高中数学阶段滚动检测(六)课时提能训练理新人教A版

【全程复习方略】高中数学 阶段滚动检测(六)提能训练 理 新人教A 版（120分钟 150分）第I 卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(滚动交汇考查)设全集U=R ，集合A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )(A){x|x ≥1} (B){x|x ≤1} (C){x|0<x ≤1} (D){x|1≤x<2} 2.(滚动单独考查)(·哈尔滨模拟)已知复数32iz 1i-=+，则z 对应的点所在的象限是 ( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3.(滚动交汇考查)(·广州模拟)下列说法错误的是( ) (A)命题：“已知f(x)是R 上的增函数，若a ＋b ≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”的逆否命题为真命题(B)“x ＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件 (C)若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题(D)命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，则⌝p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”4.(滚动单独考查)已知()1x23,x 0f x x 4x 3,x 0-⎧≥⎪=⎨++<⎪⎩，则方程f(x)=2的实数根的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(滚动单独考查)定义在R 上的偶函数f(x)在［0，＋∞)上单调递减，且f(12)＝0，则满足f(14log x )＜0的x 的集合为( )(A)(－∞，12)∪(2，＋∞) (B)(12，1)∪(1,2) (C)(12，1)∪(2，＋∞) (D)(0，12)∪(2，＋∞)6.(滚动单独考查)(·杭州模拟)一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示，则该空间几何体的体积是 ( )(A)73 (B)143(C)7 (D)14 7.(滚动单独考查)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝3π对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 ( )(A)y=sin(x 2＋6π) (B)y ＝sin(2x ＋6π) (C)y=sin|x| (D)y ＝sin(2x －6π)8.(滚动交汇考查)设0<a<2,0<b<1，则双曲线2222x y 1a b－＝的离心率5 是( )()()()()1111A B C D 5678第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.(滚动单独考查)(·福州模拟)若过点A(0，-1)的直线l 与曲线x 2+(y-3)2=12有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是_________.10.(滚动单独考查)(·合肥模拟)已知OA 1OB 3OA OB 0===，，，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设OC mOA nOB =+ (m,n ∈R)，则mn等于_________. 11.(滚动单独考查)已知函数f(x)＝9x-m ·3x+m+1对x ∈(0，+∞)的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是_____________.12.(滚动单独考查)已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若()11f x dx ⎰－＝2f(a)成立，则a ＝__________.13.(·南京模拟)如图是一个算法的程序框图，最后输出的W ＝_________.14.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm 的株数是_________.15.下面给出一个“直角三角形数阵”：1411243334816，，， 满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83＝_________.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)(滚动交汇考查)(·长沙模拟)已知a =(cosx+sinx,sinx),b =(cosx-sinx,2cosx)，设f(x)=a ·b . (1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设三角形ABC 的三个角A 、B 、C 所对边分别是a,b,c ，且满足A ,3π=3a 2b + =10,求边c. 17.(12分)(滚动单独考查)已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直，M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点，AB=1,AD=2，(1)证明：直线AM ∥平面NEC ； (2)求二面角N —CE —D 的余弦值．18.(12分)(·济南模拟)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率为0.12，至少选修一门的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. (1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率 (3)求ξ的分布列和数学期望.19.(13分)(滚动单独考查)(·东城模拟)已知数列{a n }满足a 1=14, a n =()n 1nn 1a 1a 2----(n ≥2,n ∈N).(1)试判断数列{n1a +(-1)n}是否为等比数列，并说明理由 (2)设c n =a n sin()2n 12-π,数列{c n }的前n 项和为T n .求证：对任意的n ∈N *，T n <23. 20.(13分)(滚动交汇考查)已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x 3-2 4 2 y23--422(1)求C 1、C 2的标准方程；(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M 、N ，且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21.(13分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=e x +2x 2-ax.(1)函数f(x)在区间［0,1］上存在唯一的极值点，求a 的取值范围. (2)若a=3，当x ≥12时，关于x 的不等式f(x)≥52x 2+(b-3)x+1恒成立，试求实数b 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由2x(x－2)＜1得x(x－2)＜0，故集合A＝{x|0＜x＜2}，由1－x＞0得x＜1，故B＝{x|x＜1}，所以A∩B＝{x|0＜x＜1}，所以A(A∩B)＝{x|1≤x＜2}，即图中阴影部分表示的集合为{x|1≤x＜2}.2.【解析】选D.()()()()32i1i32i15i15 z i, 1i1i1i222----====-++-∴z对应的点(1522-，)所在的象限是第四象限.3.【解析】选C.A中,∵a+b≥0,∴a≥-b.又函数f(x)是R上的增函数，∴f(a)≥f(-b),①同理可得，f(b)≥f(-a)，②由①＋②，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题.又原命题与其逆否命题是等价命题，∴逆否命题为真.B中若x>1，则|x|>1成立；若|x|>1，则x>1或x<-1，故B正确.若p且q为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，所以C错误.D正确.4.【解析】选D.令31－x＝2，∴1－x＝log32.∴x＝1－log32.又∵log32<log33＝1，∴x＝1－log32>0.∴这个实根符合题意.令x2＋4x＋3＝2，则x2＋4x＋1＝0.解得两根x1＝－23，x2＝－23x1和x2均小于0，符合题意.5.【解题指南】f(x)是偶函数，则有f(x)=f(|x|)，列不等式求解.【解析】选D.∵函数f(x)为偶函数，且在［0，＋∞)上单调递减，f(12)＝0，∴14log x＞12或14log x＜－12，∴0＜x＜12或x＞2.6.【解题指南】三视图复原几何体是四棱台，一条侧棱垂直底面，底面是正方形，根据三视图数据，求出几何体的体积.【解析】选B.三视图复原几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，一条侧棱长为2，并且垂直底面，上底面是正方形，边长为1.它的体积是：221142(2141).33⨯⨯++⨯=故选B. 7.【解题指南】由题知周期易验证，再根据正弦函数与余弦函数在对称轴处取得最值，验证性质②即可.【解析】选D.∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.对于选项D ， 又2×3π－62ππ＝，所以x ＝3π为对称轴．8.【解析】选D.由e>5得22c 5a>，即222a b 5a >＋，∴b>2a ，在直角坐标系aOb 内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为12×1×12＝14，图中矩形的面积为2，∴由几何概型概率 公式计算得所求的概率为18.9.【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=0，符合题意，此时倾斜角为2π，当直线l 的斜率存在时，设过点A(0，-1)的直线l 方程为：y+1=kx, 即kx-y-1=0，当直线l 与圆相切时，有223k 1=+，k=±3，数形结合，得直线l 的倾斜角的取值范围是［6π,2π)∪(2π,56π］,综上得，直线l 的倾斜角的取值范围是［6π,56π］. 答案：［6π,56π］ 10.【解析】|OA |=1，OB 3OA OB 0==，，∴OA ⊥OB ，且∠OBA=30°， 又∵∠AOC=30°，∴OC AB ⊥， ∴()()mOA nOBOB OA 0,+-=∴22mOA nOB 0-+=,∴3n-m=0， 则m=3n,∴mn=3. 答案：311.【解题指南】令t ＝3x，转化为关于t 的二次函数的图象恒在t 轴的上方处理.或分离参数m ，利用最值处理恒成立问题.【解析】方法一：令t=3x ,则问题转化为函数f(t)=t 2-mt+m+1对t ∈(1,+∞)的图象恒在t 轴的上方，即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或0m 121m 1m 0∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪-++≥⎪⎩，解得m<2+方法二：令t=3x,问题转化为m<2t 1t 1+-,t ∈(1,+∞)，即m 比函数y=2t 1t 1+-,t ∈(1,+∞)的最小值还小，又y=2t 1t 1+-=t-1+2t 1-+2≥22=+所以. 答案：【方法技巧】不等式恒成立的三种解法(1)转化为求函数的最值.若函数f(x)在区间I 上有最大值和最小值.则不等式f(x)>a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min >a.不等式f(x)≥a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min ≥a. 不等式f(x)<a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max <a.不等式f(x)≤a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max ≤a. (2)分离变量——在同一个等式或不等式中，将主元和辅元分离(常用的运算技巧). (3)数形结合——凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题，都可考虑该法. 12.【解析】1232111(3x 2x 1)dx (x x x)|4⎰－－＋＋＝＋＋＝，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1或a ＝13. 答案：－1或1313.【解析】第一次：T ＝1，S ＝12－0＝1；第二次：T ＝3，S ＝32－1＝8；第三次：T ＝5，S ＝52－8＝17， 此时满足S ≥10.所以W ＝S ＋T ＝17＋5＝. 答案：14.【解析】底部周长小于110 cm 的频率: 10×0.01+10×0.02+10×0.04=0.7.∴底部周长小于110 cm 的株数为：100×0.7=70. 答案：7015.【解题指南】先根据第1列成等差数列求出第8行第1个数，再根据第8行成等比数列求出a 83. 【解析】由题意知，a 83位于第8行第3列，且第1列的公差等于14，每一行的公比都等于12.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为14＋(8－1)×14＝2，a83＝2×(12)2＝12.答案：12【变式备选】把正整数按下表排列：(1)求200在表中的位置(在第几行第几列)；(2)试求从上到下的第m行，从左至右的第n列上的数( 其中m≥n )；(3)求主对角线上的数列：1、3、7、13、21、…的通项公式 .【解析】把表中的各数按下列方式分组：( 1 )，( 2, 3， 4 )，(5, 6，7, 8， 9 )，…，(1)由于第n组含有2n-1个数，所以第n组最后一个数是1+3+5+…+(2n-1)=n2.因为不等式n2≥200的最小整数解为n=15 ,这就是说，200在第15组中，由于142=196 ，所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数，所以200在表中从上至下的第4行，从左至右的第15列上.(2)因为m≥n ，所以第m行上的数从左至右排成的数列是以 -1为公差的等差数列，这个数列的首项是第m行的第1个数，即分组数列的第m组最后一个数为1+3+5+…+(2m-1)=m2.即从上至下的第m行，从左至右的第n列的数为a mn=m2+(n-1)(-1)=m2-n+1.(3)设主对角线上的数列为{a n}，则易知a n为表中从上至下的第n行，从左至右的第n列的数,故a n=a nn=n2+(n-1)(-1)=n2-n+1.16.【解析】(1)∵f(x)=a·b=(cosx+sinx)·(cosx-sinx)+sinx·2cosx=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x222(cos2x22+2(sin cos2x cos sin2x)442sin(2x).4ππ=+π=+由f(x)递增得-2π+2kπ≤2x+4π≤2π+2kπ,即3k x k,88ππ-+π≤≤+πk∈Z.∴f(x)的单调递增区间是［3k 8π-+π,k 8π+π］,k ∈Z. (2)由f(B)=1⇒sin(2B+4π)=22及0<B<π得B=4π,设a b ck,sinA sinB sinC=== 则53ksin 2ksin 10k 10k 4.342ππ+=⇒=⇒=所以c=ksinC=4sin(A+B) =4(sincos cos sin )6 2.3434ππππ+=+ 17.【解析】以N 为坐标原点，NE ，ND 所在直线分别为x,y 轴，建立空间右手直角坐标系，所以A(0，-1，0)，B(0，-1，1)，D(0，1，0)，N(0，0，0)，E(3，0，0)，C(0，1，1)，M(32，-12，12). (1)设平面NEC 的一个法向量为n =(x,y,1)， 因为NC =(0，1，1)，NE 3，0，0)， 所以NC n =y+1=0，NE 3x =n =0；所以n =(0,-1,1)，因为311AM ()22=，，，AM n =0，所以AM ⊥n ， 因为AM ⊄平面NEC ， 所以直线AM ∥平面NEC.(2)设平面DEC 的一个法向量为m =(1,y,z), 因为DC =(0,0,1),()DE 3,1,0=- , 所以DC z 0,DE 3y 0===-=；m m所以()3,0=m .36cos ,||||22-===⨯〈〉n m n m n m 因为二面角N —CE —D 的大小为锐角，所以二面角N —CE —D 618.【解析】(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x,y,z ；依题意得()()()()()()x 1y 1z 0.08,xy 1z 0.12,11x 1y 1z 0.88,--=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩解得x 0.4y 0.6,z 0.5=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数，则ξ=0，∴P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.4×0.6×0.5+(1-0.4)(1-0.6)(1-0.5)=0.24,∴事件A 的概率为0.24.(3)依题意知ξ∴ξ的数学期望为E(ξ)=0×0.24+2×0.76=1.52. 19.【解析】(1)由已知()n 1n nn 1a a 1a 2--=--得()()nnn 1n n 1n 11a 2121,a a a -----==-- ()()n nn n 112121a a -+-=-- =-2［()n 1n 111a --+-］.又11a -1=3≠0, 故{n1a +(-1)n}为公比为-2的等比数列. (2)由(1)得n1a +(-1)n =3·(-2)n-1， 所以n1a =3·(-2)n-1-(-1)n, ()()n n 1n1a ,321-=---()n n 2n 1c a sin 2-π= ()()()n 1n 1n n 1n 11111,32132321----=-=<+--- 所以n n n 111()21232T 1().132312-<=-<-［］［］ 20.【解题指南】(1)先设出抛物线方程，代入已知点检验，求出C 2的方程，再利用待定系数法求出椭圆的方程；(2)设直线l 的方程为x-1=my ，再根据OM ON ⊥构造含有m 的方程，最后转化为方程解的问题.【解析】(1)设抛物线C 2:y 2=2px(p ≠0), 则有2y 2p x=(x ≠0)，据此验证4个点知(3，-23)、(4，-4)在抛物线上，易求C 2的标准方程为y 2=4x, 设C 1：2222x y 1a b+= (a>b>0), 把点(-2,0)，(22,)代入得： 22241a 211a2b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22a 4,b 1⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴C 1的标准方程为2x 4+y 2=1. (2)假设存在这样的直线l ，过抛物线焦点F(1,0)，设直线l 的方程为x-1=my ，两交点坐标为M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，由22x 1my x y 14-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x,得 (m 2+4)y 2+2my-3=0,∴y 1+y 2=22m m 4-+,y 1y 2=23,m 4-+ ① x 1x 2=(1+my 1)(1+my 2)=1+m(y 1+y 2)+m 2y 1y 2, ②由OM ON,⊥得OM ON 0=，即x 1x 2+y 1y 2=0(*)将①②代入(*)式，得22244m 30,m 4m 4--+=++解得m=±12. 所以假设成立，即存在直线l 满足条件，且l 的方程为y=2x-2或y=-2x+2.21.【解题指南】(1)函数f(x)在区间［0,1］上存在唯一的极值点，即方程f ′(x)=0在区间［0,1］上存在唯一的根；(2)分离参数b ，利用最值处理恒成立.【解析】(1)f ′(x)=e x +4x-a,∵f ′(0)=1-a,f ′(1)=e+4-a,又∵函数f(x)在区间［0，1］上存在唯一的极值点，∴f ′(0)·f ′(1)<0,∴1<a<e+4. (2)由f(x)≥()25x b 3x 12+-+, 得e x +2x 2-3x ≥()25x b 3x 12+-+, 即bx ≤e x -12x 2-1, ∵x ≥12,∴b ≤x 21e x 12,x -- 令g(x)= x 21e x 12,x--, 则g ′(x)=()x 221e x 1x 12.x--+ 令φ(x)=e x (x-1)- 12x 2+1, 则φ′(x)=x(e x -1). ∵x ≥12,∴φ′(x)>0, ∴φ(x)在［12，+ ∞)上单调递增， ∴φ(x)≥φ(12)=71e 0,82> 因此g ′(x)>0，故g(x)在［12,+∞)上单调递增， 则g(x)≥g(12)=121e 1982e ,142--= ∴b 的取值范围是b ≤92e 4.。