时间序列分析
数据分析中的时间序列分析方法
数据分析中的时间序列分析方法时间序列分析是数据分析中常用的一种方法，通过对时间序列数据的分析，可以揭示出数据的趋势、周期性和随机变动等规律，从而为决策提供有力的支持。
本文将介绍几种常用的时间序列分析方法。
一、平滑法（Smoothing）平滑法是一种常见的时间序列分析方法，其主要目的是去除数据中的随机波动，揭示出数据的长期趋势。
平滑法最常用的方法包括简单移动平均法、加权移动平均法和指数平滑法等。
简单移动平均法将一段时间内的数据取平均值，加权移动平均法则对不同时间的数据进行加权计算，而指数平滑法则是根据数据的权重递推计算平滑值。
二、分解法（Decomposition）分解法是将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机成分三个部分的方法。
通过分析趋势部分，可以了解数据的长期变化趋势；分析季节性部分，可以揭示出数据中的周期性变动；而随机成分则代表了不可预测的波动。
常用的分解法有加法分解和乘法分解两种方式。
加法分解是将时间序列数据减去趋势和季节性成分，得到的剩余部分就是随机成分；乘法分解则是将时间序列数据除以趋势和季节性成分，得到的结果同样是随机成分。
三、自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型是一种常用的时间序列预测方法，通过对时间序列数据的自相关和移动平均相关进行建模，可以预测未来时间点的值。
ARMA模型是AR模型和MA模型的结合，AR模型用于描述数据的自相关关系，而MA模型则用于描述数据的移动平均相关关系。
ARMA模型的具体建模过程包括模型的阶数选择、参数估计和模型检验等。
四、季节性ARIMA模型（SARIMA）季节性ARIMA模型是在ARIMA模型的基础上加入季节性成分的一种模型。
季节性ARIMA模型主要用于处理具有明显季节性规律的时间序列数据。
与ARIMA模型类似，季节性ARIMA模型也包括模型阶数选择、参数估计和模型检验等步骤，不同的是在建模时需要考虑季节性的影响。
五、灰色系统模型（Grey Model）灰色系统模型是一种特殊的时间序列预测方法，主要适用于数据样本较少或者数据质量较差等情况。
时间序列分析
时间序列分析⼀、定义时间序列（或称动态数列）是指将同⼀统计指标的数值按其发⽣的时间先后顺序排列⽽成的数列。
时间序列分析的主要⽬的是根据已有的历史数据对未来进⾏预测。
经济数据中⼤多数以时间序列的形式给出。
根据观察时间的不同，时间序列中的时间可以是年份、季度、⽉份或其他任何时间形式。
时间序列简单的说就是各时间点上形成的数值序列。
时间序列分析并不是关于时间的回归，它主要是研究⾃⾝的变化规律的（这⾥不考虑含外⽣变量的时间序列）。
对时间序列进⾏观察,研究，寻找它变化发展的规律，预测它将来的⾛势，就是时间序列分析。
⼆、构成要素：长期趋势，季节变动，循环变动，不规则变动。
1）长期趋势（ T ）现象在较长时期内受某种根本性因素作⽤⽽形成的总的变动趋势。
2）季节变动（ S ）现象在⼀年内随着季节的变化⽽发⽣的有规律的周期性变动。
3）循环变动（ C ）现象以若⼲年为周期所呈现出的波浪起伏形态的有规律的变动。
4）不规则变动（I ）是⼀种⽆规律可循的变动，包括严格的随机变动和不规则的突发性影响很⼤的变动两种类型。
三、作⽤1. 反映社会经济现象的发展变化过程，描述现象的发展状态和结果。
2. 研究社会经济现象的发展趋势和发展速度。
3. 探索现象发展变化的规律，对某些社会经济现象进⾏预测。
4. 利⽤时间序列可以在不同地区或国家之间进⾏对⽐分析，这也是统计分析的重要⽅法之⼀。
四、变量特征⾮平稳性（nonstationarity，也译作不平稳性，⾮稳定性）：即时间序列变量⽆法呈现出⼀个长期趋势并最终趋于⼀个常数或是⼀个线性函数。
波动幅度随时间变化（Time－varying Volatility）：即⼀个时间序列变量的⽅差随时间的变化⽽变化。
这两个特征使得有效分析时间序列变量⼗分困难。
平稳型时间数列（Stationary Time Series）系指⼀个时间数列其统计特性将不随时间之变化⽽改变。
五、时域分析的经典步骤1.考察序列的特征，检验是否具有平稳性2.根据序列特征选择拟合的模型3.确定模型的⼝径4.检验、优化模型5.利⽤拟合的模型进⾏预测以下为转载————————————————版权声明：本⽂为CSDN博主「Python⾦融量化」的原创⽂章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原⽂出处链接及本声明。
时间序列分析
时间序列分析xx年xx月xx日CATALOGUE目录•时间序列分析简介•时间序列数据的预处理•时间序列模型的构建•时间序列模型的评估与优化•时间序列分析的应用场景与实例•时间序列分析的未来发展与挑战01时间序列分析简介时间序列分析是一种统计学方法，用于研究具有时间顺序的数据，以揭示其内在的规律性和预测未来的趋势。
时间序列数据通常表现为历史数据序列，可以用于预测未来，从而帮助决策者做出更好的决策。
定义与概念1时间序列分析的用途与重要性23通过分析时间序列数据，可以预测未来的趋势和变化，从而提前做好准备和规划。
预测未来趋势时间序列分析可以识别出异常情况或突发事件，从而及时采取措施应对。
识别异常情况通过预测未来需求，时间序列分析可以帮助决策者优化资源配置，提高效率和降低成本。
优化资源配置数据收集和处理收集和处理时间序列数据，包括数据清洗、缺失值填充等预处理工作。
通过图表等方式将数据呈现出来，以便更好地观察和分析数据。
根据数据的特点和需求选择合适的模型，并建立模型以拟合数据。
对模型进行评估和优化，以提高模型的预测能力和准确性。
利用训练好的模型对未来进行预测，并给出预测结果和建议。
时间序列分析的基本步骤数据可视化模型评估与优化预测未来趋势模型选择与建立02时间序列数据的预处理03数据格式转换根据分析需求，将数据转换为合适的格式，如将日期转换为时间戳或将多个变量合并为一个数据集。
数据清洗与整理01缺失值处理对于缺失的数据，需要选择合适的处理方法，如插值、删除或忽略。
02异常值处理异常值可能会对分析结果产生不良影响，应进行识别和处理，如平滑处理或直接删除。
季节性调整通过去除时间序列数据中的季节性因素，以揭示趋势和循环成分。
趋势分析对时间序列数据的长期变化进行分析，以识别增长或下降的趋势。
季节性调整与趋势分析数据转换为改善数据的质量和稳定性，可对数据进行转换，如对数转换或平方根转换。
平滑处理为减少数据中的随机波动和噪声，可采用平滑技术，如移动平均法或低通滤波器。
时间序列分析
时间序列分析随着大数据时代的到来，时间序列分析在许多领域中变得越来越重要和有用。
时间序列是同一个变量随时间变化的观察值的集合，通常是按照固定的时间间隔收集的。
时间序列分析的目的是通过了解过去的数据来预测未来的趋势和行为，并且可以用于决策制定、政策制定、生产计划和成本预测等。
时间序列分析的方法主要包括描述性分析、时间序列分解、移动平均、指数平滑法、自回归移动平均模型(ARMA)、季节性自回归移动平均模型(SARIMA)等。
1. 描述性分析描述性分析是时间序列分析中最简单的方法。
它主要是通过绘制时间序列图来展示时间序列的趋势和周期性。
通过这些图标，我们可以看到序列的长期趋势、季节性变化以及随机波动。
2. 时间序列分解时间序列分解是将时间序列分解成趋势、季节性和随机波动成分的方法。
趋势是指随时间变化而出现的长期变化趋势。
季节性是指在固定时间内，随时间变化而出现的周期性变化。
随机波动是由于随机因素引起的不规则波动。
时间序列分解不仅可以帮助我们理解时间序列的结构，还可以提供有关未来趋势和季节性变化的预测。
3. 移动平均移动平均是一种常见的平滑时间序列的方法。
它可以用于减少随机波动并减轻季节性变化的影响。
移动平均是指在一段时间内，将所有观察值的平均值作为一个预测值。
较短时间的移动平均可以更好地反映季节性变化，而较长时间的移动平均可以更好地反映趋势。
4. 指数平滑法指数平滑法通过对过去的观察值进行加权平均来预测未来的值。
这种方法适用于数据中存在随机波动和季节性变化的情况。
指数平滑法中的系数反映了过去观察值的重要性，离当前预测时间越近的观察值的重要性越大。
5. 自回归移动平均模型(ARMA)自回归移动平均模型是一种常见的时间序列模型。
它将时间序列的值分解为自回归和移动平均成分。
自回归成分取决于序列的过去值，移动平均成分取决于序列以前的误差和随机波动。
ARMA模型的参数可以通过拟合时间序列来得到，然后可以用于预测未来值。
什么是时间序列分析？有哪些应用场景？
时间序列分析是一种统计方法，专门用于研究有序时间点上观测到的数值数据。
这些数据点按照时间顺序排列，形成了一条时间序列。
时间序列分析旨在揭示这些数据随时间变化的模式、趋势和周期性，并预测未来的走势。
这一方法广泛应用于各个领域，包括但不限于金融、经济、气象、生物学、医学、社会科学和工程等。
**一、时间序列分析的基本概念**1. **时间序列的定义**：时间序列是一组按时间顺序排列的数据点，通常用于反映某个或多个变量随时间的变化情况。
这些数据点可以是连续的（如每秒的气温），也可以是离散的（如每天的股票价格）。
2. **时间序列的构成**：时间序列通常由四个部分组成：趋势（Trend）、季节性（Seasonality）、周期性（Cyclicality）和随机性（Randomness）。
* **趋势**：长期变化的方向，可以是上升、下降或平稳的。
* **季节性**：由外部因素（如季节变化）引起的周期性变化。
* **周期性**：由内部因素（如经济周期）引起的周期性变化。
* **随机性**：无法预测的随机波动。
3. **时间序列的类型**：根据数据的性质和分析目标，时间序列可以分为平稳时间序列和非平稳时间序列。
平稳时间序列的统计特性（如均值和方差）不随时间变化，而非平稳时间序列则可能存在长期趋势或其他非恒定特性。
**二、时间序列分析方法**1. **描述性统计**：通过计算时间序列的均值、方差、标准差等指标，初步了解数据的分布情况。
2. **时间序列图**：通过绘制时间序列图，可以直观地观察数据的趋势、季节性和周期性。
3. **时间序列模型**：常用的时间序列模型包括自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和自回归移动平均模型（ARMA）等。
这些模型通过拟合历史数据来预测未来的趋势。
**三、时间序列分析的应用场景**1. **金融市场分析**：时间序列分析在金融市场分析中具有重要意义。
股票价格、汇率、债券收益率等金融数据都是典型的时间序列数据。
时间序列 8种方法
时间序列分析是一种用于处理和分析时间序列数据的方法，它可以帮助我们理解数据的变化趋势、周期性、随机性等特征。
以下是在时间序列分析中常用的8种方法：
1. 描述性统计：这是最基本的数据分析方法，包括平均值、中位数、标准差、极值等。
2. 趋势图：将数据以图表的形式展示出来，可以直观地看到数据的变化趋势。
3. 季节性分析：如果数据具有季节性特征，可以使用季节性指数、移动平均法等方法来分析。
4. 回归分析：通过建立回归模型，对时间序列数据进行拟合，以预测未来的数据。
5. 滑动平均模型（SMA）：这是一种常用的时间序列分析方法，可以平滑短期波动，反映价格或指数的长期变化趋势。
6. 指数平滑：这是一种基于时间序列数据的平滑方法，可以处理时间序列数据的非平稳性问题。
它有多种形式，如一次指数平滑、二次指数平滑等。
7. ARIMA模型：这是一种常用于时间序列分析的模型，可以自动处理时间序列数据的平稳性和季节性变化。
8. 时间序列预测的神经网络方法：这种方法利用神经网络对时间序列数据进行训练，以预测未来的数据。
这些方法各有优缺点，具体使用哪种方法取决于数据的特征和需求。
在应用这些方法时，需要注意数据的清洗和预处理，以及对结果的解读和分析。
另外，随着数据科学技术的不断发展，可能还会出现新的方法和工具来应对时间序列分析中的问题。
此外，要注意这些方法只是帮助我们理解和预测时间序列数据的一种手段，它们不能替代我们对于数据背后问题的深入思考和探讨。
在应用这些方法时，我们需要结合实际问题和背景知识，进行合理的分析和解释。
同时，也需要不断地学习和探索，以应对不断变化的数据和分析需求。
时间序列分析
时间序列分析时间序列分析是一种重要的统计学方法，用于研究随时间变化的数据。
它可以帮助我们了解数据的趋势、周期性和季节性，预测未来的变化趋势，并做出相应的决策。
本文将介绍时间序列分析的基本概念、常见的方法和应用领域。
一、时间序列的基本概念时间序列是按时间先后顺序排列的一组观察数据。
它可以是连续的，例如每天的股票价格；也可以是离散的，例如每月的销售量。
时间序列的分析要求数据点之间存在一定的相关性和规律性。
二、时间序列的组成部分时间序列通常由三个主要组成部分构成：趋势、季节性和随机性。
趋势是时间序列在长期内呈现的整体变化趋势；季节性是时间序列在较短的时间内出现的重复周期性变化；随机性是时间序列中无法解释的随机波动。
三、时间序列分析的方法1. 描述性分析描述性分析是对时间序列数据进行可视化和概括的方法。
常用的方法包括绘制折线图、直方图和自相关图等，以帮助我们了解数据的分布和相关性。
2. 平稳性检验平稳性是时间序列分析的基本假设。
平稳序列的统计特性在时间上是不随时间变化的，包括均值、方差和自相关性等。
常见的平稳性检验方法有单位根检验和ADF检验。
3. 建立模型建立时间序列模型是对数据进行预测和分析的关键步骤。
常用的时间序列模型有ARIMA模型、AR模型和MA模型等。
通过对历史数据的拟合，我们可以得到模型的参数，从而进行未来值的预测。
4. 模型诊断与改进在建立模型之后，需要对其进行诊断和改进。
常见的诊断方法包括残差检验、模型稳定性检验和模型比较等。
根据诊断结果，我们可以对模型进行改进，提高预测的准确性。
四、时间序列分析的应用领域时间序列分析在许多领域都有广泛的应用，例如经济学、金融学、气象学和市场营销等。
在经济学中，时间序列分析可以用于预测经济增长趋势和通货膨胀率。
在金融学中，它可以帮助我们预测股票价格和利率走势。
在气象学中，时间序列分析可以用于预测天气变化和自然灾害。
在市场营销中，它可以帮助我们预测销售量和用户行为。
什么是时间序列分析
什么是时间序列分析关键信息项：1、时间序列分析的定义2、时间序列分析的目的3、时间序列分析的常用方法4、时间序列数据的特点5、时间序列分析的应用领域6、时间序列分析的步骤7、时间序列分析的局限性11 时间序列分析的定义时间序列分析是一种用于研究数据随时间变化规律的统计方法。
它通过对一系列按时间顺序排列的数据点进行分析，以揭示数据中的趋势、季节性、周期性和随机性等特征。
时间序列分析在经济学、金融学、气象学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
111 时间序列数据的特点时间序列数据具有以下几个主要特点：1111 顺序性：数据是按照时间顺序依次记录的，时间顺序对于分析结果具有重要影响。
1112 相关性：相邻时间点的数据之间往往存在一定的相关性。
1113 趋势性：数据可能呈现出长期的上升、下降或稳定的趋势。
1114 季节性：某些数据在一年内的特定时间段内会表现出相似的模式，如销售数据在节假日期间的增加。
1115 随机性：数据中还包含了一些无法预测的随机波动。
12 时间序列分析的目的时间序列分析的主要目的包括：121 预测未来值：通过对历史数据的分析，预测未来一段时间内数据的可能取值，为决策提供依据。
122 理解数据的动态特征：揭示数据的趋势、季节性和周期性等模式，帮助人们更好地理解数据产生的机制。
123 监测和控制：用于监测系统的运行状态，及时发现异常情况并采取相应的控制措施。
124 评估政策和干预的效果：在政策实施或干预措施执行后，通过时间序列分析评估其对相关数据的影响。
13 时间序列分析的常用方法常用的时间序列分析方法包括：131 移动平均法：通过计算一定时期内数据的平均值来平滑数据，消除随机波动。
132 指数平滑法：对历史数据进行加权平均，给予近期数据更高的权重，以更好地反映数据的最新变化。
133 自回归模型（AR）：利用数据自身的滞后值来预测当前值。
134 移动平均自回归模型（ARMA）：结合自回归和移动平均的特点进行建模。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
古海洋学 12.740 2004年春季讲义5冰期/间冰期“摆动”：为什么？时间序列分析对于过去700,000年来的气候变化的大致过程，我们已经有了一定的了解。
尽管我们能够认识到地理学指标的变化非常有意义，但其绝大部分都具有相似的基本模式。
籍由此，我们便可以发问：为什么？两种途径：1.“物理学”：由第一定律得到冰期。
祝你好运！（如果你能做出结论，记得打电话通知我）2.“相关性（非因果）”：将由第一定律推知的确定的驱动力与古环境记录之间的相似性（巧合？）寻找出来。
根据少量样品得到的一致性只能说是偶然的。
如果这些少量数据有价值，那么深究其中的相关机制也就是有意义的。
成功的研究方法需要：（1）生物扰动程度较低的可信的古环境证据，（2）古环境记录需要足够长，以使有足够多的旋回可供分析检验。
I。
研究简史A. 1840：Agassiz提出大规模大陆冰川假说；学术论战随之兴起，但最终归结为赞同其观点；B. 1860：Croll提出地球轨道参数的变化对冰川旋回负有一定责任，学界反响强烈，但意见不一；C. 1920：Milankovitch公开量化计算地球轨道参数变更的详细内容，但仍有人不同意该理论；D. 1950：Emiliani给出证明周期性冰期旋回的证据，意图重振Milankovitch学说，但时间尺度的确定仍是最大问题；E. 1960，1970：Barbados群岛分析数据（以及据此得到修正时间尺度）使学界重拾对Milankovitch学说的兴趣，也正是这时候，Milankovitch学说才被学界严肃对待，同时距离被证明仍然遥远；F. 1976：Hays，Imbrie，Shackleton的论文，战胜了学界对轨道影响气候学说的绝大部分反对意见，说明轨道参数变化至少也可以起到冰周期的“带跑者”作用；G. 现在：相对地已经很少有人怀疑地球轨道变化会对气候环境产生影响，因此主要问题就集中在各个参数对不同气候因子的作用到底有多大？在多大程度上气候可以被准确预测？这些轨道动力是否存在显著相关的系统内反映（或称共振）？气候的次轨道大尺度可变性的起源是什么？我们能否利用对古代气候变化的理解，使得对未来气候变化的预测更加准确。
对最后一个问题的注释：气候模型（后文将有详细讨论）往往会论及很多物理学定律（比如：运动定律、动力学定律），但是由于气候体系庞大的复杂性、囿于计算机计算速度，对一些认识较浅和次级尺度的过程，我们不能给出确定性的表述（例如：对流沉积；浮冰形成和融化；土壤、植被、蒸发作用、沉积和河流刨蚀过程）。
所有这些要素都非常重要，因此不能舍弃。
实际上，地质学很多内容的处理是经验化的，因此含有不少为了得到与现代气候相“协调”而“编造”的因数。
由于地质过程不可能在短时间内产生明显效应，因此预测一两天的天气，这种逼近还可以应用，但是对于气候变更，这种逼近方法引入的不确定因素就会产生一系列的问题。
同时，气候模型对不同参数的灵敏度也可能会被错误估计。
检验模型灵敏度的方法之一，就是检测其在某一已知地质过程的作用下如何表现（例如：较近一次的火山爆发）。
最著名的作用于环境变迁的驱动力就是地球轨道参数差异引起的地表辐射量变化。
II。
地球轨道参数变化以及对大气层顶接收太阳辐射量的影响。
根源：地球与太阳以及行星之间的万有引力作用。
地球运动特征受到太阳引力场影响，轨道倾斜率/偏心率受到太阳-木星作用于地球的反向的引力制衡的影响。
A。
季节更迭。
成因在于地轴相对于黄道面的倾角：平视图（平行黄道面）：斜视图（示意图，偏心率不准确）北半球为夏季B。
偏心率 ee=(a2-b2)1／2／a1.地球的偏心率变化显示0~0.06准周期性，周期长度大约在96000到40000年之间；2.太阳位于轨道焦点，地球越靠近太阳，运动速率越快，距日越远，则越慢；3.由太阳系外垂直于黄道面俯视，地球轨道取向会发生运动，如下图示：偏心率随时间的变化，如下图示：4.偏心率的变化并不会对全球年平均太阳辐射量产生显著影响，毕竟（在约0.1%范围内）夏季损失的日照可以由冬季补偿。
C。
黄赤交角（ε）（地球轨道相对黄道面的倾斜角度）ε的分异约存在于21.8°到24.4°范围内，现在的黄赤交角为23.44°。
主要影响回归线和极圈的纬度位置。
周期约为41000年，且相对而言规律性更强。
可以将黄赤交角的变化视为太阳系角动量振动系统的部分表现（对于整个太阳系角动量是守恒的，而在太阳系内不同星体之间角动量有转移）。
黄赤交角随时间变化，如下图示：D。
分点岁差岁差频率决定于地球角动量和太阳作用于地球的力矩。
对于所有的旋转物体来说，物理学特征都是类似的。
地轴相对位置恒定的恒星的进动周期是25700年。
而地轴进动周期和地球轨道中轴进动的周期的交互作用决定了地球气候变化的效应（直接原因是日地距离的变化）。
大约以22000年为周期，太阳辐射量的分布完成一个循环。
[进动：当受到外力作用时旋转体轴的运动，如旋转陀螺般的摇摆]初始状态约22000年之后总的净效应在于约22000年的太阳辐射地球收入量周期。
而太阳辐射量的进动周期（岁差）是由轨道绝对偏心率决定的。
如果地球轨道是正圆形，就不会产生辐射收入量的季节变化和南北半球差异；地球轨道偏心率越大，辐射量的季节变化量和南北差异也就越大。
e sinω 是对辐射周期的一个简单度量。
进动参数：e sinω偏心率的“振幅”“调制”辐射量进动周期。
E。
太阳辐射量以上所有地球轨道因数的变化都会影响大气层顶接收的太阳辐射量，同时形成随季节和纬度的气候分异现象。
1。
岁差/偏心率的影响a.辐射量的半球差异：在近日点时为夏季的半球接收更多的太阳辐射。
偏心率越大，两半球辐射量差异越大。
b.半球内部的季节性差异：当某一半球处于夏季近日和冬季近日的更迭之中，则季节性差异就要被修正。
由于此效应对于两半球是不一致的，因此会产生辐射量的不同。
2。
黄赤交角的影响黄赤交角越大，则高纬地区夏季能够接收到的太阳辐射越多；同时冬季的辐射量却不会有变化。
F。
总结利用牛顿力学，我们能够将几百万年以来的这些轨道特征量精确计算。
然而不确定因素的积攒（例如：行星的相对质量，行星的形状和密度分布）会造成绝对值的不确定性，尽管某些轨道参数几百万年来的变化周期可以认为是无误的。
能被准确判定的只有50万年以来的计算值。
III。
如何做出有关轨道参数变化和气候变化记录的正确比较？A。
曲线拟合法：非常流行，但具有主观性强、相位滞后的可能性、时间尺度误差等缺陷。
B。
数学分析法：有很多可行的方法，但傅立叶分析最逼近真实。
尽管其数学推导繁复，但由于某些特征参数根本无法简单计算，因此实用性仍然最好。
IV。
傅立叶幂级数分析A。
棱柱类推（prism analogy）：观察一个合理的包含时间变量的级数函数。
傅立叶变换给出将该时间函数等价转换为一系列正弦函数（sin）与余弦函数（cos）的和的形式的理论推导和处理方法。
B。
设G(t)为一连续可导且导数连续的函数。
如果我们在该函数图像上等间隔的取点，创建一个函数序列：G(t1)、G(t2)．．．．．．G(t n)；则有且仅有一个复合函数S(f)=A(f)+B(f)i （其中f代表频率，i是-1的平方根）满足：其中f j=j/t n，j=1、2、3．．．n这些谐函数fj都是两两直交的（也就是说由于Σf k≠j，从而不可能重建f j波），也是完f 备的（也就是说给出任意一个合理的t，都能找到一个完备且唯一的函数值）1. 定义域为实数区间的时间级数G(t)的傅立叶变换，定义为：[其中ω=2πf]a.简单表达：2.傅立叶变换是可逆的：也就是说傅立叶变换和时间级数都包含相当的“信息”，也就意味着我们能够利用傅立叶变换的逆运算作频率分析。
b.一条正弦波的傅立叶变换得到一条单峰频率分布曲线。
同样的，对一条单峰频率分布曲线作逆傅立叶变换就得到一条正弦波。
C。
推导过程1。
在傅立叶定律的理论基础上，离散型傅立叶变换形式上只是一组联立的方程。
我们取离散均匀取样的数据点为例：假设对G(t)取N个观测值，并转换成N/2对sin、cos系数。
系数的个数一定等于N。
那么问题转化成解决一个N阶方程组。
令A为一NxN的矩阵，sin和cos系数为其元素，且使其每行为：（i=1…N）例如：并令x为一傅立叶系数(a，b)的N阶向量（或称一Nx1的矩阵）：（注意是竖直排列）并令g为一N阶向量，g(t i)为其每一项：（i=1…N）由傅立叶定律，可得：解之，可得傅立叶系数：2。
上述乃傅立叶变换的一种途径，但实际上还有更为简便的变换方式，也就是快速傅立叶变换法（FFT），这是一种解方程组的简便方法。
64行BASIC程序语言，就能实现这一过程；详情可见于“the visible FFT”计算程序。
实际上你也可以通过插入新数据，从而得到一条数据点均匀分布（时间上）的二次幂序列（由于古气候数据往往并不平滑，因此这是很有意义的）；或者可以用添零法处理数据，直到得到二次幂的形式。
3。
较老的文献中常是用“Blackman和Tukey”法进行计算，这也是FFT出现之前较为流行的，主要在SPECMAP计划中普遍用到。
该方法的理论基础是时间级数的自相关性，主要内容就是对时间级数关于自身的自相关系数的计算。
这种方法在算术意义上具有等价性，同时所采用计算方法并不会严重影响计算结果。
4。
对于非等间隔取点的时间数据级数，IV.C.1只给出解决办法之一。
在这种情形下，我们可以将时间级数的单个测量值转换成与之对应的sin、cos函数即可，而不必顾及其取点间隔。
因此矩阵X中的行向量就可以写作：其中t=每次测量的时间值上述数据格式可能导致计算的傅立叶系数（由于每个谐函数都记录了长度值因此必须保留）多于观测值数量，忽略谐函数最大值，是处理该问题的一般方法。
也有可能需要将所有值较大的谐函数全部忽略，从而导致观测值数量又多于傅立叶系数。
[这在古气候学上常是有用的，因为时间尺度的误差值往往表现为无意义的谐函数最大值]。
在此种情形下，IV.C.1中的b等式用最小方阵逼近为：相对FFT，此方法计算复杂程度更高，因而效率稍显低。
但是有计算机之后，计算复杂性的压力被电脑承担。
相对的计算难度也就显得无关紧要。
5。
有限离散取样的时间级数傅立叶变换，暗含将所取数据周期化的假设，换句话说，所测级数在周期性重复。
这会导致很多问题，例如：假如首个和末个数据点的值相差甚远，则需用基本频率的高频谐函数来做傅立叶变换，才能得到比较“尖峰”的图线。
D。
折频和混淆离散取样，则推导频率不可能大于取样频率的2倍（折频）；如果数据点可以表示为较低频率的波谱，则可能得到较高的频率（混淆）。
E。
谐函数基本周期为P的谐函数的锯齿状（线性趋势重复）波谱：F。