高中数学指数函数与对数函数
对数函数和指数函数的区别和知识点
对数函数和指数函数的区别和知识点对数函数和指数函数是两种重要的数学函数，它们在形式和性质上有很大的不同。
下面我们将从定义、图像、性质和应用四个方面来对比这两种函数。
一、定义1. 对数函数：对于正实数a（a>0）和自然数b（b>0），对数函数定义为log(a^b)=b。
也就是说，如果a的b次方等于c，那么log(a) c = b。
2. 指数函数：对于实数a（a≠0），指数函数定义为a^x。
也就是说，无论x 是什么实数，a的x次方都等于y。
二、图像1. 对数函数的图像：对数函数的图像在坐标系中是单调递增的。
当底数大于1时，图像位于第一象限和第二象限；当底数在0到1之间时，图像位于第二象限和第三象限。
2. 指数函数的图像：指数函数的图像也是单调递增的。
对于所有的实数a（a>0），图像都位于第一象限。
当a大于1时，图像在x轴上方递增；当0<a<1时，图像在x轴下方递增。
三、性质1. 对数函数的性质：对数函数是反函数，即如果log(a^b)=c，那么a^c=b。
此外，对数函数还有对数的换底公式，即log(a) b = c 可以转化为log(m) b = c/log(m) a。
2. 指数函数的性质：指数函数是幂运算的推广，具有连续性、周期性、奇偶性等性质。
指数函数也可以表示为exp(x)，其中exp表示自然指数函数的底数，约等于2.71828。
四、应用1. 对数函数的应用：对数函数在科学、工程和经济学等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，声学和光学中的分贝和折射率可以通过对数函数计算；在金融学中，复利和折旧可以通过对数函数计算；在信息论中，对数函数用于描述信号强度和噪声的关系。
2. 指数函数的应用：指数函数在自然科学、社会科学和工程学等领域也有广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞增长和繁殖可以用指数函数描述；在经济学中，复利和折现也可以用指数函数计算；在物理学中，放射性衰变和电路中的电压可以用指数函数描述。
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型，它们在各个领域都有重要的应用。
本文将介绍指数函数和对数函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、指数函数指数函数是以某个正数为底数的幂函数，其自变量是指数。
一般形式表示为：y = a^x，其中a是底数，x是指数，y是函数值。
1. 定义与性质指数函数的底数一般为正数且不等于1，指数可以是任意实数。
当底数大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。
指数函数的特点包括：- 当指数为0时，指数函数的函数值恒为1，即a^0 = 1。
- 当指数为正数时，函数值递增；当指数为负数时，函数值递减。
- 当指数趋于正无穷大时，函数值趋于正无穷大；当指数趋于负无穷大时，函数值趋于0。
2. 应用示例指数函数的应用非常广泛，其中一些常见的应用领域包括：- 经济学中的复利计算：复利计算可以用指数函数模型来描述。
- 生物学中的种群增长：种群增长也可以用指数函数模型来描述。
- 物理学中的放射性衰变：放射性元素的衰变过程也符合指数函数的规律。
二、对数函数对数函数是指数函数的逆运算，用来求解以某个正数为底数的对数。
一般形式表示为：y = logₐx，其中a是底数，x是真数，y是对数值。
1. 定义与性质对数函数的底数一般为正数且不等于1，真数和对数值可以是任意正数。
对数函数的一些性质包括：- a^logₐx = x，即对数函数和指数函数互为逆运算。
- logₐa = 1，即对数函数以底数为底的底数对数等于1。
- logₐ1 = 0，即以任何正数为底的1的对数都等于0。
2. 应用示例对数函数在实际问题中也有广泛的应用，以下是一些例子：- 测量震级：地震的震级可以通过对数函数来计算。
- 计算pH值：化学中，pH值可以通过对数函数来计算。
- 评估信息量：信息论中，信息量可以用对数函数来度量。
结论指数函数和对数函数是数学中重要的函数类型，它们在各个领域都有广泛的应用。
高中数学指数函数与对数函数
高中数学指数函数与对数函数在高中数学的学习中，指数函数与对数函数是非常重要的两个部分。
它们不仅在数学理论中有着重要的地位，还在实际生活中的许多领域有着广泛的应用。
首先，让我们来认识一下指数函数。
指数函数的一般形式为 y ＝a^x （a ＞ 0 且a ≠ 1）。
其中，a 被称为底数，x 是指数。
当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。
比如说，y ＝ 2^x 就是一个底数为 2 的指数函数。
当 x 逐渐增大时，y 的值增长得非常快。
而 y ＝（1/2)＾x ，由于底数 1/2 小于 1，所以当 x 增大时，y 的值会越来越小。
指数函数有很多有趣的性质。
指数函数的图像总是经过点（0, 1)，因为任何非零数的 0 次幂都等于 1。
而且，指数函数的定义域是全体实数，值域是（0, ＋∞）。
接下来，我们再看看对数函数。
对数函数是指数函数的反函数，一般形式为 y ＝logₐx （a ＞ 0 且a ≠ 1）。
如果 y ＝ a^x ，那么 x ＝logₐy 。
以 y ＝ log₂x 为例，它表示 2 的多少次方等于 x 。
对数函数的定义域是（0, ＋∞），值域是全体实数。
对数函数也有自己独特的性质。
比如，logₐ1 ＝ 0 ，因为任何非零数的 0 次方都等于 1 。
还有logₐa ＝ 1 ，因为 a 的 1 次方就是 a 本身。
指数函数和对数函数之间有着密切的关系。
它们的图像关于直线 y＝ x 对称。
通过这种对称关系，我们可以利用一个函数的性质来推导出另一个函数的性质。
在实际应用中，指数函数和对数函数的用处可不少。
比如在金融领域，计算利息的复利问题就会用到指数函数。
假设你在银行存了一笔钱，年利率为 r ，如果按照复利计算，经过 t 年后，你的存款总额就可以用指数函数来表示。
在科学研究中，比如研究细菌的繁殖、放射性物质的衰变等，也常常会用到指数函数。
而对数函数在测量声音的强度、地震的震级等方面发挥着重要作用。
高中数学指数对数函数的性质及应用实例
高中数学指数对数函数的性质及应用实例一、指数函数的性质指数函数是高中数学中非常重要的一个函数，它具有以下几个性质：1. 定义域和值域：指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
2. 单调性：对于指数函数y=a^x，当底数a>1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。
3. 奇偶性：指数函数y=a^x是奇函数还是偶函数，取决于底数a的奇偶性。
4. 渐近线：当底数a>1时，指数函数的图像在x轴上有一条水平渐近线y=0；当0<a<1时，指数函数的图像在y轴上有一条垂直渐近线x=0。
5. 过点(0,1)：对于任何正数a，指数函数都过点(0,1)。
6. 指数函数的性质与变换：指数函数y=a^x的图像在平面上的平移、伸缩、翻转等变换中，保持指数函数的性质不变。
例如，考虑指数函数y=2^x和y=0.5^x。
我们可以通过绘制函数图像来验证上述性质。
二、对数函数的性质对数函数是指数函数的反函数，它也具有一些重要的性质：1. 定义域和值域：对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
2. 单调性：对于对数函数y=loga(x)，当底数a>1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。
3. 奇偶性：对数函数y=loga(x)是奇函数还是偶函数，取决于底数a的奇偶性。
4. 渐近线：对数函数y=loga(x)的图像在x轴上有一条水平渐近线y=0。
5. 过点(1,0)：对于任何正数a，对数函数都过点(1,0)。
6. 对数函数的性质与变换：对数函数y=loga(x)的图像在平面上的平移、伸缩、翻转等变换中，保持对数函数的性质不变。
例如，考虑对数函数y=log2(x)和y=log0.5(x)。
我们可以通过绘制函数图像来验证上述性质。
三、指数对数函数的应用实例指数对数函数在实际问题中有广泛的应用，下面举两个例子来说明：例1：财务利润问题某公司的年利润以10%的速度递增。
高中二年级数学指数与对数函数
高中二年级数学指数与对数函数一、指数函数指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是一个常数且a>0且a≠1，x 是变量，y是函数值。
指数函数的特点如下：1. a是底数，表示指数函数的增长速度。
2. 当a>1时，指数函数呈现增长趋势；当0<a<1时，指数函数呈现递减趋势。
3. 当x为0时，指数函数的函数值为1，即a^0=1。
4. 当x为正无穷大时，指数函数的函数值趋近于正无穷大；当x为负无穷大时，指数函数的函数值趋近于0。
二、对数函数对数函数是指形如y=loga(x)的函数，其中a是一个大于0且不等于1的常数，x是变量，y是函数值。
对数函数的特点如下：1. a是底数，表示对数函数的增长速度。
2. 对数函数的定义域为正数集合，即x>0。
3. 对数函数的值域为实数集合。
4. 当x=1时，对数函数的函数值为0，即loga(1)=0。
5. 当x大于1时，对数函数呈现递增趋势；当0<x<1时，对数函数呈现递减趋势。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是互为反函数的特殊函数关系。
即，对于指数函数y=a^x和对数函数y=loga(x)，它们之间满足以下关系：1. 若y=a^x，则x=loga(y)。
2. 若y=loga(x)，则x=a^y。
四、指数函数和对数函数的性质和应用1. 指数函数和对数函数在科学、工程、经济学等领域具有广泛的应用，如生物学中的细胞增长、化学反应速率、金融学中的复利计算等。
2. 指数函数和对数函数的性质使其在数学问题的解决中具有重要作用。
例如，指数函数的复合运算可以转化为对数函数的简化运算，使问题的解决更加简便。
3. 指数函数和对数函数是高中数学的基础知识点，深入理解它们的性质和应用，有助于提高数学解题的能力和思维灵活性。
综上所述，高中二年级数学中的指数函数和对数函数是重要的内容。
掌握它们的定义、特点以及性质和应用，有助于深入理解数学知识、提高解题能力，为后续学习打下坚实的基础。
高中数学必修一指数函数对数函数知识点
高中数学必修一指数函数对数函数知识点高中数学必修一中，指数函数和对数函数是重要的知识点。
指数函数是一种以指数为自变量的函数，形式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。
而对数函数是指数函数的逆运算，形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
以下是关于指数函数和对数函数的具体知识点。
一、指数函数的图像和性质1.指数函数的基本形式：-y=a^x，其中a>0且a≠12.指数函数的基本性质：-当0<a<1时，指数函数呈现递减的图像；-当a>1时，指数函数呈现递增的图像；-当a=1时，指数函数为常数函数y=1二、对数函数的图像和性质1.对数函数的基本形式：- y = loga(x)，其中a > 0且a≠12.对数函数的基本性质：- 对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x；-对数函数的图像关于直线y=x对称；-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
三、指数函数和对数函数的运算性质1.指数函数的运算性质：-a^x*a^y=a^(x+y)；- (a^x)^y = a^(xy)；- (ab)^x = a^x * b^x；-a^0=1，其中a≠0。
2.对数函数的运算性质：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)；- loga(x^y) = y * loga(x)；- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)；- loga(1) = 0，其中a≠0。
四、指数函数和对数函数的应用1.指数函数在生活中的应用：-经济增长模型中的应用；-指数衰减与物质的半衰期计算；-大自然中的指数增长现象。
2.对数函数在生活中的应用：-pH值的计算；-放大器的功率增益计算；-数字音乐的音量计算。
综上所述，指数函数和对数函数是高中数学必修一中的重要知识点。
掌握了指数函数和对数函数的基本形式、性质以及运算规律，能够理解其图像特征和在实际问题中的应用。
指数函数与对数函数例题和知识点总结
指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数的定义与性质指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，底数$a$决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数单调递减。
指数函数的定义域为$R$，值域为$（0, ＋＼infty)＄。
例如，函数$y ＝ 2^x$是一个底数为$2$（大于$1$）的指数函数，它在$R$上单调递增。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数，一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，对数的底数$a$同样决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
对数函数的定义域为$（0, ＋＼infty)＄，值域为$R$。
例如，函数$y ＝＼log_2 x$是一个底数为$2$（大于$1$）的对数函数，它在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。
三、指数函数与对数函数的图象指数函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐下降。
对数函数$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐下降。
四、指数运算与对数运算的性质指数运算性质：1、＄a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$（＄a ≠ 0$）对数运算性质：1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$五、例题分析例 1：比较大小比较$2^｛03}＄和$03^2$的大小。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数是高中数学数学分析中较为重要的函数类型，它们不仅常见于数学领域，而且广泛应用于科学、工程等多个领域。
本文将引导读者了解的定义、性质、应用以及它们之间的联系。
一、指数函数指数函数可以被定义为具有形式$f(x)=a^x$的函数，其中a是正的常数，x可以是任何实数。
指数函数的图像通常表现出指数增长或指数衰减的特征，根据a的不同取值，可以分为指数增长和指数衰减两种情况。
例如，当a>1时，函数f(x)=a^x会不断增长，当0<a<1时，函数会不断衰减。
特别地，当a=1时，函数f(x)=1^x 恒等于1。
指数函数的常用性质有:1.当a>1时，指数函数在定义域上单调递增，并且在x=0处的值恒为1；当0<a<1时，指数函数在定义域上单调递减，且在x=0处的值恒为1.2.指数函数的导数也是指数函数，即[latex]\frac{d}{dx}a^x[latex]=a^x \times ln(a)3.指数函数f(x)=a^x是以a为底的幂函数f(x)=b^x的反函数，即f^{-1}(x)=log_a(x)指数函数与对数函数有着密切联系。
下面我们将介绍对数函数。
二、对数函数对数函数一般表示为g(x)=log_a (x)，其中a是正实数，且a ≠ 1，x是正实数。
对数函数的图像表现为一条光滑曲线，通常在a>1的时候，曲线向上迅速爬升，而在a<1的时候，曲线向下迅速下降。
对数函数的常用性质有:1.定义域为(x,∞)；值域为(-∞,∞)2.当x=a 时，g(x)=13.当x>1时，log_a (x) > 0；当0<x<1时，log_a (x) < 04.对数函数g(x)=log_a(x)是指数函数f(x)=a^x的反函数，即a^{g(x)} = x三、指数函数的应用指数函数在生态学、生物学、物理学、经济学、金融学等多个领域有广泛应用。
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2020-2021学年高一数学单元知识梳理：指数函数与对数函数1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时，函数的单调性及图象特点．3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题．6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择．9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：一、指数、对数函数的典型问题及求解策略指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论．1．求定义域【典例1】1．（2020·河南高三其模拟）函数234ln x x y x-++=的定义域是（ ） A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞）【答案】A 【解析】2234034ln ln 0,0x x x x y x x x ⎧-++≥-++=∴⎨≠>⎩14(0,1)(1,4]0,1x x x x -≤≤⎧∴∴∈⋃⎨>≠⎩故选：A 2．（2020·湖南天心长郡中学高一月考）函数2()2log f x x x =-+的定义域是（ ）A ．(0,2]B ．[0,2)C ．[0,2]D ．(0,2) 【答案】A 【解析】由题意可得，020x x >⎧⎨-≥⎩, 解得02x <≤.故选：A.2．比较大小问题比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．【典例2】若0<x <y <1，则( ) A ．3y <3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD ．)41(x <)41(y【答案】C【解析】因为0<x <y <1，则对于A ，函数y ＝3x 在R 上单调递增，故3x <3y ，错误．对于B ，根据底数a 对对数函数y ＝log a x 的影响：当0<a <1时，在x ∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x <y <1，所以log x 3>log y 3，错误．对于C ，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，故log 4x <log 4y ，正确．对于D ，函数y ＝)41(x 在R 上单调递减，故)41(x >)41(y ，错误． 【典例3】比较三个数0.32，log 20.3,20.3的大小．【解析】解法一：∵0<0.32<12＝1，log 20.3<log 21＝0,20.3>20＝1，∴log 20.3<0.32<20.3. 解法二：作出函数y ＝x 2，y ＝log 2x ，y ＝2x 的大致图象，如图所示，画出直线x ＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log 20.3<0.32<20.3.3．与指数、对数函数相关的单调性问题【典例4】是否存在实数a ，使函数f （x ）＝log a （ax 2﹣x ）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】设u （x ）＝ax 2﹣x ，显然二次函数u 的对称轴为x =12a ．①当a ＞1时，要使函数f （x ）在[2，4]上为增函数，则u （x ）＝ax 2﹣x 在[2，4]上为增函数，故应有 {12a ≤2u(2)=4a −2＞0，解得 a ＞12．综合可得，a ＞1． ②当0＜a ＜1 时，要使函数f （x ）在[2，4]上为增函数，则u （x ）＝ax 2﹣x 在[2，4]上为减函数，应有 {12a ≥4u(4)=16a −4＞0，解得a ∈∅．综上，a ＞1时，函数f （x ）＝log a （ax 2﹣x ）在区间[2，4]上为增函数．二、函数的图象问题对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象．1．图象的变换【典例5】为了得到函数y ＝lg 103+x 的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( ) A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】∵y ＝lg 103+x ＝lg (x ＋3)－1，∴只需将y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y ＝lg103+x 的图象． 2．根据函数解析式确定图象【典例6】已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)，若f (4)g (4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一平面直角坐标系内的大致图象是( )【答案】B【解析】由f (4)g (4)<0知a 2·log a 4<0，∴log a 4<0，∴0<a <1，∴f (x )和g (x )在(0，＋∞)上都单调递减．三、等价转化思想的体现一般来说，小题对指数函数、对数函数的考查，仅限于这两类函数本身的概念、图象与性质．而解答题往往注重考查与这两类函数有关的复合函数的性质．这类题目的解题思想是：通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成这两类函数来处理．【典例7】（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知[]3,2x ∈-，求11()142x x f x =-+的最小值与最大值．【解析】()221113142122124224x x x x x x x f x -----⎛⎫=-+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭, ∵[]3,2x ∈-, ∴1284x -≤≤. 则当122x -=,即1x =时,()f x 有最小值34；当28x -=,即3x =-时，()f x 有最大值57． 四、函数零点与方程的解根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的解，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有解，有几个解．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的解、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．【典例8】关于x的方程x＋lg x＝3，x＋10x＝3的解分别为α，β，则α＋β等于()A．6 B．5C．4 D．3【答案】D【解析】将方程变形为lg x＝3－x和10x＝3－x.令y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别作出y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x的图象，如图所示．这样方程lg x＝3－x的解可以看成函数y1＝lg x和y3＝3－x的图象的交点A的横坐标，方程10x ＝3－x的解可以看成函数y2＝10x和y3＝3－x的图象交点B的横坐标．因为函数y1＝lg x和y2＝10x互为反函数，所以y1＝lg x和y2＝10x的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标分别为A(α，β)，B(β，α)．而A，B两点都在直线y＝3－x上，所以β＝3－α，所以α＋β＝3.【典例9】（2018·福建厦门双十中学高三月考（理））已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－√x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________(由小到大).【答案】x1<x2<x3【解析】令y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－√x－1，y＝－x，∵函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－√x－1的零点分别为x1，x2，x3，即函数y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－√x－1与函数y＝－x交点的横坐标分别为x1，x2，x3.分别作出函数的图象，结合图象可得x1<x2<x3.五、函数模型的应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解已学函数的图象和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．【典例10】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm ，则可以灌溉土地多少公顷？【解析】(1)描点、作图，如图甲所示：(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 与最大积雪深度x 满足一次函数模型y ＝a ＋bx (a ，b 为常数且b ≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y ＝a ＋bx ，得⎩⎨⎧+=+=b a b a 0.248.454.101.21，用计算器可得a ≈2.2，b ≈1.8.这样，得到一个函数模型：y ＝2.2＋1.8x ，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由(2)得到的函数模型为y ＝2.2＋1.8x ，则由y ＝2.2＋1.8×25，求得y ＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地约为47.2公顷．【典例11】载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t 和燃料重量x t 之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s 关于x 的函数关系为y ＝k [ln (m ＋x )－ln (2m )]＋4ln 2(其中k ≠0，ln x 是以e 为底x 的对数)．当燃料重量为(e －1)m t 时，该火箭的最大速度为4 km/s.(1)求此型号火箭的最大速度y km/s 与燃料重量x t 之间的函数解析式；(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t ，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t ，取e ＝2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s ，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？【解析】(1)由题意，得4＝k {ln [m ＋(e －1)m ]－ln (2m )}＋4ln 2，解得k ＝8， 所以y ＝8[ln (m ＋x )－ln (2m )]＋4ln 2＝8ln mx m +. (2)由已知，得M ＝m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x .将y ＝8代入(1)中所得式中，得8＝8ln x-8.4798.479，解得x ≈303.3. 答：应装载约303.3 t 燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s ，顺利地把飞船送到预定的椭圆轨道．。