两个自然数
两个自然数，差是98，各自的各位数字之和都能被19整除。那么满足要求的最小的一对数之和是多少？
分析与解答：
由于两数的数字和都是19的倍数，那么小数的数字和-19的倍数=大数的数字和，另外我们知道小数+98=大数，这里应该有进位，每进位一次数字和就减少9。现在我们来思考一下至少要进位几次再加上9+8=17的结果能是19的倍数？答案是至少4次！
进位4次数字和减少了9×4=36，36-17=19，正好符合要求，现在又要使数字最小，那么就要尽量使低位上的数字为9，这样我们可以得到小数为29999，数字和为38=19×2；29999+98=30097，数字和为19，也同样符合要求，这样我们就可以得到满足要求的最小的一对数之和是29999+30097=60096。
连续N个自然数，每个自然数数字之和都不是11的倍数，求N最大是多少，并举出几个例子
最大可以为38，例子为：999981，999982，……，10000018 如果存在N大于38的，根据题意，必然存在连续39个自然数，每个自然数的数字和都不是11的倍数。由于任意连续39个自然数的前20个中，总可以找到两个数的末位是0，而且其中至少有1个在0的前一位不是9，令这个自然数为M，m是M的数字和。则M，M+1，M+2，……，M+9，M+19仍是这连续39个自然数中的11个数，它们的数字和分别是m，m+1，m+2，……，m+9，m+10.这是11个连续自然数，其中必有一个是11的倍数。所以，N不可能大于38，即N最大可以为38.
连续自然数的和
题目描述 对一个给定的自然数M，求出所有的连续的自然数段，这些连续的自然数段中的全部数之和为M。例子：1998+1999+2000+2001+2002 = 10000，所以从1998到2002的一个自然数段为 M=10000的一个解。 输入格式 包含一个整数的单独一行给出M的值（10 <= M <= 2,000,000）。 输出格式 每行两个自然数，给出一个满足条件的连续自然数段中的第一个数和最后一个数，两数之间用一个空 格隔开，所有输出行的第一个按从小到大的升序排列，对于给定的输入数据，保证至少有一个解。样例输入 样例输出 试验程序： multimap
if(k==n) { nn.push_back(*temp.begin()); nn.push_back(*(--temp.end())); mm.insert(pair 我对自然数和人工数的认识 我对自然数和人工数的认识，主要是基于对伽莫夫所著的《从一到无穷大》中自然数和人工数这一章的些许感想。这一部分主要是对数论的简单介绍，其自然数指的是本身就有的数，例如质数，奇数等等；而人工数是指原来没有的数，数学家们为了解释或解决一些问题而创造出来的新数，例如虚数等。本篇论文就是基于伽莫夫的著作并融入自己的感想，向大家介绍质数，整数和虚数的发展既有趣的故事，因为在某种程度上，他们就是自然数和人工数的代表。 迄今为止，数学还有一个大分支没有找到与其他学科相关联的用处，这就是所谓的“数论”，它是最古老的一门数学分支，也是纯粹数学思维的最错综复杂的产物。 首先，我们来探讨质数的问题。所谓质数，就是不能用两个或两个以上较小整数的乘积来表示的数，如1，2，3，5，7，11，13，17，等等。而12可以写成2×2×3，所以就不是质数。 那质数的数目是无穷无尽、没有终极的呢，还是存在一个最大的质数，即凡是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数的乘积呢？这个问题是欧几里得（Euclid）最先想到的，他自己还作了一个简单而优美的证明，证明没有“最大的质数”，质数数目的延伸是不受任何限制的。他是根据反证法：假设已知质数的个数是有限的，最大的一个用N表示。现在让我们把所有已知的质数都乘起来，再加上1。这写成数学式是：（1×2×3×5×7×11×13×……×N）+1。这个数当然比我们所假设的“最大质数”N大得多。但是，十分明显，这个数是不能被到 N 为止（包括N在内）的任何一个质数除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看出，拿任何质数来除它，都会剩下1。因此，这个数要么本身也是个质数，要么是能被比N还大的质数整除。而这两种可能性都和原先关于N为最大质数的假设相矛盾。既然知道质数的数目是无限的，那是否有求质数的公式呢？这个问题至今没有解决。我想正是因为这是数论问题，过于纯粹，所以证明起来需要极为严格，所以也就很难证明。 数论中一个极其富于挑战性的猜想是1742年提出的所谓“哥德巴赫（Goldbach）猜想”。这是一个迄今既没有被证明也没有被推翻的定理，内容是：任何一个偶数都能表示为两个质数之和。尽管有很多人去证明，但最多也只是将 这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。 1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? （n^2表示n×n＝n2为了好打字） 一、推导 1、直接推导： 1+2+3+4+……+n=(1+n)*n/2 + + 2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)/2 + + 3+4+……+n=(3+n)*(n-2)/2 + + . . . . (i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,……,n-1) || || S = (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4 两边求一下得所求S 此法较为直观正规 2、用其他的公式推导： 容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证，而左式可写成 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... + nxn)+(1+2+...+n) 于是 1x1 + 2x2 + ... + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1) 3、二项式推导： 2^3=1^3+3*1^2+3*1+1 3^3=2^3+3*2^2+3*2+1 4^3=3^3+3*3^2+3*3+1 ....... (n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1 sum up both sides substract common terms: (n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==> solve for b b=1^2+2^2+...+n^2 此法需要较强的基本功，属奥妙之作 4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧） For personal use only in study and research; not for commercial use 求：①自然数（一次方）的和，即：n ++++ 321 ②自然数平方（二次方）的和，即：2222321n ++++ ③自然数立方（三次方）的和，即：3333321n ++++ 求①式可用2)1(+n 来计算；求②式可用3)1(+n 来计算；求③式可用4)1(+n 来计算 ① ∵12)1(22++=+n n n ∴ 1121222+?+= …… 将以上等式两边相加得： ∴ n ++++ 3212 )1(+= n n ② ∵3)1(+n = 13323+++n n n ∴ 1131312233+?+?+= …… 3)1(+n = 13323+++n n n 将以上等式两边相加得： )321(32222n ++++? = 3)1(+n —?? ????++?+n n n 2)1(313 ∴ 2222321n ++++ = 6 )12)(1(++n n n ③ 用同样的方法，可得： 3333321n ++++ = 4)1(22+n n = 22)1(?? ? ??+n n 自然数的立方和等于自然数和的平方。 利用上面三个结论，我们就可以计算下面数列的和了。 ④ )321()321()21(1n +++++++++++ ∵n ++++ 3212)1(+=n n = n n 2 1212+ ∴ 12 112112?+?= …… n ++++ 321 = n n 2 1212+ 将上面各式左右两边分别相加，得： )321()321()21(1n +++++++++++ = )321(2 12222n ++++ = ?? ? ??++++2)1(6)12)(1(21n n n n n = 6 )2)(1(++n n n ⑤ )1(433221+++?+?+?n n = 3 )2)(1(++n n n ⑥ )2)(1(543432321++++??+??+??n n n = 4)3)(2)(1(+++n n n n 斯特林数和自然数前m 项n 次方的求和公式 将 n 个元素，分成 k 个非空子集，不同的分配方法种数，称为斯特林数（Stirling Number ），记为),(k n S ，n k ≤≤1。 例如，将4个物体d c b a ,,,分成3个非空子集，有下列6种方法： )}(),(),,{(d c b a ，)}(),(),,{(d b c a ，)}(),(),,{(c b d a ， )}(),(),,{(d a c b ，)}(),(),,{(c a d b ，)}(),(),,{(b a d c 。 所以，6)3,4(=S 。 斯特林数),(k n S 的值列表如下： 容易看出，有 1),()1,(==n n S n S ，12)2,(1 -=-n n S ，2 )1,(2 = =-C n n S n 。定理1 当 n k ≤≤2 时，有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 证 把1+n 个元素分成k 个非空子集，有),1(k n S +种不同分法。 把1+n 个元素分成k 个非空子集，也可以这样考虑：或者将第1+n 个元素单独作为1个子集，其余n 个元素分成1-k 个非空子集，这种情况下有)1,(-k n S 种不同做法；或者先将前n 个元素分成k 个非空子集，有),(k n S 种分法，再将第1+n 个元素插入这k 个子集，有k 种选择，这种情况下有k ),(k n S 种不同做法。所以共有),()1,(k n kS k n S +-种分法。 两种考虑，结果应该是一样的，因此有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 如果规定当1 我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形： 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 …… n n …… n 这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和 接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n 这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用 如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢 注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的： 1 1 1 (1) 2 2 2 (2) 3 3 3 (3) 4 4 4 (4) …… n n n …… n 这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2 而我们补上的数字是哪些呢？ 1 1 1 …… 1 (n-1)个的1 2 2 …… 2 (n-2)个的2 3 …… 3 (n-3)个的3 ……… n-1 又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……， 最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于 (12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2] 将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得 T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2 =S(n-1)/2+(n-1)*n/4 =S(n-1)/2+n2/4-n/4 也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n) =n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4 =n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……① 因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2 可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到 S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/2 3S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/4 3S(n)=n3+3n2/2+n/2 S(n)=n3/3+3n2/6+n/6 上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6 另外一种经典的方法 1、自然数和整数的联系与区别是什么？ 自然数：0、1、2、3……；整数：-3、-2、-1、0、1、2、3……； 自然数是整数的一部分，最小的自然数是0，没有最大的自然数； 没有最小的整数，也没有最大的整数。 2、如何根据一个算式说出倍数与因数的关系？要注意什么？ 2×8=16，可以说（）是（）的倍数，（）是（）的因数。 我们只在（）数（0 除外）范围内研究倍数和因数。 3、如何找一个数的倍数？ 100以内所有的8的倍数： 4、如何找一个数的因数？ ①33的因数： ②54的因数： ③21的因数： ④一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是 5、2、3、5的倍数各有什么特征？ 5的倍数的特征：个位是（）或（）的数。比如25，（）、（）、（） 2的倍数的特征：个位是（）或（）、（）、（）、（）的数；比如18，（） 3的倍数的特征：每个数位上的数字（）是3的倍数的数。比如111，（） 既是2的倍数，也是5的倍数：个位上是（）。 6、什么是奇数？什么是偶数？怎么判断更快？ 奇数：个位是（）或（）、（）、（）、（）的数；比如19，27，（） 偶数：个位是（）或（）、（）、（）、（）的数； 判断一个数是奇数还是偶数看这个数的（）位就可以了。1879578是（）数 7、什么是质数？什么是合数？如何判断更快？ 质数：只有（）和（）两个因数的数；最小的质数是（）。20以内的所有质数是 合数：除了有1和它本身两个因数，还有别的因数；最小的合数是（）。 合数最少有（）个因数。（）既不是质数，也不是合数。 把1，2，15，23，36，57，102，213这些数中，奇数有（），偶数有（），质数有（），合数有（）。 8、猜一猜。 1、我是比3大，比7小的奇数。我是（） 2、我和另一个数都是质数，我们的和是15。这两个数是我是（）和（） 3、我是一个偶数，是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18。我是（） 9、奇数+奇数=（）；偶数+偶数=（）；奇数+偶数=（） 863+2079=（）数， 985987-15=（）数 10、把杯子口朝上，放在桌上，翻动1次后杯子口朝下，翻动2次后杯口朝上。翻动10次后，杯 帕斯卡与前n 个自然数的平方和 十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n 个自然数的平方和。这个方法是这样的： 利用和的立方公式，我们有 （n ＋1）3＝n 3＋3n 2＋3n ＋1， 移项可得 （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 此式对于任何自然数n 都成立。 依次把n ＝1,2，3，…，n －1，n 代入上式可得 23 －13＝3?12＋3?1＋1， 33 －23＝3?22＋3?2＋1， 43 －33＝3?32＋3?3＋1， …………………………… n 3－（n －1）3＝3（n －1）2＋3（n －1）＋1， （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 把这n 个等式的左边与右边对应相加，则n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n ＋1）3 －1；而n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n 个1。因而我们得到 （n ＋1）3 －1＝3S n ＋2 )1(3+n n ＋n ， 现在这里S n ＝12＋22＋…＋n 2。 对这个结果进行恒等变形可得 n 3＋3n 2＋3n ＝3S n ＋2 )1(3+n n ＋n ， 2n 3＋6n 2＋6n ＝6S n ＋3n 2＋3n ＋2n 移项、合并同类项可得 6S n ＝2n 3＋3n 2＋n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）， ∴S n ＝ 61n （n ＋1）（2n ＋1）， 即 12＋22＋32＋…＋n 2＝6 1n （n ＋1）（2n ＋1）。 这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。 自然数平方与立方数列前n 项和公式证明 huangjianwxyx 以下公式，尤其是二、三公式的推导体现了递推消项数学思想。 一、证明：Sn=∑=n k k 1=1＋2＋3＋…＋n ＝(1+n)n/2 证：(略) 二、证明：Sn=∑=n k k 12=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n ＋1)(2n ＋1)]/6 证： (n ＋1)3－n3=(n3＋3n2＋3n ＋1)－n3=3n2＋3n ＋1，则： 23－13=3×12＋3×1＋1（n 从1开始） 33－23=3×22＋3×2＋1 43－33=3×32＋3×3＋1 53－43=3×42＋3×4＋1 63－53=3×52＋3×5＋1 … (n ＋1)3－n3=3×n2＋3×n ＋1（至n 结束） 上面左右所有的式子分别相加，得： (n ＋1)3－13=3×[12＋22＋32＋…＋n2]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n ∴ (n ＋1)3－1=3Sn ＋3×[n(n ＋1)/2]＋n ∴Sn=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n ＋1)(2n ＋1)]/6 三、证明：Sn=∑=n k k 13=13+23+.....+n 3=n 2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2 证： (n+1) 4-n 4=[(n+1)2+n 2][(n+1)2-n 2]=(2n 2+2n+1)(2n+1)=4n 3+6n 2+4n+1则： 24-14=4*13+6*12+4*1+1 （n 从1开始） 34-24=4*23+6*22+4*2+1 44-34=4*33+6*32+4*3+1 ... (n+1) 4-n 4=4*n 3+6*n 2+4*n+1（至n 结束） 上面左右所有的式子分别相加，得： (n+1) 4-1=4*(13+23+.....+n 3)+6*(12＋22＋32＋…＋n2)+4*(1+2+3+...+n)+n ∴4*(13+23+.....+n 3)= (n+1) 4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]2 ∴Sn=13+23+.....+n 3=[n(n+1)/2] 2 【拆分自然数N之和】 任何一个大于1的自然数n，总可以拆分成若干个小于n的自然数之和。（n<=100） 【样例】 输入n=7 输出： 7=1+6 7=1+1+5 7=1+1+1+4 7=1+1+1+1+3 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 7=1+1+1+2+2 7=1+1+2+3 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+3+3 7=2+5 7=2+2+3 7=3+4 【分析过程】： 1.10=3+7与10=7+3 是同一个拆分。(避免重复，只要让前面的加数≤后面的加数) 2.n=7. 第一步，将N拆分为2项之和： 7=1+6 7=2+5 7=3+4 （不能拆） 其中对它进行继续拆分 . 【如何用算法实现】 用数组a[0..100],a[k]中存储已完成的一种拆分。比如：7=1+6。可以用数组a表示：a[0]=7，a[1]=1，a[2]=6，k=2，继续拆分从a[k]（从a[2] 开始）；a[k]能否再次拆分取决于a[k] div 2 是否大于或等于a[k-1]；在这里，我们采取的回溯（递归）过程中有两个元素：nx表示要拆分的数值大小，kx表示接着要拆的那个数的下标，nx存储在数组元素a[kx]中，即a[kx]=nx。 参考程序： var n,i,j:integer; a:array[0..100] of integer; procedure sum(nx,kx:integer); var k,m,l:integer; begin j:=j+1; write('Sum No.',j:3,':',a[0],'='); {输出标头，可以根据题目具体要求删或修改} for k:=1 to kx-1 do write(a[k],'+'); {输出前面的加数} writeln(a[kx]); {输出最后一个加数并换行} k:=kx;//保存当前要拆分数的下标 l:=a[k]; {第一组拆分结束，l是替身，后面要计算相差部分} for m:=a[k-1] to l div 2 do {新赋值的拆分范围，因为不能大于前一个加数，所以初值是前一个加数} begin a[k]:=m; a[k+1]:=l-m; {新赋值初始化拆分} sum(a[k+1],k+1); {回溯下一个} end; end; begin read(a[0]); j:=0; if a[0]>=2 then {a[0]>=2时才有数据可以拆分} for i:=1 to a[0] div 2 do {第一个加数的拆分范围} begin a[1]:=i; a[2]:=a[0]-a[1]; {初始化拆分} sum(a[0],2); {调用sum} end; {when a[0]>2} writeln; end. 自然数的平方和公式的推导方法总结 自然数的平方和就是2222123n ++++ ()n N *∈，它的结果是1(1)(21)6 n n n ++。对于这一结论的推导，方法多种多样，现将我所知道的方法一一总结如下，与大家共享。 方法一：设数列{}n a ，其中22212n a n =+++ ，则 {}n a 的一阶差数列记为1 {}n a ，其中121(1)n n n a a a n +=-=+，首项为114a =； {}n a 的二阶差数列记为2{}n a ，其中 21 1221(2)(1)n n n a a a n n +=-=+-+，首项为215a =； {}n a 的三阶差数列记为3{}n a ，其中 3221(25)(23)2n n n a a a n n +=-=+-+=，首项为312a =； 于是我们可知数列{}n a 为三阶等差数列。于是我们应用下面方法求可求出数列{}n a 的通项。 22222222121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- =5+333121n a a a -+++ =5+2+2+……+2=1125n C -+(2)n ≥ 亦知当1n =时亦有21125n n a C -=+， 故有21*125,n n a C n N -=+∈ 1 1111111121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- =4+222121n a a a -+++ =111110122142()5n n C C C C C --++++++ =2111254n n C C --++(2)n ≥ 亦知当1n =时亦有12111254n n n a C C --=++。 故有1 2111254,*n n n a C C n N --=++∈ 121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- =1+111121n a a a -+++ 刘大可 文 最近有一个很有趣的视频，讲述了这样一件数学趣事：全体自然数的和是-1/12。 虽然果壳和知乎上都已经有了问答，但是数学语言过于晦涩，不利于理解，所以我自己写了一份更简洁的日志作为阐述，不过尽量保证了严谨。 首先说视频，他是这么证明的： 设 这个东西等于多少呢？很显然，这要看你在什么地方停下来了，如果你停在第奇数个1上，结果就是1；如果停在偶数个1上，那结果就是0。既然这样的话，那就平均一下好了，它等于1/2。看到这里，你显然会觉得这实在荒唐愚蠢，但是更“荒唐”的东西还在后面，但新奇的东西也在后面，你最好还是继续看下去。 好，有了S1=1/2，他又令 那么取两个S2错开一位相加，即 则有2S2=S1=1/2，，也就是S2=1/4 ！虽然这让人很不服气，但是他接着计算 既然S2=1/4，那么我们大功告成了，S=-1/12——全体自然数的和是-1/12 ！ 看到这里的时候，我想几乎所有人都和我一样觉得这实在是牵强附会荒唐可笑，但视频中一再声称这种算法的意义，所以我翻墙出去做了个简单的研究，得到了这样的结论：我们确实可以对全体自然数求和得到-1/12 ，但这个和并非我们做加法得到的代数和，而 是发散级数和——这个-1/12 根本就不“加”出来的。于是，下面就是我对这个问题的解释，虽然有一些公式，但是都极其简单，你可以轻松阅读不费脑子。 要弄明白这个问题，我们首先要知道什么是“级数”以及“发散级数”，而这是一个非常简单的问题。 随便找一个数列，比如等差数列a n=n ，也就是1 、2、3 、4 、5、6 …… 把数列中的每个元素都用加号连接起来，就是一个级数，其实就是求总和。对于上面的a n，它的级数就是 其中，级数的前n项的和被称作部分和，记作S n（其实就是“数列的前n项和”，高考复习翻来覆去做过的那个东西）。 那么只要上过高中就能意识到，随着n趋于无穷，级数的部分和S n有可能趋近于某一个值，即有极限，比如级数1+1/2+1/4+1/8……，它的部分和就会不断趋近于2。这样的级数称为收敛级数，这个部分和的极限就是收敛级数的和； 级数的部分和S n也可能不趋近于某一值，即无极限。比如1+2+3+4+……，越加越大趋于无穷；又比如1-1+1-1+……，部分和一会儿是1一会儿是0，永远不会固定。只要级数的部分和不是越来越接近某一个定值，就都是发散级数。 事情到这里，都是高中数学就学过的内容。很明显的，在这样的背景下，一个发散级数的和没有意义，但是在应用数学中，尤其是物理学的数学应用中，常常被迫需要计算发散级数的和。于是，数学家们发明了很多种算法，在保证收敛级数的和不变的前提下，又让发散级数确实能算出一个东西来，这就是发散级数和，也就是视频里计算出来的那个东西。 但是要注意，视频里加来加去的计算只是发现了发散级数的和，但并不能给出良性的定义，也就不是严格意义上的发散级数求和，所以千万不要觉得数学家和物理学家是在胡闹，更不要对科学的严谨产生怀疑。 那么，如何计算发散级数和呢？ 事实上，发散级数和有许多种算法，这些方法强度不同，但结果一致，这里先捡一个最简单也最弱的“切萨罗求和”。 自然数约数的个数及所有约数的和 我们知道：一个数ɑ，如果能被数b整除，b就是ɑ的约数。 自然数(除了1以外)按照约数的多少，可以分成质数与合数两类：质数只有1和它自己两个约数；合数除了1和它自己以外，还有其它的约数； 上面这些知识都是非常浅显的，连小学生都知道。殊不知，在这些人们耳熟能详的知识中，却隐藏着许多饶有兴味的问题。 一、约数的个数 一个数的约数的个数，与这个数由哪些质因数组成有关。 以12为例，分解质因数得到12＝22×3。在构成12的约数时，质因数2，可以取2个(即22＝4)、1个(即21＝2)或者不取(即20＝1)，有3种方法，“3”比质因数2的幂指数“2”多1；对于质因数3，可以取1个(即31＝3)或者不取(即30＝1)，有2种方法，“2”比质因数3的幂指数“1”多1。所以，总共可以组成3×2＝6个约数，分别是22×31＝4×3＝12，21×31＝2×3＝6，20×31＝1×3＝3，22×30＝4×1＝4，21×30＝2×1＝2，20×30＝1×1＝1。 推广到一般：如果一个数N＝ɑi b j…c k，其中，ɑ、b、…、c是N的质因数，i、j、…、k 是这些质因数的幂指数。 N的约数的个数等于：(i＋1)(j＋1)…(k＋1) 以360为例，360＝23×32×5。质因数2、3、5的幂指数分别是3、2、1，所以360的约数有(3＋1)(2＋1)(1＋1)＝24个。 检验：360的约数有360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18、15、 12、10、9、8、6、5、4、3、2、1，共24个。 二、约数的总和 仍以12为例，12＝22×3。根据上面所说的12的约数的构成，这些约数的总和等于：22×31＋21×31＋20×31＋22×30＋21×30＋20×30， 化简后得到：(22＋21＋20)(31＋30)。 所以，12的约数总和等于：(4＋2＋1)(3＋1)＝28。 检验：12的约数有12、6、4、3、2、1，12＋6＋4＋3＋2＋1＝28。 推广到一般，如果一个数N＝ɑi b j…c k，其中ɑ、b、…、c是N的质因数，i、j、…、k 是这些质因数的幂指数。 N的约数总和等于： (ɑi＋ɑi-1＋ɑi-2＋…＋ɑ＋1)(b j＋b j-1＋b j-2＋…＋b＋1)…(c k＋c k-1＋c k-2＋…＋c＋1) 这个结果可以化简： 由恒等式(x－1)(x n-1＋x n-2＋…＋x＋1)＝x n－1推知，(x－1)(x n＋x n-1＋…＋x＋1)＝x n＋1－1， 1.自然数3可以有四种方式表示为一个或多个自然数之和，即3；1+2；2+1； 1+1+1。问自然数9有多少种这样的表示法。 2.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始 检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟；同时开5个检票口需20分钟。如果同时开7个检票口，那么需要多少分钟？ 3.下午5点多钟小玲放学回家，8分钟后到家，小玲发现到家时手表上时针的 位置与放学时分针的位置相同。小玲放学的时刻是下午5点几分？ 4.10点42分时分针与时针的夹角是多少度（指小于180度的角）？ 5.一昼夜，分针与时针垂直多少次? 6.9点几分时，分针与时针在一条直线上? 7.从1到100这100个自然数中，每次取两个，要使它们的和大于100，有多少种取法？ 8.把94表示为13个不同的自然数之和，共有多少种不同的表示方法？ ⒐今有4×6的长方形点阵（横竖相邻两点的距离都是1），如图7-30，以其中的4个点为顶点连成正方形。一共能连成多少个正方形？ 10.分子小于6，而分母小于60的最简真分数有多少个？ 11.有一个两位数，个位数字是十位数字的3倍。如果这个数加上54，所得的数等于原数的十位数字与个位数字对调后的数。求这个两位数。 12.1分、2分和5分的硬币共100枚，价值2元。已知5分硬币的币值比1分的币值多34分。问：三种硬币各有多少枚？ 13.鸡、兔共有腿100条，若鸡、兔互换后共有腿86条。问：鸡兔各有多少只？ 14.甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米。如果他们同时分别从直路两端点出发，当他们跑了10分钟时，共相遇了几次？ 15.在1，2，3，……，99，100这100个数中，有一些是3的倍数，如3，6，9，12，15……，也有一些是5的倍数，如5，10，15，20，25，……。从这些3的倍数与5的倍数中各取一个数相加，一共可以得到多少个不同的和？ 16.我国现有不同面值人民币币值的总和是多少？ 17.在桌上有三张扑克牌，排成一行。已知： （1）k右边的两张牌中至少有一张是A； （2）A左边的两张牌中也有一张是A； （3）方块左边的两张牌中至少有一张是红桃； （4）红桃右边的两张牌中也有一张是红桃。 18.有一次四人游泳比赛。比赛前，四名选手A，B，C，D进行预测性的谈话。A说；“我肯定得第一名。”B说：“我决不会得最末名。”C说：“我不可能是第一名，也不会得最后一名。”D说：“那只有我是最末的！”经过比赛揭晓，发现他们之中只有一人预测错误。请指出这是哪一位选手。 19.某单位购进92箱桔子，每箱至少110个，至多138个，现将桔子数相同的作为一组，箱子数最多的一组至少有几箱？ 20.从1，3，5，7，……，97，99这50个奇数中，至少可以选出多少个奇数，使它们当中的每一个数都不是另一个数的倍数？ 21.把100写成不同的自然数之和，这些数中最多有多少个偶数？最少有多少个偶数？ 22.口袋里有三种颜色的筷子个10根。问： （1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？ 1. 12+22+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6 用数学归纳法： n=1时，1=1*2*3/6=1成立 假设n=k时也成立，那么k(k+1)(2k+1)/6=12+22+...+k2 那么n=k+1 12+22+...+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2/6 k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2=(k+1)(2k2+k+6k+6)=(k+1)*(2k2+7k+6)=(k+1)(k+ 2)(2k+3) =(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1) 所以 12+22+...+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2/6 =（k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6 即n=k+1时，也成立 所以12+22+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6 2. 前面在“求连续自然数立方和的公式”一文中，介绍了用列表法推导 公式的过程。这种方法浅显易懂，的确有它的优越性。在“有趣的图 形数”中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式 这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。 首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表： 用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续自 然数平方和的公式。 这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜想—证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心求证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。 这件事对我们教师有什么启示吗？有的，那就是：切莫轻视了对学生观察、类比和猜想能力的培养！这往往是培育创新思维的有效途径。 3. 在前面“有趣的图形数”中，曾经用图形法推出了求连续自然数立方 和的公式： 这里再介绍一种列表法，同样可以推出这个公式，并且更简单，更好理解。 浅谈自然数幂和公式 一、自然数幂和是什么： 所谓自然数幂和 ,系指 ) (211 N p r n n r p p p p ∈= +???++∑= (1) 在中学数学里 ,我们遇到 p= 1, 2, 3三种情形。(1)的求和公式从低次幂到高次幂 ,从特殊到一般的历史所留给我们的不同时代、不同国家的数学家所展示的聪明才智 ,对于我们今天的数学教学仍有着现实意义。 二、自然数幂和是怎么来的： 公元前 6世纪 ,古希腊毕达哥拉斯 ( pythag or as)发现 ,从 1开始 ,任意多个连续自然数之和构成三角形数 。如图 1,毕氏以一点代表 1,二点代表 2,等等 。如图 2,在三角形数旁补一倒立的三角形数 ,由此易得 n n n n n 21 212)1(212+=+= +???++ (2) 毕氏还以图 3所示的正方形数的构造得出公式 2 )12(31n n =-+???++ (3) 公元前 3世纪 ,阿基米德 ( Archimedes,前 287～ 212)在《论劈锥曲面体和球体》一书中利用几何方法证明了如下引理: ])()2([3)2())(1(2 222na a a na a a a na n +???++=+???++++ 当 a= 1时 ,利用 (2)可得 n n n n n n n 612131)12)(1(612123222++=++=+???++ (4) 公元 100年左右 ,毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘( Nico machus)著《算术引论》一书 ,书中的一条命题说 ,在奇数 1, 3, 5, 7,… 中 ,第一个是立方数 ,后面两个之和是立方数 ,再后面三个之和是立方数 ,等等 ,此即 113 =(1个奇数) , 5323 +=(2个奇数) , 119733 ++=(3个奇数) , 1917151343 +++=(4个奇数） , … … … … … … )1()3()(2223-++???++-++-=n n n n z n n n (n 个奇数) . 由此易知 ,当 p= 3时 , (1)是n +???++21 个连续奇数 )1(,,3,12 -+???n n 之我对人工数和自然数的认识
自然数平方和
自然数的和,平方和,立方和
斯特林数和自然数前m项n次方的求和公式
自然数平方和公式推导
自然数和整数的联系与区别是什么[1]
前n个自然数的平方和及证明
关于自然数数列前n项和公式证明
拆分自然数N之和
自然数的平方和公式的推导方法总结
所有自然数之和是负十二分之一
自然数约数的个数及所有约数的和
自然数3可以有四种方式表示为一个或多个自然数之和
自然数的平方和
浅谈自然数幂和公式