七年级角的认识与计算(教师版)

角的认识和初步计算

1、如图，OA ⊥OB ，∠BOC ＝40°，OD 平分∠AOC ，则∠BOD 的度数是（ ）度。C A 、40 B 、 60 C 、25 D 、30

2、将一副三角板如图放置，若?=∠20AOD ，则BOC ∠的大小为___________160度

3、已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大20°，则这个角的度数为 。55度

4、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠COB ，若∠EOB ＝50°，则∠BOD 的度数是 。80度

5、如图，∠AOB 与∠BOC 互补，OM 平分∠BOC ，且∠BOM ＝35°，则∠AOB ＝ °。110

第1题图 第2题图 第4题图 第5题图

知识点一（角的认识） 【知识梳理】

1、角：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.

2、角的表示法（四种）：

表示方法 图例

记法 适用范围

用三个大写字母表示 ∠AOB 或∠BOA

任何情况下都适应。表示端点的字母必

须写在中间。

用一个大写字母表示

∠A 以这个点为顶点的角只有一个。 用数字表示 ∠1 任何情况下都适用。但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母。

用希腊字母表示

∠α

3、角的度量单位及换算（度“?”、分“′”、秒“″”）60进制

1?=60'=3600"， 1'=60"； 1'=(601)?； 1"=(601)'=(3600

1

)° 4、角的分类

∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围

0＜∠β＜90°

∠β=90°

90°<∠β<180°

∠β=180°

∠β=360°

5、角的比较方法

（1）度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．

A O

B A

1 α

（2）叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较 6、画一个角等于已知角

（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角.

（3）用尺规作图法.⑵角的尺规作法 ∠AOB 为已知角,按下列步骤用圆规和直尺准确地画一个角等于∠AOB ． ①画射线O ′A ′；

②以点O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA 于C ，交OB 于D ； ③以点O ′为圆心，以OC 长为半径画弧，交O ′A ′于C ′．； ④以点C ′为圆心，以CD 长为半径画弧，交前一条弧于D ′； ⑤经过点D ′画射线O ′B ′； 所以，∠A ′O ′B ′就是所要画的角。

7、角的平分线

定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线。

（若OB 是∠AOC 的平分线，则∠AOB=∠BOC=2

1

∠AOC, ∠AOC=2∠AOB =2∠BOC ）. 8、互余、互补

（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）∠1的余角可以用90°-∠1表示；∠1的补角可以用180°-∠1表示.

（4）余角的性质：同角(等角)的余角相等； 补角的性质：同角(等角)的补角相等 9、方向角

（1）正方向（2）南或北写在前面，东或西写在后面(北偏东、北偏西、南偏东、南偏西)

【例题精讲】

题型一：规律问题

1、如图，图中各有多少个角？

有（ 1 ）个角 有（ 3 ）个角 有（ 6 ）个角

题型二：尺规作图

1、 已知如图所示AOB ∠,请用直尺和圆规作AOB MPN ∠=∠2

方法略

题型三：方位角

1、A 看B 的方向是北偏东30°，那么B 看A 的方向是( ) ．D A ．南偏东60° B ．南偏西60°

射线数 按规律数

角的总个数

2 1 1

3 1+2 3

4 1+2+3 6

5 1+2+3+4

10

n

21)-n(n

C．南偏东30°D．南偏西30°

2、如图，一只蚂蚁从O点出发，沿北偏东30°方向爬行2．5 cm，碰到障碍物B后，又沿西北方向爬行3 cm到达C 处．(1)画出蚂蚁爬行的路线；(2)求∠OBC的度数；(3)测出线段OC的长度(精确到0．1 cm)．

题型四：两角互补、互余定义及其性质的应用

1、如图，已知CO⊥AE，∠1＝∠3，请写出图中所有具有互余和互补关系的角

解析：互余：∠1与∠2，∠1与∠4，∠3与∠2

互补：∠1与∠B0E ，∠4与∠AOD ，∠3与∠BOE ，∠2与∠AOD ，∠AOC 与∠COE 与∠BOD ，

2、（1）如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是多少度。30

（2）已知一个角的余角等于这个角的补角的

5

2

，求这个角。30 （3）α∠的余角加上α∠的补角所得到的和比平角的

5

3多

12，求α∠的补角。75 （4）α∠的余角的补角比β∠的补角的余角大

60，问：βα∠∠与哪个大？大多少度？

【课堂练习】

1、α补角∠1= 180-a ，余角∠2= 90-a ，∠1与∠2有的关系 ∠1= ∠2+90

2、如图，点O 为直线DA 上一点，∠AOB=130°，OE 是∠AOB 的平分线，∠FOB ＝90°，求∠AOF 和∠FOE 的度数。

3、如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB=130°。

（1）求∠COE的度数（2）如果∠COD＝20°，求∠BOE的度数。

=65

题型五：角的计算

1、利用几何性质直接计算

1、如图，点O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，若∠AOD=24°，求∠DOE、

∠BOE的度数。

2、如图，已知∠AOB＝165°，∠AOC＝∠BOD＝90°，求∠COD的度数。

【课堂练习】

1、如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°，OD平分∠COE，求∠COB的度数。

2、如图，直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，求∠BOD的度数。

解析：∠COF＝34°,∠COF＝56°,∠AOF＝56°,∠BOD＝56°-34°=22°

2、方程思想解题

1、如图，OB平分∠AOC，且∠2 ︰∠3 ︰∠4 ＝1︰3︰4，求∠1、∠

2、∠

3、∠4的度数。

2、如图，已知∠BOC ＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD ＝29°，求∠AOB的度数。

3、如图，BD平分∠ABC，∠ABE︰∠CBE＝3︰4，∠DBE＝8°，求∠ABC的度数。

题型七：折叠问题

1、如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B'处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A'处，得折痕EN，求∠NEM的度数。

2、如图，将长方形纸片沿AC对折，使点B落在B′，CF平分∠BCE，求∠ACF的度数。

解析：∠ACF=90，方法同上一题

1、如图，OA⊥OD，OC⊥OB．

（1）∠AOC与∠BOD相等吗？请说明理由．（2）若∠AOB=130°，求∠COD和∠AOC的度数．

2、如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OF平分∠AOE．（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系并说明理由；

（2）若∠COF=34°26′，求∠BOD．

1 3∠BOD，∠COE＝72°，求∠BOE的度数。

3、如图，O是直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠DOE＝

4、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC ＝90°，∠1＝40°，求∠2、∠3的度数。

1.一个角的余角比它的补角的

1

4

大15°，则这个角的度数为 40 2、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF 平分∠BOD ，

（1）图中除直角外，请写出一对相等的角： ∠BOF= ∠DOF (写出符合的一对即可) （2）若?=∠26A OE ，求BOD ∠和COF ∠的度数．

解析：∠BOD=64，∠COF=148

3、如图，已知∠AOB＝50°，OC平分∠AOB。

（1）请在图中∠AOB的外部画出它的一个余角∠AOD；（2）求∠COD的度数。解析：（1），∠COD=75

4、如图，OE平分∠AOB，OD平分∠AOC，∠DOE＝40°，求∠BOC的度数。

5、如图所示，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数

6、如图所示, 直线AB、CD相交于O, OE平分∠AOD, ∠FOC=900, ∠1=400, 求∠2和∠3的度数.

7、如图，∠AOC，∠BOD都是直角；

（1）求∠AOD+∠BOC；

（2）若∠AOB与∠AOD的度数比是2：11，求∠AOD的度数．（3）OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的角平分线，求∠MON+∠BOC;

8、如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC=90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．