反常积分审敛法判定
同济高等数学第六版-D5_5反常积分审敛法
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
2) 当 p1,0l 时af(x)dx发散 .
证: 1) 当p1时, 根据极限定义, 对取定的 0,当 x 充
分大时, 必有 xpf(x)l, 即
0
f
(x)
M xp
2) 当 q1,0l 时,abf(x)dx发散 .
例5. 判别反常积分 13ldnxx的敛散性 .
解: 此处 x1为瑕,利点 用洛必达法则得
lim(x1) 1 lim 1 1
x1
lnx
x 1
1 x
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
(M l)
可见 af(x)dx收敛 ;
目录 上页 下页 返回 结束
2) 当p1时,可取 0,使 l0,(l 时用任意
数 N代l替 ),必有
xpf(x)l
即
f
(x)
l
xp
N x
(Nl)
可见 af(x)dx发散 .
注意: xl im xpf(x)xl im f(1x) 此极限的大小刻画了
1 3 x4
1
4
x3
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题:
讨论反常积分
13
1 dx x3 1
的收敛性
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节* 反常积分的审敛法 函数
二、无界函数的反常积分的审敛法
第五节* 反常积分的审敛法 函数
由上节
当
例6 证明知反，常反积常分积分b
q
1
时发散b .
a(
x
dx a)q
a
,
(
x
dx a)
q
当 0< q <1 时收敛
当 0< q <1证时明收敛当，当q =q1时1 ，时发散. 于是有下面两个
b
f (x)dx 发散.
a
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理7(极限审敛法2) 设函数 f (x) 在区间(a , b] 上
连续，且 f (x) 0，x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 0 < q < 1，使得 lim (x a)q f (x) xa
连续，且 f (x) 0 , x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 M > 0 及 q < 1，使得
f
(x)
(x
M a)q
(a x b) ,
则反常积分 b f (x)dx 收敛；
a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得 f (x)
N
(a x b) ,
xa
则反常积分
aa
gg
((
xx))ddxx
收收敛敛，，则则
aa
gg
((
xx))ddxx
发发散散，，则则
证明
设 0< t < +，由 0 g (x) f (x) 及
g ( x)dx
a
收敛，得
t
t
反常积分审敛法-精品文档
则
a
f ( x)dx 收 敛 ；
x
如 果limxf ( x) d 0 (或 limxf ( x) ), 则
x
af ( x)dx 发Fra bibliotek散 ．
证明
dx 的收敛性 . 例２ 判别反常积分 2 1 x1 x 1 2 解 lim x 1 , p21 2 x x1 x
F (x )在 [a , )上是单调增加的 .
F (x ) 在 [ a , ) 上有上界
lim F (x ) 存在 （极限的存在准则）
x x
即 lim 存在 f(t)dt
x a
收敛 f(x)dx
a
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f(x ) dx 发散 a 1 特别地，取 g( x ) p ，即得下面的 x
网络课件 教学设计 多媒 比较审敛法. 程序设计体课件 PPT文档
定理 3 (比较审敛法１ ) 设函数 f ( x) 在区间 [a, ) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 M 0 及 p 1 ，使得
arctan x 例４ 判 别 反 常积 dx 分 的收 . 敛性 1 x arctan x x lim arctan x 解 lim 0 x x x 2
定理 2 ( 比较审敛原 ) 理 设函数 f (x)、 g(x) 在 区 间 [a, )上 连 续 、 非 , 负
如果 f (x) g(x),(a x ),并 且 a g(x)dx收 敛 ， 则a f (x)dx也 收 敛 ； 如 f( 果 x) g(x),(a x ), 并且 则 f (x)dx也 发 散 . a g(x)dx发 散 ， a
反常积分判敛的三种方法
反常积分判敛的三种方法反常积分在数学中有着重要的地位，但有的反常积分发散，有的反常积分收敛。
那么，如何判断反常积分是否收敛呢？本文介绍三种判断反常积分是否收敛的方法。
一、比较判别法比较判别法是判断反常积分是否收敛的基本方法之一。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若存在一个正函数 $g(x)$，使得当 $x \geq a$ 时有 $f(x) \leq g(x)$，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 收敛，则原积分收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 发散，则原积分也发散。
同理，对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，只需将“$x \geq a$” 替换为“$x \leq a$”，“$\leq$” 替换为“$\geq$” 即可。
二、极限判别法极限判别法是另一种判断反常积分是否收敛的方法。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若极限 $\lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = A$ 存在且有限，则积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则积分发散。
对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，则需将“$x \rightarrow +\infty$” 替换为“$x \rightarrow -\infty$”。
三、绝对收敛判别法绝对收敛判别法是在比较判别法的基础上引出的判定方法。
对于形如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 收敛，则原积分绝对收敛；反之，若 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 发散，则原积分发散。
55反常积分审敛法
则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t a
f (x) dx 是 t 的单调递增有上界函数,
因此
《高 等 数 学》
t
lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(x)
M xp
p 1,
*第五节
《高 等 数 学》 第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
《高 等 数 学》
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分
a
f
(x) d x收敛 .
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在,
即反常积分
a
f (x) d x收敛 .
《高 等 数 学》
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C [a , ), 且对充
分大的 x 有 0 f (x) g(x), 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性,
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理7. (极限审敛法2)
5.5 反常积分的审敛法
3 2
根据极限审敛法 , 该积分发散 .
5.5 反常积分的审敛法
函数
二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分 . 由定义 例如
1 令 x a , 则有 t b f ( x) d x lim
a
f ( x) d x a f ( x) d x lim 0 a
函数
这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,
5.5 反常积分的审敛法 四、内容小结
函数
1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 .
2. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 可通过 分项使每一项只含一种类型的反常积分, 只有 各项都收敛时, 才可保证给定的积分收敛 . 3. 函数的定义及性质 .
根据极限审敛法, 椭圆积分收敛 .
5.5 反常积分的审敛法
函数
三、 函数
1. 定义5.4 函数
( s )
s 1 x x e 0
d x ( s 0)
下面证明这个特殊函数在 s 0 内收敛 .令
I1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1) 讨论 I1 . 当s 1时, I1 是定积分 ; 1 1 1 s 1 x 当0 s 1时, x e 1 s x 1 s x e x 而1 s 1, 根据比较审敛法知 I1 收敛 .
函数
的敛散性 .
解
由比较审敛法可知原积分收敛 .
5.5 反常积分的审敛法 例2 判别反常积分
函数
1
1
dx x 1 x2
2
的敛散性 .
解
lim x
x
2
x 1 x
两种反常积分敛散性的判别方法
两种反常积分敛散性的判别方法反常积分是指在规定的区间上，被积函数无界，或者积分区间为无穷区间的情况下，计算积分时出现的问题。
判断反常积分的收敛性或发散性是数学分析中的一项重要内容。
下面将介绍两种常见的反常积分的收敛性判别方法。
一、比较判别法比较判别法是反常积分判别方法中最常用的一种方法。
主要思想是通过比较待求反常积分与已知收敛或发散的积分之间的大小关系来判断待求反常积分的收敛性或发散性。
1.比较判别法之比较审敛准则a.比较审敛准则：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一点x0附近有f(x)≤g(x)，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
b.比较审敛准则的推广：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一区间上有f(x)≤g(x)，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
2.比较判别法之极限审敛准则a. 极限审敛准则：若在其中一点x0附近，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
b. 极限审敛准则的推广：若在其中一区间上，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
比较判别法的优点是简单易用，但需要找到合适的比较函数，有时可能比较困难。
二、绝对收敛性判别法绝对收敛性判别法是反常积分收敛性判别方法中的另一种重要方法。
主要思想是通过研究被积函数的绝对值函数的收敛性来判断原函数的收敛性。
1. 绝对收敛性判别法之Dirichlet判别法a. Dirichlet判别法：若被积函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：i.f(x)在[a,b]上的每个有限区间上是单调函数；ii. f(x)在[a,b]上仅有有限个间断点则f(x)的反常积分在区间[a,b]上绝对收敛。
5.5 反常积分的审敛法 Γ函数
0
e− d = 1.
0
Γ( + 1) = Γ() = ( − 1)Γ( − 1)
= ⋯ = ! Γ(1) = !.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
定积分
第五章
(2) 当 → 0+ 时, Γ() → +∞.
证
Γ( + 1)
∵ Γ() =
, Γ(1) = 1
且可证明Γ()在 > 0连续,
+∞
+1
0≤()≤ , 于是 න d收敛;
（2）当 ≤1时, 可取 > 0, 使 − = > 0, ( = +∞时, ∀ > 0)
当充分大时, 由①式或②式都可得
+∞
() > , 于是 න d发散.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
+∞
因 e− sin ≤e− , 而 න
+∞
න
e− d 收敛, 根据比较审敛原理知
0
e− sin d 收敛, 故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛) .
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五章
定积分
二、无界函数的反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如
不失一般性, 设 ∈ [, +∞)时, 0≤ ≤g ().
+∞
(1)若 න
g ()d收敛, 则对 > 有
න ()d ≤ න g ()d ≤ න
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若 f ( x)dx 发散 , 则称 f ( x)d x条件收敛.
a
a
绝对收敛的无穷积分 f ( x)dx 必定收敛． a
2009年01月05日
南京航空航天大学 理学院 数学系
16
定理4 如果 f ( x) dx 收敛 f ( x)dx 也收敛．
3
5.1 无穷积分
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
b a
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx-a源自- a f (x)dx
lim
b
f ( x)dx
-
a- a
b
当极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在
时，称无穷积分发散.
例８. 判别瑕积分
的敛散性 .
解: 此处
x 0为瑕点
,因
lim
1
x4
ln
x
0
,故对充分小
x0
的x
,有
1
x 4 ln x
1 ,从而
1
ln x
x
x 4 ln x
3
x4
1
3
x4
据比较法2, 所给积分绝对收敛 .
2009年01月05日
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24
5.５ -函数与B-函数
第3章 一元函数积分学及其应用
第1节 定积分的概念，存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程
2009年01月05日
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1
第5节 反常（广义）积分
定积分
积分限有限 被积函数有界
例１ 判别无穷积分 dx 的收敛性.
1 3 x4 1
解
0
3
1 x4 1
3
1 x4
1 x4/3 ,
p 4 1, 3
根据定理１， 无穷积分 dx 收敛.
2009年01月05日
x 1 1 3 4
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10
例２
判别无穷积分的收敛性:
1 1 1 - x -1
Q e x , I 收敛. 1- x
1-
1
x e x 2009年01月05日
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25
设
I1
1 e- x x -1dx,
0
I2
e- x x -1dx,
1
(1) 当 1 时, I1 是定积分; 当 0 1 时,
推广
5.1 无穷积分 广义积分 5.2 瑕积分
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2
第5节 反常积分 5.1 无穷积分-无穷区间上积分 5.2 瑕积分-无界函数的积分 5.3 无穷区间上积分的审敛准则
5.4 无界函数积分的审敛准则
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13
例４
讨论无穷积分
2
1 xk ln x dx
(k 0)的收敛性.
解 当k 1时, 1 dx 发散；
2 x ln x
当k
1时,Q
1 xk ln x
1 (x x ln x
2)
2
xk
1 ln
x
dx
发散；
当k
1时,Q
1 xk ln x
/
1 xk
0
(x )
(1) e- x2 dx; 1
Q e-x2 e-x
( x 1)
e x
(2) 1
x3 dx.
ex
Q lim x
x3
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11
定理2 (比较判别法的极限形式)
设函数 f ( x)、g( x) 在任何区间[a, b]上可积，
（1） 1
sin x x2 dx,
1
cos x2
x
dx绝对收敛；
（2）
sin
x dx
条件收敛.
1x
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17
5.4 无界函数积分的审敛准则
瑕积分可转化为无穷积分. 例如
由定义
b f ( x)dx lim b f ( x)dx
2
xk
1 ln
x
dx
收敛.
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15
２．绝对收敛与条件收敛
定义 设无穷区间上的积分 f ( x)d x收敛 , a
若 f ( x)dx 收敛 , 则称 f ( x)d x绝对收敛；
a
a
也称 f ( x)在无穷区间[a,)上绝对可积；
f ( x)dx 发散，则
g( x)dx
也发散．
a
a
证明 设 a b ，由 0 f ( x) g( x)及
g( x)dx
a
收敛，得
b
b
f ( x)dx g( x)dx g( x)dx.
a
a
a
即 F (b) b f ( x)dx 在 [a,) 上有上界． a
任何区间[a , b] (0 b - a)上可积，
如果 0 f ( x) g( x) (a x b), 那么
若
b
g( x)dx
收敛，则
b f ( x)dx也收敛；
a
a
若 b f ( x)dx发散，则
b
g( x)dx
也发散．
a
a
2009年01月05日
由引理知
f
(
x
)dx
收敛．
a
2009年01月05日
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9
如果
f ( x)dx发散,则
g( x)dx
必定发散.
a
a
0 f ( x) g( x).
Q 如果
g( x)dx
收敛，由第一部分知
a
f ( x)dx 也收，这与假设矛盾． a
5
5.2 瑕积分
b f ( x)dx lim b f ( x)dx
a
00 a
b
b-
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
00 a
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
c-
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
发散.
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7
5.3 无穷区间上积分的审敛准则 １．非负被积函数的判别法
引理 设函数 f ( x) 在区间 [a,b] 上可积，
且
f ( x) 0．若函数 F ( x)
x
f (t)dt
a
在 [a, ) 上有界，则广义积分 f ( x)dx 收敛． a
设函数 f ( x)、g( x) 在任何区间[a , b] (0 b - a)上可积，且当a x b时，
f ( x)，g( x) 0 . 如果 lim f ( x) l， xa0 g( x)
则(1)当 0 l 时，两瑕积分有相同的收敛性；
(2)当
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19
sin2 1
例６ 判别瑕积分 1 x dx 的收敛性. 0x
解
sin2 1
Q x
1
,而
1 dx 收敛，
x
x
０x
sin2 1
根据比较判别法, 1 x dx 收敛， 0x
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20
定理6 (比较判别法的极限形式)
a
a
证 0 ( f ( x) f ( x) ) 2 f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
( f (x)
f ( x) )dx
也收敛.
a
故
f ( x)dx
[( f ( x)
f (x) ) -
f ( x) ]dx 收敛.
a
a
例５ 判别无穷积分的收敛性：
l0
时，若
b
a g( x)dx
收敛，则
b
f ( x)dx
a
收敛；
(3)当 l 时，若
b g( x)dx
发散，则
b
f ( x)dx
a
a
发散．
在定理６中若选择 法．
g(
x)
(x
1 - a)p
则有Cauchy判别
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21
定理7(Cauchy判别法) 设函数f ( x) 0，x [a , b]， 且在任意区间[a , b](0 b - a)上可积，如果
a
a
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12
例３ 判别无穷积分的收敛性：