最优控制动态规划1
在多数实际问题中， 级决策的性能指标 取如下形式
是由某级状态和决策决定的性能函数，要求
寻找决策
使J取极小值 。
最优性原理可表示为
根据上式就可证明最优性原理的正确性。若以 为
初态时，余下的决策
不是最优的
，那么就存在另一决策序列
所决定
的指标值
，于是
这与
是极小值发生矛盾，所以余下的决策必须
是最优的。
。两种路线
最优决策为
。
由 到 只有一种路线
，
其时间为 由 到E也只有一种路线 C3D2E ， 其时间为
n=3（倒数第三段）
从B2到E有两种路线：
和
最短时间为： 最优决策
n=4（倒数第四段 ）
从A到E的路线有两种：
和
。
最优决策为
至此求出了A到E的最短时间为9，最优路线
为
。在图中用粗线表示。这里，为
令
表示从点 到点
例如，从 到 的时间为
的时间。
有了这些术语后，就可用动态规划来解这
个例子。从最后一段出发进行计算，并将
计算出的最短时间
用括号表示在相
应的点 处（见图6-1）。
n=1 （倒数第一段）
考虑从 和 到 最短时间分别为
的路线，由定义可知，
n=2（倒数第二段）考虑从
到 的路线。
由 到 有两种路线： ， 中的最短时间由下式确定：
令 表示由某点 到终点的段数（如 到 为2
段，
。
令 表示当前所处点的位置（如 为状态变量。
），称
令 为决策（控制）变量，它表示当处在 位置而还有 段要走时，所要选取的下一点。 例如，从 出发，下一点为 时，则表示为
。
令 表示在位置 ，向终点还有 段要走时 ，由 到终点 的最短时间。 例如，从C2到E的最短时间为4，可表示为 T2(C2)=4。
显然当段数很多时，计算量是很大的。这种方 法的特点是从起点站往前进行，而且把这四级决 策一起考虑。应注意从到 下一站 所花的时 间为1，而到 所花时间为3，但最优路线却不 经过 。
这说明只看下一步的“眼前利益”来作决策是 没有意义的。
对比一下最开始的例子
为将问题表达得清楚，引进下面的术语（写法并不 完全一样）。
从哪下手？
3 5 4
从最后一级开始计算：
9
1
4
5
5
2
4
8
6
1
3
4
5
6
9
2
4
7
1
4
5
7
2
WN(x)：表示从状态x到终点F的N级过程的最短距离； SN (x)：决策变量，表示当处于状态x，还有N级时，所选取的下一个点 ；
同理
9
1
4
3
5
5
2
4
8
5
3
4
6
1
4
5
6
9
2
1
44
7
2
7 5
所以，最短路线为
最短距离为14
最优控制序列为 最优性能指标为
连续系统的动态规划
设系统的状态方程和性能指标为
（6-19）
（6-20）
受约束，可写成
为某一闭集。要寻找
满足此约束且使 最小的最优控制 。
设时间 在区间
内，则根据最优性原理，从
到 这一段过程应当是最优过程。把这段最优
指标写成
,则
（6-21）
显然 满足终端条件
通常假定 。
6-2 离散最优控制问题
设控制系统的状态方程为
式中x(k)是k时刻的几维状态向量，u(k)是k时刻的p维容许控制向量，设系 统在每一步转移中的性能指标为F[x(k),u(k)]
如在u(0)的作用下
在u(1)的作用下
对N级决策过程
性能指标
要求选择控制序列 根据最优性原理
使性能指标达到极小
解上述递推方程，即可获得最优控制序列。
最优控制动态规划1
最短路线问题
问题: 要求从A地到F地，选择一条最短的线路。
9
1
4Leabharlann 3552
1
4
8
6
5
3
4
5
6
9
2
4
4
1
4
7
2
7 5
为了便于分析，引入几个符号：
N：从某点到终点之间的级数； x：表示在任一级所处的位置，称为状态变量； SN (x)：决策变量，表示当处于状态x，还有N级时，所选取的下一个点； WN(x)：表示从状态x到终点F的N级过程的最短距离； d(x, SN)：表示从状态x到点SN的距离。
图6-2 最优性原理示意图
动态规划的特点：
一是它从最后一级反向计算； 二是其将一个N级决策问题化为N个单级决策问题 。 好处：将一个复杂问题化为多个简单问题加以求解 。
最优性原理
贝尔曼的最优性原理可叙述如下： “一个多级决策问题的最优决策具有这样的性质：当 把其中任何一级及其状态作为初始级和初始状态时， 则不管初始状态是什么，达到这个初始状态的决策是 什么，余下的决策对此初始状态必定构成最优策略。 ”
一个N级最优过程，不管第一级决策如何，其余N-1级，决策过程至少必须依据 第一级决策所形成的状态组成一个N-1级最优过程，在此基础上，在选择第一级 决策，使总的N级过程为最优。
这种递推关系可以用下列递推方程式来表达：
是不是穷举法？
再看一个例子
最短时间问题
问题：设有人要从 A 点开车到 E 站，中间要经过任意三个中 间站，站名在图中圆圈内表示。站与站之间称为段，每段路 程所需时间（小时）标在段上。现要问，这人应如何选择路 线才能最快到达目的地？
决定最优路线进行了10次加法，比穷举法的18次
少了8次。当段数n更多时，节省计算将会更多。
以上面的最短时间问题为例，如把 当作初
始状态，则余下的决策
对 来讲是最优策略
；如把 当初始状态，则余下的决策
对
来讲也构成最优策略。一般来说，如果一个最优过
程用状态
来表示，最优决策为
，则对状态 来讲，
必定是最优的，这可用图6-2来表示。
例6-1 设一阶离散系统的状态方程为
初始条件为x(0)，控制变量u不受约束，性能指标为
求最优控制u*(t)，使J达最小，为简便起见，设N＝2 解 设在u(0)、u(1)作用下，系统状态为x(0)、x(1)、x(2) 先考虑从x(1)到x(2)的情况，控制为u(1)
再考虑从x(0)到x(1)的情况，控制为u(0)
对 及 的二阶偏导数存在且有界
现在，考虑系统从 出发，到 分两步走：先从 到 ，再 从到 ， 是小量，则
根据最优性原理，从 。
（6-23） 也应是最优过程
因
故
这样，式（6-23）可写成
什么是穷举法?
从 走到 一共有六条路线，每条路 线由四段组成。这六条路线和对应的行车时间 如下
路线
显然最优路线是
行车时间（小时） 13 11 14 13 12 9
，它所花时间为9小时。
这里每条路线由四段组成，也可以说是四级决 策。
为了计算每条路线所花时间，要做三次加法运 算，为了计算六条路线所花的时间要作3×6=18次 运算。这种方法称为“穷举法”。
最优控制-第七章-动态规划法
当∆t很小时，有
t t
t
Lx, u, t d t Lx, u, t t
J x, t min
*
min
uU
uU
tf
t0
Lx, u, t d t Φ xt f
tf t t
t t
t
Lx, u, t d t
Lx, u, t d t Φ xt f
P1 11
7
P2 4 2
P3 4 4
12 A 4 8 Q1
4 3 2 2 Q3 B
5 Q2
第一段：P1、Q1的前站是始发站A。显见从
A到B的最优值为12，故得最优路线为AQ1P2Q3B。
综上可见，动态规划法的特点是： 1) 与穷举算法相比，可使计算量大大减少。如
上述最优路线问题，用动态规划法只须做10次
J x, t min Lx, u, t t J xt t , t t
* * uU
(8)
* J x , t J x, t * * J x x, t t J x, t t (12) x t x * T
A城出发到B城的行车时间最短。
P1 3 A 4 Q1 1
7
P2
2
P3 4
4
6 8 2 Q2
3 3 3
2 Q3 4
2
B
现将A到B分成四段，每一段都要作一最优决 策，使总过程时间为最短。所以这是一个多段最 优决策问题。 由图2可知，所有可能的行车路线共有8条。 如果将各条路线所需的时间都一一计算出来，并 作一比较，便可求得最优路线是AQ1P2Q3B，历时 12。这种一一计算的方法称为穷举算法。这种方 法计算量大，如本例就要做3×23=24次加法和7次 比较。如果决策一个n段过程，则共需(n-1)2n-1次 加法和(2n-1-1)次比较。可见随着段数的增多，计 算量将急剧增加。
最优控制问题的动态规划法
最优控制问题的动态规划法动态规划法是一种常用的最优控制问题求解方法。
它通过将问题分解为子问题，并保存子问题的最优解，最终得到整体问题的最优解。
本文将介绍最优控制问题的动态规划法及其应用。
一、概述最优控制问题是指在给定控制目标和约束条件下，通过选择一组最优控制策略来实现最优控制目标。
动态规划法通过将问题分解为若干个阶段，并定义状态和决策变量，来描述问题的动态过程。
并且，动态规划法在求解过程中通过存储子问题的最优解，避免了重复计算，提高了计算效率。
二、最优控制问题的数学模型最优控制问题通常可以表示为一个关于状态和控制的动态系统。
假设系统的状态为$x(t)$，控制输入为$u(t)$，动态系统可以表示为：$$\dot{x}(t) = f(x(t), u(t))$$其中，$\dot{x}(t)$表示状态$x(t)$的变化率，$f$为状态方程。
此外，系统还有一个终止时间$T$，以及初始状态$x(0)$。
最优控制问题的目标是找到一个控制策略$u(t)$，使得系统在给定时间$T$内，从初始状态$x(0)$演化到最终状态$x(T)$，同时使得性能指标$J(x,u)$最小化。
性能指标通常表示为一个积分的形式：$$J(x,u) = \int_0^T L(x(t), u(t)) dt + \Phi(x(T))$$其中，$L$表示运动代价函数，$\Phi$表示终端代价函数。
三、最优控制问题的动态规划求解最优控制问题的动态规划求解包括两个主要步骤：状态方程的离散化和动态规划递推。
1. 状态方程的离散化将状态方程离散化可以得到状态转移方程。
一般来说，可以使用数值方法（如欧拉方法、龙格-库塔方法）对状态方程进行离散化。
通过选择适当的时间步长，可以平衡计算精度和计算效率。
2. 动态规划递推动态规划递推是最优控制问题的关键步骤。
假设状态函数$V(t,x)$表示从时刻$t$起，状态为$x$时的最优性能指标。
动态规划递推过程通常可以描述为以下几个步骤：（1）递推起点：确定最终时刻$T$时的值函数$V(T,x)$，通常可以根据终端代价函数$\Phi$直接得到。
最优控制 公式
最优控制公式
最优控制是指在给定系统模型和性能指标的情况下，通过优化算法寻找系统输入的最优策略。
最优控制的数学描述可以使用最优控制公式来表示。
在最优控制中，通常使用动态系统的状态变量来描述系统的演化，并通过控制输入来影响系统的行为。
最优控制公式可以分为两类：动态规划和最优控制问题。
1.动态规划公式：动态规划是一种通过将问题划分为连续的子问题来求解最优控制策略的方法。
基于动态规划的最优控制公式为贝尔曼方程，它描述了最优值函数的递归关系。
贝尔曼方程通常写作：
$$V(x)=\min_u[g(x,u)+\int_{t_0}^{t_1}L(x,u)dt+V'(x )f(x,u)]$$
其中，$V(x)$是最优值函数，$x$是系统状态，$u$是控制输入，$g(x,u)$是即时收益函数，$L(x,u)$是运行损失函数，$f(x,u)$是系统动态的微分方程。
动态规划方法基于最优子结构的原理，通过递归地求解子问题来求得全局最优解。
2.最优控制问题的公式：最优控制问题可以用最小化一个性能指标的函数来描述，通常称为性能指标函数或者代价函数。
$$J(u)=\int_{t_0}^{t_1}L(x,u)dt$$
其中，$J(u)$是性能指标函数，$L(x,u)$是运行损失函数，$x$是系统状态，$u$是控制输入。
最优控制问题的目标是找到合适的控制输入$u$，使得性能指标函数$J(u)$最小化。
求解最优控制问题的方法包括动态规划、最优化方法、解析解等。
综上所述，最优控制公式是通过数学描述来求解最优控制策略的公式。
根据具体问题的不同，可以使用动态规划公式或者最优控制问题的公式来描述最优控制问题。
动态规划在最优控制中的应用
动态规划在最优控制中的应用在控制工程领域，如何实现系统的最优控制一直是一个关键且具有挑战性的问题。
动态规划作为一种有效的数学工具，为解决这类问题提供了强大的支持。
要理解动态规划在最优控制中的应用，首先得明白什么是最优控制。
简单来说，最优控制就是在满足一定约束条件的情况下，找到一种控制策略，使得某个性能指标达到最优值。
比如说，在一个生产过程中，我们希望在保证质量的前提下，以最小的成本、最短的时间生产出最多的产品，这就需要找到最优的控制策略来调整生产线上的各种参数。
那么动态规划又是如何发挥作用的呢？动态规划的核心思想是将一个复杂的多阶段决策问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过逐步求解这些子问题来得到原问题的最优解。
举个简单的例子，假设我们要从 A 地前往 B 地，途中经过多个中间地点。
我们有多种交通方式可以选择，比如步行、骑车、坐公交或者打车。
每种交通方式都有不同的花费和所需时间。
我们的目标是在给定的预算和时间限制内，找到最快到达 B 地的路径。
这就可以看作一个最优控制问题。
使用动态规划来解决这个问题时，我们会从最后的目的地 B 开始倒推。
对于每个中间地点，我们会计算从该地点到 B 地的最优路径和成本。
然后逐步向前推进，直到起点 A。
通过这种方式，我们可以在每一步都做出最优的决策，最终得到从 A 地到 B 地的最优路径。
在实际的工程应用中，动态规划常用于解决诸如资源分配、生产调度、库存管理等问题。
以资源分配为例，假设有一定数量的资源需要分配给多个项目，每个项目对资源的需求不同，产生的效益也不同。
通过动态规划，我们可以确定如何分配资源，以使总效益达到最大。
在动态规划的求解过程中，一个重要的概念是贝尔曼最优性原理。
它指出，一个最优策略具有这样的性质：无论初始状态和初始决策如何，对于第一个决策所产生的新状态，后续的决策必须构成针对新状态的最优策略。
这就像我们前面提到的旅行例子，无论我们在哪个中间地点，后续的决策都应该是基于当前位置到达目的地的最优选择。
动态规划原理与最优控制
J *[x(2)] min {x2 (2) u2 (2) J *[x(3)]} u(2) min {x2 (2) u2 (2) [x(2) u(2)]2} u(2)
上述最优化问题的解为
u *(2) 1 x(2) 2
最优目标函数为
J *[x(2)] x2 (2) [ 1 x(2)]2 [x(2) 1 x(2)]2 3 x2 (2)
min L[x(k),u(k),k] J *[x(k 1),k 1] u(k)
J *[x(N), N] min {L[x(N),u(N), N]} u(k) 23
例1
设离散系统的状态方程为
x(k 1) x(k) u(k) k 0,1,, N 1
已知 x(0) x0
5
2
5
5
27
K=0时
J *[x(0)] min {x2 (0) u2 (0) J *[x(1)]} u(0)
min
{x2 (0) u2 (0) 8 [x(0) u(0)]2}
u(0)
5
求解可得
u *(0) 8 x(0) 13
最优目标函数为
J *[x(0)] x2 (0) [ 8 x(0)]2 8 [x(0) 8 x(0)]2 21 x2 (0)
使目标泛函
N 1
J L[x(k), u(k), k] k 0
取极小值
17
动态规划的目的
使 J 最小
即 min J
将以 x( j)为初态的 N-j(=k) 级最优决策
N
J *[x(k), k)] min{ L[x( j), u( j), j]} jk
最优控制动态规划1
例6-1 设一阶离散系统的状态方程为
初始条件为x(0)，控制变量u不受约束，性能指标为
求最优控制u*(t)，使J达最小，为简便起见，设N＝2 解 设在u(0)、u(1)作用下，系统状态为x(0)、x(1)、x(2) 先考虑从x(1)到x(2)的情况，控制为u(1)
再考虑从x(0)到x(1)的情况，控制为u(0)
在多数实际问题中， 级决策的性能指标 取如下形式
是由某级状态和决策决定的性能函数，要求
寻找决策
使J取极小值 。
最优性原理可表示为
根据上式就可证明最优性原理的正确性。若以 为
初态时，余下的决策
不是最优的
，那么就存在另一决策序列
所决定
的指标值
，于是
这与
是极小值发生矛盾，所以余下的决策必须
是最优的。
能用计算机求数值解。对于线性二次问题，可以得到解
析解，而且求解结果与用极小值原理或变分法所得结果
相同。这时，哈密顿——雅可比——贝尔曼方程可归结 为黎卡提方程。在实际计算线性二次问题时，一般用直
接求解黎卡提方程来求最优控制。
例6-3 设系统状态方程为
初始状态
不受约束，性能指标为
求最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。 解
由于 因为系统是时不变的，并且性能指标的被积函数不是时间的显函数，故
解 由于
因为系统是时不变的，并且性能指标的被积函数不是时间的显函数，故 解得
引用以前使用过的哈密顿函数 则（6-25）可写成
（6-26） （6-27）
（6-28）
思考题
• HJB方程与极小值原理的区别和联系？
动态规划与极小值原理
哈密顿函数在最优控制上取极值的条件，故等同于
最优控制问题的动态规划算法
最优控制问题的动态规划算法动态规划（Dynamic Programming）是一种解决多阶段决策问题的优化方法，对于最优控制问题而言，动态规划算法是一种有效的求解方法。
本文将介绍最优控制问题以及如何使用动态规划算法解决该类问题。
一、最优控制问题简介最优控制问题是在给定系统的一些约束条件下，通过对系统进行控制使得某个性能指标达到最优的问题。
该问题可以形式化地表示为数学模型，通常由状态方程、性能指标和约束条件组成。
二、动态规划算法原理动态规划算法采用自底向上的方法，通过建立递推关系，将原问题分解为若干个子问题，并以自底向上的顺序求解子问题的最优解，最终得到原问题的最优解。
三、最优控制问题的动态规划算法步骤1. 确定阶段数和状态变量：将最优控制问题划分为多个阶段，并定义每个阶段的状态变量。
状态变量可以是系统的状态、控制量或其他相关变量。
2. 建立状态转移方程：根据最优控制问题的约束条件和性能指标，建立各个阶段之间的状态转移方程。
状态转移方程表示了系统在不同阶段之间的演化过程。
3. 定义性能指标：根据最优控制问题的要求，定义系统的性能指标。
性能指标可以是系统的能量消耗、最大收益或其他相关指标。
4. 确定边界条件：确定最优控制问题的边界条件，即初始状态和终止状态。
5. 递推求解最优解：采用动态规划算法的核心步骤，即按照递推关系将问题分解为若干个子问题，并求解子问题的最优解。
6. 反推最优解：根据子问题的最优解，反向推导出原问题的最优解。
四、最优控制问题的应用举例以经典的倒立摆问题为例，倒立摆的目标是通过对摆的控制使其保持垂直。
假设倒立摆由质量为m的杆和质量为M的滑块组成。
其动态方程可以表示为：（这里给出具体的动态方程式，包含各个参数和变量）通过建立状态方程和性能指标，我们可以将倒立摆问题转化为最优控制问题。
然后利用动态规划算法求解。
五、总结最优控制问题是一类常见的优化问题，在实际应用中具有广泛的应用价值。
最优控制与最优化问题中的动态规划方法
最优控制与最优化问题中的动态规划方法动态规划方法是一种在最优控制和最优化问题中常用的方法。
它通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
本文将介绍动态规划方法的基本原理和应用，以及其在最优控制和最优化问题中的具体应用案例。
一、动态规划方法的基本原理动态规划方法的基本原理是将原问题分解为若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
具体来说，动态规划方法有以下几个基本步骤：1. 定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。
2. 确定状态转移方程：根据问题的特点和约束条件，确定状态之间的转移关系。
3. 确定边界条件：确定问题的边界条件，即最简单的情况下的解。
4. 递推求解：利用状态转移方程和边界条件，递推求解问题的最优解。
二、动态规划方法在最优控制中的应用动态规划方法在最优控制中有广泛的应用。
最优控制问题的目标是找到一种控制策略，使得系统在给定的约束条件下达到最优性能。
动态规划方法可以用来求解最优控制问题的控制策略。
以倒立摆控制为例，倒立摆是一种常见的控制系统，其目标是使摆杆保持竖直位置。
动态规划方法可以将倒立摆控制问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的控制动作。
通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个控制过程的最优策略。
三、动态规划方法在最优化问题中的应用动态规划方法在最优化问题中也有广泛的应用。
最优化问题的目标是找到一组变量的最优取值，使得目标函数达到最小或最大值。
动态规划方法可以用来求解最优化问题的最优解。
以旅行商问题为例，旅行商问题是一个经典的最优化问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商能够经过所有城市并且总路程最短。
动态规划方法可以将旅行商问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的下一个城市。
通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个旅行路径的最优解。
四、动态规划方法的优缺点动态规划方法有以下几个优点：1. 可以求解复杂的最优控制和最优化问题，具有较高的求解效率。
动态规划在最优控制问题中的应用
动态规划在最优控制问题中的应用在现代科学与工程领域中，最优控制问题是一个至关重要的研究方向，它旨在寻找在一定条件下能够使系统性能达到最优的控制策略。
而动态规划作为一种强大的数学工具，在解决最优控制问题方面发挥着关键作用。
动态规划的基本思想可以用一个简单的例子来理解。
假设你要从 A 点走到 B 点，途中有多个阶段，每个阶段都有不同的选择，比如向左走、向右走或者向前走。
动态规划的方法就是从终点 B 开始倒推，计算在每个阶段采取不同选择所得到的最优结果，最终找到从 A 点到 B点的最优路径。
在最优控制问题中，我们通常需要考虑系统的状态、控制输入以及性能指标。
系统的状态描述了系统在不同时刻的特征，控制输入则是我们可以施加的影响，而性能指标则用于衡量控制策略的优劣。
动态规划通过将整个控制过程分解为一系列子问题，并逐步求解这些子问题，从而找到最优的控制策略。
例如，在工业生产中，我们希望通过控制生产线上的机器速度、温度等参数，以最小化生产成本或最大化生产效率。
这就是一个典型的最优控制问题。
利用动态规划，我们可以将生产过程划分为多个阶段，每个阶段考虑当前的状态和可能的控制输入，计算出在该阶段采取不同控制策略所带来的成本或效率变化，然后逐步向前推进，最终找到整个生产过程的最优控制策略。
动态规划在最优控制问题中的应用具有诸多优势。
首先，它能够处理复杂的多阶段决策问题，将一个大规模的问题分解为一系列较小的子问题，从而降低了求解的难度。
其次，动态规划能够保证得到的解是全局最优解，而不是局部最优解。
这在很多实际问题中是非常重要的，因为局部最优解往往不能满足我们的实际需求。
然而，动态规划在应用中也面临一些挑战。
一个主要的问题是“维数灾难”。
当系统的状态空间和控制输入空间较大时，动态规划需要计算和存储大量的数据，这可能导致计算量和存储空间的急剧增加，甚至使得问题无法求解。
为了克服这个问题，研究人员提出了许多改进的方法，如近似动态规划、并行计算等。
14讲 最优控制-动态规划-三法比较
26
最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
由于在推导上述欧拉公式时，以最优 解存在为前提， •即哈密顿-雅可比方程成立 所以，导出的欧拉方程代表的是 •必要条件
?起点和终端的其他情况自行论证起点和终端的其他情况自行论证能源与动力学院系统控制与仿真研究室25最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室26最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室27能源与动力学院系统控制与仿真研究室28能源与动力学院系统控制与仿真研究室29能源与动力学院系统控制与仿真研究室30最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系由于在推导上述欧拉公式时以最优解存在为前提解存在为前提?即哈密顿雅可比方程成立所以导出的欧拉方程代表的是?必要条件?必要条件能源与动力学院系统控制与仿真研究室31最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系极小值原理与变分法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室32能源与动力学院系统控制与仿真研究室33最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系动态规划与极小值原理的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室34最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室35能源与动力学院系统控制与仿真研究室36最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室37能源与动力学院系统控制与仿真研究室38最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室39能源与动力学院系统控制与仿真研究室40能源与动力学院系统控制与仿真研究室41最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室42能源与动力学院系统控制与仿真研究室43最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系值得指出的是上述推证过程仅仅具有形式上的意义因为实际上除了线性二形式上的意义因为实际上除了线性二次型问题外哈密顿雅可比方程难以求解或者根本不存在二次连续可微的函解或者根本不存在二次连续可微的函但是上述推证揭示了变分法极小值动态规划之间的内在联系有利于深动态规划之间的内在联系有利于深入了解三种方法的应用条件和相互关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室44最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系重点掌握重点掌握连续控制系统动态规划最优解的求解步骤动态规划与极小值原理2