2020年高考文科数学热点09 解析几何-2020年高考数学(教师版)

热点09 解析几何

【命题趋势】

解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用. 【满分技巧】

定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.

定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.

关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算. 【考查题型】选择，填空，解答题

【限时检测】（建议用时：55分钟）

1．（2019·湖南雅礼中学高考模拟（文））“26m <<”是“方程22126x y m m

+=--为椭圆的

（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】

试题分析：若方程

22

126x y

m m

+=--表示椭圆，则20

{60

26m m m m

->->-≠-，解得26m <<且4m ≠，所以26m <<是方程22

126x y m m

+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．

考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．

2．（2019·四川高考模拟（文））已知P 为双曲线122=-y x 右支上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称，12,F F 为双曲线的左、右焦点，则12F P F Q ?=u u u r u u u u r

（） A ．1 B ．-1

C ．2

D ．-2

【答案】B 【解析】

【分析】设出P 的坐标，求出Q 坐标，求出焦点坐标，利用向量的数量积求解即可． 【详解】P 为双曲线x 2﹣y 2＝1右支上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称， F 1

（0），F 2

0）为双曲线的左，右焦点，

设P （t ，m ），则Q （t ，﹣m ），根据点P 在双曲线上得到：t 2﹣m 2＝1，

则12F P F Q ?=

u u u r u u u u r （

t m ）?（

t ，-m ）＝t 2﹣m 2﹣2＝1﹣2＝﹣1． 故选：B ． 【名师点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积的求法，考查计算能力．

3．（2019·江西高考模拟（文））阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.

若平面内两定点A 、B 间的距离为2,动点P

满足

PA PB

=P 、A 、B 不共线时，三

角形PAB 面积的最大值是（ ） A ．

1

2

x x B

C

．

3

D

【答案】A 【解析】 【分析】

由题，设点A(-1,0), B(1,0)，根据题意，求得圆的方程，再求得P 点的位置，即可求得面积的最大值. 【详解】

以经过,A B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；

则：A(-1,0), B(1,0) 设P(x, y)

,||

||PA PB ==Q ， 两边平方并整理得：2

2

2

2

610(3)8x y x x y +-+=?-+= ， 当点P 到AB （x 轴）的距离最大时，三角形PAB 的面积最大，

此时面积为

1

22

??=故选：A 【名师点睛】本题考查了曲线的轨迹方程，熟悉圆的定义和求轨迹方程是解题的关键，属于中档题型.

4．（2019·河北唐山一中高考模拟（文））已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左右焦点

分别为12,,F F O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，122

F AF π

∠=，连接2AF y 交轴于M 点，

若23OM OF =，则该椭圆的离心率为( ) A ．

1

3

B

C ．

58

D

．

4

【答案】D 【解析】 【分析】

设AF 1＝m ，AF 2＝n ．如图所示，Rt △AF 1F 2∽Rt △OMF 2，可得

1221

3

AF OM AF OF ==．可

得m +n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2，n ＝3m ．化简解出即可得出． 【详解】

设AF 1＝m ，AF 2＝n ．

如图所示，由题意可得：Rt △AF 1F 2∽Rt △OMF 2，

∴

1221

3

AF OM AF OF ==． 则m +n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2，n ＝3m ．

化为：m 2

2

23

b =，n 2＝9m 2＝6b 2．

∴223

b +6b 2＝4

c 2．

∴

(

)22

53

a c -=c 2

，

化为：

4

c a =

． 故选：D ．

【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c

e a

=

； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222-c a b =转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．

5．（2019·贵州高考模拟（文））已知实轴长为

的双曲线C ：22

221(0)x y a b a b

-=>>

的左、右焦点分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点B 为双曲线C 虚轴上的一个端点，则△BF 1F 2的重心到双曲线C 的渐近线的距离为（ ）

A ．

13

B ．

3

C ．

3

D ．

23

【答案】A 【解析】 【分析】

求出a ，b ，c 得到三角形的重心坐标，求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离求解即可． 【详解】

实轴长为C ：22

221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1（﹣2，0），

F 2（2，0），可得a ，c ＝2，则b 不妨B （0），则△BF 1F 2的重心

G 0,3??

? ???

，

双曲线的渐近线方程为：y ＝x 的距离为：d 1

3

=． 故选：A ． 【名师点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

6．（2019·广东高考模拟（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，M 是抛物线C 上的点，且MF x ⊥轴，若以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2，则p =( )

A ．2

B ．

C ．4

D ．【答案】B 【解析】 【分析】

求出直线AM 的方程，根据垂径定理列方程得出p 的值． 【详解】

把2

p x =代入2

2y px =可得y p =±，不妨设M 在第一象限， 则,2p M p ??

???

， 又,02p A ??-

??

?，∴直线AM 的方程为2p y x =+，即02

p

x y -+=， ∴原点O 到直线AP

的距离

p

d ==

Q 以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2，

22

148

p p ∴=+

，解得p =

故选：B ． 【名师点睛】

本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.

7．（2019·天津南开中学高考模拟）已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的离心率为32，

过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，若FOM ?

O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（ ）

A ．2

2415

y x -=

B ．22

2125

x y -=

C ．22

145

x y -=

D ．22

11620

x y -=

【答案】C 【解析】 【分析】

运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得F 到渐近线的距离为

b ，由勾股定理可得OM a =，运用三角形的面积公式，结合,,a b

c 的关系，解得,a b ，

即可求出双曲线方程． 【详解】

由题意可得 32c e a ==①，

可得b a == ，

设 (),0F c ， 渐近线为b

y x a

=

， 可得 F

到渐近线的距离为MF b =

= ，

由勾股定理可得

OM a === ， 因为FOM ?

1

2

ab =② ， 又 222+=a b c ③，由①②③

解得2,3b a c =

== ，

所以双曲线的方程为22

145

x y -= ,故选C.

【名师点睛】

本题主要考查双曲线的方程与几何性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.

8．（2019·广东高三月考（文））已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的短轴长为2，上顶点为

A ，左顶点为

B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ?

的面积为

22

，点P 为椭圆上的任意一点，则12

11

PF PF +的取值范围为（ ） A ．[1,2] B

．

C

．4]

D ．[1,4]

【答案】D 【解析】

分析： 由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，(

)1

12F AB S a c b ?=-=

可得，2,a c ==1PF x =可得()2

12114

42PF PF x +=--，从而可得结果.

详解：由得椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为22,1b b ==，

(

)11222

F AB S a c b ?=

-=

，

解得22,a c a c -=∴==

1224PF PF a +==，设1PF x =，

则24PF x =-，[]

,x a c a c ∈-+，

即22x ?∈?， ()

[]2

12111141,4442PF PF x x x ∴

+=+=∈---，故选D. 【名师点睛】：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系， 挖掘出它们之间的内在联系. 二、填空题

9．（2019·山东高考模拟（文））已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为12，A ，

B 分别为椭圆

C 的左，右顶点，F 为椭圆C 的右焦点，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同

的两点P ，Q ，当直线l 垂直于x 轴时，四边形APBQ 的面积为6，则椭圆C 的方程为__________．

【答案】22

143

x y +=

【解析】 【分析】

根据题意和椭圆的几何性质得到四边形的面积为：2

21226 3.2b a b a

??=?=结合离心

率的值，构造方程得到结果.

【详解】根据题意得到当直线和x 轴垂直时四边形可分割成两个三角形，底边为2a,高为

半通径长2

b a

此时四边形的面积为：2

21226 3.2b a b a

??=?=

再由离心率为

12，得到()

22222

1,44 4.2

c a c a b a a ===-?= 此时方程为：22

143

x y +=.

【名师点睛】这个题目考查了椭圆的几何性质的应用,方程的求法，涉及离心率的应用，以及椭圆通径的应用；题目比较基础. 求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立,,a b c

的方程，求出22

,a b 即可，注意222

,c

a b c e a

=+=

的应用. 10．（2019·湖南高考模拟（文））已知双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分

别为1F 、2F ，第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：2

2(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．

【答案】2【解析】 【分析】 由题意可得00b

y x a

=

，又由12MF MF ⊥，可得22200y x c +=，联立得0x a =，0y b =，又由F 为焦点的抛物线2C ：2

2(0)y px p =>经过点M ，化简得224ac 0c a --=，根据离心率c

e a

=，可得2410e e --=，即可求解． 【详解】

由题意，双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±，焦点为()1,0F c -，()2,0F c ， 可得00b

y x a

=

，① 又12MF MF ⊥，可得

00

001y y x c x c

?=-+-， 即为222

00y x c +=，②由222a b c +=，联立①②可得0x a =，0y b =，

由F 为焦点的抛物线2C ：2

2(0)y px p =>经过点M ，

可得2

2b pa =，且2

p

c =，即有2224b ac c a ==-，即224ac 0c a --= 由c

e a

=

，可得2410e e --=

，解得2e =+【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c 的值，代入公式c

e a

=

；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．

11．（2019·江西高考模拟（文））设1F ，2F 为椭圆1C ：22

112211

1(0)x y a b a b +=＞＞与双曲

线2C 的公共左、右焦点，椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，12MF F ?是

以线段1MF 为底边的等腰三角形，且1=2MF .若椭圆1C 的离心率1

52,145e ??

∈????

，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围是_______. 【答案】5,24??????

【解析】 【分析】

由题，椭圆和双曲线的焦点相同和定义可得122a a c -=，即转化为离心率

12

11

2e e -=，再由题152,145e ??

∈????

，可求得双曲线2C 的离心率2e 的取值. 【详解】

设双曲线2C 的方程为()22

222222

1

0,0x y a b a b -=>>，由题意知

11222,2MF F F MF c ===，其中222222

211c a b a b =+=-，又根据椭圆与双曲线的定义

得121122

2|2MF MF a MF MF a ?+=??-=??，则12222222c a c a +=??-=?，即122a a c -= 其中122,2a a 分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长.所以

12

11

2e e -=因为椭圆的离心率152,145e ??∈????

，

所以

2111142,25e e ??=-∈????

所以25

,24e ??∈???

?

，即双曲线2C 的离心率的取值范围是5

,24

??????

.

【名师点睛】本题考查了圆锥曲线综合知识，熟悉椭圆、双曲线的性质和定义是解题的关键，属于难题.

12．（2019·重庆高考模拟（文））已知双曲线22

21(0)12

x y a a -=>

的一条渐近线方程为

0y -=，左焦点为F ，当点M 在双曲线右支上，点N 在圆22(3)4x y +-=上运

动时，则||||MN MF +的最小值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】

先由双曲线渐近线求出a ，记双曲线的右焦点为'F ，利用2'MF a MF =+，得

'2MN MF MN MF a +=++，再由两点之间线段最短求出'MN MF +的最小值，

然后得出答案. 【详解】

解：由双曲线方程222112x y a -=

，得b =

y x =

0y -=，得2a =

所以双曲线方程为22

1412

x y -=，点()4,0F -

记双曲线的右焦点为()'4,0F ，且点M 在双曲线右支上，所以4'MF MF =+ 所以'4MN MF MN MF +=++

由两点之间线段最短，得'4MN MF ++最小为'4F N + 因为点N 在圆()2

234x y +-=上运动

所以'F N 最小为点F 到圆心()0,3的距离减去半径2 所以'523min F N =-= 所以MN MF +的最小值为7 故答案为：7. 【名师点睛】

本题考查了双曲线的定义与方程，双曲线的渐近线，平面中线段和最小问题，利用双曲线定义进行线段转化是解本题的关键，属于中档题. 三、解答题

13．（2019·天水市第一中学高三月考（文））已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为

，短轴的一个端点到右焦点的距离为2， （1）试求椭圆M 的方程； （2）若斜率为

12

的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点3

(1)2P ，为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论

【答案】（1）22

143

x y +=（2）见解析

【解析】

分析：（1）由条件得a,c ，解得b,即得椭圆标准方程，（2）设C,D 坐标，根据斜率公式得12k k +，设直线方程并与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理代入化简可得12k k +为定值.

详解：（1）．，椭圆的方程为

（2）设直线的方程为：，

联立直线l 的方程与椭圆方程得：

（1）代入（2）得：

化简得： (3)

当时，即，

即

时，直线l 与椭圆有两交点，

由韦达定理得：，

所以，，

则

，12k k +所以为定值.

【名师点睛】：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.

14．（2019·河南高考模拟（文））椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，

A 为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若12AF F ?的周长为4+，且面 积的最大

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设,A B 是椭圆C 上两动点，线段AB 的中点为P ，,OA OB 的斜率分别为12,k k (O 为坐标原点)，且121

4

k k =-

，求OP 的取值范围. 【答案】（1）22

14x y +=；（2

）2??.

【解析】 【分析】

（1）通过

2a+2c=4+

且

1

22

c b ??= （2）当直线AB 的斜率k ＝0时，|OP

|2

=

， 当直线AB 的斜率k ≠0时，可令AB 的方程为：x ＝my +t ，由2244

x y x my t

?+=?=+?可得（m 2+4）

y 2+2mty +t 2﹣4＝0，求得p （244t m +，2

4mt m -+）．由121

4k k =-，?4222+=m t ，代入|OP |2的运算中，化简得|OP |22132t =+∈（1

2

，2]即可．

【详解】

（1）由题知，12AF F ?的周长为=+c a 2

24+

且1

22

c b ??= ∴21a b ==，，

∴椭圆C 的方程为：2

214

x y +=；

（2）当直线AB 的斜率k ＝0时，

此时k 1，k 2（O 为坐标原点），满足1214k k =-，k 1＝-k 2=﹣12

． 可令OB 的方程为：y 1

2

x =

，（x B ＞0） 由222

44

x y x y ?=???+=?可得B

），

此时|OP

|=

当直线AB 的斜率k ≠0时，可令AB 的方程为：，

my+t x = 由2244

x y x my t ?+=?=+?

可得0424222＝-mty+t +y +m ）（， 04t -0)4-t )(4m 4(-t 4△＝222222>+>+m m 即…①

2121222

24

44mt t y y y y m m ，--+==++， t y y m +x x 2+)+(＝2121284t

m =+．

∴p （244t m +，24

mt

m -+）．

∵1214k k =-

，∵1212

14y y x x =-0＝42121x +x y y 即． ?04221212=++t +y y mt y y +m ）（）（．

?4-t 222

2

24m t

m

-+++．0＝t 2 ?4+222m t =，且2≥t 2，…② 由①②可得2≥t 2恒成立，

|OP |2()

222222222222222

162416161613(4)(2)442t t m t t m t m m t t t t

+-+++=====++∈（12，2]

|OP

|∈?．

综上，|OP |的取值范围为

]． 【名师点睛】本题考查了椭圆的方程的求法，考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了计算能力，转化思想，属于难题．

15．（2019·建瓯市第二中学高三月考（理））已知抛物线()2

20x py p =>的焦点为()0,1F ，

A ，

B 为抛物线上不重合的两动点，O 为坐标原点，4OA OB ?=-u u u r u u u r

，过A ，B 作抛物线

的切线1l ，2l ，直线1l ，2l 交于点M ． （1）求抛物线的方程；

（2）问：直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由； （3）三角形ABM 的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值．

【答案】（1）2

4x y =；（2）是，()0,2；（3）是，

【解析】 【分析】

（1）根据焦点坐标直接求抛物线方程；

（2）设直线AB 的方程是y kx b =+，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，同时

4OA OB ?=-u u u r u u u r

，用坐标表示，并代入根与系数的关系，求得定点；

（3）由（2）知，直线AB 的方程是2y kx =+，与抛物线方程联立2

2

4y kx x y =+??

=?

，得到 124x x k +=，128x x ?=-，求弦长AB ，利用导数的几何意义求过A ，B 作抛物线的

切线1l ，2l ，并求交点M 的坐标，求点M 到直线的距离，并求ABM ?的面积，和面积的最小值. 【详解】

（1）由()0,1F 得2p =，所以抛物线方程为2

4x y =．

（2）当斜率不存在时，与对称轴平行，没有两个交点，

当斜率存在时，设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，

由24y kx b x y

=+??=?得2440x kx b --=，则124x x k +=，124x x b ?=-． 又4OA OB ?=-u u u r u u u r ，得12124x x y y ?+?=-，即22

121211444

x x x x ?+?=-，

∴24402b b b -+=?=，所以直线AB 过定点()0,2．

（3）由22

4y kx x y

=+??=?得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x ?=-

∴12AB x =-=

设()00,M x y ，由1

2

y x '=， 所以直线()11111

2:l y y x x x -=-，即11102

x x y y --=． 同理直线2221

:

02

l x x y y --=， 又直线1l ，2l 交于点M ，则有10

012002

1

02102

x x y y x x y y ?--=????--=??，

可知点A 、B 在直线

001

02

x x y y --=上，与直线AB 方程20kx y -+=对应系数相等，

则02x k =，02y =- 则M 到直线AB

的距离d =

．

所以三角形ABM 的面积()3

22

1422

ABM

S AB d k =?=+△ 则当0AB k =时，(

)min ABM S =△． 【名师点睛】

1本题考查直线与抛物线位置关系的综合问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，涉及抛物线中三角形面积的最值的求法和定点问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.

2对于第二问中的定点问题也可以采用特殊值计算也是可以的.

16．（2019·重庆南开中学高三月考（文））已知离心率为12的椭圆C ：22221(0)

x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于长轴顶点的动点.当2PF x ⊥轴时，12PF F △面积为

3

2

. （1）求椭圆C 的方程；

（2）12F PF ∠的内角平分线交x 轴于Q ，求OP OQ ?u u u r u u u r

的取值范围.

【答案】（1）22

143

x y +=（2）[0,1)

【解析】 【分析】

（1）利用已知条件，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C 的方程；

（2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=-,利用点到直线的距离，建立等量关系，从而得到01

4

t x =，表示目标即可. 【详解】

（1）213222

b c a ??=，2a c =

，b =，解得1c =，2a =

，b =22143

x y +=. （2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=- 设(,0)Q t

=

，2

2

00

314x y ??=- ???

，

=

，由于(1,1)t ∈-，0(2,2)x ∈-，则()()0011

(1)4(1)422

t x t x +?

-=-?+. 化简得01

4t x =；则201[0,1)4OP OQ x ?=∈u u u r u u u r .

【名师点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．

17．（2019·上海高三）曲线()22

22:10x y a b a b

Γ+=>>的右焦点分别为

()()121,0,1,0

F F -

，短袖长为()

0P y 在曲线Γ上，Q 直线:4l x =-

上，且11PF QF ⊥.

（1）求曲线的标准方程；

（2）试通过计算判断直线PQ 与曲线Γ公共点的个数.

（3）若点()()1122,,,A x y B x y 在都在以线段12F F 为直径的圆上，且12OA OB x x ?=+u u u r u u u r

，

试求2x 的取值范围.

【答案】（1）22

143

x y +=（2）只有一个公共点（3

）1,1??-?? 【解析】

【分析】（1）根据椭圆的几何性质，列出方程组，求得22

,a b 的值，即可得到椭圆的标

准方程；（2）由11PF QF ⊥，根据向量的数量积公式可得Q 的纵坐标，取得直线PQ 的直线方程，

即可作出判定，得到答案；

（3）由121212x x y y x x +=+得到()2121210x x y y x -+-=，进而得打不等式

222220x x +-≤，即可求解．

【详解】

（1）由曲线()22

22:10x y a b a b

Γ+=>>的右焦点分别为()()121

,0,1,0F F -，短袖长

为

222

21b c a b c ?=?=??=+?

，解得2243a b ?=?=?，所以曲线Γ的标准方程为：22

143x y +=

（2

）由()

0P y 在()22

22:10x y a b a b

Γ+=>>，

可得23143o y +=

，解得0y =

，所以2P ??± ? ???

， 设()4,Q t -

，则()

()1011,3,PF y QF t =--=-u u u r u u u r

又由11PF QF ⊥，则120

PF QF ?=u u u r u u u u r

，

即(0310ty -+=

，解得)0

3

1t y =

，所以0Q ?

=- ?

?

，

所以):4PQ y t x -=

+

若2P ?? ? ???

，则3:2PQ y x =+

由222

32

3014

3y x x x y ?=+???++=??+=??

，解得x = 知道直线PQ 与曲线Γ相切，只有一个公共点；

若2P ?- ??

，同理可知直线与曲线相切，只有一个公共点；

（3）因为12121212OA OB x x x x y y x x ?=+?+=+u u u r u u u r

，

即()2121210x x y y x -+-=

2221220x x ≤?+-≤

所以211x ≤，

又211x

-≤≤，所以21,1x ??∈-??．

【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准

方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次