三角形的证明单元测试题

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(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试题(含答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，EF 经过点O 且//EF BC ，若7AB =，8AC =，9BC =，则AEF 的周长是（）A ．15B ．16C ．17D ．242．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线分别交 AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于点N ，连接EN ，下列结论：①△AFE 为等腰三角形；②DF= DN ；③AN = BF ；④EN ⊥NC ．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在ABC 中，4AB AC ==，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作//MN BC 分别交AB 、AC 于M 、N ，则AMN 的周长为（）A ．12B ．4C ．8D ．不确定 4．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，DE 垂直平分AB ，已知40ADE ∠=︒，则DBC ∠度数为（）A ．5︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒5．下列命题中，假命题是（）A ．直角三角形的两个锐角互余B ．等腰三角形的两底角相等C ．面积相等的两个三角形全等D ．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形6．如图，30MON ∠=︒点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ，223A B A ，334A B A ，…均为等边三角形，若11OA =，则边67B B 的长为（）A ．63B ．123C ．323D ．6437．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ．若∠A ＝30°，AE ＝10，则CE 的长为（）A ．5B ．4C ．3D ．28．如图，△ABC 中，DC =2BD =2，连接AD ，∠ADC =60°．E 为AD 上一点，若△BDE 和△BEC 都是等腰三角形，且AD =31+，则∠ACB =（）A ．60°B ．70°C ．55°D ．75°9．如图，在ABD ∆中，AD AB =，90DAB ︒∠=，在ACE ∆中，AC AE =，90EAC ︒∠=，CD ，BE 相交于点F ，有下列四个结论： ①BDC BEC ∠=∠；②FA 平分DFE ∠；③DC BE ⊥；④DC BE =．其中，正确的结论有（）A ．①②③④B ．①③④C ．②③D ．②③④ 10．如图，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，且90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一条直线上，CM 平分DCE ∠，连接BE ．以下结论：①AD CE =；②CM AE ⊥；③2AE BE CM =+；④//CM BE ，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（）A ．12B ．10C ．8D ．612．如图，一棵高5米的树AB 被强台风吹斜，与地面BC 形成60︒夹角，之后又被超强台风在点D 处吹断，点A 恰好落在BC 边上的点E 处，若2BE =，则BD 的长是（）A ．2B ．3C ．218D ．247二、填空题13．如图．在ABC 中，2AB AC ==，40B C ∠=∠=︒，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ．（1）点D 从B 向C 的运动过程中，BDA ∠逐渐变____（填“大”或“小”）；（2）在点D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．_____．14．如图，已知ABC ∆中，90,C AC BC ∠=︒=，点D 在BC 上，DE AB ⊥，点E 为垂足，且DC DE =，联结AD ，则ADB ∠的大小为___________．15．如图，ABC 中，45ABC ∠=︒，高AD 和BE 相交于点,30H CAD ∠=︒，若4AC =，则点H 到BC 的距离是_____________．16．在ABC ∆中，45A ∠=︒，60B ∠=︒，4AB =，点P 、M 、N 分别在边AB 、BC 、CA 上，连接PM 、MN 、NP ，则PMN ∆周长的最小值为__________17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，则这个等腰三角形的底角度数为____________．18．已知，在等腰ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，且2BC AD =，则等腰ABC ∆底角的度数为_________．19．如图，在ABC 中，,AB AC AD =是BC 边上的中线，50B ∠=︒，则DAC ∠=___________20．在第1个△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；…，按此做法进行下去，第1个三角形的以A 1为顶点的内角的度数为__________；第n 个三角形的以A n 为顶点的内角的度数为__________．三、解答题21．如图，ABC ，其中AC BC >．（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线交AC 于点P （要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）若8,AB PBC =的周长为13，求ABC 的周长；（3）在（2）的条件下，若ABC 是等腰三角形，直接写出ABC 的三条边的长度． 22．已知：如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，36A ∠=︒（1）利用尺规作B平分线BD，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）△是否为等腰三角形，并说明理由．（2）判断ABD中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，23．如图，在ABCF．（1）若∠DAC=30°，求∠FDC的度数；（2）试判断∠B与∠AED的数量关系并说明理由．24．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，延长CA至点D，延长CB至点E，使AD=BE，连接AE，BD，交点为O．（1）求证：OB=OA；（2）连接OC，若AC=OC，则∠D的度数是度．25．如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB平分∠ABC．（3）求证：AE=EF．26．已知：如图，,,C D Rt AC BD AD ∠=∠=∠=与BC 相交于点P ．求证：（1）Rt ABC Rt BAD ≌．（2）PAB △是等腰三角形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先根据平行线的性质、角平分线的定义、等边对等角得到BE =OE ，OF =CF ，再进行线段的代换即可求出AEF 的周长．【详解】解：∵EF ∥BC ，∴∠EOB =∠OBC ，∵BO 平分ABC ∠，∴∠EBO =∠OBC ，∴∠EOB =∠EBO ，∴BE =OE ，同理可得：OF =CF ，∴AEF 的周长为AE +AF +EF =AE +OE +OF +AF = AE +BE +CF +AF =AB +AC =7+8=15．故答案为：A【点睛】本题考查了等腰三角形的判定“等边对等角”，熟知平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定定理是解题关键．2．D解析：D利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的全等，角平分线的定义，逐一判断即可．【详解】∵∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC ，∴∠DBF+∠DFB=90°，∠ABE+∠AEF=90°，∠ABE=∠DBF，∴∠AEF=∠DFB=∠AFE，∴△AFE为等腰三角形，∴结论①正确；∵△AFE为等腰三角形，M为EF 的中点，∴∠AMF=90°，∴∠DBF=∠DAN，∵∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∴AD=BD，∴△DBF≌△DAN，∴DF= DN，AN=BF，∴结论②③正确；∵∠ABM=∠NBM，∴∠BMA=∠BMN= 90°，BM=BM，∴△BMA≌△BMN，∴AM=MN，∴BE是线段AN的垂直平分线，∴EA=EN，∴∠EAN=∠ENA=∠DAN，∴AD∥EN，∵AD⊥BC∴EN⊥NC，∴结论④正确；故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等，线段的垂直平分线的定义和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识，灵活运用知识是解题的关键．3．C【分析】由角平分线的定义和平行线性质易证△BME和△CNE是等腰三角形，即BM＝ME，CN＝NE，由此可得△AMN的周长＝AB+AC．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，∵MN//BC，∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，∴BM＝ME，CN＝NE，∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，∵AB＝AC＝4，∴△AMN的周长＝4+4＝8．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°-40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=1（180°-∠A）=65°，2∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键．5．C解析：C根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题；B、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；故选：C．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．C解析：C【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出B1B2B2B3，B3B4B n B n+1的长为 2，进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2=2，∴B1B2∵B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，∴B2B3∵A4B4=8B1A2=8，∴B3B4=43，以此类推，B n B n+1的长为2n-13，∴B6B7的长为323，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题的关键．7．A解析：A【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质求出DE＝5，再根据角平分线的性质求出CE＝DE＝5即可．【详解】解：∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，在Rt△ADE中，∠A＝30°，AE＝10，∴DE＝1AE＝5，2∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝DE＝5，故选：A．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据等腰三角形的性质求解即可；【详解】∵60EDC ∠=︒，∴60EBD BED ∠+∠=︒，∵△BDE 是等腰三角形，∴30EBD BED ∠=∠=︒，1BD DE ==，∵△BEC 是等腰三角形，∴30EBD ECD ∠=∠=︒，∵60EDC ∠=︒，∴90DEC ∠=︒，在Rt △DEC 中，∵30ECD ∠=︒，1DE =，∴tan 30DEEC ==︒又∵AD1，∴AE AD DE EC =-==，∴△AEC 为等腰三角形，又∵90DEC AEC ∠=∠=︒，∴45ECA EAC ∠=∠=︒，∴453075ACB ACE ECD ∠=∠+∠=︒+︒=︒；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．9．D解析：D【分析】由△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形得出AB=AD ，AE=AC ，∠BAD=∠CAE=90°，再进一步得出∠DAC=∠BAE 证得△ABE ≌△ADC ，可以判断①③④；作AP ⊥CD 于P ，AQ ⊥BE 于Q ，利用面积相等证得AP= AQ ，再利用角平分线的判定定理即可判断②．【详解】∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，∴AB=AD ，AE=AC ，∠BDA=∠ECA=45︒，又∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ，即：∠DAC=∠BAE ，在△ABE 和△ADC 中，AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC （SAS ），∴BE=DC ，故④正确；∠ADF=∠ABF ，∴∠BDC=45︒-∠ADF ，∠BEC=45︒-∠AEF ，而∠ADF=∠ABF ≠∠AEF ，∴∠BDC ≠∠BEC ，故①错误；∵∠ADF+∠FDB+∠DBA=90°，∴∠FDB+∠DBA+∠ABF=90°，∴∠DFB=90°，∴CD ⊥BE ，故③正确；作AP ⊥CD 于P ，AQ ⊥BE 于Q ，∵△ABE ≌△ADC ，∴ABE ADC S S =，∵BE=DC ，∴AP= AQ ，∵AP ⊥CD ，AQ ⊥BE ，∴FA 平分∠DFE ，故②正确；综上，②③④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．10．C解析：C【分析】由“SAS ”可证ACD BCE ≅∆∆，可得AD BE =，ADC BEC ∠∠=，可判断①，由等腰直角三角形的性质可得45CDE CED ∠=∠=︒．CM AE ⊥，可判断②，由全等三角形的性质可求90AEB CME ，可判断④，由线段和差关系可判断③，即可求解．【详解】解：ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，CA CB ∴=，CD CE =，90ACB DCE ∠=∠=︒，∵∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠BCE=90°，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，ADC BEC ∠∠=，故①错误，DCE ∆为等腰直角三角形，CM 平分DCE ∠，45CDE CED ∴∠=∠=︒，CM AE ⊥，故②正确，点A ，D ，E 在同一直线上，135ADC ．135BEC ∴∠=︒．90AEB BEC CED ∴∠=∠-∠=︒，90AEB CME ，//CM BE ∴，故④正确，CD CE =，CM DE ⊥，DM ME ∴=．90DCE ∠=︒，1=2DM ME CM DE ∴==． 2AE AD DE BE CM ∴=+=+．故③正确，故选择：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明ACD BCE ≅∆∆是本题的关键．11．C解析：C【分析】连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，求得212CE DE ==，60CED ∠=︒，再根据条件得出9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，得到122EF OE ==，即可得解；【详解】连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==，在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒， ∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒， ∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=，∴8BE BC CE =-=；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．12．C解析：C【分析】过点D 作DM ⊥BC ，设BD=x ，然后根据题意和含30°的直角三角形性质分别表示出BM ，EM ，DE 的长，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：过点D 作DM ⊥BC ，设BD=x ，由题意可得：AB=5，AD=DE=5-x∵∠ABC=60°，DM ⊥BC ，∴在Rt △BDM 中，∠BDM=30° ∴1122BM BD x ==，则122ME BE BM x =-=- ∴2222BD BM DE ME -=-，222211()(5)(2)22x x x x -=---解得：218x =，即BD=218米故选：C ．【点睛】本题考查含30°的直角三角形性质和勾股定理解直角三角形，正确理解题意掌握相关性质定理列方程求解是关键．二、填空题13．小80°或110°【分析】（1）由题意易得由点D 从B 项C 的运动过程中逐渐变大可求解问题；（2）由题意可分①若AD=DE 时②若时③若时则点D 与点B 重合点E 与点C 重合与题意矛盾故不符合题意；然后根据等腰解析：小 80°或110°【分析】（1）由题意易得140BDA BAD ∠=︒-∠，由点D 从B 项C 的运动过程中，BAD ∠逐渐变大可求解问题；（2）由题意可分①若AD =DE 时，②若AE DE =时，③若AE AD =时，则点D 与点B 重合，点E 与点C 重合，与题意矛盾，故不符合题意；然后根据等腰三角形的性质及角的等量关系可进行求解．【详解】解：（1）∵180BDA B BAD ∠+∠+∠=︒，∴140BDA BAD ∠=︒-∠，∵点D 从B 项C 的运动过程中，BAD ∠逐渐变大，∴BDA ∠逐渐变小；故答案为小；（2）若AD =DE 时，∵,40AD DE ADE =∠=︒，∴70DEA DAE ∠=∠=︒，∵DEA C EDC ∠=∠+∠，40B C ∠=∠=︒，∴30EDC ∠=︒，∴180110BDA ADE EDC ∠=︒-∠-∠=︒；若AE DE =时，∵,40AE DE ADE =∠=︒，∴40EDA DAE ∠=∠=︒，∴100DEA ∠=︒，∵DEA C EDC ∠=∠+∠，∴60EDC ∠=︒，∴18080BDA ADE EDC ∠=︒-∠-∠=︒；若AE AD =时，则点D 与点B 重合，点E 与点C 重合，与题意矛盾，故不符合题意；综上所述：当80BDA ∠=︒或110°时，△ADE 的形状可以是等腰三角形；故答案为80°或110°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 14．5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD 是∠BAC 的平分线然后利用外角性质求∠ADB 的度数即可【详解】解：∵∠C ＝90°DE ⊥AB ∴∠C=∠AED=90°在Rt∆ACD 和Rt∆AED 中∴Rt∆解析：5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD 是∠BAC 的平分线，然后利用外角性质求∠ADB 的度数即可.【详解】解：∵∠C ＝90°，DE ⊥AB∴∠C=∠AED=90°，在Rt∆ACD 和Rt∆AED 中DE DC AD AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt∆ACD ≌Rt∆AED ，∴∠CAD=∠EAD ，∴AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝12∠BAC ， ∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠B ＝∠CAB ＝45°，∴∠CAD ＝22.5°，∴∠ADB=∠CAD ＋∠C ＝112.5°.故答案为：112.5°．【点睛】本题考查了角平分线的判定方法以及三角形外角的性质，角平分线的判定方法是：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．15．2【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可求解CD 的长然后利用AAS 证明△BDH ≌△ADC 可得HD=CD 进而求解【详解】解：∵AD ⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90°∴∠HBD+∠BHD=90°∵∠解析：2【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可求解CD 的长，然后利用AAS 证明△BDH ≌△ADC ，可得HD =CD ，进而求解．【详解】解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∴∠HBD +∠BHD =90°，∵∠CAD =30°，AC =4， ∴122CD AC ==， ∵BE ⊥AC ，∴∠HBD +∠C =90°，∴∠BHD =∠C ，∵∠ABD =45°，∴∠BAD =45°，∴BD =AD ，在△BDH 和△ADC 中，BHD C BDH ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDH ≌△ADC （AAS ），∴HD =CD =2，故点H 到BC 的距离是2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，证明△BDH ≌△ADC 是解题的关键．16．2【分析】作点M 关于AC 的对称点M′作点M 关于AB 的对称点M′′连接AMM′M′′M′M′′交AB 于点P′交AC 于点N′作AH ⊥BC 于点H 由对称性可知：当点M 固定时周长的最小值=M′M′′再推出M′解析：26 【分析】作点M 关于AC 的对称点M′，作点M 关于AB 的对称点M′′，连接AM ，M′M′′，M′M′′交AB 于点P′，交AC 于点N′，作AH ⊥BC 于点H ，由对称性可知：当点M 固定时，PMN ∆周长的最小值= M′M′′，再推出M′M′′=2AM ，进而即可求解．【详解】如图，作点M 关于AC 的对称点M′，作点M 关于AB 的对称点M′′，连接AM ，M′M′′，M′M′′交AB 于点P′，交AC 于点N′，作AH ⊥BC 于点H ，由对称性可知：MN′=M′N′，MP′=M′′P′，AM=AM′=AM′′，∴当点M 固定时，PMN ∆周长的最小值=MN′+MP′+N′P′= M′N′+M′′P′+N′P′= M′M′′， ∵45A ∠=︒，∠M′AC=∠MAC ，∠M′′AB=∠MAB ，∴∠M′A M′′=90°，即∆ M′A M′′是等腰直角三角形，∴M′M′′=2=2AM AM ′，∴当AM 最小时，M′M′′的值最小，即AM 与AH 重合时，M′M′′的值最小，∵60B ∠=︒，4AB =，AH ⊥BC ，∴∠BAH=30°，∴AH=3AB =23，此时，M′M′′的值最小=2AH =26， ∴PMN ∆周长的最小值=26．故答案是：26．【点睛】本题主要考查轴对称—线段和的最小值，直角三角形的性质，作点M 关于AB ，AC 的对称点，把PMN ∆周长化为两点间的线段长，是解题的关键．17．65°或25°【分析】在等腰△ABC 中AB ＝ACBD 为腰AC 上的高∠ABD ＝40°讨论：当BD 在△ABC 内部时如图1先计算出∠BAD ＝50°再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算；当BD 在△ABC解析：65°或25°【分析】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算；当BD 在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算．【详解】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，当BD在△ABC内部时，如图1，∵BD为高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝1（180°﹣50°）＝65°；2当BD在△ABC外部时，如图2，∵BD为高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，∴∠ACB＝1∠BAD＝25°，2综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．故答案为：65°或25°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．18．45°或15°或75°【分析】分三种情况讨论先根据题意分别画出图形当AB=AC 时根据已知条件得出AD=BD=CD从而得出△ABC底角的度数；当AB=BC时先求出∠ABD的度数再根据AB=BC求出底角解析：45°或15°或75°【分析】分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD，从而得出△ABC底角的度数；当AB=BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB=BC，求出底角的度数；当AB=BC时，根据AD=12BC，AB=BC，得出∠DBA=30°，从而得出底角的度数．【详解】①如图1，当AB=AC时，∵AD⊥BC，∴BD=CD，∵AD=12BC，∴AD=BD=CD，∴底角为45°；②如图2，当AB=BC时，∵AD=12BC，∴AD=12AB，∴∠ABD=30°，∴∠BAC=∠BCA=75°，∴底角为75°．③如图3，当AB=BC时，∵AD=12BC，AB=BC，∴AD=12AB，∴∠DBA=30°，∴∠BAC=∠BCA=15°；∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°．故答案为：45°或15°或75°．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．19．40【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到AD⊥BC然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可【详解】解：∵AB＝ACAD是BC边上的中线∴AD⊥BC∠BAD＝∠CAD∴∠B＋∠BAD＝90解析：40【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到AD ⊥BC ，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可．【详解】解：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ，∴∠B ＋∠BAD ＝90°，∵∠B ＝50°，∴∠BAD ＝40°，∴∠CAD ＝40°，故答案为：40．【点睛】考查了等腰三角形的性质，理解等腰三角形底边的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解答本题的关键，难度不大．20．75°【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A 的度数再根据三角形外角及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1∠DA3A2及∠EA4A3的度数找出规律即可得出∠An 的度数【详解】解：∵在△ABA1中解析：75° 1752n ︒- ．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A n 的度数．【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，∴∠BA 1A ＝1802B ︒-∠＝75°， ∵A 1A 2＝A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角， ∴∠CA 2A 1＝17522BA A ∠︒=＝37.5︒，同理可得∠DA 3A 2＝2752，∠EA 4A 3＝3752︒，，∴∠A n ＝1752n ，故答案为：75°；1752n ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出规律是解答此题的关键．三、解答题21．（1）画图见解析；（2）△ABC的周长=21；（3）AB=8，AC=8，BC=5．【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出图形即可；（2）根据垂直平分线的性质可得AP=BP，从而得出AC+BC的值，再根据AB=8，即可求得△ABC的周长；（3）分两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）如图所示：即PQ为所求；；（2）如图所示：∵AB的垂直平分线交AC于点P，∴PA=PB，∵△PBC的周长为13，∴PB+PC+BC=13，∴PA+PC+BC=13，即AC+BC=13，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=8+13=21；（3）∵AC＞BC，∴分两种情况，①AC=AB=8时，BC=21-AC-BC=21-8-8=5；②BC=AB=8时，AC=21-AB-BC=21-8-8=5，∵AC＞BC，∴不合题意舍去；综上所述，若△ABC是等腰三角形，△ABC的三条边的长度为AB=8，AC=8，BC=5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、尺规作图、三角形周长等知识．本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．22．（1）见详解；（2）是等腰三角形，证明见详解．【分析】（1）以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，过点B和这点作射线交AC与点D即可；（2）由∠A＝36°，求出∠ABC=72°，进而求出∠ABD，根据等角对等边即可证明结论．【详解】解：（1）如图所示：BD即为所求；△是等腰三角形．（2）ABD∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴AD=BD，△是等腰三角形．∴ABD【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的性质，尺规作图-作已知角的平分线等知识点，解此题的关键是能正确画图和求出∠ABD的度数．23．（1）∠FDC=60°（2）∠AED=2∠B，理由见解析【分析】（1）根据垂直平分线及高线的性质即可求解．（2）根据高的定义和、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得EF//BC，∠AED=2∠AEF，再根据平行线的性质得∠AEF=∠B，故可得∠AED=2∠B．【详解】解：（1）∵AD 是BC 边上的高线，EF 是AD 的垂直平分线，∠DAC=30°∴AF=FD ，∠ADC=90°∴∠FDA=30°，∴∠FDC=90°-30°=60°．（2)∵AD 是BC 边上的高线，EF 是AD 的垂直平分线，∴EF //BC ，EA=ED ，∴∠AED=2∠AEF ，∴∠AEF=∠B ，∴∠AED=2∠B ．【点睛】本题考查了垂直平分线及高线的性质，平行线的判定及性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线、高线、平行线性质．24．（1）见解析；（2）22.5【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出△ABD ≌△BAE ，进而得出OB=OA ；（2）根据全等三角形的判定和性质以及三角形内角和解答．【详解】证明：（1）∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°．∴∠EBA=∠DAB=135°．在△ABD 与△BAE 中，135BE AD EBA DAB AB AB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△BAE （SAS ），∴∠DBA=∠EAB ，∴OB=OA ；（2）由（1）得：OB=OA ，在△OBC 与△OAC 中，OB OA OC OC BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OBC ≌△OAC （SSS ），∴∠OCB=∠OCA=12∠ACB=12×90°=45°， ∵AC=BC ，AC=OC ，∴OC=BC ， ∴∠CBO=∠COB 1801804567.522OCB ︒︒︒︒-∠-===，在Rt △BCD 中，∠D=180°-90°-∠CBO=22.5°．故答案为：22.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．25．见解析【分析】（1）先作线段AB 的垂直平分线DE ，再延长BC 即可；（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60︒，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30︒，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30︒，即可得到∠EBC=∠ABE ，得到答案；（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90︒-∠ABE =60︒再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒，进而得∠EFB=∠EBC ，证得BE=EF ，又因为AE= BE ，利用等量代换即可求得答案．【详解】（1）如图，即为所求；（2）证明：∵DE 是AB 的垂直平分线∴DE ⊥AB∴AE=BE∵∠A=30︒，∠ACB=90︒∴∠ABE=∠A=30︒，∠ABC=90︒-∠A=60︒∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60︒-30︒=30︒∴∠EBC=∠ABE∴EB平分∠ABC．（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴∠DEB=90︒-∠ABE =60︒∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒∴∠EFB=∠EBC∴BE=EF又∵AE= BE∴AE=EF【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用HL即可证明；（2）根据全等三角形的性质可得∠ABP=∠BAP，从而得到PA=PB，即可得证．【详解】解：（1）∵∠C=∠D=Rt∠，AC=BD，AB=BA，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABP=∠BAP，∴PA=PB，∴△PAB是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，证明Rt△ABC≌Rt△BAD是解题的关键．。

(典型题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试题(含答案解析)

一、选择题1．如图，P 为ABC 的边BC 上一点，且2PC PB =，已知45ABC ∠=︒，60APC ∠=︒，则ACB ∠的度数为（）A ．75︒B ．80︒C ．85︒D ．88︒2．如图，点A 为MON ∠的角平分线上一点，过A 点作一条直线分别与MON ∠的边OM ON 、交于,B C 两点，点P 为BC 的中点，过P 作BC 的垂线交OA 的延长线于点D ，连接DB DC 、，若130MON ∠=︒，则BDC ∠=（）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒3．如图，在ABC 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，将BCD △连续翻折两次，C 点的对应点E 点落在边AB 上，B 点的对应点F 点恰好落在边AC 上，则下列结论正确的是（）A ．18,2A AD BD ∠=︒=B ．18,A AD BC BD ∠=︒=+ C ．20,2A AD BD ∠=︒= D ．20,A AD BC BD ∠=︒=+4．如图，30MON ∠=︒点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ，223A B A ，334A B A ，…均为等边三角形，若11OA =，则边67B B 的长为（）A ．63B ．123C ．323D ．643 5．等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则此三角形的面积为（）A ．18B ．20C ．12D ．15 6．如图，在平面直角坐标系中，点A 1在x 轴的正半轴上，B 1在第一象限，且△OA 1B 1是等边三角形．在射线OB 1上取点B 2，B 3，…，分别以B 1B 2，B 2B 3，…为边作等边三角形△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…使得A 1，A 2，A 3，…在同一直线上，该直线交y 轴于点C ．若OA 1＝1，∠OA 1C ＝30°，则点B 9的横坐标是（）A ．2552B ．5112C ．256D ．51327．如图，D 在BC 边上，ABC ADE △△≌，50EAC ∠=︒，则ADE ∠的度数为（）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°8．如图，在ABC 中，AB AC =，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AB 于点B 和点D ，再分别以点,B D 为圆心，大于12BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线CM 交AB 于点E ．若4,1AE BE ==，则EC 的长度是（）A ．3B ．5C ．5D ．7 9．如图，ABC 为等边三角形，BO 为中线，延长BA 至D ，使AD AO =，则DOB ∠的度数为（）A ．105︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒ 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（） A ．65° B ．105° C ．55°或105° D ．65°或115° 11．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（）A ．AD 平分∠BACB ．∠ADC =60° C ．点D 在AB 的垂直平分线上D ．:DAC ABC S S ＝1：2 12．如图，每个小正方形的边长都相等，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则ABC ∠的度数为（）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒二、填空题13．如图，已知ABC ∆中，90,C AC BC ∠=︒=，点D 在BC 上，DE AB ⊥，点E 为垂足，且DC DE =，联结AD ，则ADB ∠的大小为___________．14．如图，在等边ABC 中，点D 在AC 边上，点E 在ABC 外部，若ACE ABD ∠=∠，CE BD =，连接AE ，DE ，则ADE 的形状是______．15．如图，在三角形ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，且AD ＝2CD ，AC ＝6，点E 是AB 上一点，连接DE ，则DE 的最小值为____．16．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，点O 是AB 边的中点，点P 是射线AC 上的一个动点，BQ ∥CA 交PO 的延长线于点Q ，OM ⊥PQ 交BC 边于点M ．当CP ＝1时，BM 的长为_____．17．如图，D 是等边三角形ABC 外一点，3AD =，2CD =，则BD 的最大值是________________．18．已知：如图，在ABC 中，AB AC =，30C ∠=︒，AB AD ⊥，4cm AD =，则BC 的长为__________cm ．19．如图，在ABC 中，90,,,ACB AC BC CE BE CE ∠=︒=⊥与AB 相交于点F ，且CD BE =，则ACD CBA DAF ∠∠∠、、之间的数量关系是_____________．20．如图，AD 平分BAC ∠，DE AC ⊥，垂足为E ，//BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．则下列结论中：①AD 是ABC ∆的高；②ABC ∆是等边三角形；③ED FD =；④AB AE BF =+．其中正确的是______________（填写序号）三、解答题21．如图，等腰直角ACB △中，90ACB ∠=︒，E 为线段BC 上一动点（不含B 、C 端点），连接AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．（1）如图1，过F 点作FG AC 交AC 于G 点，求证：≌AGF ECA ；（2）如图2，连接BF 交AC 于D 点，若3AD CD =，求证：E 点为BC 的中点． 22．在平面直角坐标系中，已知()30A -,，()0,3B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为()2,0，试求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 正半轴上运动，且3OC <，其它条件不变，连接OD ，求证：OD 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当AD CD OC -=时，求OCD ∠的度数．23．已知，如图在等边ABC 中，点D 为AB 边上一点，点E 为BC 边上一点，连接DE 并延长DE 交AC 延长线于点,F DE FE =，过点E 作EG BC ⊥交AC 于点G ．（1）求证：BD CF =；（2）当DF AB ⊥时，试判断以D E G 、、为顶点的三角形的形状，并说明理由；（3）当点D 在线段AB 上运动时，试探究AD 与CG 的数量关系，并证明你的结论． 24．如图1，将三角形纸片ABC ，沿AE 折叠，使点B 落在BC 上的F 点处；展开后，再沿BD 折叠，使点A 恰好仍落在BC 上的F 点处（如图2），连接DF ．（1）求∠ABC的度数；（2）若△CDF为直角三角形，且∠CFD=90°，求∠C的度数；（3）若△CDF为等腰三角形，求∠C的度数．25．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（3）若Q以（2）中的速度从C点出发，同时P以原来的速度从B点出发，在△ABC的三边上逆时针运动，问：经过多少时间P、Q两点第一次相遇？在何处相遇？26．如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，BE、CD交于F．（1）求证：BE＝CD；（2）连接CE，若BE＝CE，求证：从“①DE⊥AC”、“②DE∥AB”中选择一个填入（2）中，并完成证明【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据三角形内角和定理求出∠DCP=30°，求证PB=PD；再根据三角形外角性质求证BD=AD，再利用△BPD是等腰三角形，然后可得AD=DC，∠ACD=45°从而求出∠ACB的度数．【详解】解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；∵△PCD中，∠APC=60°，∴∠DCP=30°，PC=2PD，∵PC=2PB，∴BP=PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，∵∠ABP=45°，∴∠ABD=15°，∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°，∴∠ABD=∠BAD=15°，∴BD=AD，∵∠DBP=45°-15°=30°，∠DCP=30°，∴BD=DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD=AD，∴AD=DC，∵∠CDA=90°，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，故选A．【点睛】此题主要考查学生三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题．2．C解析：C【分析】过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根据角平分线性质求出DE=DF，根据线段垂直平分线性质求出BD=CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB=∠CDF，推出∠BDC=∠EDF，即可得出答案．【详解】解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°，∵∠MON=130°，∴∠EDF=360°-90°-90°-130°=50°，∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD平分∠MON，∴DE=DF，∵P为BC中点，DP⊥BC，∴BD=CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB=∠CDF，∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．3．D解析：D【分析】设∠ABC=∠C=2x，根据折叠的性质得到∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°BD=DF，BC=BE=EF，在△BDC中利用内角和定理列出方程，求出x值，可得∠A，再证明AF=EF，从而可得AD =BC+BD．【详解】解：∵AB=AC，BD平分∠ABC，设∠ABC=∠C=2x，则∠A=180°-4x，∴∠ABD=∠CBD=x，第一次折叠，可得：∠BED=∠C=2x，∠BDE=∠BDC，第二次折叠，可得：∠BDE=∠FDE，∠EFD=∠ABD=x，∠BED=∠FED=∠C=2x，∵∠BDE+∠BDC+∠FDE=180°，∴∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°，∴x+2x+60°=180°，∴x=40°，即∠ABC=∠ACB=80°，∴∠A=20°，∴∠EFD=∠EDB=40°，∴∠AEF=∠EFD-∠A=20°，∴AF=EF=BE=BC，∴AD=AF+FD=BC+BD，故选D．【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．C解析：C【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出B1B2B2B3，B3B4B n B n+1的长为 2，进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2=2，∴B1B2∵B3A3=2B2A3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4，∴B 2B 3=23， ∵A 4B 4=8B 1A 2=8，∴B 3B 4=43，以此类推，B n B n+1的长为2n-13，∴B 6B 7的长为323，故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题的关键．5．C解析：C【分析】作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．【详解】解：如图，作底边BC 上的高AD ，则AB=5，BD=12×6=3， ∴AD=22AB BD -=2253-=4，∴三角形的面积为：12×6×4=12．故选C ．【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．6．B【分析】利用待定系数法求得两条直线的解析式，根据等边三角形的性质，点的坐标规律，即可求解．【详解】解：∵OA 1=1，∠OA 1C=30︒，∴∴点C 的坐标为(0，-，∵A 1、A 2、A 3所在直线过点A 1(1，0)，C (0，3-，设直线A 1A 2的解析式为y kx =-∴0k =，∴k =∴直线A 1A 2的解析式为y x =， ∵△OA 1B 1为等边三角形，∴点B 1的坐标为(12，2)，∵B 1、B 2、B 3所在直线过点O(0，0)，B 1 (12，同理可求得直线O B 1的解析式为y =，∵△OA 1B 1和△B 1A 2B 2为等边三角形，∴∠B 1OA 1=∠B 2 B 1A 2=60︒，∴B 1A 2∥OA 1，∵B 1 (12，2)，∴A 2x = 解得：52x =，∴点A 2的坐标为(52，2)，同理点B 2的坐标为(32，点B 3的坐标为(72，点B 4的坐标为(152，，总结规律： B 1的横坐标为12， B 2的横坐标为13122+=， B 3的横坐标为171222++=， B 4的横坐标为11512422+++=，，∴B 9的横坐标为1511124816326422+++++++=，故选：B【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标规律，等边三角形的性质，解决本题的关键是寻找点的坐标规律．7．D解析：D【分析】由全等可得，AB=AD ，∠BAC=∠DAE ，可得∠BAD=EAC=50°，再根据等腰三角形性质求∠B 即可．【详解】解：∵ABC ADE △△≌，∴AB=AD ，∠BAC=∠DAE ，∠B=∠ADE ，∠BAD=∠BAC-∠DAC ，∠EAC=∠DAE-∠DAC ，∠BAD=∠EAC=50°，∵AB=AD ，∴∠B=180652BAD ︒-∠=︒， ∴∠ADE=∠B=65º，【点睛】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是根据全等三角形得出等腰三角形和角的度数，依据等腰三角形的性质进行计算．8．A解析：A【分析】利用基本作图得到CE AB ⊥，再根据等腰三角形的性质得到5AC =，然后利用勾股定理计算即可；【详解】由做法得CE AB ⊥，则90AEC ∠=︒，145AC AB BE AE ==+=+=,在Rt △ACE 中，3CE ===；故答案选A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．9．B解析：B【分析】由△ABC 为等边三角形，可求出∠BOA =90°，由△ADO 是等腰三角形求出∠ADO =∠AOD =30°，即可求出∠BOD 的度数．【详解】解：∵△ABC 为等边三角形，BO 为中线，∴∠BOA ＝90°，∠BAC ＝60°∴∠CAD ＝180°﹣∠BAC ＝180°﹣60°＝120°，∵AD ＝AO ，∴∠ADO =∠AOD =30°，∴∠BOD ＝∠BOA +∠AOD ＝90°+30°＝120°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三角形的性质及等腰三角形的性质．10．D解析：D【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°＋25°＝115°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°−25°＝65°．综上所述，顶角的度数为：65°或115°．故选D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11．D解析：D【分析】由作图可得：AD 平分,BAC ∠ 可判断A ，再求解1302DAC DAB BAC ∠=∠=∠=︒，可得60,ADC ∠=︒ 可判断B ，再证明,DA DB = 可判断C ，过D 作DF AB ⊥于,F 再证明,DC DF = 再利用 ACD ACD ABC ACD ABD S S S S S =+ ，可判断,D 从而可得答案．【详解】解：90,30,C B ∠=︒∠=︒903060,BAC ∴∠=︒-︒=︒由作图可得：AD 平分,BAC ∠ 故A 不符合题意；1302DAC DAB BAC ∴∠=∠=∠=︒， 903060,ADC ∴∠=︒-︒=︒ 故B 不符合题意；30,DAB B ∠=∠=︒,DA DB ∴=D ∴在AB 的垂直平分线上，故C 不符合题意；过D 作DF AB ⊥于,F90,C AD ∠=︒平分,BAC ∠,DC DF ∴=30B ∠=︒，2,AB AC ∴= 11,,22ACD ABD S AC CDS AB DF ∴== 121122ACDACD ABC ACD ABD AC CD SS S S S AC CD AB DF ∴==++ 1.233AC AC AC AC AB AC AC AC ====++ 故D 符合题意；故选：.D【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．12．A解析：A【分析】由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC 是等腰直角三角形，从而得到∠ABC 的度数．【详解】解：如图，连结AC ，由题意可得：2222221310,125,125,AB AC BC +==+==+=∴AC=BC ，222AB AC BC =+，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，故选A ．本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质是解题关键．二、填空题13．5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD 是∠BAC 的平分线然后利用外角性质求∠ADB 的度数即可【详解】解：∵∠C ＝90°DE ⊥AB ∴∠C=∠AED=90°在Rt∆ACD 和Rt∆AED 中∴Rt∆解析：5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD 是∠BAC 的平分线，然后利用外角性质求∠ADB 的度数即可.【详解】解：∵∠C ＝90°，DE ⊥AB∴∠C=∠AED=90°，在Rt∆ACD 和Rt∆AED 中DE DC AD AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt∆ACD ≌Rt∆AED ，∴∠CAD=∠EAD ，∴AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝12∠BAC ， ∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠B ＝∠CAB ＝45°，∴∠CAD ＝22.5°，∴∠ADB=∠CAD ＋∠C ＝112.5°.故答案为：112.5°．【点睛】本题考查了角平分线的判定方法以及三角形外角的性质，角平分线的判定方法是：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．14．等边三角形【分析】由等边三角形的性质可以得出AB=AC ∠BAD=60°由条件证明△ABD ≌△ACE 就可以得出∠CAE=∠BAD=60°AD=AE 就可以得出△ADE 为等边三角形【详解】解：的形状是等边解析：等边三角形【分析】由等边三角形的性质可以得出AB=AC ， ∠BAD=60°，由条件证明△ABD ≌△ACE 就可以得出∠CAE=∠BAD=60°，AD=AE ，就可以得出△ADE 为等边三角形．解：ADE 的形状是等边三角形，理由：∵ABC 为等边三角形，∴AB=AC ， ∠BAD=60°，在∆ABD 和∆CAE 中 AB AC ACE ABD CE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴∆ABD ≌∆ACE ，∴∠CAE=∠BAD=60°，AD=AE ，∴∆ADE 为等边三角形，故答案为：等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质．15．2【分析】根据题意当时DE 的值最小根据已知条件求解即可；【详解】如图所示当时DE 的值最小如图所示∵BD 平分∠ABC ∠C ＝90°∴∵∴∴∴∵∴即整理得：∴又∵∴即整理得：解得：∴故答案是2【点睛】本题解析：2【分析】根据题意，当DE AB ⊥时，DE 的值最小，根据已知条件求解即可；【详解】如图所示，当DE AB ⊥时，DE 的值最小，如图所示，∵BD 平分∠ABC ，DE AB ⊥，∠C ＝90°，∴CD DE =，∵2AD CD =，∴2AD DE =，∴30A ∠=︒，∴30CBD ABD ∠=∠=︒，2AB CB =，∵6AC =，∴222AB AC BC =+，即22246CB CB =+，整理得：2336CB =， ∴23CB =，又∵2BD CD =，∴222BD CD BC =+，即22412CD CD =+，整理得：2312CD =，解得：2CD =，∴2DE =．故答案是2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质和勾股定理，准确分析计算是解题的关键．16．5或1【分析】如图设BM=x 首先证明BQ=AP 分两种情形利用勾股定理构建方程求解即可【详解】解：如图设BM ＝x 在Rt △ABC 中AB ＝10AC ＝6∴BC ＝＝＝8∵QB ∥AP ∴∠A ＝∠OBQ ∵O 是AB 的解析：5或1【分析】如图，设BM=x ，首先证明BQ=AP ，分两种情形，利用勾股定理，构建方程求解即可．【详解】解：如图，设BM ＝x ，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，∴BC 22AB AC -22106-8，∵QB ∥AP ，∴∠A ＝∠OBQ ，∵O 是AB 的中点，∴OA ＝OB ，在△OAP 和△OBQ 中，A OBQ OA OBAOP BOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAP ≌△OBQ （ASA ），∴PA＝BQ＝6﹣1＝5，OQ＝OP，∵OM⊥PQ，∴MQ＝MP，∴52+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝2.5．当点P在AC的延长线上时，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝1，综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1．故答案为：2.5或1．【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．17．5【分析】将AD顺时针旋转60°得连结可得AD=DD′=AD′可证△ABD′≌△ACD（SAS）可得BD′=CD由BD′+DD′≥BD当BD′D三点在一线时BD最大BD最大=BD′+DD′=5【详解解析：5【分析】将AD顺时针旋转60°，得AD'，连结BD'，可得AD=DD′=AD′，可证△ABD′≌△ACD （SAS），可得BD′=CD，由BD′+DD′≥BD，当B、D′、D三点在一线时，BD最大，BD最大=BD′+DD′=5．【详解】解：∵将AD顺时针旋转60°，得AD'，连结BD'，则AD=DD′=AD′，∴△ADD′是等边三角形，又∵等边三角形ABC，∴∠BAC=∠D AD'，∴∠BAD′+∠D′AC=∠CAD+∠D′AC=60°，∴AB=AC，AD′=AD，∴△ABD′≌△ACD（SAS），∴BD′=CD，∴BD′+DD′≥BD，当B、D′、D三点在一线时，BD最大，BD最大=BD′+DD′=CD+AD=2+3=5．故答案为：5．．【点睛】本题考查三角形旋转变换，等边三角形判定与性质，掌握三角形旋转变换的性质，等边三角形判定与性质，用三角形三边关系确定B 、D′、D 共线是解题关键．18．【分析】已知AB=AC 根据等腰三角形的性质可得∠B 的度数再求出∠DAC 的度数然后根据30°角直角三角形的性质求得BD 的长再根据等角对等边可得到CD 的长即可求得BC 的长【详解】∵AB=AC ∠C=30°解析：12【分析】已知AB=AC ，根据等腰三角形的性质可得∠B 的度数，再求出∠DAC 的度数，然后根据30°角直角三角形的性质求得BD 的长，再根据等角对等边可得到CD 的长，即可求得BC 的长．【详解】∵AB=AC ，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∵AB ⊥AD ，AD=4，∴∠BAD=90°，BD=2AD=8，∴∠DAC=120°-90°=30°，∴∠DAC =∠C=30°，∴AD=CD=4，∴CB=DB+CD=12故答案为：12【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质及30°角直角三角形的性质是解决问题的关键.19．【分析】先利用同角的余角相等得到=再通过证得到即再利用三角形内角和得可得最后利用角的和差即可得到答案=【详解】证明：∵∴∴=又∵∴∴即∵∴即∴=故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形的性质内角和定理解析：=ACD CBA DAF ∠∠∠+【分析】先利用同角的余角相等得到ACD ∠=CBE ∠，再通过证ACD CBE ≌，得到==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠，再利用三角形内角和得=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠可得=DAF EBF ∠∠，最后利用角的和差即可得到答案，ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠．【详解】证明：∵90ACB ∠=︒，CE BE ⊥∴+90ACD ECB ∠=︒∠，+90CBE ECB ∠=︒∠∴ACD ∠=CBE ∠又∵AC BC =，CD BE =∴ACD CBE ≌∴==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠∵=AFD EFB ∠∠∴=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠即=DAF EBF ∠∠∴ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠故答案为：=ACD CBA DAF ∠∠∠+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．20．①③④【分析】利用平行线的性质∠C=∠FBD 则可证明∠C=∠ABC 于是可根据等腰三角形的性质对①②进行判断；过D 点作DH ⊥AB 如图利用角平分线的性质得到DE=DHDH=DF 则可对③进行判断；证明△A解析：①③④【分析】利用平行线的性质∠C=∠FBD ，则可证明∠C=∠ABC ，于是可根据等腰三角形的性质对①②进行判断；过D 点作DH ⊥AB ，如图，利用角平分线的性质得到DE=DH ，DH=DF ，则可对③进行判断；证明△ADE ≌△ADH 得到AH=AE ，同理可得BH=BF ，则可对④进行判断．【详解】解：∵BC 恰好平分∠ABF ，∴∠ABC=∠FBD ，∵AC ∥BF ，∴∠C=∠FBD ，∴∠C=∠ABC ，∴△ABC 为等腰三角形，∵AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，CD=BD ，∴AD 是ABC ∆的高；ABC ∆是等腰三角形；所以①正确；②错误；过D 点作DH ⊥AB 于H ，如图，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DE=DH ，∵AC ∥BF ，DE ⊥AC ，∴DF ⊥BF ，∵BD 平分∠ABF ，DH ⊥AB ，∴DH=DF ，∴DE=DF ，所以③正确；在△ADE 和△ADH 中，AD AD DE DH =⎧⎨=⎩， ∴△ADE ≌△ADH （HL ），∴AH=AE ，同理可得BH=BF ，∴AB=AH+BH=AE+BF ，所以④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由余角的性质可得F EAC ∠=∠，从而运用“角角边”证明即可；（2）作FM AC ⊥，同（1）证明过程可得FM AC BC ==，AM CE =，从而证明CD MD =，则可得M 为AC 的中点，最终可得E 点为BC 的中点．【详解】（1）∵AF AE ⊥，∴90FAG EAC ∠+∠=︒，∵FG AC ，∴90AGF ∠=︒，90FAG F ∠+∠=︒，∴F EAC ∠=∠，在AGF 与ECA △中，AGF C F EAC AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AGF ECA AAS ≌；（2）如图所示，作FM AC ⊥，由（1）可知AMF ECA △≌△，则FM AC BC ==，AM CE =，在DFM 和DBC △中，MDF CDB DMF DCB FM BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DFM DBC AAS △≌△， ∴CD MD =，∵3AD CD =，∴AM CM =，∴CM CE =，∵AC BC =，∴BE CE =，即：E 点为BC 的中点．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形中常考的证明模型是解题关键．22．（1）点E 的坐标为（0，2）；（2）见解析；（3）60OCD ∠=︒【分析】（1）先根据ASA 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE=OC ，再根据点C 的坐标为（2，0），得到OC=2=OE ，进而得到点E 的坐标；（2）先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM=ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；（3）在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°．【详解】解：（1）如图①，∵AD ⊥BC ，BO ⊥AO ，∴∠AOE=∠BDE=90︒，又∵∠AEO=∠BED ，∴∠OAE=∠OBC ，∵A （-3，0），B （0，3），∴OA=OB=3，在△AOE 和△BOC 中，90AOE BOC OA OB OAE OBC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOE ≌△BOC(ASA)，∴OE=OC ，又∵点C 的坐标为（2，0），∴OC=2=OE ，∴点E 的坐标为（0，2）；（2）如图②，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM=ON ，∴OD 平分∠ADC ；（3）如图所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，在△OPD 和△OCD 中，DP DC PDO CDO OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OPD ≌△OCD(SAS)，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵AD-CD=OC ，∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∴∠OCB=60°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．23．（1）证明见详解；（2）以D E G 、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，证明见详解（3）AD =CG ．证明见详解．【分析】（1）过点D 作DH ∥AC 交BC 于H ，则∠DHB=∠ACB ，由ABC 是等边三角形，可得AB=AC ，∠B=∠ACB=60°，可证△DEH ≌△FEC （AAS ），DH=FC 即可；（2）以D E G 、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，连结DG ，由ED ⊥AB 于D ，可求∠DEB=90°-∠B=30°，由EG BC ⊥，∠ACB=60°，可得∠GED=90°-∠DEB=60°，∠EGC=90°-∠GCE=30°可证△BHD 为等边三角形，∠BDH=60°，再证∠F=∠EGC=30°，GE=EF=DE ，结合∠GED=60°即可；（3）AD =CG 由ABC ，△BHD 为等边三角形，可得AD=HC ，可证△DEH ≌△FEC （AAS ），可得HE=CE ，由EG BC ⊥，∠ACB=60°，可得∠EGC=90°-∠GCE=30°利用含30°直角三角形性质GC=2EC=CH=AD 即可．【详解】证明：（1）过点D作DH∥AC交BC于H，则∠DHB=∠ACB，∵ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠B=∠ACB=60°，∴∠B=∠DHB=60°，∴DB=DH，∵作法DH∥AC，∴∠HBE=∠F，∠DHE=∠FCE，∵DE FE=，∴△DEH≌△FEC（AAS），∴DH=FC，∴BD=CF；、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，（2）以D E G连结DG，∵ED⊥AB于D，∴∠B+∠DEB=90°，∠B=60°，∴∠DEB=90°-∠B=30°，⊥，∠ACB=60°，又∵EG BC∴∠DEB+∠GED=90°，∠EGC+∠GCE=90°，∴∠GED=90°-∠DEB=60°，∠EGC=90°-∠GCE=30°，由（1）知DH=BD,∠B=60°，∴△BHD为等边三角形，∴∠BDH=60°，∴∠HDE=90°-∠BDH=30°，∠F=∠HDE=30°，∴∠F=∠EGC=30°，∴GE=EF=DE，∴△DEG为等边三角形；（3）AD=CG．∵ABC，△BHD为等边三角形，∴AB=BC，DB=BH，∴AB-BD=BC-BH，∴AD=HC，∵作法DH∥AC，∴∠HBE=∠F，∠DHE=∠FCE，∵DE FE=，∴△DEH≌△FEC（AAS），∴HE=CE，⊥，∠ACB=60°，∵EG BC∴∠EGC+∠GCE=90°，∴∠EGC=90°-∠GCE=30°，∴GC=2EC=CH=AD，∴GC=AD．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形性质，等腰三角形判定，掌握等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形性质，等腰三角形判定是解题关键．24．（1）60°；（2）30°；（3）20°或40°．【分析】（1）由折叠的性质可知△ABF是等边三角形，即可得出结论；（2）根据折叠的性质及三角形内角和定理即可得出结论；（3）根据折叠的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质表示出∠AFD，根据平角的定义表示出∠DFC，然后分三种情况讨论即可得出结论．【详解】解：（1）由折叠的性质可知：AB=AF，BA=BF，∴AB=BF=AF，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABC=∠AFB=60°；（2）∵∠CFD=90°，∴∠BFD =90°．由折叠的性质可知：∠BAD =∠BFD ，∴∠BAC =∠BAD =90°，∴∠C =180°-∠BAC -∠ABC =180°-90°-60°=30°；（3）设∠C =x °．由折叠的性质可知，AD =DF ，∴∠FAD =∠AFD ．∵∠AFB =∠FAD +∠C ，∴∠FAD =∠AFB -∠C =60°-x ，∴∠AFD =60°-x ，∴∠DFC =180°-∠AFB -∠AFD =180°-60°-（60°-x ）=60°+x ．∵△CDF 为等腰三角形，∴分三种情况讨论：①若CF =CD ，则∠CFD =∠CDF ，∴60°+x +60°+x +x =180°，解得：x =20°；②若DF =DC ，则∠DFC =∠C ，∴60°+x =x ，无解，∴此种情况不成立；③若DF =FC ，则∠FDC =∠C =x ，∴60°+x +x +x =180°，解得：x =40°．综上所述：∠C 的度数为20°或40°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质．分三种情况讨论是解答本题的关键．25．（1）全等，见解析；（2）Q 的运动速度为154cm /s ；（3）803s 在AB 边上，距离A 点6cm 处【分析】（1）由SAS 证明即可；（2）根据全等三角形的性质得出4BP PC cm ==，5CQ BD cm ==，则可得出答案；（3）由题意列出方程1532104x x =+⨯，解方程即可得解；【详解】（1）∵1t s =，点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，∴313BP CQ cm ==⨯=，∵10AB cm =，点D 为AB 的中点，∴5BD cm =，又∵PC BC BP =-，8BC cm =，∴835PC cm =-=，∴PC BD =，又∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在△BPD 和△CQP 中，PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BPD CQP SAS ≅；（2）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，∴BP 与CQ 不是对应边，即BP CQ ≠，∴若BPD CPQ ≅，且B C ∠=∠，则4BP PC cm ==，5CQ BD cm ==，∴点P 、点Q 的运动时间4()33BPt s ==， ∴515443Q CQ t υ=== cm /s ；（3）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意可得：1532104x x =+⨯，解得：803x =， 803803⨯=cm ， △ABC 的周长为1010828cm ++=，运动三圈：28384cm ⨯=＞80cm ，84804cm -=，1046cm -=，∴经过803后点P 与点Q 第一次相遇，在AB 边上，距离A 点6cm 处．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，特别是利用方程的思想解决几何问题，培养学生综合解题的能力．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据“SAS”证明△BAE ≌△CAD ，然后根据全等三角形的性质解答即可；（2）根据线段垂直平分线的判定可知CA 垂直平分DE ，进而可证明结论成立．【详解】证明：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠DAE ＋∠DAB ＝∠BAC ＋∠DAB ，即∠BAE ＝∠CAD ，在△BAE 与△CAD 中，AD AE CAD BAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△CAD （SAS ），∴BE ＝CD ；（2）∵BE ＝CD ，BE ＝CE ，∴CE ＝CD ，又∵AD ＝AE ，∴CA 垂直平分DE ，∴DE ⊥AC （可得①），又∵∠BAC ＝90°，∴DE//AB （可得②）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．也考查了线段垂直平分线的判定、平行线的判定等知识．。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题(答案及解析)

北师大版八年级下册第一章三角形的证明测试题一．选择题（共10小题）1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°2．一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则它的周长为（）A．9 B．12 C．15 D．12或153．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°4．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对5．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°6．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．37．如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°8．如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm²，则S阴影等于（）A．2cm²B．1cm²C．cm²D．cm²二．填空题（共5小题）11．等边三角形是一个轴对称图形，它有______条对称轴．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为______．13．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为______.14．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为______．15．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为______．三．解答题（共8小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．18．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．19．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？北师大版八年级下册第一章三角形的证明测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．2．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或20【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长=8+8+4=20．故选C．3．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，故选D．4．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【解答】解：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，故选C5．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．6．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3【解答】解：过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴AB=AC=2，∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴AE+CE=BC=2，∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，故选：A．7．如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°【解答】解：∵∠1=∠3，∠B=∠C，∠1+∠B+∠3=180°，∴2∠1+∠C=180°，∴2∠1+∠1﹣∠2=180°，∴3∠1﹣∠2=180°．故选B．8．如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°【解答】解：∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°，∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC=∠DEB，∵∠A=50°，∴∠C=（180°﹣50°）÷2=65°，∴∠CFE+∠FEC=180°﹣65°=115°，∴∠DEB+∠FEC=115°，∴∠DEF=180°﹣115°=65°．故选：C．10．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影等于（）A．2cm2 B．1cm2 C．cm2 D．cm2【解答】解：根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．即有：S阴影=S△BCE=S△ABC=1cm2．故选：B．二．填空题（共10小题）11．等边三角形是一个轴对称图形，它有 3 条对称轴【解答】解：等边三角形是轴对称图像，它有三个顶点，所以对应3条对称轴故答案为：312．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°．【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．故答案为：69°或21°．13．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8．【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和21两部分，∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．14．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°．【解答】解：在△ABC中，AB=AC，①当∠A=70°时，则∠ABC=∠C=55°，∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣55°=35°；②当∠C=70°时，∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣70°=20°；故答案为：35°或20°．15．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为32a ．【解答】解:∵△A1B1A2是等边三角形∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝B1A2＝A1A2∵∠MON=30°∴∠OB1A1=30°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角和∠OB1A1=∠B1A1A2－∠MON）∴OA1=A1B1（等边对等角）∴OA1=A1A2=a同理，根据∠MON=∠OB2A2，可得：A2A3=A2B2=OA1＋A1A2=2A1A2=2a同理，可推出：A3A4=2A2A3=4a同理，可推出：A4A5=2A3A4=8a同理，可推出：A5A6=2A4A5=16a同理，可推出：A6A7=2A5A6=32a 即题目所求另外我们不难发现，第n个（△A1B1A2为第一个）等边三角形的边长为AnAn+1=(2^n-1)a 注：2的n-1次方倍的a三．解答题（共8小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=BC，AD⊥BC，∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°，在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴∠DBA=∠CAB，∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．另外一种证法：证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△BAC中∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）∴AD=BC，在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC（AAS），∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．18．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【解答】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．19．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=20°；（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，∴∠ABC=∠ACB=55°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=35°；（3）∠NMB=∠A．理由：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=∠A．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，∴∠EAD=∠CAD，∠EDA=∠CAD，∴∠EAD=∠EDA，∵BD⊥AD，∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA∴∠EBD=∠BDE，∴DE=BE，∴△BDE是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（3）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．。

初中数学《三角形》单元测试练习题

《三角形的证明》单元测试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题的四个选项中，只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入下表相应的空格中。

）1．（3分）下列命题中逆命题是真命题的是（）A．若a＞0，b＞0，则a•b＞0B．内错角相等，两直线平行C．对顶角相等D．两个相等实数的平方相等2．（3分）下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两锐角相等3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD 平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．（3分）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝25°，则∠ACE的度数是（）A．25°B．50°C．32.5°D．65°5．（3分）如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接CD交OP于点E，下列结论不一定正确的是（）A．PC＝PD B．OC＝OD C．OP垂直平分CD D．OE＝CD6．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为（）A．1B．C．D．7．（3分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确8．（3分）等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（）A．12B．15C．10D．12或159．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（）A．5B．4C．3D．210．（3分）如图，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B、C，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D，∠MON＝130°，则∠BDC＝（）A．50°B．60°C．70°D．不确定二、填空题11．（3分）一个等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是度．12．（3分）如图，点O在△ABC内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝110°，则∠A ＝．13．（3分）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D 点，连接BD，若AD＝4，则DC的值为．15．（3分）已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于．三.解答题16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB 的交点，DE交AC于点F．求证：点E在AF的垂直平分线上．17．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝15，BE＝3，求AB的长．18．如图，已知BD平分∠ABC，AB＝AD，DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：AD∥BC；（2）①若DE＝6cm，求点D到BC的距离；②当∠ABD＝35°，∠DAC＝2∠ABD时，求∠BAC的度数．19．已知：如图，△ABC中∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F．（1）求证：BE＝CF；（2）若AB＝16，CF＝2，求AC的长．20．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．21．如图，已知∠AOB＝120°，点P是∠AOB的平分线OC上一点，点M，N分别是边OA，OB上的点，且∠MPN＝60°．（1）求证：△MNP是等边三角形；（2）若点P到OB的距离为8，求OM+ON22．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．求四边形ABCD的面积．。

(典型题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试题(有答案解析)

一、选择题1．如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 三点均在格点上，结论错误的是（）A ．AB=25B ．∠BAC=90°C ．ABC S 10=D ．点A 到直线BC 的距离是22．如图，在ABC 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，将BCD △连续翻折两次，C 点的对应点E 点落在边AB 上，B 点的对应点F 点恰好落在边AC 上，则下列结论正确的是（）A ．18,2A AD BD ∠=︒=B ．18,A AD BC BD ∠=︒=+ C ．20,2A AD BD ∠=︒= D ．20,A AD BC BD ∠=︒=+ 3．如图，在ABC 中，AB ＝AC ＝6，且15ABC S =△，AD ，BE 是ABC 的两条高线，P 是AD 上一动点，则PC PE +的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．84．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合）两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE ＝CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF ＝12S △ABC ；④BE +CF ＝EF ．上述结论始终正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD 是ABC ∆的中线，且6AD =，AE 是BAD ∠的角平分线，//DF AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6 6．如图，CD 是ABC 的角平分线，2,7,4B A AC BC ∠=∠==，则BD 的长为（）A ．2B ．3C ．23D ．327．如图，△ABC 中，DC =2BD =2，连接AD ，∠ADC =60°．E 为AD 上一点，若△BDE 和△BEC 都是等腰三角形，且AD =31+，则∠ACB =（）A ．60°B ．70°C ．55°D ．75°8．如图，在ABD ∆中，AD AB =，90DAB ︒∠=，在ACE ∆中，AC AE =，90EAC ︒∠=，CD ，BE 相交于点F ，有下列四个结论： ①BDC BEC ∠=∠；②FA 平分DFE ∠；③DC BE ⊥；④DC BE =．其中，正确的结论有（）A ．①②③④B ．①③④C ．②③D ．②③④ 9．在下列命题中，真命题是（）A ．同位角相等B ．到线段距离相等的点在线段垂直平分线上C ．三角形的外角和是360°D ．角平分线上的点到角的两边相等10．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A ．1,2,3B ．2,3,4C ．4,5,6D ．()5,12,130a a a a >11．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm 12．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则这一等腰三角形的底角为（）A ．65°B ．25°C ．50°D ．65°或25°二、填空题13．如图，OA ，OB 分别是线段MC 、MD 的垂直平分线，MD ＝5cm ，MC ＝7cm ，CD ＝10cm ，一只小蚂蚁从点M 出发，爬到OA 边上任意一点E ，再爬到OB 边上任意一点F ，然后爬回M 点，则小蚂蚁爬行的最短路径的长度为_____．14．如图，已知△ABC 的周长是18，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝1，△ABC 的面积是_____．15．已知C ，D 两点在线段AB 的垂直平分线上，且∠ACB ＝50°，∠ADB ＝86°，则∠CAD 的度数是_____．16．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90∘，AB = AC =8，O 为AC 中点，点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 运动过程中，线段OE 的最小值是 _____ ．17．如图，∠MON =33°，点P 在∠MON 的边ON 上，以点P 为圆心，PO 为半径画弧，角OM 于点A ，连接AP ，则∠APN =____．18．如图，在ABC 中，6,,BC AD DC =分别平分,BAC ACB ∠∠，点E 为BC 上一点，若105ADC ︒∠=，则CD DE +的最小值为________．19．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90,A AC AB ∠=︒=．BD 为ABC ∠的平分线，交AC 于点D ，若BCD △的面积为2，则ABD △的面积为____________．20．如图，在ABC 中，AB AC =，38A ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，连接BE ，则EBC ∠的度数为________．三、解答题21．如图，等腰直角ACB △中，90ACB ∠=︒，E 为线段BC 上一动点（不含B 、C 端点），连接AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．（1）如图1，过F 点作FG AC 交AC 于G 点，求证：≌AGF ECA ；（2）如图2，连接BF 交AC 于D 点，若3AD CD =，求证：E 点为BC 的中点． 22．如图，在ABC ∆中，80ABC ACB ∠=∠=︒，D 是AB 上一点，且AD BC =，//DE BC 且DE AC =.连接AE ，CE ，CD ．（1）求AED ∠的度数；（2）证明：ACE ∆是等边三角形；（3）求ECD ∠的度数．23．如图，已知：AD 是∠BAC 的平分线，AB ＝BD ，过点B 作BE ⊥AC ，与AD 交于点F ．（1）求证：AC ∥BD ；（2）若AE ＝2，AB ＝3，BF ＝355，求△ABF 中AB 边上的高．24．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，延长CA 至点D ，延长CB 至点E ，使AD=BE ，连接AE ，BD ，交点为O ．（1）求证：OB=OA ；（2）连接OC ，若AC=OC ，则∠D 的度数是度．25．在△DEF 中，DE ＝DF ，点B 在EF 边上，且∠EBD ＝60°，C 是射线BD 上的一个动点（不与点B 重合，且BC≠BE ），在射线BE 上截取BA ＝BC ，连接AC ．（1）当点C 在线段BD 上时，①若点C 与点D 重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE 与BF 的数量关系为；②如图2，若点C 不与点D 重合，请证明AE ＝BF ＋CD ；（2）当点C 在线段BD 的延长线上时，用等式表示线段AE ，BF ，CD 之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．26．如图，在等腰ABC 和等腰ADE 中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠且C E D 、、三点共线，作AM CD ⊥于M ，求证：BD DM CM +=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．【详解】解：=A 正确，不符合题意；∵AC=BC 5===，∴22252025AC AB BC +=+==，∴△ACB 是直角三角形，∴∠CAB=90°，故选项B 正确，不符合题意；S △ABC 111442421345222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选项C 错误，符合题意；点A 到直线BC 的距离2552AC AB BC ===，故选项D 正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么 222+=a b c ．熟记勾股定理的内容是解题得关键．2．D解析：D【分析】设∠ABC=∠C=2x ，根据折叠的性质得到∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°BD=DF ，BC=BE=EF ，在△BDC 中利用内角和定理列出方程，求出x 值，可得∠A ，再证明AF=EF ，从而可得AD =BC+BD ．【详解】解：∵AB=AC ，BD 平分∠ABC ，设∠ABC=∠C=2x ，则∠A=180°-4x ，∴∠ABD=∠CBD=x ，第一次折叠，可得：∠BED=∠C=2x ，∠BDE=∠BDC ，第二次折叠，可得：∠BDE=∠FDE ，∠EFD=∠ABD=x ，∠BED=∠FED=∠C=2x ，∵∠BDE+∠BDC+∠FDE=180°，∴∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°，∴x+2x+60°=180°，∴x=40°，即∠ABC=∠ACB=80°，∴∠A=20°，∴∠EFD=∠EDB=40°，∴∠AEF=∠EFD-∠A=20°，∴AF=EF=BE=BC ，∴AD=AF+FD=BC+BD ，故选D ．【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．3．B解析：B【分析】连接PB ，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质计算即可；【详解】连接PB ，∵AB AC =，BD CD =，∴AD 是等腰△ABC 底边BC 边的中垂线，∴PB PC =，∴PC PE PB PE +=+，又PB PE BE +≥，∴B ，P ，E 三点共线时，PB PE +最小，即等于BE 的长，又∵△1152ABC S AC BE ==，6AC =， ∴5BE =；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质，结合轴对称的性质计算是解题的关键． 4．C解析：C【分析】连接AP 根据等腰直角三角形的性质得出∠B ＝∠C ＝∠BAP ＝∠CAP ＝45°，AP ＝PC ＝PB ，∠APC ＝∠EPF ＝90°，求出∠APE ＝∠CPF ，证△APE ≌△CPF ，推出AE ＝CF ，EP ＝PF ，推出S APE ＝S △CPF ，求出S 四边形AEPF ＝S △APC＝12S △ABC ，求出BE +CF ＝AE +AF ＞EF ，即可得出答案．【详解】解：连接AP ，∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，P 是BC 中点，∴∠B ＝∠C ＝∠BAP ＝∠CAP ＝45°，AP ＝PC ＝PB ，∠APC ＝∠EPF ＝90°，∴∠EPF ﹣∠APF ＝∠APC ﹣∠APF ，∴∠APE ＝∠CPF ，在△APE 和△CPF 中45EAP C AP CP APE CPF ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△APE ≌△CPF （ASA ），∴AE ＝CF ，EP ＝PF ，∴△EPF 是等腰直角三角形，∴①正确；②正确；∵△APE ≌△CPF∴S △APE ＝S △CPF ，∴S 四边形AEPF ＝S △AEP +S △APF ＝S △CPF +S △APF ＝S △APC ＝12S △ABC ，∴③正确； ∵AB ＝AC ，AE ＝CF ，∴AF ＝BE ，∴BE +CF ＝AE +AF ＞EF ，∴④错误；即正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 5．D解析：D【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD ，求出∠DAE=∠EAB=30°，根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F ，根据等角对等边求出AD=DF ，即可求解.【详解】∵AB= AC ，AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×120°= 60°， ∵AE 是∠BAD 的角平分线， ∴∠DAE=∠EAB=12∠BAD=12⨯60°= 30°， ∵DF// AB∴∠F=∠BAE= 30°，∴∠DAE=∠F= 30°，∴AD= DF=6；故答案为:D.【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键. 6．B解析：B【分析】延长CB 至点F ，使CF=CA ，连接DF ，证明△FCD ≌△ACD ，得到∠F=∠A ，结合已知得到线段的关系，从而计算BD ．【详解】解：延长CB 至点F ，使CF=CA ，连接DF ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴∠ACD=∠FCD ，在△FCD 和△ACD 中，CF CA FCD ACD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FCD ≌△ACD （SAS ），∴∠F=∠A ，∴∠ABC=2∠A 且∠ABC=∠F+∠FDB ，∴∠F=∠FDB ，∴BF=BD ，∴CF=BC+BF=BC+BD ，∴AC=BD+BC ，∴BD=AC-BC=7-4=3，故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是合理作出辅助线，构造全等三角形． 7．D解析：D【分析】根据等腰三角形的性质求解即可；【详解】∵60EDC ∠=︒，∴60EBD BED ∠+∠=︒，∵△BDE 是等腰三角形，∴30EBD BED ∠=∠=︒，1BD DE ==，∵△BEC 是等腰三角形，∴30EBD ECD ∠=∠=︒，∵60EDC ∠=︒，∴90DEC ∠=︒，在Rt △DEC 中，∵30ECD ∠=︒，1DE =， ∴3tan 30DEEC ==︒又∵AD 31， ∴3AE AD DE EC =-==，∴△AEC 为等腰三角形，又∵90DEC AEC ∠=∠=︒，∴45ECA EAC ∠=∠=︒，∴453075ACB ACE ECD ∠=∠+∠=︒+︒=︒；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．8．D解析：D【分析】由△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形得出AB=AD ，AE=AC ，∠BAD=∠CAE=90°，再进一步得出∠DAC=∠BAE 证得△ABE ≌△ADC ，可以判断①③④；作AP ⊥CD 于P ，AQ ⊥BE 于Q ，利用面积相等证得AP= AQ ，再利用角平分线的判定定理即可判断②．【详解】∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，∴AB=AD ，AE=AC ，∠BDA=∠ECA=45︒，又∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ，即：∠DAC=∠BAE ，在△ABE 和△ADC 中，AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC （SAS ），∴BE=DC ，故④正确；∠ADF=∠ABF ，∴∠BDC=45︒-∠ADF ，∠BEC=45︒-∠AEF ，而∠ADF=∠ABF ≠∠AEF ，∴∠BDC ≠∠BEC ，故①错误；∵∠ADF+∠FDB+∠DBA=90°，∴∠FDB+∠DBA+∠ABF=90°，∴∠DFB=90°，∴CD ⊥BE ，故③正确；作AP ⊥CD 于P ，AQ ⊥BE 于Q ，∵△ABE ≌△ADC ，∴ABE ADC S S =，∵BE=DC ，∴AP= AQ ，∵AP ⊥CD ，AQ ⊥BE ，∴FA 平分∠DFE ，故②正确；综上，②③④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．9．C解析：C【分析】直接利用同位角的定义及线段垂直平分线的判定、多边形的外角和、角平分线的性质等知识分别判断得出答案．【详解】解：A.同位角相等，错误，是假命题；B.不是到线段距离相等的点在线段垂直平分线上，而是到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是假命题；C.三角形的外角和是360°，是真命题；D.角平分线上的点到角的两边的距离相等，不是角平分线上的点到角的两边相等，是假命题．故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．10．D解析：D【分析】根据勾股定理逆定理判断即可；【详解】≠A 不正确；≠B 不正确；≠C 不正确；=，故D 正确；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，准确计算是解题的关键．11．D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．12．D解析：D【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【详解】解：①当为锐角等腰三角形时，如图：∵∠ADE ＝40°，∠AED ＝90°，∴∠A ＝50°，∴∠B=∠C=180502︒-︒ =65°； ②当为钝角等腰三角形时，如图：∵∠ADE ＝40°，∠AED ＝90°，∴∠BAC ＝∠ADE+∠AED ＝40°+90°＝130°，∴∠B=∠C=1801302︒-︒ =25°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，分类讨论是正确解答本题的关键．二、填空题13．10cm 【分析】根据轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质即可得到结论【详解】解：设CD 与OA 的交点为E 与OB 的交点为F ∵OAOB 分别是线段MCMD 的垂直平分线∴ME ＝CEMF ＝DF ∴小蚂蚁爬行的路径解析：10cm【分析】根据轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质即可得到结论．【详解】解：设CD 与OA 的交点为E ，与OB 的交点为F ，∵OA 、OB 分别是线段MC 、MD 的垂直平分线，∴ME ＝CE ，MF ＝DF ，∴小蚂蚁爬行的路径最短＝CE+EF+DF=CD ＝10cm ，故答案为：10cm．【点睛】本题考查了轴对称的性质-最短路径的问题，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握知识点．14．9【分析】过点O作OE⊥AB于EOF⊥AC与F连接OA根据角平分线的性质求出OEOF根据三角形面积公式计算得到答案【详解】解：过点O作OE⊥AB 于EOF⊥AC于F连接OA∵OB平分∠ABCOD⊥BC解析：9【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC与F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE、OF，根据三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝1，同理可知，OF＝OD＝1，∴△ABC的面积＝△OAB的面积+△OAC的面积+△OBC的面积，＝12×AB×OE+12×AC×OF+12×BC×OD，＝12×18×1，＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，准确计算是解题的关键．15．18°或112°【分析】分点C与点D在线段AB两侧点C与点D在线段AB同侧两种情况根据线段垂直平分线的性质等腰三角形的性质解答【详解】解：如图∵CD两点在线段AB的中垂线上∴CA＝CBDA＝DB∵C解析：18°或112°【分析】分点C与点D在线段AB两侧、点C与点D在线段AB同侧两种情况，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质解答．【详解】解：如图，∵C 、D 两点在线段AB 的中垂线上，∴CA ＝CB ，DA ＝DB ，∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＝12∠ACB ＝12×50°＝25°，∠ADC ＝12∠ADB ＝12×86°＝43°，当点C 与点D 在线段AB 两侧时，∠CAD ＝180°﹣∠ACD ﹣∠ADC ＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C 与点D ′在线段AB 同侧时，∠CAD ′＝∠AD ′C ﹣∠ACD ′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．【分析】取的中点为点连接先证得得出根据点到直线的距离可知当时最小然后根据等腰直角三角形的性质求得时的的值即可求得线段的最小值【详解】解：取的中点为点连接即为中点在和中点在直线上运动当时最小是等腰直角解析：22【分析】取AB 的中点为点Q ，连接DQ ，先证得AQD AOE ∆≅∆，得出 QD OE =，根据点到直线的距离可知当QD BC ⊥时，QD 最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD BC ⊥时的 QD 的值，即可求得线段OE 的最小值．【详解】解：取AB 的中点为点Q ，连接DQ ，90BAC DAE ∠=∠=︒，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，8AB AC ==，O 为AC 中点，4AQ AO ∴==，在ΔAQD 和AOE ∆中，AQ AO QAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AQD AOE SAS ∴∆≅∆，QD OE ∴=，点D 在直线BC 上运动，∴当QD BC ⊥时，QD 最小，ABC ∆是等腰直角三角形，45B ∴∠=︒，QD BC ⊥，QBD ∴∆是等腰直角三角形， 22QD QB∴=， 142QB AB ==， 22QD ∴=，∴线段OE 的最小值是为22．故答案为：22．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题． 17．66°【分析】根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO 再用外角的性质求解即可【详解】解：由作图可知PO=PA ∴∠MON=∠PAO=33°∠APN=∠MON+∠PAO=66°故答案为：66°【点睛】解析：66°【分析】根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO ，再用外角的性质求解即可．【详解】解：由作图可知，PO=PA ，∴∠MON=∠PAO=33°，∠APN =∠MON+∠PAO=66°，故答案为：66°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，解题关键是通过作图得到等腰三角形，依据等腰三角形的性质熟练计算．18．3【分析】如图过作于连接先说明平分当时可得可得所以当三点共线时此时最短再求解结合从而可得答案【详解】解：如图过作于连接分别平分平分当时则所以当三点共线时此时最短分别平分即的最小值是故答案为：【点睛】解析：3【分析】如图，过D 作DP AB ⊥于,P 连接,BD 先说明BD 平分,ABC ∠ 当DE BC ⊥时，可得,DP DE = 可得,CD DE CD DP +=+ 所以当,,C D P 三点共线时，,CD DP CP += 此时最短，再求解30ABC ∠=︒，结合,CP AB ⊥ 从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP AB ⊥于,P 连接,BD,AD DC 分别平分,BAC ACB ∠∠，BD ∴平分,ABC ∠当DE BC ⊥时，则,DP DE =,CD DE CD DP ∴+=+所以当,,C D P 三点共线时，,CD DP CP += 此时最短，105ADC ∠=︒，18010575DAC DCA ∴∠+∠=︒-︒=︒，,AD DC 分别平分,BAC ACB ∠∠，()2150,BAC BCA DAC DCA ∴∠+∠=∠+∠=︒18015030ABC ∴∠=︒-︒=︒，,CP AB ⊥116322CP BC ∴==⨯=，即CD DE +的最小值是3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的角平分线的性质，含30的直角三角形的性质，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．19．【分析】由等腰直角三角形的性质得到然后利用三角形的面积公式即可求出答案【详解】解：作DE ⊥BC 垂足为E 如图：∵为的平分线∴∵∴△ABC 是等腰直角三角形∴∵的面积为2∴∴∴∴的面积为：；故答案为：【点解析：2【分析】由等腰直角三角形的性质，得到2BCAB ，然后利用三角形的面积公式，即可求出答案．【详解】解：作DE ⊥BC ，垂足为E ，如图：∵BD 为ABC ∠的平分线，∴AD DE =，∵90,A AC AB ∠=︒=，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴2BC AB ，∵BCD △的面积为2， ∴122BC DE •=， ∴1222DE •=， ∴122AB DE •= ∴ABD △的面积为：122AB DE •= 2【点睛】本题考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理和等腰直角三角形的性质，正确得到2BC AB ． 20．33°【分析】先根据等腰三角形的性质求出再根据垂直平分线的性质求解即可；【详解】∵在中∴∵的垂直平分线交点垂足为点∴AE=BE ∴∴；故答案是【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质垂直平分线的性解析：33°【分析】先根据等腰三角形的性质求出71ABC C ∠=∠=︒，再根据垂直平分线的性质求解即可；【详解】∵在ABC 中，AB AC =，38A ∠=︒，∴71ABC C ∠=∠=︒，∵AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，∴AE=BE ，∴38A ABE ∠=∠=︒，∴713833EBC ∠=︒-︒=︒；故答案是33︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由余角的性质可得F EAC ∠=∠，从而运用“角角边”证明即可；（2）作FM AC ⊥，同（1）证明过程可得FM AC BC ==，AM CE =，从而证明CD MD =，则可得M 为AC 的中点，最终可得E 点为BC 的中点．【详解】（1）∵AF AE ⊥，∴90FAG EAC ∠+∠=︒，∵FG AC ，∴90AGF ∠=︒，90FAG F ∠+∠=︒，∴F EAC ∠=∠，在AGF 与ECA △中，AGF C F EAC AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AGF ECA AAS ≌；（2）如图所示，作FM AC ⊥，由（1）可知AMF ECA △≌△，则FM AC BC ==，AM CE =，在DFM 和DBC △中，MDF CDB DMF DCB FM BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DFM DBC AAS △≌△， ∴CD MD =，∵3AD CD =，∴AM CM =，∴CM CE =，∵AC BC =，∴BE CE =，即：E 点为BC 的中点．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形中常考的证明模型是解题关键．22．（1）20AED ∠=︒；（2）见解析；（3）70ECD ∠=︒．【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠BAC=20°，根据平行线得性质可得∠ADE=∠ABC ，利用SAS 可证明△ABC ≌△EAD ，根据全等三角形得性质可得∠AED=∠BAC=20°；（2）根据全等三角形得性质可得AE=AB ，由等角对等边可得AB=AC ，即可证明AE=AC ，根据等腰三角形得性质可得∠ADE=∠EAD=80°，可得∠CAE=60°，即可证明△ACE 是等边三角形；（3）由（2）可知∠AEC=60°，即可得出∠DEC 的度数，根据等腰三角形得性质即可得答案．【详解】（1）∵80ABC ACB ∠=∠=︒，∴∠BAC=180°-2∠ACB=20°，∵//DE BC ，∴ADE ABC =∠∠，ABC ACB ∴∠=∠，ADE ACB ∴∠=∠∴在ABC ∆和EAD ∆中BC AD ADE ACB AC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC EAD ∴∆≅∆，20AED BAC ∴∠=∠=︒．（2）由（1）知：ABC EAD ∆≅∆，AE AB ∴=，80EAD ABC ∠=∠=︒∵80ABC ACB ∠=∠=︒∴AB AC =，AE AC ∴=，∵∠BAC=20°，802060CAE ∴∠=︒-︒=︒，ACE ∴∆是等边三角形.（3）ACE ∆是等边三角形，60CEA ∴∠=︒，∵∠AED=20°，602040CED ∴∠=︒-︒=︒，ED AC EC ==，EDC ∴∆为等腰三角形，18040702ECD ︒-︒∴∠==︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质及等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．23．（1）见解析；（2）△ABF 中AB【分析】（1）根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠CAD ＝∠BDA ，根据平行线的判定定理证明即可；（2）作FG ⊥AB 于G ，根据勾股定理求出BE ，进而求出FE ，根据角平分线的性质定理解答即可．【详解】（1）证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAD ＝∠BAD ，∵AB ＝BD ，∴∠BDA ＝∠BAD ，∴∠CAD ＝∠BDA ，∴AC ∥BD ；（2）解：作FG ⊥AB 于G ，在Rt △ABE 中，AE ＝2，AB ＝3，∴BE 2222325ABAE =-=-=，∴FE ＝BE ﹣BF 3255555=-=， ∵AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AC ，FG ⊥AB ，∴FG ＝FE 255=，即△ABF 中AB 边上的高为255．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．24．（1）见解析；（2）22.5【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出△ABD ≌△BAE ，进而得出OB=OA ；（2）根据全等三角形的判定和性质以及三角形内角和解答．【详解】证明：（1）∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°．∴∠EBA=∠DAB=135°．在△ABD 与△BAE 中，135BE AD EBA DAB AB AB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△BAE （SAS ），∴∠DBA=∠EAB ，∴OB=OA ；（2）由（1）得：OB=OA ，在△OBC 与△OAC 中，OB OA OC OC BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OBC ≌△OAC （SSS ），∴∠OCB=∠OCA=12∠ACB=12×90°=45°， ∵AC=BC ，AC=OC ，∴OC=BC ， ∴∠CBO=∠COB 1801804567.522OCB ︒︒︒︒-∠-===，在Rt △BCD 中，∠D=180°-90°-∠CBO=22.5°．故答案为：22.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．25．（1）①AE ＝BF ；②见解析；（2）AE ＝BF ﹣CD 或AE ＝CD ﹣BF【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD ＝AB ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD ＝∠FBD ＝120°，推出△ADE ≌△BDF ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE 上截取BG ＝BD ，连接DG ，得到△GBD 是等边三角形．同理，△ABC 也是等边三角形．求得AG ＝CD ，通过△DGE ≌△DBF ，得到GE ＝BF ，根据线段的和差即可得到结论；（2）如图3，连接DG ，由（1）知，GE ＝BF ，AG ＝CD ，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG ，由（1）知，GE ＝BF ，AG ＝CD ，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．【详解】解：（1）①如图1，∵BA ＝BC ，∠EBD ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AD ＝AB ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝60°，∴∠EAD ＝∠FBD ＝120°，∵DE ＝DF ，∴∠E ＝∠F ，在△AEC 与△BCF 中，E F EAD FBD AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BDF （AAS ），∴AE ＝BF ；故答案为：AE ＝BF ；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，∵∠EBD＝60°，BG＝BD，∴△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．∴AG＝CD，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，∴∠DGE＝∠DBF＝120°，在△DGE与△DBF中，E FEGD FBDDG BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGE≌△DBF（AAS），∴GE＝BF，∴AE＝BF＋CD；（2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝EG﹣AG；∴AE＝BF﹣CD，如图4，在BE上截取BG＝BD，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝AG﹣EG；∴AE＝CD﹣BF，故AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟练掌握相关知识的运用，利用截长补短的方法做辅助线构造全等三角形和等边三角形，运用类比的方法解决问题．26．见解析【分析】由“SAS”可证△AEC ≌△ADB ，可得BD=CE ，由等腰三角形的性质可得DM=EM ，可得结论．【详解】证明：BAC DAE ∠=∠CAE BAD ∴∠=∠在△AEC 和△ADB 中AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△ADBBD CE ∴=在等腰ADE 中，AM DE ⊥DM EM ∴=BD DM CE EM CM ∴+=+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．。

2020-2021学年北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试(含解析)

第一章三角形的证明单元测试一．选择题1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（）A．40°B．55°C．65°D．70°2．如图，在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D 和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（）A．2B．3C．3.5D．43．如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则AB等于（）A．11B．12C．13D．144．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC 的最大值为（）A．40B．28C．20D．105．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB等于（）A．2B．3C．4D．67．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°8．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm9．如图，在△ABC中，∠B＝15o，∠C＝30o，MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，已知BC的长为，则阴影部分的面积为（）A．B．C．3D．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠F AG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题11．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，∠A＝50°，则∠DBC的度数是．12．等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B．若∠A为底角，则∠C＝°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为度．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠DCB＝30°，BD＝1，则AB的长为．15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为．16．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC＝6cm，则AC＝，DE＝．17．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝；（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝；（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为．18．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长是．19．如图，AD垂直平分BC于点D，EF垂直平分AB于点F，点E在AC上，BE+CE＝20cm，则AB＝．20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P 为CE中点，连结PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为．三．解答题21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．求：（1）∠ADC的大小；（2）∠BAD的大小．22．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，BE，CD 交于点F．（1）求证：DC＝EB；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC边上的垂直平分线DE交AB 于点D，交AC于E．求：（1）∠BCD的度数；（2）若DE＝3，求AB的长．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．25．如图，在△ABC中，∠ACB为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，若AC＝20，求△ABC的两锐角及AD、DE、EB各为多少？26．（1）如图1，求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，若∠BAC＝62°，则∠P AC是度．27．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线交于点O，作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．求证：OE＝OF．28．如图（1）将三角板ABC与∠DAE摆放在一起，射线AE与AC重合，射线AD在三角形ABC外部，其中∠ACB＝30°，∠B＝60°，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°．固定三角板ABC，将∠DAE绕点A按顺时针方向旋转，如图（2），记旋转角∠CAE＝α．（1）当α为60°时，在备用图（1）中画出图形，并判断AE与BC的位置关系，并说明理由；（2）在旋转过程中，当0°＜α＜180°，∠DAE的一边与BC平行时，求旋转角α的值；（3）在旋转过程中，当0°＜α≤90°时，探究∠CAD与∠BAE之间的关系．（温馨提示：对于任意△ABC，都有∠A+∠B+∠C＝180°）参考答案一．选择题1．解：当∠A＝∠C时，∠C＝70°；当∠A＝∠B＝70°时，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°；当∠B＝∠C时，∠C＝∠B＝（180°﹣∠A）＝55°；即∠C的度数可以是70°或40°或55°，故选：C．2．解：设∠C＝x．∵DE垂直平分线段AC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝x，∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2x，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB＝45°+x，在△ABE中，∵∠BAE+∠B+∠AEB＝180°，∴45°+45°+x+2x＝180°，∴x＝30°，∵∠EDC＝90°，DE＝2，∴AE＝EC＝2DE＝4，故选：D．3．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝60°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴CD＝2CE＝6，∵点D是AC的中点，∴AC＝2CD＝12，∴AB＝AC＝12，故选：B．4．解：如图：延长AB，CD交于点E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD；∵AC﹣AB＝4，∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BEC，∴当BE⊥BC时，S△BDC最大，即S△BDC最大＝××10×4＝10．故选：D．5．解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．6．解：∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2CB＝4，故选：C．7．解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，∴∠CAF＝∠CDF＝90°，∴AT＝DT＝CF，∴TD＝TC＝TA，∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，∵∠ADB＝45°，∴∠ADT+∠TDC＝135°，∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，∴AT⊥CF，∵CT＝TF，∴AC＝AF，∴∠AFC＝45°，∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，∵∠BDF＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，故选：C．8．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴AE+BE＝CE+BE＝AB＝5cm，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝5+4＝9（cm）．故选：B．9．解：∵MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，AN＝BN，AQ＝CQ，∴∠BAN＝∠B＝15°，∠CAQ＝∠C＝30°，∴∠ANQ＝∠B+∠BAN＝30°，∠AQN＝∠C+∠CAQ＝60°，∴∠NAQ＝90°，∴BN＝AN＝NQ，AQ＝CQ＝NQ，∵BC＝，∴NQ+NQ+NQ＝3+，∴NQ＝2，∴AN＝，AQ＝1，∴阴影部分的面积＝AN•AQ＝＝，故选：B．10．解：∵BE是AC边的中线，∴AE＝CE，∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠F AG+∠DAC＝90°，∴∠F AG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分线，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠F AG＝2∠FCB，故②错误；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正确；根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；即正确的为①③，故选：D．二．填空题11．解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠A＝50°．∴∠C＝∠ABC＝＝＝65°，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．12．解：设∠B＝x°，当∠A是底角时，∠A＝∠C＝4∠B＝4x°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴4x+x+4x＝180，解得x＝20，∴∠C＝80°故答案为：80．13．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝40°，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝70°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20．14．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠DCB＝30°，∴2BD＝BC，∵CD⊥AB，∴∠A＝∠DCB＝30°，∴2BC＝AB，∴AB＝4BD，∵BD＝1，∴AB＝4．故答案为：4．15．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝30°，∵∠A＝90°，AN＝1，∴MN＝2AN＝2，∵MN平分∠AMC，∠AMN＝30°，∴∠AMC＝∠NMC＝60°，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠ACM＝ACB＝30°，∴∠ACM＝∠NMC，∴MNCN＝2，∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝2×3＝6，16．解：∵BC＝6cm，∴BD＝DC＝3（cm），∵AD⊥BC，BD＝DC，AB＝5cm，∴AC＝AB＝5（cm），∵点C在AE的垂直平分线上，∴EC＝AC＝5（cm），∴DE＝DC+EC＝8（cm），故答案为：5cm；8cm．17．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠BAE＝∠B＝20°；（2））∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，∴∠BAE+∠CAN＝70°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，∵∠ADF＝∠AMF＝90°，∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴△AEN的周长＝AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∴9﹣8＜BC＜9+8，∴1＜m＜17．故答案为：（1）20°；（2）70°；（3）1＜m＜17．18．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△ACE的周长＝AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+CB＝11，19．解：∵EF垂直平分AB于点F，∴AE＝BE，∵BE+CE＝20cm，∴AE+CE＝20cm，即AC＝20cm，∵AD垂直平分BC于点D，∴AB＝AC＝20cm，故答案为：20cm．20．解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，∵P为CE中点，∵S△EFP＝S△CFP，设S△EFP＝S△CFP＝y，∵BD是AC边上的中线，∴设S△CDF＝S△AFD＝z，∵S△BFP＝15，∴S△BCD＝15+y+z，∴S△ABC＝2S△BCD＝30+2y+2z，∵S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝2y+2z，∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，∵AE是∠CAB的角平分线，∴EG＝CE＝2CP＝4，∴S△ABE＝AB•EG＝30，∴AB＝15，故答案为：15．三．解答题21．解：（1）∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；（2）∵∠B＝40°，∴∠BAD＝50°．22．（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AB＝AD＝AC＝AE，即BD＝CE，在△DBC和△ECB中，，∴△DBC≌△ECB（SAS），∴DC＝EB；（2）解：图中所有的等腰三角形为△ABC、△ADE、△DEF、△BCF，理由如下：由（1）得：AB＝AC，AD＝AE，△DBC≌△ECB，∴△ABC、△ADE是等腰三角形，∠BCD＝∠CBE，∴△BCF是等腰三角形，BF＝CF，∵DE∥BC，∴∠FDE＝∠BCD，∠FED＝∠CBE，∴∠FDE＝∠FED，∴△DEF是等腰三角形，FE＝FD．23．解：（1）∵AC边上的垂直平分线是DE，∴CD＝AD，DE⊥AC，∴∠A＝∠DCA＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°，（2）∵∠B＝60°∴∠BCD＝∠B＝60°∴BD＝CD，∴BD＝CD＝AD＝AB，∵DE＝3，DE⊥AC，∠A＝30°，∴AD＝2DE＝6，∴AB＝2AD＝12．24．证明：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，又∵∠CAB＝2∠B，∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB＝30°；（2）∵∠DAB＝30°＝∠B，∴AD＝DB，∵AC＝EC，∠ACB＝90°，∴AD＝DE，∴DE＝DB．25．解：∵△ABC中，∠C为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，∴∠ACD＝∠DCE＝∠ECB＝30°，又∵CD⊥AB，AC＝20，∴∠A＝60°，AD＝10，∵∠ACB为直角，∴∠B＝30°∵AC＝20，∴AB＝40，∵CE是△ABC中线，∴AE＝BE＝20，∴DE＝10．26．解：（1）已知：△ABC．求证：∠ABC、∠BCA、∠ACB三个角的平分线相交于点F，且点F到三边的距离相等．证明：如图，作∠ABC的角平分线FB，作∠BCA的角平分线FC，两条线相交于点F，作FG⊥AB于点G，FD⊥BC边于点D，FE⊥AC于点E，∵点F是∠ABC平分线上的一点，∴FG＝FD，同理可得，FD＝FE，∴FG＝FD＝FE（等量代换），∴点F在∠BAC的平分线上，∴三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等；（2）解：延长BA，作PN⊥BD于N，PF⊥BA于F，PM⊥AC于M，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∴∠F AP＝∠P AC，∴∠F AC＝2∠P AC，∵∠F AC+∠BAC＝180°，∴2∠P AC+∠BAC＝180°，∴∠P AC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣62°）＝59°．故答案为：59．27．证明：作OG⊥BC，∵∠ABC的平分线，OE⊥AB，OG⊥BC，∴OE＝OG，∵∠BCD的平分线，OF⊥CD，OG⊥BC，∴OF＝OG，∴OE＝OF．28．解：（1）当α为60°时，AE⊥BC，如图（1），设AE与BC交于点F，∵∠CAE＝α＝60°，∠ACB＝30°，∴∠AFC＝90°，∴AE⊥BC；（2）当AD∥BC时，如图（2），∠DAC＝∠C＝30°，∵∠DAE＝45°，∴∠CAE＝α＝15°；当AE∥BC时，如图（3），∠B＝∠EAB＝60°，∴∠CAE＝α＝∠BAC+∠EAB＝150°，故旋转角α的值为15°或150°；（3）①如（2），当α≤45°时，α+∠BAE＝90°，α+∠CAD＝45°，∴∠BAE﹣∠CAD＝45°；②如图（1），当45°＜α＜90°时，∵∠DAE+∠CAD+∠BAE＝90°，∠DAE＝45°，∴∠CAD+∠BAE＝45°．。

第一章三角形的证明单元测试

一、填空题1.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.2.如图5，B 在AC 上，D 在CE 上，AD =BD =BC ，∠ACE =25°，∠ADE =_________.图5 图63.等腰直角三角形一条边长是1 cm ，那么它斜边上的高是_________ cm.4.如图6，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ =OP ，OT =OS ，PT 和QS 相交于点C ，则图中共有_________对全等三角形.5.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.二、选择题6.等边三角形的高为23，则它的边长为（）A.4B.3C.2D.57.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（）A.6B.7.5C.10D.128.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm9.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（）A.25B.50C.100D.6010.等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（） A.23a B.33a C.63a D.21a11.下列说法中，正确的是（）A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等12.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（）A.5B.2C.45D.113.已知：如图10，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.图1014.已知：如图11，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB .15.如图12，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BA C.。

北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明单元测试卷(含答案)

北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明单元测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填在相应的答题框内)1.如图，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20，则AB＝( )A.25B.30C.20 3D.402.如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是( )A.55°B.45°C.35°D.65°3.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( )A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝20°，∠B＝80°D.∠A＝40°，∠B＝80°4.以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是( )A.2，3，4B.1，2， 3C.4，5，6D.2，2，45.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是( )A.HLB.ASAC.AASD.SAS6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠CAD的度数为( )A.35°B.45°C.55°D.60°7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°8.如图，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，则β的度数是( )A.40°B.50°C.60°D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为( )A.1.5B.3C.6D.910.用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个直角三角形中( )A.每一个锐角都小于45°B.有一个锐角大于45°C.有一个锐角小于45°D.每一个锐角都大于45°11.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°12.观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等.其中逆命题为假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.413.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE 的大小是( )A.24°B.30°C.32°D.36°14.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE∶S△BDE ＝( )A.2∶5B.14∶25C.16∶25D.4∶2115.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是( )A.△BPQ是等边三角形B.△PCQ是直角三角形C.∠APB＝150°D.∠APC＝135°二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16.在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是.17.如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为km.18.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为.19.如图，已知△ABC的周长是22，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，△ABC的面积是.20.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF 折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是.三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21.(本题8分)一个机器零件的形状如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2.5 cm，BD＝13 cm，AD＝12 cm，求△ABD的面积.22.(本题8分)在加快城镇建设中，有两条公路OA和OB交会于O点，在∠AOB的内部有蔬菜基地C和D，现要修建一个蔬菜转运站P，使转运站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两个蔬菜基地C，D的距离也相等，用尺规作出蔬菜转运站P的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹.)23.(本题10分)如图，点P为△ABC的BC边上一点，且PC＝2PB，∠ABC＝45°，∠APC＝60°，CD⊥AP，连接BD，求∠ABD的度数.24.(本题12分)如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E.(1)判断△CED的形状，并说明理由；(2)若OC＝3，求CD的长.25.(本题12分)如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E.(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝6 cm，AC＝10 cm，求AD的长.26.(本题14分)如图，在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC.(1)若BC＝10 cm，试求出△PAO的周长；(2)若AB＝AC，∠BAC＝110°，试求∠PAO的度数；(3)在(2)中，若无AB＝AC的条件，你能求出∠PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.27.(本题16分)如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动.(1)点M，N运动几秒后，M，N两点重合？(2)点M，N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?(3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间.参考答案一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填在相应的答题框内)1.如图，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20，则AB＝(D)A.25B.30C.20 3D.402.如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是(A)A.55°B.45°C.35°D.65°3.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(C)A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝20°，∠B＝80°D.∠A＝40°，∠B＝80°4.以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是(B)A.2，3，4B.1，2， 3C.4，5，6D.2，2，45.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是(A)A.HLB.ASAC.AASD.SAS6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠CAD的度数为(A)A.35°B.45°C.55°D.60°7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(C)A.30°B.45°C.60°D.75°8.如图，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，则β的度数是(B)A.40°B.50°C.60°D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为(C)A.1.5B.3C.6D.910.用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个直角三角形中(D)A.每一个锐角都小于45°B.有一个锐角大于45°C.有一个锐角小于45°D.每一个锐角都大于45°11.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(B)A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°12.观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等.其中逆命题为假命题的个数是(A)A.1B.2C.3D.413.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE 的大小是(C)A.24°B.30°C.32°D.36°14.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE∶S△BDE ＝(B)A.2∶5B.14∶25C.16∶25D.4∶2115.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是(D)A.△BPQ是等边三角形B.△PCQ是直角三角形C.∠APB＝150°D.∠APC＝135°二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16.在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是68__°.17.如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为1__000km.18.如图，O 为数轴原点，A ，B 两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC ，连接OC ，以O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M ，则点M19.如图，已知△ABC 的周长是22，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于点D ，且OD ＝3，△ABC 的面积是33.20.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠OEC 的度数是108__°.三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21.(本题8分)一个机器零件的形状如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝2.5 cm ，BD ＝13 cm ，AD ＝12 cm ，求△ABD 的面积.解：∵Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝2.5 cm ， ∴AB ＝2BC ＝5 cm.∵52＋122＝132，即AB 2＋AD 2＝BD 2， ∴△ABD 是直角三角形.∴S △ABD ＝12AB·AD ＝12×5×12＝30(cm 2).22.(本题8分)在加快城镇建设中，有两条公路OA 和OB 交会于O 点，在图中∠AOB 的内部有蔬菜基地C 和D ，现要修建一个蔬菜转运站P ，使转运站P 到两条公路OA ，OB 的距离相等，且到两个蔬菜基地C ，D 的距离也相等，用尺规作出蔬菜转运站P 的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹.)解：如图所示.23.(本题10分)如图，点P 为△ABC 的BC 边上一点，且PC ＝2PB ，∠ABC ＝45°，∠APC ＝60°，CD ⊥AP ，连接BD ，求∠ABD 的度数.解：∵∠APC ＝60 °，CD ⊥AP ， ∴∠PCD ＝90 °－∠APC ＝90 °－60 °＝30 °. ∴PC ＝2PD.∵PC ＝2PB ，∴PB ＝PD. ∴∠PBD ＝∠PDB.又∵∠APC ＝∠PBD ＋∠PDB ，∴∠PBD ＝12∠APC ＝12×60 °＝30 °.∵∠ABC ＝45 °，∴∠ABD ＝∠ABC －∠PBD ＝45 °－30 °＝15 °.24.(本题12分)如图，∠AOB ＝60°，OC 平分∠AOB ，C 为角平分线上一点，过点C 作CD ⊥OC ，垂足为C ，交OB 于点D ，CE ∥OA 交OB 于点E.(1)判断△CED 的形状，并说明理由； (2)若OC ＝3，求CD 的长.解：(1)△CED 是等边三角形.理由如下： ∵OC 平分∠AOB ，∠AOB ＝60 °，∴∠AOC ＝∠COE ＝30 °. ∵CE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠COE ＝∠OCE ＝30 °，∠CED ＝60 °. ∵CD ⊥OC ，∴∠OCD ＝90 °. ∴∠EDC ＝60 °.∴△CED 是等边三角形.(2)∵△CED 是等边三角形，∴CD ＝CE ＝ED. 又∵∠COE ＝∠OCE ，∴OE ＝EC. ∴CD ＝ED ＝OE.设CD ＝x ，则OD ＝2x.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得：x 2＋9＝4x 2，解得x ＝ 3. 则CD ＝ 3.25.(本题12分)如图，△ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于点P ，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E. (1)求证：BD ＝CE ；(2)若AB ＝6 cm ，AC ＝10 cm ，求AD 的长.解：(1)证明：连接BP ，CP.∵点P 在BC 的垂直平分线上，∴BP ＝CP. ∵AP 是∠DAC 的平分线，∴DP ＝EP ，在Rt △BDP 和Rt △CEP 中，⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝CP ，DP ＝EP ，∴Rt △BDP ≌Rt △CEP (HL )，∴BD ＝CE.(2)在Rt △ADP 和Rt △AEP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AP ，DP ＝EP ，∴Rt △ADP ≌Rt △AEP (HL )，∴AD ＝AE.∵AB ＝6 cm ，AC ＝10 cm ，∴6＋AD ＝10－AE ，即6＋AD ＝10－AD.解得AD ＝2 cm.26.(本题14分)如图，在△ABC 中，MP ，NO 分别垂直平分AB ，AC.(1)若BC ＝10 cm ，试求出△PAO 的周长； (2)若AB ＝AC ，∠BAC ＝110°，试求∠PAO 的度数；(3)在(2)中，若无AB ＝AC 的条件，你能求出∠PAO 的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.解：(1)∵MP ，NO 分别垂直平分AB ，AC ， ∴AP ＝BP ，AO ＝CO.∴△PAO 的周长为AP ＋PO ＋AO ＝BO ＋PO ＋OC ＝BC. ∵BC ＝10 cm ，∴△PAO 的周长为10 cm.(2)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝110 °，∴∠B ＝∠C ＝12×(180 °－110 °)＝35 °.由(1)知AP ＝BP ，AO ＝CO. ∴∠BAP ＝∠B ＝35 °，∠CAO ＝∠C ＝35 °. ∴∠PAO ＝∠BAC －∠BAP －∠CAO ＝110 °－35 °－35 °＝40 °. (3)能.理由如下： ∵∠BAC ＝110 °，∴∠B ＋∠C ＝180 °－110 °＝70 °.由(1)知AP ＝BP ，AO ＝CO.∴∠BAP ＝∠B ，∠CAO ＝∠C.∴∠PAO ＝∠BAC －∠BAP －∠CAO ＝∠BAC －(∠B ＋∠C )＝110 °－70 °＝40 °.27.(本题16分)如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12 cm ，现有两点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1 cm /s ，点N 的速度为2 cm /s .当点N 第一次到达点B 时，M ，N 同时停止运动.(1)点M ，N 运动几秒后，M ，N 两点重合？(2)点M ，N 运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?(3)当点M ，N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ？如存在，请求出此时M ，N 运动的时间.解：(1)设点M ，N 运动x 秒后，M ，N 两点重合，x ×1＋12＝2x ，解得x ＝12.(2)设点M ，N 运动t 秒后，可得到等边三角形△AMN ，如图1，AM ＝t ×1＝t ，AN ＝AB －BN ＝12－2t.∵三角形△AMN 是等边三角形，∴t ＝12－2t ，解得t ＝4.∴点M ，N 运动4秒后，可得到等边三角形△AMN.(3)当点M ，N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形.由(1)知，12秒时M ，N 两点重合，恰好在C 处.如图2，假设△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形，∴AN ＝AM.∴∠AMN ＝∠ANM.∴∠AMC ＝∠ANB.∵AB ＝BC ＝AC ，∴△ACB 是等边三角形.∴∠C ＝∠B.在△ACM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B ，∠AMC ＝∠ANB ，AC ＝AB ， ∴△ACM ≌△ABN (AAS ).∴CM ＝BN.设当点M ，N 在BC 边上运动时，M ，N 运动的时间y 秒时，△AMN 是等腰三角形.∴CM ＝y －12，NB ＝36－2y ，由CM ＝NB ，得y －12＝36－2y ，解得y ＝16.故假设成立.∴当点M ，N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ，此时M ，N 运动的时间为16秒.。

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1
A
B
P C
D
O
（7题图）
（6题图）
（11题图）
第一章单元测试题
一、填空题（每小题2分，共20分） 1．在△ABD 和△ACE 中，有下列四个论断： ①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③∠B ＝∠C ；④BD ＝CE
请以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的判断（⊙⊙⊙→⊙的形式写出来）．
2．如图，在△ABC 中，AD ＝DE ，AB ＝BE ，∠A ＝80°则∠DEC ＝．
3．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC ＋CD ，则∠B 与∠C 的关系是．
（2题图）
（3题图）（4题图）
4．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC ＝4，则PD ＝． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的度数为度．
6．已知：如图，在△ABC 中，AB=15m ，AC=12m ，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，那么CE ＝ cm ．
7．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C /
的位置，如果BC=2，则 BC ′= ．
8．在联欢晚会上，有A 、B 、C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，试想想凳子应放在△ABC 的三条线的交点最适当．
9．等腰三角形的周长是2＋3，腰长为1，则其底边上的高为__________．
10．以长为1、2、2 、5、3，中的三条线段为边长可以构成个直角三角形．
A
B C
D
E A
B
C
D
2
（第15题）
二、选择题（每小题3分，共30分）
11．如图，在△ＡＢＣ，∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝15°，ＡＢ的中垂线ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，Ｅ为垂足，若ＢＤ＝10ｃｍ，则ＡＣ等于（）
Ａ．10ｃｍＢ．8ｃｍＣ．5ｃｍＤ．2．5ｃｍ
12．已知：如图，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝36°，ＡＢ的垂直平分线交ＡＣ于Ｄ，则下列结论：①∠Ｃ＝72°；②ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线；③△ＡＢＤ是等腰三角形；④△ＢＣＤ是等腰三角形，其中正确的有（）Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个
13．如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝30°，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝3ｃｍ，则AC 的长等于（）Ａ．22 ｃｍＢ．32 ｃｍＣ．23 ｃｍＤ．33ｃｍ 14、
如图 ,加条件能满足AAS 来判断⊿ACD ≌⊿ABE 的
条件是（）
A ．∠AE
B = ∠AD
C ∠C = ∠
D B ．∠AEB = ∠ADC CD = B
E C ．AC = AB AD = AE D ．AC = AB ∠C =∠B
15．正三角形ABD 和正三角形CBD 的边长均为1，现把它们拼合起来如图，E 是AD 上异于A ，D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF=1，当E ，F 移动时，三角形BEF 的形状为（） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形非正三角形 D ．正三角形
16．如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上一点，ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ＝ＢＤ，那么∠ＥＤＦ等于（）
Ａ．90°－∠ＡＢ．90°－
21∠ＡＣ．45°－2
1
∠ＡＤ．180°－∠Ａ 17．如图，H 是△ABC 的高AD 、BE 的交点，且DH=DC ，则下列结论：①BD=AD ②BC=AC ③BH=AC ④CE=CD 中，一定成立的有( )个． A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
18．一个正方形和一个等腰三角形有
相等的周长，已知等
腰三角形有
F
E
D
C
B
A (16题图)
A
B
C
D
H
E
(17题图)
（14题图）
（12题图）
（13题图）
3
两边长分别为5.6ｃｍ和13.2ｃｍ，则这个正方形的面积为（）
Ａ．64ｃｍ2
Ｂ．48ｃｍ2
Ｃ．36ｃｍ2
Ｄ．24ｃｍ2
19．已知等腰三角形的两边长分别为6㎝、3㎝，则该等腰三角形的周长是( ) A ．9㎝
B ．12㎝
C ．12㎝或者15㎝
D ．15㎝
20．如果一个三角形三条中线的交点恰在它的一条高上，那么这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形三、解答题（每小题10分，共50分）
21.如图，A,B 为一公司的两个分部，为了方便A,B 两分部的联系和沟通，现准备在距离2km 的A,B 两部分之间修筑一条笔直的公路（如图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向，B 地的北偏西45°方向的C 处有一半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（15分）
C
60° 45°
A B
22．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 是BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF//AC 交CE 的延长线于点F ．求证：AC=2BF ．
23．如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，其中∠BCA ＝∠DCE ＝90°．请问BE 与AD 是否垂直？如果成立请证明，不成立说明理由．
B
F
（22题图）
A
B C D
4
（23题图）
24．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ．求证：DM ＝EM ．（24题图）
25．如图，△ABC 中，E 是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交∠BAC 的平分线AD 于D ，过D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，试证明：BM ＝CN ．（25题图）
A
B
C D
M
N
E
A
B
C
D
E
M。