(完整版)《实变函数》考试说明解读
长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001实变函数2篇
长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001实变函数长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001实变函数精选2篇（一）长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001 实变函数实变函数是数学分析中的重要概念，是探究实数域上函数性质的根底。
在考研复试中，通常会涉及到对实变函数的理论性和应用性的考察。
下面是长沙理工大学2024考研复试实变函数的大纲：一、根本概念和根本性质1. 实数集的根本性质和定义2. 函数的根本定义和性质3. 实变函数的有界性与有界变差性4. 函数的连续性、连续点和连续类型二、导数和微分1. 导数的定义和性质2. 导数的计算法那么〔如和、积、商的求导法那么〕3. 微分的定义和性质4. 高阶导数和高阶微分5. 导数的应用〔如极值、凹凸性、函数图像的绘制〕三、广义积分1. 黎曼积分的定义和性质2. 黎曼可积性的断定定理3. 定积分的根本性质和计算方法4. 不定积分的根本性质和计算方法5. 反常积分的定义和性质6. 初等函数的原函数与不定积分四、级数与幂级数1. 数项级数的根本概念和性质2. 级数的收敛断定方法〔如比拟判别法、比值判别法、根值判别法〕3. 幂级数的收敛半径和收敛域4. 幂级数的和函数性质和求和方法5. 幂级数的应用〔如函数展开、近似计算〕五、函数序列与函数级数1. 函数序列的收敛性定义和断定方法2. 函数序列的一致收敛和极限函数的性质3. 函数级数的收敛性定义和断定方法4. 函数级数的均匀收敛性与各种一致收敛级数的判别法5. 函数级数的一致收敛和逐项积分此外，考生还需要纯熟掌握实变函数相关的根本练习题和典型例题，以及对应的解题方法和技巧。
考生在复试前应该对这些内容进展系统性的复习和总结，掌握实变函数的根本概念、根本理论和应用方法，以便在考试中可以纯熟运用。
长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001实变函数精选2篇（二）长沙理工大学2024考研复试大纲：F0801通信原理一、绪论1. 通信原理的概念和开展历史〔200字〕通信原理是研究信息传输的根本原理和方法的学科，是现代通信技术的重要根底。
《实变函数》考试大纲
《实变函数》考试大纲一、课程说明本大纲适用数学专业。
1 本课程的目的和要求实变函数是数学专业重要的分析基础课之一这一部分内容为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，通过本课程的学习，应使出学生较好的掌握测度和积分这个基本工具，特别是极限（或积分）和积分顺序的交换，并且在一定程度上掌握集的分析方法2 本课程的主要内容先介绍近代数学的基础——集与映射等有关概念，同时介绍实直线上的点集的性质，按着讲L-测度以及L-可测集的概念与性质，在介绍可测函数的概念与性质，接着是勒贝格积分的概念与性质，还有积分极限定理，R-积分与L-积分比较，Fubini定理，囿变函数，绝对连续函数及其中N-L公式，最后介绍Lp空间及其性质3 教学重点与难点本课程的重点是勒贝格测度与勒贝格积分。
实变函数的内容虽是微积分的继续深化，但在思想方法上确有较大的飞越，实变函数的一些概念比起数学分析来要抽象得多，这使得初学者对实变函数往往不太习惯，为使学生能较好地适应这一过度，教师在讲解时尽可能将主要概念的产生背景，以北及概念之间的内在联系加以介绍。
例如，教师应向学生交代，为什么要研究新的积分,为什么要研究可列可加测度等，讲解时既要严格论证又要形象说明，同时要配合典型例题，适当地加强对学生的基础训练，这是一个重要的学习环节，教师应当给学生布置一定数量的习题，使学生通过做习题，加深对课文的理解，也帮助学生提高自学能力和解题能力，并开阔思路。
4 本课程的知识范围与相关课程的关系本课是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解析几何中的一些基本知识，故本课程应安排在第四学期或第五学期讲授。
5 教材的选用绍兴文理学院数学系主要选用下面的教材江泽坚、吴智泉编《实变函数论》(第二版)，北京：高等教育出版社，2001年(国优教材).该教材论证严谨，重点突出，思路清晰，是一本国优教材。
实变函数 讲义
实变函数讲义【最新版】目录1.实变函数的定义和基本概念2.实变函数的性质和特点3.实变函数的分类和应用4.实变函数的典型例子和解析5.实变函数的数学工具和方法正文实变函数是数学中的一个重要分支，主要研究实数的变化规律和特性。
实变函数的定义是指以实数为自变量，以实数或实数集合为函数值的函数。
下面，我们将详细介绍实变函数的相关内容。
首先，实变函数具有以下性质和特点：1) 实变函数的值域为实数集或实数集合。
2) 实变函数可以是单射、满射或双射。
3) 实变函数可以具有连续性、可导性和积分性等性质。
其次，实变函数可以分为不同的类型和应用领域，如：1) 实数域上的实变函数，主要研究实数的变化规律；2) 复数域上的实变函数，主要研究复数的变化规律；3) 高维空间上的实变函数，主要研究高维空间的变化规律；4) 实变函数在物理学、工程学和经济学等领域具有广泛的应用。
接下来，我们来看实变函数的典型例子和解析：1) 指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，它是一个在实数域上的实变函数，具有连续性、可导性和正态分布等特点。
2) 对数函数：y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)，它也是一个在实数域上的实变函数，具有单调性、可导性和反函数等特点。
3) 三角函数：y = sin(x)、y = cos(x)、y = tan(x)，它们是在实数域上的周期函数，具有周期性、连续性和可导性等特点。
最后，研究实变函数需要运用一些数学工具和方法，如：1) 微积分：求导、积分和微分方程等；2) 级数：级数收敛性和级数求和等；3) 拓扑：极限、连续性和紧致性等；4) 实分析：实数的完备性、实数的连续性和实数的可微性等。
总之，实变函数作为数学中的一个重要分支，具有广泛的应用和深远的影响。
沈阳师范大学《实变函数论》(加试)2020年考研专业课加试大纲
《实变函数论》考试大纲一、课程简介《实变函数》是我校数学与统计各专业的一门重要专业基础课，它不仅是学习泛函分析、概率论、数理统计、测度论、计算方法、数理方程、随机过程等后继课程的一种工具，而且是一种高级思维模式；它不仅传播一门知识，而且培养一种思维品质。
因此，这门课程的好坏直接影响到21世纪人才的培养，进而影响到我国的科技发展水平与现代化进程。
实变函数论是现代数学的重要基础，人们常以实变函数理论的出现作为现代数学现代分析数学诞生的标志。
实变函数的中心任务是建立一种较之旧的黎曼积分更为灵活、有效的勒贝格（Lebesgue）积分理论。
采用集合论的思想方法研究数学分析中的问题是实变函数的主要特点。
目前，实变函数理论已渗透到现代数学的许多分支，它在数学各个分支的应用成为现代数学的显著特征。
由于思想方法独特，它的许多理论比起经典的分析学要深刻得多，应用起来也便利得多。
例如积分与极限交换不再要求一致收敛；重积分化为累次积分只需函数是可积的，等等。
另外，许多初等数学的基本概念和内容也需要实变函数的理论才能解释清楚。
二、考查目标主要考查学生对《实变函数》中基数，可列集，不可列集等；n维欧氏空间，开集，闭集，紧致集等；勒贝格测度，包括勒贝格测度的引入，内测度，外测度，可测集的性质；可测函数，包括可测函数的基本性质，可测函数的收敛性，可测函数的构造；勒贝格积分，包括勒贝格积分的引入，积分性质，积分序列的极限等各项知识的掌握情况，以及运用这些知识研究与解决分析问题的能力。
三、考试内容及要求第一章集合（一）考核知识点集合之间的交、差、余运算。
集列的上、下限集的概念及其交并表示。
单调集列的收敛。
――映射与集合对等及集合基数。
可数集，不可数集、基数为c 的集合。
（二）考核要求掌握集合及其运算。
集的对等及其基数。
掌握集之间的交、差、余运算。
掌握集列的概念及其交并表示。
理解单调集列的概念。
掌握――映射，两集合1。
实变函数解读
x, y dx
D
问题 2 怎样推广积分的定义使其类似于上述的定理在条
件更弱的情况下有同样的结论？
本课程将通过引入 Lebesuge 积分来解决上述各问题。
第一讲
一． 言归正传
第1章 集合
§1.1 集合的运算
一． 集合的定义及其运算
1. 集合运算的定义
m
(1) 并： A B ， An ， An ， A
实变函数
主讲人：朱培勇
第一讲
教学内容： （1）课程简介 （2）第1章 集合
第一讲
一、实变函数课程简介
1.什么是实变函数 定义：（1）实变函数：定义域为实数集合的函数。即，自变 量为实数变量的函数。 （2）实变函数论：研究实变函数的性质、特征的理论。即， 关于实变函数的一系列定义、命题及其逻辑框架结构。
. An An1
定理 2 (c1)若An 是单调上升的集列，则
中
lnimAn
n1 mn
Am
lim
n
An
An
n1
Am
m1
Am
mn
(c2) 若An 是单调下降的集列，则
lim An
Am
n
n1 mn
不可积。
问题 1.怎样推广导数的概念和可积得概念，使诸如 Dirichlet 之类的函数具有相应的运算性质？
（2）在《微积分》或《数学分析》中，积分与极限交换顺序 定理条件很强。
积分与极限交换定理 若每个函数 fn xn 1,2,3, 在区间a,b 可积，
且函数列 fn x 在区间a,b 一直收敛于函数 f x ，则 f x 在a,b 一致
实变函数与泛函分析要点说明
实变函数与泛函分析要点说明实变函数与泛函分析概要第⼀章集合基本要求：1、理解集合的包含、⼦集、相等的概念和包含的性质。
2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。
3、会求已知集合的并、交、差、余集。
4、了解对等的概念及性质。
5、掌握可数集合的概念和性质。
6、会判断⼰知集合是否是可数集。
7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。
8、了解半序集和Zorn引理。
第⼆章点集基本要求：1、理解n维欧⽒空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
2、掌握点、聚点的概念、理解外点、界点、孤⽴点的概念。
掌握聚点的性质。
3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。
4、会求⼰知集合的开集和导集。
5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握⼀批例⼦。
6、会判断⼀个集合是⾮是开（闭）集，完备集。
7、了解Peano曲线概念。
主要知识点：⼀、基本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原则：P0是E的聚点? P0的任⼀邻域，⾄少含有⼀个属于E⽽异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞）2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A?B，则A?B，·Ａ?·Ｂ，－Ａ?－Ｂ。
T3：（A∪B）′=A′∪B′.3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）T1：对任何E?R?，?是开集，E′和―Ｅ都是闭集。
（?称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。
T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。
T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。
T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是⼀个有界闭集，?是⼀开集族{Ui}i?I它覆盖了F（即Fс∪ｉ?ＩUi），则?中⼀定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即F?ｍ∪ Ui）（i?I）4、开（闭）集类、完备集类。
实变函数解读
x n
Am n 1 m n
为序列 An 的
Am
n 1 m n
为 An 的下限集，记
作 lim A 或者 lim inf A 。
n n
x
n
如果 limA
x
n
lim An ，则称集合序列
n
An 有极限，或称集合序
B
C A B C
(5) A B C A B A C
A
B ，其中 A B A B
B A
第一讲
(9) A B C A B A C (10) A B C A B A C (11) 若 B A S ，则 Cs A Cs B (12) 若 B A ，则 B A B ， A B A De Morgan 定律 设 S 是一个集合， A 是一族集合，
实变函数
主讲人：朱培勇
第一讲
教学内容： （1）课程简介 （2）第1章 集合
第一讲
一、实变函数课程简介
1.什么是实变函数 定义：（1）实变函数：定义域为实数集合的函数。即，自变 量为实数变量的函数。 （2）实变函数论：研究实变函数的性质、特征的理论。即， 关于实变函数的一系列定义、命题及其逻辑框架结构。 2.为什么要学习实变函数论 实变函数论是数学的一个重要分支。它在现代数学的许多分 支有重要应用，也在许多应用基础研究中有重要应用。数学与工 程中的许多问题需要《实变函数》。
第一讲
实变函数
非 线 性 分 析
稳 定 性 理 论
泛 函 分 析
程积 分 方
数 理 方 程
实变函数论中的基本概念及性质分析
实变函数论中的基本概念及性质分析实变函数论是数学分析中的重要内容，主要研究实变函数的基本概念和性质。
实变函数是指定义域和值域都是实数的函数，在实际问题中具有广泛应用。
本文将从实变函数的基本概念、连续性、可导性、极限以及函数的性质等方面对实变函数进行分析。
一、实变函数的基本概念实变函数是数学中最基本的概念之一，它与虚变函数相对应，是指定义域和值域都是实数的函数。
实变函数可以表示为f：D→R，其中D为定义域，R为值域。
实变函数的定义域可以是一个区间、多个区间的并或交，甚至是整个实数集。
实变函数的定义有一些特点，首先是唯一性，同一个定义域和值域的实变函数只能有一个。
其次是有定义性，即每个值域中的元素都有相应的定义域中的元素与之对应。
此外，实变函数还具有有界性、单调性、周期性等多种性质。
二、实变函数的连续性和可导性连续性和可导性是实变函数的重要性质，对于函数的性质和应用具有重要意义。
连续性是指在定义域上函数的变化没有突变，没有间断点。
实变函数在某一点x=c处连续的充分必要条件是：函数在x=c处的极限存在且等于函数在x=c处的值。
如果函数在定义域的每一点处都连续，则称函数在该定义域上连续。
可导性是指函数在某一点处的导数存在。
实变函数f(x)在点x=c处可导的充分必要条件是：函数在点x=c处的两侧导数存在且相等。
如果函数在定义域的每一点处都可导，则称函数在该定义域上可导。
三、实变函数的极限极限是实变函数论中的重要概念，用于描述数列或函数在某一点处的逼近情况。
对于实变函数f(x)，当x无限靠近a时，f(x)无限靠近L，我们称L是函数f(x)在点x=a处的极限。
实变函数的极限有一些基本性质，如保号性、四则运算、夹逼准则等。
利用这些性质，我们可以求解实变函数的极限，帮助我们更好地理解和分析函数的行为。
四、实变函数的性质分析实变函数的性质分析是数学分析中的重要内容，可以帮助我们更深入地研究函数的特点和应用。
实变函数的性质有很多，如有界性、单调性、周期性、奇偶性等。
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《实变函数》考试说明
近世代数是广播电视大学数学专业（本科）的一门重要的专业基础课，本期近世代数期末考试内容是教材《实变函数》的内容。
试题有填空题、证明题，试题的难易程度和教材《实变函数》的习题相当。
希望同学们在期末复习时，做好教材《实变函数》中的每章的习题。
第一章集合
一提要
第一节集合及其运算。
第二节映射及其基数。
第三节可列集
第四节不可列集
二教学要求
1）理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。
2）掌握集之间的交、差、余运算。
3）掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。
4）理解集列的收敛、单调集列的概念。
5）掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
6）理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。
7）理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，
理解不存在最大基数的定理的意义。
第二章点集
一．提要
第一节聚点、内点、界点等概念
第二节开集、闭集、完备集。
第三节直线上的开集、闭集及完备集的构造。
第四节点集间的距离
第五节康托集及其性质
二．基本要求
1）明了n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。
2）理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。
3）理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。
4）理解直线上开集、闭集、完备集的构造。
5）理解康托集的构造、特性。
第三章勒贝格测度论
一．提要
第一节勒贝格外测度及其内测度。
第二节勒贝格可测集及其性质。
第三节勒贝格可测集的构造。
二．基本要求
1）理解测度的意义。
2）理解外测度的意义，掌握其有关性质。
3）理解可测集的定义，掌握可测集的性质。
4）了解并掌握不可测集的存在性这一结论。
第四章勒贝格可测函数
一．提要
第一节点集上和函数。
第二节勒贝格右测函数。
3）可测函数列的收敛性。
4）可测函数的构造。
二．基本要求
1）掌握可测函数的定义及等价定义。
2）掌握可测函数的有关性质。
3）理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。
4）掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。
5）掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。
6）理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与a·e收敛的联系与区别。
第五章勒贝格积分论
一．提要
第一节测度有限集合上的有界函数的积分。
第二节有界函数积分的初等性质。
第三节一般可测集上的一般函数的积分。
第四节积分极限定理。
第五节积空间与富比尼定理。
第六节微分也不积分。
二．基本要求
1）了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续（不要求掌握证明）。
2）理解勒贝格积分的定义及其建立过程。
3）理解R积分与L积分的关系。
4）理解L积分的性质，特别是掌握L积分的绝对可积性和绝对连续性。
5）掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。
6）掌握富比尼定理（不证）。
7）理解有界变差函数及全变差的定义，掌握其性质。
8）理解Vitali复盖的意义。
9）理解有界变差函数的导数性质，了解Q函数的构造和性质。
10）理解不定积分与绝对连续函数的意义，掌握其性质。