高等数学练习题附答案

第一章 自测题

一、填空题（每小题3分，共18分） 1. ()

3

lim

sin tan ln 12x x x

x →=-+ .

2. 1

x →= .

3.已知212lim 31

x

x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = .

4. 若()2sin 2e 1

,0

,0ax x x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨

⎪=⎩

在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线2

1

()43

x f x x x -=

-+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线()

121e x

y x =-的斜渐近线方程为 .

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”

是数列{}n x 收敛于a 的 .

A. 充分条件但非必要条件

B. 必要条件但非充分条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分也非必要条件

2. 设()2,0

2,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0

,

x x f x x x ⎧<=⎨

-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦ . A. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C. 22,0

2,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D.

22,0

2,0

x x x x ⎧+<⎨

+≥⎩ 3. 下列各式中正确的是 .

A ．01lim 1e x x x +

→⎛⎫-= ⎪⎝⎭

B.01lim 1e x

x x +→⎛⎫

+= ⎪⎝⎭ C.1lim 1e x x x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D. -11lim 1e x

x x -→∞

⎛⎫+= ⎪⎝⎭

4. 设0→x 时，tan e 1x -与n x 是等价无穷小，则正整数n = . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 曲线2

2

1e 1e

x x y --+=

- .

A. 没有渐近线

B. 仅有水平渐近线

C. 仅有铅直渐近线

D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线

6．下列函数在给定区间上无界的是 .

A. 1sin ,(0,1]x x x

∈ B. 1sin ,(0,)x x x

∈+∞

C. 11sin ,(0,1]x x x ∈

D. 1sin ,(0,)x x x

∈+∞ 三、求下列极限（每小题5分，共35分）

1.22x →

2．()

120

lim e x x

x x -→+

3.()

1

lim 123n

n n

n →∞

++

4

．21sin

lim x x

5. 设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()2

1lim

ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦.

6．1

402e sin lim 1e x x x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪

+⎝⎭

7

．0lim

x +→

四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）

1.2212lim

22

x ax x b

x x →-+=-+-

2

．(lim 1x x →-∞

=

五、讨论函数,0

()(0,0,1,1)0,0x x

a b x f x a b a b x

x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩

在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）

六、设sin sin sin ()lim sin x t x

t x

t f x x -→⎛

⎫

= ⎪⎝⎭

，求()f x 的间断点并判定类型. （本题7

分）

七、设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，

使得1()2f f ξξ⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

.（本题6分）

第二章 自测题

一、填空题（每小题3分，共18分）

1.设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h →∞

⎛

⎫-= ⎪⎝

⎭

. 2.设21cos f x x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，则

()f x '=

.

d x = .

4.设sin (e )x y f =，其中()f x 可导，则d y = .

5.设

y =12y ⎛⎫

'= ⎪⎝⎭

.

6.曲线1sin xy x y =+在点1

,ππ

⎛⎫ ⎪⎝

⎭

的切线方程为 .

二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.下列函数中，在0x =处可导的是 .

A.||y x =

B.|sin |y x =

C.ln y x =

D.|cos |y x = 2.设

()

y f x =在

x 处可导，且

0()2

f x '=，则

000

(2)()

lim

x f x x f x x x

→+--= .

A.6

B.6-

C.16

D.16

-

3.设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当(,)x δδ∈-时恒有2|()|f x x ≤，则0x =是()f x 的 .