应用相似三角形测量
相似三角形的性质和实际应用
相似三角形的性质和实际应用相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的实际应用。
本文将介绍相似三角形的性质以及在实际生活中的应用。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不同的三角形。
相似三角形的性质有以下几点：1.对应角相等：如果两个三角形的三个内角分别对应相等，则它们是相似三角形。
例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。
2.对应边成比例：相似三角形中，对应边的长度成比例。
即如果两个三角形的两个对应边的比值相等，则它们是相似三角形。
例如，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。
3.周长比例：相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。
设两个相似三角形的周长分别为L1和L2，对应边长度之比为k，则有L1/L2=k。
4.面积比例：相似三角形的面积之比等于对应边长度平方的比值。
设两个相似三角形的面积分别为S1和S2，对应边长度之比为k，则有S1/S2=k²。
二、相似三角形的实际应用1.测量高度：相似三角形的性质可以在测量高度时应用。
例如，在测量一座高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量自己的身高及影子的长度，然后利用身高与影子的长度之比，以及高楼与其影子的长度之比，计算出高楼的高度。
2.影视特技：在电影、电视剧等影视制作中，有时需要通过特技手法来表现出高楼倒塌等场景。
这时，可以利用相似三角形的性质，制作比例缩小的模型，然后通过摄影机的角度选择和镜头拉远，使得模型在电影中看起来像真实的大楼倒塌一样。
3.地图测量：在地图制作和测量工作中，也经常使用相似三角形的原理。
通过测量地面上的一段距离和其在地图上的投影长度，可以得到地面与地图的比例，从而便于进行地图上其他地点的距离估算。
4.影像重建：在计算机视觉和计算机图形学领域，相似三角形的概念也被广泛应用。
通过计算图像中物体的相似三角形关系，可以进行三维模型的重建，实现计算机生成的虚拟现实场景。
相似三角形的应用例析
相似三角形的应用例析相似三角形是平面几何中的重要的内容之一，其应用十分广泛．举例说明如下．1、测量底部不能到达的建筑物的高例1 如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1．7米，求路灯杆AB的高度(精确到0．1米)．2、测量池塘宽例2如图，有一池塘要测量两端AB的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长至D，使AC并延长至D，使15CD CA=，连接BC并延长至E，使15CE CB=，连接ED，如果量出25mDE=，那池塘宽多少A BCE D3、利用影长测量建筑物的高度例3高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度．4、测量电线杆的高例4如图，一人拿着一支刻有厘米刻度的小尺，站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60cm，求电线杆的高．5、测量台阶例5 汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1. 75m．他量得客厅高 AB= 2. 8m，楼梯洞口宽AF=2m．阁楼阳台宽EF = 3m．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20c m，每个台阶宽要大于20c m，问汪老师应该将楼梯建儿个台阶为什么参考答案例1：【分析】根据题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD//AB，可证得：△ABE∽△CDE，∴BD DE DE AB CD += ①同理：BDGD HG HG AB FG ++= ② 又CD ＝FG ＝1．7m ，由①、②可得：BD GD HG HG BD DE DE ++=+ 即BDBD +=+10533，解之得：BD ＝7．5m ， 将BD ＝7．5代入①得：AB=5．95m≈6m．答：路灯杆AB 的高度约为6m ．【点评】 本题通过多次平行线，利用相似三角形解决．把实际问题转化为相似问题，建立数学模型，做到学以致用．例2：【分析】这个问题的实质是△ECD∽△BCA，利用两个三角形相似求池塘宽DE AB CD AC AB DE ===155，.解： CD CA CE CB ==1515，∴==CD CA CE CB 15 又∵∠ECD＝∠BCA ∴△ECD∽△BCA∴==DE AB CD AC 15∴==⨯=AB DE m 5525125()．【点评】 通过测量池塘宽，能够综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．例3：【分析】 画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB //＝C B BC //， 于是得，BC =B A AB//×B /C /=16（m ）． 即该建筑物的高度是16m ．例4：【分析】 本题所叙述的内容可以画出如图那样的几何图形，即DF=60cm=，GF=12cm=，CE=30m ，求BC ．由于△ADF∽△AEC，AC AF EC DF =，又△AGF∽△ABC，∴ BC GF AC AF =，∴ BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长．解： ∵AE⊥EC，DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC，∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC．∴AC AF EC DF =．又GF⊥EC，BC⊥EC，∴GF∥BC，∠AFG=∠ACB，∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴BC GF AC AF =，∴BC GF EC DF =．又∵ DF=60cm=，GF=12cm=，EC=30m ，∴ BC=6m．即电线杆的高为6m ．【点评】 “测量电线杆的高”问题本身就是利用数学问题去处理实际问题，还有许多实际问题都可以用数学问题来解决，运用相似三角形相似的相关知识解决在生活中的一些实际问题；必须要正确地理解知识的内涵，比如手臂向前伸直与地面平行，刻度平行于电线杆，由此构造“相似三角形对应成比例的线段”．在应用过程中，要时时围绕三角形相似这一宗旨．例5：【分析】 （1）根据题意有AF∥BC，∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90º， ∴△ABC∽△GFA．∴FGAB AF BC =得BC=(m)，CD=2+=(m)． (2)设楼梯应建n 个台阶，则＞，＜，解得14＜n ＜16，∴楼梯应建15个台阶．。
相似三角形应用举例—测量(金字塔高度、河宽)问题 课件
解得PQ=90(m).
60 90
，
因此，河宽大约为90 m.
[知识拓展] 利用相似三角形进行测量的一般步骤: ①利用平行线、标杆等构成相似三角形;②测量与 表示未知量的线段相对应的线段的长，以及另外任 意一组对应边的长度;③画出示意图，利用相似三 角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的
比例式，解出未知量;④检验并得出答案.
顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?
例3 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形 的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，集中大院光线构成两个相 似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求 金字塔的高度BO．
解：太阳光是平行光线，由此∠BAO＝∠EDF，又
点拨：入射角＝反射角
∵入射角＝反射角, ∴∠AEB＝∠CED. ∵人、旗杆都垂直于地面,
∴∠B＝∠D＝90°. ∴ AB. BE
CD DE
因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距
离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高
度．
问题思考
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界
AC BC A'C ' B'C '
1.8m
B
3m C
1.8 3
A'
A'C ' 90
求得 A'C'=54m 答：这栋高楼的高度是54m.
?
B'
90m
C'
如图所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标
点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河岸垂直， 接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过
相似三角形的应用
相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。
本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。
一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。
例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。
类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。
2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。
当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。
3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。
通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。
二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。
通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。
2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。
例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。
相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。
3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。
根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。
总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。
通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。
相似三角形的应用举例
相似三角形的应用举例相似三角形是指在形状相似的两个三角形中，对应的角度相等，而对应的边长成比例关系。
这一性质使得相似三角形在实际生活中有着广泛的应用。
本文将举例介绍相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计等领域的具体应用。
一、地理测量中的相似三角形应用地理测量中常常使用相似三角形原理来测量高处物体的高度以及难以直接测量的距离。
以测量一座建筑物的高度为例，通过在平面上选择两个不同位置，测量出与地平线夹角相同的两个点，再利用三角形相似原理计算出建筑物的高度。
这样的测量方法可以避免测量过程中的误差和测量的困难，提高测量的准确性和效率。
二、影视制作中的相似三角形应用在影视制作中，相似三角形的应用尤为重要。
例如，在电影中要制作一个逼真的远景特写，如果直接拍摄远处的景象，可能会因为远离拍摄现场而导致细节无法清晰展现。
为了解决这个问题，可以利用相似三角形的原理，在近距离拍摄一个类似的模型或者画面，然后通过电脑生成与实景相似的远景效果。
这种利用相似三角形的方法可以在节约成本的同时，制作出逼真的远景特写效果。
三、建筑设计中的相似三角形应用相似三角形在建筑设计中有着广泛的应用，特别是在设计高层建筑时更是如此。
以设计一座摩天大楼为例，建筑师需要保证高楼的结构坚固稳定，同时也要满足美学上的要求。
在设计过程中，利用相似三角形的原理可以根据大楼的比例尺度，在小模型上进行实际尺寸的计算和预测。
这种预测方法不仅可以方便地展示设计方案，还可以在施工前发现和修正设计中的不足之处，提高整体设计质量。
通过上述几个具体例子，我们可以看到相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计中的重要应用。
相似三角形原理的运用，使得我们能够更加准确地进行测量、制作出逼真的特效和设计出稳固美观的建筑物。
这一应用不仅提高了工作效率，还为我们提供了更多实际问题的解决方案。
因此，相似三角形的学习与应用在我们的生活中具有重要的意义。
利用相似三角形测高的三种方法
利用相似三角形测高的三种方法
1.形似定理法：这个方法是利用相似三角形的三边成比例的性质来求
出物体与仪器距离（x）及物体的高度（h）的。
假设有一个类似于图中的
场景，物体AB的高度为h，相机CD离地面的距离为x，相机镜头视角下
的物体高度为y。
通过三角形相似关系可得：AD/CD=AB/BC，即AD=(CD/BC)*AB=x/h*AB。
所以物体与相机的距离为x=AD*BC/AB=h*BC/AB。
而物体的高度为
h=y*(AD+CD)/CD=y*BC/CD。
2.变换法：这个方法是通过将相机移动至两个不同的位置，同时拍摄
同一物体的两个照片来求出物体的高度。
如图，相机从C位置拍摄照片时，物体的高度为h1，相机从C’位置拍摄同一物体时，物体的高度为h2。
根据相似三角形原理，可得：h1/(x1+d)=h2/(x2+d)，其中d为相机
的移动距离。
所以，物体的高度可以表示为h2=h1*(x2+d)/(x1+d)。
3. 斜向测量法：这个方法是利用相似三角形的夹角相等的原理来测
量物体高度。
如图，相机以斜向的角度（α）拍摄物体的照片，由相似三
角形的夹角相等可得：h/L=ta nα，即物体的高度为h=L*tanα。
其中，L
为相机离物体的距离。
这三种方法都是利用相似三角形的性质来测量物体高度的，其中形似
定理法和变换法需要测量相机距离、相机移动距离等参数，斜向测量法则
需要知道相机与物体的夹角。
所以在不同的场景下，选择不同的方法来测
量物体高度，能有效提高测量的精度。
利用相似三角形测高
利用相似三角形测高在日常测高工作中，我们经常会遇到需要测量某些高度的情况，比如建筑物的高度、电线杆的高度等等。
这时候，我们可以利用相似三角形的原理来进行测量，从而得到准确的高度数据。
下面，我们来详细介绍一下怎样利用相似三角形测高。
相似三角形的原理在几何学中，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形就是相似三角形。
如果两个相似三角形的一个对应角度分别相等，那么它们的边长之比也相等。
具体的公式如下：AB/DE = BC/EF = AC/DF其中，AB、BC、AC分别为大三角形ABC的三条边长，DE、EF、DF分别为小三角形DEF的三条边长。
利用这个公式，我们可以很方便地计算出未知高度的值。
利用相似三角形测高的步骤在实际工作中，利用相似三角形测高的步骤主要包括以下几个方面：1.确定测量位置：首先要根据目标的高度和周围环境的条件，确定一个适合的测量位置。
最好选择平整、无遮挡、无杂物的地方，以确保测量的准确性。
2.测量三角形边长：在合适的位置摆放设备，如测距仪、测角仪、自动水平仪等，测量出大三角形ABC的三个边长（AB、BC、AC），并记录下来。
3.建立相似三角形：根据测量所得的数据，可以计算出大三角形ABC的三个角度，从而可以建立小三角形DEF。
在实际测量中，可以利用测量设备来测量小三角形的两条边长（DE、EF）。
4.计算未知高度：利用上述公式，可以计算出未知高度DF的值，从而得到目标的高度。
需要注意的是，在实际测量中，还需要考虑误差的影响因素，比如气象条件、设备精度等等，以尽可能提高测量的准确性。
利用相似三角形法测量高度，是一种简单而有效的方法，适用于许多领域的测量工作。
在实际使用过程中，需要认真把握每个步骤，尽可能减少误差的影响，并结合实际条件和测量要求，选择合理的设备和测量方法。
相似三角形的应用测量高楼的高度
相似三角形的应用测量高楼的高度相似三角形是一个重要的几何概念，在实际应用中有着广泛的用途。
本文将以测量高楼高度为例，介绍相似三角形的应用。
首先，我们需要了解相似三角形的定义。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形。
利用相似三角形的性质，我们可以通过测量一个已知高度的物体与其影子的长度来计算出高楼的高度。
假设在某一时刻，我们观察到一个人的身高与他的影子的长度之间存在一个比例关系。
我们可以称这个比例为k。
现在，我们希望测量一座高楼的高度。
我们可以先测量这座高楼的影子的长度，然后利用相似三角形的性质来计算高楼的高度。
假设高楼的影子长度为x，那么根据相似三角形的性质，高楼的高度H与其影子的长度x之间也存在一个比例关系，比例为k。
即：H / x = k根据这个等式，我们可以通过代入已知值来求解高楼的高度。
但在实际中，我们往往无法直接测量高楼与其影子的长度。
因此，我们需要进行一些转换和间接测量。
一种常用的方法是利用测量自己的身高和自己的影子的长度，然后再测量高楼的影子的长度。
设自己的身高为h，自己的影子长度为y。
根据相似三角形的性质，自己的身高与自己的影子的长度之间也存在一个比例关系，比例为k。
即：h / y = k然后，我们测量高楼的影子长度为x。
利用比例关系，我们可以得到：H / x = h / y通过这个等式，我们可以计算出高楼的高度H。
此外，我们还可以利用更多的相似三角形来进行测量。
对于一个高楼来说，我们可以选择不同位置的观察点，并测量不同位置的影子长度。
通过构建更多的相似三角形，我们可以得到更准确的高楼高度测量结果。
需要注意的是，相似三角形的应用需要在实际测量中谨慎操作，确保测量过程中的角度、距离等都能够得到准确的结果。
同时，在测量高楼高度时，也需要考虑到地平线的倾斜度、地球曲率等因素，以确保测量结果的准确性。
总的来说，相似三角形的应用在测量高楼高度等实际问题中起到了重要的作用。
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初三数学中考备考
专题复习-----应用相似三角形测量 导学案
户县第四职校 马卫红
学习目标：
使学生识记相似三角形的判定条件和性质，综合运用其有关知识解决问题。
并了解应用相似三角形解决测量问题的基本模型和方法步骤。
一、知识点梳理：
1、三角形相似的识别方法有三个：（1）________的两个三角形相似；（2）____的
两个三角形相似；（3）________的两个三角形相似；
2、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段________；平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段________。
故平行---相似。
3、相似三角形的对应角____，对应____、____、____、____、____的比都等于相似比；面积比等于相似比的____．
4、相似三角形的基本图形（请同学们自己画一画）
二、小试牛刀：
1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，2
1
=DB AD ，则下列结论中正确的是（ ）。
A.
21=AC AE B. 2
1
=BC DE C.
31=∆∆的周长的周长ABC ADE D. 31=∆∆的面积的面积ABC ADE
2、如图，点P 是ABCD 边上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有（ ）。
A. 0对
B. 1对
C. 2对
D. 3对
3、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，点P 为AC 的中点，过点P 沿直线剪去△ABC 的一个角，使剪去的三角形与△ABC 相似，则共有剪法（ ）
A. 2种
B. 3种 C ．4种 D. 5种
三、学以致用:
应用类型1：方法1：如图，为了估算河的宽度，使AB ⊥BC ，EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ．此时如果测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，求两岸间的大致距离．
方法2：我们在河对岸选定一目标点A ，在河的一边选点D 和E ，使DE ⊥AD ，然后选点B ，作BC ∥DE ，与视线EA 相交于点C 。
此时，测得DE 、BC 、BD ，就可以求两岸间的大致距离AB 了。
此时如果测得DE ＝120m ，BC ＝60m ，BD ＝50m ，求两岸间的大致距离AB 。
应用类型2：方法1：
例1：古代数学家测量金字塔高度的方法是：为了测量金字塔的高度OB ，先竖一根已知长度的木棒EF ，比较棒子的影长FD 与金字塔的影长OA ，即可近似算出金字塔的高度OB ，如果EF ＝2m ，FD ＝3m ，OA ＝201m
，求金字塔的高度OB 。
方法2：点C 处放置平面镜，测得ED=1.5m CD=2m CB=132m 求AB 的长。
B
A
E D
C
四、能力提升：
拓展训练1:某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．
如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
拓展训练2：1、某同学想测旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹竿竖直时的影长为1.5m，同一时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9m，留在墙上的影长为2m，求旗杆的高度。
(多种方法）五、课堂小结：
1、在实际生活中，我们面对不能直接测量物体长度、高度和宽度时。
可以建立相似三角形模型，把它们转化为数学问题，把不易测的边转化为测它的对应边的问题，再利用对应边成比例来达到求解的目的。
2、相似三角形的应用主要有两个方面：
（1）测高:通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；
（2）测距:常构造相似三角形求解。
3、运用相似三角形解决实际问题的方法步骤为：
（1）审题；
（2）构建图形；
（3）利用相似三角形解决问题。
挑战自我：
小明为测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF,然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m时，他的眼睛、标杆的顶端和树顶端在同一直线上，已知小明身高1.6m,求树的高度。
A
2
A N
C
E
M
F
B D
E
D
C
F。