高中圆与直线练习题及答案
(完整版)直线和圆基础习题和经典习题加答案
【知识网络】综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力.【典型例题】［例1］( 1)直线x+ y=1与圆X2+ y2—2ay=0(a>0)没有公共点，贝V a的取值范围是()A. (0, 2 —1) B . ( 2 —1, 2 + 1)C. (—2 —1 , 2 —1)D. (0, 2 +1(2)圆(x —1)2+ (y +•, 3 )2=1的切线方程中有一个是()A. x—y=0B. x + y=0C. x=0 D . y=0(3)a=b”是直线y x 2与圆(x a)2(y b)22相切”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D •既不充分又不必要条件(4)已知直线5x + 12y + a=0与圆x2+ y2—2x=0相切，则a的值为 ___________ .(5)过点(1, ,2 )的直线I将圆(x —2)2+ y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线I的斜率k= ___________ .［例2］设圆上点A (2, 3)关于直线x+ 2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x —y+ 1=0相交的弦长为2 2 ,求圆的方程.［例3］已知直角坐标平面上点Q (2, 0)和圆C: x2+ y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ| 的比等于入(心0).求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.［例4］已知与曲线C: x2+ y2—2x —2y +仁0相切的直线I叫x轴，y轴于A , B两点, |OA|=a,|OB|=b(a > 2,b > 2).(1) 求证：(a—2)(b —2)=2 ;(2) 求线段AB中点的轨迹方程；(3 )求厶AOB面积的最小值.【课内练习】51 .过坐标原点且与圆x2+ y2—4x + 2y +2 =0相切的直线的方程为()2. 圆(x — 2)2 + y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A . (x + 2)2+ y 2=5B . x 2 + (y — 2)2=5C . (x — 2)2+ (y — 2)2=5D . x 2 + (y + 2)2=53.对曲线凶一|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是()A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于原点轴对称D .关于y=x 轴对称4. 直线11: y=kx + 1与圆x 2 + y 2+ kx — y — 4=0的两个交点关于直线 I 2： y + x=0对称，那么这两个交点中有一个是()A . (1, 2)B . (— 1, 2)C . (— 3, 2)D . (2, — 3)5. ____________________________________________________________________________ 若直线y=kx + 2与圆(x — 2)2 + (y 一 3)2=1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ________________6.已知直线ax + by + c = 0与圆O : x 2 + y2= 1相交于A 、B 两点，且|AB| = ■.. 3 ,则OA OB7. ___________________________________________________________ 直线11： y= — 2x + 4关于点M (2, 3)的对称直线方程是 _____________________________________ . & 求直线11： x + y — 4=0关于直线1: 4y + 3x —仁0对称的直线|2的方程.9.已知圆 C : x 2 + y 2 + 2x — 4y + 3=0(1) 若C 的切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；(2) 从圆C 外一点P (X 1,y 1)向圆引一条切线，切点为 M , O 为原点，且有|PM|=|PO|,求 使|PM|最小的P 点的坐标.10 .由动点P 引圆x 2 + y 2=10的两条切线PA , PB ，直线PA , PB 的斜率分别为k 1,k 2 . (1)若k 1+ k 2+ k 1k 2=— 1,求动点P 的轨迹方程；(2)若点P 在直线x + y=m 上，且PA 丄PB ,求实数m 的取值范围.1y= — 3x 或 y=3 x 1B . y=3x 或 y= — § x、 1 y= — 3x 或 y= — 3 x 、 1D . y=3x 或 y=3 x11 . 5直线与圆的综合应用1. 设直线过点(0, a),其斜率为1,且与圆x2+ y2=2相切，则a的值为 ()A. ±,2 B . ± C. i2 2 D . ±42. 将直线2x —y+ X= 0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x —4y=0相切，则实数入的值为A. —3 或7 B . —2 或8 C. 0 或10 D . 1 或113. 从原点向圆x2+ y2—12y+ 27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()A. nB. 2 nC. 4 nD. 6 n1 14. 若三点A (2, 2), B (a,0), C ( 0, b) (a, b均不为0)共线，^U ——的值等于______________ .a b5. 设直线ax—y + 3=0与圆(x —1)2+ (y—2)2=4有两个不同的交点A , B，且弦AB的长为2 3，则a等于_____________ .6. 光线经过点A (1, 7),经直线| : x+ y +仁0反射，反射线经过点B (1, 1).(1 )求入射线所在的方程；(2)求反射点的坐标.7. 在厶ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x—2y +仁0, / A的平分线所在直线方程为y=0,若B点的坐标为(1 , 2)，求点A和点C的坐标.& 过圆O: x2+ y2=4与y轴正半轴的交点A作这个圆的切线I, M为I上任意一点，过M 作圆O的另一条切线，切点为Q,当点M在直线I上移动时，求△ MAQ垂心H的轨迹方程.B组1. 已知两定点A (—2, 0), B (1 , 0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A. n B . 4 n C . 8 n D . 9 n2•和x轴相切，且与圆x2+ y2=i外切的圆的圆心的轨迹方程是()A. x2=2y + 1 B . x2= —2y + 1 C. x2=2y —1 D. x2=2|y| + 13.设直线的方程是Ax By 0,从1, 2, 3, 4, 5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是A . 20B . 1918D . 1624.设直线2x 3y 1 0和圆x2x 3 0相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 _____5. 已知圆M : A .对任意实数B .对任意实数C .对任意实数D .对任意实数 其中真命题的代号是 6. 已知点A , B 的坐标为(一3 , 0), (3 , 0), C 为线段AB 上的任意一点，P , Q 是分别 以AC , BC 为直径的两圆01 , O 2的外公切线的切点，求 PQ 中点的轨迹方程. 7.已知△ ABC 的顶点A (— 1, — 4),且/ B 和/ C 的平分线分别为I BT : y +仁0,I CK :X + y +仁0,求BC 边所在直线的方程.&设a,b,c,都是整数，过圆x 2 + y 2= (3a + 1)2外一点P (b 3 — b,c 3— c)向圆引两条切线，试证 明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点(纵横坐标均为整数的点)(x + cos e 2) (y — sin 02=1, k 和e 直线l 和圆M 都相切； k 和e 直线l 和圆M有公共点； e ,必存在实数k ,使得直线I 和圆M 相切; k ,必存在实数 e,使得直线I 和圆M 相切. 写出所有真命题的代号)直线I : y=kx ，下面四个命题 11. 5直线与圆的综合应用【典型例题】 例1(1) A .提示：用点到直线的距离公式.(2) C .提示：依据圆心和半径判断. (3) A .提示：将直线与圆相切转化成关于ab 的等量关系.(4) — 18或&提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况. (5)石-.提示：过圆心(2 , 0)与点(1, ,2 )的直线m 的斜率是—2 ,要使劣弧所 对圆心角最小，只需直线 I 与直线m 垂直.例2、设圆的方程为(x — a)2 + (y — b)2=r 2，点A (2 , 3)关于直线x + 2y=0的对称点仍在圆 上,说明圆心在直线 x + 2y=0上,a + 2b=0 ,又(2— a)2 + (3 — b)2=r 2，而圆与直线x — y + 1=0 相交的弦长为2 .2 ,,故r 2— ()2=2,依据上述方程解得：b 1= — 3 a 1=6 或r 12=52b 2=— 7 a 2=14 r 22=244•••所求圆的方程为(x — 6)2 + (y + 3)2=52,或(x — 14)2+ (y + 7)2=224. 例 3、设切点为 N ,则 |MN|2=|MO|2 — |ON|2=|MO|2 — 1 ,设 M ( x,y),则y 2 1 J (x 2)2y 2,整理得(於一1) (x 2+ y 2) — 4 入 X (1 + 4 心=05 当入=1时，表示直线x=5;当入工时，方程化为（x 二 ）2 21坨，它表示圆心在（罕,。
直线与圆的位置关系练习题及参考答案
直线与圆的位置关系练习题及参考答案一、选择题1. 在平面上，已知点A(4,-2)，圆心O(1,3)，半径R=5. 则点A与圆的位置关系是：A. A在圆内B. A在圆上C. A在圆外答案： A. A在圆内2. 已知直线L的方程为2x - 3y = 6，圆C的方程为x^2 + y^2 = 25.则直线L与圆C的位置关系是：A. 直线L与圆C相切B. 直线L与圆C相交于两点C. 直线L与圆C不相交答案： B. 直线L与圆C相交于两点3. 在平面上，已知两个圆C1与C2，圆C1的半径为3，圆心坐标为(1,1)，圆C2的半径为2，圆心坐标为(-2,-3). 则两个圆的位置关系是：A. 两个圆相交于两点B. 两个圆内切C. 两个圆相离答案： C. 两个圆相离二、填空题1. 已知圆C的半径为2，圆心坐标为(3,5). 则圆心到原点的距离是______.答案： sqrt(3^2 + 5^2) = sqrt(34)2. 在平面上，已知直线L的方程为y = 2x + 1，圆C的半径为4，圆心坐标为(-1,2). 则直线L与圆C的位置关系可以表示为______.答案： (x+1)^2 + (y-2)^2 = 16三、解答题1. 如图所示，在平面上有一个圆C，其圆心坐标为(2,3)，半径为4. 请写出圆C的方程，并确定点A(-3,4)与圆C的位置关系。
解答：圆C的方程为：(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16点A(-3,4)与圆C的位置关系可以通过计算点A到圆心的距离来判断。
点A到圆心的距离为：distance = sqrt((-3-2)^2 + (4-3)^2) = sqrt(25) = 5比较点A到圆C的距离与圆的半径的关系：若 distance < 4，则点A在圆内；若 distance = 4，则点A在圆上；若 distance > 4，则点A在圆外。
因为 distance = 5 > 4，所以点A在圆外。
直线与圆的位置关系练习(含参考答案)
直线与圆的位置关系习题课班级 学号 姓名-----------------------------------------------------【基础训练】-------------------------------------------------------1．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值解析 由y ＝kx ＋1知直线过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2y ＝0得x 2＋(y －1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为（ ）A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4 解析 因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A4．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为 ．解析 显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 .解析 由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.6．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 ．解析 由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，求实数a 的值.解析：圆C ∶x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.8．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2， 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎨⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.-------------------------------------------------------【能力提升】-----------------------------------------------------9．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析 选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.10．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析 根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1（0<θ<π2）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝ .解析 圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1>1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案：412．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于 ．解析 依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由22131x y y x +==--⎧⎪⎨⎪⎩，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 3413．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是 ．解析 法一 如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)． 法二 设P (x ，y )，由法一可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (2，2)14．半径为5的圆C 过点A )4,2(-，且以)3,1(-M 为中点的弦长为34，求圆C 的方程.解析 设圆方程为22()()25x ay b -+-=，依题意，2222(2)(4)2525a b ⎧--+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩. 所以圆C 方程为：22(1)25x y -+=或22(2)(1)25x y -+-=. 15. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求下列各式的最大值与最小值：（1）y x； （2）y －x ； （3）(x +1)2＋y 2． 解析 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y +x 可看作是直线y ＝-x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝-x＋b 与圆相切时，纵截距b 取得=，解得b ＝2±6. 所以y +x 的最大值为2＋6，最小值为2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与点(-1,0)距离的平方，由平面几何知识知，在点(-1,0)与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．3=，所以x 2＋y 2的最大值是(3＋3)2＝12＋63，x 2＋y 2的最小值是(3－3)2＝12－6 3.16．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若|AB |＝423，求直线MQ 的方程． 解析 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1， 则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3. ∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
直线与圆练习题(带答案解析)
..直线方程、直线与圆练习1．如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么a 等 A ．1 B ．-1 C ．2 D ．23【答案】B 【解析】试题分析：两条直线平行需满足12211221A B A B A C A C =⎧⎨≠⎩即122112211A B A B a AC A C =⎧⇒=-⎨≠⎩，故选择B考点：两条直线位置关系2． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是 A ．4y x =-+ B ．y x = C ．4y x =+ D ．y x =- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得:AB 中点C 坐标为()2,2，且31131AB k -==-，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-1，所以直线方程为：()244y x y x -=--⇒=-+，故选择A考点：求直线方程3．如图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：由图形可知0b a c >>>，由010ax by c x y ++=⎧⎨+-=⎩得0b c x b a a c y b a +⎧=>⎪⎪-⎨--⎪=<⎪-⎩所以交点在第四象限考点：圆的方程及直线的交点4．若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-，则直线y kx b =+必定经过点 A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(1,2)- D ．(1,2)-- 【答案】A 【解析】试卷第2页，总48页试题分析：由中点坐标公式可得2k b +=-，所以直线y kx b =+化为()212y kx k k x y =--∴-=+，令10,201,2x y x y -=+=∴==-，定点(1,2)-考点：1．中点坐标公式；2．直线方程5．过点(1,3)P -且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x【答案】D 【解析】试题分析：设直线方程：02=+-c y x ，将点(1,3)P -代入方程，06-1-=+c ，解得7=c ，所以方程是072=+-y x ，故选D ． 考点：直线方程 6．设(),P x y 是曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）上任意一点，则y x 的取值范围是（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．(),33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】C 【解析】试题分析：曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）的普通方程为：()()2221,,x y P x y ++=是曲线()22:21C x y ++=上任意一点，则yx 的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图：33,33y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故选C ．考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线的斜率；3.圆的参数方程．7．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +..（A ）最小值为15 （B ）最小值为55 （C ）最大值为15 （D ）最大值为55【答案】A【解析】试题分析：直线ax+by=1与线段AB 有一个公共点，则点A(1，0)B(2，1)应分布在直线ax+by-1=0两侧，将(1，0)与(2，1)代入，则(a-1)(2a+b-1)≤0，以a 为横坐标，b 为纵坐标画出区域如下图：则原点到区域内点的最近距离为OA ，即原点到直线2a+b-1=0的距离，OA=55，22a b +表示原点到区域内点的距离的平方，∴22a b +的最小值为15，故选A.考点：线性规划.8．点()11-，到直线10x y -+=的距离是（ ）． A ．21 B ．23 C ．22D ．223【答案】D【解析】试题分析：根据点到直线的距离公式，()221(1)132211d --+==+-，故选D 。
高中数学【直线与圆】专题练习
高中数学【直线与圆】专题练习1.点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A.1B. 2C. 3D.2答案 B解析设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，知当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为 2.2.已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为()A.2x－y－1＝0B.2x＋y－1＝0C.2x－y＋1＝0D.2x＋y＋1＝0答案 D解析由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为M(1，1)，半径为2.如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为12|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.因为|AM |＝2，所以只需|PA |最小. 又|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，所以只需直线2x ＋y ＋2＝0上的动点P 到M 的距离最小，其最小值为|2＋1＋2|5＝5，此时PM ⊥l ，易求出直线PM 的方程为x －2y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以P (－1，0). 易知P 、A 、M 、B 四点共圆，所以以PM 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，即x 2＋y 2－y －1＝0②， 由①②得，直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0，故选D.3.(多选)已知点P 在圆(x －5)2＋(y －5)2＝16上，点A (4，0)，B (0，2)，则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时，|PB |＝3 2 D.当∠PBA 最大时，|PB |＝3 2 答案 ACD解析 设圆(x －5)2＋(y －5)2＝16的圆心为M (5，5)，半径为4. 由题意知直线AB 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0， 则圆心M 到直线AB 的距离d ＝|5＋2×5－4|5＝115>4， 所以直线AB 与圆M 相离，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为4＋d ＝4＋115， 又4＋115<5＋1255＝10，故A 正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，又115－4<1255－4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝|MB|2－|MN|2＝52＋（5－2）2－42＝32；当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝32，故C，D都正确.综上，选ACD.4.抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切.(1)求抛物线C，⊙M的方程；(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.解(1)由题意，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，设C的焦点为F，P在第一象限，则根据抛物线的对称性，得∠POF＝∠QOF＝45°，所以P(1，1)，Q(1，－1).设抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，则1＝2p，得p＝1 2，所以抛物线C的方程为y2＝x.由题意，圆心M(2，0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1，所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.(2)直线A 2A 3与⊙M 相切，理由如下： 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，A 3(x 3，y 3)，当A 1，A 2，A 3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切，此时直线A 2A 3与⊙M 相切.当x 1≠x 2≠x 3时，直线A 1A 2的方程为x －(y 1＋y 2)y ＋y 1y 2＝0， 则|2＋y 1y 2|（y 1＋y 2）2＋1＝1，即(y 21－1)y 22＋2y 1y 2＋3－y 21＝0， 同理可得(y 21－1)y 23＋2y 1y 3＋3－y 21＝0，所以y 2，y 3是方程(y 21－1)y 2＋2y 1y ＋3－y 21＝0的两个根，则y 2＋y 3＝－2y 1y 21－1，y 2y 3＝3－y 21y 21－1.直线A 2A 3的方程为x －(y 2＋y 3)y ＋y 2y 3＝0. 设点M 到直线A 2A 3的距离为d (d ＞0)，则d 2＝（2＋y 2y 3）21＋（y 2＋y 3）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3－y 21y 21－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2y 1y 21－12＝1，从而d ＝r ＝1，所以直线A 2A 3与⊙M 相切. 综上可得，直线A 2A 3与⊙M 相切.1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F 2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.热点一 直线的方程【例1】 (1)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823 C. 3D.833(2)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为( ) A.2x ＋3y －12＝0 B.2x ＋3y ＋12＝0 C.2x －3y ＋12＝0 D.2x －3y －12＝0答案 (1)B (2)B解析 (1)由l 1∥l 2得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6， 解得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋（－1）2＝823.(2)由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴N (－3，1).设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为 2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)， 则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去). ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0.探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.(1)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.(2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.【训练1】 (1)(多选)光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l ：y ＝kx ＋1反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过下列哪些点( ) A.(14，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98 C.(13，2)D.(13，1)(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________. 答案 (1)BD (2)252解析 (1)因为直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ＝－1.设点(2，4)关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －4m －2＝1，n ＋42＝－m ＋22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝－1，所以反射光线经过点(－3，－1)和点(5，0)，则反射光线所在直线的方程为y ＝0－（－1）5－（－3）(x－5)，即y＝18(x－5)，当x＝13时，y＝1；当x＝14时，y＝98.故选BD.(2)由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0，4)，直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3，0)，注意到直线l1：kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，点M又是两条直线的交点，则有MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.故|MA|·|MB|≤252(当且仅当|MA|＝|MB|＝522时取“＝”).热点二圆的方程【例2】(1)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上，若点A 在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于2，则圆C的标准方程为()A.(x－2)2＋(y＋4)2＝4B.(x＋2)2＋(y＋4)2＝16C.(x－2)2＋(y－4)2＝4D.(x－2)2＋(y－4)2＝16(2)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4 km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的3倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：km2)是()A.2 3B.4 3C.3 6D.4 6答案(1)D(2)B解析(1)∵圆C的圆心在直线y＝2x上，∴可设圆心C的坐标为(a，2a).∵圆C与x轴正半轴相切于点A，∴a>0，且圆C的半径r＝2a，A(a，0).∵点A到直线x－y－4＝0的距离d＝2，|a－0－4|＝2，解得a＝6或a＝2，∴d＝1＋1∴A(2，0)或A(6，0).∵点A在直线x－y－4＝0的左上方，∴A(2，0)，∴C(2，4)，r＝4，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.(2)以甲、乙两地所在直线为x轴，甲、乙两地所连线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.设甲、乙两地的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，丙地坐标为(x，y)(y≠0)，则（x＋2）2＋y2＝3·（x－2）2＋y2，整理得(x－4)2＋y2＝12(y≠0)，可知丙地所在的圆的半径为r＝2 3.所以三角形信号覆盖区域的最大面积为12×4×23＝4 3.探究提高 1.求圆的方程主要方法有两种：(1)几何法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，否则选择圆的一般方程.2.第(2)题是一道以阿波罗尼斯圆为背景的数学应用问题，解题关键是先利用题设条件给出的关系式，求出阿波罗尼斯圆的方程，然后应用圆中的几何量求解三角形信号覆盖区域的最大面积.温馨提醒解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.【训练2】 (1)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A.4 B.5 C.6D.7(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3，4)为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为________. 答案 (1)A (2)x 2＋(y －3)2＝10解析 (1)由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为d min ＝（3－0）2＋（4－0）2－1＝4.(2)∵P (3，4)为C 上一点，∴9m －162＝1， 解得m ＝1，则B (1，0)，A (－1，0)， ∴k PB ＝4－03－1＝2，BP 的中点为(2，2)，PB 的垂直平分线方程为l 1：y ＝－12(x －2)＋2， AB 的垂直平分线方程为l 2：x ＝0，则圆心是l 1与l 2的交点M ，联立l 1与l 2方程， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，则M (0，3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10，∴△PAB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 热点三 直线(圆)与圆的位置关系 考向1 圆的切线问题【例3】 (1)已知直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝__________，b ＝________.(2)若斜率为3的直线与y 轴交于点A ，与圆x 2＋(y －1)2＝1相切于点B ，则|AB |＝________.(3)直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝4的切线，且直线l 过点A (3，－1)，点Q 是直线l 上的动点，过点Q 作圆M ：x 2＋43x ＋y 2＝0的切线QT ，T 为切点，则线段QT 的长度的最小值为________.答案 (1)33 －233 (2)3 (3)13解析 (1)由题意知，直线kx －y ＋b ＝0(k ＞0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为1，及圆心坐标为(4，0)，半径为1的两圆相切， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|b |k 2＋1＝1，①|4k ＋b |k 2＋1＝1，②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33，b ＝－233.(2)设直线AB 的方程为y ＝3x ＋b ，则点A (0，b ).由于直线AB 与圆x 2＋(y －1)2＝1相切，且圆心为C (0，1)，半径为1， 则|b －1|（3）2＋（－1）2＝1，解得b ＝－1或b ＝3，所以|AC |＝2.因为|BC |＝1，故|AB |＝|AC |2－|BC |2＝ 3.(3)因为A (3，－1)的坐标满足圆O 的方程，所以点A 在圆O 上.连接OA ，易知l ⊥OA ，k OA ＝－13，所以k l ＝3，所以过点A 的切线l 的方程为3x －y －4＝0. 由x 2＋43x ＋y 2＝0，得(x ＋23)2＋y 2＝12， 易知圆M 的圆心为(－23，0)，半径为2 3.连接MT ，MQ ，在Rt △MQT 中， |QT |＝|MQ |2－|MT |2＝|MQ |2－12.因为|MQ |的最小值是点M 到直线l 的距离d ， d ＝|3×（－23）－0－4|（3）2＋（－1）2＝5，所以线段QT 的长度的最小值为|QT |min ＝52－12＝13.探究提高 1.过一点求圆的切线，要考虑此点是在圆上还是在圆外.若点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条，此时过圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上一点(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)上一点(x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；若点(x 0，y 0)在圆外，则切线有两条.2.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，但一定要注意斜率不存在的情形.【训练3】 (1)过点D (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线的方程为( ) A.2y －1＝0 B.2y ＋1＝0 C.x ＋2y －1＝0D.x －2y ＋1＝0(2)(多选)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的值可以是( ) A.1 B.2 C.3D.4答案 (1)B (2)AB解析 (1)由圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的方程可知其圆心为C (1，0)，半径为1. 连接CD ，以线段CD 为直径的圆的方程为(x －1)(x －1)＋(y ＋2)(y －0)＝0， 整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.将两圆的方程相减，可得公共弦AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0.(2)由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，则圆心为C (2，0)，半径r ＝2.过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A ，B ，连接AC ，BC ，则四边形PACB 为正方形，所以|PC |＝2r ＝22，则圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k 2≤22，即－22≤k ≤22，所以实数k 的取值可以是1，2.故选AB. 考向2 直线与圆的弦长问题【例4】 在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练4】 (1)已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝9，过点M (1，1)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则弦长|AB |最短时直线l 的方程为( ) A.2x －y －1＝0 B.x ＋2y －8＝0 C.2x －y ＋1＝0D.x ＋2y －3＝0(2)(多选)关于圆C ：x 2＋y 2－kx ＋2y ＋14k 2－k ＋1＝0，下列说法正确的是( ) A.k 的取值范围是k >0B.若k ＝4，过M (3，4)的直线l 与圆C 相交所得弦长为23，则l 的方程为12x －5y －16＝0C.若k ＝4，则圆C 与圆x 2＋y 2＝1相交D.若k ＝4，m >0，n >0，直线mx －ny －1＝0恒过圆C 的圆心，则1m ＋2n ≥8恒成立答案 (1)D (2)ACD解析 (1)根据题意，圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝9的圆心C 为(2，3)，半径r ＝3， 当CM 与AB 垂直时，即M 为AB 的中点时，弦长|AB |最短， 此时k CM ＝3－12－1＝2，则k AB ＝－12，此时直线AB 的方程为y －1＝－12(x －1)，变形可得x ＋2y －3＝0. (2)对于A ，由(－k )2＋22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2－k ＋1＝4k >0，得k >0，故A 正确；对于B ，当k ＝4时，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(2，－1)，半径r ＝2，M 在圆外，因此过M (3，4)与圆相交所得弦长为23的直线有两条，故B 错误；对于C ，由B 知，圆C 的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2.因为(2，－1)与(0，0)间的距离为5，2－1<5<2＋1，所以两圆相交，故C 正确；对于D ，由直线mx －ny －1＝0过圆心，得2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8，当且仅当n ＝2m ＝12时等号成立，故D 正确.故选ACD.一、选择题1.设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行， 则⎩⎪⎨⎪⎧2λ（1－λ）＝6（λ－1），2λ×（－4）≠6×（－1），解得λ＝－3或λ＝1. 又“λ＝－3”是“λ＝－3或λ＝1”的充分不必要条件，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件.2.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点.若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线 答案 A解析 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点A ，B 分别为(－a ，0)，(a ，0)(a >0)，点C 为(x ，y )， 则AC→＝(x ＋a ，y )，BC →＝(x －a ，y )， 所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1，整理得x 2＋y 2＝a 2＋1. 因此点C 的轨迹为圆.故选A.3.(多选)已知直线l 过点A (a ，0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 可能的取值为( ) A. 2 B.3 2 C.－3 2 D.－ 2答案 AD解析 直线l 的方程为y ＝x －a ，即x －y －a ＝0.由圆的半径为2，又圆上恰有三个点到直线l 的距离为1，可知圆心到直线的距离等于1，则|a |2＝1，a ＝±2.故选AD.4.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255 C.355 D.455答案 B解析 因为圆与两坐标轴都相切，且点(2，1)在圆上， 所以可设圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)， 则(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，解之得a ＝1或a ＝5. 所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255或d ＝|2×5－5－3|5＝255.5.已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0，－6)，B (4，0)，则|PA →＋PB→|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C.226＋4 D.226＋2答案 C解析 取AB 中点D (2，－3)，则PA→＋PB →＝2PD →，|PA →＋PB →|＝|2PD →|＝2|PD →|， 又由题意知，圆C 的圆心C (1，2)，半径为2，|PD →|的最大值为圆心C (1，2)到D (2，－3)的距离d 与半径r 的和， 又d ＝1＋25＝26，∴d ＋r ＝26＋2，∴2|PD→|的最大值为226＋4， 即|PA→＋PB →|的最大值为226＋4. 6.(多选)已知直线l ：ax ＋by －r 2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝r 2，点A (a ，b )，则下列说法正确的是( )A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 答案 ABD解析 圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b2.若点A (a ，b )在圆C 上，则a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2＝|r |，则直线l 与圆C相切，故A 正确；若点A (a ，b )在圆C 内，则a 2＋b 2<r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2>|r |，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点A (a ，b )在圆C 外，则a 2＋b 2>r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2<|r |，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点A (a ，b )在直线l 上，则a 2＋b 2－r 2＝0即a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2＝|r |，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选ABD.7.若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( ) A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x ＋12 C.y ＝12x ＋1 D.y ＝12x ＋12答案 D解析 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①. 设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0>0)， 则y ′|x ＝x 0＝12x －12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③.由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x －12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去).所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程为y ＝12x ＋12. 二、填空题8.已知△ABC 的顶点坐标分别为A (3，4)，B (6，0)，C (－5， －2)，则内角A 的平分线所在直线的方程为________.答案 7x －y －17＝0解析 法一 由题意，得|AC |＝10，|AB |＝5.设内角A 的平分线交BC 于点D ，则由角平分线定理得|CD ||DB |＝|AC ||AB |＝2，即CD →＝23CB →，可求得D⎝ ⎛⎭⎪⎫73，－23，从而k AD ＝7，所以直线AD 的方程为7x －y －17＝0. 法二 AB→＝(3，－4)，AC →＝(－8，－6)，所以△ABC 的内角A 的平分线所在直线的方向向量为AP →＝AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝15(3，－4)＋110(－8，－6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－75，所以所求直线的斜率为7，所以所求直线的方程为y －4＝7(x －3)，即7x －y －17＝0. 9.已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的方程为________________. 答案 x ＋y －3＝0解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9， ∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线l 与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短. 因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1.故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.10.已知曲线y ＝－x 2＋4x －3与直线kx －y ＋k －1＝0有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，34解析 曲线y ＝－x 2＋4x －3整理得(x －2)2＋y 2＝1(y ≥0)，则该曲线表示圆心为(2，0)，半径为1的圆的上半部分，直线kx －y ＋k －1＝0过定点A (－1，－1). 如图，当k ∈[k 1，k 2)时，曲线与直线有两个不同的交点，易得k 1＝12，k 2＝34，所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，34.11.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，设点P (t ，4)为直线y ＝4上一点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 所过定点的坐标为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).因为M 是切点，在圆上，所以以点M 为切点的切线方程为x 1x ＋y 1y ＝1， 因为P (t ，4)在切线PM 上，所以tx 1＋4y 1＝1， 所以切点M (x 1，y 1)在直线tx ＋4y ＝1上， 同理，切点N (x 2，y 2)也在直线tx ＋4y ＝1上， 所以直线MN 的方程为tx ＋4y ＝1， 故直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.三、解答题12.已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线m ：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点. (1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程.解 (1)易知点A (－1，2)到直线x ＋2y ＋7＝0的距离为圆A 的半径r ，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)记MN的中点为Q，则∠MQA＝90°，且|MQ|＝19，在Rt△AMQ中，|AQ|＝|AM|2－|MQ|2＝1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，显然x＝－2符合题意，当直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y＝k(x＋2)，由点A(－1，2)到l的距离为1，得|－k－2＋2k|k2＋1＝1，解得k＝34.∴所求l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝－2.13.(多选)已知点A是直线l：x＋y－2＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是()A.(0，2)B.(1，2－1)C.(2，0)D.(2－1，1)答案AC解析如图所示，坐标原点O到直线l：x＋y－2＝0的距离d＝212＋12＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，由图可知，当AP，AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值.连接OP，OQ，OA，当∠PAQ＝90°时，又∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝2|OP|＝2.设A(t，2－t)，由两点间的距离公式得|OA|＝t2＋（2－t）2＝2，整理得2t2－22t＝0，解得t＝0或t＝2，因此，点A的坐标为(0，2)或(2，0).故选AC.14.已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由.解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.又已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，OM，由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值.理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.。
高中数学必修二直线和圆练习含答案
高中数学必修二直线和圆练习一、选择题1．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．103．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 4．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为 (1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32C ．32-D ． 23-. 5. 圆C 1:x 2+y 2+4x-4y+7=0和圆C 2:x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有( )A.2条B.3条C.4条D.以上均错6. 已知空间两点A(1,3,5)、B(-3,1,3),则线段AB 的中点坐标为( )A.(-1,2,4)B.(2,1,1)C.(1,0,4)D.(3,3,-1)7.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为( )A.1、-1B.2、-2C.1D.-18.已知圆C ：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l ：x-y+3=0，当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则a 等于( ) A.2 B.22-C.12-D.12+二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2.经过点P(1,2)与圆x 2+y 2=1相切的直线方程为______________.3.与两平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在直线2x+y+3=0上的圆的方程是________.4. 已知圆x2+y2-4x+6y-12=0的内部有一点A(4，-2)，则以A为中点的弦所在的直线方程为______________________.三、解答题1．求经过点(2,2)A-并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。
直线与圆综合练习题含答案
直线与圆的圆程锻炼题之阳早格格创做一、采用题:1．直线1x =的倾斜角战斜率分别是（ ）A ．B ．C ．，没有存留D ．，没有存留 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 谦脚（ ）A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过面(1,3)P -且笔直于直线032=+-y x 的直线圆程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x4．已知面(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的笔直仄分线的圆程是（ ）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位子闭系是（ ）A ．仄止B ．笔直C ．斜接D ．与的值有闭6．二直线330x y +-=与610x my ++=仄止，则它们之间的距离为（ ）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴背目标仄移3个单位再沿y 轴正目标仄移1个单位后，又回到本去的位子，那么直线l 的斜率是（ ）A．3-C D ．38．直线l 与二直线1y =战70x y --=分别接于,A B 二面，若线段AB 的中面为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32 C ．32- D ． 23- 9．若动面P 到面(1,1)F 战直线340x y +-=的距离相等，则面P 的轨迹圆程为（ ）A ．360x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y +-=D ．320x y -+=10．若为圆的弦AB 的中面，则直线AB 的圆程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=11．圆012222=+--+y x y x 上的面到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+ D ．221+12．正在坐标仄里内，与面(1,2)A 距离为1，且与面(3,1)B 距离为2的直线同有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条13．圆0422=-+x y x 正在面)3,1(P 处的切线圆程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 接于,E F 二面，则∆EOF （O 是本面）的里积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心正在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C相切，则圆C 的圆程为（ ）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x 16．若过定面)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 正在第一象限内的部分有接面，则k 的与值范畴是（ ）A. 50<<k B. 05<<-k C.130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 战圆：0622=-+x y x 接于,A B 二面，则AB 的笔直仄分线的圆程是（ ）A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --=D ．4370x y -+=18．进射光芒正在直线1:23l x y -=上，通过x 轴反射到直线2l 上，再通过y 轴反射到直线3l 上，若面P 是1l 上某一面，则面P 到3l 的距离为（ ）A ．6 B ．3C D 二、挖空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 闭于y 轴对付称，则2l 的圆程为__________;若3l 与1l 闭于x 轴对付称，则3l 的圆程为_________;若4l 与1l 闭于x y =对付称，则4l 的圆程为___________;20．面(,)P x y 正在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过本面且仄分ABCD 的里积，若仄止四边形的二个顶面为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的圆程为________________.22．已知面(,)M a b 正在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为23．将一弛坐标纸合叠一次，使面(0,2)与面(4,0)沉合，且面(7,3)与面(,)m n 沉合，则n m +的值是___________________.24．直线10x y -+=上一面P 的横坐标是3，若该直线绕面P 顺时针转动090得直线l ，则直线l 的圆程是．25．若通过面(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线正在y 轴上的截距是 __________________.26．由动面P 背圆221x y +=引二条切线,PA PB ，切面分别为0,,60A B APB ∠=，则动面P 的轨迹圆程为.27．圆心正在直线270x y --=上的圆C 与y 轴接于二面(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的圆程为.28．已知圆()4322=+-y x 战过本面的直线kx y =的接面为,P Q 则OQ OP ⋅的值为_.29．已知P 是直线0843=++y x 上的动面，,PA PB 是圆012222=+--+y x y x 的切线，,A B 是切面，C 是圆心，那么四边形PACB 里积的最小值是________________.30．对付于任性真数k ，直线(32)20k x ky +--=与圆222220x y x y +---=的位子闭系是_________31．若直线21x y -=与直线b x y +=末究有接面，则b 的与值范畴是___________；若有一个接面，则b 的与值范畴是________；若有二个接面，则b 的与值范畴是_______；32．如果真数,x y 谦脚等式22(2)3x y -+=，那么xy 的最大值是________. 三、解问题:36．供通过面(2,2)A -而且战二个坐标轴围成的三角形的里积是1的直线圆程.37．供函数()f x =.38．供过面()1,2A 战()1,10B 且与直线012=--y x 相切的圆的圆程.39．供过面(2,4)A 背圆422=+y x 所引的切线圆程.40．已知真数y x ,谦脚122=+y x ，供12++x y 的与值范畴. 41．供过面(5,2),(3,2)M N 且圆心正在直线32-=x y 上的圆的圆程.42．已知二圆04026,010102222=--++=--+y x y x y x y x ，供（1）它们的公同弦地圆直线的圆程；（2）公同弦少.43．已知定面A （0，1），B （0，－1），C （1，0）．动面P 谦脚：2||PC k BP AP =⋅.（1）供动面P 的轨迹圆程，并证明圆程表示的直线典型；（2）当2k =时，供|2|AP BP +的最大、最小值．参照问案一、采用题:1．C 1x =笔直于x 轴，倾斜角为090，而斜率没有存留2．D tan 1,1,1,,0a k a b a b b α=-=--=-=-=3．A 设20,x y c ++=又过面(1,3)P -，则230,1c c -++==-，即210x y +-=4．B 线段AB 的中面为3(2,),2笔直仄分线的2k =，32(2),42502y x x y -=---= 5．B 6．D 把330x y +-=变更为6260x y +-=，则d ==7．A 1tan 3α=- 8．D (2,1),(4,3)A B --cos sin sin (cos )0θθθθ⋅+⋅-=9．B 面(1,1)F 正在直线340x y +-=上，则过面(1,1)F 且笔直于已知直线的直线为所供10．A 设圆心为(1,0)C ，则,1,1,12CP AB AB CP k k y x ⊥=-=+=-11．B圆心为max (1,1),1,1C r d ==12．B 二圆相接，中公切线有二条13．D 2224x y -+=（）的正在面)3,1(P处的切线圆程为(12)(2)4x --+=14．D 弦少为4，142S =⨯=15．D 设圆心为2234(,0),(0),2,2,(2)45a a a a x y +>==-+= 16．A 圆与y17．C由仄里几许知识知AB 的笔直仄分线便是连心线18．C 提示：由题意13//l l ，故P 到3l 的距离为仄止线1l ，3l 之间的距离， 1:230l x y --=，再供得3:230l x y -+=，所以d = 二、挖空题:19．234:23,:23,:23,l y x l y x l x y =-+=--=+20．822x y +可瞅成本面到直线上的面的距离的仄圆，笔直时最短：d ==21．23y x =仄分仄止四边形ABCD 的里积，则直线过BD 的中面(3,2) 22．322b a +的最小值为本面到直线1543=+y x 的距离：155d = 23．345 面(0,2)与面(4,0)闭于12(2)y x -=-对付称，则面(7,3)与面(,)m n也闭于12(2)y x -=-对付称，则3712(2)223172n m n m ++⎧-=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，得35315m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩24．70x y +-=(3,4)P l 的倾斜角为00004590135,tan1351+==- 25．1面(1,0)P -正在圆032422=+-++y x y x 上，即切线为10x y -+= 26．224x y +=2OP =k <<27．22(2)(3)5x y -++= 圆心既正在线段AB 的笔直仄分线即3y =-，又正在 270x y --=上，即圆心为(2,3)-，r =28．5 设切线为OT ，则25OP OQ OT ⋅==29． 当CP 笔直于已知直线时，四边形PACB 的里积最小 30．相切或者相接2≤=；另法：直线恒过(1,3)，而(1,3)正在圆上31．[-；[){}1,12-；⎡⎣直线21x y -=代表半圆32设22222,,(2)3,(1)410y k y kx x k x k x x x==-+=+-+=，2164(1)0,k k ∆=-+≥≤≤ 另可思量斜率的几许意思去干 33．32x =O ：圆心(0,0)O，半径r ='O ：圆心'(4,0)O，半径'r =设(,)P x y ，由切线少相等得222x y +-=22810x y x +-+，32x =． 34．π022⎛⎤- ⎥⎝⎦， 三、解问题:36．解：设直线为2(2),y k x -=+接x 轴于面2(2,0)k--，接y 轴于面(0,22)k +， 得22320k k ++=，或者22520k k ++= 解得1,2k =-或者 2k =- 320x y ∴+-=，或者220x y ++=为所供.37．解：()f x =可瞅做面(,0)x到面(1,1)战面(2,2)的距离之战，做面(1,1)闭于x 轴对付称的面(1,1)-38．解：圆心隐然正在线段AB 的笔直仄分线6y =上，设圆心为(,6)a ，半径为r ，则 222()(6)x a y r -+-=，得222(1)(106)a r -+-=，而22(13)(1)16,37,5a a a a r r --+===-==或22(3)(6)20x y ∴-+-=.39．解：隐然2x =为所供切线之一；另设4(2),420y k x kx y k -=--+-=r =32,,341004k x y ==-+=2x ∴=或者34100x y -+=为所供. 40．解：令(2),(1)y k x --=--则k 可瞅做圆122=+y x 上的动面到面(1,2)--的连线的斜率 而相切时的斜率为34，2314y x +∴≥+. 41．解：设圆心为(,)x y ，而圆心正在线段MN 的笔直仄分线4x =上，即4,23x y x =⎧⎨=-⎩得圆心为(4,5)，r ==22(4)(5)10x y -+-=42．解：（1）2210100,x y x y +--=①；2262400x y x y ++--=②；②-①得：250x y +-=为公同弦地圆直线的圆程；（2=，公同弦少为43．解：（1）设动面坐标为(,)P x y ，则(,1)AP x y =-，(,1)BP x y =+，(1,)PC x y =-． 果为2||PC k BP AP =⋅,所以22221[(1)]x y k x y +-=-+．22(1)(1)210k x k y kx k -+-+--=． 若1k =，则圆程为1x =，表示过面（1，0）且仄止于y 轴的直线． 若1k ≠，则圆程化为2221()()11k x y k k ++=--． 表示以(,0)1k k -为圆心，以1|1|k - 为半径的圆． （2）当2k =时，圆程化为22(2)1x y -+=，果为2(3,31)AP BP x y +=-，所以|2|9AP BP x += 又2243x y x +=-，所以|2|36AP BP += 果为22(2)1x y -+=，所以令2cos ,sinx y θθ=+=，则36626)46[46x y θϕ--=++∈-+． 所以|2|AP BP +3=3．。
直线与圆方程练习题及答案
直线和圆的方程一、选择题1 若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．1)1()2(22=++-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ．1)2()1(22=++-y xD．1)2()1(22=-++y x2 在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6π B ．3π C ．65π D ．32π3 直线0=++c by ax 同时要经过第一第二 第四象限，则c b a 、、应满足（ ）A ．0,0<>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0>>bc abD ．0,0<<bc ab4 已知直线221:1+=x y l ，直线2l 过点)1,2(-P ，且1l 到2l 的夹角为 45，则直线2l 的方程是（ ）A ．1-=x yB ．5331+=x y C ．73+-=x y D ．73+=x y5 不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（ ）A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．左下方6 直线0943=--y x 与圆422=+y x 的位置关系是（）A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心7 已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在8 过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是()A ．23-B ．32-C ．52D ．29 点)5,0(到直线x y 2=的距离为()A ．25B ．5C ．23 D ．25 10 下列命题中，正确的是( )A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内B ．点)0,0(在区域01<++y x 内C ．点)0,1(在区域x y 2>内D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内11 由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是 ( )A ．2B ．19C ．1D ．412 三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．113 已知直线01:,03:21=+-=+y kx l y x l ，若1l 到2l 的夹角为60，则k 的值是A ．03或B ．03或-C ．3D ．3-14 如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．31-C ．32-D ．2-15 若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于( )A ．3-B ．6-C ．23-D ．32 16 由422=+=y x x y 和圆所围成的较小图形的面积是( )A ．4πB ．πC ．43π D ．23π 17 动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是( )A ．4)3(22=++y x B ．1)3(22=+-y x C ．14)32(22=+-y xD ．21)23(22=++y x 18 参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 33cos 33y x 表示的图形是( )A ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆B ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆C ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆D ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆19 以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是20 过点023)4,3(=+-y x 且与直线平行的直线的方程是21 直线y x y x 、在0623=+-轴上的截距分别为22 三点)2,5()3,4(32k及），，（-在同一条直线上，则k 的值等于23 若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是三、解答题24 若圆经过点)2,0(),0,4(),0,2(C B A ，求这个圆的方程25 求到两个定点)0,1(),0,2(B A -的距离之比等于2的点的轨迹方程26 求点)2,3(-A 关于直线012:=--y x l 的对称点'A 的坐标已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程---直线和圆的方程答案一、二、19 02=--y x20 053=--y x 21 32和- 2212234<a三、24 设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++8660420416024F E D F E F D F D 所以圆的方程是086622=+--+y x y x25 设),(y x M 为所求轨迹上任一点，则有2=MBMA042)1()2(222222=+-⇒=+-++∴y x x y x y x26 设),('b a A ，则有)54,513( 5451301222321232'-∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---+⋅-=⋅-+A b a b a a b27 设圆C 的圆心为),(b a ，则6234004231)1(33322==⇒⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或。
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一、选择题：
1．直线x-3y+6=0的倾斜角是（
）
A 600
B 1200
C 300
D 150
2. 经过点A(-1,4),且在x 轴上的截距为3的直线方程是（）
A x+y+3=0
B x-y+3=0
C x+y-3=0
D x+y-5=0
3．直线(2m 2+m-3)x+(m 2
-m)y=4m-1与直线2x-3y=5平行，则的值为（
）
A-2
3或1 B1 C-
8
9 D -
8
9或1
4．直线ax+(1-a)y=3与直线(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，则a 的值为（
）
A -3
B
1 C 0或-
2
3 D 1或-3
5．圆（x-3）2
+(y+4)2
=2关于直线x+y=0对称的圆的方程是（
）
A. (x+3)2+(y-4)2
=2 B. (x-4)2+(y+3)2
=2 C
.(x+4)2+(y-3)2=2
D. (x-3)2+(y-4)2
=2
6、若实数x 、y 满足3)
2(2
2
y
x ，则
x
y 的最大值为（
）
A. 3
B.
3 C. 3
3 D.
3
37．圆1)
3()1(2
2
y
x 的切线方程中有一个是
（
）
A ．x －y ＝0
B ．x ＋y ＝0
C ．x ＝0
D ．y ＝0
8．若直线21
0ax
y 与直线2
0x
y
互相垂直，那么a 的值等于
（）
A ．1
B ．
13
C ．23
D ．29．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆2
2
2x
y
相切，则a 的值为
（
）Ａ．4
Ｂ．22
Ｃ．2
Ｄ．
2
10．如果直线12,l l 的斜率分别为二次方程2
41
0x
x 的两个根，那么1l 与2l 的夹角
为（
）
A ．3
B ．
4
C ．
6
D ．
8
11．已知2
{(,)|9,0}M
x y y x y
，{(,)|}N
x y y x b ，若M
N ，则b
（
）
A ．[32,32]
B ．(32,32)
C ．(3,32]
D ．[3,32]
12．一束光线从点(1,1)A 出发，经x 轴反射到圆2
2
:(2)
(3)
1C x y 上的最短路径是
（
）
A ．4
B ．5
C ．321
D ．26
二、填空题：
13过点M （2，-3）且平行于A （1，2），B （-1，-5）两点连线的直线方程是14、直线l 在y 轴上截距为2，且与直线l`：x+3y-2=0垂直，则l 的方程是
15．已知直线0125a
y x 与圆022
2
y
x
x
相切，则a 的值为________.
16圆2
2
4460x
y
x y 截直线5
0x
y
所得的弦长为
_________
17．已知圆M ：（x ＋cos ）2
＋（y －sin ）2
＝1，
直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：
（A ）对任意实数k 与，直线l 和圆M 相切；
（B ）对任意实数k 与，直线l 和圆M 有公共点；（C ）对任意实数
，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切;
（D ）对任意实数k ，必存在实数
，使得直线l 与和圆M 相切.
其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）. 18已知点M （a ，b ）在直线1543y
x
上，则
2
2
b a
的最小值为
三、解答题：
19、平行于直线2x+5y-1=0的直线l 与坐标轴围成的三角形面积为
5，求直线l 的方
程。
20、已知ABC中，A(1, 3)，AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x y
210和y10，求ABC各边所在直线方程．
21．已知ABC的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为610590
x y，B的平分线所在直线方程为4100
x y，求BC边所在直线的方程．
22．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：
1；③圆心到直线:20
l x y的距离为
5
5
，求该圆的方程．
23．设M是圆22680
x y x y上的动点，O是原点，N是射线OM上的点，若
150
|
|
|
|ON
OM，求点N的轨迹方程。
24．已知过A（0，1）和(4,)
B a且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及圆的方程．
C C C
D B A
7．C．圆心为（1，3），半径为1，故此圆必与y轴（x=0）相切，选 C.
8．D．由12120
A A
B B可解得．
9．C ．直线和圆相切的条件应用，2,2
2
,0a
a a y x ,选
C;
10．A ．由夹角公式和韦达定理求得．11．C ．数形结合法，注意2
9,0y
x y
等价于2
2
9(0)
x
y
y 12．A ．先作出已知圆C 关于x 轴对称的圆'C ，问题转化为求点A 到圆'C 上的点的
最短路径，即|'|14AC ．
16．8或－18.
2
2
|51120|
15
12
a ,解得a =8或－18.
17．（B ）（D ）.圆心坐标为（－cos ，sin ）d ＝
2
22
|k cos sin |1k |sin |
1k 1k
|sin |1
－－＋（＋）＝＋＋＝（＋）故填（B ）（D ）18、3。
19、2x +5y-10=0 或2x +5y+10=0
20、x – y + 2 = 0、x + 2y – 7 = 0、x - 4y – 1 = 0 21．设11(410,)B y y ，由AB 中点在61059
0x y 上，
可得：059
21
10
27
46
11
y y ，y 1 = 5，所以(10,5)B ．
设A 点关于4100x y 的对称点为'(',')A x y ，
则有
)7,1(1
4
1310
1024
4
23
A x
y y x .故:29650BC x
y ．
22．设圆心为(,)a b ，半径为r ，由条件①：2
2
1r
a
，由条件②：2
2
2r
b ，从而
有：2
2
21b
a
．由条件③：
|2|
5|2|15
5
a b a b ，解方程组
2
2
21
|2|1b
a
a b 可得：
11
a b 或
11
a b
，所以2
2
22r b
．故所求圆的方程是2
2
(1)
(1)
2
x y 或2
2
(1)(1)2x y ．
23．设(,)N x y ，11(,)M x y ．由(
0)OM
ON 可得：
11
x x y y ，
由2
2
150150
||||y
x
ON OM .故
1
2
2
1
2
2
150150x x x
y y y x
y
，因为点M 在已知圆上．
所以有01508
1506
)
150(
)
150(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
y y
x
x y
x
y y
x
x ，
化简可得：3475
0x
y 为所求．
24．设所求圆的方程为
2
2
0x
y
Dx
Ey F
．因为点
A 、
B 在此圆上，所以1
0E
F
，①
，2
416
0D aE F a
②
③④又知该圆与x 轴（直线0y ）相切，所以由
2
40D
F ，③
由①、②、③消去
E 、F
可得：2
2
1
(1)416
04a D
D
a
a ，④由题意方程④有唯一解，当1
a
时，4,5,4D
E
F
；当1a 时由
0可解得0a
，
这时8,17,16D
E F
．
综上可知，所求a 的值为0或1，当0a 时圆的方程为2
2
817160x y
x y ；
当1a
时，圆的方程为2
2
4540x y
x y ．。