北师大版八年级数学上《第一章勾股定理》单元测试含答案
第一章勾股定理单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、以下列长度线段为边，不能构成直角三角形的是( )A、7,24,25B、8,15,17C、9,40,41D、10,24,282、如图，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，AD=CD=7，若点P到AC的距离为5，则点P在四边形ABCD边上的个数为（）A、0B、2C、3D、43、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A、12米B、13米C、14米D、15米4、适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45°；③a=2，b=2，c=2；④∠A=38°，∠B=52°．A、1个B、2个C、3个D、4个5、下列三条线段不能构成直角三角形的是（）A、1、、2B、、、C、5、12、13D、9、40、416、下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A、1，2，3B、2，3，4C、4，5，6D、1，，7、如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（）A、120cmB、130cmC、140cmD、150cm8、如图，四边形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积为（）A、6cm2B、30cm2C、24cm2D、36cm29、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．A、1B、2C、3D、410、在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（）A、108cm2B、90cm2C、180cm2D、54cm2二、填空题（共8题；共24分）11、2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为________12、学校有一块长方形的花圃如右图所示，有少数的同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步（假设1米=2步），却踩伤了花草，所谓“花草无辜，踩之何忍”！13、已知在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm．则△ABC的周长为________．14、一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边长为________．15、将一根长为12cm的筷子置于底面直径为6cm，高为8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是________．16、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有________米．17、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长为7cm，则正方形a，b，c，d的面积之和是________ cm2．18、图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64，则x的长为________ cm．三、解答题（共5题；共35分）19、如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？20、省道S226在我县境内某路段实行限速，机动车辆行驶速度不得超过60km/h，如图，一辆小汽车在这段路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方36m 的C处，过了3s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为60m，这辆小汽车超速了吗？21、如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．22、如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）23、如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．四、综合题（共1题；共11分）24、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．(1)作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD=________；(2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；(3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．答案解析一、单选题1、【答案】D【考点】勾股定理的逆定理【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可；【解答】A、由于72+242=625=252，故本选项不符合题意；B、由于（8)2+（15)2=（17)2，故本选项不符合题意；C、由于92+402=412，故本选项错误；D、由于102+242≠282，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．2、【答案】A【考点】勾股定理【解析】【解答】解：作DE⊥AC，垂足为E；BF⊥AC，垂足为F．在△ACD中，AE=CE=5，DE=，5；在△ABC中，BF==4.8＜5，点P到AC的距离为5，则点P在四边形ABCD边上的个数为0．故选A．【分析】作DE⊥AC，垂足为E；BF⊥AC，垂足为F．求出DE、BF的长，与5比较大小即可作出判断．3、【答案】A【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理米．故选A．【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．4、【答案】C【考点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：①a=3，b=4，c=5，∵32+42=25=52，∴满足①的三角形为直角三角形；②a=6，∠A=45°，只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；③a=2，b=2，c=2，∵22+22=8=(2)2∴满足③的三角形为直角三角形；④∵∠A=38°，∠B=52°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°，∴满足④的三角形为直角三角形．综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形．故选C．【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”，由此即可得出结论．5、【答案】B【考点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A、因为12+（）2=22，故是直角三角形，不符合题意；B、因为（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，符合题意；C、因为52+122=132，故是直角三角形，不符合题意；D、因为92+402=412，故是直角三角形，不符合题意；故选B．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．6、【答案】D【考点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，故错误；B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故错误；C、42+52≠62，不能组成直角三角形，故错误；D、12+（）2=（）2，能够组成直角三角形，故正确．故选D．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．7、【答案】B【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：如图，由题意得：AC=10×5=50cm，BC=20×6=120cm，故AB= = =130（cm）．故选B．【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．8、【答案】C【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：连接AC，∵∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，∴AC=5cm，∵CD=12cm，DA=13cm，AC2+CD2=52+122=169=132=DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ACD﹣S△ABC= AC×CD﹣AB×BC= ×5×12﹣×4×3=30﹣6=24（cm2）．故四边形ABCD的面积为24cm2．故选：C．【分析】连接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差．9、【答案】D【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：由勾股定理，路程长度= =5，少走（3+4﹣5）×2=4步，故选：D．【分析】根据勾股定理，可得答案．10、【答案】D【考点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：∵92+122=152，∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，两直角边为9和12，所以△ABC的面积= ×9×12=54（cm2）．故选D．【分析】根据勾股定理的逆定理判定直角三角形及直角三角形的面积公式即可求解．二、填空题11、【答案】49【考点】勾股定理【解析】【解答】解：∵大正方形的面积是25，∴c2=25，∴a2+b2=c2=25，∵直角三角形的面积是=6，又∵直角三角形的面积是ab=6，∴ab=12，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=25+2×12=49．故答案是：49．【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．12、【答案】4【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，则AB= =5（m），少走了2×（3+4﹣5）=4（步）．故答案为：4．【分析】根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即（AC+BC）﹣AB．13、【答案】42cm或32cm【考点】勾股定理【解析】【解答】32cm或42cm解：分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD= = =5，在Rt△ACD中，CD= = =9，∴BC=5+9=14，∴△ABC的周长为：15+13+14=42（cm）；（2）当△ABC为钝角三角形时，BC=BD﹣CD=9﹣5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32（cm）；故答案为：42cm或32cm．【分析】分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD 中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，求出BC的长，从而可将△ABC的周长求出．14、【答案】13或【考点】勾股定理【解析】【解答】解：①12和5均为直角边，则第三边为=13．②12为斜边，5为直角边，则第三边为= ．故答案为：13或．【分析】只给出了两条边而没有指明是直角边还是斜边，所以应该分两种情况进行分析．一种是两边均为直角边；另一种是较长的边是斜边，根据勾股定理可求得第三边．15、【答案】2cm≤h≤4cm【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h=12﹣8=4cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=6cm，BD=8cm，∴AB= = =10cm，∴此时h=12﹣10=2cm，所以h的取值范围是2cm≤h≤4cm．故答案为2cm≤h≤4cm【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h 的取值范围．16、【答案】24【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：因为AB=9米，AC=12米，根据勾股定理得BC= =15米，于是折断前树的高度是15+9=24米．故答案为：24．【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．17、【答案】147【考点】勾股定理【解析】【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2），则所有正方形的面积的和是：49×3=147（cm2）．故答案为：147．【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可．18、【答案】17【考点】勾股定理【解析】【解答】解：∵正方形的面积为64，∴正方形的边长为：8，则x的长为：=17．故答案为：17．【分析】直接求出正方形的边长，进而利用勾股定理得出x的值．三、解答题19、【答案】解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，∴AO⊥BO，∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，∴OB=20×2=40（海里），∵AB=50海里，在Rt△AOB中，AO===30，∴乙轮船平均每小时航行30÷2=15海里．【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，根据勾股定理解答即可．20、【答案】解：在Rt△ABC中，AC=36m，AB=60m；据勾股定理可得：BC===48（m）∴小汽车的速度为v==16（m/s）=16×3.6（km/h）=57.6（km/h）；∵60（km/h）＞57.6（km/h）；∴这辆小汽车没有超速行驶．答：这辆小汽车没有超速、．【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．21、【答案】解：根据题意得；AC=30海里，AB=40海里，BC=50海里；∵302+402=502，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴180°﹣90°﹣35°=55°，∴乙船的航行方向为南偏东55°【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】根据题意得出AC=30海里，AB=40海里，BC=50海里；由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，即可求出乙船的航行方向．22、【答案】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC 中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．23、【答案】解：如图，连接AC，∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，∴AC= =5，∴S△ACD=6，在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∴Rt△ABC的面积=30，∴四边形ABCD的面积=30﹣6=24．【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理【解析】【分析】连接AC，根据解直角△ADC求AC，求证△ACB为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=△ABC面积﹣△ACD面积即可计算．四、综合题24、【答案】（1）14﹣x（2）解：∵AD⊥BC，∴AD2=AC2﹣CD2，AD2=AB2﹣BD2，∴132﹣（14﹣x）2=152﹣x2，解得：x=9（3）解：由（2）得：AD= = =12，∴S△ABC= •BC•AD=×14×12=84【考点】勾股定理【解析】【解答】解：（1）∵BC=14，BD=x，∴DC=14﹣x，故答案为：14﹣x；【分析】（1）直接利用BC的长表示出DC的长；（2）直接利用勾股定理进而得出x的值；（3）利用三角形面积求法得出答案．。
第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)
第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、若，，为的三边长，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（）A. ，，B.C.D.2、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠ACB=30°,AB=2，则矩形的面积为（）A. B.2 C.4 D.3、如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A.5cmB.12cmC.16cmD.20cm4、如图，O是正内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列五个结论中，其中正确的结论是（）可以由绕点B逆时针旋转得到；点O与的距离为4；；；．A. B. C. D.5、如图：图形A的面积是（）A.225B.144C.81D.无法确定6、如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，经过5秒时，测得小球的平均速度为米秒.已知，则小球下降的高度是（）A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米7、用圆心角为120°，半径为3 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（）A.3 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm8、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，AC：BC=3：4，则这个直角三角形的面积是（）A.24B.48C.54D.1089、如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB•PC等于（）A.25B.15C.20D.3010、如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，点M，N分别是AB，AC的中点，则线段MN长的最大值为（）A.5B.C.5D.11、在直角坐标系中，点P(-2，3)到原点的距离是( )A. B. C. D.212、如图所示，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1，∠OBC=90°，以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是（）A. B. 1 C. 1 D.不能确定13、如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A.b 2+（b﹣a）2B.b 2+a 2C.（b+a）2D.a 2+2ab14、如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是( )A.1B.C.2D.15、如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为（）A.5B.4C.4. 25D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，等边的边与轴交于点，点是反比例函数图像上一点，若为边的三等分点时，则等边的边长为________．17、如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上在AB下方的一个动点，∠AOC ＝45°．则当△PAB为直角三角形时，AP的长为________．18、如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD= ，则线段BC的长度等于________．19、《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC=________尺.20、已知△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，P为边AB上一点，且△APC为等腰三角形，则CP 的长为________21、如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，E为AB的中点，若P为对角线BD 上一动点，则EP+AP的最小值为________．22、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要________cm．23、如图，线段AB=2，过点B作BD⊥AB，使BD= AB，连接AD，在AD上截取DE=DB．在AB上截取AC=AE．那么线段AC的长为________．24、在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为________cm．25、如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.求AB的长.27、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B坐标分别为（4，2）、（0，2），线段CD 在于x轴上，CD＝，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G，连结CE交OA于点F．设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．（1）求线段CE的长；（2）记S为RtΔCDE与ΔABO的重叠部分面积，试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围；（3）连结DF，①当t取何值时，有DF=CD?②直接写出ΔCDF的外接圆与OA相切时t的值.28、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，点P为BC边上一点，把△PBD沿PD翻折，点B落在点E处，设PE交AC于F，连接CD(1)求证：△PCF的周长=CD；(2)设DE交AC于G，若， CD=6，求FG的长29、将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B （0，1），点0（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m，折叠后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S．（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；（Ⅲ）当S= 时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．30、如图，AB是的直径，弦于点E，若，，求的长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、A3、D4、C5、C6、B7、B8、C9、A10、D11、B12、C13、A14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)28、29、30、。
第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)
第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、已知一个直角三角形的面积为84cm2，其中一条直角边的长为7cm，则该直角三角形的斜边的长为（）A.23cmB.24cmC.25cmD.26cm2、已知三角形三边的长分别为3、2、，则该三角形的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定3、如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G 分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）A.1B.2C.12 ﹣6D.6 ﹣64、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比可以为（）A.2∶3∶4B.7∶24∶25C.5∶12∶14D.4∶6∶105、三个正方形的面积如下图，正方形A的面积为（）A.6B.36C.64D.86、已知函数y= 的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y 轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：①若点M1（x1， y1），M2（x2， y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；③无论点P在什么位置，始终有S△AOB=7.5，AP=4BP；④当点P移动到使∠AOB=90°时，点A的坐标为（2 ，﹣）．其中正确的结论个数为（）A.1B.2C.3D.47、如图，小半圆的直径与大半圆的直径AB重合，圆心重合，弦CD与小半圆相切，CD=10，则阴影部分面积为（）A.100πB.50πC.25πD.12.5π8、如图，在菱形中，，，O为对角线的中点，过O点作，垂足为E．则下列说法错误的是（）A.点O为菱形的对称中心B.C. 为等边三角形D.9、四个三角形的边长分别是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13.其中直角三角形是（）A.①②B.①③C.②④D.③④10、有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32，42，52，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.411、已知等边△ABC，点A在坐标原点，B点的坐标为（6，0），则点C的坐标为（）A.（3，3）B.（3，2 ）C.（2 ，3）D.（3，3 ）12、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A.2，3，4B.3，4，5C.6，8，10D. ，，113、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（）A.18 cmB.20 cmC.24 cmD.25 cm14、若直角三角形的两直角边长分别为5、12，则这个直角三角形的斜边长是（）A.13B.C.169D.15、下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32， 42， 52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2-n2， 2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（）组。
北师大八年级数学上《第1章勾股定理》单元检测试题（含答案）
八年级数学上册第1章勾股定理单元检测试题班级：__________姓名：__________一、单选题（共10题；共30分）1.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A. 4，5，6B. 6，8，11C. 1，1，D. 5，12，22.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A. 25B. 14,C. 7D. 7或253.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＝0，则三角形的形状是( )A. 底与腰不相等的等腰三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形4.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5m，消防车的云梯最大升长为13m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（）A. 12mB. 13mC. 14mD. 15m5.一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为（）A. 60B. 30C. 24D. 126.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.一个三角形的三边的长分别是3、4、5，则这个三角形最长边上的高是（）A. 4B.C.D.8.如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（）A. 12B. 14C. 16D. 189.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A. 0B. 1C.D.10.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A：∠B：∠C=1：2：3C. a2=c2﹣b2D. a：b：c=3：4：6二、填空题（共8题；共24分）11.如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为13米，高BC为5米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要________米．12.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=________．13.一直角三角形的一条斜边和一直角边的长度分别是4和3，则它的另一直角边长是________.14.已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为________．15.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是________ ．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=________17.要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为，高为，则放入木盒的细木条最大长度为________ ．18.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有________米．三、解答题（共66分）19.已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 的中点，AB=10，A C=6．求AD 的长度．20.求如图的Rt△ABC的面积．21.如图，∠AOB=90°，OA=90cm，OB=30cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少?22.一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？23.铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D 两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.24.如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？25.已知在中，，，．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）试在下面的方格纸上补全△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上。
第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)
第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转度（< ≤）得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（）A. B.0.5 C.1 D.2、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（）A.40B.44C.84D.883、“用长分别为5cm、12cm、13cm的三条线段可以围成直角三角形”这一事件是( )A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上都不是4、菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A.100cmB.80cmC.60cmD.50cm5、三角形三边长分别是3，4，5，则它的最短边上的高为（）A.3B.2.4C.4D.4.86、一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是（）A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺7、如图，正方形ABCD的对角线交于点O ，以AD为边向外作Rt△ADE ，∠AED＝90°，连接OE ， DE＝6，OE＝，则另一直角边AE的长为（）.A. B.2 C.8 D.108、如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米9、如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13.则小正方形的面积为（）A.3B.4C.5D.610、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的半径为（）A.8B.10C.16D.2011、下列命题不成立的是A.三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B.三个角的度数比为1：：2的三角形是直角三角形C.三边长度比为1：：的三角形是直角三角形D.三边长度之比为：：2的三角形是直角三角形12、三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A.a:b:c =13∶5∶12B.a 2-b 2=c 2C.a 2=(b+c)(b-c) D.a:b:c=8∶16∶1713、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.14、如图，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，AC=3，BC=4，则CD的长为（）A.1.6B.2.4C.2D.2.115、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A.2，3，4B.4，6，8C.6，8，10D.5，11，12二、填空题(共10题，共计30分)16、将等腰直角△ABC按如图方法放置在数轴上，点A和C分别对应的数是﹣2和1．以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D对应的实数为________．17、一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明________危险.（填有或无）18、如图，正方形ABCD的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线．若BC=6，BD=5，则点D的坐标是________．19、我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，则的长度是________.20、菱形的面积为24，其中的一条对角线长为6，则此菱形的周长为________.21、已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为________22、如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为________m223、已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为________24、如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需________元．25、如图，已知以点A(0，1)、C(1，0)为顶点的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐标系内有一动点P（不与A重合），以P、B、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b＝24，求a.27、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m和8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.28、小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度。
2022-2023学年北师大版八年级数学上册第1章勾股定理单元测试题含答案
第1章勾股定理一．选择题（共8小题，满分32分）1．在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（）A．AC2+AB2＝BC2B．AB2+BC2＝AC2C．AC2﹣BC2＝AB2D．AC2+BC2＝AB22．在△ABC中，AB＝30，AC＝25，高AD＝24，则BC的长是（）A．25B．18C．25或11D．25或183．如图，字母A所代表的正方形的面积是（）A．12B．13C．25D．1944．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．7，8，10C．5，12，14D．1，1，25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能为（）A．5B．6C．7D．96．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（）A．4米B．8米C．9米D．7米7．勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④8．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（）A．5m B．6m C．3m D．7m二．填空题（共9小题，满分36分）9．△ABC中，AC＝8，BC＝6，在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，则AB＝，∠C＝°．10．一个直角三角形的两条直角边分别为3cm，4cm，则这个直角三角形斜边上的高为cm．11．某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是米2．12．已知直角三角形斜边长为10cm，周长为22cm，则此直角三角形的面积为．13．如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2＝．14．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20分米，3分米和2分米，A和B是这个台阶的两个端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为．15．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为2km和7km，且AB两村庄相距13km，则铺设水管的最短长度是km．16．如图，将一根长为20cm的吸管，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是．17．已知在△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，高AD＝12cm．则△ABC的周长为．三．解答题（共7小题，满分58分）18．如图，有两根长杆隔河相对，一杆高3m，另一杆高2m，两杆相距5m．两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．求两杆底部距小鱼的距离各是多少米．（假设小鱼在此过程中保持不动）19．如图是“赵爽弦图”，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD＝c，AE＝a，DE＝b，取c ＝10，a﹣b＝2．（1）正方形EFGH的面积为，四个直角三角形的面积和为；（2）求（a+b）2的值．20．如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13．（1）求AB的长；（2）求∠BAD的度数．21．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，CD⊥AB于D，求：（1）斜边AB的长；（2）△ABC的面积；（3）高CD的长．23．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．24．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，故选项D正确，选项A、B、C错误，故选：D．2．解：如图1，在Rt△ABD中，BD＝＝＝18，在Rt△ADC中，CD＝＝＝7，∴BC＝BD+CD＝18+7＝25，如图2，BC＝BD﹣CD＝18﹣7＝11，综上所述，BC的长为25或11，故选：C．3．解：由勾股定理得：字母A所代表的正方形的面积＝169﹣144＝25．故选：C．4．解：A、∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴3，4，5能构成直角三角形，故A符合题意；B、∵72+82＝113，102＝100，∴72+82≠102，∴7，8，10不能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵52+122＝169，142＝196，∴52+122≠142，∴5，12，14不能构成直角三角形，故C不符合题意；D、∵1+1＝2，∴1，1，2不能构成三角形，故D不符合题意；故选：A．5．解：∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，则6≤AP≤10，∴AP长不可能是5，故选：A．6．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝4（米），∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是3+4＝7（米）．故选：D．7．解：由图可得，a2+b2＝c2＝25，故①正确；∵小正方形面积为1，∴小正方形的边长为1，∴a﹣b＝1，故②正确；∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴ab＝（25﹣1）÷4，解得ab＝12，故③正确；∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正确；故选：D．8．解：设BO＝xm，由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，解得：x＝3，∴AB＝＝＝5（m），即梯子AB的长为5m，故选：A．二．填空题（共9小题，满分36分）9．解：∵S△ABE＝60，∴AB•DE＝60，即×AB×12＝60，解得：AB＝10，∵AC2+BC2＝82+62＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠C＝90°，故答案为：10，90．10．解：设斜边上的高为h，∵直角三角形的两条直角边为4cm，3cm，∴斜边的长＝＝5cm，∴3×4＝5h，解得h＝．故答案为：．11．解：连接AC，如图，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵AB＝3米，BC＝4米，∴AC＝5米，∵CD＝12米，DA＝13米，∴△ACD为直角三角形，∴草坪的面积等于＝S△ABC+S△ACD＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36米2．故答案为36．12．解：∵直角三角形斜边长为10cm，周长为22cm，∴设一条直角边为acm，另一条直角边为bcm，∴a+b＝22﹣10＝12（cm），a2+b2＝102＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝12×12＝144，∴2ab＝144﹣（a2+b2）＝144﹣100＝44，∴ab＝11．∴此三角形的面积为11cm2．故答案为：11cm2．13．解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）＝AC2﹣AB2＝45．故答案为：45．14．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20分米，宽为（2+3）×3分米，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x分米，由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，解得：x＝25．答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25分米．故答案为：25分米．15．解：作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，（P A+PB）的值最小，即所铺设水管最短；过B点作l的垂线，过A′作l的平行线，设这两线交于点C，过A作AE⊥BC于E，则四边形AA′CE和四边形AMNE是矩形，∴EN＝AM＝2，EC＝AA′＝2+2＝4，A′C＝AE，在Rt△ABE中，依题意得：BE＝BN﹣EN＝7﹣2＝5，AB＝13，根据勾股定理可得：AE＝＝12，在Rt△B A′C中，BC＝BE+EC＝5+4＝9，A′C＝12，根据勾股定理可得：A′B＝＝＝15，∵P A＝P A′，∴P A+PB＝A′B＝15（km），故答案为：15．16．解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB＝＝13，故h最短＝20﹣13＝7（cm）；当吸管竖直插入水杯时，h最大，此时h最大＝20﹣12＝8（cm）．故答案为：7≤h≤8．17．32cm或42cm解：分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝＝＝5，在Rt△ACD中，CD＝＝＝9，∴BC＝5+9＝14，∴△ABC的周长为：15+13+14＝42（cm）；（2）当△ABC为钝角三角形时，BC＝BD﹣CD＝9﹣5＝4．∴△ABC的周长为：15+13+4＝32（cm）；故答案为：42cm或32cm．三．解答题（共7小题，满分52分）18．解：由题意可得：AE＝DE，则AB2+BE2＝EC2+DC2，故22+BE2＝（5﹣BE）2+32，解得：BE＝3，则EC＝5﹣3＝2（m），答：两杆杆底到E处的水平距离分别是3m和2m．19．解：（1）∵HE＝a﹣b＝2，∴S正方形EFGH＝HE2＝4，∵AD＝c＝10，∴S正方形ABCD＝AD2＝100，∴四个直角三角形的面积和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝100﹣4＝96，故答案为：4；96；（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为96，∴4×ab＝96，解得2ab＝96，∵a2+b2＝c2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196．20．解：（1）∵在△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝CB2+AC2＝42+32＝52，∴AB＝5；（2）在△ABD中，AB2+AD2＝52+122＝132，∴AB2+AD2＝BD2，∴△ABD为直角三角形，∴∠BAD＝90°．21．解：∵先设水深为x，则AB＝x，BC＝（x+2），∵AC＝6米，在△ABC中，AB2+AC2＝BC2，即62+x2＝（x+2）2，解得x＝8（米）．答：水深AB为8米．22．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴AB＝＝10cm；（2）△ABC的面积＝AC•BC＝×6×8＝24cm2；（3）由（2）可知，AC•BC＝CD•AB＝24，∴CD＝4.8（cm）．23．解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9BC2＝9∴CH2+BH2＝BC2∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路（2）设AC＝x在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2解这个方程，得x＝2.5，答：原来的路线AC的长为2.5千米．24．解：（1）10﹣3＝7（米）（2）如图：作AE⊥OM，BF⊥OM，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OE＝BF，AE＝OF即OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（m）∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（m），∴2EO+EF＝17，则2×EO＝10，所以OE＝5m，OF＝12m，所以OM＝OF+FM＝15m（3））由勾股定理得OB＝OA＝ON＝13，∴MN＝15﹣13＝2（m）．答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米。
北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 单元练习题 含答案
第1章勾股定理一．选择题（共12小题）1．下列为勾股数的是（）A．2，3，4 B．，，C．6，7，8 D．5，12，132．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2﹣b2﹣c2）＝0，则△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形3．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或104．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A．5 B．25 C．7 D．155．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝3：4：66．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a （a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（）A．5组B．4组C．3组D．2组7．△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A．4 B．6 C．8 D．109．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．6410．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm211．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm12．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤b≤13 B．12≤b≤15 C．13≤b≤16 D．15≤b≤16 二．填空题（共6小题）13．如图，BD为△ABC的中线，AB＝10，AD＝6，BD＝8，△ABC的周长是．14．直角三角形两条边的长度分别为3cm，4cm，那么第三条边的长度是cm．15．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为．16．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．17．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为三角形．三．解答题（共10小题）18．如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求图中△ABC的周长和面积．19．如图，一根竹子高10米，折断后竹子顶端C落在竹子底端A的4米处，折断处B离地面的高度AB是多少？20．如图，在△ABD中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知BC＝9，AB＝17，AC＝10，求AD 的长．21．已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四边形ABCD 的面积．22．长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）求AD的长；（2）求AE的长．24．如图，一个放置在地面上的长方体，长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C 的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？25．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？26．（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？参考答案一．选择题（共12小题）1．【解答】解：A、22+32≠42，不能构成勾股数，故错误；B、（）2+（）2≠（）2，不能构成勾股数，故错误；C、62+72≠82，不能构成勾股数，故错误；D、52+122＝132，能构成勾股数，故正确．故选：D．2．【解答】解：∵（a﹣b）（a2﹣b2﹣c2）＝0，∴a﹣b＝0，或a2﹣b2﹣c2＝0，即a＝b或a2＝b2+c2，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：D．3．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；如图2所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，则BC的长为6或10．故选：C．4．【解答】解：依题意得：x2﹣4＝0，y2﹣3＝0，∴x＝2，y＝，斜边长＝＝，所以正方形的面积＝（）2＝7．故选：C．5．【解答】解：A、∠A+∠B＝∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．6．【解答】解：①中有92+122＝152；②中有72+242＝252；③（32）2+（42）2≠（52）2；④中有（3a）2+（4a）2＝（5a）2；⑤中有（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，所以可以构成4组直角三角形．故选：B．7．【解答】解：∵△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25，∴AB2+BC2＝72+242＝252＝AC2，∴∠ABC＝90°，连接AP，BP，CP．设PE＝PF＝PG＝xS△ABC＝×AB×CB＝84，S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC）•x＝×56x＝28x，则28x＝84，x＝3．故选：C．8．【解答】解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，即a2+b2＝9，a﹣b＝1，解得a＝，b＝，则ab＝4．解法2，4个三角形的面积和为9﹣1＝8；每个三角形的面积为2；则ab＝2；所以ab＝4故选：A．9．【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．10．【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．∵G的面积是62＝36cm2，∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．故选：D．11．【解答】解：如下图所示：∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．∴PA＝4+2+4+2＝12（cm），QA＝5cm，∴PQ＝＝13cm．故选：A．12．【解答】解：如图，连接BO，AO，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高，即a＝12；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，即线段AB的长，在Rt△ABO中，AB＝＝＝13，故此时a＝13，所以12≤a≤13，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是：15≤b≤16．故选：D．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：∵AB＝10，AD＝6，BD＝8，∴AB2＝AD2+BD2＝100，∴△ABD是直角三角形且AD⊥BD．又BD为△ABC的中线，∴AB＝BC＝10，AD＝CD＝6．∴，△ABC的周长＝AB+BC+AD＝2AB+2AD＝20+12＝32．故答案是：32．14．【解答】解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时，则该三角形的斜边的长为：＝5（cm）．当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时，则该三角形的另一条直角边的长为：＝（cm）．故答案为：5或．15．【解答】解：连接BC．根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，∵（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°．故答案为：45°．16．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10．17．【解答】解：∵a+b＝10，ab＝18，c＝8，∴（a+b）2﹣2ab＝100﹣36＝64，c2＝64，∴a2+b2＝c2，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．三．解答题（共10小题）18．【解答】解：在△ABD中，∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BC，在Rt△ADC中，∵AD＝12m，AC＝15m，∴DC＝＝9（m），∴△ABC的周长为42m，△ABC的面积为84m2．19．【解答】解：设竹子折断处离地面x米，则斜边为（10﹣x）米，根据勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2解得：x＝4.2．答：折断处离地面的高度是4.2米．20．【解答】解：设CD＝x，则BD＝BC+CD＝9+x．在△ACD中，∵∠D＝90°，∴AD2＝AC2﹣CD2，在△ABD中，∵∠D＝90°，∴AD2＝AB2﹣BD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，即102﹣x2＝172﹣（9+x）2，解得x＝6，∴AD2＝102﹣62＝64，∴AD＝8．故AD的长为8．21．【解答】解：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝，在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD，＝×1×2+××2，＝1+．故四边形ABCD的面积为1+．22．【解答】解：设DE＝xcm，则BE＝DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣x，△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即x2＝（10﹣x）2+16．∴x＝（cm）．23．【解答】解：（1）如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝10，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝5．（2）∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，设EC＝x，则AE＝BE＝8﹣x，故62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，∴AE＝8﹣＝．24．【解答】解：如图所示，根据勾股定理得，AB＝＝25cm．答：需要爬行的最短距离是25cm．25．【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，解得：x＝25．答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm．26．【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：（cm）．（2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm ＞AG＝cm，所以最短路程为cm；（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝13（Cm）．。
第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)
第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、△ABC的三边分别为，下列条件能推出△ABC是直角三角形的有（）①;②;③∠A＝∠B ∠C; ④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 ;⑤;⑥A.2个B.3个C.4个D.5个2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）A.一直减小B.一直不变C.先减小后增大D.先增大后减小3、设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a 可以用数轴上的一个点来表示；③ 3<a<4；④ a是18的算术平方根．其中，所有符合题意说法的序号是A.①④B.②③C.①②④D.①③④4、三角形的三边长分别为3，4，5，则最长边上的高为（）A. B.3 C.4 D.5、如图，在四边形ABCD中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）A. B.6 C. D.86、如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A. B.2 C. D.10-57、以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A.4m，8m，7mB.2m，2m，2mC.2m，2m，4mD.13m，12m，5m8、如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，若，，那么BE的长为（）A. B. C.1 D.9、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )A.1，2，3B.5，6，7C.1，4，9D.5，12，1310、若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为( )A. cm 2B.2 cm 2C.3 cm 2D.4cm 211、三角形两边长分别是3和4，第三边长是x28x+15=0的一个实数根，则该三角形的面积是( )A.12B.6C.D.6或12、下列说法中，正确的有（）①如果∠A+∠B-∠C=0，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A:∠B:∠C=5:12:13，则△ABC是直角三角形；③如果三角形三边之比为，则△ABC为直角三角形；④如果三角形三边长分别是（n＞2），则△ABC是直角三角形；A.1个B.2个C.3个D.4个13、如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（）A.2B.4C.D.514、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A. ，，B.1，，C.6，7，8D.2，3，415、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（）A.2.5B.2.8C.3D.3.2二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE，OF和上，且点A是线段OB的中点，则的长为________．17、如图，将长方形纸片沿对角线折叠，若，，则重叠部分（即）的面积是________.18、下列命题中逆命题是真命题的是________.（写序号）（ 1 ）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；（ 2 ）等腰三角形两腰上的高线相等；（ 3 ）若三条线段是三角形的三边，则这三条线段满足；（ 4 ）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.（ 5 ）全等三角形的面积相等.19、学校有一长方形花圃，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”.在花圃内走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了________米，但是却踩伤花草.20、如图，在每个小正方形的边长为I的网格中，点A，B，C，D均在格点上，点E在线段BC上，F是线段DB的中点，且BE=DF，则AF的长等于________，AE的长等于________．21、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是________22、如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的余弦值是________．23、如图，分别以直角三角形的边长为边向外作正方形P、Q、R，若正方形P、Q的面积分别是4、1，则正方形R的边长是________．24、如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分別以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是________.25、如图，已知在中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线a，b，c上，且a，b之间的距离为1，b，c之间的距离为3，则的长是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．27、如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=8 cm，CD=2 cm．求破残的圆形残片的半径．28、在平面直角坐标系中，四边形ABCO是长方形，B点的坐标是（,3），C点的坐标是（，0）。
第一章 勾股定理单元测试卷（含答案与解析）
【新北师大版八年级数学（上）单元测试卷】第一章《勾股定理》（含答案与解析）班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一.选择题：（每小题3分，共36分）1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（）A．100 B．28 C．14 D．28或1002.下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形 B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形 D．三个角度之比为1：1：2的三角形3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25 C．斜边长为25 D．三角形的面积为204.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形5.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．4：6：7 D．7：24：256.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定7.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算9.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2 B．a2+c2=b2 C．b2+c2=a2 D．以上关系都有可能10.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．5111.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米12.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定二、填空题：（每小题3分，共12分）13．如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为．（2）斜边x= ．14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形．15.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= ．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．三.解答题：（共52分）17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．求：（1）△ABC的周长；18.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．19.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．20.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．21.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B 距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）22.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．23.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．含答案与解析一.选择题：（每小题3分，共36分）1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（）A．100 B．28 C．14 D．28或100【分析】根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82=x2，解得：x2=100；（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2=82，解得x2=28．故选：D．2.下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形D．三个角度之比为1：1：2的三角形【分析】A、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；C、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．【解答】解：A、最大角=180°×=90°，故为直角三角形；B、32+42=52，故为直角三角形；C、82+162≠172，故不为直角三角形；D、最大角=180°×=90°，故为直角三角形．故选：C．3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案．【解答】解：两直角边长分别为3和4，∴斜边==5；故选A．4.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；B、解得应为∠B=90度，故错误；C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．故选B．5.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．4：6：7 D．7：24：25【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形，故选项错误；B、因为32+42≠62，所以不能组成直角三角形，故选项错误；C、因为42+62≠72，所以不能组成直角三角形，故选项错误；D、因为72+242=252，所以能组成直角三角形，故选项正确；故选D．6.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．不能确定【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，OA=40×20=800m．OB=40×15=600m．在直角△OAB中，AB=1000米．故选C．7.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm【分析】设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理及已知不难求得斜边的长．【解答】解：设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理知，两条直角边的平方和等于斜边的平方．所以三边的平方和即2c2=1800，c=±30（负值舍去），取c=30．故选B．8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×32=18．故选A．9.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2B．a2+c2=b2C．b2+c2=a2D．以上关系都有可能【分析】根据勾股定理，分∠C是直角，∠B是直角，∠A是直角，三种情况讨论可得a，b，c之间的关系．【解答】解：在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，∠C是直角，则有a2+b2=c2；∠A是直角，则有b2+c2=a2．故选：D．10.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．51【分析】根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．【解答】解：∵ =15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．11.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10m，故选B．12.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC==2π≈6cm，在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB===10cm．故选：B．二、填空题：（每小题3分，共12分）13．如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为．（2）斜边x= ．【分析】（1）由勾股定理可求出正方形A的边长的平方，而正方形的面积=边长×边长，正好为所求出的值．（2）由勾股定理可得：斜边的平方=两直角边的平方和，将两直角边代入即可求出x的值．【解答】解：（1）设A的边长为a，如图（1）所示：在该直角三角形中，由勾股定理可得：所以正方形A的面积为a2=36．（2）如图（2）所示：在该直角三角形中，由勾股定理可得：x2=52+122，所以，斜边x=13．14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形．【分析】要组成三角形，由三角形的边长关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据直角三角形的性质，两个直角边的平方和等于斜边的平方，从四个数中可以得出5cm、12cm、13cm可以满足要求，其中5cm、12cm为直角边，13cm为斜边．【解答】解：∵四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，∴可以组成三角形的有：5cm、8cm、12cm；5cm、12cm、13cm；8cm、12cm、13cm．要组成直角三角形，根据勾股定理两边的平方和等于第三边的平方，则只有5cm、12cm、13cm的一组．∴有1个直角三角形．15.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= 24 ．【分析】直接利用勾股定理结合已知得出关于b的等式，进而求出答案．【解答】解：∵a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，∴a=14﹣b，则（14﹣b）2+b2=c2，故（14﹣b）2+b2=102，解得：b1=6，b2=8，则a1=8，a2=6，即S△ABC=ab=×6×8=24．故答案为：24．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= 4 ．【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．【解答】解：观察发现，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=ED，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案为：4．三.解答题：（共52分）17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．求：（1）△ABC的周长；（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？【分析】（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，先根据勾股定理求出AB和AC的长，继而即可求出△ABC 的周长；（2）根据勾股定理的逆定理，看△ABC的三边是否符合勾股定理，即可判断出△ABC是否是直角三角形．【解答】解：（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，又AD=12，BD=16，CD=5，∴AB=20，AC=13，△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BD+DC=20+13+16+5=54．（2）∵AB=20，AC=13，BC=21，AB2+AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．18.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△BCN的形状，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵BC=1m，NC= m，BN=m，∴BC2=1，NC2=，BN2=，∴BC2+NC2=BN2，∴AC⊥MC．在Rt△ACM中，∵AC=4.5m，MC=6m，MA2=AC2+CM2=56.25，∴MA=7.5 m．19.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2∴x2+52=（x+1）2解得x=12∴AB=12∴旗杆的高12m．20.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，化简整理得到勾股定理．【解答】解：由图可得：正方形ACFD的面积=四边形ABFE的面积=Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，即S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE，∴b2=c2+，整理得：a2+b2=c2．21.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B 距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）【分析】从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长，再由勾股定理进行解答即可．【解答】解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长，则AC=2πr≈2×3×4=24（cm），则E′B=E′D′=AC=×24=12（cm）．又∵EA=8cm，EE′=3cm，∴AE′=EA﹣EE′=8﹣3=5（cm）．在Rt△ABE′中，AB2=AE′2+E′B2=52+122=132，∴AB=13（cm），∵两点之间，线段最短，∴蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为13cm．22.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【分析】（1）由图形翻折变换的性质可知，AD=AF=10，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC=12厘米可得出FC的长度；（2）将CE的长设为x，得出DE=10﹣x=EF，在Rt△CEF中，根据勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2∴82+BF2=102，∴BF=6cm，∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm．（2）设EC的长为xcm，则DE=（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，即16+x2=64﹣16x+x2，化简，得16x=48，∴x=3，故EC的长为3cm．23.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．【分析】（1）直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出即可；（2）根据题意可知，图中AB=50m，AD⊥BC，且BD=CD，∠AOD=30°，OA=80m；再利用垂径定理及勾股定理解答即可．【解答】解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM=30°，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m，∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，∴AD=OA=×80=40m，在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BC时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．。
八年级数学上第一章勾股定理单元检测试题及答案北师大版
勾股定理单元检测试题邮编：518052 地址：某某市南山区常兴南路荔香中学数学组 作者：钟国雄（中国数学奥林匹克一级教练，中学高级教师）一、选择题（每题3分,共18分）1.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）（A ）1,2,3 （B ）2,3,4 （C ）3,4,5 （D ）4,5,6 解：因为222345+=，故选（C ）2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个 直角三角形的面积是（ ）（A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）60解：由勾股定理知，另一条直角边的长为2213125-=，所以这个直角三角形的面积为1125302⨯⨯=.3．如图1,一架长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为,如果梯子的顶端下滑,则梯足将向外移( ) (A) (B) (C) (D)解:依题设11 2.5,0.7AB A B BC ===.在Rt ABC ∆中,由勾股定理,得22222.50.7 2.4AC AB BC =-=-= 由12.4,0.4AC AA ==,得11 2.40.42AC AC AA =-=-=. 在11Rt A B C ∆中,由勾股定理,得222211112.52 1.5B C A B AC =-=-= 所以11 1.50.70.8BB B C BC =-=-=故选(C)4．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（ ）（A ）132 （B ）121 （C ）120 （D ）以上答案都不对 解：设直角三角形的斜边长为x ,另外一条直角边长为y ,则x y >.由勾股定理,得22211x y =+.图1因为,x y 都是自然数，则有()()1211211x y x y +-==⨯. 所以121,1x y x y +=-=.因此直角三角形的周长为121+11=132. 故选（A ）5．直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A ）22d S d ++ （B ）2d S d -- （C ）222d S d ++ （D ）22d S d ++ 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,12S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=.所以()222222444a b a ab b c S d S +=++=+=+. 所以22a b d S +=+.所以a b c ++=222d S d ++. 故选（C ）6.直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91 解:因为a b a a b +>>-.根据题意,有()()222a b a b a +=-+. 整理,得24a ab =.所以4a b =. 所以3,5a b b a b b -=+=.即该直角三角形的三边长是3,4,5b b b .因为只有81是3的倍数. 故选（C ） 二、填空题（每题3分,共24分）7. 如图2，以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____. 解:根据题意，有123S S S +=，即222111222222a b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 整理,得222a b c +=.图2故此三角形为直角三角形.8. 在Rt ABC ∆中,3,5a c ==,则边b 的长为______.解：本题在Rt ABC ∆中，没有指明哪一个角为直角，故分情况讨论：当C ∠为直角时,c 为斜边，由勾股定理,得222a b c +=， ∴2222534b c a =-=-=；当C ∠不为直角时,c 是直角边，b 为斜边，由勾股定理，得222a c b +=， ∴22223534.b a c =+=+= 因此,本题答案为4或34.9.如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.解：由勾股定理，知最短距离为()()222288210BD AC AB CD =+-=+-=.10.如图4，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则3_____.S = 解：由勾股定理，知222AC BC AB +=，即123S S S +=，所以3114S =．11．如图5,已知，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,210AD BE ==，则斜边AB 之长为______.解：AD 、BE 是中线，设,BC x AC y ==，由已知，5,25AD BE ==，所以222240,25.22y x x y ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加，得()225654x y +=，所以2252213.AB x y =+== 12.如图6，在长方形ABCD 中，5DC cm =,在DC 上存在一点E ,沿直线AE 把AED ∆折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此图5图4图3点为F ，若ABF ∆的面积为230cm ,那么折叠AED ∆的面积为_____. 解:由折叠的对称性,得,AD AF DE DF ==. 由130,52ABF S BF AB AB ∆=⋅==,得12BF =. 在Rt ABF ∆中,由勾股定理,得2213AF AB BF =+=.所以13AD =. 设DE x =,则5,,1EC x EF x FC =-==.在Rt ECF ∆中,222EC FC EF +=,即()22251x x -+=.解得135x =. 故()211131316.9225ADE S AD DE cm ∆=⋅=⨯⨯=. 13.如图7，已知：ABC ∆中，2BC =， 这边上的中线长1AD =，13AB AC +=+，则AB AC ⋅为_____.解:因为AD 为中线，所以1BD DC AD ===,于是1,2C B ∠=∠∠=∠.但12180C B ∠+∠+∠+∠=︒,故()212180,1290∠+∠=︒∠+∠=︒,即90BAC ∠=︒.又13AB AC +=+,两边平方,得222423AB AC AB AC ++⋅=+.而由勾股定理,得224AB AC +=. 所以24AB AC ⋅=.故2AB AC ⋅=.即2AB AC ⋅=.14．在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.解:如图8,作AD BC ⊥于D ,因为1AB AC ==,则BD CD =. 由勾股定理,得222222,AB AD BD AP AD PD =+=+.所以()()2222AB AP BD PD BD PD BD PD BP PC -=-=-+=⋅.所以2221AP BP PC AB +⋅==. 因此2122006120062006m m m ++=⨯=.三、解答题（每题10分,共40分）图8图715．如图9，一块长方体砖宽5AN cm =，长10ND cm ==，CD 上的点B 距地面的高8BD cm =，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？【解】如图9，在砖的侧面展开图10上，连结AB ，则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．在Rt ABD ∆中，因为51015AD AN ND =+=+=，8BD =，所以22222215828917AB AD BD =+=+==． 所以()17AB cm =．因此蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．16．如图11所示的一块地，90ADC ∠=︒，12AD m =，9CD m =，39AB m =，36BC m =，求这块地的面积S ．解：连结AC ，在Rt ACD ∆中，由勾股定理，得222AC AD DC =+，即222129AC =+，所以15AC =．在ABC ∆中，由22222153639AC BC +=+=，即222AC BC AB +=． 所以ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒．所以()211153612921622ABC ADC S S S m ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=．所以这块地的面积为2216m ．17．如图12所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒图9 图10图11,且3BD =,4CE =,求DE 的长.图12答图13解:如图13,因为ABC ∆为等腰直角三角形,所以45ABD C ∠=∠=︒. 所以把AEC ∆绕点A 旋转到AFB ∆,则AFB AEC ∆≅∆. 所以4,,45BF EC AF AE ABF C ===∠=∠=︒.连结DF . 所以DBF ∆为直角三角形.由勾股定理,得222222435DF BF BD =+=+=.所以5DF =. 因为45,DAE ∠=︒所以45DAF DAB EAC ∠=∠+∠=︒. 所以()ADE ADF SAS ∆≅∆. 所以5DE DF ==.18．ABC ∆中，,,BC a AC b AB c ===，若90C ∠=︒，如图14，根据勾股定理，则222c b a =+，若ABC ∆不是直角三角形，如图15和图16，请你类比勾股定理，试猜想22b a +与2c 的关系，并证明你的结论。
初中数学北师大版八年级上册 第一章 勾股定理单元测试(含答案)
第一章勾股定理一、选择题1. 若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．a=1.5，b=2，c=2.5B．a:b:c=3:4:5C．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52. 在Rt△ABC中，若∠C=90∘，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离为( )A．3B．4C．5D．2.43. 如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，且AB=BC=2，CD=3，DA=1，则∠DAB的度数为( )A．90∘B．120∘C．135∘D．150∘4. 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( )A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )A．47B．13C．11D．86. 如图，将一根长度为8 cm，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3 cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm7. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90∘，并测得BC长为16 m，若已知AC比AB长8 m，则A点和B点之间的距离为( )A．25 m B．12 m C．13 m D．43 m8. 如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．207二、填空题9. 在△ABC中，∠C=90∘．（1）已知a=10，b=24，那么c=．（2）已知b:c=4:5，a=9，那么b=，c=．10. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB等于．11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．12. 如图，一个长方体长4 cm，宽3 cm，高12 cm，则它上下两底面的对角线MN的长为cm．13. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则可以判断△ABC的形状为．14. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=∘（点A，B，P是网格线的交点）．15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=．三、解答题16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘．(1) 已知a=8，c=17，求b．(2) 已知b=40，c=41，求a．17. 如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90∘，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四边形ABCD的面积．18. 如图，滑竿在机械槽内运动，∠C=90∘，AB=2.5 m，BC=1.5 m，当底端B向右移动0.5 m时，顶端A下滑了多少米？19. 假期中，王强和同学到某海岛上去旅游．他们按照如图所示路线．在点A登陆后租借了自行车，骑车往东走8千米，又往北走2千米；遇到障碍后往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，走了1千米到达景点B．登陆点A到景点B的直线距离是多少千米？20. 若正整数a，b，c（a<b<c）满足a2+b2=c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯⋯第二类（a是偶数）：(6,8,10)，(8,15,17)，(10,24,26)，⋯⋯(1) 请再写出两组勾股数，每类各写一组；(2) 分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”．答案一、选择题1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. D二、填空题9. 26；12；1510. 1011. x2+62=(10−x)212. 1313. 直角三角形14. 4515. 20三、解答题16.(1) 15．(2) 9．17. ∵∠DBC=90∘，DC=17，BC=8，∴BD2=CD2−BC2=172−82=225=152，∴BD=15．∵AD2+AB2=122+92=144+81=225，BD 2=225， ∴AD 2+AB 2=BD 2，∴△ABD 是直角三角形，且 ∠A =90∘，∴ 四边形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +∠CBD 的面积 =12×9×12+12×15×8=54+60=114．18. 依题意得 AB =DE =2.5 m ，BC =1.5 m ，∠C =90∘，∴AC 2+BC 2=AB 2，即 AC 2+1.52=2.52，解得 AC =2 m ． ∵BD =0.5 m ， ∴CD =2 m ．在 Rt △ECD 中，CE 2+CD 2=DE 2， ∴CE =1.5 m ， ∴AE =0.5 m ．答：顶端 A 下滑了 0.5 m ．19. 10 千米．20.(1) 第一组（a 是奇数）：9,40,41（答案不唯一）；第二组（a 是偶数）：12,35,37（答案不唯一）．(2) 当 a 为奇数时，b =a 2−12，c =a 2+12；当 a 为偶数时，b =a 24−1，c =a 24+1．证明：当 a 为奇数时，a 2+b 2=a 2+(a 2−12)2=(a 2+12)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．当 a 为偶数时，a 2+b 2=a 2+(a 24−1)2=(a 24+1)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．。