高中数学苏教版选修2-3教学案：1.1 两个基本计数原理-含解析
2019-2020学年苏教版选修2-3 1.1 两个基本计数原理教学学案
1．1两个基本计数原理1.了解计数问题．2.理解区分分类计数原理与分步计数原理．3．掌握用两个基本计数原理解决简单的实际计数问题．1．分类计数原理(加法原理)如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步计数原理(乘法原理)如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n 步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．()(3)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()(4)在分步计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选1门，则不同的选法共有() A．3种B．4种C．7种D．12种答案：C3．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是()A．1 B．3C．6 D．9答案：D4．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人可以选择，第二道工序有6人可以选择，第三道工序有4人可以选择，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．答案：120分类计数原理的应用在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【解】法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个．在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25个．利用分类计数原理计数时的解题流程1.(1)某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有7位同学只会用综合法证明，有5位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为________．(2)一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种．解析：(1)由分类计数原理可得，有7＋5＝12(种)不同的选法．(2)任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案：第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法；第二类，从女同学中选取1名参加学科竞赛，有5种不同的选法．由分类计数原理得，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)．答案：(1)12(2)8分步计数原理的应用从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为多少？【解】由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b 的值也有5种选法；c的值有4种选法．由分步计数原理得：5×5×4＝100条．1．若本例中的二次函数图象开口向下，则可以组成多少条抛物线？解：需分三步完成，第一步确定a有两种方法，第二步确定b有5种方法，第三步确定c有4种方法，故可组成2×5×4＝40条抛物线．2．若从本例的六个数字中选2个作为椭圆x2m＋y2n＝1的参数m，n，则可以组成椭圆的个数是多少？解：据条件知m>0，n>0，且m≠n，故需分两步完成，第一步确定m，有3种方法，第二步确定n，有2种方法，故确定椭圆的个数为3×2＝6个．利用分步计数原理计数时的解题流程2.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有() A．12种B．7种C．14种D．49种解析：选D.要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4＋3＝7种方法；第二步出门也有4＋3＝7种方法，由分步计数原理知进、出门的方案有7×7＝49种．两个计数原理的综合应用现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一人任组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【解】(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步，第一、二、三、四步分别是从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法；所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．两个计数原理解题的思路(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．(3)混合问题一般是先分类再分步．3.一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动手机卡和一张联通手机卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？解：(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法，第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分类计数原理，共有10＋12＝22(种)取法．(2)想得到一张移动手机卡和一张联通手机卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法，第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分步计数原理，共有10×12＝120(种)取法．两个计数原理的联系与区别(1)联系分类计数原理与分步计数原理的共同点是把一个原始的事件分解成若干个分事件来完成，它们都是关于做一件事的不同方法种数的问题．(2)区别分类计数原理分步计数原理区别一完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类”完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步”区别二每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事区别三各类方法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和会日语的各一人，有多少种不同的选法？【解】依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9＝1人，则6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选一人，有6种方法，此时选一人会日语，有2＋1＝3种方法．由分步计数原理可得N1＝6×3＝18种．第二类：从既会英语又会日语的人中选一人，有1种方法，此时选一人会日语，有2种方法．由分步计数原理可得N2＝1×2＝2种．综上，由分类计数原理可知，不同选法共有N＝N1＋N2＝18＋2＝20种．(1)本题易忽视了既会英语，又会日语的人的双重性，当从7个会英语的人中选出的1人是既会英语又会日语的，他就不可以再参加会日语的选取，因此选会日语的人时，只有2种选法了．(2)解答此类问题，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏．1．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．解析：当a ＝0时，方程化为2x ＋b ＝0，解得x ＝－b 2，有序数对(0，b )有4个；当a ≠0时，Δ＝4－4ab ≥0，得ab ≤1，有序数对(－1，b )有4个，(1，b )有3个，(2，b )有2个．综上共有4＋4＋3＋2＝13(个)．答案：132．从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是________．解析：由题意从A 地到B 地需过C 、D 两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理得N ＝3×2×4＝24(种)．答案：24[A 基础达标]1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是( )A ．5B ．4C ．9D ．20解析：选 C.由分类计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C.2．已知集合M ＝{1，－2，3}，N ＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是()A．18 B．16C．14 D．10解析：选C.分两类：第一类M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2＝6(个)第一、二象限的点；第二类M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4＝8(个)第一、二象限的点．综上可知，共有6＋8＝14(个)不同的点．3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A．81 B．64C．48 D．24解析：选A.每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是()A．15 B．12C．5 D．4解析：选A.分情况讨论：①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．由分类计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15.5．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有()A．24种B．16种C．12种D．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.6．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C ＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C 的情况有________种．解析：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种．因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7(种)．答案：77．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22条，即所求的不同的直线共有22条．答案：228．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有________．解析：参观路线分步完成：第一步选择三个“环形”路线中的一个，有3种方法，再按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；第二步选择余下两个“环形”路线中的一个，有2种方法，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；第三步：最后一个“环形”路线，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法．由分步计数原理知，共有3×2×2×2×2＝48(种)不同的参观路线．答案：489．数字1，2，3可以组成多少个四位数？解：要组成一个四位数可以分成四个步骤：第一步确定千位上的数字，从3个数字里任选一个数字，共有3种选法；第二步确定百位上的数字，依题意数字允许重复，仍有3种选法；第三步确定十位数字，同理，也有3种选法；同理，第四步确定个位数字，也有3种选法，根据分步计数原理得到可以组成的四位数的个数是：N＝3×3×3×3＝34＝81.10．已知集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中所取两数m＞n的数对有多少个？解：(1)因为集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．(2)在(1)中的25个数对中所取两数m＞n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝1，3，有2种结果；当m＝6时，n＝1，3，5，有3种结果；当m＝8时，n＝1，3，5，7，有4种结果；当m＝10时，n＝1，3，5，7，9，有5种结果．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15个不同的数对．[B能力提升]1．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A．3 B．4C．6 D．8解析：选D.以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．2．n2个人排成n行n列，若从中选出n名代表，要求每行每列都有代表，则不同的选法共有________种．解析：分n步完成：第一步，从第1行中选一名，有n 种选法；第二步，从第2行中选一名，有n－1种选法(因为要求每行每列都有代表，故第一步选出的代表所在的列不能再选)；…；依此选下去，到第n－1步，从第n－1行中选一名时，有2种选法；最后一步只有惟一的选法．根据分步计数原理，不同的选法共有n·(n－1)·(n－2)·…·2×1种．答案：n·(n－1)·(n－2)·…·2×13．某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果．(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．4．(选做题)用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示甲、乙)，要求在①②③④区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同方法？(2)若为乙着色时共有120种不同方法，求n.解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①②③④着色时各自的方法数，再由分步计数原理确定总的着色方法数，因此(1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也有4种方法．所以共有着色方法为6×5×4×4＝480(种)；(2)两个小题的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块．同理，不同的着色方法数是n(n－1)(n－2)(n－3)．所以n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0，即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0，所以n2－3n－10＝0，所以n＝5.。
苏教版高中数学选修2-3《两个基本计数原理(第1课时)》参考学案
章节与课题 1.1 两个基本计数原理1 课时安排：1课时学习目标1．通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；2．了解分类、分步的特征，合理分类、分布；3．体会计数原理的基本原则：不重复，不遗漏．重点，难点1．分类计数原理与分步计数原理的区别与联系；2．如何选用分类计数原理与分步计数原理．一．问自学准备与知识导学：1．问题情境一：从甲地到乙地一天中有火车3班，有汽车2班，那么一天中乘坐这些交通工具甲地到乙地有多少种不同的走法？思考：假设一天中还有航班1次，轮船2次，那么从甲地到乙地有多少种不同的方法？2.问题情境二：从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有两条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法？二．学习交流与问题研讨：例1 （课本P6页例2）（1）在图Ⅰ的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？（2）在图Ⅱ的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？变式训练：如下图，从A到B共有多少条不同的线路可通电？（每条线路仅含一条通道）例2 （补充）现有高一年级的学生4名，高二年级的学生5名，高三年级的学生3名．（1）从中任选一人参加夏令营，有种不同的选法？（2）从每个年级的学生中各选一人参加夏令营，有种不同的选法？变式训练：从不同年级中选两名学生参加夏令营，一共有多少种不同的选法？例3为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码．在某网站设置的信箱中，（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的一个．这样的密码共有多少个？（3）密码为4～6位，每位均为0到9这10个数字中的一个．这样的密码共有多少个？变式训练：若在登陆某网站时弹出一个4位的验证码：XXXX（如2a8t），第一位和第三位为0到9中的数字，第二位和第四位为a到z这26个英文字母中的一个，则这样的验证码最多有个？三,练习测试与拓展延伸：（1）书架的上层放有4本不同的英语书，中层放有5本不同的语文书，下层放有6本不同的数学书，从中任取1本书的不同取法的种数是．（2）在上题中，如果从中任取3本，英语、语文、数学各1本，则不同的取法的种数是．3）用4种不同颜色给下图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？课堂小结弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提与条件．这两个原理都是指完成一件事，区别在于：（1）分类计数原理（加法原理）是“分类”，每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事；（2）分步计数原理（乘法原理）是“分步”，每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成才算完成这件事！四．课后反思。
高中数学 1.1 两个基本计数原理教案1 苏教版选修2-3-苏教版高中选修2-3数学教案
.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是 ，这里 .其中 是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要 .个数为 的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为 .这里的“多”只要 “少”
图见书本第7页
分析略
例3为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某设置的信箱中，
1密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？
2密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？
3密码为4-6位，每位均为0到10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？
分析: (1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,
第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有m1 = 5种不同的方法;第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有m2 = 4种不同的方法;所以,根据分类原理,得到不同选法种数共有N = 5 + 4 = 9种。
(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,
教学重点
教学难点
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解
利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：
学生探究过程：
江苏省高二数学苏教版选修2-3教案： 1.1 两个基本计数原理2
第一类方法,乘火车，有4种方法;
第二类方法,乘汽车，有2种方法;
第三类方法,乘轮船,有3种方法;
所以从甲地到乙地共有4 + 2 + 3 = 9种方法。
问题2.如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
分析:从A村经B村去C村有2步,
第一步,选一名男三好学生,有m1 = 5种方法;
第二步,选一名女三好学生,有m2 = 4种方法;
所以,根据分步原理,得到不同选法种数共有N = 5×4 = 20种。
例2
1在图1-1-3（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
2在图1-1-3（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法
图见书本第7页
分析略
例3为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的信箱中，
1密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？
2密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？
3密码为4-6位，每位均为0到10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？
事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素．例如，把10个全排列，可以理解为在10个人旁边，有序号为1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：
.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是 ，这里 .其中 是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要 .个数为 的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为 .这里的“多”只要“少”
江苏省高二数学苏教版选修2-3教案： 1.1 两个基本计数原理1
复习：1.分类计数原理、分步计数原理概念
2.分类计数原理、分步计数原理的不同点
例题讲解：
例1.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,
课外作业：第10页习题1. 1 6 , 7 , 8
教学反思：要深入弄清所要解的问题的情景，切实把握住各因素之间的相互关系，不可分析不透就用 或 乱套一气．具体地说：首先要弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用 ；反之用 ．其次，要弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的．前者用乘法原理，后者用加法原理．事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用乘法原理，哪一步用加法原理．
2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？
75600有多少个正约数?有多少个奇约数?
解:由于75600=24×33×52×7
(1) 75600的每个约数都可以写成 的形式,其中 , , ,
于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即 分别在各自的范围内任取一个值,这样有5种取法,有4种取法,有3种取法,有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.
对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1 两个基本计数原理》
两个基本原理的教学设计江苏省丹阳高级中学吴问舟一、教材分析1地位和作用两个基本计数原理是处理计数问题的最基本、最重要的方法,它为后面学习排列、组合、随机变量的概率等内容提供了思想和理论依据2新旧教材的变化新旧教材最大区别在于:旧教材是先学习两个计数原理后学习概率,体现由理论到应用的过程;而新教材是在学习了古典概型的基数上提出了本节内容,体现了由实践到理论、再到实践的过程,学生在具备一定的计数能力树形图、列举法等和实例的前提下,能更好更快地体会两个基本原理的作用与适用范围,在实践中能更灵活地运用两个基本原理来解决问题这样的设计能为学习构建牢固的知识框架3教学目标1知识与技能通过实例,总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理;能根据具体问题的特征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题2过程与方法经历由实际问题推导出两个原理,再回归实际问题的解决这一过程,学生体验到发现数学、运用数学的过程3情感、态度与价值观体会真理源于实际、服务于实际的道理,进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣,体现数学实际应用和理论相结合的统一美课程标准指出,必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求,选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求,它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程它力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学应用意识,提高实践能力因此,在数学课堂教学上不仅要重视知识的形成过程及其运用价值,还要重视学生情感、态度、价值观的正确导向前者已能被广大师生所重视,而后者往往会被教师忽视,但它是新教材的亮点之一,对发展学生理性思维、不断创新发挥着独特的作用4教学重点和难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的推导及简单运用是本节课的重点与难点两个原理的推导与应用对以后排列、组合、二项式定理等内容的掌握有着理论支撑的作用同时,知识与实践的紧密结合,能让学生感受数学的广泛应用,增强学生研究数学的兴趣二、教学方法1创设情境———提出问题———探索尝试———引导归纳———拓展应用2教具:多媒体投影系统三、学法指导1学生在学习概率这一节后已具备一定的计数能力,在此基础上归纳两个计数原理是比较简单的,可以充分发挥学生的自主性2引导学生感悟两个计数原理的区别与联系及其应用的前提条件、应用的注意点四、教学过程新课标的所有要求都是在向课堂要效率,一个优质课堂必须达到三个“有”:有效果,即让所有学生能理解原理;有效率,即90%的学生会运用知识;有效益,即在考试中出成绩1问题情境本节课的引入设计了三个情景,分别借助计算乘坐交通工具从起点到达终点的方法个数与竞选班干的例子,自然地引入了两个计数原理问题１：杭州是我国东南一流风景旅游城市，国庆期间，家庭到杭州自助旅游，从丹阳去杭州，一天中火车有３班，汽车有２班，那么一天中乘坐这些交通工具从丹阳到杭州有多少种不同的走法？２ 千岛湖是我国东南一流风景旅游城市杭州的“后花园”，到杭州后再决定前往千岛湖旅游。
高中数学苏教版选修2-3《1.1.1两个基本计数原理》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学苏教版选修2-3第1章《1.1.1两个基本计数原理》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.能说出分类计数原理和分步计数原理;
2.会用分类计数原理或分步计数原理分析和解决一些简单的实际问题
2重点难点
区分两个基本计数原理,正确地选用两个计数原理解决实际问题
3教学过程
3.1第一学时
教学活动
1【导入】课前预习
完成一件事,有类方式,在第1类方式中有种不同的方法,在第2类方式中有种不同的方法,……,在第类方式中有种不同的方法,那么完成这件事共有
种不同的方法.分类计数原理又称为原理。
注:做一件事有类方式,每一类方式中的每一种方法均完成了这件事。
完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,在第2步有种不同的方法,……,在第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.分类计数原理又称为原理。
注:做一件事要分个步骤完成,只有所有步骤完成时,才完成这件事,也就是说,每一步骤中每种方法均不能完成这件事。
2【讲授】例题剖析
例1某班共有男生28名、女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会。
(1)若学校分配给该班1名代表,则有多少种不同的选法?
(2)若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,则有多少种不同的选法?。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1.1 两个基本计数原理》
追问4：如果还有3个班次的动车呢？
问题2：小包同学进入大学后对自己严格要求、勤奋好学、积极上进，学习游刃有余，所以小包同学想再选修第二专业。通过了解，他在以下学院中选择一个专业，那么他可能选择的专业有几种？
追问1：这里小包同学完成了什么事？
追问2：这里有几种可供他选择的类型？
追问3：中选择这里任何一个专业时，这件事有没有完成？
问题3：小包同学暑期放假，他想“既要读万卷书、也要行万里路〞所以他决定到舍友的家乡杭州游历，欣赏一下西湖美景，然后再回常州。他准备先乘火车去杭州，两天后乘汽车回常州。每天适宜的火车有4个班次，汽车有3个班次，那么他从上海回到常州有几种不同的走法？
请看下面几个问题：
问题1：如果我班班长包栋梁同学经过自己的努力，一年后考上了上海的大学开学报到时,他在思考如何选择适宜的交通工具如果从常州到上海一天中适宜的高铁有3班次，直达客车有2个班次，那么一天中乘坐这些交通工具从常州到上海会有多少种不同的直达方法？
追问1：“5〞是怎么来的？为什么将他们相加？
追问2：这里，小包同学完成了一件什么事？
在图⑵的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？
问题7：上述问题⑴中需要完成什么事？
问题8：能否一步完成？采用哪种计数原理？
问题9：对于问题⑵你有是怎么想的？
解：在图⑴中，按要求接通电路，只要在中的2只开关或中的3只开关中合上1只即可根据分类计数原理，共有种不同的方法
在图⑵中，按要求接通电路，必须分两步进行：第一步，合上中的1只开关；第二步，合上中的1只开关根据分步计数原理，共有种不同的方法
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第1课时分类计数原理与分步计数原理
1．2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，每天有7次航班，5列火车．
问题1：该志愿者从北京到南京可乘的交通工具可分为几类？
提示：两类，即乘飞机、乘火车．
问题2：这几类方法相同吗？
提示：不同．
问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？
提示：7＋5＝12(种)．
2．甲盒中有3个不同的红球，乙盒中有5个不同的白球，某同学要从甲盒或乙盒中摸出一球．
问题4：不同的摸法有多少种？
提示：3＋5＝8(种)．
3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为生活委员．
问题5：不同选法的种数为多少？
提示：26＋24＝50.
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.
1．2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，但需在天津停留，已知从北京到天津有7次航班，从天津到南京有5列火车．问题1：该志愿者从北京到南京需要经历几个步骤？
提示：两个，即从北京到天津、从天津到南京．
问题2：这几个步骤之间相互有影响吗？
提示：没有，第一个步骤采取什么方式完成与第二个步骤采用的方式没有任何关系．问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？
提示：7×5＝35 种．
2．若x∈{2，3，5}，y∈{6，7，8}．
问题4：能组成的集合{x，y}的个数为多少？
提示：3×3＝9(个)．
3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位男同学和一位女同学担任生活委员．问题5：不同的选法的种数为多少？
提示：26×24＝624种．
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n 种不同的方法．
1．分类计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步计数原理的每一个步骤只是完成这件事情的中间环节，不能独立完成这件事情．。