初二数学-直角三角形练习题
一．选择题（共5小题）
1．已知下列语句：
（1）有两个锐角相等的直角三角形全等；
（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；
（3）三个角对应相等的两个三角形全等；
（4）两个直角三角形全等．
其中正确语句的个数为（）
~
A．0 B．1 C．2 D．3
2．对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，
则DE的长是（）
A．8 B．5 C．3 D．2
4．如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）
A．10 B．6 C．8 D．5
】
5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（）
A．21 B．18 C．13 D．15
二．填空题（共10小题）
6．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC=4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ 全等时，AQ=cm．
7．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动秒时，△DEB与△BCA 全等．
·
8．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：
①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；
③AB=CE；④AD﹣BE=DE．
正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为．
>
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边上的高，点P 为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为．
11．如图，在直角△ABC中，已知∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，则AC的长是cm．
12．如图，在△ABC中，AD为∠CAB平分线，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15°，AF=2，则BF=．
13．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于．
《
14．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．
15．如图，在△ABC中，AB=AC=7，BC=5，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB 的中点，则△DEF的周长是．
三．解答题（共11小题）
16．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
<
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？
若是请给出证明；若不是，请说明理由．
17．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．
18．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
—
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
19．如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BE平分∠ABC，AC=9cm，求CE的长．
20．如图所示，AB=AC，∠A=120°，点E在AB边上，EF垂直平分AB，交BC于F，EG⊥BC，垂足为G，若GF=4，求CF的长．
21．已知∠MAN，AC平分∠MAN．
|
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
22．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=12厘米，AB的值是等式x3﹣1=215中的x 的值．点P从点A开始沿AB边向B点以1.5厘米∕秒的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向C点以2厘米∕秒的速度移动．
①求AB的长度﹙厘米﹚．
②如果P、Q分别从A、B两点同时出发，问几秒钟后，△PBQ是等腰三角形并求出此时这个三角形的面积．
23．已知：如图，∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，点F在AD上，BE=EC，AF=FD．求证：EF⊥AD．
;
24．如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；
（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
25．如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF．
（1）求证：BE⊥AC；
·
（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等
腰三角形．请求出所有BP的值．
。
2017年02月16日精锐教育4的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2016秋?东宝区校级期中）已知下列语句：
（1）有两个锐角相等的直角三角形全等；
（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；
（3）三个角对应相等的两个三角形全等；
】
（4）两个直角三角形全等．
其中正确语句的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据全等三角形的判定定理HL、SAS、AAS、ASA分别进行分析即可．【解答】解：（1）有两个锐角相等的直角三角形全等，说法错误；
（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等，说法错误；
（3）三个角对应相等的两个三角形全等，说法错误；
（4）两个直角三角形全等，说法错误．
:
故选：A．
【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握三角形全等的判定定理．
2．（2015秋?武汉校级期中）对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择即可．
【解答】解：①两条直角边对应相等，根据“SAS”，正确；
②斜边和一锐角对应相等，根据“AAS”，正确；
"
③斜边和一直角边对应相等，根据“HL”，正确；
④直角边和一锐角对应相等，根据“ASA”或“AAS”，正确；
故选D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定定理，除HL外，一般三角形的全等有四种方法，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
3．（2014春?栖霞市期末）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于
D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（）
A．8 B．5 C．3 D．2
【分析】根据已知条件，观察图形得∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，然后证△AEC≌△CDB后求解．
}
【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，
∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，
∴∠CAE=∠BCD，
又∵∠AEC=∠CDB=90°，AC=BC，
∴△AEC≌△CDB．
∴CE=BD=2，CD=AE=5，
∴ED=CD﹣CE=5﹣2=3（cm）．
故选C．
<
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，是解题的关键．
4．（2016春?罗湖区期末）如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）
A．10 B．6 C．8 D．5
【分析】由等腰三角形的性质证得BD=DC，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论．
【解答】解：∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，
∴BD=DC，
—
∵E为AC的中点，
∴DE=AB=×10=5，
故选D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线是解决问题的关键．
5．（2016秋?苏州期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F 为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（）
A．21 B．18 C．13 D．15
[
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF、EF，再根据三角形的周长的定义解答．
【解答】解：∵CD⊥AB，F为BC的中点，
∴DF=BC=×8=4，
∵BE⊥AC，F为BC的中点，
∴EF=BC=×8=4，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=5+4+4=13．
故选C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
>
二．填空题（共10小题）
6．（2016秋?瑞安市校级期中）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A 的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC=4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ=cm．
【分析】根据直角三角形的全等的判定解答即可．
【解答】解：要使△AFC与△ABQ全等，
则应满足，
∵AQ：AB=3：4，AQ=AP，PC=4cm，
$
∴AQ=．
故答案为：．
【点评】此题考查直角三角形的全等问题，关键是根据SAS证明三角形的全等．
7．（2015秋?沛县校级月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D 为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动0，2，6，8秒时，△DEB与△BCA全等．
【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AC=BE进行计算即可．
【解答】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，
@
∵AC=4，
∴BE=4，
∴AE=8﹣4=4，
∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；
②当E在BN上，AC=BE时，
∵AC=4，
∴BE=4，
：
∴AE=8+4=12，
∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；
③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，
AE=8+8=16，
【
点E的运动时间为16÷2=8（秒），
故答案为：0，2，6，8．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．（2009秋?大港区期末）如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：
①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；
③AB=CE；④AD﹣BE=DE．
；
正确的是①②④（将你认为正确的答案序号都写上）．
【分析】首先由△AEF与△ADF中分别有两个直角及对顶角得到①是正确的，利用等腰三角形的性质及其它条件，证明△CEB≌△ADC，则其他结论易求，而无法证明③是正确的．
【解答】解：∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD
∴①∠ABE=∠BAD 正确
∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°
∴∠1=∠CAD
又∠E=∠ADC=90°，AC=BC
|
∴②△CEB≌△ADC 正确
∴CE=AD，BE=CD
∴④AD﹣BE=DE．正确
而③不能证明，
故答案为①、②、④．
故填①、②、④．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及等腰三角形的判定与性质；要充分利用全等三角形的性质来找到结论，利用相等线段的等量代换是正确解答本题的关键；
$
9．（2016?黔南州）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED 交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为6．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
…
∴∠CAD=30°，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
！
10．（2016?贵阳模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为4或6．
【分析】根据直角三角形的性质得到∠ACD=∠ABC=30°，根据含30°的角的直角三角形的性质得到AD=AC=，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴AD⊥AB，
∴∠ACD=∠ABC=30°，
∴AC=BC=2，
`
∴AD=AC=，
①当AP=AB=4时，
∴PD==3，
∵BD=BC=3，
∴PB==6，
②当PB=AB=4，
综上所述：PB=4或6．
故答案为：4或6．
{
【点评】本题考查了含30°的角的直角三角形的性质，勾股定理等腰三角形的性质，熟练掌握含30°的角的直角三角形的性质是解题的关键．
11．（2016秋?罗庄区期末）如图，在直角△ABC中，已知∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，则AC的长是9 cm．
【分析】利用垂直平分线的性质可得AD=BD，根据含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC的长．
【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点E，BD=18cm，
∴AD=BD=18cm，
'
∵在直角△ABC中，已知∠ACB=90°，∠ADC=30°，
∴AC=AD=9cm．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质和含30°直角三角形的性质，综合运用各性质定理是解答此题的关键．
12．（2016秋?江阴市期中）如图，在△ABC中，AD为∠CAB平分线，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15°，AF=2，则BF=6．
【分析】先由垂直的定义及三角形内角和定理得出∠BDA=75°，根据三角形外角的性质得出∠DAC=60°，再由角平分线定义求得∠BAD=60°，则∠FEA=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到EF=2，再求出∠FBE=30°，进而得出BF=EF=6．
(
【解答】解：∠DBE=15°，∠BED=90°，
∴∠BDA=75°，
∵∠BDA=∠DAC+∠C，而∠C=15°，
∴∠DAC=60°，
∵AD为∠CAB平分线，
∴∠BAD=∠DAC=60°，
∵EF⊥AB于F，
∴∠FEA=30°，
》
∵AF=2，
∴EF=2，
∵∠FEB=60°，
∴∠FBE=30°，
∴BF=EF=6．
故答案为6．
【点评】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，综合性较强，难度适中．
"
13．（2016春?绍兴校级期中）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于4．
【分析】延长BA、CD交于E，求出∠E，求出DE、CE长，在Rt△CBE中，求出BC，在Rt△CBD中，根据勾股定理求出BD即可．
【解答】解：
延长BA、CD交于E，
∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠E=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴DE=2AD=8，
;
∴CE=10+8=18，
∵tan∠ABC=，
∴tan60°=，
BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD===4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中．
!
14．（2016?郑州校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为+1．
【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∵∠MON=90°，AB=2，
∴OE=AE=AB=1，
∵BC=1，四边形ABCD是矩形，
[
∴AD=BC=1，
∴DE===，