第十二章时间序列分析
知识发现(数据挖掘)第十二章
03 模式识别
数据挖掘技术可以识别数据中的模式，包括分类、 聚类和关联规则等，为知识发现提供有价值的线 索。
知识发现流程简介
问题定义
明确知识发现的目标和问 题范围。
数据准备
收集、清洗和整理相关数 据。
数据挖掘
应用数据挖掘技术对数据 进行分析和挖掘。
采用最小二乘法、极大似 然法等方法进行参数估计 。
对模型的残差进行检验， 判断模型是否合适。
利用已建立的模型对未来 数据进行预测，并评估预 测精度。
07 文本挖掘技术
文本表示与特征提取方法
词袋模型（Bag of Words）
将文本表示为一个词频向量，向量中的每个元素代表一个单词在文本中出现的次数。这种方法简单有效，但忽略了单 词之间的顺序和上下文信息。
TF-IDF模型
是一种用于信息检索和文本挖掘的常用加权技术。TF-IDF是一种统计方法，用以评估一字词对于一个文件集或一个 语料库中的其中一份文件的重要程度。
Word2Vec模型
是一种浅层神经网络模型，用于生成词向量。Word2Vec可以捕捉单词之间的语义和语法关系，使得语 义上相似的单词在向量空间中的距离较近。
03
深度学习方法
通过构建深层的神经网络模型来学习文本的情感特征，并进行情感分类。
深度学习方法可以自动提取文本中的高层特征，但需要大量的标注数据
进行训练。
主题模型在文本挖掘中应用
LDA（Latent Dirichlet Allocation）模型：是一种典型的主题模型，用于从大量文档中发 现潜在的主题结构。LDA假设每个文档是由多个主题混合而成的，而每个主题又是由多个单 词混合而成的。
统计学时间序列分析
统计学时间序列分析时间序列是经济学、金融学和其他社会科学领域中的一个重要分析对象。
通过对时间序列数据的分析，我们可以揭示数据之间的关系、趋势和周期性，从而为决策提供有力的支持和预测。
统计学时间序列分析是一种应用数学方法的工具，用于对时间序列数据进行建模和预测。
一、时间序列的基本概念时间序列是按时间顺序排列的一系列观测值的集合。
在时间序列分析中，我们关注数据之间的内在关系，而忽略其他因素的影响。
时间序列数据通常具有以下特征：1. 趋势性：时间序列数据的长期变化趋势。
2. 季节性：时间序列数据在一年内固定时间段内的重复模式。
3. 循环性：时间序列数据中存在的多重周期性波动。
4. 随机性：时间序列数据中的不规则、无法预测的波动。
二、时间序列分析的方法在进行时间序列分析时，我们可以采用以下方法来揭示数据的内在规律：1. 描述性统计分析：通过计算数据的均值、方差、相关系数等指标，对数据的整体特征进行描述。
2. 图表分析：通过绘制折线图、柱状图等图表，展示时间序列数据的变化趋势和周期性。
3. 分解模型：将时间序列数据分解为趋势项、季节性项和残差项，以揭示数据的内在结构。
4. 平滑法：通过移动平均法、指数平滑法等方法，消除时间序列数据的随机波动，从而揭示趋势和季节性成分。
5. 自回归移动平均模型(ARIMA)：ARIMA模型是一种常用的时间序列分析方法，可以对数据进行预测和建模。
它综合考虑了自回归、移动平均和差分的影响因素。
三、时间序列分析的应用领域时间序列分析广泛应用于经济学、金融学、市场调研等领域，具体应用包括：1. 经济预测：通过对经济数据进行时间序列分析，可以预测未来的经济发展趋势，为政府决策提供参考。
2. 股票市场分析：时间序列分析可以帮助分析师预测股票市场的走势，制定投资策略。
3. 需求预测：通过对销售数据进行时间序列分析，可以预测产品的需求量，为企业的生产和供应链管理提供指导。
4. 天气预测：通过对气象数据进行时间序列分析，可以预测未来的天气状况，为农业、旅游等行业提供参考。
时间序列分析法范文
时间序列分析法范文1.数据收集：收集时间序列数据，确保数据准确性和完整性。
2.数据可视化：绘制时间序列数据的图表，以便观察其趋势和周期性。
3.时间序列分解：将时间序列数据分解为趋势、周期和随机成分。
趋势部分表示数据的长期变化趋势，周期部分表示数据的循环变化趋势，随机部分表示数据的不规律波动。
4.数据平稳性检验：判断时间序列数据是否具有平稳性，即均值和方差是否稳定。
5.模型拟合：根据数据的特征选择适当的时间序列模型，如AR模型（自回归模型）、MA模型（移动平均模型）或ARMA模型（自回归移动平均模型）。
6.模型检验：利用统计方法对拟合好的模型进行检验，如检查残差序列是否为白噪声序列。
7.模型预测：基于拟合好的模型，对未来的时间序列数据做出预测。
时间序列分析中最常用的模型之一是ARIMA模型（自回归整合移动平均模型）。
ARIMA模型基于时间序列数据的自相关性和移动平均性来做出预测。
ARIMA模型的三个参数分别代表自回归部分的阶数（AR）、差分次数（I）和移动平均部分的阶数（MA），通过对这三个参数的选择和拟合，可以得到最优的模型。
时间序列分析还可以应用于季节性数据的预测。
季节性数据具有明显的周期性，例如每年销售额的变化或每月的气温变化。
对季节性数据进行分析时，需要使用季节性ARIMA模型（SARIMA），该模型结合了ARIMA模型和季节性变化的效应。
在金融领域，时间序列分析可用于股票市场的预测和波动性分析。
例如，可以利用时间序列分析来研究股票市场的趋势，预测未来的股价，并进行风险管理。
时间序列分析的优点包括可以从历史数据中提取有用的信息，预测未来的趋势，并进行风险管理。
它还可以帮助研究人员了解时间序列数据的动态特征和影响因素。
然而，时间序列分析也存在一些局限性，例如对数据平稳性的要求较高，数据的缺失或异常值可能会影响预测结果的准确性。
总之，时间序列分析是一种有效的统计方法，可帮助我们理解和预测随时间变化的数据。
市场调查 第十二章 季节变动预测法
第十二章 季节变动预测法季节变动:由于自然条件和社会条件的影响,经济现象在一年内随季节的转变 而引起的周期性变动.水平型季节变动是指时间序列中各项数值的变化是围绕某一个水平值上下周期性的波动。
若时间序列呈水平型季节变动，则意味着时间序列中不存在明显的长期趋势变动而仅有季节变动和不规则变动。
趋势季节变动是指时间序列中各项数值一方面随时间变化呈现季节性周期变化，另一方面随着时间变化而呈现上升或下降的变化趋势。
若时间序列呈长期趋势季节变动，则意味着时间序列中不仅有季节变动、不规则变动，而且还包含有长期趋势变动。
第一节：水平型季节指数预测基本步骤如下：1.收集连续三年以上的各期历史数据2.计算各年同期平均数和总平均数；3.计算季节指数或季节变差；4.建立预测模型，进行预测。
如果按一年四个季度分析，四个季度的季节指数之和是400%，大于100%的是旺季，小于100%的是淡季。
如 季度 一季度 二季度 三季度 四季度 季节指数5090125135若按一年12个月分析，则12个月的季节指数之和是1200%。
例1： 单位：万元 年序号 一季度 二季度 三季度 四季度 合计 1 2 3 4 5 354.94 338.96 432.97 368.58 354.42 370.18 457.59 398.50 416.18 415.72 312.08 269.26 317.83 216.55 186.53 352.16 442.12 467.42 390.29 256.21 1389.36 1507.93 1616.72 1391.6 1312.88 合计 1749.87 2058.17 1302.25 2008.2 7218.49 季平均数 369.97 411.63 260.45 401.64 360.92 季节指数%102.51114.0572.16111.28400.00例2：某企业空调的销售量资料如下表：单位：台 月份 第1年 第2年 第3年第4年 月平均 季节指数% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 3 9 22 37 60 94 50 40 10 6 6 3 5 6 18 42 50 100 80 60 15 3 1 2 4 6 20 40 70 110 62 36 12 4 0 3 5 7 15 35 64 98 60 40 20 5 2 3 4.25 7 18.75 38.5 61 100.5 63 44 14.25 4.5 2.25 9.97 14.13 23.27 62.33 127.99 202.67 334.11 209.44 146.28 47.23 14.96 7.48 合计3413833663543611200上表中，4年份48个月的月平均数为361/12=30.08预测方法：1）已知未来全年的预测值，预测各季节的或各月的。
伍德里奇 第十二章
u t 1u t 1 2 u t 2 e t , e t ~ i .i .d (0, )， 1＞ 1， 2 11， 1 2＜ 1 （ 平 稳 性 条 件 ）
2
准差分变换： y t y t 1 y t 1 2 y t 2 ; X t X t 1 X t 1 2 X t 2 其他同 AR(1)误差模型的处理。
v t ~ iid (0, ) ，
2
ˆ 1 et 1 ˆ 2 et 2 ，对 H 0 : 1 2 0 做 F 检验。 ˆt 检验方程变为 e
要求大样本（因为依赖于一致性） ，而且误差项不能隔期相关。
二、 Durbin-Watson 检验 方法如下
ˆ t X t ˆ ，得到残差 et y t y ˆt 1. 估计 y
第十二章 时间序列回归中的序列相关和异方差
§ 1.含序列相关误差时 OLS 性质
定 义 ： cov( u t , u t 1 ) 0 称 为 误 差 项 一阶 序 列 相关 （ 自相 关 ） ，记 为 AR(1) ；
cov( u t , u t q ) 0 称为误差项 q 阶序列相关（自相关） ，记为 AR(q)。
y t 0 1 y t 1 u t
这种情况下，上述两种方法失效。Durbin 提出了基于 t 检验的一般回归元的 AR(1) 序列相关检验：
ˆ t X t ˆ （多元回归） ˆt 1. 估计 y ，得到残差 et y t y
ˆ 对 ˆ et 1 X t α ˆ， ˆt 2. 估计方程 e 〔比严格外生回归元条件下的检验多了 X〕 。 计算
DW
(e
t2
时间序列分析案例
时间序列分析案例时间序列分析是指对一系列按照时间顺序排列的数据进行分析和预测的统计方法。
在实际生活中，时间序列分析可以应用于经济预测、股票价格预测、气象预测等多个领域。
本文将以一个实际案例来介绍时间序列分析的基本步骤和方法。
首先，我们选取了某公司过去五年的月销售额数据作为研究对象。
我们首先对数据进行可视化分析，绘制出销售额随时间变化的折线图。
通过观察折线图，我们可以初步判断销售额是否存在趋势、季节性和周期性等特点。
接下来，我们对销售额数据进行平稳性检验。
平稳性是时间序列分析的基本假设之一，如果数据不是平稳的，就需要对数据进行差分处理。
我们使用单位根检验（ADF检验）来判断销售额数据是否平稳。
如果数据不是平稳的，我们将对数据进行一阶差分处理，直到数据变得平稳为止。
在确认数据平稳后，我们将对销售额数据进行自相关性和偏自相关性分析。
自相关性分析可以帮助我们确定时间序列的阶数，偏自相关性分析可以帮助我们确定ARIMA模型的参数。
通过自相关性和偏自相关性图，我们可以初步确定ARIMA 模型的参数p和q的取值。
接下来，我们将建立ARIMA模型并进行参数估计。
ARIMA模型是一种常用的时间序列预测模型，它可以很好地捕捉时间序列的趋势、季节性和周期性。
我们使用最大似然估计方法对ARIMA模型的参数进行估计，并对模型的拟合效果进行检验。
最后，我们将使用建立好的ARIMA模型对未来几个月的销售额进行预测。
我们将绘制出销售额的预测图，并计算出预测误差的均方根误差（RMSE）。
通过对预测结果的分析，我们可以评估ARIMA模型的预测效果，并对未来的销售额进行合理的预测。
通过以上案例，我们可以看到时间序列分析在实际中的应用。
通过对销售额数据的分析和预测，我们可以为公司的经营决策提供重要的参考依据。
同时，时间序列分析也可以应用于其他领域，帮助我们更好地理解数据的规律和特点，为未来的预测和决策提供支持。
计量经济学中的时间序列分析
计量经济学中的时间序列分析时间序列分析是计量经济学中的重要内容之一，它主要研究特定变量随时间变化的规律性和趋势。
通过时间序列分析，我们可以更好地理解经济现象，预测未来变化趋势，制定合适的政策和策略。
本文将从时间序列的概念入手，介绍时间序列分析的基本原理、方法和应用。
一、时间序列的概念时间序列是按照时间顺序排列的一系列数据观测值的集合。
在计量经济学中，时间序列通常用来观察和研究某一经济变量在不同时间点上的变化情况。
时间序列数据可以是连续的，也可以是间断的，常见的时间单位包括年、季、月、周等。
通过对时间序列数据的分析，我们可以揭示出其中的规律性和特征。
二、时间序列分析的基本原理时间序列分析的基本原理是利用过去的数据来预测未来的发展趋势。
在时间序列分析中，常用的方法包括趋势分析、周期性分析、季节性分析和不规则波动分析。
趋势分析主要用来观察时间序列数据的长期变化趋势，周期性分析则是研究数据是否存在固定长度的周期性波动，季节性分析则是研究数据是否呈现出固定的季节性变化规律，而不规则波动分析则是研究一些随机因素对数据的影响。
三、时间序列分析的方法时间序列分析的方法有很多种，其中常用的包括移动平均法、指数平滑法、回归分析法、ARIMA模型等。
移动平均法通过计算连续几个期间的平均值来平滑数据，达到去除数据波动的目的；指数平滑法则是通过计算加权平均来对数据进行平滑处理，使得预测值更加准确；回归分析法则是通过建立经济模型来研究时间序列数据之间的关系，进行预测和分析；ARIMA模型则是一种时间序列的自回归与移动平均模型，可以对时间序列数据进行拟合和预测。
四、时间序列分析的应用时间序列分析在经济学、金融学、管理学等领域有着广泛的应用。
在经济学中，时间序列分析可以用来研究经济增长、通货膨胀、失业等经济现象的发展趋势；在金融学中，时间序列分析可以用来预测股票价格、汇率、利率等金融变量的变化情况；在管理学中，时间序列分析可以用来制定企业的生产计划和销售策略，提高企业的运营效率。
第12章时间序列分析与预测
Mt1
1 N
N
At j1
j1
式中， N 为期数；
A t j 1为t-j+1期的实际值；
M
为t+1期的预测值。
t1
• 例12-1：已知某企业1986到2005的20年销售额情况，分别计算3年和7年移动平均
趋势值，并作图与原序列比较。 解：以3年移动平均为例说明计算步骤，3年移动平均趋势值由一系列3个连续观察值平 均得到。第一个3年移动平均趋势值由序列中前5年的观察值相加再除以3得到：
可以清楚的观察到一条逐渐向上的直线，其直线回归的调整后的判定系数 为0.966。
2. 二次曲线趋势模型
• 当时间序列中各观察值发展呈抛物线状态，并且各期 发展水平得二次增长量（逐期增长量之差）大致相等 时，有二次曲线趋势模型如下所示：
Yˆt abtc2 t
同样利用最小二乘法，我们可以得到以下方程组来求得 三个未知常数a，b，c。
的一般形式为：
Yˆt abt
为了对这个指数曲线方程求解，我们可将其以两边同
时取对数的形式转化为直线方程：
lgYˆt lgatlgb
然后根据最小二乘法得到未知常数a，b。
lgY nl g lg a b t
tl g lg Y ta lg tb 2
同样，可以取时间序列中间项为原点，方程可简化 为：
• 移动平均法存在的一些问题
（1）加大移动平均法的期数（即加大N值）会使平滑 波动效果更好，但会使预测值对时间序列数据的实 际变动更不敏感 ；
（2）移动平均值并不总是很好地反映出趋势，由于是平 均值，预测值总是停留在过去的水平上，从而不能预测 将来的波动性；
（3）移动平均法还需要有大量过去数据的记录，如 果缺少历史数据，移动平均法就无法使用。
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目录第十一章时间序列分析___________________________________________________________________ 2第一节时间序列的有关概念______________________________________________________________ 3一、时间序列的构成因素_______________________________________________________________ 3二、时间序列的数学模型_______________________________________________________________ 4第二节时间序列的因素分析______________________________________________________________ 4一、图形描述_________________________________________________________________________ 4二、长期趋势分析_____________________________________________________________________ 5三、季节变动分析_____________________________________________________________________ 8四、循环波动分析____________________________________________________________________ 12第三节随机时间序列分析_______________________________________________________________ 14一、平稳随机过程概述________________________________________________________________ 14二、ARMA模型的识别 _______________________________________________________________ 15三、模型参数的估计__________________________________________________________________ 19英文摘要与关键词______________________________________________________________________ 21习题_________________________________________________________________________________ 21第十一章时间序列分析通过本章的学习，我们应该知道：1.时间序列的数学模型及含义2.如何进行长期趋势分析3.如何进行季节变动分析4.如何进行循环变动分析5.A RMA模型的识别与参数估计时间序列分析是一种广泛应用的数量分析方法，主要用于描述和探索现象随时间发展变化的数量规律性。
时间序列分析通常分传统的时间序列分析与现代的时间序列分析两种，前者研究各种时间序列因素分解以及长期趋势、季节变动、循环变动三要素的分析；后者则主要研究AR模型、MA模型和ARMA模型。
第一节时间序列的有关概念任何事物都处于不断的运动和发展变化中，为探索现象发展变化的规律性，我们需要观察现象随时间变化的数量特征。
我们把某种现象发展变化的指标数值按一定时间顺序将排列起来形成的数列，称为时间序列，第二章我们提供的数据集01和数据集04也都属于时间序列。
表11.1是从数据集摘录的部分数据。
一、时间序列的构成因素事物的发展受多种因素的影响，时间序列的形成也是多种因素共同作用的结果，在一个时间序列中，有长期的起决定性作用的因素，也有临时的起非决定性作用的因素；有可以预知和控制的因素，也有不可预知和不可控制的因素，这些因素相互作用和影响，从而使时间序列变化趋势呈现不同的特点。
影响时间序列的因素大致可分为四种：长期趋势、季节变动、循环变动及不规则变动。
1. 长期趋势（Trend）长期趋势是指现象在相当长的一段时期内，受某种长期的、决定性的因素影响而呈现出的持续上升或持续下降的趋势，通常以T表示。
如中国改革开放以来国内生产总值持续上升。
2. 季节变动（Seasonal variation）季节变动是指现象在一年内，由于受到自然条件或社会条件的影响而形成的以一定时期为周期(通常指一个月或季)的有规则的重复变动，通常以S表示。
如时令商品的产量与销售量，旅行社的旅游收入等都会受到季节的影响。
应注意的是在这里提到的“季节”并非通常意义上的“四季”，季节变动中所提及的主要指广义的概念，可以理解为一年中的某个时间段，如一个月，一个季度，或任何一个周期。
3. 循环变动（Cyclical variation）循环变动是指现象持续若干年的周期变动，通常以C表示。
循环变动的周期长短不一，没有规律，而且通常周期较长，不像季节变动有明显的变动周期(小于一年)。
循环变动不是单一方向的持续变动，而是涨落相间的交替波动。
如经济周期。
4. 不规则变动（Irregular Random variation）不规则变动是指现象由于受偶然性因素而引起的无规律、不规则的变动，如受到自然灾害等不可抗力的影响，通常以I表示，这种变动一般无法作出解释。
二、时间序列的数学模型时间序列各影响因素之间的关系用一定的数学关系式表示出来，就构成时间序列的分解模型，我们可以从时间序列的分解模型中将各因素分离出来并进行测定，了解各因素的具体作用如何。
通常我们采用加法模型和乘法模型来描述时间序列的构成。
加法模型的表达式为：Y=T+S+C+I，式中Y表示时间序列的指标数值，T、S、C、I分别表示长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动，使用加法模型的基本假设前提是各个影响因素对时间序列的影响是可加的，并且是相互独立的。
而乘法模型的表达式为：Y=T×S×C×I，使用乘法模型的基本假设前提是各影响因素对时间序列的影响是相互不独立的。
第二节时间序列的因素分析时间序列的形成受到多个因素的影响，影响因素可以归纳为四个方面：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。
本节主要介绍前三种影响因素的测定分析方法。
首先我们可以通过图形对序列的特点作初步的认识，识别其简单的统计规律一、图形描述作图是显示统计数据基本变动规律最简单、最直观的方法，下面我们先介绍几种常见的时间序列图形。
1. 平稳时间序列与非平稳时间序列时间序列的平稳性是我们建模的重要前提，在检验时间序列的平稳性时，必须要考虑其均值和方差，如果一个序列的统计特性不随时间的变化而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化，那么这个时间序列为平稳时间序列，如图11.1所示。
图11.1 化学反应产出量不具有平稳性即序列均值或协方差与时间有关的序列称之为非平稳序列，如图12.2所示。
图11.2 美国电冰箱月度需求2. 仅包含长期趋势下图是我国1992-2002年间GDP的发展趋势，图形呈现持续上升趋势。
图11.3 我国GDP发展趋势3. 既包括长期趋势，又包括季节变动图12.4是根据某地区农业生产资料的季度销售额作出的，图中既有缓慢地上升趋势，又有季节的波动。
图11.4 某地区农业生产资料季度销售额的波动二、长期趋势分析长期趋势是时间序列中主要的构成因素，它是指现象在一段时期内持续上升或下降的发展趋势。
研究长期趋势的意义主要体现在三方面：（1）有利于认识现象随时间变化的趋势，掌握现象活动的规律；（2）有利于对现象未来的发展作出预测；（3）有利于从时间序列中剔除它的影响，进而更好地分析其他因素的影响。
时间序列的长期趋势可表现为线性趋势和非线性趋势，非线性趋势可以理解为无数线性趋势的组合，在研究方法上基于线性趋势分析方法。
因此本部分我们仅研究最简单、最基础的线性趋势。
测定长期趋势的方法很多，常用的有移动平均法和趋势线法。
（一）移动平均法（Moving Average Method）移动平均法是通过逐期移动时间序列，并计算一系列扩大时间间隔后的序时平均数，最终形成一个新时间序列的方法。
由于序列平均数有抽象数量差异的作用，所以经过移动平均后得到的新序列相比原时间序列来说，由其它因素而引起的变动影响被削弱了，对原序列起到了修匀的作用，从而更清晰地呈现出现象的变动趋势。
通过移动平均法的定义易见其核心是扩大时间间隔计算序时平均数，我们有必要更进一步的认识时间间隔的选取及新数列的形成问题。
1. 时间间隔的选取应根据现象的特点和资料的情况来决定。
一般来说，如果现象发展的资料呈现出一定的周期性，应以周期的长度作为移动间隔的长度；如果是季节资料，应采用4项移动平均；如果是月份资料，应采用12项移动平均，只有这样才能削弱周期或季节的影响。
2. 新数列中每一数值应有与之对应的时间。
如果进行的是奇数项移动平均，计算的序时平均数应放在中间时期所对应的位置上，边移动边平均，每一项序时平均数都有与之对应的时间；如果进行是偶数项移动平均（如4项或12项），序时平均数同样也应放在中间时期所对应的位置上，但由于时间间隔为偶数，序时平均数所对应的时期应介于两个时间之间，不能构成时间序列，所以我们需要对相邻的序时平均数再进行一次平均。
移动平均后得到的时间序列值又称趋势值。
【例11.1】我国1990—1999年粮食产量序列见表11.1，对其进行3、4、5年的移动平均，并作图观察。
【解】表11.1 移动平均数计算表作图如下：图11.5 3、4、5年的移动平均图示通过以上例题，我们可以发现：（1）移动平均项数越多，平均的结果越平滑；（2）新数列的项数比原教师：Excel 的“数据分析”功能中有“移动平均”，但其实使用函数更为方便。
无论是用手工计算还是用“移动平均”工具对于偶数项的移动平均都要进行二次平均，好烦吧？你能不能想个办法一次解决问题？趋势线法是选择合适的趋势线，并利用回归分析的方法建立趋势方程来拟合时间序列的方法。
线性趋年份 粮食产量 （万吨） 3年移动平均4年移动平均 5年移动平均一次平均 二次平均 1990 44624.0 — — — — 1991 43529.0 44139.60 44516.90 — — 1992 44265.8 44481.20 44488.43 44502.66 44515.54 1993 45648.8 44808.23 45271.63 44880.03 44923.10 1994 44510.1 45606.90 46818.55 46045.09 46308.00 1995 46661.8 47208.47 47760.63 47289.59 47338.26 1996 50453.5 48844.13 49440.48 48600.55 48454.40 1997 49417.1 50366.70 50484.68 49962.58 49720.10 1998 51229.5 50495.07 — — — 1999 50838.6————势方程的一般公式为：bt a y+=ˆ （11.1） 式中：yˆ表示时间序列y 的长期趋势值；t 为时间标号；a 、b 为待定参数 两个待定参数可以通过最小二乘法求出。