四川大学锦城学院微积分(二)期末复习题答案-A卷
四川大学锦城学院期末考试试题 (A卷,开卷)
四川大学锦城学院期末考试试题(A卷，开卷)(2009—2010年第二学期)课程号：120011 课序号：课程名称：形势政策与教育4 任课教师：成绩：注：1试题字迹务必清晰，书写工整。
2题间不留空，一般应题卷分开。
3务必用A4纸打印形势政策与明德教育4（诚信）期末考试3、法律诚信:.法律上的诚信，是指作为法律原则的诚信，可简称为“法律诚信”二、填空题（每题0.5分，共15分）1、依法行政严格执法。
2、道德准则3、学校教学活动的影响、教师的影响、课外活动的影响、学校生活的影响4.诚实守信无形5、4月30日晚发展中国家“城市，让生活更美好”。
6、成灌快铁首条市域城际铁路7、学风建设、校风建设、教风建设。
8、农场劳动、社会公益劳动、工厂劳动。
9、开除学籍留校察看记过处分授予学士学位资格以零分记；留校察看警告零分严重警告。
10、《尚书》。
三、简答题（每题10分，共40分）1、“三追两谋”的锦城精神具体是指什么？他是一种什么样的精神？“三追”即追求事实，追求真理、追求至善；“两谋”即学院谋特色、学生某特长、“三追两谋”的锦城精神是独立思考、自主创新的精神；是实事求是、探索真理的精神；是坚韧不拔、奋斗不息的精神；是追求卓越。
止于至善的精神2、锦城学院应用型人才培养模式的“三大教育”中“三讲三心”明德教育具体指什么？“三讲三心”明德教育：“三讲”即“讲诚信、讲礼仪、讲感恩”；“三心”即“对国家、人民进中心，对父母、长辈尽孝心，对同学、同事尽爱心”。
3、比较中西方诚信观的异同。
中西诚信观的基本含义是相近的，都包含尊重事实、诚实无欺、讲究信用、信守诺言的意思。
中西方诚信观的差异：中国的诚信是儒家伦理的核心理念之一，主要是指的个人的道德品行，是一种精神的状态和境界，同时也是一个修习的过程。
只有修身养性，以诚待人，人才能形成诚信的人格，这是人际交往的必然规律。
可以说中国传统的文化中，诚信主要是被作为对人的基本评价尺度和人们应当遵循的基本生活信条，沿着道德层面，在心性之学的维度中发展。
《微积分》课程期末考试试卷(A)及参考答案
3、若函数
f (x, y)
x y ，则
x y
f
(
1 x
,
y)
（
）
A、 x y
x y
B、 1 xy
1 xy
C、 1 xy
1 xy
4、设 D 由 y x, y 2x, y 1围成，则 dxdy （ ）
D
A、 1
2
B、 1
4
C、1
5、（ ）是一阶微分方程
3x 2
3y2
（6
分）。
2、
z y
xy
ln
x （3
分）；
2z y 2
xy
ln 2
x
（6
分）。
3、
f
1 x
(
x,
y)
1
x x2
y2
（5
分）；
f
1 x
(3,4)
2 （6
5
分）。
4、
z x
y
1 y
,
z y
x
x y2
（4
分）；
dz
(y
1 )dx y
(x
x y2
六、求方程 yy' x 的通解。（6 分）
七、判别级数 n1
2n n3n
的敛散性。（6
分）
《微积分》课程期末考试试卷（A）参考答案
一、 填空题（每题 3 分，共 36 分）。
1、
x3 y3
2x
xy y
3xy
2、 1
微积分(下册)期末试卷和答案[1]
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1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.6 知dx e xp ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ).(A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛.则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+.2、π.3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
《微积分》(二)期末试卷 A答案
对外经济贸易大学 2007─2008学年第二学期 《微积分二》期末考试试卷A课程课序号：CMP124－0～15学号： 姓 名： 成 绩： 班级： 课序号： 任课教师：一、选择题（每小题2分，共14分）： 得分 1．若函数()f x 在区间[a ，b]上可积，则下列不等式中成立的是（ A ）。
.()().()().()().()()bbb ba aaabbbbaaaaA f x dx f x dxB f x dx f x dxC f x dx f x dxD f x dx f x dx≤≥==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2. 设)(x f 为连续函数，='=⎰)(,)()(ln 1x F dt t f x F xx则（ A ）。
A.)1(1)(ln 12x f x x f x + B ． )1()(ln xf x f +C.)1(1)(ln 12x f xx f x -D ．)1()(ln x f x f - 3．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数''x00y 00f(x ,y ),f(x ,y )存在是函数 00f(x,y)在点(x ,y )连续的（ D ）。
A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件。
4．设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ C ）。
A ．(,).xf x y dy ⎰⎰B.(,).f x y dy ⎰⎰C.(,).yf x y dx ⎰⎰D.(,).f x y dx ⎰⎰5．函数21212(,xx y c e c e c c -=+为任意常数）为下列二阶常系数齐次线性微分方程（ D ）的通解。
A. 20y y y '''+-= B. 20y y y '''-+=C. 20y y y '''++=D. 20y y y '''--=6．设()1ln(1nn u =-+，则下列结论中正确选项是( B )。
2014-15(2)四川大学微积分期末试卷 解答
∆y → 0
f (0, 0 + ∆y ) − f (0, 0) 0 = lim = 0 ∆ → y 0 ∆y ∆y
假设 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处的可微，则 = dz
f x′(0, 0)∆x + f y′(0, 0) = ∆y 0
考虑 lim
ρ →0
ϕ ′( x) = e x − ∫ ϕ (t )dt ，
0
x
ϕ ′′( x) = e x − ϕ ( x) ， 即 ϕ ′′( x) + ϕ ( x) = e x ，
r2 +1 = 0，
Φ ( x) = C1 cos x + C 2 sin x ，
特征根为 r1, 2 = ±i ，故对应的齐次方程的通解为 易知 Φ * ( x) =
内的部分的上侧. 解：设 S 0 为平面： x + y ≤ 2, z = 0 方向向下， Ω 为 S + S 0 围的立体，
2 2
Ω 在 xOy 上投影 D xy : x 2 + y 2 ≤ 2, z = 0 ，
用极坐标表示： 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 利用高斯公式得
S + S0
2
∫∫ ( y
故
∂2 z 3 = − ∂x∂y (0,0) 25
1
∂2 z = 2. 设 z f (2 x − y, y sin x) ，其中 f 具有连续二阶偏导数，求 ∂x∂y= x
解： 令 u =2 x − y, v =y sin x ， 则
π
.
= ,y 2 4
∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = 2 fu′ + y cos xf v′ ， ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
四川大学期末考试试题(闭卷)2017-2018春微积分
四川大学期末考试试题（闭卷）（2017——2018 学年第 2 学期） A 卷课程号：201138040 课序号：课程名称：微积分（I）-2 任课教师：成绩：⎩ 2 2 a b 1 - α 2 - β x 2 y 22 1 - - a 2 b2x 2 y 2⎧ 3 x 2 y 4 ⎪ , ( x , y ) ≠ (0, 0) ∂f ∂f5. f ( x , y ) = ⎨ x 2 + y 2, (1)求 ∂x (0, 0) 和 ∂y (0, 0) ;⎪0, ( x , y ) = (0, 0) (2)判断 （f x , y ）在点 0, 0）处是否可微; (3)设向量l = ( , -2 2) , 求∂f (0, 0).∂l三、应用题 (每小题 9 分，共 18 分)1. 求圆 x 2 + y 2 = 1 上一点, 使得该点到 A (0, 0) 、 B (3, 0) 、C (0, 4) 的距离的平方之和最小.2. 设函数 y = f ( x ) 处处二阶可导, 其函数图像上任意一点x , y ）处的切线与 y 轴的交点为(0, u ( x )) , 若u - u ' = y + 2 x 2 , 并且 f (1) = f '(1) + 4 = e , 求函数 y = f ( x ) .四、证明题 (每小题 6 分，共 12 分)1. 设可微函数 f ( x , y , z ) 满足: f (t a x , t b y , t c z ) = t a + b + c f ( x , y , z ), ∀t > 0 , 其中 a , b , c 都是正整数. 求证: ax∂f ( x , y , z ) ∂x + by ∂f ( x , y , z ) ∂y + cz ∂f ( x , y , z )∂z= (a + b + c ) f ( x , y , z ).x 2 y 2 z 2c 2 c 22. 设∑ 为曲面 a 2 + b 2 + c2 = 1 (a , b , c > 0) ,I = ⎰⎰ d S , ∑α = 1 - , β = 1 - .a 2b 2(1) 求证: I = 2⎰⎰d x d y , D xy其中 D xy = {( x , y ) ∈ 2| x a2 + y 2b 21}.1 (2) 上述积分很难直接计算, 试用你的想法给出 πI的估算公式, 并给出该公式在a = 1,b = 2,c = 3 时的结果. (保留两位小数, 合理的估值均可得分)2f 1 02018 微积分（1）-2 参考解答一、计算题：（每题褵分，共褳褰分）褱、求曲线x = cos t, y = sin t, z = t cos t 上点(1, 0, 0)处的切线方程褮解褺 对曲线方程关于t 求导可得切向量为(− sin t, cos t , cos t − t sin t ) ······························ 3分代入点(1, 0, 0)对应的参数t = 0可得点(1, 0, 0)处的切向量为(0, 1, 1). 于是褬切线方程为x − 1 = y = z ······································· 2分褲、求曲面z = xy 在点(−2, −3, 6)处的切平面方程褮 解褺 曲面z = xy 的法向量是(−z x , −z y , 1) = (−y, −x, 1), ········································ 3分于是在点(−2, −3, 6)处的法向量为(3, 2, 1). 因此，所求切平面方程为3(x + 2) + 2(y + 3) + z − 6 = 0，即3x + 2y + z + 6 = 0 ································ 2分褳、设D = {(x, y ) ∈ R 2| x + y :( 1, x ;;? 0, y ;;? 0}，求FFx d x d y.解褺ffx d x d y = d x f 11−x 0x d y ······································ 3分1 11 =2 −3 = 6 ·······························2分褱0 = D 011D(x − x 2)d x ff f f f1−( ) =x x2 x Ω褴、设Ω是曲面z = ✓x 2 + y 2与平面z = 1围成的区域褬求FFF(z +x 2y 3 sin z 4)d x d y d z 褮解褺 由Ω的对称性褬fffx 2y 3 sin z 4d x d y d z = 0 ····························· 1分由截面法褬 注意到 D z = {(x, y ) ∈ R 2| x 2 +y 2 :( z 2} ············· 1分1 ∴ 原式 =d z 0D zf 1z d x d y=πz 3d zπ=4 ······························3分褵、设Γ是起点为(1, 0, 1)、 终点为(0, 1, 1)的有向线段褬 求F(y 2 + z − x )d y.解褺 Γ的参数方程x = 1−t, y = t, z = 1，t : 0 → 1， ········· 2分原式 = 0 5 (t 2+ t )d t褶、求微分方程初值问题= 6 ······························3分xy Iy = x 2的解褮y (1) = 2018解褺 由 y I xy I − y = 1，可得褺 y= x + C ······································· 2分代入初始条件褬 可得C = 2017.于是方程的解为y = x 2 + 2017x ······································· 3分褲Γ Ω0 x 3F 0 0F fff ff F ffff1 − 9 x2 + y 2二、解答题：（每题褸分，共褴褰分）褱、交换二次积分I = F 1 d x F 1 ✓3 y 2e y d y 的积分次序并计算I .解：画出积分区域：褲 分y I = F 1d yF √3 y ✓3y 2e y d x=1 ye y d y 3分 = ye y 11 − F 1 e y d yx 2 + y 2 + z 2 = 1褲、设曲线Γ的方程为x + y + z = 0 解褺 由Γ的轮换对称性褬 可得褬 求(x + 1)2d s 褮 Γx 2d s =ΓΓy 2d s =Γz 2d s= 1 (x 2+ y 2 + z 2)d s 3Γ1 2π = d s = .4分33Γ再由Γ关于原点的对称性褬 可得x d s = 0.2分 Γ(x + 1)2d s =ΓΓ(x 2+ 2x + 1)d s =Γx 2d s +Γ8πd s = .2分3褳、设平面曲线L 为y I x 2褬起点为 褬终点为 褬求F x d y − y d x 褮解褺 首先褬∂ −y−(x 2+ y 2) + 2y 2y 2 − x 2P y =( ∂y x 2+ y 2 ) = (x 2 + y 2 )2 = (x 2 + y 2 )2 , ∂ x (x 2 + y 2) − 2x 2 y 2 − x 2Q x =( ∂x x 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 )2 = (x 2 + y 2 )2 . 既然 P y = Q x 褬 于是曲线积分与路径无关褻 褳分褳Lx 0 0 0 = e − (e − 1) = 1.3分= 2 (3, 0) (−3, 0)(9 s in 2 θ + 9 c os 2 θ)d θ = π.3分✓ ✓−−Ω f √r cos ϕ · r 2 sin ϕd r4分∂x d x∂y d y取新的路径 L I : y =√9 − x 2褬 起点为(3, 0)褬 终点为(−3, 0)褮 L I 的参数方程x = 3 c os θ, y = 3 s in θ褬 其中θ从褰变化到π褮 褲分代入曲线积分可得1f π褴、设曲面Σ是球面z = 2 x 2 y 2与锥面z = x 2 + y 2围成立体的表面褬 Σ的方向指向外侧褬 求FF x 2d y d z + y 2d z d x + z 2d x d y 褮解褺 由高斯公式褬原式 =fff(2x + 2y + 2z )d x d y d z.2分由Ω的对称性褬 可得FFFx d x d y d z =FFFy d x d y d z = 0.∴ 原式 = 2ffff 2πΩz d x d y d z fπ/4Ωf 2= 4ππ/4cos ϕ sin ϕd ϕ = π.2分✓ 3x 2y 4褵、设f (x, y ) =✓x 2 + y2, (x, y ) (0, 0) 褬 褨褱褩求∂f (0, 0)和∂f(0, 0)褻0, (x, y ) = (0, 0)∂x ∂y √2 √2 ∂f褨褲褩判断f (x, y )在点(0, 0)处是否可微褻 褨褳褩设向量l = ( 2, − )褬 求 (0, 0)褮 2 ∂l 解褺 褨褱褩因为f (x, 0) = 0褬 ∂f (0, 0) = df (x, 0)| = 0.同理褬 因为f (0, y ) = 0褬 ∂f (0, 0) = df (0, y )|= 0. 2分褴0 d θ 0= 2 Ω 0 9 Σ原式 =d ϕx =0 y =0t5 5 5 5褨褲褩 令∆y = k ∆x 褬 通过计算下列极限褬发现其与k 有关褬 从而极限不存在褮f (0 + ∆x, 0 + ∆y ) − f (0, 0) − f x (0, 0)∆x − f y (0, 0)∆ylim∆x →0∆y →0✓(∆x )2 + (∆y )2✓ 3(∆x )2(∆y )4✓ 3(∆x )2(k ∆x )4 k 4/3= lim ∆x →0(∆x )2 ∆y →0+ (∆y ) = lim ∆x →0(∆x )2 + (k ∆x )2 = 1 + k 2 .因此褬由定义可知函数 f (x, y )在点(0, 0)处不可微褮 褳分褨褳褩因为 l = ( √2 2, − √2 ) = (cos α, cos β)褬 由方向导数的定义可得2∂f (0, 0) = limf (0 + t cos α, 0 + t cos β) − f (0, 0)∂l t →0+ 1✓ 3 t 6 cos 2 α cos 4 β1 分= lim t →0+t· ✓t 2cos 2 α +t 2 cos 2= .3β 2三、应用题：（每题褹分，共褱褸分）褱、求圆x 2 + y 2 = 1上一点褬 使得该点到A (0, 0)、B (3, 0)、C (0, 4)的距离的平方之和最小褮解褺 令f (x, y, λ) = x 2 + y 2 + (x − 3)2 + y 2 + x 2 + (y − 4)2 + λ(x 2 + y 2 − 1)褮褳分由方程组f x = 4x + 2(x − 3) + 2λx = 0f y = 4y + 2(y − 4) + 2λy = 0 3分f λ = x 2 + y 2 − 1 = 0可解得驻点为(x, y ) = (± 3 , ± 4 )褻 由题意可知所求的点为( 3 , 4)褮褳分褲、设函数y = f (x )处处二阶可导，并且f (1) = f I (1) + 4 = e ，其函数图像上任意一点(x, y )处的切线与y 轴的交点为(0, u (x ))，若u − u I = y + 2x 2，求函数y = f (x )褮解褺 u (x ) − y = y I (0 − x )褬 u (x ) = y − xy I 褬 u I (x ) = y I − y I − xy II = −xy II 褮褵2∂u ∂v ∂wa 2 +b 2 +c 2= 1 (a, b, c > 0)I =d S α = 1 − a2 I 1 − αa 2 − β b 2因为u − u I = y − xy I + x y II = y + 2x 2，则当x0时褬 y II − y I = 2x.4分解方程y II − y I = 2x ，可得y = C 1e x + C 2 − x 2 − 2x.3分再由 f (1) = f I (1) + 4 = e ，可得y = e x − x 2 − 2x + 3.2分四、证明题：（每题褶分，共褱褲分）褱、设可微函数f (x, y, z )满足褺 f (t a x, t b y, t c z ) = t a +b +c f (x, y, z ), ∀t > 0褬 其 中 a, b, c 都是正整数褮 求证褺∂f ∂f ax (x, y, z ) + by ∂x ∂y ∂f (x, y, z ) + cz ∂z(x, y, z ) = (a + b + c )f (x, y, z ).证明褺 令u = t a x 褬 v = t b y 褬 w = t c z 褬 k = a + b + c 褮 对f (u, v, w ) = t k f (x, y, z )关于t 求导可得褺∂f (u, v, w )·at a −1x + ∂f (u, v, w )·bt b −1y + ∂f(u, v, w )·ct c −1z = k t k −1f (u, v, w ).褴分上述表达式中令t = 1褬 即有∂f ∂f ax (x, y, z ) + by ∂x ∂y ∂f(x, y, z ) + cz ∂z(x, y, z ) = (a + b + c )f (x, y, z ).褲、设为曲面x 2 y 2 z 2褲分褬FF褬c 2 褬β = 1 − b2 褮 褨褱褩 求证褺ff「Ix 2 y 2Ux 2 y 2a 2b 2褨褲褩 上述积分很难直接计算褬 试用你的想法给出1I 的估算公式褬 并给出该公π式在a = 1, b = 2, c = 3时的结果褮 褨保留两位小数褬 合理的估值均可得分褩褶1 − a2 − b 2D xy y 2 + x 2 d x d y, D xy : Σ c 2 Σ I = 2 :( 1.)∂x = − a 2 z 1 − a 2 − b 2 ∂y = − b 2 z , )y 2x 2 y 21 − a2 − b 2 − −2 2 a 1 α β I d x d y, 2分I ππ（ 22 b1 − αa2 − β b 2 I证褺 褨褱褩 I x 2y 2 褬 ∂z c 2 x 褬 ∂z c 2 y褱分d S = ！1 +c 2x 2−a 2 zc 2 y 2 + − b 2 zd x d y= 「I U 1 +x 2 c a 4 y 2 c 4 + d x d y「I 1 − (1 − c 2 a 2 ) x 2 a 2− (1 − c 2 y 2 b 2 ) b 2 d x d yU x 2 y 2I 「 x 21 − a2 − b 2 y 2U x 2 y 2 1 − a 2 − b2 由曲面Σ的对称性褬 只需要计算上半椭球面积的褲倍褻 因此褬ff 「Ix 2 y 2U x 2 y2a 2 b2褨褲褩 合理估值范围褺 4min {a 2, b 2, c 2} :( 1I :( 4max {a 2, b 2, c 2}. 参考估值公式褺1 I ≈ 4(a 2 + b 2 + c 2), π 314π I ≈ 3(ab + bc + ac ), 1 p πI ≈ 4a pb p + b pc p + a p c p, p > 0. 3当a = 1, b = 2, c = 3时褬 合理范围是 4 :( 1I :( 36 褮 事实上I ≈ 15.57褻 估值结果在[10, 20]上给褲分褻 估值结果在[4, 10) ∪ (20, 36]上给褱分褮褷1 − a2 − b 2D xy x 2 d x d y, D xy : = 1 − a 2 − b 2x 2 z = cI = 2 :( （ = y 21. 1分+。
微积分II期末(A)卷答案
《微积分II 》期末考试题（A ）答案一、填空题（每小题2分，共16分）1、{(,)0,0}x y y x x y ≤≥+>2、=)1,1(dz 2211(ln 2)22e dx e dy ++ 3、 04、235、sin ()x y x c e-=+ 二、选择题（每小题2分，共16分）1、 D2、D3、C4、B5、D6、C三、解答题（每小题5分，共40分）1、解：令xz e yz xy z y x F --=),,(则 xzz y xz x xe y F z x F ze y F --=-=-=,, 所以 xz xz z x xey ze y F F x z +-=-=∂∂ xzz y xe y z x F F y z +-=-=∂∂ 2、两边求全微分02)(=+---dz e dz xy d ez xy 02)(=+-+--dz e dz xdy ydx e z xy2)(-+=-z xy e xdy ydx e dz3、解：e e x dx e dx e dy xe dx dxdy xe x x xy xy D xy 1)()1()(101001011010=+=-===----⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4、解：因为 11)1(5lim 22=++∞→nn n n n ，又 ∑∞=121n n 收敛，所以∑∞=++12)1(5n n n n 收敛. 5、 313)1(3lim lim 11→+⋅=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ， 故收敛半径为3.又3=x 时， 级数∑∑∞=∞==⋅11133n n n n n n 发散， 3-=x 时， 级数()∑∑∞=∞=-=⋅-11)1(33n n n n n n n 收敛， 故收敛域为)3,3[- 6、解 1110<=-∑∞=x x x x n∑∑∞=++∞=-=-=-⋅-=-=∴012022233331133)(x n n x n n x x x x x x x x f 收敛域为13<x 即3<x 因此)3,3(330122--=-∑∞=++x n n x x x7、微分方程的特征方程为0522=+-r r特征根i r 211+=，i r 212-=，故方程通解为)2sin 2cos (21x c x c e y x+=。
《微积分(二)》期末复习试题a
《微积分（二）》期末复习试题aD区大一《微积分》（二）期末复习题A一、填空题1、复合函数yin45某可分解为______________________;2、若y=f （某）的定义域是[0，1]，则f(某2)的定义域是__________;某12某24某25某6____5、lim____6、lim_______;3、lim(3某1)___4、lim某1某1某2某某2某23某2in5某tan某in某3某22in某limlim______;limlim37、___8、_9._____10、某0某0某0某某2某23某某某tan某81某2某_____12．lim（）=____13．lim（1)某=__；（1某)某=___14、lim11、lim某0某某某0某某某23（1)3某4=______；16lim（1)2某=______；15、lim某某某某117、函数y1的间断点是______；是第______类间断点；2(某2)某218、函数f(某)2某1某19、函数f(某)3某1某2某2，当某2时的左极限是______；右极限是______；在某2处______；（填是否连续）某3，当某3时的左极限是______；某3右极限是______；极限是______；在某3处______；（填是否连续）20、函数y1当______时，是无穷大量；当______时，是无穷小量；(某1)211的间断点是______和______；(某2)某121、函数y22、函数yf(某)在点某处的导数f(某)表示曲线yf(某)在点（某，y）处的______和______；23、曲线yln某在点M（e，1）处的切线方程是____________；24、若函数yf(某)在点某0处可导，则yf(某)在点某0处必______，且limf(某)______；某某025、函数f(某)某312某1在定义域内是单调______的；26、函数f(某)(某1)6的凹区间为________；27、已知函数yf(某)在点某0处可导，且f(某0)是极小值，则f(某0)___；28、若点（1，4）是曲线ya某3b某2的拐点，则a=_____，b___；29、已知函数F（某）和G（某）都是函数f（某）的原函数，且G （某）=e某，F（0）=0，则F（某）=________；30、已知不定积分f(某)d某F(某)C,则f(某)F(某)d某________；231、根据定积分的几何意义可知：32、已知(2某b)d某0，则b=________；1某d某____；0121033、已知连续函数f(某)是奇函数，且f(某)d某1，则f(某)d某________；010134、曲线y=某3在点A(2,8)处的切线斜率为_________；二、选择题1、lime（）A0；B－∞；C+∞；D不存在。
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∞
⇒ g ′( x ) = ∑ x n =
n=1
⇒ g ( x ) = x 2 S ′( x ) = − x − ln(1 − x ) ⇒ S ′( x ) = − x − ln(1 − x ) ,x ≠0 x2
− x − ln(1 − x ) ,x ≠0 x2
⇒ S ′( x ) =
2.
∑
2n − 1 2( n −1) ; x 2n n =1
D
2
和直线 x + y = 2 所围成。
解: 曲线交点 (4, −2), (1,1) ⇒
∫
1 −2
dy ∫
2− y y2
( x + y )dx = ∫ (2 −
−2
1
y2 )dy = 3 2
五、1.求曲线 y = 2 x + 3, y = x 围成的面积.
2
解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[−1, 3]. 所求的面积为
∞
∞
⇒ ∫ S ( t )dt =
0
x 2 + x2 ⇒ S ( x ) = ,( − 2 < x < 2) 2 − x2 (2 − x 2 )2
九.
S=xy+2xz+2yz(x>0, y>0, z>0).在 xyz=k 下的最大值. 法 1 作函数 F(x, y, z)=xy+2xz+2yz+λ(xyz−k). Fx = y + 2 z + λ yz = 0 Fy = x + 2 z + λ xz = 0 解方程组 , = 2 + 2 + = 0 F x y xy λ z xyz = k
七、
dy + y = ex ; dx
− dx dx x 解 y = e ∫ ( e x ⋅ e ∫ dx + C ) = e − x ( e 2 x dx + C ) = e − x ( + C )
∫
∫
2
八、1.求幂级数
x 的收敛区域及和函数. ∑ n ( n +1) n =1
∞
n
解 幂级数的收敛域为[－1,1]略.设和函数为 S(x), 即 S ( x ) =
解 令 F ( x , y , z ) = x + 2 y + z − 2 xyz , 则 Fx′ = 1 − yz xyz , Fy′ = 2 − xz xyz , Fz′ = 1 − xy xyz ,
Fy′ xz − 2 xyz F ′ yz − xyz ∂z ∂z =− = =− x = , ∂x Fz′ Fz′ xyz − xy ∂y xyz − xy
∞
解 收敛域 ( − 2 < x <
2) ,设幂级数的和函数为 S(x), 则 x2 x n x2 2 = ∑( ) = = x2 2 − x2 2 n =1 1− 2
∞ 2
∫
x
x
0
S ( t )dt = ∑
x 1 1 2 n−1 x S ( t )dt = ∑ n x 2 n ⇒ ⋅ x n ∫ 0 n =1 2 n=1 2
得唯一可能的极值点 (3 2k , 3 2k , 1 3 2k ) . 2
法 2：由条件 xyz=k 有 z =
k 代入原函数求无条件极值. xy
3. 4.
∫ ∫
3 −3 1 0
x 7 9 − x 2 dx =
1 x
2
答＝0，(奇函数在对称区间的积分) （交换积分次序）答
dx ∫
f ( x，y )dy = x 2 + y 2 ，则 dz =
∫
1 0
dy ∫
y 0
f ( x，y )dy
5.设 z = ln 答Q z =
∞
1 xdx ydy ln( x 2 + y 2 ) ∴ dz = 2 + 2 2 2 x +y x + y2
∞
二、计算下列定积分 1.
∫
3 2
x x + 2dx
2..
∫
2 1
t 3 ln tdt
3 3 3
解 1 原式=
∫
3 2
( x + 2 − 2) x + 2d ( x + 2) = ∫ ( x + 2) 2 d ( x + 2) − ∫ 2 x + 2d ( x + 2) = L
2 2 2 1
1 2 t 4 ln t 4 解 2.原式= ∫ ln tdt = 4 1 4
−∫
2
1
t3 15 dt = 4 ln 2 − 4 16
三、判断下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散。说明理由
1.
∑ (−1)n
n= 2
∞
2 (条件收敛) n
2.
∑ (−1)n−1
n =1
∞
|u | 9n (绝对收敛) lim n + 1 = 0 n →∞ | u | n! n
四、计算二重积分
∫∫ ( x + y)dxdy ，其中 D 是由曲线 x = y
∑ n(n + 1) x
n=1
∞
1
n
⇒ S ′( x ) = ∑
∞
∞ 1 1 x n − 1 ⇒ 令 g ( x ) = x 2 S ′( x ) = ∑ x n+1 n = 1 ( n + 1) n =1 ( n + 1) x t −1+1 x ⇒ g ( x ) − g (0) = ∫ dt = − x − ln(1 − x ) 0 1− x 1− t
答:
6．
5n x 2 n 的收敛半径 R = ∑ n n =1
1 5
7、下列四个级数中，
∞ 1 n+1 、 ∑ ( −1)n 、 ∑ 5 n n =1 n − 2 n =1 ∞ ∞ 2 2n + 1 、∑ ∑ 4 n=1 n n =1 7 n − 3 ∞
发散的是
n+1 ∞ 5 2n + 1 n+1 答: ∑ ,注 ∑ 5 敛⇒ n −2 →1 1 n =1 7 n − 3 n =1 n − 2 n4
四川大学锦城学院期末复习题 一、填空题
−3 x 2 ⋅ cos x 1. = lim = − cos 0 = −1 x→0 x→0 sin x 3 3x2 ∂z _____, ∂z _______ 2. 设 x + 2 y + z − 2 xyz = 0 , 求 ∂y ∂x
x3
∫ lim
0
cos( 3 t )dt
=1
3
六、z=f(xy , x y); 其中 Leabharlann 具有连续二阶偏导数,求2
∂2z ∂x 2
解
zx=f1′⋅y2+f2′⋅2xy=y2f1′+2xyf2′, zxx=y2[f11′′⋅y2+f12′′⋅2xy]+2yf2′′+2xy[f21′′⋅y2+f22′′⋅2xy] =y4f11′′+2xy3f12′′+2yf2′′+2xy3f21′′+4x2y2 f22′′ =y4f11′′+4xy3f12′′+2yf2′′+4x2y2 f22′′,
A = ∫ (2 x + 3 − x 2 )dx = ( x 2 + 3 x −
−1 2
3
1 3 3 32 x ) |−1 = . 3 3
2. 求曲线 y = 2 x + 3, y = x 围成的几何图形绕 x 轴旋转体积.. 解V = π
2
∫
3
−1
(2 x + 3)2 dx − π ∫ x 4 dx = L