2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第四章 4.3 第2课时 简单的三角恒等变换
《步步高》2021届高考数学大一轮复习课件(人教A版)常考题型强化练——数列
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A组 专项基础训练
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A组 专项基础训练
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A组 专项基础训练
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A组 专项基础训练
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2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第四章 4.4三角函数的图象与性质
§4.4 三角函数的图象与性质
最新考纲
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与
x轴的交点等)，理解正切函数在 －π2，π2 内的单调性. 考情考向分析
结合三角变换，考查三角函数图象及变换，三角函数的性质，加强数形结合思想. 以选择、填空为主，中档难度.
题组三 易错自纠
5.在函数①y＝cos |2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos2x＋π6；④y＝tan2x－π4中，最小
正周期为 π 的所有函数为
√A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
解析 ①y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π； ②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π； ③y＝cos2x＋π6的最小正周期 T＝22π＝π； ④y＝tan2x－π4的最小正周期 T＝2π，故选 A.
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)， (π，0) ， 32π，－1 ，(2π，0).
π2，1，
(2)在余弦函数y＝cos (π，－1) ， 32π，0
x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)， ，(2π，1).
题组二 教材改编 2.函数 f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是___π___. 3.y＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域是__－__32_，__3___.
解析 当 x∈0，π2时，2x－π6∈－6π，56π， sin2x－π6∈－12，1， 故 3sin2x－π6∈－32，3， 即 y＝3sin2x－π6在0，π2上的值域为－32，3.
《步步高》2021届高考数学大一轮复习(人教A版)专题训练：专题一函数图象与性质的综合应用
题型四
函数的值域与不等式恒成立问题
思维启迪 解析
探究提高
题型分类·深度剖析
题型四
函数的值域与不等式恒成立问题
思维启迪 解析
探究提高
题型分类·深度剖析
题型四
函数的值域与不等式恒成立问题
思维启迪 解析
探究提高
题型分类·深度剖析
题型四
函数的值域与不等式恒成立问题
思维启迪 解析
探究提高
题型分类·深度剖析
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A
练出高分
A组 专项基础训练
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练出高分
A组 专项基础训练
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(2，＋∞)
练出高分
A组 专项基础训练
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练出高分
A组 专项基础训练
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练出高分
A组 专项基础训练
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练出高分
A组 专项基础训练
题型分类·深度剖析
高考圈题
2.高考中的函数零点问题
考点分析
求解策略
解析
解后反思
题型分类·深度剖析
高考圈题
2.高考中的函数零点问题
考点分析
求解策略
解析
解后反思
题型分类·深度剖析
高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第四章 4.5
§4.5简单的三角恒等变换1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；(2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；(3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；(4)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；(5)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))；(6)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β)).2.二倍角公式(1)基本公式:①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形:由cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α可得降幂公式:cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2；升幂公式:cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.概念方法微思考1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k ·π2(k ∈Z )时的特殊情形.2.怎样研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数的性质？提示 先根据辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ),将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式,再结合图象研究函数的性质.3.思考求α2的正弦、余弦、正切公式.提示 (1)sin α2＝±1－cos α2；(2)cos α2＝±1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α,β,使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( √ )(2)设α∈(π,2π),则1－cos (π＋α)2＝sin α2.( × )(3)设5π2＜θ＜3π,且|cos θ|＝15,那么sin θ2的值为155.( × )(4)在非直角三角形中有tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B tan C .(√) 题组二 教材改编2.若cos α＝－45,α是第三象限的角,则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.－210 B.210 C.－7210 D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角,∴sin α＝－1－cos 2α＝－35,∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210.3.sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案 22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22.4.tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ .答案 3解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°,∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°) ＝3－3tan 10°tan 50°,∴原式＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ 3.5.(tan 10°－3)sin 40°的值为 .答案 －1解析 (tan 10°－3)·sin 40° ＝sin 10°－3cos 10°cos 10°·sin 40°＝2sin (10°－60°)cos 10°·sin 40°＝－2sin 50°cos 10°·sin 40°＝－2sin 40°·cos 40°cos 10°＝－sin 80°cos 10°＝－1.题组三 易错自纠6.(2019·衡水中学调研)已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0,sin α＝－45,则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于() A.－7 B.－17C.17D.7答案 B解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0,sin α＝－45, ∴cos α＝35,∴tan α＝－43. ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1－431＋43＝－17. 7.(多选)下面各式中,正确的是( )A.sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋32cos π4B.cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C.cos ⎝⎛⎭⎫－π12＝cos π4cos π3＋64D.cos π12＝cos π3－cos π4答案 ABC 解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝sin π4cos π3＋32cos π4,∴A 正确； ∵cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π4 ＝22sin π3－cos π4cos π3,∴B 正确； ∵cos ⎝⎛⎭⎫－π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－π3＝cos π4cos π3＋64,∴C 正确； ∵cos π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－π4≠cos π3－cos π4,∴D 不正确.故选ABC. 8.化简:cos 40°cos 25°·1－sin 40°＝ . 答案 2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 40°cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2.9.化简:2sin (π－α)＋sin 2αcos 2 α2＝ . 答案 4sin α解析 2sin (π－α)＋sin 2αcos 2 α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α) ＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α. 10.已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210,则tan 2θ＝ . 答案 －247解析 方法一 sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210, 得sin θ－cos θ＝15, 平方得2sin θcos θ＝2425, 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2,可求得sin θ＋cos θ＝75, ∴sin θ＝45,cos θ＝35, ∴tan θ＝43,tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 方法二 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210, ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝7210,∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ,∴tan θ＝43. 故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.第1课时 和角、差角和倍角公式和差倍角公式的简单应用1.若sin(π－α)＝13,且π2≤α≤π,则sin 2α的值为( ) A.－429 B.－229 C.229 D.429答案 A解析 因为sin(π－α)＝sin α＝13,π2≤α≤π, 所以cos α＝－1－sin 2α＝－223, 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.2.已知sin α＝35,α∈⎝⎛⎭⎫π2，π,tan(π－β)＝12,则tan(α－β)的值为( ) A.－211 B.211 C.112 D.－112答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π,∴cos α＝－45,tan α＝－34, 又tan(π－β)＝12,∴tan β＝－12, ∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝－34＋121＋⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫－34＝－211. 3.计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为 . 答案 12解析 sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. 4.(2019·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为 . 答案 －4解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1,令t ＝cos x ,则t ∈[－1,1],∴f (t )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1],且开口向下, ∴当t ＝1时,f (t )有最小值－4.综上,f (x )的最小值为－4.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.公式的灵活应用命题点1 角的变换例1 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45,且π4＜α＜3π4,则cos α的值为 . 答案 210解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45,且π4＜α＜3π4, ∴π2＜α＋π4＜π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫ α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫ α＋π4＝－35. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ α＋π4－π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫ α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫ α＋π4sin π4 ＝－35×22＋45×22＝210. (2)(2019·山东模拟)若cos(75°－α)＝13,则cos(30°＋2α)＝ . 答案 79解析 ∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝13, ∴cos(30°＋2α)＝1－2sin 2(15°＋α)＝1－2×19＝79. 命题点2 三角函数式的变换例2 (1)(2019·长沙雅礼中学模拟)已知sin 2α＝23,则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ .答案 16解析 方法一 cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16. 方法二 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22cos α－22sin α, 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2 ＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. (2)求值:1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°＝ . 答案 32解析 原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝⎛⎭⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10° ＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10° ＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. 命题点3 公式的综合应用例3 (1)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为 . 答案 2解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2. (2)若3sin x ＋cos x ＝23,则tan ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝ . 答案 ±24解析 由3sin x ＋cos x ＝23,得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝23, 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝13,所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±223, 所以tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±24, 即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±24. (3)若3π2＜α＜2π,则12＋1212＋12cos 2α可化简为 . 答案 －cos α2解析12＋1212×2cos 2α＝12＋12|cos α|, 因为32π＜α＜2π,所以|cos α|＝cos α.所以原式＝12＋12cos α＝cos 2α2.又因为34π＜α2＜π,所以原式＝－cos α2.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系. (2)常见的配角技巧:2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β,β＝α＋β2－α－β2,α＝α＋β2＋α－β2,α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等.跟踪训练 (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且cos α＝17,cos(α＋β)＝－1114,则sin β＝ . 答案32解析 由已知可得sin α＝437,sin(α＋β)＝5314,∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. (2)计算:cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝ .(用数字作答)答案2解析cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin (10°＋30°)2·sin 40°＝ 2.(3)(2019·河北保定一中期末)已知sin 2α＝2425,0＜α＜π2,则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为 . 答案 75解析 ∵sin 2α＝2425,0＜α＜π2,∴sin αcos α＝1225,sin α＞0,cos α＞0.又∵sin 2α＋cos 2α＝1,∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝4925,∴sin α＋cos α＝75.∴2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2⎝⎛⎭⎫22cos α＋22sin α＝cos α＋sin α＝75. (4)在△ABC 中,若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1,则cos C ＝ . 答案22解析 由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1, 可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1,即tan(A ＋B )＝－1,又A ＋B ∈(0,π), 所以A ＋B ＝3π4,则C ＝π4,cos C ＝22.1.已知α是第二象限角,且tan α＝－13,则sin 2α等于( )A.－31010B.31010C.－35D.35答案 C解析 因为α是第二象限角,且tan α＝－13,所以sin α＝1010,cos α＝－31010, 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝⎛⎭⎫－31010＝－35. 2.(2019·衡水中学调研)已知sin(θ＋20°)＝15,则sin(2θ－50°)的值为( )A.－2325B.2325C.4625D.25答案 A解析 sin(2θ－50°)＝sin [(2θ＋40°)－90°]＝－cos(2θ＋40°)＝2sin 2(θ＋20°)－1＝－2325. 3.cos 15°＋sin 15 °cos 15°－sin 15°的值为( )A.33 B. 3 C.－33D.－ 3 答案 B解析 原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.4.(2020·沧州七校联考)若sin(π＋θ)＝－35,θ是第二象限角,sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255,φ是第三象限角,则cos(θ－φ)的值是( ) A.－55 B.55 C.11525D. 5 答案 B解析 ∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35,∴sin θ＝35,又θ是第二象限角,∴cos θ＝－45.又∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝cos φ＝－255,φ为第三象限角, ∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.5.化简cos 250°－sin 220°－sin 30°sin 50°等于( ) A.12cos 10° B.－12cos 10°C.12sin 10° D.－12sin 10°答案 D解析 原式＝1＋cos 100°2－1－cos 40°2－12cos 40°＝12cos 100°＝－12sin 10°. 6.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°,b ＝22(sin 56°－cos 56°),c ＝1－tan 239°1＋tan 239°,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞a ＞c C.c ＞a ＞b D.a ＞c ＞b答案 D解析 a ＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127° ＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°, b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56° ＝sin(56°－45°)＝sin 11°,c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°, ∵sin 13°＞sin 12°＞sin 11°,∴a ＞c ＞b . 7.(多选)下列四个选项中,化简正确的是( ) A.cos(－15°)＝6－24B.cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝12答案 BCD解析 对于A 方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24,A 错误. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 对于B,原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0,B 正确. 对于C,原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.对于D,原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12.8.3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝ .答案 －4 3解析 原式＝3×sin 12°cos 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°(2cos 212°－1)＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝23sin (12°－60°)12sin 48°＝－4 3.9.设α为锐角,若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45,则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为 . 答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45＞0, ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2,∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－22⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1 ＝12225－7250＝17250. 10.已知sin α＋cos β＝13,sin β－cos α＝12,则sin(α－β)＝ .答案 －5972解析 ∵sin α＋cos β＝13,sin β－cos α＝12,∴(sin α＋cos β)2＝19,(sin β－cos α)2＝14,即sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝19,①sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝14.②①＋②得2＋2sin(α－β)＝1336,∴sin(α－β)＝－5972.11.若sin θ＝45且5π2＜θ＜3π,求cos θ2,tan θ2的值.解 ∵sin θ＝45,5π2＜θ＜3π,∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∵cos θ＝2cos 2θ2－1,∴cos 2θ2＝1＋cos θ2,又∵5π4＜θ2＜3π2,∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55, tan θ2＝sinθ2cos θ2＝sin θ2cos 2θ2＝sin θ1＋cos θ＝451－35＝2. 12.若sin ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝513,cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35,且0＜α＜π4＜β＜34π,求cos(α＋β)的值. 解 因为0＜α＜π4＜β＜34π.所以34π＜34π＋α＜π,－π2＜π4－β＜0.又sin ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝513, cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35,所以cos ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝－1213,sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45, 所以cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫34π＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫34π＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫34π＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝－3365.13.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435,则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A.－235 B.235 C.45 D.－45答案 D解析 由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435,可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435,即32sin α＋32cos α＝435, 所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435,sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45, 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 14.已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35,β是第三象限角,则sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝ . 答案7210解析 依题意可将已知条件变形为sin [(α－β)－α]＝－sin β＝35,sin β＝－35.又β是第三象限角,所以cos β＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4 ＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝35×22＋45×22＝7210.15.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝14,则sin 4θ＋cos 4θ的值为 . 答案 58解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ ＝⎝⎛⎭⎫22cos θ－22sin θ⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎫1－cos 2θ22＋⎝⎛⎭⎫1＋cos 2θ22＝116＋916＝58. 16.(2018·江苏)已知α,β为锐角,tan α＝43,cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值.解 (1)因为tan α＝43,tan α＝sin αcos α,所以sin α＝43cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1, 所以cos 2α＝925,因此,cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α,β为锐角,所以α＋β∈(0,π). 又因为cos(α＋β)＝－55,所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π, 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255,因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43,所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此,tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.第2课时 简单的三角恒等变换三角函数式的化简1.化简:sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案 22cos α解析 原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α.2.当π＜α＜2π时,化简:(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α＝________.答案 cos α解析 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2. ∵π＜α＜2π,∴π2＜α2＜π.∴cos α2＜0. ∴原式＝－cos α2cos α－cos α2＝cos α. 3.化简:sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________. 答案 12解析 方法一(从“角”入手,化复角为单角)原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 方法二(从“名”入手,化异名为同名)原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－cos 2β⎝⎛⎭⎫sin 2α＋12cos 2α ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12. 4.化简:sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β).解 原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α ＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α ＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看角,二看名,三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点.三角函数的求值命题点1 给角求值例1 (1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝________. 答案 －18解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9 ＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18. (2)sin 10°1－3tan 10°＝________. 答案 14解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10° ＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14. 命题点2 给值求值例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010,θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2,则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 答案 4－3310解析 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110,cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45,即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010＞0,θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 所以0＜θ＜π4,2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 根据同角三角函数基本关系式,可得cos 2θ＝35, 由两角差的正弦公式,可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310. (2)若cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35,1712π＜x ＜74π,则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝________. 答案 －2875解析 ∵17π12＜x ＜7π4, ∴5π3＜π4＋x ＜2π. 又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35,∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45, ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4＝－210. ∴sin x ＝－7210,tan x ＝7. ∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x＝2×⎝⎛⎭⎫－7210×⎝⎛⎭⎫－210＋2×⎝⎛⎭⎫－721021－7＝－2875. 命题点3 给值求角例3 已知α,β为锐角,cos α＝277,sin β＝3143,则cos 2α＝________,2α－β＝________. 答案 17 π3解析 因为cos α＝277,所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17. 又α,β为锐角,sin β＝3143, 所以sin α＝217,cos β＝1314, 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437, 所以sin(2α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 因为α为锐角,所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0,所以0＜2α＜π2, 又β为锐角,所以－π2＜2α－β＜π2, 又sin(2α－β)＝32,所以2α－β＝π3.思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法.(2)给值求角问题:先求角的某一三角函数值,再根据角的范围确定角.跟踪训练 (1)cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62 B.32 C.54 D.1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54. (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0,则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝________. 答案 268 解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0, 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0,又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,sin α＋cos α＞0, ∴2sin α＝3cos α,又sin 2α＋cos 2α＝1,∴cos α＝213,sin α＝313, ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268. (3)已知α,β∈(0,π),且tan(α－β)＝12,tan β＝－17,则2α－β的值为________. 答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0, ∴0＜α＜π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34＞0,∴0＜2α＜π2, ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0,∴π2＜β＜π,－π＜2α－β＜0, ∴2α－β＝－3π4.1.计算:1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于() A.22 B.12 C.32 D.－22答案 A解析 1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝sin 210°sin 10°1－(1－2sin 210°) ＝sin 210°2sin 210°＝22. 2.若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14,则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于( ) A.－78 B.－14 C.14 D.78答案 A解析 cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫23π－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78. 3.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35,则sin 2x 等于( ) A.1825B.725C.－725D.－1625答案 C解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos π4cos x ＋sin π4sin x ＝22(cos x ＋sin x )＝35, 所以sin x ＋cos x ＝325,所以1＋2sin x cos x ＝1825, 即sin 2x ＝1825－1＝－725.4.(2020·福州模拟)4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3D.22－1 答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40° ＝2sin 80°－sin 40°cos 40° ＝2sin 100°－sin 40°cos 40°＝2sin (60°＋40°)－sin 40°cos 40°＝2×32cos 40°＋2×12sin 40°－sin 40°cos 40°＝ 3.故选C. 5.若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12,则sin 2α的值为( ) A.－78B.78C.－47D.47答案 B解析 cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4 ＝2(cos α－sin α)＝12, 即cos α－sin α＝24,等式两边分别平方得 cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－sin 2α＝18,解得sin 2α＝78. 6.设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且tan α＝1＋sin βcos β,则( ) A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2答案 B解析 因为tan α＝1＋sin βcos β,所以sin αcos α＝1＋sin βcos β,即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β,所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α,即sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α,又α,β均为锐角,且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增,所以α－β＝π2－α,即2α－β＝π2,故选B. 7.(多选)函数f (x )＝sin x cos x 的单调递减区间可以是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π－π4(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋π2(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z ) 答案 AB解析 f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x , 由π2＋2k π≤2x ≤2k π＋3π2,k ∈Z , 得π4＋k π≤x ≤k π＋3π4,k ∈Z , ∴函数f (x )＝sin x cos x 的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ), ∵函数的周期是k π(k ≠0),故A 也正确.故选AB.8.(多选)下列说法不正确的是( )A.存在x 0∈R ,使得1－cos 3x 0＝log 2110B.函数y ＝sin 2x cos 2x 的最小正周期为πC.函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3，0 D.若角α的终边经过点(cos(－3),sin(－3)),则角α是第三象限角答案 ABC解析 在A 中,因为cos x 0∈[－1,1],所以1－cos 3x 0≥0,因为log 2110＜log 21＝0, 所以不存在x 0∈R ,使得1－cos 3x 0＝log 2110,故A 错误； 在B 中,函数y ＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x 的最小正周期为π2,故B 错误； 在C 中,令2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝π2＋k π,k ∈Z , 得x ＝－π12＋k π2,k ∈Z , 所以函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，0,k ∈Z ,故C 错误； 在D 中,因为cos(－3)＝cos 3＜0,sin(－3)＝－sin 3＜0,所以角α是第三象限角,故D 正确.9.化简:⎝⎛⎭⎫3cos 10°－1sin 170°·cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝___________________. 答案 －4 3解析 原式＝3sin 10°－cos 10°cos 10°sin 10°·1＋tan 15°1－tan 15°＝2sin (10°－30°)12sin 20°·tan 45°＋tan 15°1－tan 45°·tan 15° ＝－4·tan(45°＋15°)＝－4 3.10.(2019·淄博模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3,则sin 2θ－2cos 2θ＝________.答案 －45解析 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3,1＋tan θ1－tan θ＝3,解得tan θ＝12, sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 11.已知tan α＝－13,cos β＝55,α∈⎝⎛⎭⎫π2，π,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,求tan(α＋β)的值,并求出α＋β的值. 解 由cos β＝55,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 得sin β＝255,tan β＝2. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 所以π2＜α＋β＜3π2, 所以α＋β＝5π4. 12.已知0＜α＜π2＜β＜π,cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13,sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值. 解 (1)方法一 因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4·sin β＝22cos β＋22sin β＝13, 所以cos β＋sin β＝23, 所以1＋sin 2β＝29,所以sin 2β＝－79.方法二 sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79.(2)因为0＜α＜π2＜β＜π,所以π4＜β－π4＜34π,π2＜α＋β＜3π2.所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＞0,cos(α＋β)＜0,因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13,sin(α＋β)＝45,所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223,cos(α＋β)＝－35.所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.13.(2019·福建省百校联考)若α∈(0,π),且3sin α＋2cos α＝2,则tan α2等于() A.32 B.34C.233 D.433答案 A解析 由已知得cos α＝1－32sin α.代入sin 2α＋cos 2α＝1,得sin 2α＋⎝⎛⎭⎫1－32sin α2＝1,整理得74sin 2α－3sin α＝0,解得sin α＝0或sin α＝437. 因为α∈(0,π),所以sin α＝437,故cos α＝1－32×437＝17. 所以tan α2＝sin α1＋cos α＝4371＋17＝32. 14.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17,⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314,0＜β＜α＜π2,则β＝______. 答案 π3解析 由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314,又0＜β＜α＜π2,∴0＜α－β＜π2, 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314, 又cos α＝17,∴sin α＝437, 于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 又0＜β＜π2,故β＝π3.15.已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4,β∈⎝⎛⎭⎫0，π4,且cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35,sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋β＝－1213,则cos(α＋β)＝________. 答案 －3365解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4,∴π4－α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0, 又cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35,∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－45, ∵sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋β＝－1213,∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝1213, 又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π4,π4＋β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2, ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝513,∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋β－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋βcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋βsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝513×35－1213×45＝－3365. 16.(2019·江苏泰州中学模拟)已知0＜α＜π2＜β＜π,且sin(α＋β)＝513,tan α2＝12. (1)求cos α的值；(2)证明:sin β＞513. (1)解 ∵tan α2＝12, ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,解得cos α＝35. (2)证明 由已知得π2＜α＋β＜3π2. ∵sin(α＋β)＝513,∴cos(α＋β)＝－1213. 由(1)可得sin α＝45, ∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×45＝6365＞513.。
步步高大一轮复习讲义第课时PPT学习教案
【高考佐证2】 (2010·全国Ⅱ·20)频率
不同的两束单色光1和2以相同的入射
角从同一点射入一厚玻璃板后，其光
路如图9所示，下列说法正确的是( )
图9
A．单色光1的波长小于单色光2的波长
B．在玻璃中单色光1的传播速度大于单色光2的传播速度
C．单色光1通过玻璃板所需的时间小于单色光2通过玻璃板
________(填“能”、“不能”或“无法确定能否”)发生全
反射．
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解析 (1)如图所示，单色光照射到EF弧面
上时刚好发生全反射，由全反射的条件得
C＝45°
①
由折射定律得
n＝ssinin9C0°
②
联立①②式得
n＝ 2.
(2)能
答案 (1) 2 (2)能
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题型互动探究
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【高考佐证3】 (2010·山东理综·37(2))如图10
所示，一段横截面为正方形的玻璃棒，中间
部分弯成四分之一圆弧形状，一细束单色光
由MN端面的中点垂直射入，恰好能在弧面
EF上发生全反射，然后垂直PQ端面射出．
图10
(1)求该玻璃棒的折射率．
(2)若将入射光向N端平移，当第一次射到弧面EF上时
介质射向 光疏
介质．
(2)入射角 大于
临界角．
3．临界角：折射角等于90°时的入射角．设光线从 某介质
射向 空气
时的临界角为C，则sin C＝n1.
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五、棱镜 1．常用的棱镜是横截面为三角形或梯形的三棱镜，通常简
称为棱镜． 2．棱镜对光线的控制作用
让一束单色光从空气射向玻璃 棱镜的一个侧面，光线经过棱 镜两次折射从另一侧面射出时， 将向棱镜的底部方向偏折，如
2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第四章 4.3 第1课时 和角、差角和倍角公式
§4.3简单的三角恒等变换1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C α－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S α－β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β)2．二倍角公式 (1)基本公式： sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形：由cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α可得降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2；升幂公式：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k ·π2(k ∈Z )时的特殊情形．2．怎样研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数的性质？提示 先根据辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)，将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再结合图象研究函数的性质． 3．思考求α2的正弦、余弦、正切公式．提示 sin α2＝±1－cos α2； cos α2＝±1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)设α∈(π，2π)，则1－cos (π＋α)2＝sin α2.( × ) (3)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为155.( × )(4)在非直角三角形中有tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B tan C ．( √ )题组二 教材改编2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．－210 B.210 C ．－7210 D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210. 3．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 4．tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ . 答案3解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°，∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°) ＝3－3tan 10°tan 50°，∴原式＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ 3. 5．(tan 10°－3)sin 40°的值为 ． 答案 －1解析 (tan 10°－3)·sin 40° ＝sin 10°－3cos 10°cos 10°·sin 40°＝2sin (10°－60°)cos 10°·sin 40°＝－2sin 50°cos 10°·sin 40°＝－2sin 40°·cos 40°cos 10°＝－sin 80°cos 10°＝－1.题组三 易错自纠6．(2020·昆明一中第二次双基检测)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝1，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3等于( )A.13B.23C.33D.63 答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α ＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝33， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝1－2×13＝13.7．化简：cos 40°cos 25°·1－sin 40°＝________.答案2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 40°cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2.8．已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝ . 答案 －247解析 方法一 sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210， 得sin θ－cos θ＝15，平方得2sin θcos θ＝2425，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可求得sin θ＋cos θ＝75， ∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.方法二 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝7210，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ，∴tan θ＝43. 故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.第1课时 和角、差角和倍角公式和差倍角公式的简单应用1．若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－429B ．－229C.229D.429答案 A解析 因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.2．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A.2941 B.129 C.141 D ．1答案 D解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25， ∴tan(α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋⎝⎛⎭⎫π6＋β ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β1－tan ⎝⎛⎭⎫α－π6·tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.3．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为 ．答案 12解析sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.4．(2019·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为 ． 答案 －4解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1， 令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴f (t )＝－2t 2－3t ＋1. 又函数f (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t ＝1时，f (t )有最小值－4.综上，f (x )的最小值为－4.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．公式的灵活应用命题点1 角的变换例1 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，则cos α的值为 ． 答案210解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4， ∴π2<α＋π4<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫ α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫ α＋π4＝－35. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ α＋π4－π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫ α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫ α＋π4sin π4 ＝－35×22＋45×22＝210.(2)对于锐角α，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________. 答案 －2425解析 因为α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，可得cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＝45， 那么cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π12＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫α－π12sin π4＝210， 于是cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫2102－1 ＝－2425.命题点2 三角函数式的变换例2 (1)(2020·四川绵阳诊断)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 16解析 方法一 cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16. 方法二 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22cos α－22sin α， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2 ＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. (2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°＝ . 答案32解析 原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝⎛⎭⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. 命题点3 公式的综合应用例3 (1)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为 ．答案 2解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°＝1＋1＝2. (2)若3sin x ＋cos x ＝23，则tan ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝ . 答案 ±24解析 由3sin x ＋cos x ＝23，得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝23， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±223， 所以tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±24， 即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±24. (3)若3π2<α<2π，则12＋12 12＋12cos 2α可化简为 ． 答案 －cos α2 解析 12＋12 12×2cos 2α＝12＋12|cos α|， 因为32π<α<2π，所以|cos α|＝cos α. 所以原式＝12＋12cos α＝cos 2α2. 又因为34π<α2<π，所以原式＝－cos α2. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 跟踪训练 (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝ . 答案 32解析 由已知可得sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. (2)计算： cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝ .(用数字作答) 答案2 解析 cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin (10°＋30°)2·sin 40°＝ 2. (3)(2020·四川德阳诊断)已知sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为 ． 答案 75解析 ∵sin 2α＝2425，0<α<π2， ∴sin αcos α＝1225，sin α>0，cos α>0. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝4925， ∴sin α＋cos α＝75.∴2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2⎝⎛⎭⎫22cos α＋22sin α＝cos α＋sin α＝75. (4)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝ .答案 22解析 由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.1．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α等于()A.89B.79 C ．－79D ．－89答案 B 解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 2．(2020·四川宜宾诊断)已知sin(θ＋20°)＝15，则sin(2θ－50°)的值为( ) A ．－2325B.2325C.4625D.25 答案 A解析 sin(2θ－50°)＝sin [(2θ＋40°)－90°]＝－cos(2θ＋40°)＝2sin 2(θ＋20°)－1＝－2325. 3.cos 15°＋sin 15 °cos 15°－sin 15°的值为( ) A.33B. 3 C ．－33 D ．－ 3 答案 B解析 原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.4．(2019·全国Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0,2π]上的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0，即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1.又x ∈[0,2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π.故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个．5．(2020·桂林、崇左联合模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，则sin 2θ等于( ) A.13 B.310 C.35 D.45答案 C解析 由题意得tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2， ∴1＋tan θ1－tan θ＝2，∴tan θ＝13. 当θ在第一象限时，sin θ＝1010，cos θ＝31010， ∴sin 2θ＝2×1010×31010＝35. 当θ在第三象限时，sin θ＝－1010，cos θ＝－31010， ∴sin 2θ＝2×－1010×－31010＝35. 6．(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B. 7.sin 250°1＋sin 10°＝ . 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 8．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为 ．答案 17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45>0， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－22⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1 ＝12225－7250＝17250. 9.3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝ . 答案 －4 3解析 原式＝3×sin 12°cos 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°(2cos 212°－1) ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24° ＝23sin (12°－60°)12sin 48°＝－4 3. 10．已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝ . 答案 －5972解析 ∵sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12， ∴(sin α＋cos β)2＝19，(sin β－cos α)2＝14， 即sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝19，①sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝14.② ①＋②得2＋2sin(α－β)＝1336， ∴sin(α－β)＝－5972. 11．若sin θ＝45且5π2<θ<3π，求cos θ2，tan θ2的值． 解 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35. ∵cos θ＝2cos 2θ2－1， ∴cos 2θ2＝1＋cos θ2，又∵5π4<θ2<3π2， ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55， tan θ2＝sin θ2cos θ2＝sin θ2cos 2θ2＝sin θ1＋cos θ＝451－35＝2. 12．若sin ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<34π，求cos(α＋β)的值． 解 因为0<α<π4<β<34π. 所以34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0. 又sin ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝513， cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45， 所以cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β) ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫34π＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫34π＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫34π＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－3365.13．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45D ．－45答案 D解析 由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435， 所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 14．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝ . 答案 7210 解析 依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35. 又β是第三象限角，所以cos β＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4 ＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝35×22＋45×22＝7210.15．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为 ． 答案 58解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝⎝⎛⎭⎫22cos θ－22sin θ⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12. 故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2θ22 ＝116＋916＝58. 16．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α， 所以sin α＝43cos α. 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan(α＋β)1＋tan 2αtan(α＋β)＝－211.。
2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第四章 4.6解三角形
§4.6解三角形1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．3．测量中的有关几个术语概念方法微思考1．若角α，β在第一象限，α>β能否推出sin α>sin β？在△ABC中，A>B是否可推出sin A>sin B?提示第一象限的角α>β不能推出sin α>sin β.在△ABC中，由A>B可推出sin A>sin B. 2．在△ABC中，已知a，b和锐角A，讨论a，b，sin A满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解．提示题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．( × ) (3)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( √ )(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ ) 题组二 教材改编2．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为 ． 答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为 ． 答案 2 3解析 ∵23sin 60°＝4sin B ，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，∴AB ＝2，∴S △ABC ＝12×2×23＝2 3.4．已知△ABC 的三边之比为3∶5∶7，则其最大的内角为 ． 答案2π3解析 由三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，C 为最大内角， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝(3k )2＋(5k )2－(7k )22×3k ×5k ＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3.题组三 易错自纠5．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ,3sin A ＝5sin B ，则C ＝ . 答案2π3解析 由3sin A ＝5sin B 及正弦定理，得3a ＝5b . 又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝⎝⎛⎭⎫53b 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.利用正弦、余弦定理解三角形例1(1)(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________.答案75°解析如图，由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°， ∴A ＝180°－60°－45°＝75°.(2)如图所示，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ．答案66解析 设AB ＝a ，∵AB ＝AD ,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3.在△ABD中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63.在△BDC 中，BDsin C ＝BCsin ∠BDC，∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．跟踪训练1 (1)(2018·全国Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB 等于( )A ．4 2 B.30 C.29 D ．2 5答案 A解析 ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，∴AB ＝32＝4 2. 故选A.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若 a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ .答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. 正弦定理、余弦定理的应用命题点1 判断三角形的形状例2 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 答案 C解析 方法一 由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ， 从而△ABC 为等腰三角形．方法二 由正弦定理可得sin A ＝2sin B cos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形．(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．本例(1)中，若将条件变为a ＝b cos C ，判断△ABC 的形状．解 ∵a ＝b cos C ，∴sin A ＝sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ，∴cos B sin C ＝0， ∵sin C >0，∴cos B ＝0. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π2.∴△ABC 为直角三角形．本例(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形．命题点2 三角形面积的计算例3 (2020·四川联合诊断考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )cos B ＝3cos 2B －32，且B 为锐角． (1)求B ；(2)若b ＝1，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)因为sin(A ＋C )cos B ＝3cos 2B －32， 所以2sin(A ＋C )cos B ＝3(2cos 2B －1)， 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin 2B ＝3cos 2B ， 即tan 2B ＝3，因为B 为锐角，所以2B ∈(0，π)，所以2B ＝π3，所以B ＝π6.(2)由(1)知B ＝π6，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，即a 2＋c 2－3ac －1＝0，因为a 2＋c 2≥2ac ，所以ac ≤2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝c ＝6＋22时取等号， 所以S △ABC ＝12ac sin B ≤2＋34(当且仅当a ＝c ＝6＋22时取等号)．故△ABC 面积的最大值是2＋34.命题点3 求解平面图形问题例4 (2020·成都外国语学校检测)如图，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,2(b 2＋c 2)＝2a 2＋6bc ，b ＝6，E 为线段AB 上一点，BE ＝BC ，△ACE 的面积为154.求：(1)AE 的长； (2)sin ∠ACE sin ∠BCE的值． 解 (1)由2(b 2＋c 2)＝2a 2＋6bc ，可知cos A ＝64， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＝104.由S △ACE ＝12×AE ×6×104＝154，∴AE ＝1.(2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ， ∴sin ∠BCE ＝sin ∠BEC ＝sin ∠AEC ， ∴sin ∠ACE sin ∠BCE ＝sin ∠ACE sin ∠AEC ＝AE AC ＝16＝66.思维升华 (1)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．(2)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (3)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示． ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．跟踪训练2 (1)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B 解析∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．(2)(2018·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C 等于( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C解析 ∵S ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1. 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.(3)(2020·贵阳一中适应性考试)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ⊥AC ，AB ＝2 3.①若∠ABC ＝30°，CD ＝3AD ，求BD 的长； ②若AC ＝2，∠ADB ＝30°，求sin ∠CAD 的值． 解 ①在Rt △ABC 中，AC ＝AB ·tan ∠ABC ＝2. 在Rt △ACD 中，tan ∠CAD ＝CDAD＝3， 所以∠CAD ＝60°， 所以AD ＝AC ·cos ∠CAD ＝1. 在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2×AB ×AD ×cos ∠BAD ＝19， 所以BD ＝19.②设∠CAD ＝θ，则∠ABD ＝60°－θ，AD ＝2cos θ， 在△ABD 中，由正弦定理得2cos θsin (60°－θ)＝23sin 30°，化简得cos θ＝32sin θ， 代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin 2θ＝47，又θ为锐角，所以sin θ＝277，即sin ∠CAD ＝277.一、测量距离问题例1 (1)如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为 km.答案64解析 ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32km. 在△BCD 中，∠DBC ＝180°－∠CDB －∠ACD －∠ACB ＝45°， 由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64km. ∴A ，B 两点间的距离为64km. (2)如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为 m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠P AB－∠P AQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△P AB≌△PQB，∴PQ＝P A.在Rt△P AB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为m.答案 30＋30 3解析 在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60 m ， sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24， 由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°，所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝ (30＋303)(m)． 三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇．岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°， 所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14. 又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BACBC ＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征．从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养．1．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1或b ＝－4(舍去)，即AC ＝1.2．(2019·沧州七校联考)已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5 C ．25或 5 D ．均不正确答案 C解析 ∵a sin A ＝b sin B，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin 30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°. 若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5.若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A.12B.14 C ．1 D ．2 答案 A解析 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得S △ABC＝12bc sin A ＝12×2×12＝12. 4．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cos A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0<A <π， 所以A ＝π4.5．(2020·广西桂林、梧州、贵港、玉林、崇左、北海联合调研)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若3sin A ＝2sin C ，b ＝5，cos C ＝－13，则a 等于( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 ∵3sin A ＝2sin C ， ∴3a ＝2c ，设a ＝2k (k >0)，则c ＝3k .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25－5k 220k ＝－13，则k ＝3⎝⎛⎭⎫k ＝－53舍去，从而a ＝6. 6．(2019·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 A解析 ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2， 即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(4c 2＋b 2)2bc＝－3c 22bc ＝－14， ∴b c＝6. 7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝ . 答案 4解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ， 所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.8．(2019·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为 ． 答案 6 3解析 方法一 因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B＝12×43×23×sin π3＝6 3. 方法二 因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以S △ABC ＝12×23×6＝6 3.9．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.答案 150解析 在Rt △ABC 中，AC ＝1002，在△MAC 中，MA sin 60°＝AC sin 45°，解得MA ＝1003，在Rt △MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m.10．(2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝ ；ca的取值范围是 ． 答案 π3(2，＋∞)解析 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . 又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3，又B ∈(0，π)， ∴B ＝π3.又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A >π2，∴0<A <π6.由正弦定理得ca ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0<tan A <33，∴1tan A>3， ∴c a >12＋32×3＝2， 即c a>2. ∴ca的取值范围是(2，＋∞)． 11．(2019·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ， 即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sinC ， 可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24.12．(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求角A ； (2)求AC 边上的高．解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2<B <π，所以0<A <π2，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2，p ＝⎝⎛⎭⎫c ，cos C2共线，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 A解析 ∵向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B2共线， ∴a cos B 2＝b cos A2.由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A2.∴2sin A 2cos A 2 cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A2.则sin A 2＝sin B2.∵0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，即A ＝B .同理可得B ＝C .∴△ABC 的形状为等边三角形．故选A.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________. 答案 34解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .∴2sin B ＝sin A ＋sin C .∵A －C ＝90°，∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C . ∴2sin B ＝cos C ＋sin C . ∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫90°－B 2. ∴2sin B ＝2cos B 2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B2.∴sin B 2＝24.∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34.15．在△ABC 中，C ＝60°，且a sin A ＝2，则△ABC 面积S 的最大值为________．答案334解析 由C ＝60°及c sin C ＝a sin A＝2，可得c ＝ 3. 由余弦定理得3＝b 2＋a 2－ab ≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)， ∴S ＝12ab sin C ≤12×3×32＝334，∴△ABC 的面积S 的最大值为334.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,2b cos C －c ＝2a .(1)求B 的大小；(2)若a ＝3，且AC 边上的中线长为192，求c 的值． 解 (1)∵2b cos C －c ＝2a ，∴由余弦定理得2b ·a 2＋b 2－c 22ab －c ＝2a ，化简得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.(2)由(1)可得b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝c 2＋3c ＋9.① 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，②取AC 的中点D ，连接BD ，在△CBD 中，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝a 2＋b 24－194ab，③ 由②③得2c 2－b 2＝1.④由①④得c 2－3c －10＝0，解得c ＝5或c ＝－2(舍去)， ∴c ＝5.。
2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第二章 强化训练 函数的性质
强化训练 函数的性质1．下列函数中，既是奇函数，又在(0，＋∞)上是增函数的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝e x ＋e －x C ．f (x )＝x 3＋xD ．f (x )＝1x 2 答案 C解析 对于A ，函数为奇函数，但在(0，＋∞)上无单调性，所以A 不符合题意． 对于B ，由于f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以B 不符合题意． 对于C ，函数f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上单调递增，所以C 符合题意． 对于D ，函数f (x )为偶函数，不符合题意．2．函数f (x )＝x ＋9x(x ≠0)是( ) A ．奇函数，且在(0,3)上是增函数B ．奇函数，且在(0,3)上是减函数C ．偶函数，且在(0,3)上是增函数D ．偶函数，且在(0,3)上是减函数答案 B解析 因为f (－x )＝－x ＋9－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋9x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝x ＋9x 为奇函数． 又f ′(x )＝1－9x 2，在(0,3)上f ′(x )<0恒成立，∴f (x)在(0,3)上是减函数．3．若函数f (x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数答案 A解析由f (x)是偶函数可得b＝0，∴g(x)＝2ax3＋9x，∴g(x)是奇函数．4．(2020·四川攀枝花诊断)已知偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x－1)≥－1，则x的取值范围为()A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[0,1]D．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意，得f (x)在(－∞，0]上单调递增，且 f (1)＝－1，所以 f (2x－1)≥f (1)，则|2x －1|≤1，解得0≤x≤1.故选C.5．若定义在R上的奇函数f (x)满足对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝－f (x)成立，且f (1)＝8，则f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是()A．f (2 019)<f (2 020)<f (2 021)B．f (2 019)>f (2 020)>f (2 021)C．f (2 020)>f (2 019)>f (2 021)D．f (2 020)<f (2 021)<f (2 019)答案 A解析因为定义在R上的奇函数f (x)满足对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝－f (x)成立，所以f (x ＋4)＝f (x)，即函数f (x)的周期为4，且f (0)＝0，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－8，所以f (2 019)＝f (4×504＋3)＝f (3)＝－8，f (2 020)＝f (4×505)＝f (0)＝0，f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝8，即f (2 019)<f (2 020)<f (2 021)．6．(2020·四川泸州诊断性考试)已知函数f (x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，则下列结论正确的是()A．f (x)的值域是(0,1) B．f (x)是奇函数C．f (x)是周期函数D．f (x)是增函数答案 C解析 由[x ]表示不超过x 的最大整数，对于A ，函数f (x )＝x －[x ]∈[0,1)，A 错误；对于B ，函数f (x )＝x －[x ]为非奇非偶的函数，B 错误；对于C ，函数f (x )＝x －[x ]是周期为1的周期函数，C 正确；对于D ，函数f (x )＝x －[x ]在区间[0,1)上为增函数，但在整个定义域内不具备单调性，D 错误．7．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (3)＝3，则f (2 022)＝________. 答案 3解析 ∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 022)＝f (673×3＋3)＝f (3)＝3.8．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案 9解析 由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.9．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤1e ，e解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ， 由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1)． 又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝________.答案 0解析 因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝505[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0.11．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，求：(1)f (0)，f (2)，f (3)的值；(2)f (2 021)＋f (－2 022)的值．解 (1)f (0)＝log 21＝0，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1.(2)依题意得，当x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即当x ≥0时，f (x )是以4为周期的函数．因此，f (2 021)＋f (－2 022)＝f (2 021)＋f (2 022)＝f (1)＋f (2)．而f (2)＝0，f (1)＝log 2(1＋1)＝1，故f (2 021)＋f (－2 022)＝1.12．已知f (x )＝3x ＋b ax 2＋2是奇函数，且f (2)＝35. (1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明；(3)求f (x )的最大值．解 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴－3x ＋b ax 2＋2＝－3x ＋b ax 2＋2， ∴b ＝－b ，∴b ＝0.又f (2)＝35，∴64a ＋2＝35， ∴a ＝2.(2)f (x )在(－∞，－1]上为减函数．证明如下：由(1)知f (x )＝3x 2x 2＋2＝32x ＋2x， 令g (x )＝x ＋1x， 则g (x )的单调性和f (x )的单调性相反．设x 1<x 2≤－1，则g (x 1)－g (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2.∵x 1<x 2≤－1，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1,1－1x 1x 2>0， ∴g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)，∴g (x )在(－∞，－1]上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数．(3)由(1)(2)结合计算可知f (x )在(－∞，－1]上单调递减，在(－1,0]上单调递增，在(0,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．又∵当x <0时，f (x )<0，且f (1)＝34>0， ∴f (x )max ＝f (1)＝34.13．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )等于( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x .所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的图象都关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1m x i ＝0，∑i ＝1my i ＝m 2×2＝m ，故选B. 14．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a＋1＝b＋2 2，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.15．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________. 答案－8解析因为定义在R上的奇函数满足f (x－4)＝－f (x)，所以f (x－4)＝f (－x)．由f (x)为奇函数，所以函数图象关于直线x＝2对称，且f (0)＝0.由f (x－4)＝－f (x)知f (x－8)＝f (x)，所以函数的周期为8.又因为f (x)在区间[0,2]上是增函数，所以函数在区间[－2,0]上也是增函数，作出函数f (x)的大致图象如图所示，那么方程f (x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4，由对称性可知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.16．函数f (x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x－1)<2，且f (x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)，所以令x1＝x2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f (－x)＝f (－1)＋f (x)，所以f (－x)＝f (x)，又f (x)的定义域关于原点对称，所以f (x)为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x)是偶函数，所以f (x－1)<2，等价于f (|x －1|)<f (16)．又f (x)在(0，＋∞)上是增函数．所以0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．。
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第2课时 简单的三角恒等变换三角函数式的化简1．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ .答案 12cos 2x解析 原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .2．当π<α<2π时，化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α＝ .答案 cos α解析 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2.∵π<α<2π，∴π2<α2<π.∴cos α2<0.∴原式＝－cos α2cos α－cosα2＝cos α.3．化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝ .答案 12解析 方法一(从“角”入手，化复角为单角) 原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1)＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.方法二(从“名”入手，化异名为同名)原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－12cos 2αcos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2αcos 2β＝cos 2β－sin 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝cos 2β－cos 2β⎝⎛⎭⎫sin 2α＋12cos 2α ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.4．化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解 原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．三角函数的求值命题点1 给角求值例1 (1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－239π＝ . 答案 －18解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9 ＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.(2)sin 10°1－3tan 10°＝ . 答案 14解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14.命题点2 给值求值例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案4－3310解析 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得 sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3 ＝45×12－35×32＝4－3310. (2)若cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，1712π<x <74π，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝ . 答案 －2875解析 ∵17π12<x <7π4，∴5π3<π4＋x <2π. 又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45， ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4＝－210. ∴sin x ＝－7210，tan x ＝7.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x＝2×⎝⎛⎭⎫－7210×⎝⎛⎭⎫－210＋2×⎝⎛⎭⎫－721021－7＝－2875.命题点3 给值求角例3 已知α，β为锐角，cos α＝277，sin β＝3143，则cos 2α＝ ，2α－β＝ .答案 17 π3解析 因为cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17.又因为α，β为锐角，sin β＝3143， 所以sin α＝217，cos β＝1314， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<π2，又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3. 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角． 跟踪训练 (1)cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54.(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ . 答案268解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0， 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋cos α>0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268. (3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ．答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.1．计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( )A.22 B.12 C.32 D ．－22答案 A 解析1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝sin 210°sin 10°1－(1－2sin 210°)＝sin 210°2sin 210°＝22.2．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于( ) A ．－78 B ．－14 C.14 D.78答案 A解析 cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫23π－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78. 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则cos 2α等于( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．0答案 D解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， 所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，可得sin α＝－cos α， 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0. 4．4cos 50°－tan 40°等于( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin 100°－sin 40°cos 40°＝2sin (60°＋40°)－sin 40°cos 40°＝2×32cos 40°＋2×12sin 40°－sin 40°cos 40°＝ 3.故选C.5．计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案 D解析tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 6．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 B解析 因为tan α＝1＋sin βcos β，所以sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，又α，β均为锐角，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2，故选B. 7．计算：3－sin 70°2－cos 210°＝ .答案 2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝2.8．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ等于 ． 答案 34解析 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，cos 2θ≤0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又因为cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，sin θ＝34.9．化简：⎝⎛⎭⎫3cos 10°－1sin 170°·cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ . 答案 －4 3解析 原式＝3sin 10°－cos 10°cos 10°sin 10°·1＋tan 15°1－tan 15°＝2sin (10°－30°)12sin 20°·tan 45°＋tan 15°1－tan 45°·tan 15° ＝－4·tan(45°＋15°)＝－4 3.10．(2020·广西百色检测)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝ .答案 －45解析 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12， sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 11．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解 由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝－13＋21＋23＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以π2<α＋β<3π2， 所以α＋β＝5π4. 12．已知0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解 (1)方法一 因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13， 所以cos β＋sin β＝23， 所以1＋sin 2β＝29，所以sin 2β＝－79. 方法二 sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)因为0<α<π2<β<π， 所以π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2. 所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0， 因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315.13．若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan α2等于( ) A.32 B.34C.233D.433答案 A解析 由已知得cos α＝1－32sin α. 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＋⎝⎛⎭⎫1－32sin α2＝1， 整理得74sin 2α－3sin α＝0，解得sin α＝0或sin α＝437. 因为α∈(0，π)，所以sin α＝437，故cos α＝1－32×437＝17. 所以tan α2＝sin α1＋cos α＝4371＋17＝32. 14．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β ＝3314，0<β<α<π2，则β＝ . 答案 π3解析 由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 又cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 又0<β<π2，故β＝π3.15．已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝12，sin(α＋β)＝12，则sin(3α－β)等于( ) A ．－12B.12 C ．－32 D.32答案 B解析 因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α－β)>0，sin(α＋β)>0，所以α－β为第四象限角，α＋β为第二象限角，所以sin(α－β)＝－32，cos(α＋β)＝－32， 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝－32×⎝⎛⎭⎫－32＋12×12＝1. 因为α为锐角，所以2α＝π2， 所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝12. 16．已知0<α<π2<β<π，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12. (1)求cos α的值； (2)证明：sin β>513. (1)解 ∵tan α2＝12，∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，解得cos α＝35. (2)证明 由已知得π2<α＋β<3π2. ∵sin(α＋β)＝513，∴cos(α＋β)＝－1213. 由(1)可得sin α＝45， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×45＝6365>513.。