高中数学指对幂函数专题演练

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高中数学幂函数的定义练习及答案

高中数学幂函数的定义练习及答案题型一：幂函数的定义【例1】下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】形如(01)x y a a a =>≠且的函数叫做幂函数，答案为B ．【答案】B【例2】 11．函数的定义域是 .【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】【例3】如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于（）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 12【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D【例4】幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 .【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】典例分析【例5】下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（）.A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x =【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B【例6】下列命题中正确的是（）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 A 错，当0α=时函数y x α=的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B 错，如幂函数1y x -=的图象不过点（0，0）；C 错，如幂函数1y x -=在定义域上不是增函数；D 正确，当0x >时，0x α>．【答案】D【例7】函数2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，求m 的值.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】幂函数需要保证系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可以得到关于m 的等式和不等式，从而解出m 的值. ∵2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，∴函数可以写成如下形式a y x =(a 是有理数) ∴211m m --=，解得121,2m m =-= 当11m =-时，211212m m Q --=∈22m =时，222211m m Q --=-∈∴m 的值域为-1或2.【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a 是有理数. 【答案】-1或2【例8】求函数1302(3)y x x x -=+--的定义域.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义，即分母不为0、被开方数大于等于0.使函数有意义，则x 必须满足0030x x x ≥⎧⎪≠⎨⎪-≠⎩，解得：0x >且3x ≠即函数的定义域为{|0,3}x x x >≠且.【答案】{|0,3}x x x >≠且【例9】函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（）．Ａ．12)，Ｂ．1)+，∞ Ｃ．(22)-，Ｄ．(11--+ 【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】要使函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，可转化为2420mx x m +++>对一切实数都成立，即0m >且244(2)0m m ∆=-+<．解得1m >．故选（Ｂ）【答案】Ｂ【例10】讨论幂函数a y x =(a 为有理数)的定义域. 【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)若*a N ∈，则x ∈R ，这是函数的定义域为R .(2)若a ∈{负整数} {0}U ，则(,0)(0,)x ∈-∞+∞U ，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U (3)若na m=*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R -∈，这是函数的定义域是R -； ②m 是奇数，x R ∈，这时函数的定义域为R(4)若na m=-*(,,,)m n N m n ∈且互质，则：①m 是偶数，x R +∈，这是函数的定义域是R +；②m 是奇数，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞.【答案】(1)若*a N ∈，则x ∈R ，这是函数的定义域为R .(2)若a ∈{负整数} {0}U ，则(,0)(0,)x ∈-∞+∞U ，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U(3)若na m=*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R -∈，这是函数的定义域是R -； ②m 是奇数，x R ∈，这时函数的定义域为R(4)若na m=-*(,,,)m n N m n ∈且互质，则：①m 是偶数，x R +∈，这是函数的定义域是R +；②m 是奇数，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞.【例11】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴ 6020m m -<⎧⎨-<⎩，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =.【答案】4m =【例12】幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵ ()f x 是幂函数， ∴ 311t t -+=，解得1,10t =-或.当0t =时，75()f x x =是奇函数，不合题意；当1t =-时；25()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数；当1t =时；85()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数. 所以，25()f x x =或85()f x x =.【答案】25()f x x =或85()f x x =.【例13】已知幂函数223()()mm f x x m Z --=∈ 的图形与x 轴对称，y 轴无交点，且关于y 轴对称，试确定的解析式.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】由()22230232m m m m n n N m Z ⎧--≤⎪--∈∈⎨⎪∈⎩得113m =-，， 1m =-和3时解析式为()0f x x =，1m =是解析式为()4f x x -=【答案】()4f x x -=题型二：幂函数的性质与应用【例14】下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（）.A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--【考点】幂函数的性质与应用【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B【例15】下列函数中既是偶函数又是(,0)-∞上是增函数的是（）A ．43y x = B ．32y x = C ．2y x -= D ．14y x-=【考点】幂函数的性质与应用【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 A 、D 中的函数为偶函数，但A 中函数在(,0)-∞为减函数．【答案】C【例16】 942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .【考点】幂函数的性质与应用【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】5；【例17】比较下列各组中两个值大小（1）6110.6与6110.7（2）5533(0.88)(0.89).--与【考点】幂函数的性质与应用【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】（1）∵函数611y x =在(0,)+∞上是增函数且00.60.7<<<+∞∴6611110.60.7<（2）函数53y x =在(0,)+∞上增函数且89.088.00<< ∵55330.880.89<∴55330.880.89->-，即5533(0.88)(0.89).-<-【答案】（1）6611110.60.7<（2）5533(0.88)(0.89).-<-【例18】幂函数(1)knmy x-=（,,*,,m n k N m n ∈互质）图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 .【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】k m ,为奇数，n 是偶数；【例19】求证：函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数. 【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】显然)()()(33x f x x x f -=-=-=-，奇函数；令21x x <，则))(()()(22212121323121x x x x x x x x x f x f ++-=-=-，其中，显然021<-x x ，222121x x x x ++=2222143)21(x x x ++，由于0)21(221≥+x x ，04322≥x ，且不能同时为0，否则021==x x ，故043)21(22221>++x x x .从而0)()(21<-x f x f . 所以该函数为增函数.【例20】设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（）.A. c ,≤, <,【例22】（1）若0a <，比较12,(),0.22aa a 的大小；（2）若10a -<<，比较1333,,a a a 的大小．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】（1）当0a <时，幂函数a y x =在(0,)+∞上单调减，∵10.222<<，∴12()0.22a a a <<．（2）当10a -<<时，13330,0,0aa a ><<，指数函数()x y a =-在(0,)+∞上单调减，∵133>，∴1330()()a a <-<-，∴ 1330a a >>， ∴ 1333a a a >>【答案】（1）12()0.22aa a <<（2）1333a a a >>【例23】函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（）A ．41 B ．1- C ．4D ．4-【考点】幂函数的性质与应用【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】函数2y x -=在区间1[,2]2上单调减，当12x =时，max 4y =．【答案】C【例24】函数2422-+=x x y 的单调递减区间是【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】由22240x x +-≥得：46x x ≥≤-或，∵ 函数12y t =在[0,)+∞上为增函数，函数2224t x x =+-在(,6]-∞上为减函数，故所给函数的单调减区间为(,6]-∞-．【答案】(,6]-∞-【例25】函数R x x x y ∈=|,|，满足（）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例26】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性. 【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=，所以13y x =，在R 上单调递增.【答案】R 上单调递增【例27】对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ．无法确定【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例28】已知0＜a ＜1，试比较()(),,aa a a a a a a 的大小．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】本题考查的是幂函数的单调性知识，这里三个表达式的底数和幂都分别不同，所以需要转化看待，将它们化成同类幂函数进行比较.为比较a a 与()a a a 的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数()()01a f x x a =<<在区间[0,]+∞上是增函数，因此只须比较底数a 与a a 的大小，由于指数函数x y a = (0＜a ＜1)为减函数，且1>a ，所以a a a <，从而()a a a a a <.比较a a 与()aa a 的大小，也可以将它们看成底数相同(都是a α)的两个幂，于是可以利用指数函数 (),01x a yb b a a ==<<是减函数，由于1>a ，得到a a a <.由于a a a <，函数x y a = (0＜a ＜1)是减函数，因此()aa a a a >.综上，()()aa a a a a a a >>【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数，函数选得恰当，问题可以顺利地获得解决..【答案】()()aa a a a a a a >>【例29】已知1133(1)(32)a a --+<-，求a 的取值范围.【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数，对于不同的a +1和3-2a 进行讨论，将它们等价转化到同一个单调区间..∵13(1)a -+和13(32)a --是幂函数13()f x x -=的两个函数值，且13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数当10,320a a +>->时，有1320a a +>->，解得2332a <<；当10,320a a +<-<时，有3210a a -<+<，此时无解当(1)(32)0a a +-<时，有10a +<且320a ->，解得1a <-综上可知a的取值范围为23 (,1)(,)32 -∞-⋃.【答案】23(,1)(,)32-∞-⋃.【例30】若11(1)(32)m m--+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】（分类讨论）：（1）10320132mmm m+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm<<；（2）10320132mmm m+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320mm+<⎧⎨->⎩，，，解得1m<-．综上可得23(1)32m⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭U，，∞．【答案】23(1)32m⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭U，，∞【例31】若33(1)(32)m m+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】（利用单调性）：由于函数3y x=在()-+，∞∞上单调递增，所以132m m+<-，解得23m<．【答案】23m<【例32】若1122(1)(32)m m+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】由图3，10320321mmm m+⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得213m-<≤．【答案】213m-<≤【例33】若44(1)(32)m m+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】作出幂函数4y x=的图象如图4．由图象知此函数在(0)(0)-+U，，∞∞上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑4α=时，44x x=．于是有44(1)(32)m m+<-，即44132m m+<-．.又∵幂函数4y x=在(0)+，∞上单调递增，∴132m m+<-，解得23m<，或m＞4．【答案】23m<，或m＞4【例34】已知函数2()f x x=，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x=-+-+，问是否存在实数(0)q q<，使得()g x在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．【考点】幂函数的性质与应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】∵2()f x x=，则42()(21)1g x qx q x=-+-+．假设存在实数(0)q q<，使得()g x满足题设条件，设12x x<，则4242121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x-=-+-+--22122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--．若(]124x x ∈--，，∞，易知120x x +<，210x x ->，要使()g x 在(]4--，∞上是减函数，则应有2212()(21)0q x x q +--<恒成立．∵14x <-，24x -≤，∴221232x x +>．而0q <， ∴2212()32q x x q +<.．从而要使2212()21q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即130q -≤．若12(40)x x ∈-，，，易知1221()()0x x x x +-<，要使()f x 在(40)-，上是增函数，则应有2212()(21)0q x x q +-->恒成立．∵140x -<<，240x -<<，∴221232x x +<，而0q <，∴2212()32q x x q +>．要使2212()21q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即130q -≥．综上可知，存在实数130q =-，使得()g x 在(]4-∞-，上是减函数，且在(40)-，上是增函数．【答案】存在，130q =-【例35】由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为10x），涨价后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a 成，这里a,b 均为正常数，且a <10，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x 的值.【考点】幂函数的性质与应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】设原定价A 元，卖出B 个，则现在定价为A (110x+)，现在卖出个数为110bx B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，现在售货金额为111110101010x bx x bx A B AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，应交税款为11101010x bx a AB ⎛⎫⎛⎫+-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，剩余款为21111111010101010010x bx a a b b y AB AB x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=--++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以5(1)b x b -=时y 最大要使y 最大，x 的值为5(1)b x b-=.【答案】5(1)b x b-=题型三：幂函数的图像【例36】函数3x y =和31x y =图象满足（）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称【考点】幂函数的图像【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D【例37】函数43y x =的图象是（）【考点】幂函数的图像【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例38】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（）.A ．101n m -<<<D ．1,1n m <-> 【考点】幂函数的图像【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【答案】B.【例39】【答案】如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<【考点】幂函数的图像【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D【例40】下图为幂函数y x α=在第一象限的图象，则1234,,,αααα按由小到大的顺序排列为。

专题二：指对幂函数(教师用).docx

指对幕函数专题复习答案【题目1】⑴ 1 (2) 2 (3) 1 (4) -9«(5) 4【题目2] (1) x=9 (2) x=28【题目3】(1)7;(2)12;(3)10;(4)-3【题目4]⑴(1,3);(2)(3,1)【题目5】A【题目6] B;变式:B【题目7】(1)(一1,1) (2)(-1,0) U (0,1]【题目8]⑴R,+oo) (2)(-oo,l] ⑶(-1,1)【题目9】⑴增区间(-8,3),减区间(3,+oo);(2)增区间(二上互,1),减区间(1,—3：30)3 3【题目10] C(1 、【题目11】-,12丿【题目12] A【题目13] (1) {x|-l<x<l} (2)奇函数【题目14] (1)C; (2)D;(3)B【题目15】idw = ^(x) = x2 - 2ax + 3 = (x-a)2 + 3-a2f(1)T u > 0对xw R恒成立，/. w min= 3-a2 > 0 => -V3 < « < A/3>・・・d 的取值范围是(-V3,V3)；(2)从“loga兀的值域为R”,这点思考,“log]"的值域为R”等价于“ u = g(x)能取遍2(0,+8)的一切值匕或理解为““ =g(X)的值域包含了区间(0,+8)”，•・・U = g(X)的值域为[3-/,+oo) O (0,+oo),・•・命题等价于知曲= 3-a2 <0^> a<一徭或G > 5/3 ,・・・d的取值范围是(—-V3]U[V3,+oo):(3)应注意“在[-1,+00)内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于“弘=g(x) > 0对[-1,+8)恒成立”，应按g(x)的对称轴兀0 =0分类，U(-l)>0 [△ = 4/—12v0 [a > -2 爲 <a<H・・・d的取值范围是(-2,73)；(4)由对数函数性质易知：g(x)的值域为[2,+oo),・.• g(x)的值域是[3-a2,+oo), A 3-a2 = 2=>a = ±1；即“的值为±1；[g&)在(Y,1]为减函数fx0=«>l(5)命题等价于:[g(x) > 0对兀G (-8,1廿亘成立|g(l) > 0> 1即一,得4的取值范围是[1,2)・[a <2【题目16] 1 •③；2.16； 3・X'31 (°17•【答案】⑴ g(x) = 2\ = (2)匕,5【解析】⑴设g(x) = a”，・・・g (3) = /=8,・・・° = 2v /(x)是奇函数…・・广(一1) + /(1) = 0,即口_ +丄二色=0,解得m = 2 m +1 m + 4 i _ o v i — 0v i••• /(x)= 经检验f (x)= 为奇函数••• /(x) =八)2 + 2・2" 八)2 + 2-2x 八)2 + 2-2v(2) 任取兀i, x 2 G R , Xj < x 21 - 2v, 1一2勺 _ 2勺_2"2(1 +2A1) 2(1 + 2乜)_(1 + 2“)(1 + 2七)•/ x, < x 2,・・・2七一2眄〉0,又•・• 1 + 2" >0, l + 2">0,•I ・f (西)一.广(兀2)>0，・•・/(兀|)>/(兀2) 所以/(对是定义在R 上的减函数.2•・• /(1 一兀)+ /(l-2x)>0 ・・・ /(l-x)>/(2x-l)・・・ l —xv2x — l ・・・兀>；2 / 0又V XG [-5,51,/.-<X <5,所以兀的取值范围是—,5 • 3 1318•[解析]A = {x\ 21og 22 x —71og 2 x + 3 < 0} = {xl — < log 2 x < 3} = {x I V2 < x < 8} 而f (兀)=(log 2 x 一a)(log 2 兀一 2) = log ； x —(a + 2)log 2 兀 + 2d ,令log? x = r,v y[l < x< 8,.・.一<r < 3,2 /. f (x) = g(r)=严 _ (a + 2" + 2a ,其对称轴 t = ~~~ ‘① 当『=行2 可，即 a < |-Nlg(/)l niax = ^(3) = 2^>a = l f 适合；② 当f =筈？ > ]，即a > |•吋,[gOXLax = g (£)= 2 => a =芋，适合； 2 4 Z 2 o综上，a = l 或口.19•【答案】(1)奇函数；减函数；(2) -73<^<-1；=-ig| = -M .・• /(x)是奇函数.(3 +兀丿课后巩固练习：l.D; 2.D; 3.D; 12./(x) = %-4. 4.A; 5.C; 13.(0, 2); 6.C; 7.B; &D; 9.A; 10.B; 15.2a 2-M ; ll.B; 12.D16•①③④• • g (兀)=2" /. / (x)= 1-2'/7? + 2-【解析】(1) v/(-x) = lg9 + 3(X 2 -Xy)-x }x 2 >9-3(X 2 -X 1)-X 1X 2 >0 花予「[宀> 1 => /(兀J-心)> 0 => /(X,) > /(x 2) y "i S'X | 兀2 / 兀| 兀2・•・/&)是(一 3,3)上的减函数； (3) v f(k-cos> -/(cos 22) = /(^2 -cos 2 0] v/(x)是(一3,3)上的减函数 k<0-3 <z k — cos 0 v 3一c r " c 对&WR 恒成立 -3<cos 20-k 2<3 k-cos0<k 2 - cos 2 0:.k-k 2 <-2^k<-\ 同理：由一3v£—cos&v3对/?恒成立得：—2v£v2由一 3vcos2& —疋 v3 对&£ /?恒成立得：-V3 <^<V3 即综上所得：-語v k 5 -1所以存在这样的k 其范围为-能v k 5 -1 2()•【答案】(1) 3-2A /2<6?<3 + 2V2 ； (2) w = 2； (3) (-00,3-2^3J.【解析】(1)由已知可得，问题等价于f(x) = x 无实数根，即/+(。

3.3 幂函数(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。

幂函数、指数专项训练教案

第一章幂函数、指数专项训练函数和对数函数【例题精选】：例1 选择题设集合{}M x x m =≥=|4697，又，那么下列关系中正确的是（）A ．m M ⊂B ．m M ∉C ．{}m M ∈D ．{}m M ⊂分析本题考查元素和集合的关系及其表示法，由于{},m M m 是集合，而表示元素，故这里A 、C 均不正确，又469697=<，因此本题应选D 。

评述常常发生把表示元素与集合关系的符号同表示集合与集合关系的符号混淆起来的错误，这是在理解概念、使用符号中应予以注意的。

例2 已知集合M y y x x R N y y x x R ==-+∈==-+∈{|,}{|,}222，，那么M N 等于（）。

A ．{（0，2），（1，1）}B ．{1，2}C ．R （实数集）D ．{|}y y ≤2分析经常发生求M N y x y x x y x y ,,,,,就把求解而得或=-=-+⎧⎨⎩==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩220211从而选A的错误。

这里集合M ，N 中的元素都是实数，而不是实数对，故A 应首先排除。

从函数的观点看，集合M ，N 分别是有关两个函数的值域，故M y y =≤{|}2，N R =.故M N y y =≤{|}2。

因此本题应选D 。

选C 的同学请注意，你把集合的交与并的概念搞混了。

评述研究集合的问题，我们不仅要注意集合中元素具有什么共同性质，还要注意其中的元素有什么特征。

例3 已知全集I x x x A x x A =-≤=<≤={|}{|}22001，集合，那么。

分析认为A x x x =≤>{|}01或是不正确的，因为这里全集I 规定为{|},{|}x x x R x x x I x x 2220200202-≤-≤≤≤=≤≤，而不是，由得，故全集，因此{}A x x x x =<≤==|1200或。

还要注意，这里十分容易遗漏。

评述根据补集的概念，给定集合A 的补集A A 不仅与有关，还与约定的全集有关，我们不能想当然的去自行规定全集。

高中数学-幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)

高中数学-幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数【第一部分】知识复习【第二部分】典例讲解考点一：幂函数例1、比较大小例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞)上是减函数，又，则m= A．0B．1C．2D．3解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1．例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性．∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴．(2)，．当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数．例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).变式训练：1、下列函数是幂函数的是（）A．y=2x B．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y=2、下列说法正确的是（）A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数3、下列函数中，定义域为R的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=x－14、函数的图象是（）A．B．C．D．5、下列函数中，不是偶函数的是（）A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－16、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（）A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1)C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5)7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a ))8、已知，则下列正确的是（）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9、若函数f(x)=x2＋ax是偶函数，则实数a=（）A．－2B．－1 C．0D．110、已知f(x)为奇函数，定义域为，又f(x)在区间上为增函数，且f(－1)=0，则满足f(x)>0的的取值范围是（）A．B．(0，1)C．D．例2、若函数y=4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，试确定x的取值范围．例3、若关于x的方程有负实数解，求实数a的取值范围．例4、已知函数．(1)证明函数f(x)在其定义域内是增函数；(2)求函数f(x)的值域．例5、如果函数（a>0，且a≠1）在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．例1、解析：y=a x的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须将y=a x向下移动．而当0<a<1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限．只有当a>1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故a>1．又图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限．欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1<－1，∴m<0．故选B．答案：B例2、分析：在函数y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，则y=t2－3t＋3是t的二次函数，由y∈[1,7]可以求得对应的t的范围，但t只能取正的部分. 根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围．解答：令t=2x,则y=t2－3t＋3，依题意有：∴x≤0或1≤x≤2，即x的范围是(－∞，0]∪[1,2]．小结：当遇到y=f(a x)类的函数时，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再结合指数函数的性质得到原问题的解．例3、分析：求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式．解答：因为方程有负实数根，即x＜0，所以，解此不等式，所求a的取值范围是例4、分析：对于(1)，利用函数的单调性的定义去证明；对于(2)，可用反解法求得函数的值域．解答：(1)，设x1＜x2，则．因为x1＜x2，所以2x1＜2x2，所以,所以．又＋1＞0, ＋1＞0,所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在其定义域(－∞，＋∞)上是增函数．(2)设，则，因为102x＞0，所以，解得－1＜y＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．例5、分析：考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域．解：设t=a x>0，则y=t2＋2t－1，对称轴方程为t=－1．若a>1，x∈[－1，1]，∴t=a x∈，∴当t=a时，y max=a2＋2a－1=14．解得a=3或a=－5(舍去)．若0<a<1，x∈[－1，1]，∴t=a x∈．∴当时，．解得（舍去）．∴所求的a值为3或．变式训练：1、函数在R上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．2、函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数3、函数的值域是（）A．B．C．D．4、已知,则函数的图像必定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5、函数的定义域为（）A．B．C．D．6、函数，满足f(x)>1的x的取值范围是（）A．B．C．D．7、函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．8、已知，则下列正确的是（）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10、下列说法中，正确的是（）①任取x∈R都有；②当a>1时，任取x∈R都有；③是增函数；④的最小值为1；⑤在同一坐标系中，的图象对称于y轴．A．①②④B．④⑤C．②③④D．①⑤11、若直线y=2a与函数y=|a x－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围__.12、函数的定义域是______________．13、不论a取怎样的大于零且不等于1的实数，函数y=a x－2＋1的图象恒过定点________．14、函数y=的递增区间是___________.15、已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y=()x－1－4()x＋2的最大值和最小值．16、若关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m=0有实根，求m的取值范围．17、设a是实数，．(1)试证明对于a取任意实数，f(x)为增函数；(2)试确定a的值，使f(x)满足条件f(－x)＝－f(x)恒成立．18、已知f(x)＝（a>0且）．（1）求f(x)的定义域、值域．（2）讨论f(x)的奇偶性．（3）讨论f(x)的单调性．答案及提示：1-10 DADAD DDACB1、可得0<a2－1<1，解得.2、函数定义域为R，且，故函数为奇函数.3、可得2x>0，则有，解得y>0或y<－1.4、通过图像即可判断.5、.6、由，由，综合得x>1或x<－1.7、即为函数的单调减区间，由，可得，又，则函数在上为减函数，故所求区间为.8、函数定义域为R，且，故函数为奇函数，又，函数在R上都为增函数，故函数f(x)在R上为增函数.9、可得.10、①中当x=0时，两式相等，②式也一样，③式当x增大，y减小，故为减函数．11、0＜a＜提示：数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜.12、提示：由得2－3x＞2，所以－3x＞1，．13、(2,2) 提示：当x=2时，y=a0＋1=2．14、(－∞，1]提示：∵y=()x在(－∞，＋∞)上是减函数，而函数y=x2－2x＋2=(x－1)2＋1的递减区间是(－∞，1］，∴原函数的递增区间是(－∞，1］．15、解：由9x－10·3x＋9≤0得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2，令()x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t＋2=4(t－)2＋1.当t=即x=1时，y min=1；当t=1即x=0时，y max=2.16、解法一：设y=5－|x＋1|，则0＜y≤1，问题转化为方程y2－4y－m=0在(0，1］内有实根.设f(y)=y2－4y－m，其对称轴y=2，∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0.解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x＋1|∈(0，1]，∴m=(y－2)2－4∈［－3，0)．17、(1)设，即f(x1)＜f(x2)，所以对于a取任意实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)由f(－x)=－f(x)得，解得a=1，即当a=1时，f(－x)=－f(x)．18、解：（1）定义域为R．．．∴值域为（－1，1）．（2），∴f(x)为奇函数．（3）设，则当a>1时，由，得，，∴当a>1时，f(x)在R上为增函数．同理可判断当0<a<1时，f(x)在R上为减函数．考点三：对数函数例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间．例2、已知函数f(x)=lg(ax2＋2x＋1)（a∈R）.（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.例3、已知的最大值和最小值以及相应的x值. 例4、已知f(x)=log a(a x－1)（a＞0，a≠1）.（1）求f(x)的定义域；（2）讨论f(x)的单调性；（3）求函数y=f(2x)与y=f－1(x)的图象交点的横坐标.例1解：由－x2＋2x＋3＞0 ，得 x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3，定义域为 (－1，3)；又令 g(x)=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，∴当 x∈(－1，3) 时， 0＜g(x)≤4.∴ f(x)≥=－2 ，即函数 f(x) 的值域为[－2，＋∞）；∵ g(x)=－(x－1)2＋4 的对称轴为 x=1.∴当－1＜x≤1 时， g(x) 为增函数，∴为减函数.当 1≤x＜3 时， g(x)为减函数，∴ f(x)为增函数．即 f(x) 在（－1，1] 上为减函数；在 [1，3 ）上为增函数．例2、分析：令g(x)=ax2＋2x＋1，由f(x)的定义域为R，故g(x)＞0对任意x∈R均成立，问题转化为g(x)＞0恒成立，求a的取值范围问题；若f(x)的值域为R，则g(x)的值域为B必满足B（0，＋∞），通过对a的讨论即可．解答：（1）令g(x)=ax2＋2x＋1，因f(x)的定义域为R，∴ g(x)＞0恒成立．∴∴函数f(x)的定义域为R时，有a＞1.（2）因f(x)的值域为R，设g(x)=ax2＋2x＋1的值域为B，则B（0，＋∞）.若a＜0，则B=（－∞，1－]（0，＋∞）；若a=0，则B=R，满足B（0，＋∞）.若a＞0，则△=4－4a≥0，∴ a≤1.综上所述，当f(x)的值域为R时，有0≤a≤1.例3、分析：题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围，而根据对数的运算性质，可将函数化成关于log2x的二次函数，再根据二次函数在闭区间上的最值问题来求解.解答：当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8.∴当x=2时，y有最小值－.当x=8时，y有最大值2.例4、分析：题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，讨论单调性时应注意对底数a进行讨论，而（3）中等价于求方程f(2x)=f－1(x)的解．解答：（1）a x－1＞0得a x＞1.∴当a＞1时，函数f(x)的定义域为（0，＋∞），当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为（－∞，0）.（2）令g(x)=a x－1，则当a＞1时，g(x)=a x－1在（0，＋∞）上是增函数.即对0＜x1＜x2，有0＜g(x1)＜g(x2)，而y=log a x在（0，＋∞）上是增函数，∴ log a g(x1) ＜log a g(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴ f(x)= log a(a x－1)在（0，＋∞）上是增函数；当0＜a＜1时，g(x)=a x－1在(－∞,0)上是减函数.即对x1＜x2＜0，有g(x1)＞g(x2)＞0．而y=log a x在（0，＋∞）上是减函数，∴ log a g(x1) ＜log a g(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴ f(x)=log a(a x－1)在（－∞，0）上是增函数.综上所述，f(x)在定义域上是增函数．（3）∵ f(2x)= log a(a2x－1)，令y=f(x)= log a(a x－1)，则a x－1=a y，∴ a x=a y＋1，∴ x= log a (a y＋1)(y∈R)．∴ f－1(x)= log a (a x＋1)（x∈R）．由f(2x)=f－1(x)，得log a(a2x－1)= log a(a x＋1)．∴ a2x－1= a x＋1，即(a x)2－a x－2=0.∴ a x=2或a x=－1（舍）．∴ x=log a2.即y=f(2x)与y= f－1(x)的图象交点的横坐标为x=log a2．变式训练：一、选择题1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a－x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．2、将y=2x的图象（），再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x＋1)和图象．A．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位3、函数的定义域是（）A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．（1，2] 4、函数y=lg(x－1)＋3的反函数f－1(x)=（）A．10x＋3＋1B．10x－3－1 C．10x＋3－1D．10x－3＋1 5、函数的递增区间是（）A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，）D．（，＋∞）6、已知f(x)=|log a x|，其中0<a<1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．7、是（）A．奇函数而非偶函数B．偶函数而非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数也非偶函数8、已知0<a<1,b>1，且ab>1，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．9、函数f(x)的图象如图所示，则y=logf(x)的图象示意图为（）A．B．C．D．10、关于x的方程（a＞0，a≠1），则（）A．仅当a＞1时有唯一解B．仅当0＜a＜1时有唯一解C．必有唯一解D．必无解二、填空题11、函数的单调递增区间是___________.12、函数在2≤x≤4范围内的最大值和最小值分别是___________.13、若关于x的方程至少有一个实数根，则a的取值范围是___________.14、已知（a＞0，b＞0），求使f(x)＜0的x的取值范围.15、设函数f(x)=x2－x＋b，已知log2f(a)=2，且f(log2a)=b(a>0且a≠1)，(1)求a，b的值；(2)试在f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)的条件下，求x的取值范围．16、已知函数f(x)=log a(x－3a)（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f(x)图象上的点时，点Q（x－2a，－y）是y=g(x)图象上的点.（1）写出y=g(x)的解析式；（2）若当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试求a的取值范围.答案及提示：1-10 DDDDA BBBCC1、当a>1时，y=log a x是单调递增函数，是单调递减函数，对照图象可知D正确. ∴应选D.2、解法1：与函数y=log2(x＋1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x－1的图象，为了得到它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位.解法2：在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2(x＋1)的图象，直接观察，即可得D.3、由≥0，得 0<x－1≤1，∴ 1<x≤2.5、应注意定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞），答案选A.6、不妨取，可得选项B正确．7、由f(－x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为B.8、由ab>1，知，故且，故答案选B. 10、当a＞1时，0＜＜1，当0＜a＜1时，＞1，作出y=a x与y=的图象知，两图象必有一个交点.11、答案：（－∞，－6）提示： x2＋4x－12＞0 ，则 x＞2 或 x＜－6.当 x＜－6 时， g(x)=x2＋4x－12 是减函数，∴在（－∞，－6）上是增函数 .12、答案：11，7 ：∵ 2≤x≤4，∴.则函数，∴当时，y最大为11；当时，y最小为7.13、答案：（－∞，] 提示：原方程等价于由③得. ∴当x＞0时，9a≤，即a≤.又∵ x≠3，∴ a≠2，但a=2时，有x=6或x=3（舍）.∴ a≤.14、解：要使f(x)＜0，即.当a＞b＞0时，有x＞；当a=b＞0时，有x∈R；当0＜a＜b时，有x＜.15、解：(1)∵f(log2a)=b,f(x)=x2－x＋b,∴(log2a)2－log2a＋b=b，解得a=1(舍去)，a=2，又log2f(a)=2，∴log2(a2－a＋b)=2，将a=2代入，有log2(2＋b)=2, ∴b=2；(2)由log2f(x)<f(1)得log2(x2－x＋2)<2,∴x2－x－2<0，解得－1<x<2，由f(log2x)>f(1)得(log2x)2－log2x＋2>0，解得0<x<1或x>2，∴x∈(0，1)．16、解：（1）设Q（x′，y′），则，∵点P（x，y）在y=f(x)的图象上，∴．（2）当x∈[a＋2，a＋3]时，有x－3a＞0且＞0成立.而x－3a≥a＋2－3a=2－2a＞0，∴ 0＜a＜1，且恒成立.∴ 0＜a＜1.由 |f(x)－g(x)|≤1，即∴ r(x)=x2－4ax＋3a2在[a＋2，a＋3]上是增函数.∴ h(x)=log a(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上是减函数. ∴当x=a＋2时，h(x)max=h(a＋2)=log a(4－4a)，当x=a＋3时，h(x)min=h(a＋3)=log a(9－6a).。

高中数学《幂函数》针对练习及答案

第二章函数2.6.2 幂函数（针对练习）针对练习针对练习一幂函数的概念1．给出下列函数：①31y x=；①32y x =-；①42y x x =+；①y =①()21y x =-；①0.3x y =，其中是幂函数的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．下列函数中，值域是R 的幂函数是（） A ．13y x = B ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．23y x =D ．23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭3．下列函数是幂函数的是（） A ．3y x =- B ．3y x -=C ．32y x = D ．32y x =-4．已知幂函数y = f (x )的图像过(36， 6)，则此幂函数的解析式是（） A ．13y x = B ．3y x =C ．12y x =D ．2y x5．已知幂函数(1)y k x α=-的图象过点()2,4，则k α+等于（） A ．32B ．3C ．12D ．4针对练习二幂函数的图像6．下列四个图像中，函数34y x =的图像是（）A ．B ．C ．D ．7．如图是幂函数y x α=的部分图象，已知α取12，2，2-，12-这四个值，则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α依次为（）A ．2，12，12-，2- B ．2-，12-，12，2 C ．12-，2，2-，12 D ．2，12，2-，12-8．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．y =9．若幂函数()m nf x x = (m ，n ①N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（）A ．m ，n 是奇数，且m n<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n>1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>110．下列结论中，正确的是（） A ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1，3，12时，幂函数y ＝xα是增函数 D ．当α＝－1时，幂函数y ＝xα在其整个定义域上是减函数针对练习三幂函数的定义域11．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域A ．()0,∞+B ．()1,-+∞C ．()0,1D ．()()0,11,+∞12．幂函数32y x -=的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)①(0，＋∞)13．下列幂函数中，定义域为R 的幂函数是（） A ．34y x = B ．12y x -= C ．6y x -= D ．25y x =14．若幂函数()f x 的图象经过点⎛⎝⎭，则()f x 的定义域为（）A ．2,2⎛⎝⎭B ．()(),00,-∞+∞C ．[)0,+∞D ．(0,+∞)15．下列函数中，与幂函数12y x -=有相同定义域的是（） A ．2log y x =； B ．1y x=C ．y x =；D ．2x y =．针对练习四幂函数的值域16．幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（） A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭17．下列函数中，值域为[0,)+∞的是（） A ．2x y = B ．12y x =C ．ln y x =D ．3y x =18．下列函数中，定义域、值域相同的函数是（） A ．2x y =B ．ln y x =C ．4y x -=D ．12y x -=19．当α①11,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭时，函数a y x =的值域为R 的α值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．以下函数12y x =，2y x ，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（）个A ．1B ．2C ．3D ．4针对练习五幂函数的单调性21．下列函数中是减函数的为（）A ．()2f x x =-B ．()3f x x = C．()32⎛⎫= ⎪⎝⎭xf xD ．()=f x22．在区间()0,1上单调递减的函数是（）A ．3y x =B ．y =C ．1y x =-D ．ln y x =23．已知幂函数()2()5f x x ααα=--在(0,)+∞内单调递增，则α的值为（）A ．3B ．12C ．3或12D ．-224．若幂函数223()m m f x x +=在(0,)+∞上是减函数，则实数m 值可以是下列的（） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-25．幂函数()()223169m m f x m m x -+=-+在0,上单调递增，则m 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．2或4针对练习六幂函数的奇偶性26．下列幂函数中，其图像关于y 轴对称且过点()0,0、()1,1的是（） A ．12y x =；B ．4y x =；C ．2y x ；D ．13y x =．27．设10,,2,32α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，则使幂函数()f x x α=的定义域为R ，且为偶函数的α的值是（） A ．0 B ．12 C ．2 D ．328．下列命题中，不正确的是（） A ．幂函数y =x -1是奇函数 B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数29．使幂函数y x α=为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数的α值为（） A ．1- B ．23-C ．12-D ．230．下列幂函数中，定义域为R 且为偶函数是（） A ．2yxB ．y x =C ．13y x =D ．23y x =针对练习七比较大小与解不等式31．已知 1.13.3a =， 1.14b =，0.93c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<32．已知0.2log 2a =，0.32b =，0.30.2c =，则（） A ．a c b << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<33．已知幂函数12f x x （）=，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（） A ．[－1，3] B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[－1，0）D ．21,3⎛⎤- ⎥⎝⎦34．“()()112212a a +<-”是“122a -<<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件35．已知幂函数()12f x x -=，若()()1102f a f a +<-，则a 的取值范围为（）A ．()3,5-B ．()5,3-C ．()5,3--D ．()3,5第二章函数2.6.2 幂函数（针对练习）针对练习针对练习一幂函数的概念1．给出下列函数：①31y x=；①32y x =-；①42y x x =+；①y =①()21y x =-；①0.3x y =，其中是幂函数的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】由幂函数的定义即可判断. 【详解】由幂函数的定义：形如y x α=（α为常数）的函数为幂函数，则可知①331y x x -==和①53y x =是幂函数. 故选；B.2．下列函数中，值域是R 的幂函数是（） A ．13y x = B ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．23y x =D ．23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据幂函数的定义与性质，对选项中的函数进行分析、判断即可．【详解】由题意可得选项B 、D 的函数为指数函数，故排除B 、D ；对于A ：函数13y x ==R ，所以值域为R ，满足条件；对于C ：函数23y x ==R ，在第一象限内单调递增，又20x ≥，所以值域为[)0+∞，，不满足条件；故选：A3．下列函数是幂函数的是（） A ．3y x =- B ．3y x -= C ．32y x = D ．32y x =-【答案】B 【解析】根据幂函数的概念判断各选项中的函数是否为幂函数，由此可得出合适的选项. 【详解】形如a y x =（a 为常数且a R ∈）为幂函数，所以，函数3y x -=为幂函数，函数3y x =-、32y x =、32y x =-均不是幂函数，故选：B.4．已知幂函数y = f (x )的图像过(36， 6)，则此幂函数的解析式是（） A ．13y x = B ．3y x =C ．12y x =D ．2y x【答案】C 【解析】设()a f x x ，代入已知点坐标求解即得．【详解】由题意设()a f x x ，①366a =，12a =，①12()f x x =．故选：C ．5．已知幂函数(1)y k x α=-的图象过点()2,4，则k α+等于（） A ．32B ．3C ．12D ．4【解析】【分析】根据幂函数解析式的特点可得k 的值，再将点()2,4代入解析式可得α的值，进而可得k α+的值. 【详解】因为(1)y k x α=-是幂函数，所以11k -=可得：2k =，因为y x α=的图象过点()2,4，所以42α=，解得：2α=，所以4k α+=，故选：D.针对练习二幂函数的图像6．下列四个图像中，函数34y x =的图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】首先判断函数的定义域，再根据幂函数的性质判断即可；解：因为34y x =，即34y x ==30x ≥，解得0x ≥，即函数的定义域为[)0,+∞，故排除A 、C 、D ，且函数在定义域上单调递增，故B 正确；故选：B7．如图是幂函数y x α=的部分图象，已知α取12，2，2-，12-这四个值，则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α依次为（）A ．2，12，12-，2- B ．2-，12-，12，2 C ．12-，2，2-，12 D ．2，12，2-，12-【答案】A 【解析】【分析】由幂函数的图象性质进行判定. 【详解】因为在直线1x =右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上，所以曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α依次为2，12，12-，2-. 故选：A.8．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．y =【答案】C 【解析】【分析】根据常见幂函数的图像即可得出答案. 【详解】解：由图知：①表示y =①表示y x =，①表示2y x ，①表示3y x =.故选：C.9．若幂函数()m nf x x = (m ，n ①N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（）A ．m ，n 是奇数，且m n<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n>1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1 【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的图像和性质利用排除法求解【详解】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ；当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ；故选：C.10．下列结论中，正确的是（） A ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1，3，12时，幂函数y ＝xα是增函数 D ．当α＝－1时，幂函数y ＝xα在其整个定义域上是减函数【答案】C 【解析】【分析】对于AD ，举例判断，对于BC ，由幂函数的性质判断即可【详解】当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝xα(α①R )>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 当α>0时，y ＝xα是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误．故选：C.针对练习三幂函数的定义域11．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域A ．()0,∞+B ．()1,-+∞C ．()0,1D ．()()0,11,+∞【答案】A 【解析】解不等式010xx x ⎧>⎪+⎨⎪≥⎩即得函数的定义域. 【详解】由题得010,0100xx x x x x x ⎧><->⎧⎪∴∴>+⎨⎨≥⎩⎪≥⎩或所以函数的定义域为()0,∞+. 故选A 【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．幂函数32y x -=的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)①(0，＋∞)【答案】A 【解析】【详解】333221y xx -⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 所以10x≥，解得0x >，即定义域为()0,∞+，故选A ． 13．下列幂函数中，定义域为R 的幂函数是（） A ．34y x = B ．12y x -= C ．6y x -= D ．25y x =【答案】D 【解析】【分析】利用分数指数式与根式的互化，结合具体函数的定义域的求法逐项分析即可求出结果. 【详解】A 34y x =30x ≥，即0x ≥，所以函数34y x =的定义域为[)0,+∞，故A不符合题意； B 12-==y x0x >，所以函数12y x -=的定义域为()0,∞+，故B 不符合题意； C 661xy x -==，则需要满足0x ≠，所以函数6y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故C 不符合题意；D 25y x ==25y x =的定义域为R ，故D 正确；故选：D.14．若幂函数()f x 的图象经过点⎛⎝⎭，则()f x 的定义域为（）A ．⎛⎝⎭B ．()(),00,-∞+∞C ．[)0,+∞D ．0,【答案】D 【解析】求出幂函数的解析式，()12f x x-==. 【详解】设()f x x α=，已知()f x 的图象经过点2⎛ ⎝⎭1222α-==，12α∴=-，()12f x x -∴==其定义域为0,.故选：D. 【点睛】此题考查幂函数的概念，根据概念求解析式，再求函数定义域，需要注意定义域写成集合或区间形式.15．下列函数中，与幂函数12y x -=有相同定义域的是（）A ．2log y x =；B ．1y x=；C ．y x =；D ．2x y =．【答案】A【解析】【分析】由题知幂函数12-==y x()0,∞+，再依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：幂函数12-==y x()0,∞+，对于A 选项，2log y x =定义域为()0,∞+，故正确；对于B 选项，1y x=定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故错误；对于C 选项，y x =定义域为R ，故错误；对于D 选项，2x y =定义域为R ，故错误；故选：A针对练习四幂函数的值域16．幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（） A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案. 【详解】当1a =-时，1y x -=定义域和值域均为()(),00,∞-+∞，符合题意；0a =时，0y x =定义域为()(),00,∞-+∞，值域为{}1，故不合题意；12a =时，y =[)0,∞+，值域为[)0,∞+，符合题意； 1a =时，y x =定义域与值域均为R ，符合题意；2a =时，2yx 定义域为R ，值域为[)0,∞+，不符合题意；3a =时，3y x =定义域与值域均为R ，符合题意.故选：C17．下列函数中，值域为[0,)+∞的是（） A ．2xy =B ．12y x =C ．ln y x =D ．3y x =【答案】B 【解析】【分析】由题意利用基本初等函数的定义域和值域，得出结论. 【详解】解：由于2x y =的定义域为R ，值域为(0,)+∞，故A 不满足条件；由于12y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞，故B 满足条件；由于ln y x =的定义域为(0,)+∞，值域为R ，故C 不满足条件；由于3y x =的定义域为R ，值域为R ，故D 不满足条件，故选：B.18．下列函数中，定义域、值域相同的函数是（） A ．2x y = B ．ln y x = C ．4y x -=D ．12y x -=【答案】D 【解析】分别确定函数的定义域与值域．可得正确选项．【详解】2x y =的定义域是R ，值域是(0,)+∞，ln y x =的定义域是(0,)+∞，值域是R ， 4y x -=的定义域是{|0}x x ≠，值域是(0,)+∞，12y x -=的定义域是{|0}x x >，值域是(0,)+∞，D 中函数的定义域、值域相同．故选：D ．19．当α①11,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭时，函数y ＝xα的值域为R 的α值有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的性质可得. 【详解】解：11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，y x α=1y x -∴=的值域为()(),00,-∞⋃+∞；12y x =的值域为[)0,+∞； y x =的值域为R ；2yx 的值域为[)0,+∞；3y x =的值域为R ；所以使函数y x α=满足值域为R 的α有2个；故选：B 【点睛】本题考查幂函数的性质，属于基础题. 20．以下函数12y x =，2y x ，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据四个函数的定义域结合函数的解析式，分别求出四个幂函数的值域即可得答案．【详解】函数12y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞；函数2yx 的定义域为R ，值域为[0,)+∞；函数23y x ==20x ≥，∴函数值域为[0,)+∞；函数331y x x -==，值域为(,0)(0,)-∞+∞． ∴值域为[0,)+∞的函数共3个．故选C. 【点睛】本题考查对幂函数简单性质的考查，即函数的三要素，考查基本运算求解能力.针对练习五幂函数的单调性21．下列函数中是减函数的为（）A ．()2f x x =-B ．()3f x x =C ．()32⎛⎫= ⎪⎝⎭xf xD ．()=f x 【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数、正比例函数、指数函数、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A ：因为函数()2f x x =-在(,0)-∞上单调递增，所以该函数不是减函数，不符合题意；B ：因为函数()3f x x =是增函数，所以不符合题意；C ：因为函数()32⎛⎫= ⎪⎝⎭xf x 是增函数，所以不符合题意；D ：因为函数()=f x故选：D22．在区间()0,1上单调递减的函数是（）A ．3y x =B ．y =C ．1y x =-D ．ln y x =【答案】C 【解析】【分析】依次判断四个选项的单调性即可. 【详解】A 选项：增函数，错误；B 选项：增函数，错误；C 选项：当01x <<时，1y x =-+，为减函数，正确；D 选项：增函数，错误. 故选：C.23．已知幂函数()2()5f x x ααα=--在(0,)+∞内单调递增，则α的值为（）A ．3B ．12C ．3或12D ．-2【答案】A【解析】【分析】由幂函数的定义及幂函数的图象与性质即可求解. 【详解】解：因为幂函数()2()5f x x ααα=--在(0,)+∞内单调递增，所以2510ααα⎧--=⎨>⎩，解得3α=，故选：A.24．若幂函数223()m m f x x +=在(0,)+∞上是减函数，则实数m 值可以是下列的（） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：因为幂函数223()m m f x x +=在(0,)+∞上是减函数，所以2230m m +<，解得302m -<<. 故选：C.25．幂函数()()223169m m f x m m x -+=-+在0,上单调递增，则m 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．2或4【答案】C 【解析】【分析】利用幂函数的定义和性质求解即可【详解】2691m m -+=且2310m m -+>解得4m = 故选：C针对练习六幂函数的奇偶性26．下列幂函数中，其图像关于y 轴对称且过点()0,0、()1,1的是（） A ．12y x =； B ．4y x =； C ．2y x ；D ．13y x =．【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的性质，逐项判断，即可得到结果. 【详解】由于函数12y x =的定义域为[)0,∞+，所以函数12y x =图像不关于y 轴对，故A 错误；由于函数4()y f x x ==的定义域为(),-∞+∞，且()4()()f x x f x =-=-，所以函数4y x =关于y 轴对称，且经过了点()0,0、()1,1，故B 正确；由于2yx 的定义域为()(),00,∞-+∞，所以函数2yx 不过点()0,0，故C 错误；由于13()y f x x ==的定义域为(),-∞+∞，且1133()()f x xxf x ，所以13y x =图像关于原点中心对称，故D 错误. 故选：B.27．设10,,2,32α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，则使幂函数()f x x α=的定义域为R ，且为偶函数的α的值是（） A ．0 B ．12 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】【分析】分别对0α=，12，2，3时的幂函数分析判断即可【详解】当0α=时，()0f x x =，其定义域为{}0x x ≠，所以不合题意，当12α=时， ()12f x x =，其定义域为{}0x x ≥，所以不合题意，当2α=时，2()f x x =，其定义域为R ，且为偶函数，所以符合题意，当3α=时，3()f x x =，其定义域为R ，而此函数为奇函数，所以不合题意，故选：C28．下列命题中，不正确的是（） A ．幂函数y =x -1是奇函数 B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义依次判断即可. 【详解】因为11x x-=，11=--x x，所以A 正确；因为22()x x -=，所以B 正确；因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查奇偶函数的定义，属于简单题.29．使幂函数y x α=为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数的α值为（） A ．1- B ．23-C ．12-D ．2【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的性质确定正确选项. 【详解】A 选项，1y x=是奇函数，不符合题意. B 选项，y =(0,)+∞上是减函数，符合题意.C 选项，y=.D 选项，2y x ，在()0,∞+上递增，不符合题意.故选：B30．下列幂函数中，定义域为R 且为偶函数是（） A ．2yxB ．y x =C ．13y x =D ．23y x =【答案】D 【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数的定义域，并根据偶函数定义()()f x f x =-，来判断函数是否满足，一一判断即可. 【详解】对于A ，函数2yx 的定义域为{}|0x x ≠，不符合题意，故A 错误；对于B ，函数y x =为奇函数，不符合，故B 错误；对于C ，函数13y x =为奇函数，不符合，故C 错误；对于D ，函数23y x =的定义域为R ，满足偶函数定义()()f x f x =-，故D 正确. 故选：D.针对练习七比较大小与解不等式31．已知 1.13.3a =， 1.14b =，0.93c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b <>即a c >，因为 1.1y x =在()0,∞+上为增函数，故 1.1 1.13.34<即a b <，故c a b <<，故选：A ．32．已知0.2log 2a =，0.32b =，0.30.2c =，则（） A ．a c b <=，1b ∴>，0.300.21<<，01c ∴<<，所以a c b << 故选: A .33．已知幂函数12f x x （）=，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（） A ．[－1，3] B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[－1，0）D ．21,3⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】由题得函数()f x 在定义域[0,)+∞单调递增，解不等式组10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩即得解.【详解】因为幂函数12f x x （）=，所以函数在定义域[0,)+∞单调递增，因为()()132f a f a +<-，所以10320,132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩解之得213a -≤<. 故选：B 【点睛】本题主要考查幂函数的单调性及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 34．“()()112212a a +<-”是“122a -<<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的单调性求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：因为12y x =是定义在[)0,∞+上的增函数，又()()112212a a +<-，所以102012a a a a+≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解得112a -≤<，因为由112a -≤<可推出122a -<<，而由122a -<<无法推出112a -≤<，故“()()112212a a +<-”是“122a -<<”的充分不必要条件. 故选：A.35．已知幂函数()12f x x -=，若()()1102f a f a +<-，则a 的取值范围为（） A ．()3,5- B ．()5,3- C ．()5,3-- D ．()3,5【答案】D 【解析】【分析】根据幂函数()12f x x -=的单调性与定义域可解不等式()()1102f a f a +<-.【详解】因为幂函数()12f x x -=的定义域为()0,∞+，且()f x 是定义域上的减函数，所以若()()1102f a f a +<-，则10,1020,1102,a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得35a <<.故选：D.。

高中数学《幂函数》题型战法试题及答案

第二章函数2.6.1幂函数（题型战法）知识梳理一幂函数的概念一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数.注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.二幂函数的图像与性质（1）五个常见幂函数的图像：如右图所示（2）五个常见幂函数的性质：函数性质 y ＝x12y x =y ＝x 2 y ＝x 3 1y x -=定义域 R [)0+∞， R R ()(),00,-∞+∞ 值域 R [)0+∞，[)0+∞，R ()(),00,-∞+∞奇偶性奇非奇非偶偶奇奇单调性 R 上增[)0+∞，上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增R 上增(－∞，0)上减 (0，＋∞)上减公共点（1）所有的幂函数在区间()0+∞，上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点()1,1.（2）如果0α>，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是增函数（3）如果0α<，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是减函数题型战法题型战法一幂函数的概念典例1．下列函数是幂函数的是（）A ．2y x =B ．21y x =-C ．3y x =D ．2x y =变式1-1．下列函数是幂函数的是（） A ．22y x = B ．1y x -=- C ．31y x = D ．2x y =变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f -的值为（） A ．8 B ．8- C ．4 D ．4-变式1-3．已知幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（）A ．1B ．2C ．-2D ．1或2变式1-4．已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点1(2，则k α+等于（） A ．12 B ．1 C ．32D ．2题型战法二幂函数的图像典例2．函数y =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．变式2-1．已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（）A ．B ．C ．D ．变式2-2．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．58y x =变式2-3．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3变式2-4．已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ①()f x 和()g x 图象都过点(1,1)-；①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ； ①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（） A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①题型战法三幂函数的定义域典例3．下列幂函数中，定义域为R 的是（） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x =变式3-1．若()342x --有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．(),2-∞变式3-2．函数()()()102121f x x x -=-+-的定义域是（） A ．(],1-∞ B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭变式3-3．5个幂函数：①2y x ；①45y x =；①54y x =；①23y x =；①45y x -=.其中定义域为R 的是（） A ．只有①① B ．只有①① C ．只有①① D ．只有①①变式3-4．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭题型战法四幂函数的值域典例4．函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A ．14B ．14-C ．4D ．4-变式4-1．在下列函数中，定义域和值域不同的是（） A ．13y x = B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =变式4-2．幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（） A ．(),-∞+∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭变式4-3．已知函数f (x )={3x −2,x ⩽1,x 12,1<x ⩽4,则函数()f x 值域是（）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-变式4-4．已知幂函数()f x x α=1(2,)2，则函数()f x 的值域为 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞题型战法五幂函数的单调性典例5．下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（）A ．y =B ．1y x=C ．2y xD ．y x =变式5-1．已知函数()122()43f x x x =-+的增区间为（）A ．(3,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,1)-∞变式5-2．已知函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[)7,2--B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--变式5-3．已知幂函数()()22244m m f x m m x -=-+在()0,∞+上是增函数，则实数m 的值为（） A ．1或3- B ．3 C ．1- D ．1-或3变式5-4．已知幂函数()()282mf x m m x =-在()0,∞+上为增函数，则()4f =（）A ．2B ．4C ．6D ．8题型战法六幂函数的奇偶性典例6．下列函数是奇函数的为（） A ．2x y =B ．1y x -=C ．12log y x= D ．2yx变式6-1．下列函数中，值域是[)0,∞+且为偶函数的是（） A ．2y xB ．e e x x y -=+C ．lg y x =D ．23y x =变式6-2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（） A ．tan y x = B ．2log y x = C ．2y x= D ．3y x =变式6-3．设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（） A ．2 B ．1，2 C ．12，2D ．12，1，2变式6-4．已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．1或2题型战法七比较大小与解不等式典例7．设0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c -===，则a ，b ，c 大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>变式7-1．0.20.21210.5,log ,0.43a b c ===，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>变式7-2．设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c<< D ．b a c <<变式7-3．已知1122(52)(1)m m -<-，则m 的取值范围是（） A ．(2,+∞) B ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．(),2-∞ D ．[)1,2变式7-4．若1122(1)(32)a a +<-，则实数a 的取值范围是（） A ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦第二章函数2.6.1幂函数（题型战法）知识梳理一幂函数的概念一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数.注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.二幂函数的图像与性质（1）五个常见幂函数的图像：如右图所示（2）五个常见幂函数的性质：()0,+∞()0,+∞0)上减∞)上减题型战法题型战法一幂函数的概念典例1．下列函数是幂函数的是（）A．2=B．21y x=-y xC．3y=y x=D．2x【答案】C【解析】【分析】由幂函数定义可直接得到结果.【详解】形如y xα=为幂函数.y x=的函数为幂函数，则3故选：C.变式1-1．下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．1y x -=-C ．31y x =D ．2x y =【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的定义判断. 【详解】形如y x α=（α为常数且R α∈）为幂函数，所以，函数331=xy x -=为幂函数，函数22y x =、1y x -=-、2x y =均不是幂函数. 故选：C.变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f -的值为（） A ．8 B ．8- C ．4 D ．4-【答案】B 【解析】【分析】设()af x x =，由已知条件求出a 的值，可得出函数()f x 的解析式，由此可求得()2f -的值. 【详解】设()a f x x =，由()228a f ==，可得3a =，则()3f x x =，因此，()()3228f -=-=-.故选：B.变式1-3．已知幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（）A ．1B ．2C ．-2D ．1或2【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可知系数为1，指数应小于0，由此列出不等式组，解得答案. 【详解】由题意可知：2233120m m m m ⎧-+=⎨--<⎩，解得1m = ,经经验，符合题意，故选：A.变式1-4．已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点1(2，则k α+等于（） A ．12 B ．1 C ．32D ．2【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可. 【详解】因为()f x 是幂函数，所以1k =，又因为函数()f x 的图象过点1(2，所以1211()2222ααα-=⇒=⇒=-，因此12k α+=，故选：A题型战法二幂函数的图像典例2．函数y = ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象. 【详解】由0y ≥，排除B 、D ，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C. 故选：A.变式2-1．已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】设出函数的解析式，根据幂函数()y f x =的图象过点(9,3)，构造方程求出指数的值，【详解】设幂函数的解析式为()f x x α=， ①幂函数()y f x =的图象过点(9,3)， ①39α=，解得12α=①()y f x ==[0,)+∞，且是增函数，当01x <<时，其图象在直线y x =的上方．对照选项可知C 满足题意．故选:C ．变式2-2．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．58y x =【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案. 【详解】根据函数图象可得：①对应的幂函数y x α=在[)0,∞+上单调递增，且增长速度越来越慢，故()0,1α∈，故D 选项符合要求. 故选：D变式2-3．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3【答案】D 【解析】【分析】根据幂函数y x α=在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数α的可能取值．【详解】由幂函数y x α=在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得：图中C 1对应的0α<，C 2对应的01α<<，C 3对应的1α>，结合选项知，指数α的值依次可以是11,,32-．故选：D.变式2-4．已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ①()f x 和()g x 图象都过点(1,1)-；①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ； ①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（） A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①【答案】A 【解析】【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可【详解】幂函数的图象过定点(1,1)，①正确，在区间[1,)+∞上，α越大y x α=增长速度更快，①正确，故选：A.题型战法三幂函数的定义域典例3．下列幂函数中，定义域为R 的是（） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x =【答案】C 【解析】【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0 【详解】对选项A ，则有：0x ≠对选项B ，则有：0x > 对选项C ，定义域为：R 对选项D ，则有：0x ≥故答案选：C变式3-1．若()342x --有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．(),2-∞【答案】C 【解析】【分析】将分式指数幂化为根式，结合根式的性质可得出关于实数x 的不等式，即可解得实数x 的取值范围. 【详解】由负分数指数幂的意义可知，()342x --=所以20x ->，即2x >，因此x 的取值范围是()2,+∞．故选：C.变式3-2．函数()())10211f x x x -=-+-的定义域是（） A ．(],1-∞ B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域. 【详解】因为()()()()100212121f x x x x -=-+-=-，则有10210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x <且12x ≠，因此()f x 的定义域是11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B.变式3-3．5个幂函数：①2y x ；①45y x =；①54y x =；①23y x =；①45y x -=.其中定义域为R 的是（） A ．只有①① B ．只有①① C ．只有①① D ．只有①①【答案】C 【解析】【分析】分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可. 【详解】 ①2yx 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，①45y x =的定义域为R ， ①54y x =的定义域为(0,)+∞， ①23y x =的定义域为R ，①45y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故选：C . 【点睛】本题考查幂函数的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.变式3-4．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先求出()43f x -=，根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】幂函数()12f x x-==， ()43y f x =-=所以430x ->，所以34x >，所以函数()43y f x =-的定义域是3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考函数的定义域、不等式的解法，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.题型战法四幂函数的值域典例4．函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A ．14B ．14-C ．4D ．4-【答案】A 【解析】【分析】由于函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，从而可求出其最小值【详解】 ①函数2yx 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，①2min 124y -==，故选：A. 【点睛】此题考查由函数的单调性求最值，属于基础题变式4-1．在下列函数中，定义域和值域不同的是（） A ．13y x = B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =【答案】D 【解析】【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由13y x ==x ∈R ,y R ∈，定义域、值域相同；由12y x ==[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞，定义域、值域相同；由53y x ==x ∈R ,，定义域、值域相同y R ∈；由23y x ==x ∈R ，[0,)y ∈+∞，定义域、值域不相同. 故选：D变式4-2．幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（） A ．(),-∞+∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】设()af x x =，带点计算可得()12f x x =，得到12y x x =-，令12t x =转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设()af x x =，代入点(得2a =12a ∴=， ()12f x x ∴=则12y x x =-，令12t x =，0t ≥22111244t t t y ⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭∴=-函数()y x f x =-的值域是1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：C.变式4-3．已知函数f (x )={3x −2,x ⩽1,x 12,1<x ⩽4,则函数()f x 值域是（）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-【答案】B 【解析】【分析】结合分段函数的单调性来求得()f x 的值域. 【详解】当1x 吋，32x y =-单调递增，值域为(]2,1-；当14x <时，12y x =单调递增，值域为(]1,2，故函数值域为(]2,2-. 故选：B变式4-4．已知幂函数()f x x α=的图象过点1(2,)2，则函数()f x 的值域为 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,0)(0,)-∞⋃+∞ D ．(,)-∞+∞【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()f x x α=的图象过点1(2,)2()11212a a f x x -∴=∴=-∴=，值域为(,0)(0,)-∞⋃+∞考点：幂函数值域题型战法五幂函数的单调性典例5．下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（）A ．y =B ．1y x=C ．2y xD ．y x =【答案】B 【解析】【分析】依据幂函数的性质去判断各选项的单调性即可解决. 【详解】选项A ：由12>可得12y x ==(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除；选项B ：由10-<可得11y x x-==在(0,)+∞上单调递减.符合要求，可选；选项C ：由20>可得2y x 在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除；选项D ：由10>可得y x =在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除. 故选：B变式5-1．已知函数()122()43f x x x =-+的增区间为（） A ．(3,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,1)-∞【答案】A 【解析】先求得函数的定义域，再令243t x x =-+，结合12y t =的单调性，利用复合函数的单调性求解. 【详解】由2430x x -+≥，解得3x ≥或1x ≤，因为243t x x =-+在(,1]-∞递减，在[3,)+∞递增，又因为12y t =在[0,)+∞递增，所以()f x 增区间为(3,)+∞ 故选：A变式5-2．已知函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．[)7,2-- B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--【答案】A 【解析】【分析】由分段函数()f x 是减函数及幂函数的单调性，可得()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，所以()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解得72a -≤<-，所以实数a 的取值范围是[)7,2--，故选：A.变式5-3．已知幂函数()()22244m m f x m m x -=-+在()0,∞+上是增函数，则实数m 的值为（） A ．1或3- B ．3 C ．1- D ．1-或3【答案】B 【解析】【分析】由函数是幂函数，解得3m =或1m =，再代入原函数，由函数在()0,∞+上是增函数确定最后的m 值. 【详解】①函数是幂函数，则2441m m -+=，①3m =或1m =.当3m =时()3f x x =在()0,∞+上是增函数，符合题意；当1m =时()1f x x -=在()0,∞+上是减函数，不合题意.故选：B.变式5-4．已知幂函数()()282mf x m m x =-在()0,∞+上为增函数，则()4f =（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】【分析】由于幂函数在在()0,∞+上为增函数，所以可得282100m m m ⎧--=⎨>⎩，求出m 的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求得答案【详解】由题意得282100m m m ⎧--=⎨>⎩，得12m =，则()12f x x =，()42f =．故选：A题型战法六幂函数的奇偶性典例6．下列函数是奇函数的为（）A ．2x y =B ．1y x -=C ．12log y x =D ．2y x【答案】B【解析】【分析】奇函数应该满足()()f x f x =--，且定义域关于原点对称，对选项一一判断即可．【详解】奇函数应该满足()()f x f x =--，22x x -≠-，12log y x=的定义域为()0,∞+显然A,C,不成立，当0x ≠时，有()11x x --=--，所以1y x -=为奇函数，由()22x x -=可知，2y x 为偶函数. 故选：B ．变式6-1．下列函数中，值域是[)0,∞+且为偶函数的是（）A ．2y xB ．e e x x y -=+C ．lg y x =D ．23y x = 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和值域确定正确选项.【详解】2y x 的值域为()0,∞+，不符合题意，A 选项错误.e e 2x x y -=≥+，当0x =时等号成立，不符合题意，B 选项错误. lg y x =的定义域为()0,∞+，是非奇非偶函数，不符合题意，C 选项错误. 令()23f x x =，其定义域为R ，()()()2233f x x x f x =-=-=，所以()f x 是偶函数，且230x ≥，即()f x 的值域为[)0,∞+，符合题意，D 选项正确.故选：D变式6-2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（） A ．tan y x =B ．2log y x =C ．2y x =D ．3y x = 【答案】D【解析】【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A ，tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，而233ππ>，但2tan tan 33ππ==，故tan y x =在定义域上不是增函数，故A 错误.对于B ，2log y x =的定义域为()0,+∞，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数，故B 错误.对于C ，因为21>时，2221<，故2y x=在定义域上不是增函数，故C 错误. 对于D ，因为3y x =为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R ，且为增函数，而()33-=-x x ，故3y x =为奇函数，符合.故选：D.变式6-3．设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（）A ．2B ．1，2C ．12，2D ．12，1，2 【答案】A【解析】【分析】把1,1,22α=分别代入验证即可.【详解】当12α=时，y x α==[)0,∞+，故12α≠；当1α=时，y x x α==，定义域为R ，但是为奇函数，故1α≠；当2α=时，2y x x α==，定义域为R ，为偶函数，故2α=.故选：A变式6-4．已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（） A ．3B ．2C ．1D ．1或2【答案】C【解析】【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．【详解】幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，2331a a ∴-+=，且1a +为偶数，则实数1a =，故选：C题型战法七比较大小与解不等式典例7．设0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c -===，则a ，b ，c 大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得a ，b ，c 的范围即可得答案．【详解】200. 1.211.2a >==， 1.200.90.91b =<=， b a ∴<，又0.2y x =在(0,)+∞上单调递增，0.20.20.2101 1.20.3()3a -∴<=<=，b ac ∴<<，变式7-1．0.20.21210.5,log ,0.43a b c ===，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】C【解析】【分析】利用幂函数的单调性判断a b >，再利用对数函数的单调性、对数的换底公式即可求解．【详解】幂函数0.2y x =在(0,)+∞上单调递增， 00.20.20.50.50.4∴>>，1a c ∴>>， 1221log log 313b ==>， b ac ∴>>，故选：C ．变式7-2．设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c << 【答案】B【解析】【分析】根据函数单调性和中间值比较函数值大小.【详解】因为12y x =在[)0,∞+上单调递增，0.70.8<，所以121200780..b a <=<=，而331log log 102c =<=，故c a b <<. 故选：B变式7-3．已知1122(52)(1)m m -<-，则m 的取值范围是（） A ．(2,+∞)B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),2-∞D ．[)1,2【答案】B由幂函数的性质，可得0521m m ≤-<-，解不等式组可得答案【详解】解：因为1122(52)(1)m m -<-，所以0521m m ≤-<-，解得522m <≤，故选：B变式7-4．若1122(1)(32)a a +<-，则实数a 的取值范围是（） A ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】首先利用幂函数的单调性得到10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，再解不等式组即可. 【详解】因为1122(1)(32)a a +<-，所以10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪<-⎩，解得213a -≤<. 故选：B。

高考数学专题《幂函数》习题含答案解析

专题3.4 幂函数1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（）A ．幂函数y =x -1是奇函数B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C 【解析】根据奇偶函数的定义依次判断即可.【详解】因为11xx -=，11=--xx ，所以A 正确；因为22()x x -=，所以B 正确；因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确.故选：C.2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=-B ．23y x=-C ．13y x=-D ．3y x -=【答案】B 【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增；C: 13y x=-为奇函数，故排除；D: 3y x -=为奇函数，故排除.故选:B.练基础3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =.因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =.故选D.4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1(42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（）A ．4BC ．2D ．12【答案】A 【解析】依题意得1(2α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.7．（2021·浙江高一期末）幂函数()()22222m f x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果.【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（）A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x =既是二次函数，也是幂函数【答案】D 【解析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x =可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确.【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x =在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x =是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D.9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（）A ．[-1，+∞)B ．[0，+∞)C ．(-∞，+∞)D ．(-∞，0)【答案】B 【解析】根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.【详解】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， )，所以f (3)=3α=123，解得α=12，所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可.【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误.故选：AB1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】D 【解析】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23.∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D.2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f (x )=x m的图象过点(2,4)，且a =m 12，b =(13)m，c =―log m 3，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a >c >bB ．b >c >aC ．a >b >cD ．c >a >b 【答案】C练提升【解析】幂函数f (x )=x m 的图象过点(2,4)，∴2m ＝4，m ＝2；∴a =m 12=2>1，b =(13)m =19∈(0,1)，c =―log m 3＝﹣log 23＜0，∴2＞19＞―log 23，∴a >b >c ．故选：C ．3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】C 【解析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小.【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=，∴13α=，即()13f x x =.由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e<，于是4log 2ln 2<，12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>.故选：C.4．（2021·安徽高三二模（理））函数()nxf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<【答案】A 【解析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1(2x y =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11()()22mn<，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若，则D ．若，则.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A 正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B 不正确.当，即，所以C 正确.当若时，=..=.即成立，所以D 正确.()f x x α=1x >()1f x >120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x x α=2=4α1=2α12()f x x =()f x [0,)+∞()f x [0,)+∞()f x 1x >1>()1f x >120x x <<()()122212(()22f x f x x x f ++-22-122x x +-0<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：ACD.7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数1,0(),0x x e x f x xe x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数解，且幂函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值可能是（）A ．1B ．1eC ．2D ．e【答案】AD 【解析】作出()f x 的图象，根据方程根的个数判断参数a 的取值，再结合函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，即可求解出结果．【详解】当0x ≤时，()x f x xe =，()()1xf x e x '=+，当1x <-时()0f x '<，当10x -<<时()0f x '>所以()x f x xe =在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，最小值为1(1)f e --=-；所以()f x 的图象如图所示，因为()f x a =有且仅有一个实数解，即()y f x =的图象与y a =有且只有一个交点，所以[)1,1,0,a e e ⎧⎫∈+∞-⎨⎬⎩⎭，又因为()a g x x =在()0,∞+上单调递增，所以0a >，所以[){},1a e ∈+∞ .故选：AD8.（2019·上海高考模拟）设α∈12,―1,―2,3，若f (x )=x α为偶函数，则α=______．【答案】―2【解析】由题可知，α=―2时，f (x )=x ―2，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；α=13,12,―1,3时，不满足f(-x)=f(x), ∴α=―2．故答案为：―2．9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x 的增大而减小.（1）求m 值.（2）若满足()()22132mma a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意可知39m -为负偶数，且*N m ∈，即可求得m 值；（2）将所求不等式化为()()22132a a +<-，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<，解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2；因为函数的图象关于y 轴对称，所以39m -为偶数，故1m =.（2）由（1）可知，1m =，所以得()()22132a a +<-，解得4a >或23<a ，即a 的取值范围为()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）01k ≤≤；（3）[][)1,02,-+∞ 【解析】（1）由幂函数的定义2(1)1m -=，再结合单调性即得解.（2）求解()f x ，()g x 的值域，得到集合A ，B ，转化命题p 是q 成立的必要条件为B A ⊆，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，根据二次函数的性质，分类讨论02k ≤和12k ≥两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去；当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.（2）由（1）得：2()f x x =，当[1,2)x ∈时，[)()1,4f x ∈，即[)1,4A =，当[1,2)x ∈时，[)()2,4g x k k ∈--，即[)2,4B k k =--，由命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，显然B ≠∅，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≤⎧⎨≥⎩，所以实数k 的取值范围为：01k ≤≤.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，二次函数的开口向上，对称轴为2k x =，要使|()|F x 在[0,1]上单调递增，如图所示：或即02(0)0k F ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或12(0)0k F ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：10k -≤≤或2k ≥.所以实数k 的取值范围为：[][)1,02,-+∞ 1.（2019·全国高考真题（理））若a >b ，则（）A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，，知A 错，排除A ；因为，知B 错，排除B ；取，满足，，知D 错，排除D ，因为幂函数是增函数，，所以，故选C ．2．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩…若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B．1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(,0)(0,-∞ D．(,0))-∞+∞ 【答案】D 【解析】2,1a b ==a b >ln()0a b -=9333a b =>=1,2a b ==-a b >12a b =<=3y x =a b >33a b >练真题注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.3.（2020·江苏高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-4. (2018·上海卷)已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ .【答案】-1【解析】∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.5.（浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=，解得a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.。

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指数函数对数函数幂函数
考点精要指数函数：
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型．对数函数：
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点．
3．知道对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y=a x 与对数函数y =log a x 互为反函数（a >0，且1a ≠）．幂函数
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数y=x ，y=x 2
，y=x 3
，1
y x
=，1
2y x =的图像，了解它们的变化情况．
基本公式：
1．对数的概念,运算
①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以
a 为底N 的对数，记作,log
b N a =其中a 称对数的底，N 称真数
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；
2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ；
②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；
3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a N a =log 。

③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N
M
a a a
log log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ） ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a 1）1log log =⋅a b b a ；2）b m
n
b a n a m log log =。

热点分析
指数函数与对数函数是高中阶段学习的最重要的基本初等函数，其运算法则、定义域、单调性与图像是考查热点．这两类函数与其他函数简单复合，或以运算法则为模型的抽象函数形式出现成为命题的一个特征．
幂函数是高中数学所学习的基本初等函数之一，考试重点在了解幂函数的概
念，重点掌握五类幂函数，即y=x ，y=x 2
，y=x 3
，1
y x
=及1
2y x =的定义域，值域，
单调性，奇偶性以及函数图像．
知识梳理
两类基本初等函数定义、定义域、值域、单调性、图象及图像通过的特殊点，运算法则性质及其抽象符号表示等如下表：
定义：一般地，形如y=xα()
α∈R的函数称为幂函数，其中α为常数．。