14-15章作业参考答案

14章作业参考答案

14-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。

解：先求圆弧在O 点的磁感应强度：由载流圆电流在圆心处的磁场R

I

B 20μ=

，则三分之一圆弧在圆心处的磁场R

I

B 601μ=

，方向：垂

直于纸面向外；再求直导线在O 点的磁感应强度：有限长直电流在O 处的磁感应强度为

R

I

R I

B πμπμ23)150cos 30(cos 60cos 4002=

?-??

=

（见书71页），方向：垂直于纸面向里。 ∴圆心O 处的总磁感应强度：）（）（3

1

32012-=-+

=πμR I

B B B ，方向垂直于纸面向里。

14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy 平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时O 点的磁感应强度。

解：a 段对O 点的磁感应强度：由无限长直电流在O 处的磁感应强度为R

I

B πμ20=

（也可用安环定理0S B d l I μ?=∑?求得），由对称

性，半无限长直电流在O 处的磁感应强度为，R

I

B a πμ40=

方向沿y 轴负向（在O 点）。∴04a I

B j R

μπ=-

。 b 段的延长线过O 点，0b B =（因为Idl 和r 夹角的正弦为零）。

c 段产生的磁感应强度为：，R I

R I B C 422100μμ==方向沿z 轴正向，∴04c I B k R

μ=，

则：O 点的总场强：k R

I j R I B O

4400μπμ+-=。

14-7．如图所示，长直电缆由半径为R 1的导体圆柱和同轴的内外半径分别为R 2、R 3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I 都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r 处的磁感应强度大小（∞<

解：利用安培环路定理

0S

B d l I μ?=∑?

分段讨论。

（1）如图所示，当10r R <≤时，有：2102

1

2r I

B r R ππμπ?=

∴012

1

2I r B R μπ=

；(其中I/πR 12

为电流面密度) （2）当12R r R ≤≤时，有：202B r I πμ?=，∴022I

B r

μπ=； （

3

）

当

23

R r R ≤≤时，有

：

22

2

3022

32

2()r R B r I I R R πππμππ-?=--， ∴22

32032232I B R r R r R μπ--=?；(其中)

(2223R R I -π为电流面密度) （4）当3r R >时，有：402()B r I I πμ?=-，∴40B =。

故有：02

1

011222

3

23223230(0)()()0

()222r R R r R B R r R r R I r

R I

r

R r r I R R μπμπμπ?<≤???≤≤??=??-??≤≤-??

>??

14-8．一橡皮传输带以速度v 匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为σ。

（1）求橡皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度B 的

大小；

（2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度v 及它所产生的磁场B 和电场E 之间满足下述关系：2

1B v E c =

?（式中0

01

με=c ）。 解：（1）如图２，设Δt 时间，传输带移动Δx, 则电流密度 ，

v a

t x

a a t q j σσ=?????=???=

如图３，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda ，考虑到橡皮带上等效电流密度为：，v j σ=橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据安培环路定理有：

j L l d B abcd

0μ=??

∴v L L B σμ02=?， 故磁感应强度B 的大小：02

v

B μσ=

；

也可以直接用无限大平面电流磁感应强度公式2

2

00v

j

B σμμ=

=。

（2）非相对论情形下：

图２

图３

图1

匀速运动的点电荷产生的磁场为：02?4qv r B r

μπ?=?， （r

? 为r 的单位矢量） 点电荷产生的电场为：20

1?4q E r r

πε=

?

， ∴0002220?11?44q qv r

v E v r B c r r μεμπεπ??=??=?=， 14-11．无限长直线电流1I 和直线电流2I 共面，几何位置如图所示，试求直线电流2I 受到电流1I 磁场的作用力。

解：建立坐标系如图２。在直线电流2I 上任意取一个小电流元dl I 2，此电流元到长直线的距离为x ，无限长直线电流1I 在小

电流元处产生的磁感应强度为：

x

I B πμ21

0=

方向垂直于纸面向里。

再利用d F I Bdl =，考虑到0

cos60

d x

dl =

，有： 0120

2cos60I I d x

d F x μπ=?

∴0120120ln 2cos60b a I I I I d x

b F x a

μμππ=?=?。 14-12．在电视显象管的电子束中，电子能量为12000eV ，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。该处地球磁

场的垂直分量向下，大小为55.510B T -=?，问：（1）电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北方向上通过20cm 时将偏转多远？

解：（1）根据f q v B =?可判断出电子束将偏向东。

（若q 是正电荷，受力向西，而实际是负电荷，故电子束受力向东）

（2）利用2

21mv E =

，有：m

E

v 2=， 而ma qvB f ==，∴1141028.62-??===

s m m E

m

qB m qvB a

（3）由类平抛模型，L=vt, ２

)(21212v

L a at y ==。代入数据，

得y=3mm 。

说明：本题“（3）问”网上的习题解答和书后的答案都有问题。洛仑兹力不能看成类平抛运动，而应当看成圆周运动。正确的解法是：

解：（3）如图所示，R 为圆周运动的半径，L 为电子束在显像管内在南北方向上通过距离，d 为偏转的距离。由几何关系：

22L R R d --= ①

再

由

B

电子束方向

-南北

图1

m

E

v 2=s m /496.6101.9106.112000231

19

＝－????=- m qB mv R 177.6105.5106.1496

.6101.95

1916＝---?????==

及L=0.2m 代入①式 可得 d=0.0025m=2.5mm

这一结果和前一解法结果相近，是因为地磁场太弱，类平抛模型和圆周运动误差不太大。 14-14．如图１所示，一个带有电荷q (0q >)的粒子，以速度v 平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷密度为λ（0λ>），并载有传导电流I 。试问粒子要以多大的速度运动，才能使其保持在一条和导线距离为d 的平行线上？

解：由安培环路定律

0l

B d l I μ?=?知，电流I 在q 处产生的磁感应强度为：02I B d

μπ=，方向向里；由，B v q F

?=运动电荷q 受到的洛仑兹力方向向左，大小：

02q v I F q v B d

μπ==

洛。

同时，由于导线带有线电荷密度为λ，在q 处产生的电场

强度可用高斯定律∑??=

?i

i

S

q

S d E 0

1ε （如图２）求得：由

h E h d λεπ0

1

2=

??，得02E d

λ

πε=

，q 受到的静电场力方

向向右，大小：02q F d

λπε=

电；

欲使粒子保持在一条和导线距离为d 的平行线，需F F =洛电，即：02q v I d

μπ02q d

λπε=

，

可得速度00v I

λ

με=

。

14-15．截面积为S 、密度为ρ的铜导线被弯成正方形的三边， 可以绕水平轴O O '转动，如图１所示。导线放在方向竖直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I 时，导线离开原来的竖直位置偏转一个角度θ而平衡，求磁感应强度。

解：设正方形的边长为a ，质量为m ，导线横截面积为S ，则aS m ρ=。平衡时重力矩等于磁力矩：

由，B m M

?=n e S I m

=（如图２），磁力矩的大小：

θθcos )90sin(22BIa BIa M =-?=；

重力矩为：sin 2sin 2sin 2

a

M mga mg mga θθθ=+?=。

平衡时：2cos 2sin BI a mga θθ=

图1

图２

图１

∴

22

tan tan mg gS

B

I a I

ρ

θθ

==。

补充题7：

解：（１）导体内，由安培环路定理（如图２）：

l

B d l I

μ

?=

?，

得

2πrB=μ0I(πr2/πR2) (r

∴

2

2R

r I

B

π

μ

=

π

μ

π

μ

π

μ

4

2

2

1

2

2

2

02

1

I

R

R

I

dr

R

Ir

S d

B R=

?

=

?

?

=

?

=

Φ???

(2) 导体外，由安培环路定理（如图２）, 得

2πrB=μ0I (R

∴

R

I

B

π

μ

2

=

2

ln

2

1

2

2

π

μ

π

μI

dr

r

I

S d

B R

R

=

?

?

=

?

=

Φ???

２

∴)2

ln

2

1(

4

2

ln

2

4

1

+

=

+

=

Φ

+

Φ

=

Φ

π

μ

π

μ

π

μI

I

I

２

思考题14参考答案

14-1．在图（a）和（b）中各有一半径相同的圆形回路1L、2L，圆周内有电流1I、2

I，其分布相同，且均在真空中，但在（b）图中

2

L回路外有电流

3

I，

1

P、

2

P为两圆形回路上的对应点，则：

12

12

()d d

P P

L L

A?=?=

??

B l B l B B

，；

12

12

()d d

P P

L L

B?≠?=

??

B l B l B B

，；

12

12

()d d

P P

L L

C?=?≠

??

B l B l B B

，；

12

12

()d d

P P

L L

D?≠?≠

??

B l B l B B

，。

答：B的环流只和回路中所包围的电流有关，和外面的电流无关，但是回路上的磁感应强度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以（C）对。

14-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关系？（x坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O）

图２

图1

图２

答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度2

3

2

2

20)

(2x R IR

B +=

μ

∴0=x 时，R

I

B 20μ=

； x R >>时，2

03

2IR B x

μ≈

。根据上述两式可判断（C ）图对。

14-3．取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：

(A)回路L 内的

∑I 不变，L 上各点的B 不变；

(B)回路L 内的∑I 不变，L 上各点的B 改变； (C)回路L 内的∑I 改变，L 上各点的B 不变； (D)回路L 内的 ∑I 改变，L 上各点的B 改变. 答：（B ）对。因为回路L 内的∑I 和三根导线在回路内的位置无关，但L 上各点的B

却和三根导线在回路内的位置有关。 14-4．一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管(r R 2=)，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小R B 和r B 应满足：

()2R r A B B =；()R r B B B =；()2R r C B B =；()4R r D B B =.

答：对于长直螺线管：nI B 0μ=，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，且电流I 相同，所以两螺线管磁感应强度相等，和长直圆筒的半径无关。故（B ）对。

14-5．均匀磁场的磁感应强度B 垂直于半径为r 的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为多少？

答：2

B r πΦ=。

14-6．如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面和磁场平行，在磁场作用下，线圈向什么方向转动？

答：ab 受力方向垂直纸面向里，cd 受力垂直纸面向外，在力偶矩的作用下，ab 垂直纸面向里运动，cd 垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时针旋转。

14-7．一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，则

（A ） 两粒子的电荷必然同号；

（B ） 粒子的电荷可以同号也可以异号； （C ） 两粒子的动量大小必然不同；

（D ） 两粒子的运动周期必然不同。 答：选（B ）。因两粒子的电荷可以同号也可以异号，如可以甲粒子q>0，逆时针运动，而乙粒子q<0，顺时针运动，故B 正确。

由qBv=mv 2/R, 动量P=mv=qBR, 若两粒子q 和R 乘积相同, 则动量大小相同，故C 错误。

同样，因qB

m

T π2=

，若两粒子荷质比相同，则周期相同，故D 错误。 15章作业参考答案

15-1．一圆柱形无限长导体，磁导率为μ，半径为R ，通有沿轴线方向的均匀电流I ，求：（1）导体内任一点的B H 、和M ；（2）导体外任一点的B H 、。

解：如图，面电流密度为：2

I

i R

π=。 （1）当r R <时，利用：l

H dl I ?=∑?，

有：2

12r H r i ππ?=，

∴导体内任一点的磁场强度12

2I r

H R π=，再由B H μ=，有导体内任一点的磁感应强度：12

2I r

B R μπ=

。 利用公式0

B

M H μ=

-，有磁化强度：222

00

1(1)222I r I r I r M R R R μμ

μπππμ=

-=-； （2）当r R >时，利用：

l

H dl I ?=∑?有：

导体外任一点的磁场强度：22I H r

π=

，磁感应强度：022I

B r

μπ=

。 15-3．螺绕环内通有电流20A ，环上所绕线圈共400匝，环的平均周长为40cm ，环内磁感应强度为1.0T ，计算：（1）磁场强度；（2）磁化强度；（3）磁化率；（4）磁化面电流和相对磁导率。

解：（1）磁场强度：由安培环路定理，

l

H dl I ?=∑?, 有Ｌ·H=NI ，

∴m A I L N H 4102204.0400

?=?==

； （2）磁化强度：m A H B M 5

4701076.710210

41?=?-?=-=-πμ； （3）磁化率： 由m A H

M

H M m m 8.38===χχ得，； （4）磁化面电流密度：m A M 5

1076.790sin '?=??=α，则磁化面电流：

A L I 55101.34.01076.7''?=??=?=α，

相对磁导率：0r B

H

μμ=39.8= (或8.3918.381=+=+=m r χμ) 补充题9:

μ

I

R

l

μ

铜和铝的磁化率分别为-1.0×10-5和+1.65 ×10-5（T=229K 时），它们的相对磁导率分别是多少，是顺磁质还是抗磁质？

答：铜的相对磁导率μr =9.99999, 铝的相对磁导率μr =1.0000165。铜是抗磁质，铝是顺磁质。

思考题15参考答案

15-1．何谓顺磁质、抗磁质和铁磁质，它们的区别是什么？

答：顺磁质：磁介质在磁场中磁化后，产生的附加磁场的方向和原来的磁场方向相同。

抗磁质：磁介质在磁场中磁化后，产生的附加磁场的方向和原来的磁场方向相反。 铁磁质：磁介质在磁场中磁化后，产生的附加磁场的方向和原来的磁场方向相同，并且附加磁场远远大于原来磁场。

（以下供参考）

15-2．将电介质和磁介质加以比较。 电介质 磁介质

在电场中能和电场发生作用的物质 在磁场中能和磁场发生作用的物质 产生极化电场 激发附加磁场 有无极分子位移极化和有极分子取向极化 有顺磁质、抗磁质和铁磁质 引入电极化强度和极化电荷 引入磁化强度和磁化电流 引入的电位移矢量和电介质无关 引入的磁场强度矢量和磁介质无关 有相对介电常数r ε 有相对磁导率r μ 电介质的存在减弱了原电场 磁介质的存在改变了原磁场

答：对于铁磁质来说，磁感应强度B 随磁场强度H 的变化而变化所形成的闭合曲线就叫磁滞回线。见教材P107页图15-11。