优化设计的数学模型
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优化设计的数学模型由设计变量目标函数和约束条件三部分组成
西 南
问题的方法叫图解法。
科 技
２、图解法的步骤
大 学
1）确定设计空间；
网 络
2）作出约束可行域；
教
育 系
3）画出目标函数的一簇等值线；
列 课
4）最后判断确定易优点。
程
5.1.6 优化问题的图解法
由图解法可解，
例5.2是一个二维
线性优化问题。
其可行域见图5.6，
目标函数的等值
西 南 科
线见图5.3，将这 两个图叠加在一
教 育
一种约束条件。是对设计变量所加的间接变量。
系 列
例如：零件的强度条件，刚度条件，稳定性条
课 程
件均属于性能约束。
5.1.5 约束条件与可行域
3、可行域
每一个不等式或等式约束都将设计空间分为两
个部分，满足所有约束的部分形成一个交集，该交 集称为此约束问题的可行域，记作φ。
西 南
可行域可看作满足所有约束条件的设计点的集
课 程
∴ x=1 为所求解。
5.1.2 数学模型的一般形式
实例可以看出，优化设计的数学模型由设计
变量、目标函数和约束条件三部分组成，可写成
以下统一形式：
设计变量
求变量
x1,x2, …..,xn
目标函数
西 南
使极小化函数 f(x1,x2, …..,xn)
科 技
满足约束条件
不等式约束条件
大
学 网
gu(x1,x2,…..,xn)≤0 (u=1,2,…m) 等式约束条件
西 南
g2 ( X ) x12 x2 1 0
科 技
g3( X ) x1 0
大
学
第一章 优化设计数学模型
参数最优化问题的关键是要建立设计参数与优化目标、约束 条件之间的数值关系。这实质上就是要建立一个优化数学模型。 那么，这种优化数学模型如何建立呢?下面就来讨论这个问题。
一、引 例 二、优化设计的数学模型 三、建立优化设计数学模型的几个实例 四、优化设计数学模型的评价
我们先用一个实例来分析优化设计的数学模型
任何一个机械设计方案一般都是由若干个设计参数所决定的。 在这些设计参数中，一部分是按具体要求事先给定的，它们在 优化设计过程中始终保持不变，故称为预定参数。例如我们在 零件和结构件设计时，经常是先选定材料，因而弹性模量和许 用应力就是预定参数。另一部分参数在优化设计过程中是可以 变化的，如构件截面尺寸大小等，这类设计参数就称为设计变 量。 以设计变量为坐标轴所构成的空间称设计空间。一般情况下， 设计变量的个数就是设计空间的维数。如设计变量为2个，则设 计空间就是二维的(即构成一个平面)。如有n个设计变量，则构 成n维设计空间(n维向量空间)。设计变量通常用下列向量表示： X＝(x1，x2，…，xn)T 该向量X即表示n维设计空间中的一个点。
从管柱优化设计这一具体例子可以看到，优化设计就 是寻求件的情况下使目标函数值最小(或者最大)。
通过管柱优化设计的例子，我们对什么是优化设计有了进一步 的直观认识。下面我们将进一步用数学形式来描述优化设计， 以便更深入地掌握优化设计的本质。首先我们来讨论一下在优 化设计中经常碰到的几个基本概念。 1．设计变量与设计空间 2．约束条件及可行区与非可行区 3．目标函数 4．优化设计的数学模型
一维迭代 无约束最优化方法
牛顿法；梯度法；共轭方向法；变尺度方法； 坐标轮换法；鲍威尔法
约束最优化问题变换技术
约束优化问题 无约束问题 线性规划（单纯形法）
优化设计的数学模型
优化设计的应用
生产计划优化
生产计划优化
通过数学模型，对生产计划进行优化，以最小化成本、最大化利润为目标，制定最优的生产计划 。
生产调度优化
利用数学模型对生产调度进行优化，以提高生产效率、减少生产成本、缩短生产周期。
资源分配优化
通过数学模型对资源进行合理分配，以最大化资源利用率、最小化资源浪费为目标，实现资源的 最优配置。
总结词
生产计划优化是利用数学模型对生产过程中的资源、时间和成本进行合理配置， 以提高生产效率和降低成本。
详细描述
生产计划优化案例包括对生产流程、生产计划、生产调度等方面的优化。通过 建立数学模型，对生产计划进行优化，可以减少生产过程中的浪费，提高生产 效率，降低生产成本。
物流优化案例
总结词
物流优化是利用数学模型对物流运输过程中的路线、时间和 成本进行合理规划，以提高物流效率和降低物流成本。
线性规划
线性规划是数学优化技术中的一 种，它通过找到一组变量的最优 组合，使得一个线性目标函数达
到最大或最小值。
线性规划问题通常表示为在一组 线性不等式约束下最大化或最小
化一个线性目标函数。
线性规划问题可以通过使用单纯 形法、对偶理论等算法进行求解。
非线性规划
非线性规划是数学优化技术中的一种， 它通过找到一组变量的最优组合，使 得一个非线性目标函数达到最大或最 小值。
04
优化算法的进展
遗传算法
1
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法， 通过选择、交叉和变异等操作，寻找问题的最优 解。
2
遗传算法适用于解决大规模、多变量和非线性优 化问题，尤其在组合优化、机器学习、数据挖掘 等领域有广泛应用。
3
优化设计数学模型
优化设计数学模型数学模型是对实际问题进行抽象和描述，以便能够进行解析和求解的一种工具。
一个优化设计的数学模型应该具备几个重要的特点，包括问题的明确定义，适当选择自变量和因变量，建立合适的约束条件，选择合适的目标函数，并采用适当的解析方法求解。
下面是一个关于优化设计数学模型的优化方法和步骤的详细介绍。
首先，一个优化设计数学模型的第一步就是对问题进行明确和准确的定义。
这包括了理解问题的背景、目的和限制条件，并将问题转化为数学形式。
问题定义的准确性和完整性对后续的模型建立和求解都非常重要。
其次，模型的自变量和因变量的选择非常关键。
自变量是我们可以进行调整和控制的变量，而因变量是我们希望最小化或最大化的目标。
根据问题的具体情况，选择适当的自变量和因变量是非常重要的。
然后，建立约束条件是模型设计的又一个重要步骤。
约束条件可以是关于自变量和因变量之间的限制条件，也可以是关于问题特定的限制条件。
约束条件的准确性和合理性对于模型的求解有很大的影响。
接下来，选择适当的目标函数是优化设计数学模型的关键。
目标函数是我们希望最小化或最大化的量，通常与问题的目的和要求密切相关。
目标函数的选择应考虑问题的实际需求，并与约束条件相匹配。
最后，选择适当的解析方法求解数学模型是一个重要的步骤。
解析方法可以是数学优化方法，如线性规划、非线性规划或动态规划，也可以是数值优化方法，如遗传算法或模拟退火算法。
根据问题的复杂性和求解的需求，选择合适的解析方法非常重要。
在进行数学模型的优化设计时，还需要对模型进行验证和优化。
模型验证是通过与实际数据和结果进行比较，以验证模型的准确性和可靠性。
对模型进行优化是通过调整和改进模型的相关参数和约束条件，以提高模型的性能和效果。
总结起来，优化设计数学模型的优化方法和步骤包括问题的明确定义，适当选择自变量和因变量，建立合适的约束条件，选择合适的目标函数，并采用适当的解析方法求解。
通过模型的验证和优化，可以提高模型的准确性和可靠性，从而为实际问题的优化设计提供有效的数学支持。
第一章 优化设计的数学模型
2012-3-24
11
1-1 优化设计实例
上述生产计划问题可归结为： 上述生产计划问题可归结为： 生产计划问题可归结为 求变量 使函数 满足条件
x1 , x 2 f ( x1 , x2 ) = 60 x1 + 120 x2
最大化
g1 ( x1 , x 2 ) = 9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 g 2 ( x1 , x2 ) = 3 x1 + 10 x2 ≤ 300
为此，自古以来， 为此，自古以来，慎重的工程设计人员常常提供几种候 选设计方案，再从中择其“最优” 选设计方案，再从中择其“最优”者。
2012-3-24
2
常规设计与优化设计的区别
常规设计的特点
由于设计时间和经费的限制， 由于设计时间和经费的限制 ， 使所设计的候选方案的数目受 到很大限制。因此用常规的设计方法进行工程设计， 到很大限制 。 因此用常规的设计方法进行工程设计 ， 特别是当影 响设计的因素很多时， 只能得到有限候选方案中的最好方案、 响设计的因素很多时 ， 只能得到有限候选方案中的最好方案 、 不 可能得到一切可能方案的“最优设计方案” 可能得到一切可能方案的“最优设计方案”。
g 3 ( x1 , x 2 ) = 4 x1 + 5 x 2 ≤ 200
g 4 ( x1 , x2 ) = x1 ≥ 0
g 5 ( x1 , x 2 ) = x 2 ≥ 0
这就是该问题的数学模型。 这就是该问题的数学模型。
2012-3-24
12
1-1 优化设计实例
其中： 其中： f ( x1 , x2 )
x1 , x2
f ( x1 , x2 ) =
π
4
2 ( x12 − x2 )
优化设计的数学模型
—— —— —— —— —— —— ——
机械优化设计数学模型的一般形式： 机械优化设计数学模型的一般形式： 数学模型的一般形式 设 X =[x1,x2 ,…,xn]T ,x min. f(x) = f(x1, x2 ,…,xn ) ,x X∈Rn 不等式约束） （不等式约束） 1,2,…,m s.t. gu(x) ≤ 0 u = 1,2, ,m 等式约束） 1,2,…, hv(x) = 0 v = 1,2, , p< n （等式约束
* X 是极小点。 2) = (1,1,−
x1 =， 1
* 。
， x2 = 1
代入原函数，得函数的极小 x = −2
3
f (X ) = 0
例2-3 MATLAB 2-3 MATLAB实现，用M文件求函数的极值点： M
%例2-3 求函数的极值 syms x1 x2 x3 %定义函数f中的符号变量 f=2*x1^2+5*x2^2+x3^2+2*x2*x3+2*x1*x3-6*x2+3; %函数f的表达式 disp( '函数f的表达式：' ) pretty(simplify(f)); %按数学形式显示函数f latex(f); %符号表达式按LaTeX格式输 出 %计算函数的1阶偏导数
解：在MATLAB命令窗口输入主函数
syms t f=t^4-t^2-2*t+5; [x1,x2]=minJT(f,0,0.1)
第3章 一维搜索方法与MATLAB实现
各阶主子式的值为
a11 = 4 > 0
a11 a12
a12 4 0 = = 40 > 0 a22 0 10
a11 a12 a21 a22 a31 a32
3-优化设计的数学模型
D
d
为了简化目标函数，可以省略空心轴截
面面积的表达式中的常数，用一个与空
心轴截面面积等价的定量指标来建立目
标函数
min
f ( X ) x12
x
2 2
确定约束条件
g1(X ) x2 0
内径为正值
g2 ( X ) x1 x2 0
外径大于内径
g
3
(
X)Biblioteka 16 Mx1 x14 x24
0
g4
0.7E
x1 x2 2x1
1.5
16 Mx1
x14
x
4 2
0
扭转强度条件 扭皱稳定条件
这是一个有四个约束条件的二维非线性规划问题。
优化设计建模小结
优化设计的数学模型是优化设计问题的 数学表达形式，它反映了优化设计问题 中各个主要因素之间的内在联系。因此， 工程技术人员运用掌握专业技术理论和 数学知识，正确地从实际工程优化设计 问题中抽象出数学模型，是进行工程优 化设计的关键，也是优化设计必须解决 的首要问题。
根据材料力学，扭转轴的最大工作剪切应力
max
16 MD (D4 d
4
)
扭转轴的扭皱稳定临界剪应力
b
0.7E
Dd 2D
1.5
式中，E为材料弹性模量 ，d 与 D是轴的内径与外径。
确定设计变量和目标函数
将与空心轴截面面积直接相关的外径 D 和内径 d 为作为设计变量，即
X
x1
x2
教材习题1 提示
简支梁危险截面的弯曲应力和抗弯截面模量 的表达式分别为
Pl
22
W
W bh2 6
简支梁支承中点的最大挠度和惯性矩的表达
优化设计的数学模型
(1) 约束又可按其数学表达形式分成等式约束 不等 等式约束和不等 等式约束 式约束两种类型。 式约束 。 (2) 根据约束的性质可以把它们区分成： 性能约束——针对性能要求而提出的限制条件称 性能约束 作性能约束 例如 性能约束。例如 性能约束 例如，选择某些结构必须满足受力的强 度、刚度或稳定性等要求； 边界约束——只是对设计变量的取值范围加以限 边界约束 制的约束称作边界约束 例如 边界约束。例如 边界约束 例如，允许机床主轴选择的 尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。
满足上述要求的计算过程或计算方法就是所谓的 数值迭代方法。 数值迭代过程 或 数值迭代方法
数值迭代的基本思想 基本思想是：从某一个选定的初始点 基本思想 X (0) 出发，按照某种最优化方法所规定的原则，确定适 当的方向和步长，获得第一个新的修改设计点 X (1) ， 计算此点的目标函数值 F ( X (1) ) 使满足：
二、设计点与设计空间
设计点: 设计点 X(k)（x1(k), x2 (k), …,x n(k)）： 是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中的一 个点，也代表第 k 个设计方案。可能是可行方案、 也可能不是可行方案。 设计空间 Rn ： 以x1, x2 , …,xn 为坐标轴，构成 n 维欧氏实空 间Rn。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方 即所有设计方 案。 欧氏空间 欧氏空间: 空间
§3-1设计变量 设计变量
一、设计变量
设计变量： 变化的， 设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选的 量。 设计参数： 设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定 数值。 可以是几何参数 几何参数：例，尺寸、形状、位置 几何参数 运动学参数： 运动学参数 例，位移、速度、加速度 动力学参数： 动力学参数 例，力、力矩、应力 其它物理量 例，质量、转动惯量、频率、挠度 物理量： 物理量 非物理量： 例，效率、寿命、成本 非物理量 设计向量： 设计向量：用 X =[x1, x2 , …,x n]T 表示， 是定义在 n 维欧氏空间中的一个向量。
满足上述要求的计算过程或计算方法就是所谓的 数值迭代方法。 数值迭代过程 或 数值迭代方法
数值迭代的基本思想 基本思想是：从某一个选定的初始点 基本思想 X (0) 出发，按照某种最优化方法所规定的原则，确定适 当的方向和步长，获得第一个新的修改设计点 X (1) ， 计算此点的目标函数值 F ( X (1) ) 使满足：
二、设计点与设计空间
设计点: 设计点 X(k)（x1(k), x2 (k), …,x n(k)）： 是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中的一 个点，也代表第 k 个设计方案。可能是可行方案、 也可能不是可行方案。 设计空间 Rn ： 以x1, x2 , …,xn 为坐标轴，构成 n 维欧氏实空 间Rn。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方 即所有设计方 案。 欧氏空间 欧氏空间: 空间
§3-1设计变量 设计变量
一、设计变量
设计变量： 变化的， 设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选的 量。 设计参数： 设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定 数值。 可以是几何参数 几何参数：例，尺寸、形状、位置 几何参数 运动学参数： 运动学参数 例，位移、速度、加速度 动力学参数： 动力学参数 例，力、力矩、应力 其它物理量 例，质量、转动惯量、频率、挠度 物理量： 物理量 非物理量： 例，效率、寿命、成本 非物理量 设计向量： 设计向量：用 X =[x1, x2 , …,x n]T 表示， 是定义在 n 维欧氏空间中的一个向量。
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我们所说的基因遗传算法（简称 GA），系现如今最通用的优化算法之一。 在 现在能够检索的期刊文献内，通过基因遗传算法实施优化分析的论文，优化算法 研究相关的论文里占据了极大比例。GA 系 1975 年由美国学者 Holland 率先提出 的。基因遗传算法模拟生物进化过程，摒弃传统的搜索手段，针对目标空间，其 运用人工进化手段对其实施随机化的搜索。对于问题域内的可能解，GA 将其视 为群体的染色体或者某个个体，并将每一个个体编为符号串模式，进而模拟遗传 选择和自然淘汰的生物进化过程，使群体反复接受以遗传学为基础的操作，评价 每个个体依据的预定目标是适应度函数，根据进化法则——适者生存和优胜 劣汰，群体不断获得优化，并且搜索模式采用全局并行的模式，进而从优化群体 内搜索出最优的个体，从而将可以满足要求的最优解搜索出来。 3.2.3 优化设计手段的选取
（1）确定目标函数
确定评价设计方案优劣的指标是优化设计的重要决策，它直接影响到优化设 计结果的实际价值。
在确定评价指标时，应该对设计问题的任务、设计问题的特点、设计进程的 不同阶段可能达到的标准等进行分析，找到设计问题的主要目标，并以此为依据 确定目标函数。当设计问题中存在几个并重的目标要追求时，应该设立多个目标 函数，该类问题称为多目标优化问题。它比单目标优化更为复杂。 （2）建立目标函数应注意的问题
设计变量从数学意义上讲代表的是一个 维空间 ，每个分量 ������分别代表 n 维 空间的一维。而 X 的任一取值 X’的一个点。而从设计的角度来看，X 是所有可行 设计方案的综合，它构成一个 n 维的设计空间。凡 X 内的任意一点 X’个可行设计 方案。 （2）设计变量的选取
设计变量的选取一般应遵循以下原则： 1）应选取与目标函数有直接或间接联系的，对目标函数有较大影响的变量 作为设计变量。 2）设计变量应该是相互独立的。如果选取不独立的变量作为设计变量，实 际上是令其独立，而丢掉了它们之间的相互关系，优化结果将不符合实际。 3）应尽量选取有实际意义的无因次量作为设计变量。 4）在足以描述设计问题的前提下，应充分分析各设计变量的主次，减少设 计变量的数目，使优化设计问题简化。 （3）设计变量的处理
约束条件是设计变量之间和设计本身应该遵循限制条件。优化设计是根据数 学模型进行相关优化分析的，所以在优化过程当中应该进行分类，可将优化设计 方法分成显限制和隐限制两种，显限制是对优化设计当中设计变量的直接限制， 隐限制是对设计变量之间的间接限制，优化设计的过程就是通过限制因素找出优 秀的设计变量，使目标函数在设计过程当中达到优化值。
因此，在实际的优化设计计算中，使用的是设计变量 ���̅̅������̅���={������������1, ������������2 ⋯ ������������������}������
设计弹簧时，除选择材料及规定热处理要求外，主要是根据最大工作载荷、 最大变形以及结构要求等来确定弹簧的钢丝直径 d、中径 D、工作圈数 n、节距 t 或螺旋升角 α 和高度 H 等。通常取弹簧的钢丝直径 d，弹簧的中径 D，工 作圈数 n 和螺旋升角α为最优化设计的设计变量。 3.1.2 目标函数
弹簧约束条件一般有强度约束、刚度约束、振动稳定性约束及弹簧尺寸约束 等。约束条件可根据弹簧功能的要求和结构限制列出： 1.剪切强度约束条件
8������������ ������������������������ = ������ ������ ������3 式中：������������������������ 为弹簧丝截面上的最大切应力； k 为弹簧的曲度系数。 2.弹簧的疲劳强度约束条件 为了使设计的弹簧满足一定的疲劳强度，这里要求设计的弹簧疲劳安全系 必须大于要求的最小疲劳安全系数，即S ≥ ������������������������ = 1.2。 3.弹簧的共振约束条件 为了防止在工作中产生共振现象，要求设计的弹簧自振频率������ 应该远离工作 频率������������。 4.弹簧的刚度约束条件 弹簧刚度计算就是要求出满足变形量要求的弹簧圈数。弹簧刚度的满足条件
第三章 优化设计的数学模型 3.1 数学模型的变量形式 3.1.1 设计变量
在优化设计过程当中，存在设计变量，设计变量在优化过程当中必须考虑各 项参数和指标，各项指标的确立有利于设计方案的完成。很多的存在形式都是由 一个个变量组成，设计优化形式也不例外，变量的数值影响着工作当中优化的难 度系数。换言之，就是在具体机械优化设计当中，设计变量的数值变大，分析量 加大，机械优化设计难度也就加大，同时效益性也显著提升，因此在设计变量的 选择时应该注意相应的效益性和复杂性。
从理论上讲，在无约束优化设计问题中，设计变量的变化是连续的，变化区 间可以从负无穷到正无穷。但是在工程实际中，设计变量的变化区间是有限制的。 在由设计变量构成的正交轴系中，以各个设计变量的变化区间所界定的空间称为 探索空间，或称为变量空间。
在同一设计问题中，同时参与优选的各设计变量的数值在量级上可能相差十 分悬殊。例如弹性模量和蒙皮厚度。显然，这样的设计变量在寻优过程中如果都 使用真实值，计算误差对数量级小的变量影响会很大，从而造成失真。为了避免 这种情况的发生，通常将设计变量进行变换，即将设计变量的真实值转换为变量 区间的相对值，使各个设计变量的变化范围均在区间内。这种处理称为设计变量 的标准化。设变量������������的变化区间为[������, ������] ，则在优化设计问题中，可以用������������来取 代������������，而������������的变化区间为 [0,1]。
当然，计算机也就归为了数值优化措施工具中最关键的那一类。于此期间内，出
现了许多的优化算法，在这样些优化算法中，正常情况下用常用和效果好的优化
算法包括：可行方向法及罚函数法、随机方向法、简约梯度法、复合形法、 约
束变尺度法等。
20 世纪 80 年代末，如模拟退火，进化规划、混沌、人工神经网络、遗传算 法及禁忌搜索等一些优化方法层出不穷，上述算法经模拟自然现象及规律而获得
对于优化设计，方案是用一组参数来表达的。这些参数中，有些是给定的， 称为已知量。另一些是要在设计中确定的，也就是说要设计的，称为设计变量。 设计变量是能够用来描述结构方案特征的独立变量。 （1）设计变量的表达方式
设计变量通常用������1������2������3⋯������������表示，它们构成一个 n 维的列向量 X，即： X = {������1������2������3⋯������������}������
������
相邻两弹簧丝的间隙，通常取 δ ≥0.1d ， λ为极限行程， 所以有： 1.1d + λ −
n
πD tan α ≤ 0
8.弹簧安装空间的约束
3.2 优化设计方法 3.2.1 优化设计手段的论述
������������������������ − (������ + ������) ≤ 0
机械优化领域的设计灵魂即是优化设计方法，伴随计算机技术及数学科学迅
速段。20 世 纪的 50 年代初，最优化问题的两种最主要的数学方法是，古典的变分法与微分
法。此两种手段具计算精准及概念清晰的主要特征，可是，不足之处是仅限于解
决一些小型或是特殊问题， 于处理大型的实际问题之时，因过大的计算量，无
满足所有约束条件的设计方案是可行设计方案，优化设计的任务就是要对各 个设计方案进行比较，从而找出那个最佳的设计方案。而对设计方案进行优劣比 较的标准就是目标函数，或称为评价指标、评价函数。目标函数是反映机械优化 设计过程当中每一个自变量之间的相互联系，目标函数是机械优化设计当中的一 项重要组成部分，可以直接评定一个优化方案的可行性。变量的多少影响着整个 优化过程的难度系数，我们可以将其区分为单一目标函数和多目标函数优化，我 们在优化设计过程当中常见的是多目标函数。目标函数越多，设计的综合效果越 好，可以带来更高的优化设计效益。多函数目标在处理过程当中很可能遇到目标 函数之间相互矛盾，给优化设计带来一定程度的难度。这就要求设计者设计的同 时注意处理各个函数之间的关系。
所谓无约束化优化设计，也就是无约束函数的优化设计。其设计法包含坐标 轮换法、牛顿法、梯度法、单纯形法、共扼方向法、变尺度法等。在寻找最优活 动中，有无采取到目标函数的性态，系区分于无约束优化设计内的直接、间接法 的标准。此法的优势有稳定性佳以及计算效率高等特征。 2 有约束优化设计法
关于机械优化，大多情况下是指有约束优化问题，根据其解决约束条件时， 使用手段的不同，将其划分成直接法与间接法。(1)直接法，最常用的有约束坐标 轮换法、复合形法及网络法等。它的内涵系构建一迭代过程， 令每一次的迭代 点皆置于可行域内，且一步步的减少目标的函数值，直至找出最优解。(2)间接法， 最为常见的是增广拉式乘子法和罚函数法。它是将约束优化问题转化为无约束优 化问题，然后通过无约束优化手段进行求解。或者是将具有非线性的约束优化问 题转换成为线性的规划问题实施处理。 3 基因遗传算法
5° ≤ α ≤ 9° 6.弹簧的旋绕比的约束
旋绕比 C 是衡量弹簧曲率的重要参数，过大会使弹簧过软产生颤动；过小
又会使弹簧丝卷困难， 4 ≤ C ≤ 14。 即 ： D − 14d ≤ 0 . 4d − D ≤ 0。
7.弹簧行程约束
弹簧应满足极限行程的要求，即p ≥ d + ������ + ������,p = πD tan ������。δ为极限行程时，
1）必须选取设计中最为重要的设计目标作为目标函数。否则，设计将会偏 离目标。
2）目标函数必须是所有设计变量的函数。因为不包含在目标函数内的设计 变量的取值将是任意的，无法评定其优劣。
3）目标函数必须具有一定的灵敏度。既是说，当某一个设计变量变化时， 目标函数应该有较为明显的变化。否则，将难以完成寻优。 （3）多目标问题
优化设计中作为目标函数的项目较多，如要求弹簧在满足工作能力条件下， 质量最轻或外廓尺寸最小；或在一定空间的限制下能储存的能量最大或要求动态 性能最好等。目标函数可根据弹簧的工作特点和对它的专门要求来建立。对于气 门弹簧，本文将弹簧体积（即重量）最小作为最优化设计的目标。 3.1.3 约束条件
（1）确定目标函数
确定评价设计方案优劣的指标是优化设计的重要决策，它直接影响到优化设 计结果的实际价值。
在确定评价指标时，应该对设计问题的任务、设计问题的特点、设计进程的 不同阶段可能达到的标准等进行分析，找到设计问题的主要目标，并以此为依据 确定目标函数。当设计问题中存在几个并重的目标要追求时，应该设立多个目标 函数，该类问题称为多目标优化问题。它比单目标优化更为复杂。 （2）建立目标函数应注意的问题
设计变量从数学意义上讲代表的是一个 维空间 ，每个分量 ������分别代表 n 维 空间的一维。而 X 的任一取值 X’的一个点。而从设计的角度来看，X 是所有可行 设计方案的综合，它构成一个 n 维的设计空间。凡 X 内的任意一点 X’个可行设计 方案。 （2）设计变量的选取
设计变量的选取一般应遵循以下原则： 1）应选取与目标函数有直接或间接联系的，对目标函数有较大影响的变量 作为设计变量。 2）设计变量应该是相互独立的。如果选取不独立的变量作为设计变量，实 际上是令其独立，而丢掉了它们之间的相互关系，优化结果将不符合实际。 3）应尽量选取有实际意义的无因次量作为设计变量。 4）在足以描述设计问题的前提下，应充分分析各设计变量的主次，减少设 计变量的数目，使优化设计问题简化。 （3）设计变量的处理
约束条件是设计变量之间和设计本身应该遵循限制条件。优化设计是根据数 学模型进行相关优化分析的，所以在优化过程当中应该进行分类，可将优化设计 方法分成显限制和隐限制两种，显限制是对优化设计当中设计变量的直接限制， 隐限制是对设计变量之间的间接限制，优化设计的过程就是通过限制因素找出优 秀的设计变量，使目标函数在设计过程当中达到优化值。
因此，在实际的优化设计计算中，使用的是设计变量 ���̅̅������̅���={������������1, ������������2 ⋯ ������������������}������
设计弹簧时，除选择材料及规定热处理要求外，主要是根据最大工作载荷、 最大变形以及结构要求等来确定弹簧的钢丝直径 d、中径 D、工作圈数 n、节距 t 或螺旋升角 α 和高度 H 等。通常取弹簧的钢丝直径 d，弹簧的中径 D，工 作圈数 n 和螺旋升角α为最优化设计的设计变量。 3.1.2 目标函数
弹簧约束条件一般有强度约束、刚度约束、振动稳定性约束及弹簧尺寸约束 等。约束条件可根据弹簧功能的要求和结构限制列出： 1.剪切强度约束条件
8������������ ������������������������ = ������ ������ ������3 式中：������������������������ 为弹簧丝截面上的最大切应力； k 为弹簧的曲度系数。 2.弹簧的疲劳强度约束条件 为了使设计的弹簧满足一定的疲劳强度，这里要求设计的弹簧疲劳安全系 必须大于要求的最小疲劳安全系数，即S ≥ ������������������������ = 1.2。 3.弹簧的共振约束条件 为了防止在工作中产生共振现象，要求设计的弹簧自振频率������ 应该远离工作 频率������������。 4.弹簧的刚度约束条件 弹簧刚度计算就是要求出满足变形量要求的弹簧圈数。弹簧刚度的满足条件
第三章 优化设计的数学模型 3.1 数学模型的变量形式 3.1.1 设计变量
在优化设计过程当中，存在设计变量，设计变量在优化过程当中必须考虑各 项参数和指标，各项指标的确立有利于设计方案的完成。很多的存在形式都是由 一个个变量组成，设计优化形式也不例外，变量的数值影响着工作当中优化的难 度系数。换言之，就是在具体机械优化设计当中，设计变量的数值变大，分析量 加大，机械优化设计难度也就加大，同时效益性也显著提升，因此在设计变量的 选择时应该注意相应的效益性和复杂性。
从理论上讲，在无约束优化设计问题中，设计变量的变化是连续的，变化区 间可以从负无穷到正无穷。但是在工程实际中，设计变量的变化区间是有限制的。 在由设计变量构成的正交轴系中，以各个设计变量的变化区间所界定的空间称为 探索空间，或称为变量空间。
在同一设计问题中，同时参与优选的各设计变量的数值在量级上可能相差十 分悬殊。例如弹性模量和蒙皮厚度。显然，这样的设计变量在寻优过程中如果都 使用真实值，计算误差对数量级小的变量影响会很大，从而造成失真。为了避免 这种情况的发生，通常将设计变量进行变换，即将设计变量的真实值转换为变量 区间的相对值，使各个设计变量的变化范围均在区间内。这种处理称为设计变量 的标准化。设变量������������的变化区间为[������, ������] ，则在优化设计问题中，可以用������������来取 代������������，而������������的变化区间为 [0,1]。
当然，计算机也就归为了数值优化措施工具中最关键的那一类。于此期间内，出
现了许多的优化算法，在这样些优化算法中，正常情况下用常用和效果好的优化
算法包括：可行方向法及罚函数法、随机方向法、简约梯度法、复合形法、 约
束变尺度法等。
20 世纪 80 年代末，如模拟退火，进化规划、混沌、人工神经网络、遗传算 法及禁忌搜索等一些优化方法层出不穷，上述算法经模拟自然现象及规律而获得
对于优化设计，方案是用一组参数来表达的。这些参数中，有些是给定的， 称为已知量。另一些是要在设计中确定的，也就是说要设计的，称为设计变量。 设计变量是能够用来描述结构方案特征的独立变量。 （1）设计变量的表达方式
设计变量通常用������1������2������3⋯������������表示，它们构成一个 n 维的列向量 X，即： X = {������1������2������3⋯������������}������
������
相邻两弹簧丝的间隙，通常取 δ ≥0.1d ， λ为极限行程， 所以有： 1.1d + λ −
n
πD tan α ≤ 0
8.弹簧安装空间的约束
3.2 优化设计方法 3.2.1 优化设计手段的论述
������������������������ − (������ + ������) ≤ 0
机械优化领域的设计灵魂即是优化设计方法，伴随计算机技术及数学科学迅
速段。20 世 纪的 50 年代初，最优化问题的两种最主要的数学方法是，古典的变分法与微分
法。此两种手段具计算精准及概念清晰的主要特征，可是，不足之处是仅限于解
决一些小型或是特殊问题， 于处理大型的实际问题之时，因过大的计算量，无
满足所有约束条件的设计方案是可行设计方案，优化设计的任务就是要对各 个设计方案进行比较，从而找出那个最佳的设计方案。而对设计方案进行优劣比 较的标准就是目标函数，或称为评价指标、评价函数。目标函数是反映机械优化 设计过程当中每一个自变量之间的相互联系，目标函数是机械优化设计当中的一 项重要组成部分，可以直接评定一个优化方案的可行性。变量的多少影响着整个 优化过程的难度系数，我们可以将其区分为单一目标函数和多目标函数优化，我 们在优化设计过程当中常见的是多目标函数。目标函数越多，设计的综合效果越 好，可以带来更高的优化设计效益。多函数目标在处理过程当中很可能遇到目标 函数之间相互矛盾，给优化设计带来一定程度的难度。这就要求设计者设计的同 时注意处理各个函数之间的关系。
所谓无约束化优化设计，也就是无约束函数的优化设计。其设计法包含坐标 轮换法、牛顿法、梯度法、单纯形法、共扼方向法、变尺度法等。在寻找最优活 动中，有无采取到目标函数的性态，系区分于无约束优化设计内的直接、间接法 的标准。此法的优势有稳定性佳以及计算效率高等特征。 2 有约束优化设计法
关于机械优化，大多情况下是指有约束优化问题，根据其解决约束条件时， 使用手段的不同，将其划分成直接法与间接法。(1)直接法，最常用的有约束坐标 轮换法、复合形法及网络法等。它的内涵系构建一迭代过程， 令每一次的迭代 点皆置于可行域内，且一步步的减少目标的函数值，直至找出最优解。(2)间接法， 最为常见的是增广拉式乘子法和罚函数法。它是将约束优化问题转化为无约束优 化问题，然后通过无约束优化手段进行求解。或者是将具有非线性的约束优化问 题转换成为线性的规划问题实施处理。 3 基因遗传算法
5° ≤ α ≤ 9° 6.弹簧的旋绕比的约束
旋绕比 C 是衡量弹簧曲率的重要参数，过大会使弹簧过软产生颤动；过小
又会使弹簧丝卷困难， 4 ≤ C ≤ 14。 即 ： D − 14d ≤ 0 . 4d − D ≤ 0。
7.弹簧行程约束
弹簧应满足极限行程的要求，即p ≥ d + ������ + ������,p = πD tan ������。δ为极限行程时，
1）必须选取设计中最为重要的设计目标作为目标函数。否则，设计将会偏 离目标。
2）目标函数必须是所有设计变量的函数。因为不包含在目标函数内的设计 变量的取值将是任意的，无法评定其优劣。
3）目标函数必须具有一定的灵敏度。既是说，当某一个设计变量变化时， 目标函数应该有较为明显的变化。否则，将难以完成寻优。 （3）多目标问题
优化设计中作为目标函数的项目较多，如要求弹簧在满足工作能力条件下， 质量最轻或外廓尺寸最小；或在一定空间的限制下能储存的能量最大或要求动态 性能最好等。目标函数可根据弹簧的工作特点和对它的专门要求来建立。对于气 门弹簧，本文将弹簧体积（即重量）最小作为最优化设计的目标。 3.1.3 约束条件