单调性或者通过放缩或者通过引进第三方不等式灵活处理;(2)在区间D上,若∃x0使得f(x0)>g(x0)成立,则只需∃x0,使得h(x)=f(x)-g(x)>0成立,如果h(x)存在最小值,则只需h(x)min>0即可,如果h(x)不存在最小值,只需h(x)大于或者等于 h(x) 值域的下确界;(3)如果在区间D上f(x1)>g(x2)恒成立,则只需f(x)min>g(x)max,如果f(x),g(x)有不存在最值的,则需要确定其值域,再根据值域得出结论.【不等式的类型很多,但其基本思想是化归,即化归为函数的最值、值域的上下界,据此得出参数满足的不等式】热点训练1:(2018·河南一模)已知:f(x)=(2-x)e x+a(x-1)2(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)若对任意的x∈R,都有f(x)≤2e x,求a的取值范围.解:(1)f'(x)=(1-x)e x+2a(x-1)=(x-1)(2a-e x),当a≤0时,函数在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减;当0<a<时,函数在(-∞,ln 2a),(1,+∞)上递减,在(ln 2a,1)上递增;当a>时,函数在(-∞,1),(ln 2a,+∞)上递减,在(1,ln 2a)上递增;当a=时,函数在R上递减.(2)由对任意的x∈R,f(x)≤2e x,即(2-x)e x+a(x-1)2≤2e x,当x=1时,e x≤2e x,恒成立,当x≠1时,整理得:a≤,对任意x∈R恒成立,设g(x)=,求导g'(x)==,令g'(x)=0,解得x=1±,当x>1+,g'(x)>0,当1<x<1+,g'(x)<0,当x<1-,g'(x)<0,当1-<x<1时g'(x)>0,所以当x=1+时取极小值,极小值为,当x=1-时取极小值,极小值为,由<,所以g(x)的最小值为,由题意对任意的x∈R,都有f(x)≤2e x,即a≤g(x)最小值,所以a的取值范围为-∞,.导数与函数的零点考向1 确定函数零点的个数【例3】(2018·湖北武汉调研)已知函数f(x)=e x-ax-1(a∈R,e=2.718 28…是自然对数的底数).(1)求f(x)的单调区间;(2)讨论g(x)=f(x)·x-在区间[0,1]内零点的个数.解:(1)f'(x)=e x-a,当a≤0时,f'(x)>0,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无减区间;当a>0时,f(x)的单调减区间为(-∞,ln a),增区间为(ln a,+∞).(2)由g(x)=0得f(x)=0或x=,先考虑f(x)在区间[0,1]的零点个数.当a≤1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增且f(0)=0,f(x)有一个零点;当a≥e时,f(x)在(-∞,1)上单调递减,f(x)有一个零点;当1<a<e时,f(x)在(0,ln a)上单调递减,在(ln a,1)上单调递增.而f(1)=e-a-1,所以a≤1或a>e-1时,f(x)有一个零点,当1<a≤e-1时,f(x)有两个零点.而x=时,由f=0得a=2(-1).所以a≤1或a>e-1或a=2(-1)时,g(x)有两个零点;当1<a≤e-1且a≠2(-1)时,g(x)有三个零点.确定函数f(x)零点个数的基本思想是数形结合,即根据函数的单调性、极值、函数值的变化趋势,得出函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数,其中的一个技巧是把f(x)=0化为g(x)=h(x),通过研究函数g(x),h(x)的性质,得出两个函数图象交点的个数.考向2 根据函数零点的个数确定参数取值范围【例4】(2018·河南南阳一中三模)设函数f(x)=x2-mln x,g(x)=x2-x+a.(1)当a=0时,f(x)≥g(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(2)当m=2时,若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点,求实数a的取值范围.解:(1)当a=0时,由f(x)-g(x)≥0得mln x≤x,因为x>1,所以ln x>0,所以有m≤在(1,+∞)上恒成立,令h(x)=,h'(x)=,由h'(x)=0得x=e,当x>e,h'(x)>0,当0<x<e时,h'(x)<0,所以h(x)在(0,e)上为减函数,在(e,+∞)上为增函数,所以h(x)min=h(e)=e,所以实数m的取值范围为(-∞,e].(2)当m=2时,函数h(x)=f(x)-g(x)=x-2ln x-a,h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点,即方程x-2ln x=a在[1,3]上恰有两个不同的根,令φ(x)=x-2ln x,则φ'(x)=1-=,当1≤x<2时,φ'(x)<0;当2<x≤3时,φ'(x)>0,所以φ(x)在[1,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增,φ(x)min=φ(2)=2-2ln 2,又φ(1)=1,φ(3)=3-2ln 3,φ(1)>φ(3),要使方程x-2ln x=a在[1,3]上恰有两个不同的根,结合图象可知φ(2)<a≤φ(3).所以实数a的取值范围为(2-2ln 2,3-2ln 3].根据函数零点个数确定参数取值范围的基本思想也是数形结合,即根据函数的单调性、极值、函数值的变化趋势大致得出函数y=f(x)的图象,再根据零点个数确定函数y=f(x)的图象交点的个数,得出参数满足的不等式,求得参数的取值范围,一个基本的技巧是把f(x)=0化为g(x)=h(x),据f(x)零点个数确定函数y=g(x),y=h(x)图象的交点个数,得出参数满足的不等式,求得参数的取值范围.热点训练2:(2018·河北石家庄二中模拟)已知函数f(x)=xe x-(x+1)2.(1)当x∈[-1,2]时,求f(x)的最大值与最小值;(2)讨论方程f(x)=ax-1的实根的个数.解:(1)因为f(x)=xe x-(x+1)2,所以f'(x)=(x+1)e x-2(x+1)=(x+1)(e x-2),令f'(x)=0得x1=-1,x2=ln 2,f'(x),f(x)随x的变化如下表:x -1 (-1,ln 2) ln 2 (ln 2,2) 2 f'(x) 0 - 0 +↘-(ln 2)2-1 ↗2e2-9 f(x)-f(x)在[-1,2]上的最小值是-(ln 2)2-1,因为2e2-9>0,-<0,2e2-9>-,所以f(x)在[-1,2]上的最大值是2e2-9.(2)f(x)-ax+1=xe x-x2-(a+2)x=x(e x-x-a-2),所以f(x)=ax-1⇔x=0或e x-x-a-2=0,设g(x)=e x-x-a-2,则g'(x)=e x-1,x>0时,g'(x)>0,x<0时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,在(-∞,0)上是减函数,g(x)≥g(0)=-a-1,且x→+∞,g(x)→+∞,x→-∞,g(x)→+∞,①当-a-1>0,即a<-1时,g(x)=0没有实根,方程f(x)=ax-1有1个实根;②当-a-1=0,即a=-1时,g(x)=0有1个实根为零,方程f(x)=ax-1有1个实根;③当-a-1<0,即a>-1时,g(x)=0有2个不等于零的实根,方程f(x)=ax-1有3个实根.综上可得,a≤-1时,方程f(x)=ax-1有1个实根;a>-1时,方程f(x)=ax-1有3个实根.热点训练3:(2018·衡水金卷高三大联考)已知函数f(x)=ln x-2x2+3,g(x)=f'(x)+4x+aln x(a≠0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若关于x的方程g(x)=a有实数根,求实数a的取值范围.解:(1)依题意,得f'(x)=-4x==,x∈(0,+∞).令f'(x)>0,即1-2x>0.解得0<x<;令f'(x)<0,即1-2x<0.解得x>.故函数f(x)的单调递增区间为0,,单调递减区间为,+∞.(2)由题意得,g(x)=f'(x)+4x+aln x=+aln x.依题意,方程+aln x-a=0有实数根,即函数h(x)=+aln x-a存在零点.h'(x)=-+=,令h'(x)=0,得x=.当a<0时,h'(x)<0.即函数h(x)在区间(0,+∞)上单调递减,而h(1)=1-a>0,h()=+a1--a=-1<-1<0.所以函数h(x)存在零点;当a>0时,h'(x),h(x)随x的变化情况如下表:x0,,+∞h'(x) - 0 +h(x) ↘极小值↗所以h=a+aln-a=-aln a为函数h(x)的极小值,也是最小值.当h>0,即0<a<1时,函数h(x)没有零点;当h≤0,即a≥1时,注意到h(1)=1-a≤0,h(e)=+a-a=>0,所以函数h(x)存在零点.综上所述,当a∈(-∞,0)∪[1,+∞)时,方程g(x)=a有实数根.【例1】(2018·河北石家庄二中模拟)已知函数f(x)=2ln -.(1)求f(x)的单调区间;(2)若g(x)=(x-t)2+(ln x-at)2,若对任意x1∈(1,+∞),存在t∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使得f(x1)≥g(x2)成立,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(x)=2ln -,所以f'(x)=-==,因为f(x)的定义域为(0,+∞),当<x<2时,f'(x)<0,0<x<或x>2时,f'(x)>0,所以f(x)的单调递减区间是,2,单调递增区间是0,,(2,+∞).(2)由(1)知,f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当x>1时f(x)≥f(2)=0,又g(x)=(x-t)2+(ln x-at)2≥0,所以对任意x1∈(1,+∞),存在t∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使得f(x1)≥g(x2)成立,⇔存在t∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使得g(x2)≤0成立,⇔存在t∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使得g(x2)=0成立.因为(x-t)2+(ln x-at)2表示点(x,ln x)与点(t,at)之间距离的平方,所以存在t∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使得g(x2)=0成立,⇔y=ln x的图象与直线y=ax有交点,⇔方程a=在(0,+∞)上有解.设h(x)=,则h'(x)=,当x∈(0,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,又h(e)=,x→0,h(x)→-∞,所以h(x)的值域是-∞,,所以实数a的取值范围是-∞,.【例2】(2018·福建宁德5月质检)已知函数f(x)=x3-3ax2+4(a ∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有三个零点,证明:当x>0时,f(x)>6(a-a2)e a. (1)解:f'(x)=3x2-6ax=3x(x-2a),令f'(x)=0,则x=0或x=2a,当a=0时,f'(x)≥0,f(x)在R上是增函数;当a>0时,令f'(x)>0,得x<0,x>2a,所以f(x)在(-∞,0),(2a,+∞)上是增函数;令f'(x)<0,得0<x<2a,所以f(x)在(0,2a)上是减函数.当a<0时,令f'(x)>0,得x<2a,x>0,所以f(x)在(-∞,2a),(0,+∞)上是增函数;令f'(x)<0,得2a<x<0,所以f(x)在(2a,0)上是减函数.综上所述:当a=0时,f(x)在R上是增函数;当a>0时,f(x)在(-∞,0),(2a,+∞)上是增函数,在(0,2a)上是减函数.当a<0时,f(x)在(-∞,2a),(0,+∞)上是增函数,在(2a,0)上是减函数.(2)证明:由(1)可知,当a=0时,f(x)在R上是增函数,所以函数f(x)不可能有三个零点;当a<0时,f(x)在(-∞,2a),(0,+∞)上是增函数,在(2a,0)上是减函数.所以f(x)的极小值为f(0)=4>0,所以函数f(x)不可能有三个零点,当a>0时,f(x)的极小值为f(2a)=4-4a3,要满足f(x)有三个零点,则需4-4a3<0,即a>1,当x>0时,要证明:f(x)>6(a-a2)e a等价于要证明f(x)min>6(a-a2)e a,即要证:4-4a3>6(a-a2)e a,由于a>1,故等价于证明:1+a+a2<ae a,证明如下:构造函数g(a)=3ae a-2-2a-2a2(a∈(1,+∞)),g'(a)=(3+3a)e a-2-4a,令h(a)=(3+3a)e a-2-4a,因为h'(a)=(6+3a)e a-4>0,所以函数h(a)在(1,+∞)上单调递增,所以h(a)min=h(1)=6e-6>0,所以函数g(a)在(1,+∞)上单调递增.所以g(a)min=g(1)=3e-6>0,所以1+a+a2<ae a,所以f(x)>6(a-a2)e a.【例3】(2018·聊城二模)已知函数f(x)=2tln x,g(x)=x2-k(t∈R,k∈R).(1)当k=1时,若曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点,求t的取值范围;(2)当t=1时,设h(x)=f(x)-g(x),若函数h(x)存在两个不同的零点x1,x2,求证>1.解:(1)当k=1时,g(x)=x2-1,设h(x)=f(x)-g(x)=2tln x-x2+1,由于曲线y=f(x)和曲线y=g(x)有且只有一个公共点,令h(x)=2tln x-x2+1,则h'(x)=-2x=,即函数y=h(x)只有一个零点,由于h(1)=0,所以x=1是函数y=h(x)的一个零点,①当t≤0时,x>0,则h'(x)<0,所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以函数h(x)有且只有一个零点x=1.②当t>0时,h'(x)=,当x∈(0,)时,h'(x)>0,当x∈(,+∞)时,h'(x)<0,所以函数h(x)在区间(0,)内单调递增,在(,+∞)内单调递减,此时h(x)max=h(),a.当t=1时,h(x)max=h(1)=0,此时符合题意;b.当0<t<1时,取x1=<1,则h(x1)=-<0,h()>h(1)=0,所以h(x)在(x1,)上存在另一个零点,不符合题意;c.当t>1时,取x2=t+,则h(x2)=2tln x2-+1<2tx2-+1=0, h()>h(1)=0,所以h(x)在(,t+)上存在另一个零点,不符合题意,综上,t的取值范围是{t|t≤0或t=1}.(2)当t=1时,h(x)=2ln x-x2+k,设F(x)=h(x)-h(2-x)=2ln x-2ln(2-x)-4x+4,则F'(x)=+-4=,所以当x∈(0,1)时,F'(x)>0,故F(x)在(0,1)上单调递增,所以F(x)<F(1)=0,即h(x)<h(2-x)在(0,1)上恒成立,又h'(x)=-2x=,所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0,当x∈(1,+∞)上,h'(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,不妨设x1<x2,则x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),所以2-x1∈(1,2),所以h(x1)<h(2-x1),又h(x1)=h(x2),故h(x2)<h(2-x1),所以x2>2-x1,故而>1.。
2018年高考数学(理)二轮专题复习课件：第二部分 专题二 函数与导数3
一、选择题
二、填空题
7.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是 ( B )
A.(-∞,0)
B. 0,
1 2
C.(0,1)
D.(0,+∞)
解析: ∵f(x)=x(ln x-ax), ∴f'(x)=ln x-2ax+1,由题意可知f'(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点,
2.3 函数与导数的应用专项练
1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导 数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f'(x0),相应的切线方程 是y-y0=f'(x0)(x-x0). 注意:在某点处的切线只有一条,但过某点的切线不一定只有一 条. 2.常用的求导方法 (1)(xm)'=mxm-1,(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,(ex)'=ex,
-4-
一、选择题
二、填空题
解析: 由题意可得, f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1. 因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f'(-2)=0.所以a=-1. 所以f(x)=(x2-x-1)ex-1. 所以f'(x)=(x2+x-2)ex-1. 令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x) (-∞,-2) + ↗ -2 0 (-2,1) 1 0 (1,+∞) +
2018高三新课标·数学(理)总复习课件：第三章 导数及应用3-2
基础诊断
考点突破
课堂总结
(3)定义域为 R. f′(x)＝4ex(x+2)-2x-4 1 ＝4(x+2)(e - )． 2
x
由 f′(x)>0，解得 x<-2 或 x>-ln2. 由 f′(x)<0，得-2<x<-ln2. ∴f(x)单调增区间为(-∞，-2)，(-ln2，+∞)， f(x)单调减区间为(-2，-ln2)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
3．函数 f(x)＝1+x-sinx 在(0，2π )上是( A．增函数 B．减函数 C．在(0，π )上增，在(π ，2π )上减 D．在(0，π )上减，在(π ，2π )上增
)
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答案 A 解析 ∵f′(x)＝1-cosx>0，∴f(x)在(0，2π )上递增．
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函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内可导，若 f′(x)>0，则 f(x)为 增函数；若 f′(x)<0，则 f(x)为减函数． (2)求可导函数 f(x)单调区间的步骤： ①确定 f(x)的定义域； ②求导数 f′(x)；
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答案 解析
(
3 3 ，+∞)，(0， ) 3 3
2 6x2-2 y′＝6x- ＝ . x x
3 ∵函数的定义域为(0，+∞)，∴由 y′>0，得 x> . 3 3 ∴单调递增区间为( ，+∞)． 3 3 3 由 y′<0，得 0<x< .∴单调递减区间为(0， )． 3 3
【高考数学】2018年高考数学(人教理科)总复习(福建专用)配套课件：第三章 导数及其应用 3.3
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1.定积分的定义 如果函数 f(x)的图象在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个 小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ f(ξi)Δx= ∑
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f(x)dx=
f(t)dt. )
( f(x)dx=2 f(x)dx=0.(
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f(x)dx;若 f(x)是
) ( )
(3)在区间[a,b]上连续的曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 所 围成的曲边梯形的面积 S= (4)若
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定积分与曲边梯形的面积的关系:
设图中阴影部分的面积为 S,则
b f(x)dx; a b (2)如图②,S=- a f(x)dx; c b (3)如图③,S= a f(x)dx- c f(x)dx; b (4)如图④,S= a [f(x)-g(x)]dx.
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C
解析 答案
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1
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3
4
5
4.若 A.2
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1 + ������