图的概念Introduction
1-2图的概念和术语
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Havel定理(证明,续)
证明: () 设d可简单图化为G=<V,E>, 其中V={v1,v2,…,vn}, d(v1)d(v2)…d(vn). (1) 若NG(v1)={v2,v3, …,vd1+1}, 则令 G’=<V’,E’>, V’=V-{v1}, E’=E-{ (v1,v2), (v1,v3), …, (v1,vd1+1) }, 于是d’可简单图化为G’. (2) 若ij( i<j viNG(v1) vjNG(v1) ),
3
2,2
1,2 (d+,d-)
9
握手定理
定理1:设G=<V,E>是无向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则 d(v1)+d(v2)+…+d(vn)=2m. # 定理2:设D=<V,E>是有向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则 d+(v1)+d+(v2)+…+d+(vn) = d-(v1)+d-(v2) +…+d-(vn) = m. # 推论:任何图中,奇数度顶点的个数是偶数. #
v2
vi
d = (d1,
d2,
d3,
……
vn vj dd1+1, dd1+2, …… dn) vd1+1 vk
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Havel定理(证明,续)
证明: () (2)若ij(1i<jnviNG(v1)vjNG(v1)), 则由didj可得 k(1knvkNG(vj)vkNG(vi)), 令G1=<V,E{(v1,vi),(vk,vj)}{(v1,vj),(vk,vi)}>, 则G1与G的度数列都还是d,重复这个步骤, 直到化为(1)中情形为止. #
图示理论
Xiao Xiao 整理
Content
Introduction Classification Characteristics Schema theory in teaching and learning
Introduction
• 图示概念起源可以追溯到18世纪晚期。1981年，德国哲 学家Kant在其著作中首先提出了图示的概念。他认为图示 是“围绕某一个主题组织起来的知识的表征和贮存方式， 是连接概念和感知对象的纽带”。1932年，英国心理学 家Bartlett在《论记忆》中指出，图示是对过去的反应或 经验的组织，是一个先储存信息的各个组成部分，继而又 将其重新整合的过程。在近代心理学研究中，最早对图示 给以理论上高度重视的是格式塔心理学。瑞士著名的心理 学家Piaget也十分重视图示概念，他认为“图示是指认知 或智能的结构或组织，人们借助这些结构来适应统一组织 环境”。直到20世纪70年代，美国心理学家Rumelhart 把图示的概念发展成了一套完整的理论体系。
理解形式图示
Content
schema 内容图示
内容图示包括依赖语篇情 景的图示和读者已有的背 景知识图示。
丰富内容图示
时间
结果
地点
记叙文
பைடு நூலகம்经过
人物
起因
References
1. Barllett, F. C. (1932). Remembering: A Study in Experimental
Formal
schema 形式图示
形式图示也叫结构图示或修 辞图示，是关于不同类型文 章的篇章结构的背景知识。
Content
schema 内容图示
图式理论
什么是图式理论"图式"是指一个人不断积累起来的知识和经验的结构。
人人都在自觉或不自觉地利用"图式"认识客观世界、解释客观世界。
图式论任为，任何语言材料，无论是口头的还是书面的，本身取决于听者或读者已有的知识，即人们在理解新事物的时候，需要将新事物与已知的概念、过去的经历联系起来。
对新事物的理解和解释取决于头脑中已经存在的图式，输入的信息必须与这些图式相吻合。
例如，当我们谈起医院，就会想到医生、病床、打针、吃药、动手术等等，这是头脑中有关医院的图式发生了作用。
根据这一理论，阅读理解首先输入一定的信息，然后在记忆中寻找能够说明这些信息的图式，当足以说明这些信息的图式被找到以后，就可以说产生了理解。
可见，读者理解一篇语言材料的过程就是读者头脑中的图式与语言材料所提供的信息之间相互作用的过程。
当读者把头脑中的图式与语言材料所提供的信息联系起来时，就能获得作者所要传递的意义，达到读者与作者相互交流的目的。
否则，阅读理解就失败。
按图式阅读理论，读者的阅读能力由三种图式来决定，它们是语言图式（linguistic schemata）、内容图式（content schemata）和形式图式(formal schemata)。
在阅读过程中，读者大脑中的这三中图式与文章的语言、内容和形式相互作用，其结果决定了读者对文章的理解程度。
二、图式理论在高中阅读教学中的运用1．内容图式的运用内容图式是指读者对一篇课文的熟悉程度，及狭义的背景知识（赵代玲，2001）。
学生在理解新信息之前，都要将新信息与已知的背景知识联系起来。
图式理论认为，读者的背景知识是影响阅读理解的重要因素，新知识的理解和吸收是建立在已有知识的基础上。
语言意义的理解在很大程度上依赖于对文化传统和风俗习惯的理解。
许多语言专家认为，文化背景知识是理解特定语篇所必须具备的外部世界知识，它对语篇理解的影响大于语言知识。
背景知识的缺乏会导致阅读理解障碍，因而在理解句意时不仅要用语言本身的知识，还要运用客观世界及社会文化背景知识。
中山大学计算机学院离散数学基础教学大纲(2019)
中山大学本科教学大纲Undergraduate Course Syllabus学院（系）：数据科学与计算机学院School (Department)：School of Data and Computer Science课程名称：离散数学基础Course Title：Discrete Mathematics二〇二〇年离散数学教学大纲Course Syllabus: Discreate Mathematics（编写日期：2020 年12 月）(Date: 19/12/2020)一、课程基本说明I. Basic Information二、课程基本内容 II. Course Content（一）课程内容i. Course Content1、逻辑与证明（22学时） Logic and Proofs (22 hours)1.1 命题逻辑的语法和语义(4学时) Propositional Logic (4 hours)命题的概念、命题逻辑联结词和复合命题，命题的真值表和命题运算的优先级，自然语言命题的符号化Propositional Logic, logic operators (negation, conjunction, disjunction, implication, bicondition), compound propositions, truth table, translating sentences into logic expressions1.2 命题公式等值演算(2学时) Logical Equivalences (2 hours)命题之间的关系、逻辑等值和逻辑蕴含，基本等值式，等值演算Logical equivalence, basic laws of logical equivalences, constructing new logical equivalences1.3 命题逻辑的推理理论（2学时）论断模式，论断的有效性及其证明，推理规则，命题逻辑中的基本推理规则（假言推理、假言易位、假言三段论、析取三段论、附加律、化简律、合取律）,构造推理有效性的形式证明方法Argument forms, validity of arguments, inference rules, formal proofs1.4 谓词逻辑的语法和语义 (4学时) Predicates and Quantifiers (4 hours)命题逻辑的局限，个体与谓词、量词、全程量词与存在量词，自由变量与约束变量，谓词公式的真值，带量词的自然语言命题的符号化Limitations of propositional logic, individuals and predicates, quantifiers, the universal quantification and conjunction, the existential quantification and disjunction, free variables and bound variables, logic equivalences involving quantifiers, translating sentences into quantified expressions.1.4 谓词公式等值演算(2学时) Nested Quantifiers (2 hours)谓词公式之间的逻辑蕴含与逻辑等值，带嵌套量词的自然语言命题的符号化，嵌套量词与逻辑等值Understanding statements involving nested quantifiers, the order of quantifiers, translating sentences into logical expressions involving nested quantifiers, logical equivalences involving nested quantifiers.1.5谓词逻辑的推理规则和有效推理(4学时) Rules of Inference (4 hours)证明的基本含和证明的形式结构，带量词公式的推理规则（全程量词实例化、全程量词一般化、存在量词实例化、存在量词一般化），证明的构造Arguments, argument forms, validity of arguments, rules of inference for propositional logic (modus ponens, modus tollens, hypothetical syllogism, disjunctive syllogism, addition, simplication, conjunction), using rules of inference to build arguments, rules of inference for quantified statements (universal instantiation, universal generalization, existential instantiation, existential generalization)1.6 数学证明简介(2学时) Introduction to Proofs (2 hours)数学证明的相关术语、直接证明、通过逆反命题证明、反证法、证明中常见的错误Terminology of proofs, direct proofs, proof by contraposition, proof by contradiction, mistakes in proofs1.7 数学证明方法与策略初步(2学时) Proof Methods and Strategy (2 hours)穷举法、分情况证明、存在命题的证明、证明策略（前向与后向推理）Exhaustive proof, proof by cases, existence proofs, proof strategies (forward and backward reasoning)2、集合、函数和关系（18学时）Sets, Functions and Relations(18 hours)2.1 集合及其运算(3学时) Sets (3 hours)集合与元素、集合的表示、集合相等、文氏图、子集、幂集、笛卡尔积Set and its elements, set representations, set identities, Venn diagrams, subsets, power sets, Cartesian products.集合基本运算（并、交、补）、广义并与广义交、集合基本恒等式Unions, intersections, differences, complements, generalized unions and intersections, basic laws for set identities.2.2函数(3学时) Functions (3 hours)函数的定义、域和共域、像和原像、函数相等、单函数与满函数、函数逆与函数复合、函数图像Functions, domains and codomains, images and pre-images, function identity, one-to-one and onto functions, inverse functions and compositions of functions.2.3. 集合的基数（1学时）集合等势、有穷集、无穷集、可数集和不可数集Set equinumerous, finite set, infinite set, countable set, uncountable set.2.4 集合的归纳定义、归纳法和递归（3学时）Inductive sets, inductions and recursions (3 hours)自然数的归纳定义，自然数上的归纳法和递归函数；数学归纳法（第一数学归纳法）及应用举例、强归纳法（第二数学归纳法）及应用举例；集合一般归纳定义模式、结构归纳法和递归函数。
概念模型ER图及概念模型转化成关系模型
m
n
1
办卡
属于
1 学生卡
1 班级
课程号 课程名
学分
卡号
余额
班号
辅导员
二、概念模型转化成逻辑模型
将E-R图转换为关系模型实际是将实体集、 属性以及联系转换为相应的关系模式, 1.实体集的转换规则:概念模型中的一个 实体集转换为关系模型中的一个关系,实 体的属性就是关系的属性,实体的码就是 关系的码,关系的结构是关系模式,
较强的语义表达能力,能够方便、直接地表达应用中的 各种语义知识
简单、清晰、易于用户理解,
2. 信息世界中的基本概念
1 实体 Entity
客观存在并可相互区别的事物称为实体,
可以是具体的人、事、物或抽象的概念,
2 属性 Attribute
实体所具有的某一特性称为属性, 一个实体可以由若干个属性来刻画,
3. 概念模型的表示方法ER图
实体型
用矩形表示,矩形框内写明实体名,
学生
教师
E-R图 续
An Introduction to Database System
属性
用椭圆形表示,并用无向边将其与相应的实体连 接起来
学生
学号
姓名
性别
年龄
E-R图 续
An Introduction to Database System
2. 实体集间联系的转换规则
以下举例基于以下的E-R图
成绩
选课 n 课程
学号
姓名
学生
m
n
1
办卡
属于
1 学生卡
1 班级
课程号 课程名
学分
卡号
余额
班号
辅导员
An Introduction to Database System
英文科技论文写作方法
英文科技论文写作是进行国际学术交流必需的技能。
一般而言，发表在专业英语期刊上的科技论文在文章结构和文字表达上都有其特定的格式和规定，只有严格遵循国际标准和相应刊物的规定，才能提高所投稿件的录用率。
撰写英文科技论文的第一步就是推敲结构。
最简单有效的方法即采用IMRaD形式(Introduction，Materials and Methods，Results，and Discussion)，这是英文科技论文最通用的一种结构方式。
IMRaD结构的逻辑体现在它能依次回答以下问题：Introduction（引言）：研究的是什么问题？Materials and Methods（材料和方法）：怎样研究这个问题？Results（结果）：发现了什么?Discussion（讨论）：这些发现意味着什么?按照这个结构整体规划论文，有一个方法值得借鉴，即剑桥大学爱席比教授提出的“概念图”。
首先在一张大纸上（A3或A4纸，横放）写下文章题目（事先定好题目很重要），然后根据IMRaD的结构确定基本的段落主题，把他们写在不同的方框内。
你可以记录任何你脑海中闪现的可以包括在该部分的内容，诸如段落标题、图表、需要进一步阐述的观点等等，把它们写在方框附近的圈内，并用箭头标示它们的所属方框。
画概念图的阶段也是自由思考的阶段，在此过程中不必拘泥于细节。
哪些东西需要包括进文章？还需要做哪些工作，是找到某文献的原文，还是补画一张图表，或者需要再查找某个参考文献？当你发现自己需要再加进一个段落时就在概念图中添加一个新框。
如果你发现原来的顺序需作调整，那就用箭头标示新的顺序。
绘制概念图的过程看似儿童游戏，但其意义重大，它可以给你自由思考的空间，并通过图示的方式记录你思维发展的过程。
这便是写论文的第一步：从整体考虑文章结构，思考各种组织文章的方法，准备好所需的资料，随时记录出现的新想法。
采用这个方法，不论正式下笔时是从哪一部分写起，都能够能做到大局不乱。
图示理论
Definition
• The schema is around a theme to organize the characterization of the knowledge and storage. People need learn and master a vast amount of knowledge, the knowledge is not stored in the chaotic land in the brain, but around a theme each other up form certain knowledge unit, the unit is called schema.
丰富内容图示
时间
结果 记叙文 经过 起因 人物 地点
References
1. Barllett, F. C. (1932). Remembering: A Study in Experimental and Social Psychology. London: Cambridge University Press. 2.刘宇红 (Liu, Hongyu).(2006). 认知语言学: 理论与应用. 北京 市: 中国社会科学出版社. 3.卢红梅 (Lu, Hongmei). (2001). 图式知识理论在大学综合英 语课教学中的应用. 外语教学, 第3期. 4.田延明, 王淑杰 (Tian, yanming & Wang, Shujie). (2010). 心理 认知理论与外语教学研究. 北京市: 北京大学出版社. 5.杨洪 (Yang, Hong). (2004). 图示理论与大学英语阅读. 广州 大学学报, 第4期.
Schema Theory 图示理论
图论
Graphs/图论
二、 图的术语/Graph Terminology 定义 相邻和关联： 在无向图G中，若e=（ａ，ｂ） ∈Ｅ， 则称ａ与b相邻/adjacent，或边e关联a、ｂ /incident或联结a、b/connect。a、b称为边e 的端点或结束顶点/endpoint. 在有向图G中，若e=（ａ，ｂ）∈Ｅ，即 箭头由ａ到ｂ，称ａ相邻到ｂ，或a关联或联 结b。a称为e的起点/initial vertex，b称为e的 终点/terminal or end vertex。
v V
d(v)= d(v)+ d(v)= 2m
d(v)=2m- d(v)
vV2 vV1 vV2
vV1 vV2
d(v)是偶数，从而 d(v)也为偶数，
vV1
即奇数顶点的个数必为偶数,得结论成立.
8/7/2016 9:51 PM Discrete Math. , QingTai Wu 20
A
C
D
图1
8/7/2016 9:51 PM
B
2
Discrete Math. , QingTai Wu
图论的产生与发展史概述
Graphs/图论
当时那里的居民热衷于一个难题：一个散步者能否 从河岸或小岛出发，通过每一座桥，而且仅仅通过 一次回到原地？这个问题似乎不难，谁都愿意试一 试，但谁也回答不出来。 欧拉是一个数学家，头脑比较冷静。千百人的失 败使他猜想，也许了样的走法根本不存在。1736年， 欧拉证明了他的猜想，并在圣彼得堡科学院作了一次 报告。 为了证明这个问题没有解，欧拉将每一块陆地用 一个点来代表，将每一座桥用联结相应的两个点的一 条线来代替，从而得到了一个如图2所示的一个 “图”。于是七桥问题就变成了如下的一笔画问题： 能否笔不离开纸，把图2的“图”一笔画成，使每条 8/7/2016 9:51 PM Discrete Math. , QingTai Wu 3 线只画一次