新课程人教版 3.1 函数的概念及其表示(2课时)
函数求值的方法 1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值. 2求fga的值应遵循由里往外的原则.
3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．
[解] f(1)＝13＋2×1＋3＝6； f(t)＝t3＋2t＋3； f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a； f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.
(1)C [①f(x)＝ －2x3＝|x| －2x与 g(x)＝x －2x的对应法则和值 域不同，故不是同一函数．
②g(x)＝ x2＝|x|与 f(x)＝x 的对应法则和值域不同，故不是同一函 数．
③f(x)＝x0 与 g(x)＝x10都可化为 y＝1 且定义域是{x|x≠0}，故是同 一函数．
④f(x)＝x2－2x－1 与 g(t)＝t2－2t－1 的定义域都是 R，对应法则也相 同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．
1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函 数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某 函数定义域的依据．
2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此， 判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全 一致的两个函数才算相同．
3．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符 号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x 的乘积”.
函数的概念
【例1】 (1)下列各组函数是同一函数的是( ) ①f(x)＝ －2x3与g(x)＝x －2x； ②f(x)＝x与g(x)＝ x2；
③f(x)＝x0与g(x)＝x10；
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④
(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数． ①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素 对应； ②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A， y∈B； ③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A， y∈B； ④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中 元素对应．
由上可知是同一函数的是③④. 故选 C.] (2)[解] ①对于 A 中的元素 0，在 f 的作用下得 0，但 0 不属于 B，即 A 中的元素 0 在 B 中没有元素与之对应，所以不是函数．
②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在 f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应， 是“多对一”的对应，故是函数．
－18 [f(3)＝1－1 9＝－18.]
3．用区间表示下列集合：
(1)[10,100] (2)(1，＋∞) [结合
(1){x|10≤x≤100}用区间表示为 区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为
________；
(1，＋∞)．]
(2){x|x>1}用区间表示为
________．
合作探究 提素养
提示：(1)这种看法不对． 符号 y＝f(x)是“y 是 x 的函数”的数学表示，应理解为 x 是自变量， 它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可 以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当 x 允许取某 一具体值时，相应的 y 值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函 数符号，不表示“y 等于 f 与 x 的乘积”．在研究函数时，除用符号 f(x) 外，还常用 g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
[解] (1)因为f(x)＝2x2＋2， 所以f(2)＝2×22＋2＝10， f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝x＋1 2， 所以g(a)＋g(0)＝a＋1 2＋0＋1 2＝a＋1 2＋12(a≠－2)． g(f(2))＝g(10)＝101＋2＝112. (2)g(f(x))＝fx1＋2＝2x2＋12＋2＝2x21＋4.
(2)f(x)与 f(a)的区别与联系：f(a)表示当 x＝a 时，函数 f(x)的值，是一 个常量，而 f(x)是自变量 x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是 f(x) 的一个特殊值，如一次函数 f(x)＝3x＋4，当 x＝8 时，f(8)＝3×8＋4＝28 是一个常数．
2．区间及有关概念
(－∞，0)∪(0,1] [由
域用区间表示为________．
1－x≥0， 1－ 1－x≠0，
解得 x≤1 且 x≠0，
用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]
4．已知函数 f(x)＝x＋1x， (1)求 f(x)的定义域； (2)求 f(－1)，f(2)的值； (3)当 a≠－1 时，求 f(a＋1)的值．
[解] (1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，
函数f(x)＝2＋x－3 2有意义， 所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
x－1≠0， (2)函数有意义，当且仅当x＋2 1≥0，
x＋1≠0，
解得x>－1且x≠1， 所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
3－x≥0， (3)函数有意义，当且仅当x－1≥0， 解得1≤x≤3， 所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}． (4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x1＋－1x≠ ≥00， ， 解得x≤1 且x≠－1， 即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
(1)一般区间的表示
设 a，b∈R，且 a<b，规定如下：
定义
名称
符号
{x|a≤x≤b} 闭区间
____[__a_，___b__] ______
{x|a<x<b}
开区间
_____(_a__，___b_)______
{x|a≤x<b} 半开半闭区间
[a，b)
{x|a<x≤b} 半开半闭区间
(a，b]
数轴表示
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念
学习目标
核心素养
1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖 1.通过学习函数的概念，培养
关系的重要数学模型．能用集合与对应的 数学抽象素养．
语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数 2．借助函数定义域的求解，培
学概念中的作用．(重点、难点) 养数学运算素养．
③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素 与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．
④集合A不是数集，故不是函数．]
1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空实数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的 不是函数关系． 2．判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
1．下列四个图象中，不是函数图象的是( )
A
B
C
D
B ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确
定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交
点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]
2．下列各组函数中是相等函数
B [A，C选项中两函数的定义
的是( )
域不同，D选项中两函数的对应关系
2．了解构成函数的要素，会求一些简单函 3．借助 f(x)与 f(a)的关系，培
数的定义域和值域．(重点) 养逻辑推理素养.
3．能够正确使用区间表示数集．(易混点)
自主预习 探新知
1．函数的概念
一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中
定义
的任意一个数 x 按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中 都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从
当堂达标 固双基
1．思考辨析 (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( ) (2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( ) (3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定 了．( ) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对 应．( ) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域． [解] 由1≤x＋1≤3得0≤x≤2. 所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．
求函数定义域的常用方法 1若fx是分式，则应考虑使分母不为零. 2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零. 3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. 4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的 交集. 5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意 义.
求函数的定义域
[探究问题] 1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定 义域？ 提示：不可以．如f(x)＝xx2＋－11.倘若先化简，则f(x)＝x－1 1，从而定义 域与原函数不等价．
2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值 范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？
集合 A 到集合 B 的一个函数
三 对应关系
y＝f(x)，x∈A
要 定义域
自变量 x 的取值范围
素 值域 与 x 的值相对应的 y 的函数值的集合 {f(x)|x∈A}
思考 1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y 等于 f 与 x 的乘积”，这 种看法对吗？
函数的概念及其表示第二课时参考教学方案
《函数的概念及其表示（第二课时）》教学设计教学重点：在理解函数概念的基础上，理解相同函数的含义，掌握相同函数的判定步骤．教学难点：体会函数记号的含义．PPT课件．一、复习引入问题1：在上一小节里，我们重新学习了函数的概念，请你默写这个概念．师生活动：学生可能并不能逐字逐句默写，但是只要抓住它的三个要素就予以肯定．预设的答案：对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．设计意图：通过默写为本节课的学习奠定基础．引语：函数是本章乃至整个高中数学的核心内容，概念就是它的基石，稳定的基石是搭建知识大厦的前提，我们这节课继续深入研究函数的概念．（板书：函数的概念）二、新知探究1．研读课本，理解区间的概念（1）求函数f (x )的定义域； （2）求f (－3)，f (23)的值；（3）当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．师生活动：学生独立完成，老师挑选有代表性的解答进行投影点评，最后用PPT 演示教师点拨：在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f (x )外，还常用g (x )、F (x )、G (x )等符号来表示．设计意图：通过例1的学习，让学生对函数的定义域、对应关系、以及符号“y ＝f (x )”有具体的感受，能更透彻的理解，并且在求解定义域过程中，熟悉区间的使用．例2 下列函数中哪个与函数y ＝x 是同一个函数？ （1）y ＝(x )2； （2）u ＝3v 3； （3）y ＝x 2；（4）m ＝n 2n．师生活动：老师先引导学生思考同一个函数的含义，然后让学生尝试判断，在判断中发现问题：正确化简解析式，定义域优先原则的应用以及函数记号的理解等，老师应该给予及时的解答与帮助．预设的答案：解：（1）y ＝(x )2＝x （x ∈[0，＋∞)），它与函数y ＝x （x ∈R ）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．（1）f(x)＝14x＋7；（2）f(x)＝1－x＋x＋3－1．设计意图：考查函数定义域的求解．2．已知函数f(x)＝3x3＋2x，（1）求f（2），f(－2)，f（2）＋f(－2)的值；（2）求f(a)，f(－a)，f(a)＋f(－a)的值．设计意图：通过函数求值问题发现函数的一些性质，可为后面学习函数性质积累素材．3．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数y＝130x－5x2；。
《函数的概念及其表示》函数的概念与性质PPT(第二课时函数的表示法)
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高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法第2课时函数的表示方法课件新人教B
图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一 的函数值y.
基础自测 1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表 示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为( ) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D．y＝2x(x∈{1，2，3，4})
当x∈[0，2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5].
x2345…
y1
…
③y＝x2＋2x，x∈[－2，2].
【解析】③列表：
x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，由图可知函数的值 域是[－1，8].
(2) 某 学 生 离 家 去 学 校 ， 一 开 始 跑 步 前 进 ， 跑 累 了 再 走 余 下 的 路 程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符 合该学生走法的是( )
【解析】 因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由f(0)＝1，得c＝1. 又因为f(x－1)－f(x)＝4x， 所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求 得a＝－2，b＝－2， 所以f(x)＝－2x2－2x＋1.
【解析】 设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ ax＋8a＋b＝2x＋21， 所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的 解析式；
函数的概念及其表示教案-人教课标版(优秀教案)
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量变量之间有什么关系.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与之对应，此时是的函数，是自变量，是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.;二、讲授新课：.教学函数模型思想及函数概念： ①给出三个实例：.一枚炮弹发射，经秒后落地击中目标，射高为米，且炮弹距地面高度（米）与时间（秒）的变化规律是21305h t t =-..近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书页图）.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量变量的变化范围分别是什么两个变量之间存在着这样的对应关系 三个实例有什么共同点归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都与唯一确定的和它对应，记作：:f A B →》③定义：设、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合到集合的一个函数（），记作：(),y f x x A =∈.其中，叫自变量，的取值范围叫作定义域（），与的值对应的值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（）.④讨论：值域与的关系构成函数的三要素一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域 ⑤练习：2()23f x x x =-+，求()、()、()、(－)的值。
新课程《3.1 函数的概念及其表示》教学设计(2课时)
3.1.1 函数的概念1.通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;2.用集合与对应的思想理解函数的概念;3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;4.会求函数的定义域。
1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；2.教学难点：函数的概念及符号()y f x =的理解。
一、函数的概念：设A 、B 是 的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：y=f(x) x ∈A ．x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x ∈A }叫做函数的 . 二、区间三、函数的三要素： 、 、 。
四、判断函数相等的方法： 、 。
一、复习回顾，温故知新1. 初中学习的函数的定义是什么？定义 名称 符号 数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 [a,b] {|}x a x b << 开区间 (a,b) {|}x a x b ≤<半开半闭区间 [a,b){|}x a x b <≤ 半开半闭区间 (a,b] {|}x x a ≥ {|}x x a > {|}x x b < {|}x x b ≤2.回顾初中学过哪些函数？二、探索新知探究一函数的概念问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。
这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 S=350t。
1.思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。
如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？问题3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。
《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT(第2课时函数的表示方法)
第三章 函 数
2．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
x
0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x<20
y＝f(x)
4
6
8
10
解析：当 0<x<5 时，f(x)>x 的整数解为{1，2，3}． 当 5≤x<10 时，f(x)>x 的整数解为{5}． 当 10≤x<15 时，f(x)>x 的整数解为∅. 当 15≤x<20 时，f(x)>x 的整数解为∅. 综上所述，f(x)>x 的整数解的集合是{1，2，3，5}． 答案：{1，2，3，5}
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第三章 函 数
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路 程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间， 则较符合该学生走法的是( )
解析：选 D.由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所 以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的 距离，所以开始时距离最大，最后距离为 0.
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第三章 函 数
函数 f(x)的图像如图所示，则 f(x)的定义域是________，值 域是________．
答案：[－1，0)∪(0，2] [－1，1)
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第三章 函 数
函数的三种表示方法 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售 出台数 x(x 为正整数)与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表 法、图像法、解析法表示出来．
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第三章 函 数
函数图像的作法及应用 作出下列函数的图像并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝2x，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]．
3(1).1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念(二)(第二课时) 教案
3.1.1 函数的概念(二)本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。
函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学. 对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。
但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。
所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。
所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.课程目标学科素养A.能根据函数的定义判断两个函数是否为同一个函数B.会求函数的定义域C.会求函数的值域1.逻辑推理：同一个函数的判断；2.数学运算：求函数的定义域，值域；1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；2.教学难点：求函数的值域。
多媒体思考2：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的值域时为什么分0a >和0a <两种情况？提示：当a >0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为{y |y ≥4ac －b 24a}． 当a <0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，观察图象得值域为{y |y ≤4ac －b 24a }．例1.判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．( ) (2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．( )(3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 是同一个函数．( )[解析] (1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 的定义域不相同，所以不是同一个函数． (2)例如f (x )＝3x 与g (x )＝5x的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数． (3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 的定义域都是R ，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数．例2 (2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y ＝f(x)的图象的是( )[解析] 由函数定义可知，任意作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D 中图象能表示y 是x 的函数．例3．若函数y ＝x 2－3x 的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( A )A ．{－2,0,4}B ．{－2,0,2,4}C ．{y |y ≤－94}D ．{y |0≤y ≤3}例4.下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．{y|－1≤y ≤1}B ．RC ．{y|2≤y ≤3}D ．{－1,0,1}[解析] 函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．关键能力·攻重难题型一 函数的值域1、函数21,12y x x =-+-≤<的值域是( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．[0,1]D ．[1,5)[分析] 首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系．[解析] 由21,12y x x =-+-≤<，可知当x ＝2时，min 413y =-+=-；当x ＝0时，max 1y =，因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．[归纳提升] 二次函数2(0)y ax bx c a =++>的值域(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．题型二 同一个函数2、判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？(1)y ＝x x与y ＝1； (2)y ＝x 2与y ＝x ；(3)y ＝x ＋1·1－x 与y ＝1－x 2.[分析] 判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否函数概念理解有误1、设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，集合N ＝{y|0≤y ≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M 到N 的函数关系的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[错解]函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D ．[错因分析] 不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x 在值域中是否有相应的y 值与之对应．[正解] 图(1)定义域M 中的(1,2]部分在值域N 中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B ．[方法点拨] 函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A 、值域与数集B 之间的关系．学科素养求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用1．分离常数法求函数y ＝3x ＋2x －2的值域． [分析] 这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y ＝a ＋c x ＋b的形式再求函数的值域．[解析] ∵y ＝3x ＋2x －2＝(3x －6)＋8x －2＝3＋8x －2， 又∵8x －2≠0，∴y ≠3.∴函数y ＝3x ＋2x －2的值域是{y |y ∈R ，且y ≠3}． [归纳提升] 求y ＝ax ＋c x ＋b 这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为。
3.1.1函数的概念及其表示课件高一上学期数学人教A版(2019)必修一
【对点练清】 1．下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是
A．A＝R ，B＝R ，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图： C．A＝R ，B＝R ，f：x→y＝x－1 2
()
D．A＝Z ，B＝Z ，f：x→y＝ 2x－1
解析： A 错误，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任意 x∈A，y 值不 唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A，在 B 中找不到与之相对 应的数．D 错误，－1∈A，在 B 中找不到与之相对应的数． 答案：B
区间可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点， 用空心点表示不包括在区间内的端点.
定义
名称
区间
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
_[a_，___b_]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，_b_)_
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，_b_)_
续表
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
函数的定义域． 推理素养.
4.能够正确使用区间表示数集.
பைடு நூலகம்
知识点一 函数的有关概念 (一)教材梳理填空 1．函数的概念：
定义
一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 _唯__一__确__定__的__数__y_和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集 合B的一个函数
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对． 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加 的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以 是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变 量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研 究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
【教案】3.1.1函数的概念及其表-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义
新教材必修第一册3.1.1：函数的概念及其表示课标解读：1.函数的概念.（理解）2.函数的定义域.（掌握）3.函数的值域.（理解）4.区间的概念.（了解）学习指导：函数的概念是初中函数知识的基础上出现的全新的现代定义方式（利用集合语言定义函数），相对来说比较抽象，学习时要注意对概念的理解、三要素的把握、数形结合，重点理解定义中的“任意性、存在性、唯一性”，要通过适量的练习加以巩固，为后续的学习打牢基础.此部分题目灵活多变，要学会举一反三，领悟核心要素.知识导图：教材全解知识点1：函数的概念1.函数的传统定义（变量说）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数.2.函数的现代定义（对于关系说）一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作.),(A x x f y ∈=其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.显然，值域是集合B 的子集.例1-1：下列对应关系是集合A 到集合B 的函数的为A. ||:},0|{,x y x f y y B R A =→>==B. 2:,,x y x f Z B Z A =→==C. x y x f Z B Z A =→==:,,D. 0:},0{],1,1[=→=-=y x f B AE. }6,5,4{},3,2,1{==B A ，对应关系如图所示：答案：A 不是 B 是 C 不是 D 是 E 不是变式训练：由下列式子是否确定y 是x 的函数？（1）222=+y x ；（2）;111=-+-y x （3）.12x x y -+-=答案：（1）不能确定；（2）能确定；（3）不能确定.知识点2：函数的三要素由函数的概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.1.定义域函数的定义域是自变量的取值范围.在函数关系的表述中，函数的定义域有时可以忽略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约.2.对应关系对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.按照这一“程序”，从定义域A中任何取一个x，可得到值域}fyy∈=中唯一的yx),(|{Ax与之对应.同一“f”可以“操作”不同形式的变量.3.值域函数值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定，它的值域也就随之确定了.例2-2：下列说法不正确的是（）A.定义域与对应关系后，函数值域也就确定了B.函数的定义域是无限集，则值域也是无限集C.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素D.对于)(=不随着x的变化而变化，所以5x)0(=f也成立.xf∈,5,)(xfR答案：B例2-3：下列说法正确的是（）A.函数值域中每一个数在定义域中一定有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了答案：C例2-4：下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是（ ）A.}11|{≤≤-x yB. RC.}32|{≤≤x yD.}1,0,1{-答案：D例2-5：下列函数的定义域不是R 的是（ ）A. 1+=x yB.2x y =C.x y 1= D.x y 2=答案：C例2-6：已知函数1)(2-+=x x x f ；（1）求);1(),1(),(+a f x f x f（2）,5)(=b f 求.b（2）32-=或b知识点3：函数的相等只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数.例3-7：下列表示同意函数的是（ ）A.2)()(,)(x x g x x f ==B.1)(,1)(22+=+=t t g x x fC.x xx g x f ==)(,1)( D.||)(,)(x x g x x f ==答案：B知识点4：区间区间的概念： 设b a ,是两个实数，且b a <，R b a ∈,，规定.),(}|{),(},|{),(}|{],(},|{),[}|{),(},|{],[R b x x b a x x a b x a x b a b x a x b a b x a x b a b x a x b a =+∞-∞<=-∞>=+∞≤<=<≤=<<=≤≤= ),(],,[b a b a 分别叫做闭区间、开区间；],(),,[b a b a 叫做半开半闭区间；b a ,叫做相应区间的端点.注意点：（1）区间符号内的两个字母或数之间用“，”隔开. （2）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数.（3）开区间（b a ,）与平面上的点（b a ,）要区分开，在读题时注意结合上下文加以区别.（4）在数轴上表示区间时，用实心点表示端点在区间内，用空心点表示端点不在区间内.例4-8：用区间表示下列数集：（1）}1|{≥x x = ；（2）}32|{≤<x x = ；（3）=≠->}21|{x x x 且 ；（4）R= ；（5）=<≤-⋂-≤}25{}1|{x x x ；（6）=<<⋂<}209{}9|{x x x .答案：（1）),1[+∞ （2）]32(，（3）),2()2,1(+∞⋃- （4）),(+∞-∞ （5）[-5，-1] （6）)20,9()9,(⋃-∞例4-9：求解下列问题（1）区间],1[a a -关于原点对称，求a 及该区间.（2）区间]12,[-a a 的右端点为3，求a 及该区间.例4-10：设集合},0|{},0)3)(2(|{>=≥--=x x T x x x S 则=⋂T S （ ）A.]3,2[B.),3[]2,(+∞⋃-∞C.),3[+∞D.),3[]2,0(+∞⋃答案：D重难拓展知识点5：抽象函数与复合函数1.抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.2.复合函数的概念若函数)(t f 的定义域为A ，函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数))((x g f y =为)(t f 与)(x g 在D 上的复合函数.3.抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：（1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值所组成的集合；（2）函数))((x f ϕ的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x ϕ的范围；（3）)(t f ，))((x f ϕ，))((x h f 三个函数中的t ，)(x ϕ，)(x h 在对应关系在f 下的范围相同；（4）已知)(x f 的定义域为A ，求))((x f ϕ的定义域，其实质是已知)(x ϕ的范围（值域）为A ，求出x 的取值范围；（5）已知))((x f ϕ的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x f ϕ中的x 的取值范围B ，求出)(x ϕ的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.例5-11：下列函数中，是符合函数的是（ ）A.32)(x x x f +=B.1)(+=x x fC.为常数）（k x k x x x f ++=2)(D.x x f 2)(=答案：B例5-12：函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且对定义域的任意y x ,都有)()()(y f x f xy f +=，如1)2(=f ，则)2(f 的值为（ ）A. 2-B.21-C.21D.2答案：C题型与方法题型1：一元二次不等式的解法例13：（多选题）下列对应关系f 是从集合A 到集合B 的函数的有（ ）.A. A={1,2,3}，B={7,8,9}，f(1)=f(2)=7，f(3)=8B. A=Z ，B={-1,1}，n 为奇数时，1)(-=n f ，n 为偶数时，1)(=n fC. A=B={1,2,3}，12)(-=x x fD. A=B=12)(},1|{+=-≥x x f x x答案：ABD题型2：求函数值例14：已知.2)(),1(11)(2+=-≠+=x x g x x x f（1）求)2(f 和);2(g（2）求));(()),2((x g f f g（3）若4))((1=x g f ，求x .例15：已知函数)(x f 对任意正实数b a ,，都有).()()(b f a f ab f +=（1）求)1(f 的值；（2）若为常数）（q p q f p f ,)3(,)2(==，求)36(f 的值.答案：（1）0)1(=f （2）.22)36(q p f +=题型3：函数的定义域问题1.已知解析式求函数的定义域：（1）;32+-=x y （2）;11)(+-=x x f（3）;11x x y -+-= （4）.112-+=x x y答案：}.1|){4(}1|){3(}1|){2(};|){1(±≠=≠∈x x x x x x R x x变式训练：函数2322---=x x x y 的定义域为（ ）. A.]0,(-∞ B.]21,(--∞ C.]0,21(]21,(-⋃--∞ D.]0,21(-答案：C2.求实际问题中函数的定义域例17：如图，用长为1的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆的框架，若半圆的半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数.答案：).210(242+<<++-=ππx x x y3.求抽象函数或复合函数的定义域（1）已知)(x f 的定义域，求))((x g f 的定义域例18：已知函数,32)(2++-=x x x f 则)23(-x f 的定义域为 .答案：]3531[，（2）已知))((x g f 的定义域，求)(x f 的定义域例19：已知的)1(2-x f 定义域[0,3]，则)(x f 的定义域为 .答案：[-1,8]（3）已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域例20：若函数)1(+x f 的定义域为]2,21[-，则函数)1(-x f 的定义域为 . 答案：]4,23[（4）求运算型抽象函数的定义域例21：已知函数)(x f 的定义域为[0,1]，求函数)0)(()()(>-++=m m x f m x f x g 的定义域. 答案：当210≤<m ，函数)(x g 的定义域为}1|{m x m x -≤≤.变式训练：设函数1)(-=x x f ，则)()2(x f f +的定义域为（ ）.A.]421[， B.]42[， C.)1[∞+， D.]241[， 答案：B4.定义域的逆向问题 例22：已知函数182++=bx ax y 的定义域为[-3,6]，则a 的值为 ,b 的值为 . 答案：-1 3例23：已知函数13122+++=kx x k kx y 的定义域为R ，则实数k 的值为 . 答案：0题型4：函数的值域问题1.求函数的值域例24：求下列函数的值域（1）};5,4,3,2,1{,1∈+=x x y （2）；)3,0[,322∈+-=x x x y（3）;312-+=x x y （4）.12--=x x y例25：函数152222++++=x x x x y 的值域为 . 答案：]6,2(4.下列函数中值域是),0(+∞的是（ ）A.232++=x x yB.212++=x x yC.||1x y = D.12+=x y 答案：C2.函数值域的逆向问题例26：已知函数1822+++=x nx mx y 的定义域为R ，值域为[1,9]，则m 的值为 ;n 的值为 . 答案：5 5易错提醒易错1：求函数定义域时非等价化简解析式致误 例27：函数22+⋅-=x x y 的定义域为 . 答案：),2[+∞易错2：用换元法求值域时，忽略中间变量的取值范围致错 例28：函数12++=x x y 的值域为 .易错3：误认为))((x g f 与))((x h f 中“x ”含义相同例29：已知)2(+x f 的定义域为[1,2]，则)12(+x f 的定义域为 .感知高考考向1：函数的概念例32：定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，若当10≤≤x 时，)1()(x x x f -=，则当01≤≤-x 时，)(x f = .考向2：函数的定义域例33：函数267x x y -+=的定义域是 . 答案：[-1,7]考向3：函数值例35：设函数13)(23++=x x x f .已知0≠a ，且R x a x b x a f x f ∈--=-,))(()()(2，则实数=a,b= .答案：-2 1基础巩固： 1.函数x x y -++=211的定义域为（ ） A.]2,0[ B.]2,1()1,(-⋃--∞ C.)2,1()1,(-⋃--∞ D.)2,(-∞2.已知函数,1)(xx x f +=则)2()2(-+f f 的值是（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2 3.下列函数，值域为),0(+∞的是（ ） A.x y = B.xy 1=C.x y 1= D.12+=x y4.与函数x y =是同一个函数的是（ ）A.||x y =B.33x y = C.2x y = D.xx y 2=5.函数145-+=x x y 的值域是（ ） A.)5,(-∞ B.),5(+∞ C.),5()5,(+∞⋃-∞ D.),1()1,(+∞⋃-∞ 6.若函数)23(x f y -=的定义域为[-1,2]，则函数)(x f 的定义域是（ ） A.]1,25[-- B.]2,1[- C.]5,1[- D.]2,21[7.已知等腰三角形ABC 的周长为10，底边长y 关于腰长x 的函数关系式为x y 210-=，则此函数的定义域为（ ）A.RB.}0|{>x xC.}50|{<<x xD.}525|{<<x x8.已知函数21)(2+=x x f ，则)(x f 的值域是（ ） A.]21,(-∞ B.),21[+∞ C.]21,0( D.),0(+∞能力提升9.若函数)(x f 与函数xxx g -=1)(是相等函数，则函数)(x f 的定义域是（ ）. A.)0,(-∞ B.]1,0()0,(⋃-∞ C.)1,0()0,(⋃-∞ D.),1[+∞ 10.)2(1≥--=x x x y 的值域为（ ）.A.)43,(--∞ B.]43,(--∞ C.]1,(--∞ D.)1(--∞，11.已知定义在R 上函数)(x f 的值域也是R ，并且对任意R y x ∈,，都有xy y xf f =))((，则|)2020(|f 等于（ ）.A. 0B. 1C. 2020²D. 202012.已知)),(()(),0()(2x f f x g a c bx ax x f =>++=若)(x g 的值域为),2[+∞，)(x f 的值域为）+∞,[k ，则实数k 的最大值为（ ）.A. 0B. 1C. 2D. 413.（多选题）已知集合}40|{},20|{≤≤=≤≤=y y B x x A ，则下列对应关系，能够构成A 为定义域，B 为值域的函数的是（ ）A.x y 2=B.2x y =C.|24|x y -=D.5+=x yE.2)2(-=x y 14.已知函数)(),(x g x f 分别由下表给出：则))1((g f 的值为 ，满足))(())((x f g x g f >的x 的值是 .15.已知2211)(x x x f +-=，那么)4()3()2()1()0()21()31()41(f f f f f f f f +++++++的值为 .16.求下列函数的值域.（1）x x x f 2)(2-=，其定义域为A={0,1,2,3}； （2）;642+-=x x y（3）12122++++=x x x x y .17.已知4)(),2(21)(+=≠-=x x g x xx f . （1）求)1(),1(g f 的值； （2）求))1(()),1((f g g f 的值； （3）求))(()),((x f g x g f 的解析式.18.已知函数)(=-ff⋅f+--⋅yfgyxg，求xgxfy==)1(,0(=,1f同时满足1x),(xg)1)0(((()))((),)gg的值.0(g)2(),1(),参考答案1. B2. B3. B4. B5. C6. C7. D8. C9. B 10. C 11. D 12. C 13. ABCE 14. 1 2 15. 116. （1）{-1,0,3} （2）),2[+∞ （3）),43[+∞17. （1） 5)1(,1)1(==g f ；（2）31))1((-=g f ，5))1((=f g ；（3）2,21))((-≠--=x xx g f ； .2,421))((≠+-=x xx f g 18..1)2(,0)1(,1)0(-===g g g。
函数的概念(第2课时)(教学设计)高一数学系列(人教A版2019)
重点：理解函数的三要素：定义域、对应法则及值域，会求函数的定义域与函数值，在此过程中培养学生的逻辑推理、数据分析、数学运算的素养。
难点：进一步理解函数的对应关系f，体会函数相等的概念。
学生在第一课时已经学习过函数的概念，并对函数的概念有了深刻的理解。
在此基础上让学生理解函数的三要素、判断两个函数相等，求函数的定义域及值域相对好理解，但是抽象函数的定义域对学生是一个考验。
注意：1、区间是集合的另一种表示形
式，注意与不等式的区别。
如：x ≥－1与[－1，＋∞)是完全不同的 2、写区间的端点时，一定注意书写准确
根据具体实例结合数形结合让学
生加深对区间的
理解，使实例成
为理解概念的一
种思维载体。
【练一练】 (1)用区间表示{x |x ≥0且x ≠2}注意区间左端点
【例1】 把下列数集用区间表示： (1){x |x ≥－1}； (2){x |x <0}；
(3){x |－1<x <1}； (4){x |0<x <1或2≤x ≤4}.
；
量的值求对应的
函数值，提高学
生数学运算的核
心素养，为求函
数的值域打好基．
础。
通过函数的定义，学生自主归纳出两个函数是同一个函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养。
通过具体的例子，使学生掌握同一函数的判断方法.
通过课堂练习，巩固本节学习的内容。