{高中试卷}—第二学期期中六校联考参考答案[仅供参考]
20XX年高中测试
高
中
试
题
试
卷
科目：
年级：
考点：
监考老师：
日期：
20XX—20XX学年度第二学期期中六校联考
高二化学试题参考答案
一、选择题：（每题2分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B B C D B D B D C D A
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A C D C A A D C C C D C C 二．填空简答题：（共28分）
26．（6分）（1）④（2）③⑥（3）①（4）⑤（5）⑦（6）⑧⑩
27．（3分）用含放射性同位素18O的乙醇与乙酸发生酯化反应，检测所生成的产物，若乙酸乙酯分子中不含有18O，则按第①种方式发生反应；若乙酸乙酯分子中含有18O，则按第②种方式发生反应。
28．（每空1分，共8分）
（1）A：CH3CH2CH3；B：CH2＝CH2；
E：CH2BrCH2Br；F：CH3CHBr2；G：
（2）3
（3）
（4）CH2BrCH2Br +2NaOH HOCH2CH2OH +2NaBr
29．（共11分）
（1）、（2分）
（2）加成；消去；取代（各1分，共3分）
（3）（1分）
（4）
（1分）（5）的取代产物不能经氧化反应⑥而得到产品（或A中
的取代产物
中的—OH 不在链端，不能氧化成—CHO ）
（2分） （6）
（2分）
（或 或 ） 30．（10分）①C d ② C c ③ E d ④ B d ⑤ A c （每空1分） 四．计算题（共12分） 31. （5分）
该烃的实验式、分子式、结构简式分别为CH 2、C 5H 10、
（或表示为：）
32．（共7分）
（1）有机物的分子式为C 3H 6O （3分）
（2）有机物的结构简式可能为：
CH 2 =CHCH 2OH ( CH 2 =C(OH)CH 3HOCH =CHCH 2 )（1分） （3）有机物的结构简式为：CH 3CH 2CHO （1分） 反应方程式：
CH 3CH 2CHO + H 2
CH 3CH 2CH 2OH （1分）
CH 3CH 2CHO+2Cu(OH)2
CH 3CH 2COOH+ Cu 2O ↓+ 2 H 2O （1分）
H 2C H 22
CH 2H 2
C。
安徽省宣城市六校(郎溪、旌德、广德、泾县、绩溪、宣城二中)高一下学期期中联考数学试题(解析版)
安徽省宣城市六校(郎溪、旌德、广德、泾县、绩溪、宣城二中)高一下学期期中联考数学试题一、单选题 1．直线的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在【答案】C【解析】解：∵直线x=1垂直于x 轴，倾斜角为90°，而斜率不存在， 故选 C ．2．△ABC 中，已知，则A 的度数等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】∵，∴，∴，∴A=，故选A3．已知数列{}n a 中，11a =，12n n a a +=+，若2019n a =，则n =( ) A ．1008 B ．1009C ．1010D ．2020【答案】C【解析】根据等差数列的定义判断数列{}n a 为等差数列，求出通项公式，即可得出n 的值. 【详解】由题意可得12n n a a +-=，则数列{}n a 为首项为11a =，公差为2d =的等差数列 即12(1)21n a n n =+-=-212019n -= 1010n ∴=故选：C 【点睛】本题主要考查了判断等差数列以及基本量的计算，属于基础题.4．已知直线()()3410k x k y -+-+=与()23230k x y --+=平行，那么k 的值为( ) A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C【解析】讨论k 的取值，根据两直线平行的性质求解即可. 【详解】当40,4k k -==时(3)(4)101k x k y x -+-+=⇒=-，32(3)2302k x y y x --+=⇒=+由于1x =-与32y x =+不平行，则4k =不满足题意；当4k ≠时31(3)(4)1044k k x k y y x k k --+-+=⇒=+-- 32(3)230(3)2k x y y k x --+=⇒=-+由于两直线平行，则有3341342k k k k -⎧=-⎪⎪-⎨⎪≠⎪-⎩，解得：3k =或5k =故选：C 【点睛】本题主要考查了由两直线平行求参数，属于基础题. 5．ABC 中，若2cos c a B =，则ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．锐角三角形【答案】B【解析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状． 【详解】因为sinC=2sinAcosB ，所以sin （A+B ）=2sinAcosB ， 所以sinAcosB-sinBcosA=0，即sin （A-B ）=0， 因为A ，B ，C 是三角形内角，所以A=B ． 三角形的等腰三角形． 故答案为B ．6．已知数列{}n a 中，10a =，1n a +=N n *∈），则122019a a a +++=( )A． B ．0CD．【答案】B【解析】根据递推公式得出前五项，由此判断数列{}n a 为周期数列，根据周期性得出答案. 【详解】10a =，2a ==3a ==40a ==，5a ={}∴n a 是以3为周期的周期数列则()1223210196730a a a a a a ++⋅+++==故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式写出数列的项以及根据周期性求数列的和，属于基础题.7．过()1,1A 可作两条直线与圆225204x y kx y k ++-+=相切，则k 的取值范围为( ) A ．0k > B ．4k >或01k << C ．4k >或1k <D ．k 0<【答案】B【解析】根据方程表示圆以及点与圆的位置关系列出相应不等式，求解即可. 【详解】由方程225204x y kx y k ++-+=表示圆，则有225(2)404k k +--⨯>① 由过()1,1A 可作两条直线与圆相切，则点A 在圆外 即22511204k k ++-+>② 联立①②解得4k >或01k << 故选：B 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及由方程表示圆求参数范围，属于中档题. 8．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知38S =，67S =，则789a a a ++等于( )A ．498B ．10-C ．18D ．18-【答案】C【解析】根据等比数列的性质得出36396,,S S S S S --成等比数列，结合等比中项的性质即可得出答案. 【详解】根据等比数列的性质得出36396,,S S S S S --成等比数列()()263396S S S S S ∴-=⋅-整理得出9618S S -=即8996718a a a S S ++=-= 故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本性质，属于基础题.9．在 ABC 中， 80,100,45a b A ===︒，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解C ．一解或两解D ．无解【答案】B【解析】由题意知，80a =，100b =，45A ∠=︒，∴2sin 10050280b A =⨯=<，如图：∵sin b A a b <<，∴此三角形的解的情况有2种，故选B ．10．已知{}n a 是递增数列，对任意的n *∈N ，都有2n a n n λ=+恒成立，则λ的取值范围是( ) A ．()0,∞+ B ．()2,-+∞C ．[)2,-+∞D ．()3,-+∞【答案】D【解析】根据递增数列的特点得出对任意的n *∈N ，都有1n n a a +<，结合题意得出(21)n λ>-+，求出(21)n -+的最大值，即可得出λ的取值范围.【详解】因为{}n a 是递增数列，所以对任意的n *∈N ，都有1n n a a +< 则22(1)(1)n n n n λλ+<+++对任意的n *∈N ，恒成立 整理得出(21)n λ>-+ 因为(21)3n -+≤- 所以3λ>- 故选：D 【点睛】本题主要考查了数列不等式的恒成立问题，属于中档题.11．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ( )A ．5B ．33C ．6D ．10【答案】D【解析】设点P 关于y 轴的对称点P'，点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点"P ，由对称点可求P'和"P 的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程为'"P P . 【详解】点P 关于y 轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点()",P a b ，由()0112204022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P =--+=，故选D.【点睛】解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，(),P x y 关于直线l 的对称点()',P m n ，利用1l y n k x m -⨯=--，且 点,22x m y n ++⎛⎫⎪⎝⎭在对称轴l 上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.12．已知()()()20182019f x x x =-+的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是( )A ．()0,1B ．()0,2C ．⎛ ⎝D ．⎛ ⎝ 【答案】A【解析】根据圆的对称性，求出AC ，AB 的垂直平分线的方程，联立得出圆心坐标，再由CD 的垂直平分线通过圆心，得出此圆与坐标轴的另一个交点. 【详解】函数()f x 的图象与x 轴的交点为(2018,0),(2019,0)A B -，与y 轴的交点为()0(0,20182019),0,C D y -⨯由两点的斜率公式得出201820190201902018AC k -⨯-==-，并且AC 的中点坐标为201820182019,22-⨯⎛⎫⎪⎝⎭则AC 的垂直平分线的方程为：2018201912018220192y x ⨯⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭①易知，AB 的垂直平分线方程为：12x =-②联立①②得出圆心坐标1120182019,22-⨯⎛⎫-⎪⎝⎭CD 的垂直平分线方程为0201820192y y -⨯=根据圆的对称性得出CD 的垂直平分线通过圆心02018201912018201922y -⨯-⨯∴=即01y =则此圆与坐标轴的另一个交点是0,1故选：A 【点睛】本题主要考查了圆的对称性的应用以及求直线与圆的交点坐标，属于中档题.二、填空题 13．已知集合(){}22,1A x y xy =+=，()()(){}22,344B x y x y =-++=，则A B =______.【答案】∅【解析】根据集合A 表示圆心为1(0,0)O ，半径为11r =的圆上所有点组成的集合，集合B 表示圆心为2(3,4)O -，半径为22r =的圆上所有点组成的集合，结合圆与圆的位置关系即可得出答案. 【详解】集合A 表示圆心为1(0,0)O ，半径为11r =的圆上所有点组成的集合 集合B 表示圆心为2(3,4)O -，半径为22r =的圆上所有点组成的集合 集合AB 表示两圆交点构成的集合12125O O r r ==>+ ∴圆1O 与圆2O 相离即AB =∅故答案为：∅ 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及了圆与圆位置关系的判断，属于基础题. 14．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．则sin α= .【答案】1433 【解析】试题分析：由已知得120,20,12=∠==BAC AC AB ，由余弦定理得-+=222AC AB BC28cos 2=∠BAC AC AB ，再有正弦定理αsin sin AB BAC BC =∠得1433sin =α。
浙江省台州市六校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题含答案
六校联盟2023学年第二学期期中联考高二数学试题卷（答案在最后）（2024.04）考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.选择题部分一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.设函数()1f x ax =+，若()12f '=，则=a （）A.2 B.2- C.3D.3-【答案】A 【解析】【分析】利用导数的定义可求a 的值.【详解】∵()()()()()0111111lim lim x x f x f a x a f a x x∆→∆→+∆-∆++-+'===∆∆，且()12f '=，∴2a =．故选：A ．2.已知随机变量X 的分布列()1,1,2,3,2k P X k k === ，则()13P X <≤=（）A.116B.332C.542D.38【答案】D 【解析】【分析】根据随机变量的分布列结合互斥事件概率和公式计算即可.【详解】()()()2311113132322488P X P X P X <≤==+==+=+=.故选：D.3.若函数()y f x =在0x x =处的导数等于a ，则()()0002limx f x x f x x∆→+∆-∆的值为（）A.aB.2aC.3aD.12a 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解.【详解】()()()()000022lim 2lim22x x f x x f x f x x f x a xx∆→∆→+∆-+∆-==∆∆.故选：B.4.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）A.114B.17C.314D.13【答案】B 【解析】【分析】根据题意共包含2828C =个基本事件，4种情况满足条件，得到答案.【详解】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828C =个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为28417P C ==.故选：B .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.5.5232(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为（）A.17B.20C.75D.100【答案】A 【解析】【分析】由55522332(1)2(1)(1)x x x x x⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭，先求出5(1)x +的通项，令3r =和=5r 即可得出答案.【详解】因为55522332(1)2(1)(1)x x x x x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭，因为5(1)x +的通项为：15C r rr T x +=，令3r =可得3335C 10x x =，令=5r 可得5555C x x =，所以5232(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为：210317⨯-=.故选：A .6.函数()f x 的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）A.()()()()12210f f f f <<-'<'B.()()()()22110f f f f '<'<-<C.()()()()12120f f f f '<'<-<D.()()()()21120f f f f '<'-<<【答案】C 【解析】【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.【详解】设()()1,(1),2,(2)A f B f ，由图可得()()12AB f k f <'<'，而()()()()212121AB f f k f f -==--，故()()()()12120f f f f '<'<-<，故选：C.7.已知()0.6P A =，()0.3P AB =，()|0.5P B A =，下列选项正确的是（）A.()0.4P B =B.()06|.P A B = C.()|0.5P A B = D.()()()P AB P A P B ≠【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的概率公式计算可得.【详解】因为()|0.5P B A =，即()()()()()0.51P BA P B P BA P A P A -==-，又()0.6P A =，()0.3P AB =，所以()0.5P B =，故A 错误；又()()()0.3|0.60.5P AB P A B P B ===，故B 正确；()()()P AB P A P B =，故D 错误；()()()()()()0.50.3|0.40.5P AB P B P BA P A B P B P B --====，故C 错误.故选：B 8.把函数的图像1C 向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图像2C ．若对任意的0u >，曲线1C 与2C 至多只有一个交点，则v 的最小值为A.2 B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【详解】根据题意曲线C 的解析式为3()3(),y x u x u v =----则方程33()3()3x u x u v x x ----=-，即233(3)0ux u u v -+≤，即对任意0u >恒成立，于是的最大值，令31()3(0),4g u u u u =-+>则233()3(2)(2)44g u u u u '=-+=--+由此知函数()g u 在（0，2）上为增函数，在(2,)+∞上为减函数，所以当2u =时，函数()g u 取最大值，即为4，于是4v ≥．二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.设离散型随机变量X 的分布列为X01234Pq0.20.10.40.1若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（）A.()2E X =B.() 1.8D X =C.()5E Y =D.()14=D Y 【答案】ABC 【解析】【分析】根据分布列的性质求得参数q ，结合分布列求得(),()E x D X ，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择.【详解】对于A ：由0.20.10.40.11q ++++=，解得0.2q =，所以()00.210.220.130.440.12E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故A 正确；对于B ：22222()(02)0.2(12)0.2(22)0.1(32)0.4(42)0.1 1.8D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故B 正确；对于C ：()(21)2()15E Y E x E X =+=+=，故C 正确；对于D ：2()(21)2()7.2D Y D x D X =+==，故D 错误.故选：ABC.10.已知()726701267(21)1(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，则（）A.01a =B.7123731a a a a ++++=- C.5672a =- D.37122371272222a a a a ++++= 【答案】ABD 【解析】【分析】利用赋值法可判断ABD ；由77(21)[12(1)]x x -=+-，利用二项式的展开式的通项公式求解可判断C.【详解】对于A ：令1x =，可得70(21)1a =-=，故A 正确；对于B ：令2x =，7701267(41)3a a a a a +++++-== ，所以7712670133a a a a a ++++==-- ，故B 正确；对于C ：()726701267[12(1)]1(1)(1)(1)x a a x a x a x a x +-=+-+-++-+- ，二项式的展开式的通项公式为52556517C 1[2(1)]672(1)T T x x +==⨯-=-，所以5672a =，故C 错误；对于D ：令32x =，可得72670126733333(21)1(1)(1)(1)22222a a a a a ⎛⎫⨯-=+-+-++-+- ⎪⎝⎭，所以73712237021282222a a a a a +++++== ，所以37122371272222a a a a ++++= ，故D 正确.故选：ABD.11.已知函数231()exx x f x ++=，其中x ∈R ，则（）．A.不等式2()e f x ≥-对R x ∀∈恒成立B.若直线y k =与函数()f x 的图象有且只有两个不同的公共点，则k 的取值范围是(2e ,0⎤-⎦C.方程(())0f f x =恰有3个实根D.若关于x 的不等式()f x ax <恰有1个负整数解，则a 的取值范围为2e e,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD 【解析】【分析】对函数()f x 求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A 选项；作出曲线()f x 的图象，根据图象可判断B 选项；令()0f x =，解得32x -=，数形结合可判断C 选项；由直线y ax =过原点，再结合图象分析即可判断D 选项．【详解】对于选项A ，()()()2212e e x xx x x x f x +-+-=-=-'，当<2x -或1x >时，()0f x '<，所以()f x 在()(),2,1,∞∞--+上单调递减，当2<<1x -时，()0f x '>，所以()f x 在()2,1-上单调递增，所以()f x 在2x =-出取得极小值，()22e f -=-，在1x =处取得极大值，()51ef =，而1x >时，恒有()0f x >成立，所以()f x 的最小值是2e -，即2()e f x ≥-，对x ∈R 恒成立，故A 正确；对于B 选项，若函数()f x 与直线y k =有且只有两个交点，由A 选项分析，函数()f x 的大致图象如下，由图知，当2e 0k -<≤或5ek =时，函数()f x 与直线y k =有且只有两个交点，故B 错误；对于C 选项，由()0f x =，得2310x x ++=，解得32x -=，令()32f x -=，和()32f x --=，而23e 02-±-<<，由图象知，()32f x -=和()32f x -=分别有两解：综上，方程(())0f f x =共有4个根，C 错误；对于D 选项，直线y ax =过原点，且()1e f -=-，()22e f -=-，记()110e 10f k --==--，()2220e 202f k --==--，易判断，12k k <，不等式()f x ax <恰有1个负整数解，即曲线()f x 在y ax =的图象下方对应的x 值恰有1个负整数，由图可得12k a k ≤<，即2e e 2a ≤<，故D 正确．故选：AD【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．非选择题部分三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.方程22411515C C x x x +-=的解是__________.【答案】1或2【解析】【分析】由组合数的性质求解即可.【详解】由22411515C C x x x +-=可得：2241x x x +=-或224115x x x ++-=，则：()222110x x x -+=-=或26160x x +-=，解得：1x =或2x =或8x =-，当8x =-时，显然不符合题意；当1x =时，则331515C C =成立；当2x =时，则871515C C =成立；故1x =或2x =.故答案为：1或2.13.过原点的直线l 与e x y =相切，则切点的坐标是______.【答案】(1,e)【解析】【分析】设切点坐标为00(,e )x x ，根据导数的几何意义求出切线方程，将(0,0)代入，即可求得答案.【详解】由题意设切点坐标为00(,e )x x ，由e x y =，得e x y '=，故直线l 的斜率为0e x ，则直线l 的方程为00e e ()x x y x x -=-，将(0,0)代入，得00001e e ,x x x x -=-∴=，则切点的坐标为(1,e)，故答案为：(1,e)14.若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是______．【答案】11,33⎡⎤-⎢⎣⎦【解析】【分析】根据导数与函数单调性的关系，由函数在(),-∞+∞单调递增得到不等式，利用三角恒等变换、换元法转化为一元二次不等式在闭区间上的恒成立问题，运算即可得解.【详解】解：函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+()R x ∈的导数为()21cos 2cos 3'=-+f x x a x ，由题意，函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，∴()21cos 2cos 03f x x a x '=-+≥在(),-∞+∞上恒成立，即245cos cos 033x a x -++≥在(),-∞+∞上恒成立，令cos t x =，则[]1,1t ∈-，()24533g t t at =-++，∵245cos cos 033x a x -++≥在(),-∞+∞上恒成立，∴()245033g t t at =-++≥在[]1,1-上恒成立，又∵()24533g t t at =-++的图象是开口向下的抛物线，∴()()451033451033g a g a ⎧-=--+≥⎪⎪⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得：1133a -≤≤.∴a 的取值范围是11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：导数与函数单调性的关系：1.()()00'><f x 是函数()f x 在区间(),a b 上单调递增（减）的充分不必要条件.2.()()00'≥≤f x 是函数()f x 在区间(),a b 上单调递增（减）的必要不充分条件.3.若()f x 在区间(),a b 的任意子区间上都不恒等于零，则()()00'≥≤f x 是函数()f x 在区间(),a b 上单调递增（减）的充要条件.四､解答题（本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知函数()32212f x x ax x b =-++在1x =处取得极大值6.（1）求实数,a b 的值；（2）当[]0,3x ∈时，求函数()f x 的最小值.【答案】（1）9a =，1b =（2）1【解析】【分析】（1）由()()1610f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩即可求出,a b ，再由极值的定义检验即可.（2）对()f x 求导，得出()f x 的单调性和极值，结合端点值即可求出函数()f x 在[]0,3x ∈的最小值.【小问1详解】()26212f x x ax =-+'，因为()f x 在1x =处取得极大值6.所以()162120f a =-+='，得9a =此时()()()261812612f x x x x x x =-+=--'，令()0f x '<可得：12x <<；令()0f x '>可得1x <或2x >，所以()f x 在()1,2上单调递减，在(),1∞-，()2,+∞上单调递增所以()f x 在1x =处取得极大值，符合题意，所以()229,2912a f x x x x b ==-++.又()129126f b =-++=，所以1b =【小问2详解】()3229121f x x x x =-++，所以()()()612f x x x -'=-列表如下：x()0,11()1,22()2,33()f x '+0-+()f x 1极大值6极小值510由于15<，故[]0,3x ∈时，()min ()01f x f ==.16.在822x ⎫⎪⎭的展开式中，（1）求二项式系数最大的项；（2）若第1k +项是有理项，求k 的取值集合；（3）系数最大的项是第几项.【答案】（1）611120r T x -+=（2）{}0,2,4,6,8；（3）第6项和第7项【解析】【分析】（1）由二项式系数的性质，代入计算，即可得到结果；（2）由二项式展开式的通项公式代入计算，即可求解；（3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算，即可求解.【小问1详解】548218822C C 2,0,1,8rr r rr r r T xr x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，二项式系数最大的项为中间项，即第5项，所以204446218C 21120r Txx --+==.【小问2详解】584218822CC 2,0,1,8rrr r r r r T xr x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，当542r -为整数时为有理项，即0,2,4,6,8r =，则k 的取值集合为{}0,2,4,6,8；【小问3详解】设第1r +项的系数最大，则11881188C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，所以2191281r rr r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得56r ≤≤，故系数最大的项为第6项和第7项.17.某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男､女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.（用数字做答）（1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；（2）若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数；（3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数.【答案】（1）540（2）672（3）505【解析】【分析】（1）方法一、分类讨论组长的人数，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；方法二、利用排除法，先选人参加座谈会，再把不选组长的情况去掉即可；（2）分类讨论女团员当选的人数情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；（3）分类讨论女组长当选情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可.【小问1详解】方法一（直接法）：至少有一名组长含有两种情况：有一名组长和两名组长，故共有1423210210C C C C 540+=种．方法二（间接法）：至少有一名组长可以采用排除法，有551210C C 540-=种．【小问2详解】至多有2名女团员含有四种情况：有2名女团员，有1名女团员，没有女团员，故共有5142384848C C C C C 672++=种【小问3详解】既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：第一类：女组长当选，有411C 种，第二类：女组长不当选，男组长当选，有44107C C -种，共有44411107C C C 505+-=种.18.有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用X 表示这3个球的得分之和，求X 的分布列及数学期望；（2）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率.【答案】（1）分布列见解析，225（2）917【解析】【分析】（1）由题设X 的可能值为3,4,5,6，并计算出对应概率即得分布列，进而可求数学期望.（2）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可.【小问1详解】由题意，X 的可能值为3,4,5,6.()()21126466222101010C C C C 2215223224315313,45C 545155C 5C 54554575P X P X ==⨯=⨯===⨯+⨯=⨯+⨯，()()11224644222101010C C C C 23263242833625,65C 5C 545545755C 54525P X P X ==⨯+⨯=+===⨯=⨯，所以X 的分布列为X3456P21531752875225所以()309384189902234562252252252252255E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.【小问2详解】记“摸出球的结果是一红一白”为事件A ，“选择1号盒子”为事件1B ，“选择2号盒子”为事件2B ，则()()()()11113246121222510C C C C 138,|,|2C 5C 15P B P B P A B P A B ======，()()()()()112217||30P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅=，()1132125C C 132C 10P B A =⨯=，由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为：()()()119|17P B A P B A P A ==.19.已知函数()1ln ,1x f x a x a R x -=-∈+.（1）当12a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x .（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递增.（2）（i ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得()22(1)02(1)x f x x x -+'=≥恒成立，即可得到()f x 单调性.（2）（i ）()()2221(1)ax a x af x x x +-++'=根据二次函数分析0a ≤不符合题意，则0a >，()f x 有两个极值点，则12,x x 是()2210ax a x a +-+=的两个不同正根，根据二次函数性质，可得a 的取值范围.（ii ）将()f x 解析式代入()()1212f x f x x x --中，根据韦达定理得到()()()12121212ln ln f x f x a x x a x x x x --=---，代入要证明的式子，结合第一问结果，化简即可得到结果.【小问1详解】当12a =时，()11ln (0)21x f x x x x -=->+，()222221221(1)2(1)2(1)2(1)x x x f x x x x x x x -+-=-==++'+.显然()0f x '≥，当且仅当1x =时等号成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.【小问2详解】（i ）由题设()()222212(1)(1)ax a x a a f x x x x x +-+'=-=++且0x >，若0a ≤，则()0f x '<在()0,∞+上恒成立，即()f x 单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；故0a >，又()f x 有两个极值点，则12,x x 是()2210ax a x a +-+=的两个不同正根，所以()()()2212Δ41441202100a a a a x x a a ⎧=--=->⎪-⎪+=->⎨⎪>⎪⎩，可得102a <<，即a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（ii ）由（i ）102a <<且()121221,1a x x x x a-+==，不妨设1201x x <<<，则()()12121212121211ln ln 11x x a x a x f x f x x x x x x x ----+-++=--()()()121212122ln 11x x x a x x x x x --++=-()112212121212lnln ln 21x a a x x x a x x x x x x x x -=-=--+++-，要证()()2121221f x f x a a x x a -->--，需证1212ln ln 1211x x a x x a --->--，即1212ln ln 1x x a x x a ->--，只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即11212211ln 21x x x x x x -<+，令()120,1x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，由（1）可知当12a =时，()11ln 21x f x x x -=-+在()0,∞+上递增，又01t <<，故()()10f t f <=，即11ln 21t t t -<+，综上，()()212122.1f x f x a a x x a -->--【点睛】关键点点睛：()f x 有两个极值点12,x x ，函数()f x '有两个正根，利用二次函数性质得出a 的范围.将函数()f x 解析式代入()()1212f x f x x x --中，利用韦达定理化简式子，再利用第一问的结果证明出结果.。
南京市2020—2021学年度第二学期期中六校联考高二数学答案
再从剩下的 件商品中选出 件，布置在剩下的 个位置上，有 种方法，
共有 (或 )(种)．
18．【答案】（1）2（2）
【详解】
解：（1）若 为纯虚数，则 ，且 ，解得实数 的值为2；
（2） 在复平面上对应的点 ，
由条件点 在直线 上，则 ，
解得 ．则 所以
19．【答案】（1） , （2）
【详解】
（1）由题意可知切点为 ，即 ，
， ，即 ，
（2）由（1）可知， ， ，
当 时， ；当 时， ，
即函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
即 .
20．【答案】（1） ， ；（2） ．
【详解】
解：（1）∵ ，∴ 时 ，
两式相减得 ，
由 得 ，
∴数列 是公比 的等比数列，首项 ，所以数列 的通项公式为 ，
又 ， ， ， ， 成等比得 ，∴ ，∴公差 ，
数列 的通项公式为 ．
（2） ，①
②
①－②得
∴ ．
21．【答案】（1）24；（2）144；（3）8．
【详解】
（1）每盒至多一球，这是4个元素全排列问题，共有 种．
答：共有24种放法．
（2）先取四个球中的两个“捆”在一起，有 种选法，把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子，有 种投放方法，所以共有 （种）放法．
0
2
0
0
增ห้องสมุดไป่ตู้
极大值
减
极小值
增
所以 的单调递增区间为 和 ，递减区间为 .
（2）因为 定义域为 ， 的定义域为
令 ( )
河南省南阳市六校2023-2024学年高一下学期期中联考试题 生物含答案
2023—2024学年（下）南阳六校高一年级期中考试生物学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共13小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关豌豆一对相对性状的杂交实验的叙述，错误的是（）A.豌豆杂交实验过程中需要对母本进行去雄处理B.该杂交实验中两次套袋的目的都是防止外来花粉干扰C.子一代高茎豌豆自交，需要在开花前进行去雄处理D.豌豆在自然状态下一般都是纯种2.高中遗传实验中涉及杂交、自交和测交等实验方法。
下列有关叙述正确的是（）A.通过测交实验可以确定生物性状的显隐性B.通过杂交实验可以提高后代的纯合度C.通过测交实验可确定生物体的配子种类和数量D.自交和测交都可用于验证分离定律和自由组合定律3.某动物的黄色毛和白色毛是一对相对性状，让任意一对黄色毛的雌雄个体交配，F1雌雄个体中均为黄色毛：白色毛=2：1，让F1雌雄个体随机交配产生F2。
下列相关叙述错误的是（）A.黄色毛为显性性状，且其纯合子致死B.该动物毛色的遗传遵循分离定律C.F1雌性个体中杂合子所占比例为2/3D.F2中白色毛个体所占的比例为4/94.下列有关减数分裂与有丝分裂（不考虑变异）的叙述，正确的是（）A.含有姐妹染色单体的细胞也都含有同源染色体B.着丝粒分裂时细胞中染色体数量与体细胞染色体数量相同C.有丝分裂过程中所有时期都存在同源染色体，但不发生联会D.有丝分裂前期与减数分裂I前期，细胞中染色体行为和数量均不同5.下图表示雄性果蝇（2N=8）细胞分裂过程中不同时期细胞内染色体、染色单体和核DNA含量的关系，I～Ⅳ表示不同时期。
河北省保定市六校联盟高一下学期期中联考数学答案和解析
答案第1页，共8页 六校联盟高一年级联考（2023.04） 参考答案 1．C 【详解】()()()()34i2i34i10+5i2+i2i2i2i5z+−+====++−，所415z=+=.
2．C 【详解】∵与的方向相反，∴ab=（0）．设(),axy=，则()(),3,-2xy=，于是3,-2.xy==由313a=，得22117xy+=，即
2229413117+==，∴29=，3=−，∴()-9,6a=．
3．D 【详解】在中，因为60A=，2sinsinsinABC=2abc=， 由余弦定理可得，222222cosabcbcAbcbc=+−=+−，所以22bcbcbc=+−，即()20bc−=，所以bc=，结合60A=可得一定是等边三角形．
4．A 【详解】由2+i是关于x的方程20xmxn−+=的一个根，则2-i是关于x的方程20xmxn−+=的另一个根，则2i2i4m=−++=，(2i)(2i)5n=−+=，即4m=，5n=，则9mn+=， 5．B 【详解】由题意得2222+++2121cos()433abaabb=+=+=，
解得cos0=，又0,π，所以sin1=，所以1aba==. 6．C 【详解】截角四面体的体积为大正四面体的体积减去四个相等的小正四面体体积，由正四面体的体积为可得正四面体棱长a=6
因为棱长为1的正四面体的高22361323h=−=，则棱长为1的正四面体的体积211362134312V==，所以该截角四面体的体积为答案第2页，共8页
3246218242123V=−=．
7．D 【详解】设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c=,则AB边上的高3sinsin602haBaa===，由正弦定理得()sin120sin31sinsintanCAaCCC−
===+.ABC为锐角三角形62C，则
浙江省台州市六校2023-2024学年高二下学期4月期中联考化学试题含答案
六校联盟2023学年第二学期期中联考高二化学试题卷（答案在最后）考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共7页，满分100分，考试时间90分钟。
2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3.可能用到的相对原子质量：H：1C：12N：14O：16F：19Cl：35.5选择题部分一、选择题(本大题共16小题，每小题3分，共48分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)1.茶卡盐湖因盛产“大青盐”而闻名，枯水季节湖水中氯化钾含量最高值达2.01%，下列有关氯化钾的说法不正确．．．的是A.氯化钾晶体属于离子晶体B.氯化钾熔点低于氯化钠C.钾元素和氯元素均位于周期表的p区D.饱和氯化钾溶液能使蛋白质发生盐析【答案】C【解析】【详解】A．氯化钾由钾离子、氯离子构成，氯化钾晶体属于离子晶体，故A正确；B．氯化钾与氯化钠均为离子晶体，钾离子半径大于钠离子，离子键强度弱于氯化钠的，故氯化钾熔点低于氯化钠，故B正确；C．钾元素在周期表的s区，氯元素位于周期表的p区，故C错误；D．氯化钾不是重金属盐，饱和氯化钾溶液能使蛋白质发生盐析而析出，故D正确；故选C。
2.二十大报告指出“必须坚持科技是第一生产力”，科技发展离不开化学，下列说法错误的是A.工业合成氨，常采用铁触媒、适当地提升温度和压强来提高反应速率B.霓红灯的发光机制与原子核外电子跃迁释放能量有关C.天宫课堂“五环实验”，向碳酸钠溶液中滴加甲基橙溶液后变成黄色D.为减缓海水中钢闸门腐蚀，常将钢闸门与直流电源的阳极相连，该方法为牺牲阳极法【答案】D【解析】【详解】A．工业合成氨，常采用铁触媒作催化剂、适当地提升温度和压强来提高反应速率，故A正确；B．霓红灯的发光机制与原子核外电子跃迁都是电子在不同的能层之间跃迁所导致的，故B正确；C．碳酸钠溶液显碱性，所以滴入甲基橙后溶液变黄，故C正确；D ．为了延缓海水中钢闸门的腐蚀，常将钢闸门与直流电源的负极相连，该方法为外加电流的阴极保护法，故D 错误；故选D 。
安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷含答案
合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期中联考高二年级数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分150分）命题学校：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.1.已知函数()()y f x x =∈R 的图象如图所示，且()f x '为()f x 的导函数，则（）A.()()1122f f f ⎛⎫-<= ⎪⎝⎭''' B.()()1122f f f ⎛⎫->= ⎪⎝⎭'''C.()()1122f f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭''' D.()()1122f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭'''【答案】B 【解析】【分析】分别作出函数()f x 在11,,1,22x x x x =-===的切线，进而得到()()()11,,1,22f f f f ⎛⎫- '⎪⎭''⎝'的大小关系.【详解】分别作出函数()f x 在11,,1,22x x x x =-===的切线，则()()()11021,2f f f f ⎛⎫->==>'⎪⎭''⎝'则有()()1122f f f ⎛⎫->= ⎪⎝⎭'''.故选：B2.已知函数()()20f x x x=>的图象上任意一点()()00,P x f x ，在点P 处切线与,x y 轴分别相交于,A B 两点，则OAB 的面积为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】根据导数的几何意义求出()f x 在点P 处的切线方程，求出在x 、y 轴上的截距，进而求解.【详解】2()f x x =，则22()(0)f x x x -'=>，002,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 在点P 处的切线方程为()020022y x x x x --=-，整理为20024y x x x =-+，在x 、y 轴上的截距分别为02x ，04x ，所以OAB 的面积为0014242x x ⨯⨯=.故选：C.3.已知函数()2ln f x x x mx =+-.若函数()f x 在[]1,2上单调递减，则实数m 的最小值为（）A.0B.3C.92D.【答案】C 【解析】【分析】求导函数()f x '，令()0f x '≤恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值.【详解】1()2f x x m x '=+-，令()0f x '≤，得12m x x≥+，令()12g x x x=+，若函数()f x 在[1,2]上单调递减，则()max m g x ≥，当[1,2]x ∈时，()22212120x g x x x-'=-=>，所以函数()g x 在[1,2]上单调递增，则()()max 922g x g ==，所以92m ≥.故选：C4.以“奔跑合肥，科创未来”为主题的2023合肥马拉松，于11月19日开跑，共有3万余名跑者在滨湖新区纵情奔跑，本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（约8公里）等多个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（）A.若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有10种不同的分配方案B.若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有15种不同的分配方案C.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法D.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有48种不同的站法【答案】D 【解析】【分析】先选出马拉松项目的3人，再将剩下两人进行排列即可判断AB ；利用捆绑发即可判断CD .【详解】对于AB ，不同的分配方案有3252C A 20=种，故AB 错误；对于CD ，不同的站法有2424A A 48=种，故C 错误，D 正确.故选：D .5.已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，()01f =，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f x '<，则不等式()e xf x <的解集为（）A.()0,∞+ B.()1,+∞ C.(),1-∞ D.(),0∞-【答案】D 【解析】【分析】令()()xf xg x =e，利用导数说明函数的单调性，不等式()e xf x <等价于()()0g x g <，结合单调性解得即可.【详解】令()()x f x g x =e ，则()()()0e xf x f xg x '-'=>，所以()()xf xg x =e 在R 上单调递增，又()01f =，所以()()0001ef g ==，故不等式()e xf x <，即()1exf x <，即()()0g x g <，解得0x <，所以不等式()e xf x <的解集为(),0∞-.故选：D6.若函数()211ln f x a x x x=+-，既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为（）A.1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C.(),8∞- D.()0,8【答案】B 【解析】【分析】求导，由()f x 既有极大值也有极小值可知，一元二次方程220ax x -+=在(0,)+∞上有2个不同的实根，进而建立不等式组，解之即可求解.【详解】211()ln (0)f x a x x x x =+->，则2233122()(0)a ax x f x x x x x x -+'=-+=>，函数()f x 既有极大值，也有极小值，等价于一元二次方程220ax x -+=在(0,)+∞上有2个不同的实根，则20Δ1801020020a a a a ≠⎧⎪=->⎪⎪⎨>⎪⎪⨯-+>⎪⎩，解得108a <<，即实数a 的取值范围为1(0,8.故选：B7.已知1111e 11a =，12ln 11b =，110c =，那么,,a b c 的大小关系为（）A.b a c <<B.c b a <<C.a b c<< D.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】由1111111e ,ln(1),1111111111a b c ==+=-，构造函数()(1)e 1(01)x f x x x =--<<、()ln(1)(01)g x x x x =+-<<，利用导数讨论两个函数的性质可得a c <、b a <，即可求解.【详解】1111112111111e ,ln ln(1),111111111011111111a b c ===+===⨯--，令()(1)e 1(01)x f x x x =--<<，则()e (1)e e 0x x x f x x x '=-+-=-<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，则()(0)0f x f <=，即(1)e 1xx -<，由10x ->，得1e 1xx <-，即1111e 1111<-，所以111111e 11111111<⨯-，即a c <；令()ln(1)(01)g x x x x =+-<<，则1()1011x g x x x-'=-=<++，所以函数()g x 在(0,1)上单调递减，则()(0)0g x g <=，即ln(1)x x +<，又当01x <<时，e 1x >，所以e x x x >，所以ln(1)e x x x x +<<，即11111ln(1)e 1111+<⨯，所以b a <，所以b a c <<.故选：A8.已知函数()1e xf x -=，()1lng x x =+，若()()f m g n =，则m n -的最大值是（）A.1-B.0C.ln212+-D.2ln23+【答案】B 【解析】【分析】先求得m n -的表达式，再构造函数，并利用导数求得其最大值，进而求得m n -的最大值【详解】设()()0f m g n k ==>，则有1e m k -=，解之得ln 1m k =+，1ln n k +=，解之得1=e k n -，则有1=ln 1e k m n k --+-令1()=ln 1e (0)x h x x x -+->，则e e ()=(0)e xx h x x x-'>令()e e ,(0)x t x x x =->，则()(1)e 0x t x x '=-+<恒成立，则0x >时，()e e x t x x =-单调递减，又(1)0t =，则01x <<时，()0t x >，()0h x '>，()h x 单调递增，1x >时，()0t x <，()0h x '<，()h x 单调递减，则max ()(1)0h x h ==，则1ln 1e k k -+-的最大值为0.故m n -的最大值是0.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列求导运算正确的是（）A.若()lnπf x =，则()1πf x '=B.若()23f x x =，则()1323f x x -'=C.若()2xf x =，则()2ln2xf x =' D.若()2e xf x =，则()2exf x '=【答案】BC 【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式和简单复合函数的求导法则，结合选项依次求导即可.【详解】A ：若()ln πf x =，则()0f x '=，故A 错误；B ：若23()f x x =，则132()3f x x -'=，故B 正确；C ：若()2x f x =，则()2ln 2x f x ='，故C 正确；D ：若2()e x f x =，则2()2e x f x '=，故D 错误.故选：BC10.某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（）A.若任意选择三门课程，则总选法为36C B.若物理和历史至少选一门，则总选法为1224C C C.若物理和历史不能同时选，则总选法为3164C C -D.若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为1224C C 【答案】ACD 【解析】【分析】根据组合数判断A ，分物理和化学选一门与选两门两种情况，即可判断BD ，利用间接法即可判断C.【详解】对于A ．若任意选择三门课程，选法总数为36C 种，故A 正确；对于B ．若物理和历史选一门，有12C 种方法，其余两门从剩余的4门中选2门，有24C 种选法，若物理和历史选两门，有22C 种选法，剩下一门从剩余的4门中选1门，有14C 种选法由分步乘法计数原理知，总数为12212424C C C C +种选法，故B 错误；对于C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3213162464C C C C C -=-种，故C 正确；对于D ．由选项B 的分析知，若物理和历史至少选一门且不能同时选，有1224C C 种选法，故D 正确．故选：ACD ．11.已知函数()e xax f x =和()ln xg x ax=有相同的最大值b ，直线y m =与两曲线()y f x =和()y g x =恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为123,,x x x ，则以下说法正确的是（）A.1a = B.1eb =C.123,,x x x 成等差数列D.123,,x x x 成等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据导数分类讨论求最值，然后数形结合，利用指数与对数之间的转化求解即可.【详解】对于AB ，()()(1)e e x xax a x f x f x -'=⇒=，当0a >时，当1x >时，()()0,f x f x '<单调递减，当1x <时，()()0,f x f x '>单调递增，所以当1x =时，函数()f x 有最大值，即()()max 1eaf x f ==；当a<0时，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当1x <时，()()0,f x f x '<单调递减，所以当1x =时，函数()f x 有最小值，没有最大值，不符合题意，由()()2ln 1ln x xg x g x ax ax-'=⇒=，当0a >时，当e x >时，()()0,g x g x '<单调递减，当0e x <<时，()()0,g x g x '>单调递增，所以当e x =时，函数()g x 有最大值，即()()max 1e eg x g a ==；当a<0时，当e x >时，()()0,g x g x '>单调递增，当0e x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，所以当e x =时，函数()g x 有最小值，没有最大值，不符合题意，于是有111,0,1,e e ea a a ab a =⇒=±>∴== ，因此选项AB 正确，对于CD，两个函数图像如下图所示：由数形结合思想可知：当直线y m =经过点M 时，此时直线y m =与两曲线()y f x =和()y g x =恰好有三个交点，不妨设12301e x x x <<<<<，且12312223ln ln e e x x x x x x m x x ====，由()()1212212ln 2ln ln ln e ex x x x x f x f x x ==⇒=，又121,ln ln e 1x x <<=，又当1x <时，()f x 单调递增，所以12ln x x =，又()()3233223ln 3ln ln ln e ex x x x x f x f x x ==⇒=，又231,ln ln e 1x x >>=，又当1x >时，()f x 单调递减，所以23ln x x =，332222ln 1ln ln x x x x x x m===，22121ln x x x x m ==，于是有23213212x x x x x x x =⇒=，且1322x x x +>=，所以选项C 错误，D 正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，结合等式log b a a b =是解题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，为了迎接五一国际劳动节，某学校安排同学们在A ，B ，C ，D 四块区域植入花卉，现有4种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有______（结果用数字作答）【答案】72【解析】【分析】依次考虑C 、D 、A 、B 区域，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】C 区域有4种选择，D 区域有3种选择，A 区域有3种选择，B 区域有2种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的植入方法共有433272⨯⨯⨯=种.故答案为：7213.写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x ：______.①()()()1212f x x f x f x =+；②当,()0x ∈+∞时，()0f x '<；③()f x '是奇函数.【答案】12()log ||f x x =（答案不唯一）【解析】【分析】根据对数的运算性质及对数函数的导数，结合题设性质写出一个满足要求的函数解析式即可.【详解】①由1212log ()log log a a a x x x x =+，即()log a f x x =满足()()()1212f x x f x f x =+；②对于()log a f x x =，在,()0x ∈+∞上要使导函数1()0ln f x x a'=<恒成立，故ln 0a <，所以01a <<；③由②知：11()()ln ln f x f x x a x a''-==-=--，注意定义域要关于原点对称，满足()f x '是奇函数；综上，()log ||a f x x =且01a <<，满足上述要求.故答案为：12()log ||f x x =（答案不唯一）14.设实数0m >，若对()0,,x ∀∈+∞不等式ln e 0mxxm-≥恒成立，则m 的取值范围为________．【答案】1em ≥【解析】【分析】构造函数()e xf x x =判定其单调性得ln mx x ≥，分离参数根据恒成立求maxln x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可.【详解】由ln ln e0e ln ln e mxmx x xmx x x x m-≥⇔≥=⋅，构造函数()()e0xf x x x =>()()1e 0x f x x '⇒=+>，()f x \在()0,∞+为增函数，则ln e ln e ln mx x mx x mx x⋅≥⋅⇔≥即对()0,,x ∀∈+∞不等式ln mx x ≥恒成立，则()0,,x ∀∈+∞maxln x m x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，构造函数()()2ln 1ln ,g x x xx x x g '=-=⇒令()0g x '>，得0e x <<；令()0g x '<，得e x >；()ln xg x x∴=在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，()()max 1e eg x g ∴==，即1e m ≥.故答案为：1em ≥.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数()32f x x ax bx =++图象在点()()0,0f 处切线斜率为4-，且2x =-时，()y f x =有极值.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 极值.【答案】（1）()3224f x x x x=+-（2）极大值为8，极小值为4027-．【解析】【分析】（1）利用题给条件列出关于,a b 的方程组，解之即可求得,a b 的值，进而得到()f x 的解析式；（2）利用导数先求得函数()f x 的单调性，进而得到函数()f x 极值.【小问1详解】由题意可得，()232f x x ax b '=++．由()()0421240f b f a b ⎧==-⎪⎨-=-+=''⎪⎩，解之得2,4.a b =⎧⎨=-⎩经检验得2x =-时，()y f x =有极大值．所以()3224f x x x x =+-．【小问2详解】由（1）知，()()()2344232f x x x x x '=+-=+-．令()0f x '=，得1222,3x x =-=，()(),f x f x '的值随x 的变化情况如下表：x (),2-∞-2-22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭232,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值84027-由表可知()f x 的极大值为8，极小值为4027-．16.北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F 遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从7名预备队员中（其中男4人，女3人）中选择4人作为航天员参加该次任务.（1）若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？（结果用数字作答）（2）若选中的4名航天员需分配到A ，B ，C 三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答）【答案】（1）34；（2）1260.【解析】【分析】（1）由题意，分成3种情况（有1、2、3名女性）讨论，求出对应的选法，进而相加即可；（2）由题意，结合分组分配问题即可求解.【小问1详解】由题意，分成3种情况讨论：只有1名女性，共有1334C C 12=种选法，有2名女性，共有2234C C 18=种选法，有3名女性，共有3134C C 4=种选法，所以共有1218434++=种选法，即至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有34种选法；【小问2详解】由题意，先选3名航天员，然后分为2,1,1的两组，然后分配到,,A B C 实验室，共有2143427322C C C A 1260A ⨯⨯=种方法.所以每个实验室至少一名航天员，共有1260种选派方式.17.设a 为实数，已知()333e xx f x x x =-+-，()ln 1g x x a =++.（1）求()f x 在区间[]0,2的值域；（2）对于[]10,2x ∃∈，[]21,3x ∀∈，使得()()12f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2121,5e e ⎡⎤--⎢⎣⎦（2）1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭．【解析】【分析】（1）利用导数即可求得()f x 在区间[]0,2的值域；（2）先将题给条件转化为()()12min min f x g x ≤，进而得到关于实数a 的不等式，解之即可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】由()333e x x f x x x =-+-，得()()133e 1x x f x x ⎛⎫++ ⎪⎝=-⎭'，当[]0,2x ∈时，1330e x x ++>，则()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,2x ∈时，()0f x ¢>，()f x \在区间()0,1上单调递减，在区间()1,2上单调递增，∴函数()f x 在区间[]0,2上的最小值为()111ef =-．又()()2203,253e f f ==->所以函数()f x 值域为2121,5e e ⎡⎤--⎢⎣⎦【小问2详解】[]10,2x ∃∈ ，[]21,3x ∀∈，使得()()12f x g x ≤成立，()()12min minf xg x ∴≤又()ln 1g x x a =++在[]1,3上单调递增，∴函数()g x 在区间[]1,3上的最小值为()11g a =+，又函数()f x 在区间[]0,2上的最小值为11e -，111ea ∴-≤+，解之得1e a ≥-.故实数a 的取值范围是1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭．18.已知()ln 1f x x mx =-+，m ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()e 2xf x x ≤-对于定义域内任意x 恒成立，求m 取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）按m 分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可求得()f x 的单调性；（2）先将题给不等式参变分离，构造新函数()ln 1e x x g x x+=-()0,x ∈+∞，并利用导数和同构函数求得()g x 最小值，进而求得m 取值范围.【小问1详解】()11mx f x m x x-'=-=，()0,x ∈+∞；当0m ≤时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，令()0f x ¢>，则1x m <，令()0f x '<，则1x m<，故()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．【小问2详解】由题意知，ln 1e 2x x m x +-≤-即ln 12e x x m x +-≤-令()ln 1e x x g x x +=-，()0,x ∈+∞，则()22e ln x x x g x x+'=，()0,x ∈+∞，令()2e ln x Q x x x =+，()0,x ∈+∞，则()()212e 0x Q x x x x=++>'则()Q x 在()0,∞+上单调递增，由于1ln 3039Q ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()10Q >.所以存在0x ，使得()00Q x =故()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增()g x 最小值为()0000ln 1e x x g x x +=-，由于0x 满足0200e ln 0x x x +=，则0000ln e x x x x =-，两边取对数()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-，又=ln y x x +在()0,∞+上单调递增，则有00ln x x -=，则001e x x =故()0000000ln 111e 1x x x g x x x x +-+=-=-=，故21m -≤．则[)1,m ∈+∞19.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处的()*n n ∈N 阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =++++''⋅⋅⋅+'+⋅⋅⋅．注：()f x ''表示()f x 的2阶导数，即为()f x '的导数，()()()3n f x n ≥表示()f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.（1）根据该公式估算1sin 2的值，精确到小数点后两位；（2）由该公式可得：246cos 12!4!6!x x x x =-+-+⋅⋅⋅．当0x ≥时，试比较cos x 与212x -的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；（3）设*n ∈N ，证明：()111142tan n k n n n k n k =>-+++∑.【答案】（1）0.48；（2）2cos 12x x ≥-，证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用泰勒公式即可估算1sin 2的值；（2）构造函数()2cos 12x g x x =-+，0x ≥，并利用导数求得()g x 最小值，进而得到cos x 与212x -的大小关系；（3）利用（2）中结论得到不等式结合裂项相消法对()111tan n k n k n k=++∑进行放缩变化，进而证得题给不等式成立.【小问1详解】令()sin f x x =，则()cos f x x '=，()sin f x x =-''，()()3cos f x x =-，()()4sin f x x =，⋅⋅⋅故()00f =，()01f '=，()00f ''=，()()301f =-，()()400f =，⋅⋅⋅由麦克劳林公式可得357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋅⋅⋅，故111sin 0.482248=-+⋅⋅⋅≈．【小问2详解】结论：2cos 12x x ≥-，证明如下：令()2cos 12x g x x =-+，0x ≥，则()sin ,0g x x x x '=-+≥令()()sin ,0h x g x x x x ==-+≥'，则()cos 10h x x =+'-≥，故()h x 在[)0,∞+上单调递增，()()00h x h ≥=，则()0g x '≥故()g x 在[)0,∞+上单调递增，()()00g x g ≥=，即证得2cos 102x x -+≥，故2cos 12x x ≥-．【小问3详解】由（2）可得当0x ≥时，2cos 12x x ≥-，且由()0h x ≥得sin x x ≤，当且仅当0x =时取等号，故当0x >时，2cos 12x x >-，sin x x <，()()()11cos cos1111tan sin n k n k n k n k n k n k n k n k ++=>+++⋅+++，()211cos 12n k n k =>-++而()()()()()2221222221221222221n k n k n k n k n k =<=+-+++++-11221221n k n k =-+-++，即有()11111221221tan n k n k n k n k ⎛⎫>-- ⎪+-++⎝⎭++故111()tan n k n k n k=++∑111111212323254141n n n n n n n ⎛⎫>--+-++- ⎪++++-+⎝⎭ 112141n n n =-+++而1111102141424142n n n n n n n ⎛⎫-+--=-> ⎪+++++⎝⎭，即证得()111142tan n k n n n k n k=>-+++∑．。
浙江省六校2024年高三下学期期中联考考试数学试题
浙江省六校2024年高三下学期期中联考考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝ 2．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ）A ．2B ．5C ．1D ．3 3．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①③④D ．①②④ 4．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点5,5P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．210 B ．1010 C ．7210 D ．310105． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．45 6．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>7．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a =，则下列结论正确的是（ ） A ．{}a A ⊆ B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉ 8．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F处的目标球，最后停在点C 处，若AE =50cm ．EF =40cm ．FC =30cm ，∠AEF =∠CFE =60°，则该正方形的边长为（ ）A ．2cmB ．2cmC ．50cmD ．6cm9．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ） A ．(625,)+∞ B ．(4,64) C ．(9,625) D ．(9,64)10．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ）A ．314B ．1114C ．114D ．2711．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1 B ．1或12 C ．32 D ．32± 12．ABC 是边长为23E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ） A ．534 B ．334 C ．64D ．364二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省珠海市六校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学含答案
2023-2024学年第二学期高一年级期中学业质量监测试题数学（答案在最后）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字这钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数(2)(1)i z m m =+++在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（）A.(2,1)--B.(,2)(1,)-∞--+∞C.(1,)-+∞ D.(,2)-∞-2.在ABC △中，若BA a = ，BC b = ，则CA等于（）A.aB.a b+ C.b a- D.a b- 3.已知向量(2,4)a = ，(,6)b m =- ，且//a b，则实数m 的值为（）A.3- B.3C.8D.124.已知向量(3,1)a =，(21,)b k k =- ，且()a b a +⊥ ，则k 的值是（）A.37B.1-C.35- D.355.已知a ，b均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么|3|a b - 等于（）D.46.已知a ，b ，c为非零平面向量，则下列说法正确的是（）A.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B.若a c b c ⋅=⋅ ，则a b =C.若//a b ，则R λ∃∈，b aλ=D.||||||a b a b ⋅=⋅7.在ABC △中，角A ，B ，C 所对边分别为,,a b c ，3A π=，2b =，8c =，则2sin 2sin sin a b c A B C-+-+值等于（）A.1633B. C.4393D.52338.在等边三角形ABC 的三边上各取一点D ，E ，F ，满足3DE =，DF =，90DEF ∠=︒，则三角形ABC 的面积的最大值是（）A. B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题的四个选项中，至少有两项符合题目要求.9.已知向量(1,2)a =-，(3,4)b = ，则（）A.()a b a+⊥B.()//b a b-c.||20a b +=D.与向量a同向的单位向量是,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭10.已知复数z 的共轨复数为z ，则下列说法正确的是（）A.z z +一定是实数B.z z ⋅一定是实数C.z z --定是纯虚数D.22||z z =11.已知点O 是ABC △的重心，则下列说法中正确的有（）A.0OA OB OC ++=B.1()3AO AB AC =+ C.1()2AO AB AC =+ D.1()6OB OC AB AC +=+ 12.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的是（）A.若2220a c b +->，则ABC △为锐角三角形B.若ABC △为锐角三角形，则sin cos A B>C.若sin 2sin 2A B =，则ABC △为等腰三角形或直角三角形D.若cos c a B =，则ABC △是直角三角形三、填空題：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.复数z 满足34iiz +=，则z 的虚部为__________，||z =__________.14.已知平面向量(21,2)a m =- ，(2,32)b m =-- ，且a b ⊥，则|23|a b -= __________.15.已知平面向量a 与b 的夹角为3π，若||1a = ，(1,2)b = ，则a 在b上的投影向量的坐标为__________.16.在ABC △中，2AB =，3C π∠=，则AB AC ⋅ 的最大值为__________.四、解答题17.（10分）已知复数11i z a =+（其中a R ∈且0a <，i 为虚数单位），且21z 为纯虚数.（1）求实数a 的值：（2）若1221iz z =++，求复数2z 的共轭复数.18.（12分）如图，已知()2,1A -，()1,3B .（1）求线段AB 的中点M 的坐标；（2）若点P 是线段AB 的一个三等分点，求点P 的坐标.19.（12分）如图，斜坐标系xOy 中，12,e e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，且12,e e的夹角为60︒，定义向量12OP xe ye =+ 在斜坐标系xOy 中的坐标为有序数对(,)x y .记为12(,)OP xe ye x y =+=.在斜坐标系xOy 中完成下列问题：（1）若(2,3)a = ，(2,1)b =- ，求a b ⋅；（2）若()00,c x y = ，求||c.20.（12分）如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），若在河岸选取相距20米的C 、D 两点，测得60BCA ∠=︒，30ACD ∠=︒，45CDB ∠=︒，60BDA ∠=︒，那么此时A ，B 两点间的距离是多少？21.（12分）在平面直角坐标系中，设向量(cos ,sin )p A A = ，(sin ,cos )q B B =，其中A ，B 分别是ABC △的两个内角.（1）若//p q ，求C 的值：（2）若sin 2p q C ⋅=，2AB =，求ABC △的面积的最大值.22.（12分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP方向释放机器人甲，同时在A 处按AQ方向释放机器人乙，设机器人乙在M 处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点M 在矩形区域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知6AB =米，E 为AB 中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为(0)θθπ<<，AQ 与AB的夹角为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭.（1）若两机器人运动方向的夹角为3π，AD 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.（i ）若3παθ==，AD 足够长，求机器人乙能否挑战成功.（ii ）如何设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度α使机器人乙挑战成功？2023-2024学年第二学期高一年级期中学业质量监测试题高一数学·参考答案一二、选择题（每题5分）题号123456答案A D A B BC 题号789101112答案CAADABABBCD三、主观题（每题5分）13.3-515.,105⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭16.23+四、解答题17.（10分）解：（1）11i z a =+ ，22112i z a a ∴=-+.21z是纯虚数210,20,a a ⎧-=∴⎨≠⎩解得1a =±.0a < ，1a ∴=-.（2）由（1）知11i z =-，2121i (1i)2222i 1i 1i (1i)(1i)z z --∴=+=+=+=-+++-，2z ∴的共轭复数为2i +.18.（12分）解：（1）设(,)M x y ，因为(2,1)A -，(1,3)B ，所以21122x -+==-，1322y +==，即1,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）设(,)P x y ，当13AP AB = 时，有1123153(2,1)(3,2)1,51331233x x x y P y y ⎧=-+=⨯⎧⎪⎪⎪⎛⎫+-=⇒⇒⇒-⎨⎨ ⎪=⎝⎭⎪⎪-=⨯⎩⎪⎩；当23AP AB = 时，有2023273(2,1)(3,2)0,72331233x x x y P y y ⎧=+=⨯⎧⎪⎪⎪⎛⎫+-=⇒⇒⇒⎨⎨ ⎪=⎝⎭⎪⎪-=⨯⎩⎪⎩.19.（12分）解：（1）由题设，1223a e e =+，122b e e =- ，所以()()221212112223244344cos 6033a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=︒+⋅-=+-=.（2）由已知0102c x e y e =+，则()2222222220102010012020000||2c c x e y e x e x y e e y e x x y y ==+=+⋅+=++ ，所以||c =.20.（12分）解：根据正弦定理，在ACD △中，有()()()sin 456020sin 45cos 60cos 45sin 60sin 45sin 180304560CD AC ︒︒︒︒︒︒+︒+==︒-︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦10(1=+（米），在BCD △中，有()sin 4520sin 18304560CD BC ︒︒==-+︒+⎤⎣⎦︒︒⎡（米）.在ABC △中，由余弦定理得AB ==（米）.所以A ，B两点间的距离为.21.（12分）解：（1）由//p q，得cos cos sin sin A B A B =，所以cos()0A B +=.因为0A B π<+<，所以2A B π+=，故2C π=.（2）由sin 2p q C ⋅=得cos sin sin cos sin 2A B A B C +=，即sin()sin 2A B C +=，因为A B C π++=，()C A B π=-+，所以sin sin()sin 2C A B C =+=.即sin 2sin cos C C C =.因为(0,)C π∈，sin 0C ≠，所以1cos 2C =，即3C π=.由余弦定理2222cos a b ab C c +-=得224a b ab +-=，（a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边）由基本不等式222a b ab +≥得4ab ≤，当且仅当2a b ==时，取得等号.所以1sin 24ABC S ab C ==≤△，当且仅当2a b ==时，取得等号.所以ABC △.22.（12分）解：（1）如图，在AEM △中，由余弦定理得，2222cos93AE MA ME MA ME π=+-⋅=，所以22()93932MA ME MA ME MA ME +⎛⎫+=+⋅≤+⨯ ⎪⎝⎭，所以6MA ME +≤，（当且仅当3MA ME ==时等号成立），故两机器人运动路程和的最大值为6.（2）（i ）在AEM △中由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，故2AM EM =，因为3παθ==，可知两机器人的运动方向平行，所以不论AD 多长，机器人乙都不可能拦截到甲，所以不可能拦截成功.（i ）设EM x =，则22AM EM x ==，(1,3)x ∈.由余弦定理可得2223(2)3cos()2322x x x x x πθ+--==-⨯⨯，所以3cos 22x x θ=-，所以sin x θ==由题意得sin AD x θ≥对任意(1,3)x ∈恒成立，故max (sin )AD x θ≥，当且仅当x =.答：矩形区域ABCD 的宽AD 至少为2米，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲.。
安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学含答案
合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期中联考高一数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面上表示复数1i --的点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若(1,),(1,3),(1,7)A m B m C m +-三点共线，则m =（）A.5- B.5C.0或5- D.0或53.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A.8B. C.16D.4.已知复数()227636i z m m m =-++-是纯虚数，则实数m 的值为（）A.6± B.1或6C.6- D.15.在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（）A.16a b -B.16a b -C.16a b +D.16a b--6.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++= .若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m=A.2B.3C.4D.57.已知ABC 的面积为2，2AC =，60BAC ∠= ，则ACB =∠（）A .30B.60C.90D.150 8.在锐角ABC 中，2BC =，sin sin 3sin B C A +=，点D 是BC 边的中点，则AD 的长度的取值范围是（）A.[)8,9B.)⎡⎣ C.738,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3⎡⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是（）A.①是棱台B.②是圆台C.③是四面体D.④是棱柱10.已知复数12z z ，，则下列结论中一定正确的是（）A.111z z z ⋅=B.若120z z =，则10z =或20z =C.1212z z z z ⋅=⋅ D.若12z z =，则2212z z =11.在ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，下列叙述正确的是（）A .若45,A a b =︒==ABC 有两解B.若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形C.若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>D.若O 是ABC 所在平面内一点，且0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 为ABC 的内心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()1,1a =，()2,1b =- ，则b 在a 上的投影向量的坐标为______.13.如图，为了测量山高BC ，分别选择山下平地的A 处和另一座山的山顶M 处为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角45NAM ∠=︒，C 点的仰角30BAC ∠=︒以及75MAC ∠=︒，从M 点测得45AMC ∠=︒，已知山高MN =米，则sin ACM ∠=________，山高BC =________米.14.在边长为2的正方形，ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM AN ⋅的最小值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(3,2)a = ，(,1)b x =-.（1）当()2a b b -⊥时，求x 的值；（2）当(8,1)c =-- ，//()a b c + ，求向量a 与b的夹角α.16.如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AD =，4AB =，5BC =，若将该图形中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.17.已知复数z 满足()1i 2i z +=.（1）求z ；（2）若z 是方程()20,x ax b a b ++=∈∈R R 的一个根，求a b +的值.18.在ABC 中，已知545cos 7AB AC B ===，，.（1）求sin A 的值；（2）若AD 是BAC ∠的角平分线，求AD 的长．19.已知12a a，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O 作11OA a =，22OA a =，以O 为原点，分别以射线12OA OA 、为x y 、轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底12a a，确定的坐标系xOy 称为基底{}12a a ，坐标系xOy ．当向量12a a ，不垂直时，坐标系xOy 就是平面斜坐标系，简记为{}12;O a a，．对平面内任一点P ，连结OP ，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对()x y ，，使得12OP xa ya =+，则称实数对()x y ，为点P 在斜坐标系{}12O a a ；，中的坐标．今有斜坐标系{}12O e e ；，（长度单位为米，如右图），且12121120e e e e ===︒ ，，，设()12OP =，（1）计算OP的大小；（2）质点甲在Ox 上距O 点4米的点A 处，质点乙在Oy 上距O 点1米的点B 处，现在甲沿xO的方向，乙沿Oy的方向同时以3米/小时的速度移动．①若过2小时后质点甲到达C 点，质点乙到达D 点，请用12e e ，，表示CD；②若t 时刻，质点甲到达M 点，质点乙到达N 点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期中联考高一数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面上表示复数1i --的点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】由复数的几何意义即可求解.【详解】复平面上复数1i --对应的点的坐标是(1,1)--，在第三象限.故选：C2.若(1,),(1,3),(1,7)A m B m C m +-三点共线，则m =（）A.5-B.5C.0或5- D.0或5【答案】D 【解析】【分析】由题意可得//AB BC，再利用向量共线求解即可.【详解】因为(,3),(2,4)AB m m BC m =-=-，若(1,),(1,3),(1,7)A m B m C m +-三点共线，则//AB BC，所以42(3)m m m =--，解得0m =或5．故选：D .3.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A.8B.C.16D.【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以O B ''=，还原回原图形后，2OA O A =''=，2OB O B =''=，所以6AB ==，所以原图形的周长为2(26)16⨯+=．故选：C.4.已知复数()227636i z m m m =-++-是纯虚数，则实数m 的值为（）A.6± B.1或6C.6- D.1【答案】D 【解析】【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算.【详解】由题意可得：2760m m -+=且2360m -≠，则1m =.故选：D.5.在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（）A.16a b -B.16a b- C.16a b+ D.16a b-- 【答案】B 【解析】【分析】根据向量的加减法运算结合平面向量基本定理求解即可.【详解】因为平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，所以211,322AN AD BM BC AD === ，因为AB a =，AD b =，所以NM NA AB BM=++ 12AN AB AD=-++ 2132AD AB AD=-++16AB AD=- 16a b=- 故选：B6.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++= .若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m=A.2 B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【详解】试题分析：因为△ABC 和点M 满足0MA MB MC ++=，所以0,33,MA MA AC MA AB AB AC MA AM ++++=+=-= 又AB AC mAM +=，故m=3，选B ．考点：本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量唯一分解式．点评：简单题，利用平面向量在同一基底下分解式唯一，通过向量的线性运算，从0MA MB MC ++=出发，确定AB AC +．7.已知ABC 的面积为2，2AC =，60BAC ∠= ，则ACB =∠（）A.30B.60C.90D.150【答案】A【解析】【分析】根据面积公式求出AB ，再根据余弦定理求出BC ，最后根据正弦定理即可求解.【详解】根据三角形面积公式，11sin 22222ABC S AB AC BAC AB =⋅∠=⋅⋅⋅=，∴AB =1，又根据余弦定理：2222cos BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅⋅∠11421232=+-⨯⨯⨯=∴BC 根据正弦定理得：sin sin AB BCACB BAC =∠∠，12sin 32ACB∴==∠，1sin 302ACB ACB ∴∠=∴∠=︒，或150︒∵三角形内角和为180°，∠BAC =60°∴排除∠ACB =150°∴∠ACB =30°故选：A8.在锐角ABC 中，2BC =，sin sin 3sin B C A +=，点D 是BC 边的中点，则AD 的长度的取值范围是（）A.[)8,9B.)⎡⎣ C.738,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3⎡⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题意由正弦定理可得6b c +=，结合锐角三角形解得81033b <<，再根据()12AD AB AC =+ 结合向量的运算律、余弦定理整理得()2238AD b =-+uuu r ，根据二次函数的性质运算求解即可.【详解】设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则2a BC ==，∵sin sin 3sin B C A +=，由正弦定理可得36b c a +==，即6c b =-，若ABC 为锐角三角形，则()()()222222222222222640460460b c a b b a c b b b a b c b b ⎧+-=+-->⎪⎪+-=+-->⎨⎪+-=+-->⎪⎩，解得81033b <<，又∵点D 是BC 边的中点，则()12AD AB AC =+，可得()()()22222211122cos 444AD AB AC AB AB AC AC b c bc A =+=+⋅+=++uuu r uu u r uuu ruu u r uu u r uuu r uuu r ()()222222222211122222644244b c a b c bc b c a b b bc ⎛⎫+-⎡⎤=++⨯=+-=+-- ⎪⎣⎦⎝⎭()2261738b b b =-+=-+，注意到()()238f b b =-+开口向上，对称轴3b =，且()8107338,339f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2738,9AD ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭uuu r ，即AD的长度的取值范围是3⎡⎢⎣⎭.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是（）A.①是棱台B.②是圆台C.③是四面体D.④是棱柱【答案】CD 【解析】【分析】由棱台、圆台、四面体、棱柱的定义进行判断即可.【详解】图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是四面体；图④上下两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱.故选：CD.10.已知复数12z z ，，则下列结论中一定正确的是（）A.111z z z ⋅=B.若120z z =，则10z =或20z =C.1212z z z z ⋅=⋅ D.若12z z =，则2212z z =【答案】BC 【解析】【分析】设1i z a b =+，2i z c d =+，,,,a b c d ∈R .求出共轭复数，代入化简整理，结合模的运算，即可判断各项.【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+，,,,a b c d ∈R .对于A 项，因为1i z a b =-，所以()()222111i i z z a b a b a b z ⋅=+-=+=，故A 项错误；对于B 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++.因为，120z z =，所以00ac bd ad bc -=⎧⎨+=⎩，则()()2200ac bd ad bc ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，所以()()220ac bd ad bc -++=，展开有，22222222220a c b d abcd a d b c abcd +-+++=，整理可得，()()22220a bcd ++=，所以220a b +=或220c d +=，所以，10z =或20z =，所以，10z =或20z =，故B 项正确；对于C 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，又()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++，所以1212z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D 项，取12z =，21z =+，显然122z z ==.214z =，()2222112z z ==-+≠，故D 项错误.故选：BC.11.在ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，下列叙述正确的是（）A.若45,A a b =︒==，则ABC 有两解B.若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形C.若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>D.若O 是ABC 所在平面内一点，且0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 为ABC 的内心【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由正弦定可得B 有两个值，即可判断；对于B ，由正弦定理可得sin 2sin 2A B =，进而得A B =或90A B +=︒，即可判断；对于C ，由ABC 为锐角三角形，可得π2B A >-，再由余弦函数的单调性得sin cos A B >，即可判断；对于D ，由0||||AC AB OA AC AB ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，,AC AB AC AB表示单位向量，且AC AB AC AB + 与AC AB AC AB-相互垂直，则得OA 与AC AB AC AB+ 共线，进而得OA 在A ∠的角平分线上，同理可得OB在B ∠的角平分线上，得O 是三角形ABC 的内心，即可判断.【详解】对于A，若45,A a b =︒==sin sin a bA B=，可得sin 2sin 2b AB a===，所以60B =︒或120B =︒，此时ABC 有两解，故A 正确；对于B ，若cos cos a b B A=，则由正弦定理可得sin sin cos cos A BB A =，所以sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =，所以有22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，则ABC 为等腰或直角三角形，故B 不正确；对于C ，若ABC 为锐角三角形，则π2A B +>，π2B A >-，因为cos y x =在()0,π为减函数，所以πcos cos sin 2B A A ⎛⎫<-=⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，AC ACuuu r uuur 表示AC方向的单位向量，AB AB表示AB方向的单位向量，根据向量加法和减法的运算法则可知，AC AB ACAB + 与AC AB AC AB- 相互垂直，由于0AC AB OA AC AB ⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎝⎭ ，所以OA 与AC AB AC AB - 垂直，所以OA与AC AB AC AB+ 共线，而AC AB AC AB + 表示以,AC ABAC AB为邻边的菱形的对角线，所以OA 在A ∠的角平分线上，同理可得OB在B ∠的角平分线上，所以O 是三角形ABC 的内心，故D 选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()1,1a =，()2,1b =- ，则b 在a 上的投影向量的坐标为______.【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的定义求b在a上的投影向量坐标即可.【详解】由b 在a 上的投影向量为2111(1,1)(,)222||||a b a a a ⋅-+⋅=⋅=-- .故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭13.如图，为了测量山高BC ，分别选择山下平地的A 处和另一座山的山顶M 处为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角45NAM ∠=︒，C 点的仰角30BAC ∠=︒以及75MAC ∠=︒，从M 点测得45AMC ∠=︒，已知山高MN =米，则sin ACM ∠=________，山高BC =________米.【答案】①.2②.【解析】【分析】在AMC 中，由75MAC ∠=︒，45AMC ∠=︒可求出ACM ∠，从而可求出sin ACM ∠，在Rt AMN 中，由已知条件求出AM ，再在AMC 中由正弦定理可求出AC ，然后在Rt ABC △中求出BC .【详解】因为在AMC 中，由75MAC ∠=︒，45AMC ∠=︒，所以180180754560ACM MAC AMC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，所以3sin sin 602ACM ∠=︒=，在Rt AMN 中，45NAM ∠=︒，506MN =，90ANM ∠=︒，则由sin MN NAM AM∠=，得5061003sin 22MN AM NAM ===∠，在AMC 中，由正弦定理得sin sin AC AM AMC ACM =∠∠，即1003sin 45sin 60AC =︒︒，32100322AC =⨯，得1002AC =，在Rt ABC △，1002AC =，30BAC ∠=︒90ABC ∠=︒，则15022BC AC ==,故答案为：32，50214.在边长为2的正方形，ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM AN ⋅的最小值是________．【答案】)821【解析】【分析】由题意，以点A 为原点，建立的平面直角坐标系，设点(2,),(,2)M m N n ，其中,0m n >，则向量(2,),(,2)AM m AN n == 求得22AM AN m n ⋅=+，再由BM DN MN +=，整理得2()40m n mn ++-=，利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，以点A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点(2,),(,2)M m N n ，其中,0m n >，则向量(2,),(,2)AM m AN n ==，所以(2,)(,2)22AD AN m n m n⋅=⋅=+又由BM DN MN +=，则22(2)(2)m n m n +=-+-，整理得2()40m n mn ++-=，又由22()42()42m n m n mn m n +⎛⎫++-≤++- ⎪⎝⎭，设0t m n =+>，整理得28160t t +-≥，解得442t ≥-+，所以22882AM AN m n ⋅=+≥-+ ，所以AM AN ⋅的最小值为828-.故答案为：828-【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(3,2)a = ，(,1)b x =-.（1）当()2a b b -⊥时，求x 的值；（2）当(8,1)c =-- ，//()a b c + ，求向量a 与b的夹角α.【答案】（1）1x =或5x =（2）π4α=【解析】【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解；（2）根据向量平行的坐标关系可求5x =，进而根据向量夹角公式即可求解.【小问1详解】向量(3,2)a = ，(,1)b x =-，则()26,5a b x -=- ，由()2a b b -⊥，可得()20a b b -⋅= ，即()6510x x --⨯=，即2650x x -+=，解得1x =或5x =.【小问2详解】由(8,1),(,1)c b x =--=-，(3,2)a = ，则(8,2)b c x +=-- ，由//()a b c +，可得3(2)2(8)0x ⨯--⨯-=，解得5x =，所以|||a b == ，352(1)13a b ⋅=⨯+⨯-=，cos 2||||a b a b α⋅===⋅ ，又[]0,πα∈，所以π4α=.16.如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AD =，4AB =，5BC =，若将该图形中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.【答案】68S =π表，140π3.【解析】【分析】首先得到的旋转体是圆台挖去一个半球，利用圆台和球的表面积和体积公式即可.【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面、侧面和一半球面组成.在直角梯形ABCD 中，过D 点作DE ⊥BC ，垂足为E，在Rt △DEC中，5CD ==，所以214π28π2S =⨯⨯=半球，()152π22π535π2S =⨯⨯⨯+⨯=圆台侧，25πS =圆台下底，∴8352568S =π+π+π=π表.因为圆台的体积()221π2π5452π3V =⨯+⨯⨯=，半球的体积311416π2π233V =⨯⨯⨯=，所以所求几何体的体积为1140π3V V -=.17.已知复数z 满足()1i 2i z +=.（1）求z ；（2）若z 是方程()20,x ax b a b ++=∈∈R R 的一个根，求a b +的值.【答案】（1）1i z =-（2）0a b +=【解析】【分析】（1）根据复数的除法得1i z =+，再利用共轭复数概念即可；（2）根据复数根的共轭关系结合韦达定理即可解出,a b ，则得到a b +的值.【小问1详解】由()1i 2i z +=得：()()()()2i 1i 2ii 1i 1i 1i 1i 1i z -===-=+++-，则1i z =-.【小问2详解】由（1）知：1i z =-，显然z 是方程的另一根，()()21i 1i 2z z a z z b +=-=⎧∴⎨⋅==+-=⎩，解得：22a b =-⎧⎨=⎩，0a b ∴+=.18.在ABC 中，已知545cos 7AB AC B ===，，.（1）求sin A 的值；（2）若AD 是BAC ∠的角平分线，求AD 的长．【答案】（1）5（2）9【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求出边BC 的长，再利用正弦定理求出sin A （2）利用三角形的面积公式及面积关系ABC ABD ACD S S S =+ ，建立关于AD 边的关系式求解即可得到答案【小问1详解】在ABC 中，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅整理得2740630BC BC --=解得7BC =或97BC =-由于0BC >，所以7BC =因为(0,)B π∈，所以sin 0B >，所以sin 7B ==由正弦定理得：sin sin AC BC B A=，故267sin 7sin 55BC B A AC ´×===【小问2详解】设BAD θ∠=，AD x=由ABC ABD ACD S S S =+ 及三角形的面积公式可得：11145sin 24sin +5sin 222x x q q q �创创创整理得20sin 240cos 9sin 9x q qq ==在ABC 中，由余弦定理2221625491cos 2405AB AC BC A AB AC +-+-===-×由2cos cos 22cos 1A q q ==-得10cos 5θ=则8109AD x ==19.已知12a a，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O 作11OA a =，22OA a =，以O 为原点，分别以射线12OA OA 、为x y 、轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底12a a，确定的坐标系xOy 称为基底{}12a a ，坐标系xOy ．当向量12a a ，不垂直时，坐标系xOy 就是平面斜坐标系，简记为{}12;O a a，．对平面内任一点P ，连结OP ，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对()x y ，，使得12OP xa ya =+，则称实数对()x y ，为点P 在斜坐标系{}12O a a ；，中的坐标．今有斜坐标系{}12O e e ；，（长度单位为米，如右图），且12121120e e e e ===︒ ，，，设()12OP =，（1）计算OP的大小；（2）质点甲在Ox 上距O 点4米的点A 处，质点乙在Oy 上距O 点1米的点B 处，现在甲沿xO的方向，乙沿Oy的方向同时以3米/小时的速度移动．①若过2小时后质点甲到达C 点，质点乙到达D 点，请用12e e ，，表示CD；②若t 时刻，质点甲到达M 点，质点乙到达N 点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．【答案】（1（2）①1227e e + ；②12小时后，两质点相距最短，最短距离为2米【解析】【分析】（1）通过OP =展开计算即可；（2）①通过12OC e =- 以及27OD e =计算可得CD；②通过,OM ON 求得()()211343MN t e t e =+-- ，再通过MN = .【小问1详解】因为12121,120e e e e ==⋅=︒ ，所以，12121cos1202e e e e ⋅=︒=- ，又()1,2OP = ，所以122e e OP =+ ．所以OP ==即OP【小问2详解】①如图所示：依题意，过2小时后质点甲到达C 点（在点O 左边），且有12OC e =-，质点乙到达D 点，且有27OD e = ，故1227CD OD OC e e =-=+ ②t 时刻时，质点甲到达M 点，质点乙到达N 点，如图所示：()()1243,13OM t e ON t e =-=+，则()()211343MN ON OM t e t e =-=+-- ，所以两质点间的距离()()()()()()22221134313134343MN t e t e t t t t ⎡⎤=+--+++-+-⎣⎦ 221759921924t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭因为0t ≥，所以当12t =时．MN 75342=，所以12小时后，两质点相距最短，最短距离为53。